divergencija i rotor

7/13/2019 Divergencija i Rotor

1/22

1

Sadraj

1 Uvod ...................................................................................................................................2

2 Gradijent .............................................................................................................................3

2.1 Skalarno polje ...............................................................................................................3

2.2 Izvod skalarnog polja po pravcu i gradijent ...................................................................4

2.3 Gradijent u krivolinijskim koordinatama .......................................................................7

2.4 Vektor gradijenta kao normala na povr........................................................................9

3 Divergencija ...................................................................................................................... 10

3.1 Vektorsko polje ........................................................................................................... 10

3.2 Protok vektorskog polja .............................................................................................. 11

3.3 Divergencija................................................................................................................ 12

3.4 Divergencija gradijenta.Laplasijan. Gausova teorema ................................................. 13

4 Rotor ................................................................................................................................. 15

4.1 Klasifikacija vektorskih polja ...................................................................................... 17

5 Primeri .............................................................................................................................. 18

6 Literatura ........................................................................................................................... 22


2/22

2

1 U v o dO vektorima se prvi put govori u delima holandskog fiziara Simona Stevina oko 1600-te

godine. On je dao princip paralelograma sila, pa je fizike veliine predstavljao usmerenimduima. Mehanika, i to njen deo statika, je prva nauka u kojoj je ponikao vektor, a sila je bila

konkretni obrazac vektorske veliine. Razvojem mehanike fiziari su dolazili do otkria izakljuaka, koji su u sebi sadravali odnose izmeu vektorskih veliina. Iako izraavani na

razne, ponekad i vrlo komplikovane naine, zakoni mehanike su se odnosili na usmerene fizikeveliine kako u statici, tako u kinematici i dinamici. Tako 100 godina posle Stevinovog dela

drugi Newton-ov zakon izmeu ostalog pokazuje da su ubrzanje i sila uvek jednako usmereni.Fiziari i matematiari su pronali mnogo vanih odnosa meu vektorima i ne govorei o

vektorima.Prirodnost, praktinost i kratkoa, pa i elegantnost vektorskog izlaganja i raunanja,

obara svaki prigovor. Tako teorija vektora poslednjih decenija predstavlja najelegantniji metodprikazivanja i prouavanja u fizici. Dananji fiziar, inenjer i matematiar ne moe biti na

savremenom nivou nauke i svoga poziva, ako ne poznaje osnovne stavove iz teorije vektora injihovu primenu.

U ovom radu govorimo o skalarnom polju vektora, izvodu vektora po pravcu, gradijentu,divergenciji i rotoru.

Iz elementarne fizike poznato je da se neke fizike veliine mogu prikazivati jednimjedinim brojem, kao na primer vreme, temperature, masa, zapremina itd. Razliite su fizike

veliine alise svaka od njih moe prikazati brojem odgovarajuih jedinica. Odgovarajui brojeviodreenih jedinica ne zahtevaju nove dopunske komponente za karakterisanje veliine koju

prikazuju. Oni se mogu smatrati kao na nekoj skali, dovoljna je samo njihova vrednost. Takvefizike veliine, koje se mogu prikazivati jednim brojem, nazivaju se skalarne veliine ili

skalari.Broj koji takvu veliinu kvantitativno prikazuje naziva se brojna vrednost skalarneveliine.

U fizici su vrlo vane i veliine koje se ne mogu uspeno prikazati jednim brojem. Kao

primer uzmimo kretanje jednog tela pod uticajem drugog tela. Jedna od mera za takvo uzajamnodejstvo jesila.Na neko telo moe delovati vea ili manja sila, dakle govorimo o intenzitetusile.Ali, odmah se postavlja pitanje u kom pravcu deluje ta sila, pa je pravac druga karakteristika

takve fizike veliine. No pravac ima dva smera, pa je za dalje karakteristine veliine potreban ismer. Odmah se uoava da su takve veliine orijentisane i nazivaju se vektorske veliine ili

vektori.

Prema tome, karakteristike vektora su:

Intezitet

Pravac

Smer

U praksi je esto potrebno takama trodimenzionalnog prostora pridruiti neku brojnu

vrednost. To pridruivanje ne treba da zavisi od izbora koordinatnog sistema ili naina zadavanjaobjekta.

Preslikavanje koje takama prostora pridruuje temperature u datoj taki je primer za tuvrstu preslikavanja. Tada, u svakoj taki u sobi, gradijent u toj taki pokazae smer u kojem

temperature raste najbre. Intenzitet gradijenta e odrediti koliko se brzo temperature poveava utom pravcu.


3/22

3

2 G r a d i j e n t2.1 Skalarno polje

Prostor u ijoj je svakoj takiMdefinisana funkcija U(x,y,z) = U(M) = U(

r) (

r je vektorpoloaja takeM) zovemo skalarno polje.

Pod ekviskalarnom povrinom podrazumevamo geometrijsko mesto taaka u kojimafunkcijaima istu vrednost:

U x y z U const ( , , ) 0 (1)

Jednaina (1) predstavlja u stvarijednainu ekviskalarne povri.

Posmatrajmo promenu skalarnog polja U(x,y,z) u pravcu ldefinisanom jedininim vektorom

lo sa

komponentama, tj. koordinatama cos , cos , cos , gde su, kao to znamo, , i uglovi koji

pravac zaklapa sax,yizosom (pozitivan smer) respektivno (Sl.1)

l i j k 0 cos cos cos

Sl.1 Pravac u kome se posmatra promena skalarnog polja u(x,y,z)


4/22

4

2.2 Izvod skalarnog polja po pravcu i gradijentPod izvodom skalarnog poljau(x,y,z) u pravculpodrazumevamo :

U

l

U M U M

l

U

ll llim

( ) ( )lim

0

1

0

(2)

i on se moe interpretirati kao brzina promene polja u takiMu pravcu l.

Da se podsetimo da je prirataj funkcije U, kada l 0 je infinitezimala istog reda kao totalnidiferencijalfunkcije dU, odnosno

U dU O l ( ) (3)

pri emu:

lim( )

l

O l

l00 (4)

Znai da kada l tei nuli priblino istom brzinom tei nuli i prirataj Ui totalni diferencijal

dU, to znai da njihova razlika O( ) tei bre nuli (infinitezimala vieg reda u odnosu na l).

Nakon unoenja (3) u (2)

U

l

u

x

x

l

u

y

y

l

u

z

z

l

O l

lllim

( )

0

Kako je:

x

l

y

l

z

lcos , cos , cos

onda je izvod u smeru ),,(l :

0

0coscoscosl

UlgradU

z

U

y

U

x

U

l

U

(5)

gde je coscoscos0 kjil

.

Da se podsetimo da se vektor sa koordinatama,xU , U

y, U

z naziva gradijent skalarnog

polja:

Ukx

Uj

y

Ui

x

UU

grad (6)


5/22

5

gde je Hamiltonov operatorili nablaoperator i predstavlja simboliki vektor:

xi

y j

zk

(7)

koji ima istovremeno osobine vektora i operatora diferenciranja. Izraz na desnoj strani

jednaine (5) oigledno predstavlja skalarni proizvod vektora gradU sa jedininim vektorom

pravca

l0 , pa konano za izvod polja po pravculmoemo da piemo:

U

lU lgrad

0 (8)

Naveemo sledee osobine gradijenta:

1. gradC=

0 (C= const) (9)

2. grad(C U) = (C U) = C U = C gradU (10)

3. grad(U+V) = (U+V) = U+ V= gradU+gradV (11)

4. grad(UV) = (UV) = U V+V U= UgradV+VgradU (12)

koje mogu jednostavno da se izvedu uz pomo operatora (7).

Poto je promena skalarnog polja po ekviskalarnoj povrini jednaka nuli, jasno je da e izvodpolja u pravcu tangente na ekviskalarnu povrinu (bilo koji pravac koji lei u tangentnoj

ravni) bitijednak nuli:

U

tU tgrad

0 0 (13)

Uz pomo (8) i (13) moemo da zakljuimo da gradUima,

pravac normale na ekviskalarnu povrinu i to je pravac u kome se skalarno poljeu(x,y,z)najbre menja,

smer u komeskalarno polje raste.

Intenzitet koji je jednak maksimalnoj brzini promene poljau takiM:

gradU U

l

U

nmax (14)

Zaista, iz (13) sledi:

gradU t

0

pa je gradUkolinearansavektorom normalena ekviskalarnu povr.


6/22

6

S obzirom da izvod po pravcu predstavlja skalarni proizvod (8):

U

lU U lgrad gradcos( , )

0

on e imati najveu apsolutnu vrednost u pravcu gradijenta jer je tada:

cos( , )gradU l

0 1

a to je pravac normale na ekviskalarnu povr. Pri tom, u smeru gradijenta,

cos( , )gradU l

0 1,

U

lima pozitivnu vrednost to znai da polje u tom smeru raste.

U = U4- U3= U3- U2= U2- U1> 0U3

U4

U2

U1

Sl.2 Ekviskalarne povri U(x,y,z) = Ui i gradijenti

Pri U= const, manje rastojanje izmeu ekviskalarnih povri ukazuje na bru promenu polja -

uporedi duine vektora na slici.

gradU


7/22

7

2.3 Gradijent u krivolinijskim koordinatamaDva najee koriena koordinatna sistema pored Dekatrovog (x,y,z) su cilindrini (r, ,z). i

sferni (r, , ) koordinatni sistem (Sl.3,4)

x r

y rz z

cos

sin

Sl.3 Cilindrine koordinate

Sl.4 Sferne coordinate

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx


8/22

8

To su krivolinijski koordinatni sistemi jer je bar jednaod koordinatnih linija (du nekekoordinatne linije menja se samo jedna od tri koordinate) kriva linija. Tako u cilindrinom

koordinatnom sistemu koordinatne linije r i z su prave, ali -koordinatna linija prestavljakrunicu paralelnu x0y ravni sa centrom koji lei na z osi (Sl.711.a). Dok r-linija sfernog

koordinatnog sistema prava, i -linije su krunice (Sl.7.11b).

U svakoj taki se mogu zamislitijedinini vektori-ortovikoordinatnih linijakoji imaju pravac

tangentena liniju, a smer im ukazuje na smer u kome koordinata raste.

Za sva tri koordinatna sistema je zajedniko da su ortovi meusobno ortogonalni.

Ako jedinine vektore koordinatnih linija u cilindrinom sistemu oznaimo sa

er ,

e i

ez (Sl.3)

a u sfernom sa sa

er ,

e i

e (Sl.4) gradUu krivolinijskim koordinatama je:

cilindrine koordinate:

gradU U

r e

r

Ue

U

z er z

1 (15)

sferne koordinate:

gradUU

re

r

Ue

r

Uer

1 1

sin (16)

Napomena: Napomena Gradijent se, takoe, moe koristiti da se izmeri kako se skalarnopolje menja u drugim smerovima (a ne samo upravcu najve e promene) kori enjem skalarnog

proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najve im nagibom od 40%. Ako put ide ravno uzbrdo,tada je najstrmiji nagib, tako e, 40%. Ako, me utim, put ide oko brda sa uglom u smeru uspona

(vektor gradijenta), tada e imati manji nagib. Na primer, ako je ugao izme u puta u pravcuuspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60, tada e najstrmiji nagib, koji se protee du

puta, biti 20%, to se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60.

Sl.5 Skalarno polje prikazano je crnim i belim podrujem, s tim da crna odgovaranjegovim veim vrednostima, a njegov odgovarajui gradijent je predstavljen plavim strelicama.


9/22

9

2.4 Vektor gradijenta kao normala na povr

Neka je S: F(x,y,z) kjednainapovri S (Slika 5a).Uoimo krivu C koja lei na povri S i na krivoj taku P( x0 , y0 , z0 Neka je dataparametrizacija krive C,

r

(t) (x(t ),y(t),z(t )) , (x0 ,y0 ,z0 ) r(t0) .

Kako je CS, imamo da vai

F (x(t ),y(t),z(t )) k.

Pod pretpostavkom da su sve funkcije diferencijabilne dobijamo da je

Fx((x(t ),y(t),z(t))x '(t) Fy ((x(t),y(t),z(t))y '(t) Fz ((x(t),y(t),z(t))z '(t ) 0 ,

F (x (t ),y (t ),z (t )) r

(t ) 0,

odakle vidimo da je vektor gradijenta funkcije normalan na tangentni vektor na krivu CS, r

.

Slika 6: Vektor gradijenta kao normala na krivu C koja lei na povri S

Kako je Cbila proizvoljna kriva povri S, moemo da zakljuimo da je vektorgradijenta normalan na svaku krivu koja lei na povri S (slika 6)i prolazi kroz takuP, odnosnona tangentnu ravan u takiP (slika 7).

n

(Fx,Fy,Fz)- normala u takiP na povrS


10/22

10

Slika 7: Vektor gradijenta kao normala na tangentnu ravan Slika 8: Vektor gradijenta kao normala na povr

3 D i v e r g e n c i j a3.1 Vektorsko polje

Prostor u ijoj je svakoj taki definisana vektorska funkcija )(rV

nazivamo vektorskim poljem.

Za vektorsko polje moemo da piemo:

V x y z V r V x y z i V x y z j V x y z k x y z( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

r-vektor poloaja take

Vx,Vy,Vz- Dekartove koordinate vektora

V


11/22

11

3.2 Protok vektorskog poljaPod protokom vektora

V kroz povrinu Spodrazumevamo povrinski integral:

I V dSS

(17)

dS

- vektorizovan element povri (Sl.7.11)

dS dS n

0 (18)

n0 -jedinini vektor normale na povr S

Sl. 9

Ako je vektor

V vektor brzine strujanja nekog fluida,

w , tada protok vektora

w kroz nekupovr Spredstavlja zapreminski protok fluida kroz posmatranu povr. Zaista, posmatrajmo

protok vektora

w kroz elementarnu povr dS(Sl.10).

Sl.10 Protok fluida kroz element povri dS

Koliina fluida dF koja protie kroz infinitezimalnu povrinu dSjednaka je onoj koja protie

kroz infinitezimalnu povrinu dSkoja je normalna na vektor brzine

w i predstavlja projekcijupovri dSna povr normalnu na vektor

w , pa imamo:


12/22

12

dF w dS '

Kako je dS dS ' cos (vidi Sl.10), to je:

dF w dS w dS w dS w dS cos cos( , )

pa je ukupan zapreminski protok kroz povr S:

F dF w dS m sSS

( / )3

3.3 Divergencija

Pod divergencijom vektorskog polja

V x y z ( , , ) podrazumeva se skalar:

div

V V

x

V

y

V

z Vx

y z (19)

Moe se pokazati da div

Vpredstavlja tzv. zapreminski izvod:

div

VI

V

V dS

VV VSlim lim

0 0 (20)

gde je protok polja

V kroz zatvorenu povr Skoju ograniava zapremina V. Ako je u pitanju

vektorsko polje brzina tada je:

S

SSdwF

S spovrkrozuticanjenetoza0

spovrkrozisticanjenetoza0

(21)

Znak protoka je rezultat dogovora da se normalan jedinian vektor povri

n0 usmerava

prema spoljnoj strani povri. Tako e u onim delovima povri gde fluid istie, ugao izmeu

dS

i

wbiti otar a skalarni proizvod pozitivan. Tamo gde fluid utie, ugao izmeu dS

i

w bietup, a

w dSnegativno.

Hidrodinamika interpretacija divergencije je: div

w predstavlja jainu ili izdanosttakastog izvora(vidi jedn.20)


13/22

13

Osobine divergencijesu:

1. div

C C C0 ( konstantan vektor) (22)

2. div div( ) ( )CV CV C V C V

(23)

3. div div div( ) ( )

V V V V V V V V 1 2 1 2 1 2 1 2 (24)

4. div div grad( ) ( )U V U V U V V U U V V U

(25)

Divergencija u krivolinijskim koordinatama :

cilindrine koordinate:

div

Vr

r V

r r

V V

zr z1 1( )

(26)

sferne koordinate:

div

Vr

r V

r r

V

r

Vr1 1 1

2

2( )

sin

(sin )

sin (27)

3.4 Divergencija gradijenta.Laplasijan. Gausova teorema

Poto gradUformira jedno vektorsko polje zanimljivo je nai njegovu divergenciju,

div grad( ) ( )U U U U U

x

U

y

U

z

2

2

2

2

2

2

2 (28)

gde je operator delta ili Laplasijan - Laplasov operator:

2

2

2

2

2

2x y z

(29)


14/22

14

Diveregencija gradijenta u krivolinijskim koordinatama:

cilindrine koordinate: Ur r

rU

r r

U U

z

1 12

2

2

2

2 (30)

sferne koordinate: U

r r

rU

r r

U

r

U1 1 12

2

2 2 2

2

2

sin

sin

sin

(31)

Konano navodimo Gausovu teoremu:

V dS V dV V dV S V V

div (32)

koja se direktno izvodi iz (7.27) i moe se razumeti na bazi hidrodinamike interpretacije

protoka vektora i divergencije.

Umeteorologiji nas esto zanima divergencija vetra v , pogotovo horizontalna divergencija:

yvhuvv hhh //

gde su u i v horizontalne komponente vektora vetra u x i y smeru.

Horizontalna divergencija vetra fiziki znai razilaenje vazdunih struja zbog kojih na tommestu dolazi do manjka mase. Zbog zakona ouvanja mase taj manjak se mora nadoknaditi

vertikalnim strujanjem. Pri horizontalnoj konvergenciji dolazi do nagomilavanja mase vazduhate takoe razvijaju kompenzacijska vertikalna strujanja(vidi sliku).

Horizontalna divergencija i konvergencija ilustrovane su na primeru strujanja u anticiklonui ciklonu. Zbog nagomilavanja vazduha tu se razvijaju uzlazna strujanja. U anticiklonu (desno)

vazduh pri tlu divergira te se nedostatak mase kompenzuje razvojem silaznih strujanja. U obasluaja vertikalna strujanja posledica su zakona ouvanja mase. Iz istog razloga vazduh pri tlu

izlazi iz anticiklone i struji prema susednoj cikloni, dok u visini struji od ciklone premaanticikloni.


15/22

15

4 R o t o rVideli smo da divergencija od vektorskog polja dovodi do skalarnog polja. Sada emo

videti kako druga takoe vana diferencijalna operacija od jednog vektorskog polja dovodi do

drugog vektorskog polja, a ta operacija se naziva rotor. U vektorskoj analizi, rotor je vektorskioperator kojipokazuje uestalost rotacije vektorskog polja, odnosno, pravac ose rotacije i

intenzitet rotacije. Moe se opisati i kao gustina cirkulacije (termini rotacija i cirkulacija sukorieni kao objanjenje osobina vektorske funkcije pozicije, uprkos njihovoj moguoj

promenljivosti u vremenu).

Vektorsko polje koje ima rotor jednak nuli naziva se nevrtlono vektorsko polje.

Rotor vektorske veliine A

definie se relacijom :

Sv

ASdv

Arot 1

lim0

Iz ove definicije se moe zakljuiti da je rotA

, mera onih izvora vektora A

u

posmatranoj taki koji stvaraju vrtlonu komponentu vektora A

.

Izraz za rotor u Dekartovom sistemu je:

z

Al

y

Al

x

AlArot zyx

ili pomou determinante:

zyx AAA

zyx

kji

Arot

to se pomou nabla operatora moe napisati u obliku:

AArot

Iz jednaina gradijenta, divergencije i rotora, moe se doi do zakljuka da je mogue definisatigeneralisani operator nabla.

Sv

Sdv

1lim

0


16/22

16

a gradijent, divergenciju i rotor obeleavati sa AV

, i A

, ne ograniavajui se pri tome

na Dekartov pravougli koordinatni system.

Fizika interpretacija: Posmatramo vektor polja i uvodimo cirkulaciju vektora A

dukonture S.

S

dsA

Ako u polju postoje zatvorene linije sila,onda je < 0 ili > 0, ali sigurno razliito od nule.

(moe Sda zahvati jednu ili vie linija sila ali se nee potirati!) Obino vai i obrnuto,

smatramo da vai za sva polja od interesa za fiziku: ako je 0, onda u polju postoje zatvorenelinije sile.

Sl. 12

Zakljuak: projekcija rotora nekog vektora u datoj taki na dati pravac predstavlja

cirkulaciju vektora du ma koje male konture oko te take u ravni normalnoj na pravac,obraunatu po jedinici obuhvadene povrine. Ako je u nekoj taki rot 0 i biramo za

povr takvu da se neka normala poklapa sa pravcem rot , cirkulacija du te konture bide

maksimalna (jer je najveda vrednost projekcije). To znai da se kontura poklapa sa vektorskom

linijom. Prema tome, oko take sa rot 0 postoje zatvorene vektorske linije koje obavijaju

pravac rotora u tim takama (pravilo desne ruke).


17/22

17

4.1 Klasifikacija vektorskih poljaVektorsko polje u ijim je svim takama rot v=0, div v 0, zove se potencijalnoili

bezvrtlono ili laminarno.

Vektorsko polje u ijim je svim takama rot v 0, div v = 0, zove se vrtlonoili solenoidno.

Vektorsko polje u ijim je svim takama rot v=0, div v = 0, zove se Laplasovopolje

.

Vektorsko polje u ijim je svim takama rot v 0, div v 0, zove se sloenopolje.


18/22

18

5 P r i m e r i1. Izraunati gradijent funkcije 22 34),( yxyxzxf u taki (3,5).

Reenje:

Prema definiciji gradijenta imamo jxyiyxjy

f

ix

f

yxgradf )32()38(),(

Zamena x=3 i y=5 daje za ovaj sluaj jiyxgradf 9),(

2. Odredi taku u kojoj je gradijent polja )1ln(y

xz jednakj

i9

16.

Reenje:

jij

yxyi

xy

ygradz

9

161

1 2

Sledi: 11xy

y ;

9

16

)1(

1

xyy;

Iz prve jednaine sledi yxy 1 , a kada uvrstimo ovo u drugu jednainu, dobijamo:

9161

2ypa je

43

2,1y . Na kraju dobijamo da je311x i

37

2x .

Traene take su: )4

3,

3

1(1T i )

4

3,

3

7(2T .


19/22

19

3. Odrediti divergenciju i rotor sledeih poljaa) kzjyixv b) kyxjzxizyv )()()( 222222 c) )( 222 zyxgradv

Reenje:Prema difiniciji divergencije i rotora imamo

a) 3111z

v

y

v

x

vv z

yxdiv

0roty

x

x

yk

z

x

x

zj

z

y

y

zi

zyx

zyx

kji

vvv

zyx

kji

v

zyx

Dobili smo da je 0rot,3div vv

, pa je dato polje potencijalno.

b) Postupajui kao u predhodnom primeru pod a) dobijamo0000

z

v

y

v

x

vv z

yxdiv

kyxjxzizy

xyzxzyzyx

kji

vvvzyx

kji

v

zyx

)(2)(2)(2rot

222222

Imamo da je 0rot,0div vv

odnosno da je polje vrtlono.

c) Prvo pomou definicije gradijenta odreejemo dato polje kzjyixv 222 .6222

z

v

y

v

x

vv z

yxdiv ,

022rot

zyx

zyx

kji

vvv

zyx

kji

v

zyx


20/22

20

4. Izraunati divergenciju jaine elektrinog polja prouzrokovanog takastom koliinomelektriciteta.

Reenje:

a) Vektorsko reenje.Poznato je da je jednaina polja r

r

qkE

3

gde je q data koliina kapaciteta elektriciteta, r

vektor polozaja neke take polja, a koji se

rauna od toga tela do take , k elektrina konstanta sredine, koja se pri usvajanju elektrinogsistema uzima konvencionalno kao jedinica za vakum. Imamo da je

01

331

)(53333

rr

rkqr

kq

rgradrkqrdiv

r

qkr

r

qkdivdivE

b) Analitiko reavanje.Uzmimo koordinatni sistem tako da naelektrisano telo ( koliina elektriciteta, tovar, optereenje)nalazi u koordinatnom poetku. Koordinatne take u kojoj se divergencija trazi oznaimo uopte

x, y, z.Onda se veliine komponente ( koordinate) vektora E:

3r

xkqEx , 3

r

ykqEy , 3

r

zkqEz ,

A rastojanje posmatrane take od koliine elektriciteta ( intenzitet vektora polozaja):222 zyxr

Dalje je )31

()31

(5

2

343

r

x

r

kq

x

r

r

x

r

kq

x

Ex

Analogno se dobija

)31

(5

2

3 r

y

rkq

y

Ey, )

31(

5

2

3 r

z

rkq

z

Ez .

Prema tome je

0divE .

Dobijeni rezultat vai za sve take, osim za taku u kojoj se nalazi koliina elektriciteta q, jer

tada 0r , pa vektor Enema smisla za tu taku.


21/22

21

5. Izraunaemo rotor elektrinog polja prouzrokovanog takastim naelektrisanjem.Reenje:

a) Vektorsko reavanjePoznato je da je

rr

qkE

3.

Prema definiciji dobija se

rr

r

r

kq

r

kqgradrrrot

r

kqr

r

qrotkrotE

4333

3.

Kakoje vektorski proizvod proizvod dva vektora jednak nuli, bie

0rotE .b) Analitiko reavanje.

Kako je r

r

qkE

3, odnosno

3

r

xkqEx , 3

r

ykqEy , 3

r

zkqEz , bie

zyx EEE

zyx

kji

rotE

Odavde je

033

55 r

kqyz

r

kqyz

z

E

y

ErotE

yz

x.

Takoe su jednake nulii ostale dve komponente, te je 0rotE .

6. Za dato polje 133 223 xyyxxU izraunaj izvod u taki )3,1(1T prema taki

)5,6(2T

Reenje:

Raunamo prema formuli gradUll

U

l

U0

0

.

jijiTTl

43)15()36(21

jiji

l

5

4

5

3

166

430

jxyxiyxyxgradU

)63()363( 222

a u )3,1(1T : jigradUT

9121

05

36

5

36912

5

4

5

3

0

jijil

U


22/22

22

6 L i t e r a t u r a[1] D. Kuzmanovi, A. Sedmak, I. Obradovi, D. Nikoli, Matematika fizika, Rudarsko-geoloki

fakultet, Beograd 2003

[2] M. Ivanovi, Vektorska analiza, Nauna Knjiga, Beograd 1971[3] B. Apsen, Rijeeni zadaci vie matematik 3, Tehnika Knjiga, Zagreb 1980[4] Internet..

divergencija i rotor

Documents