distribucioni normal
TRANSCRIPT
1
Distribucioni normal dhedistribucioni standard normal
Ligjërata e gjashtë
2
Qëllimet e mësimit
• Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në
gjendje që të :
Dini kakrakteristikat e distribucionit normal të
probabilitietit.
Definoni dhe kalkuloni vlerën e t, gjegjësisht Z.
Përcaktoni probabilitetin se një vrojtim gjindet në mes të
dy pikave duke shfrytëzuar distribucionin normal
standard (variablën e standardizuar ose devijimin e
normalizuar)
Përcaktoni probabilitetin që një vrojtim do të jetë mbi ose
nën një vlerë të dhënë duke shfrytëzuar distribucionin
normal standard.
3
Variablat e rastësishmekontinuale -Shembuj
Experimenti Variablarastesishme
Vlerat e
mundshme
Pesha e100 Njerëzve Pesha 45.1, 78, ...
Jetëgjatësia e baterive Orë 900, 875.9, ...
Shpenzimet për ushqimshpenzimet 54.12, 42, ...
Matja e kohës nëMes te dy arritjeve
Kohae arritjes
0, 1.3, 2.78, ...
4
Funksioni i probabilitetitkontinual
1. Formulë matematikore
2. Paraqet të gjitha vlerat e x, &
Frekuencave, f(x)
f(X) - Nuk është probabilitetit
3. Karakteristikat
Sipërfaqja nën lakore është 1
Mund të gjinden probabilitet
më pak se një vlerë e caktuar
. Vlerat
(Vlerat, Frekuencat)
Frekuencat
f(x)
a bx
5
Probabiliteti i variablavetë rastësishme kontinuale
Probabiliteti është
sipërfaqja nën
lakore
© 1984-1994 T/Maker Co.
P c x d( )
f(x)
Xc d
6
Llojet e distribucionit tëvariablave kontinuale
Llojet e distribucioneve kontinuale
Uniform Normal Eksponencial
7
Rëndësia e distribucionitnormal
Shpërndarja normale paraqet shpërndarjen teorike
të probabiliteteve më të rëndësishme për këto
arsye:
1. Një numër i madh i fenomeneve në natyrë dhe
shoqëri kanë përafërsisht shpërndarje normale.
Shembuj tipik janë: gjatësia, pesha, tensioni i
gjakut, rezultatet në testet e intelegjencës,
gabimet gjatë matjeve, etj.
8
Rëndësia e distribucionitnormal
• Në përgjithësi, nëse numër i madh i
faktorëve kanë ndikim të vazhdueshëm,
dhe ndikimi i çdo njërit prej tyre është
shumë i vogël, mund të pritet që
dukuria të ketë shpërndarje normale.
9
Rëndësia e distribucionitnormal
2. Shpërndarja normale mund të shërbejë si
zëvendësues i shkëlqyeshëm i
shpërndarjeve teorike diskrete, sidomos atij
të Poison-it dhe Binomial, për ato vlera të
parametrave që nuk janë të dhënë në
tabelën e probabiliteteve. Me fjalë të tjera,
shumë shpërndarje teorike diskrete, në
kushte të caktuara, tentojnë kah shpërndarja
normale.
10
Rëndësia e distribucionitnormal
3. Nga shpërndarja normale janë
formuar edhe shumë shpërndarje të
tjera të vazhdueshme, që gjithashtu
kanë rëndësi shumë të madhe në
analizën statistikore siç janë ai i
Studenti-it, Shpërndarja hi në
katror, Fisherit, etj.
11
Rëndësia e distribucionitnormal
4. Shpërndarja normale paraqet bazën për
nxjerrjen e konkluzioneve për parametra të
populacionit për shkak të :
a) lidhjes së saj me Teoremën Qendrore
Kufitare dhe
b) për arsye se metodat parametrike kanë
supozimin e përbashkët që tërësia prej nga
merret mostra ka shpërndarje normale.
12
Kurdo që shohim një lakore normale, mundemi që të imagjinojmë një Bar-diagram brenda saj.
•
•13 •15•14 •16•12 •17 •21•20•19•18 •22
13
Shembull: Rezultatet e një kuizi shkollor të 51 studentëve
•
1 •13 • •
•
2
•
3
•
4
•
5
•15•14 •16
•
8•
7•
6
•
9
•12 •17 •21•20•19•18 •22•Rezultatet e kuizit
•Nr
stu
den
tve
14
Mesatarja
12+13+13+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16+16+16+16+17+17+17+17+17+17+17+17+17+18+18+18+18+18+18+18+18+19+19+19+19+19+20+20+20+20+20+21+21+22=867
867/51=17
•
1 •13 • •
•
2
•
3
•
4
•
5
•15•14 •16
•
8•
7•
6
•
9
•12 •17 •21•20•19•18 •22•Rezultatet e kuizit
•Nr
studentv
e
15
Moda
12
13 13
14 14 14 14
15 15 15 15 15 15
16 16 16 16 16 16 16 16
17 17 17 17 17 17 17 17 17
18 18 18 18 18 18 18 18
19 19 19 19 19 19
20 20 20 20
2 121
22
•Rezultatet e kuizit
•
1 •13 • •
•
2
•
3
•
4
•
5
•15•14 •16
•
8•
7•
6
•
9
•12 •17 •21•20•19•18 •22
16
Mediana12,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,1
9,20,20,20,20,21,21,22
•
1 •13 • •
•
2
•
3
•
4
•
5
•15•14 •16
•
8•
7•
6
•
9
•12 •17 •21•20•19•18 •22
•Rezultatet e kuizit
•Nr
studentv
e
17
•Nr
stu
de
ntv
e
• Nga ky shembull mund të përfundojmë se mesatarja, moda dhe
mediana do të bien në të njëjtën vlerë në distribucionin normal
•
1 •13 • •
•
2
•
3
•
4
•
5
•15•14 •16
•
8•
7•
6
•
9
•12 •17 •21•20•19•18 •22
•Rezultatet e kuizit
18
Shpërndarja normale
1. ‘Në formë të ziles&
Simetrike
2. Mesatarja , mediana dhe
moda janë të barabarta
3. ‘Shpërndarja mesatare ’
është 1.33
4. Variabla e rastësishme
ka infinit vleraMesatarja
Mediana
Moda
X
f(X)
19
Funksioni i probabiliteit-formula matematikore
2
2
1
e2
1)(
x
xf
x = Vlera e variablës së rastësishme (- < x < )
= Devijimi standard i popullimit
= 3.14159
e = 2.71828
= Mesatarja e variablës së rastësishme x
Mos e mbani në mend këtë formulë!
20
Shënimi i shpërndarjesnormale
X është N (μ, σ)
Variabla e rastësishme X ka shpërndarje
normale (N) me mesatare μ dhe devijim
standard σ.
X është N(40,1)
X është N(10,5)
X është N(50,3)
21
Efektet e lëvizjes sëparametrave ( & )
X
f(X)
CA
B
22
Probabiliteti ishpërndarjes normale
?)()( dxxfdxcPd
c
c dx
f(x)
Probabiliteti
është nën
lakoren
normale!
?
23
X
f(X)
Numër i pafundëm itabelave
Shpërndarjet normale
dallohen nga mesatarja dhe
devijimi standard.
Secila shpërndarje do
të kërkonte tabelën e
vet.
Që është numër i pafundëm i tabelave!
24
Distribucioni Normal Standard i Probabilitetit
Distribucioni normal me mesatare 0 dhe
devijim standard 1 quhet distribucion
standard normal i probabiliteteve.
Vlera Z ose t: Distanca në mes të vlerës
së selektuar, e shënuar me X dhe
mesatares së populacionit, e ndarë me
devijimin standard të populacionit.
ZX
25
Standardizimi ishpërndarjes normale
X
Një tabelë!
Shpërndarja
normale
= 0
= 1
Z
ZX
Shpërndarja
normale standarde
Z është N(0,1)
26
Shembull i standardizimit
X= 5
= 10
6.2
Shpërndarja
normale
ZX
6 2 5
1012
..
Z= 0
= 1
.12
Shpërndarja normale
standarde
27
Z= 0
= 1
.12
Z .00 .01
0.0 .0000 .0040 .0080
.0398 .0438
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
Sigurimi iprobabiliteteve
.0478
.02
0.1 .0478
Tabela e shpërndarjes
standarde normale (një pjesë)
ProbabilitetetZona e hijëzuar
28
29
30
ShembullP(3.8 X 5)
X= 5
= 10
3.8
Shpërndarja
normale
ZX
3 8 5
1012
..
Z = 0
= 1
-.12
.0478
Shpërndarja
standarde normale
Fusha e hijezuar
31
ShembullP(2.9 X 7.1)
5
= 10
2.9 7.1 X
Shpërndarj
anormale
ZX
ZX
2 9 5
1021
71 5
1021
..
..
0
= 1
-.21 Z.21
.1664
.0832.0832
Shpërndarja
standarde normale
Fusha e hijëzuar
32
33
ShembullP(X 8)
X = 5
= 10
8
Shpërndarja
normale
Shpërndarja
standarde normale
ZX
8 5
1030.
Z = 0
= 1
.30
.1179
.5000.3821
Fusha e hijezuar
34
ShembullP(7.1 X 8)
= 5
= 10
87.1 X
Distribucioni
normal
ZX
ZX
71 5
1021
8 5
1030
..
.
= 0
= 1
.30 Z.21
.0832
.1179.0347
Distribucioni
standard normal
Fusha e hijëzuar
35
SHEMBULL praktik
• Të ardhurat mujore të posa
diplomuarve në një korporatë të
madhe kanë shpërndarje normale me
mesatare aritmetike prej µ= $2000 dhe
devijim standard prej σ= $200. Sa
është vlera e Z për një të ardhur prej
x= $2200? Për një të ardhur prej
X=$1700?2200 2000
1200
XZ
36
SHEMBULL vazhdim
• Për X=$1700,
• Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$ është 1σmbi mesataren aritmetike prej $2000, derisaVlera Z=-1,5 tregon se vlera prej $1700 është1.5 σ nën mesataren aritmetike që është$2000.
1700 20001,5
200
XZ
37
SHEMBULL praktik.
o Përdorimi ditor i ujit për person në komunën X ka shpërndarje normale me mesatare 20 galon dhe me devijim standard 5 galon.
o Rreth 68% e shfrytëzuesve të ujit në komunën X gjendet në mes të cilave vlera?
o Për këtë, rreth 68% e shfrytëzuesve ditor të ujit do të jetë ndërmjet 15 dhe 25 galon.
1 20 1 5( ).
38
SHEMBULL 3
Sa është probabiliteti që një person i zgjedhur rastësisht nga komuna përdorë më pak se 20 galon ujë brenda ditës.
Vlera e Z: Z=(20-20)/5=0. Kështu, P(X<20)=P(Z<0)=0.5
Sa përqind përdorin në mes të 20 dhe 24 galon?
Vlera e Z e lidhur me X=20 është Z=0 dhe me X=24, Z=(24-20)/5=0.8. Kështu, P(20<X<24)=P(0<Z<0.8)=28.81%
39
•- •5
•0 •. •4
•0 •. •3
•0 •. •2
•0 •. •1
•. •0
•x
•f•(
•x
•r •a •l • •i •t •r •b •u •i •o •n •: • • •= •0 •, • • •
• -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P(0<Z<0.8)
=0.2881
SHEMBULL -vazhdim
•0<X<0.8
•
40
Konceptet kyçe
1. Variabla e rastësishme kontinuale
2. Shpërndarja normale
3. Shpërndarja standarde normale
4. Sipërfaqja nën lakoren normale
5. Shpërndarja simetrike
6. Probabilitet e shpërndarjes normale