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DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO. Página 1

Distribuciones normales

en el muestreo.

Matemáticas CSSS II

Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM

Nombre y apellidos …………………………………………………………………………………......


OBJETIVOS

1. Distribución de la proporción muestral.

OBJETIVO 1. Conocer la distribución de las proporciones muestrales: Si p es la proporción real de los individuos de una población que cumplen cierta característica y es la proporción muestral de los individuos que la cumplen, en una muestra de tamaño n,

entonces, la variable aleatoria sigue una distribución normal √ )

)

2. Distribución de la media muestral.

OBJETIVO 2. Conocer la distribución de la medias muestrales: Si X es una variable aleatoria de media y desviación y es la media muestral, en una

muestra de tamaño n, entonces, la variable aleatoria sigue una distribución normal

)

3. Distribución de la suma muestral.

OBJETIVO 3. Conocer la distribución de las sumas muestrales: Si X es una variable aleatoria de media y desviación y es la suma de una muestra de

tamaño n, entonces, la variable aleatoria sigue una distribución normal √ )

4. Distribución de la diferencia de dos medias muestrales.

OBJETIVO 4. Conocer la distribución de la diferencia de dos medias muestrales: Sean X e Y dos variables aleatorias con medias y desviaciones ,

respectivamente. Si es la media muestral de una muestra de X de tamaño e es la

media muestral de una muestra de Y de tamaño , entonces, la variable aleatoria sigue

una distribución normal √ )

( )

)


1. Distribución de la proporción muestral.

OBJETIVO 1. Conocer la distribución de las proporciones muestrales: Si p es la proporción real de los individuos de una población que cumplen cierta característica y es la proporción muestral de los individuos que la cumplen, en una muestra de tamaño n,

entonces, la variable aleatoria sigue una distribución normal √ )

)

Distribución de la proporción muestral.

Si se pretende estudiar cual es la proporción real p de los individuos de una población que cumplen cierta característica, podemos tomar una muestra de tamaño n y calcular la proporción muestral para esa muestra; ahora bien, si repetimos el muestro y obtenemos otra muestra distinta, también de tamaño n, seguro

que obtenemos otra proporción muestral diferente de la primera. En definitiva, si llamamos a la variable aleatoria que toma los distintos valores de las proporciones muestrales, se puede asegurar que cuando el tamaño muestral n es suficientemente grande ) y la proporción real p no es extrema (p no está próxima ni a 0 ni a 1) entonces la variable sigue una distribución normal:

√ )

)

Ejemplos.

1. El 5% de los pasteles que hace un pastelero tiene exceso de peso. La distribución que siguen las proporciones de pasteles con exceso de peso en las muestras de 45 pasteles será:

√

)

2. La cuarta parte de los habitantes de una población africana padece SIDA. La distribución que siguen

las proporciones de habitantes con SIDA en las muestras de 100 habitantes será:

√

)

3. En unas elecciones cierto candidato ha recibido el 30% de los votos. La distribución que siguen las

proporciones de electores que votaron a ese candidato en las muestras de 60 electores será:

√

)

4. Ante una medida adoptada por el gobierno, se sabe que el 65% de la población está a favor de dicha

medida. La distribución que siguen las proporciones en muestras de 100 individuos de esa población será:

√

)


Ejercicio 1.1.

El 10% de los pasteles que hace un pastelero tiene exceso de peso. Tomamos una muestra aleatoria de 60 pasteles.

a) Determina el número esperado de pasteles con sobrepeso en la muestra. b) Determina la distribución que sigue la proporción de pasteles con exceso de peso

en la muestra. c) Calcula la probabilidad de que en la muestra haya al menos cuatro pasteles con

exceso de peso

Ejercicio 1.2.

Dos de cada diez españoles mayores de 60 años padecen hipertensión. Si tomamos una muestra de 40 personas con más de 60 años,

a) ¿Cuál es el número esperado de hipertensos en esa nuestra? b) ¿Qué distribución sigue la proporción de hipertensos en la muestra? c) ¿Qué probabilidad hay de que en la muestra haya menos de 15 hipertensos?


Ejercicio 1.3. En unas elecciones locales el candidato más joven obtuvo el 25% de los votos. Si tomamos una muestra aleatoria de 80 votantes, a) ¿Cuántos votantes de la muestra se espera que escogieran al candidato joven? b) ¿Qué distribución sigue la proporción de votantes que escogieron al candidato

más joven? c) ¿Qué probabilidad hay de que en la muestra haya más de 15 y menos de 20

votantes que escogieron al candidato más joven?

Ejercicio 1.4. Ante una medida adoptada por el gobierno, se sabe que el 35% de la población está a favor de dicha medida. Se toma una muestra de 200 personas. a) ¿Qué número de personas se espera que estén a favor? b) ¿Qué distribución sigue la proporción de personas que están a favor de la

medida? c) ¿Qué probabilidad hay de que más de la mitad de la muestra estén a favor de la

medida?


2. Distribución de la media muestral.

OBJETIVO 2. Conocer la distribución de la medias muestrales: Si X es una variable aleatoria de media y desviación y es la media muestral, en una

muestra de tamaño n, entonces, la variable aleatoria sigue una distribución normal

)

Distribución de la media muestral.

Si se pretende estudiar cual es la media real de una variable aleatoria X cualquiera (no necesariamente normal) con desviación , podemos tomar una muestra de tamaño n y calcular la media muestral para esa muestra; ahora bien, si repetimos el muestro y obtenemos otra muestra distinta, también de tamaño n,

seguro que obtenemos otra media muestral diferente de la primera. En definitiva, si llamamos a la variable aleatoria que toma los distintos valores de las medias muestrales, se puede asegurar que cuando el tamaño muestral n es suficientemente grande ), entonces la variable sigue una distribución normal:

)

Ejemplos.

1. La altura X de los jugadores de la liga ACB sigue una distribución normal con media 196 cm y desviación 12 cm. La distribución que sigue la altura media en las muestras de 60 jugadores será:

)

2. La nota X de Educación Plástica de los alumnos de 2º de ESO sigue una distribución de media 6 y varianza 4. La distribución que sigue la nota media en las muestras de 50 alumnos de 2º de ESO será:

)

3. El tiempo X que dura un parto desde la rotura de aguas hasta el nacimiento del bebé, sigue una

distribución normal de media 8,5 horas y desviación 4,5 horas. La distribución que sigue el tiempo

medio en las muestras de 200 partos será:

)

4. La emisión de óxido de nitrógeno de los vehículos de cierta marca sigue una distribución normal con

media y desviación típica . La distribución que sigue la emisión media en una muestra de 40 vehículos será

)


Ejercicio 2.1.

La altura X de los jugadores de la liga ACB sigue una distribución normal con media 195 cm y varianza 100 cm2.

1. Determina la distribución que sigue la altura media en las muestras de 40 jugadores. 2. Calcula la probabilidad de que en una muestra de 40 jugadores la media sea superior a 2

metros.

Ejercicio 2.2.

La nota X de Educación Plástica de los alumnos de 2º de ESO sigue una distribución de media 7 y varianza 9.

1. Determina la distribución que sigue la nota media en las muestras de 50 alumnos de 2º de ESO.

2. Calcula la probabilidad de que la nota media de Educación Plástica en una muestra de 50 alumnos de 2º de ESO sea mayor que 7 pero menor 8.


Ejercicio 2.3. El tiempo X que dura un parto desde la rotura de aguas hasta el nacimiento del bebé, sigue una distribución normal de media 9 horas y desviación 2 horas. 1. Determina la distribución que sigue el tiempo medio en las muestras de 200 partos. 2. Calcula la probabilidad de que la duración media de 200 partos sea inferior a 8 horas.

Ejercicio 2.4. La emisión de óxido de nitrógeno de los vehículos de cierta marca sigue una distribución normal con media y desviación típica . Se escoge al azar una muestra de 35 vehículos. 1. ¿Cuál es la distribución en el muestreo de la media? 2. Halla la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor que 1,5


3. Distribución de la suma muestral.

OBJETIVO 3. Conocer la distribución de las sumas muestrales: Si X es una variable aleatoria de media y desviación y es la suma de una muestra de

tamaño n, entonces, la variable aleatoria sigue una distribución normal √ )

Distribución de la suma muestral.

Si X es una variable aleatoria cualquiera (no necesariamente normal) con media y desviación , podemos tomar una muestra de tamaño n y sumar todos los valores de la muestra; sea esa suma para esa muestra. Si repetimos el muestro y obtenemos otra muestra distinta, también de tamaño n, seguro que obtenemos otra

suma diferente de la primera. En definitiva, si llamamos a la variable aleatoria que toma los distintos valores de las sumas muestrales, se puede asegurar que cuando el tamaño muestral n es suficientemente grande ), entonces la variable sigue una distribución normal:

√ )

Ejemplos.

1. El peso X de los alumnos de 1º de ESO sigue una distribución normal con media 56 Kg y desviación típica 10 kg. La distribución que sigue la suma de los pesos en las muestras de 400 alumnos será:

√ )

2. La temperatura basal X de los seres humanos sigue una distribución de media 35 ºC y desviación típica 2 ºC. La distribución que sigue la suma de las temperaturas basales en las muestras aleatorias de 50 seres humanos será:

√ )

3. El peso X de los paquetes postales de recorrido nacional sigue una distribución normal de media 5 kg

y varianza 9 kg. La distribución que sigue la suma de los pesos de 80 paquetes postales será:

√ )

4. Las consultas de un médico de cabecera duran una media de 8 minutos, con una desviación típica de 2,3 minutos. La distribución que sigue la suma de los tiempos de atención a 36 pacientes será:

√ )


Ejercicio 3.1.

El peso X de los niños de 4 años sigue una distribución normal con media 20 Kg y desviación típica 5 kg.

1. Determina la distribución que sigue la suma de los pesos en las muestras de 30 niños de 4 años.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de 30 niños de 4 años sea inferior a 550 kg?

Ejercicio 3.2.

La temperatura basal de los seres humanos sigue una distribución de media 35 ºC y desviación típica 2 ºC. Tomamos la temperatura basal a 50 personas

1. Determina la distribución que sigue la suma de dichas temperaturas basales. 2. Calcula la probabilidad de que esa suma sea superior a 1700 ºC


Ejercicio 3.3. El peso de los paquetes postales de recorrido nacional sigue una distribución normal de media 6 kg y varianza 4 kg. En un camión se cargan al azar un total de 40 paquetes postales. 1. Determina la distribución que sigue la suma del peso de esos 40 paquetes postales.

2. ¿Qué probabilidad hay de que el peso total de los paquetes no exceda de 250 kg?

Ejercicio 3.4. Las consultas de un médico de cabecera duran una media de 8 minutos, con una desviación típica de 2,3 minutos. 1. Determina la distribución que sigue la suma de los tiempos de atención a 49 pacientes. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que atienda a 49 pacientes en menos de 6 horas?


4. Distribución de la diferencia de dos medias muestrales.

OBJETIVO 4. Conocer la distribución de la diferencia de dos medias muestrales: Sean X e Y dos variables aleatorias con medias y desviaciones ,

respectivamente. Si es la media muestral de una muestra de X de tamaño e es la

media muestral de una muestra de Y de tamaño , entonces, la variable aleatoria sigue

una distribución normal √ )

( )

)

Distribución de la diferencia de dos medias muestrales.

Si X es una variable aleatoria cualquiera (no necesariamente normal) con media y desviación , podemos tomar una muestra de tamaño y calcular la media muestral para esa muestra.

Del mismo modo, si Y es una variable aleatoria cualquiera (no necesariamente normal) con media y

desviación , podemos tomar una muestra de tamaño y calcular la media muestral para esa muestra.

Podemos entonces hallar la diferencia entre esas medias muestrales . Si repetimos los muestreos de las variables X e Y, y obtenemos otras muestras distintas, también de tamaños y , seguro que obtenemos

otra diferencia entre las medias muestrales . En definitiva, si llamamos a la variable aleatoria que toma los distintos valores de las diferencias entre las medias muestrales, se puede asegurar que cuando los tamaños muestrales y son suficientemente grandes ) , entonces la variable sigue una

distribución normal:

√ )

( )

)

Ejemplos.

1. El peso X de los alumnos de 1º de ESO sigue una distribución normal con media 56 Kg y desviación típica 10 kg. El peso Y de las alumnas de 1º de ESO sigue una distribución normal con media 52 Kg y desviación típica 8 kg. La distribución que sigue la diferencia de los pesos medios en las muestras de 60 alumnos y 70 alumnas será:

√ )

)

)

2. La concentración de glucosa X de los zumos de naranja sigue una distribución con media 0.2 y

desviación típica 0.03. La concentración de glucosa Y de los zumos de limón sigue una distribución con media 0.15 y desviación típica 0.02. La distribución que sigue la diferencia de las concentraciones

de glucosa en las muestras de 80 zumos de naranja y 80 zumos de limón será:

√ )

)

)


Ejercicio 4.1. El peso de los alumnos de 1º de ESO sigue una distribución normal con media 56 Kg y desviación típica 10 kg. El peso de las alumnas de 1º de ESO sigue una distribución normal con media 52 Kg y desviación típica 8 kg. 1. Determina la distribución que sigue la diferencia de los pesos medios en las muestras

de 60 alumnos y 70 alumnas.

2. Calcula la probabilidad de que esa diferencia esté entre 4 y 5 kg.

Ejercicio 4.2. La concentración de glucosa X de los zumos de naranja sigue una distribución con media 0.2 y desviación típica 0.03. La concentración de glucosa Y de los zumos de limón sigue una distribución con media 0.15 y desviación típica 0.02. 1. Determina la distribución que sigue la diferencia de las concentraciones de glucosa en

las muestras de 30 zumos de naranja y 30 zumos de limón. 2. Calcula la probabilidad de que esa diferencia sea inferior 0,04.


Ejercicio 4.3.

Una asociación de consumidores quiere hacer un estudio sobre la duración de los cartuchos de tinta de dos marcas diferentes, A y B, contando el número de hojas que se pueden imprimir en calidad óptima. La impresión media de la marca A es de 310 hojas con una desviación típica de 20, mientras que la media de la marca B es de 320 hojas, con una desviación típica, de 40. 1. Determina la distribución que sigue la diferencia del número medio de impresiones en

las muestras de 30 cartuchos de A y 40 cartuchos de B.

2. Calcula la probabilidad de que esa diferencia sea inferior 15 hojas

Ejercicio 4.4.

En un instituto se elige al azar una muestra de 50 alumnos, los cuales tienen una talla media de 1,73 m y una desviación típica de 0,08 m, y una muestra de 60 alumnas, las cuales tienen una talla media de 1,66 m y una desviación típica de 0,10 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de tallas medias sea mayor de 10 cm?

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