divisão de polinomios
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1
Integração de funções racionais.
Sejam 0,)( 01
22
11 ≠+++++= −
− mm
mm
mm aaxaxaxaxaxP L
e 0,)( 01
22
11 ≠+++++= −
− nn
nn
nn bbxbxbxbxbxQ L
polinómios de variável real com coeficientes reais. Definição. Função racional é qualquer função )(xf representável por um quociente de
dois polinomios, isto é, )(
)()(
xQ
xPxf
n
m= .
Consideramos, sem restringir a generalidade, que estes polinómios não têm raizes comuns.
Se a ordem do polinómio ao numerador e inferior ao do denominador, nm< ,
diz-se que a função racional )(
)()(
xQ
xPxf
n
m= é regular.
Se a ordem do polinómio ao numerador e superior ou igual ao do denominador,
nm≥ , diz-se que a função racional )(
)()(
xQ
xPxf
n
m= é irregular.
Exemplos de funções racionais:
14
2734)(
3
245
+−−+−=
xx
xxxxf função racional irregular.
13
2)(
35
235
+−++−=
xxx
xxxxf função racional irregular.
1
23)(
24
23
+−−+=
xx
xxxf função racional regular.
14
3)(
3 +−=
xxxf função racional regular.
Se a função racional )(
)()(
xQ
xPxf
n
m= é irregular, dividindo o polinómio do
numerador pelo polinómio do denominador (segundo a regra de divisão dos polinómios) podemos representar a função inicial (irregular) como soma de um polinómio e uma função regular:
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxQ
xQ
xP
nn
m += ,
2
em que )(xQ é um polinómio e representa o quociente da divisão do polinómio do
numerador pelo polinómio do denominador e )(
)(
xQ
xR
n
uma fracção regular onde )(xR
é o resto da divisão.
Regra de divisão dos polinómios.
Para dividir o polinómio do numerador pelo polinómio do denominador aplicamos um algoritmo semelhante ao algoritmo da divisão utilisado na aritmética: Denotamos: Dividendo: 0,)( 01
22
11 ≠+++++= −
− mm
mm
mm aaxaxaxaxaxP L .
Divisor: 0,)( 012
21
1 ≠+++++= −− n
nn
nnn bbxbxbxbxbxQ L .
Quociente: )(xQ . Resto da divisão: )(xR . Passo 1. Esrevemos os polinómios )(xPm e )(xQn na ordem decrescente dos
expoentes dos seus termos e complectamo-los com os termos de coeficientes zero. Passo 2. Dividimos o termo de maior grau do dividendo )(xPm pelo termo de maior
grau do divisor )(xQn . Obtêm-se, desta forma, o primeiro termo do quociente )(xQ .
A seguir, multiplicamos o termo obtido pelo divisor e subtraímos o produto obtido do dividendo.
Caso o polinómio que representa a diferença obtida tenha grau maior ou igual ao do divisor, ele passa a ser um novo dividendo e repete-se o algoritmo a partir do 2º passo.
Caso o polinómio que representa a diferença obtida tenha grau inferior ao do divisor ele representa o resto )(xR e portanto obtemos a representação
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxQ
xQ
xP
nn
m += .
Exemplos de divisão de polinómios:
Exemplo 1. Sejam 2734)( 245
5 −+−= xxxxP e 14)( 33 +−= xxxQ .
Passo 1.
207034)( 23455 −⋅++⋅+−= xxxxxxP e 140)( 23
3 +−⋅+= xxxxQ .
Passo 2.
2
23
________________________________________________234
2345
2345
4
140
203163
41604
207034
x
xxx
xxxx
xxxx
xxxxx +−⋅+
−⋅+++−
+−⋅+
−⋅++⋅+−−
3
► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau maior ao do divisor e repetimos o passo 2. Repetição do Passo 2.
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
34
140
23916
31203
203163
41604
207034
2
23
_____________________________________________23
234
________________________________________________234
2345
2345
−+−⋅+
−+−+
−+⋅−−
−⋅+++−
+−⋅+
−⋅++⋅+−
−
−
► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau igual ao do divisor e repetimos o passo 2. Repetição do Passo 2.
1634
140
18879
1684016
23916
31203
203163
41604
207034
2
23
______________________________________________2
23
_____________________________________________23
234
________________________________________________234
2345
2345
+−+−⋅+
−+−
+−⋅+
−+−
−+⋅−−
−⋅+++−
+−⋅+
−⋅++⋅+−
−
−
−
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau inferior ao do divisor e portanto temos:
18879)( 2 −+= xxxR , 1634)( 2 +−= xxxQ e
14
188791634
14
188791634
14
27343
22
3
22
3
245
+−+−−+−=
+−−+−++−=
+−−+−
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo 2. Sejam 3)( 4
4 −= xxP e 1)( 22 += xxQ .
Passo 1.
3000)( 2344 −⋅+⋅+⋅+= xxxxxP e 10)( 2
2 +⋅+= xxxQ .
4
Passo 2.
2
2
________________________________________________2
234
234
10
30
0
3000
x
xx
xx
xxx
xxxx +⋅+
−⋅+−
+⋅+
−⋅+⋅+⋅+−
► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau igual ao do divisor e repetimos o passo 2. Passo 2.
1
10
2
10
30
0
3000
2
2
_________________________________________
2
________________________________________________2
234
234
−+⋅+
−
−⋅+−
−⋅+−
+⋅+
−⋅+⋅+⋅+
−
−
x
xx
xx
xx
xxx
xxxx
► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau inferior ao do divisor e portanto temos:
2)( −=xR , 1)( 2 −= xxQ e
1
21
1
21
1
32
2
2
2
2
4
+−−=
+−+−=
+−
xx
xx
x
x.
Por conseguinte a integração de uma função racional irregular reduz-se a
integração de um polinómio e uma função racional regular. Como a integração de um polinómio não representa dificuldades o trabalho consiste em integrar as funções racionais regulares.
Decomposição das funções racionais regulares em fracções elementares.
Na álgebra demonstram-se : Teorema 1. Qualquer polinómio, cujos coeficientes são números reais, pode ser representado na forma
stss
tkrk
rrn qxpxqxpxxxxAxQ )...()()...()()()( 21
1122
21
1 ++++−−−= ααα . (1) onde: a) kααα ,...,, 21 são as raizes reais, respectivamente, de multiplicidades krrr ,...,, 21 do
polinómio )(xQn ;
5
b) Os polinómios quadraticos sjqxpx jj ,,1,2L=++ , não têm raizes reais e na
factorização de )(xQn têm, respectivamente, as multiplicidades sjt j ,,1, L= ;
c) nttrreNttrrRqpqp skskss =+++++∈∈ 2...2...,...,,,...,,,,...,, 111111 ;
A expressão (4) diz-se decomposição do polinómio )(xQn em factores do
primeiro ou segundo grau .
Teorema 2. Se a função racional )(
)(
xQ
xR
n
é regular e o polinómio )(xQn é na forma (1)
e verifica as condições a), b) e c), então a função pode ser representada num modo unívoco na forma
+−
++−
++−
++−
++−
++−
=kr
kr
kir
i
ir
ir
r
n x
C
x
C
x
B
x
B
x
A
x
A
xQ
xR
)(......
)(......
)(...
)(
)( 11
11
1
1
1
αααααα
s
ss
tss
tt
sst
tt
qxpx
VxU
qpx
VxU
qxpx
NxM
qxpx
NxM
)(......
)(...
22
11
112
112
11
1
11
++
+++
+++
++++
+++
+++
+ ; (2)
com Rxqxpx jj ∈∀≠++ ,02 e RqpqpVUNMBA issstst
∈α,,,...,,,,,...,,,...,,..., 111111
para todos sjki ,...,2,1;,...,2,1 == .
A expressão (2) representa o desenvolvimento de uma função racional regular
)(
)(
xQ
xR
n
em fracções elementares e tem significado para todos kix i ,,1, L=≠ α .
Os coeficientes st
VAA ,...,, 21 calculam-se aplicando o método dos coeficientes
indeterminados.
Nota: ► Se ix α= é uma raiz real de multiplicidade um do polinómio )(xQn da função
racional regular )(
)(
xQ
xR
n
então a essa raiz no desenvolvimento da função em fracções
elementares corresponde a fracção elementar ix
A
α−.
► Se ix α= é uma raiz real de multiplicidade 1>ir do polinómio )(xQn da função
racional regular )(
)(
xQ
xR
n
então a essa raiz no desenvolvimento da função em fracções
elementares corresponde a seguinte soma de ir fracções elementares:
6
444444 3444444 21termosirdesoma
iri
ir
ii x
A
x
A
x
A
)(...
)( 221
ααα −++
−+
−.
► Se o polinómio quadratico jj qxpx ++2 , não têm raizes reais e na factorização
de )(xQn têm a multiplicidade 1 então a esse polinómio quadratico no
desenvolvimento da função em fracções elementares corresponde a fracção elementar
qxpx
BAx
j +++
2.
► Se o polinómio quadratico jj qxpx ++2 , não têm raizes reais e na factorização
de )(xQn têm a multiplicidade it então a esse polinómio quadratico no
desenvolvimento da função em fracções elementares corresponde a seguinte soma de
it fracções elementares:
( ) ( )44444444444 344444444444 21
LL
termositdesoma
it
j
itit
jj qxpx
BxA
qxpx
BxA
qxpx
BxA
++
+++
++
++
++
+222
222
11.
Exemplos de decomposição das funções racionais regulares em fracções
elementares.
Exemplo 3. ( )( )3
2
21
33)(
+−+−=
xx
xxxf .
A função é regular e o polinómio do denominador é representado em produto de
factores de primeiro grau: o factor 1−x tem a multiplicidade 1 e o factor 2+x tem a multiplicidade 3. Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares ao
factor 1−x corresponde a fracção elementar 1−x
A e ao factor 2+x corresponde a
soma de três fracções elementares ( ) ( )3
32
21
222 ++
++
+ x
B
x
B
x
B.
Portanto
( )( ) ( ) ( )33
221
3
2
222121
33)(
++
++
++
−=
+−+−=
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
xxxf .
Os coeficientes 321 ,,, BBBA calculam-se aplicando o método dos
coeficientes indeterminados.
7
Exemplo 4. ( )( )22
23
11
124)(
++
−−+=xx
xxxxf .
A função é regular e o polinómio do denominador é o produto do factor de primeiro grau 1+x de multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 12 +x de multiplicidade 2. Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares ao
factor 1+x corresponde a fracção elementar 1+x
A e ao factor 12 +x corresponde a
soma de duas fracções elementares ( )22
222
11
11 +
++
++
x
CxB
x
CxB.
Portanto
( )( ) ( )22
222
1122
23
11111
124)(
+
++
++
++
=++
−−+=x
CxB
x
CxB
x
A
xx
xxxxf .
Os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA calculam-se aplicando o método dos
coeficientes indeterminados.
Exemplo 5. ( ) ( ) ( )5411
12)(
2222
23
++++
−+=xxxx
xxxf .
A função é regular e o polinómio do denominador é o produto de 3 factores: do factor de primeiro grau 1+x de multiplicidade 2; do factor de segundo grau sem raizes reais 12 +x de multiplicidade 2; do factor de segundo grau sem raizes reais 542 ++ xx de multiplicidade 1; Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares temos:
ao factor 1+x corresponde a soma de duas fracções elementares ( )2
21
11 ++
+ x
A
x
A;
ao factor 12 +x corresponde a soma de duas fracções elementares
( )22
222
11
11 +
++
++
x
CxB
x
CxB;
ao factor 542 ++ xx corresponde a fracção elementar 542 ++
+xx
EDx
Portanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5411115411
12222
222
112
21
2222
23
++++
+
++
++
++
++
=++++
−+xx
EDx
x
CxB
x
CxB
x
A
x
A
xxxx
xx.
Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando o
método dos coeficientes indeterminados.
8
Exemplo 6. ( ) ( )94)(
222 ++=
xx
xxf .
A função é regular e o polinómio do denominador é o produto de 2 factores: do factor de segundo grau sem raizes reais 42 +x de multiplicidade 2; do factor de segundo grau sem raizes reais 92 +x de multiplicidade 1; Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares temos: ao factor 42 +x corresponde a soma de duas fracções elementares
( )22
222
11
44 +
++
++
x
CxB
x
CxB;
ao factor 92 +x corresponde a fracção elementar 92 +
+x
ExD.
Portanto
( ) ( ) ( ) 94494)(
222
222
11
222 ++
++
++
++
=++
=x
ExD
x
CxB
x
CxB
xx
xxf .
Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando o
método dos coeficientes indeterminados.
Método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1. Multiplicamos ambas partes da expressão (2) por )(xQn e fazemos as
operações de multiplicação e redução na parte direita obtendo uma igualdade entre dois polinómios; Passo 2. Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de x e obtemos um sistema de equações lineares com as incognitas
stVAA ,...,, 21 ,
Passo 3. Resolvendo o sistema obtemos os valores dos coeficientes
stVAA ,...,, 21 .
Exemplos de aplicação do método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo 7. Desenvolver a função racional regular xxx
xxf
44
128)(
35
3
++−= em
fracções elementares. Resolução:
A função xxx
xxf
44
128)(
35
3
++−= é regular.
9
Representemos o denominador em produto de factores de primeiro ou segundo grau.
( ) ( )( ) ( )222222435 2444444 +=++=++=++ xxxxxxxxxxx .
Portanto ( ) 22
3
35
3
2
128
44
128)(
+
−=++
−=xx
x
xxx
xxf .
O polinómio do denominador é o produto do factor de primeiro grau x de
multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 22 +x de multiplicidade 2.
Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares ao factor x
corresponde a fracção elementar x
A e ao factor 22 +x corresponde a soma de duas
fracções elementares ( )22
222
11
22 +
++
++
x
CxB
x
CxB, isto é,
( ) ( )22
222
1122
3
35
3
222
128
44
128)(
+
++
++
+=+
−=++
−=x
CxB
x
CxB
x
A
xx
x
xxx
xxf
Na continuação aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para calcular os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA
Multiplicando as partes da expressão ( ) ( )22
222
1122
3
222
128
+
++
++
+=+
−
x
CxB
x
CxB
x
A
xx
x por
22 )2( +xx obtemos:
( ) ( ) ⇒++
+++
++
++=++
− 22
22
2222
2112222
22
3
)2(2
)2(2
)2()2(2
128xx
x
CxBxx
x
CxBxx
x
Axx
xx
x
( ) ( ) ⇒⋅+++⋅⋅+++=− xCxBxxCxBxAx 22
211
223 )2()2(128
( ) ( ) ⇒+++⋅++++=− xCxBxxCxBxxAx 22
23
11243 )2()44(128
( ) ( ) ⇒++++++++=− xCxBxCxCxBxBxxAx 2
221
31
21
41
243 22)44(128
AxCCxBBAxCxBAx 4)2()24()(128 212
213
14
13 ++++++++=− .
Igualando os coeficientes de 01234 ,,,, xxxxx obtemos o sistema:
10
−==+=++==+
124
02
024
8
0
21
21
1
1
A
CC
BBA
C
BA
Da quinta equação do sistema obtemos 3−=A e substituindo na primeira equação temos 31 =−= AB . Da segunda equação temos 81 =C e da quarta
162 12 −=−= CC . Da terceira equação obtemos 624 12 =−−= BAB . Portanto o desenvolvimento da função racional regular em fracções elementares é :
22235
3
)2(
166
2
833
44
128
+−+
+++−=
++−
x
x
x
x
xxxx
x.
Exemplo 8. Desenvolver a função racional regular ( )( )3
2
21
33)(
+−+−=
xx
xxxf em
fracções elementares. Resolução: Do exemplo 3 temos:
( )( ) ( ) ( )33
221
3
2
222121
33
++
++
++
−=
+−+−
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
xx.
Multiplicando a expressão ( )( ) ( ) ( )3
32
213
2
222121
33
++
++
++
−=
+−+−
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
xx
por ( )( )321 +− xx obtemos:
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ++−
+++−
−=+−
+−+− 3133
3
2
212
211
2121
33xx
x
Bxx
x
Axx
xx
xx
( )
( )( )( )
( )( ) ⇒+−+
++−+
+ 3
333
22 21
221
2xx
x
Bxx
x
B
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⇒−++−++−++=+− 12121233 322
132 xBxxBxxBxAxx
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−+−++−+++++=+− 1243812633 3
22
231
232 xBxxBxxBxxxAxx
( ) ( ) ( ) +⋅+++⋅+++⋅+=+− xBBAxBBAxBAxx 32
221
31
2 123633
⇒−−−+ 321 248 BBBA
( ) ( ) ( ) +⋅+++⋅+++⋅+=+−+⋅ xBBAxBBAxBAxxx 322
213
123 1236330
⇒−−−+ 321 248 BBBA
11
Igualando os coeficientes de 0123 ,,, xxxx obtemos o sistema:
⇔
−=−=−=
=
=−−−−=++
=++=+
144
133
122
11
321
32
21
1
8
12
6
3248
312
136
0
LLL
LLL
LLL
LL
BBBA
BBA
BBA
BA
⇔
−=−=
==
=−−−−=++−
=+−=+
244
233
22
11
321
321
21
1
4
4
3212
312
13
0
LLL
LLL
LL
LL
BBB
BBB
BB
BA
⇔
−====
−=−−−=+−
=+−=+
344
33
22
11
32
32
21
1
216
73
13
0
LLL
LL
LL
LL
BB
BB
BB
BA
=−−=+−
=+−=+
133
73
13
0
3
32
21
1
B
BB
BB
BA
Então temos: 3
133 −=B ,
9
82 =B ,
27
11 −=B e
27
1=A
Portanto o desenvolvimento da função racional regular em fracções elementares é :
( )( ) ( ) ( )=
+
−+
++
+
−+
−=
+−+−
323
2
23
13
29
8
227
1
127
1
21
33
xxxxxx
xx
( ) ( )32 2
1
3
13
2
1
9
8
2
1
27
1
1
1
27
1
+⋅−
+⋅+
+⋅−
−⋅=
xxxx.
12
Integração de fracções racionais elementares. Na decomposição de funções racionais em fracções elementares (ver (2)) obtemomos quatro tipos de fracções elementares:
T1. ;α−x
A
T2. );,1(,)(
Nrrx
Ar
∈>− α
T3. ;04
0,2
2
2
<−⇔≠++
+++
qp
qpxxqpxx
BAx
T4. Nrrqp
qpxxqpxx
BAxr
∈>
<−⇔≠++
+++
,1,04
0,)(
22
2.
Os integrais das fracções elementares de tipos T1 e T2 são imediatos:
T1: .ln)(
CxAx
xdAdx
x
A +−⋅=−−⋅=
− ∫∫ ααα
α
T2:
.))(1(1
)()()(
)( 1
1
Cxr
AC
r
xAxdxAdx
x
Ar
rr
r+
−−−=+
+−−⋅=−−⋅=⋅
− −
+−−
∫∫ αααα
α
T3: Para integrar uma fracção de terceiro tipo separamos o quadrado perfeito em denominador:
.42
222 q
ppxqpxx +−
+=++
Substituindo 22
42aq
pet
px −=−=+ vem .
2dtdxe
ptx =−=
Por conseguinte
=+
⋅
−++
⋅=⋅+
+−=⋅
+++
∫∫∫∫ 2222222 22
at
dtApB
at
tdtAdt
at
BAp
Atdx
qpxx
BAx
=+
⋅
−++
⋅= ∫∫ 2222 2
2
2 at
dtApB
at
tdtA =+
⋅
−+++⋅ ∫∫ 2222
22
2
)(
2 at
dtApB
at
atdA
=+
⋅⋅
−++⋅= Ca
tarctg
a
ApBat
A 1
2ln
222
.2
1
2ln
22 C
a
p
a
xarctg
a
ApBqpxx
A +
+⋅
−+++⋅=
13
T4: Calculemos o integral de uma fracção de quarto tipo. Analogamente como acima
.42
222 q
ppxqpxx +−
+=++ 22
42aq
pet
px −=−=+
.2
dtdxep
tx =−=
Por conseguinte
.)(2)()(
2)( 2222222 ∫∫∫∫ +
⋅
−++
⋅=+
+−=
+++
rrrr at
dtApB
at
tdtAdt
at
BAp
Atdx
qpxx
BAx
Para calcular o primeiro integral fazemos a substituição )(2
1 22 atddtt +⋅= .
Então
.))(1(2
1)()(
2
1
)(
)(
2
1
)( 122
2222
22
22
22C
atratdat
at
atd
at
tdtr
r
rr+
+−=++=
++=
+ −
−
∫∫∫
Calculemos o segundo integral .)( 22
2
∫ + rat
dta Escrevemos o segundo integral na forma
.)(
122
2
2 ∫ + rat
dta
a
Na continuação fazendo em numerador a substituição 2222 tata −+= obtemos:
=⋅+
−+=+
=+ ∫∫∫ dt
at
tat
aat
dta
aat
dtarrr )(
1
)(
1
)( 22
222
222
2
222
2
=⋅+
⋅−⋅++⋅= ∫∫ dt
at
t
adt
at
at
a rr )(
1
)(
122
2
222
22
2
=⋅+
⋅−⋅+
⋅= ∫∫ − dtat
t
adt
ata rr )(
1
)(
1122
2
21222 (*)
Calculemos o segundo integral aplicando a integração por partes:
∫∫ ⋅−⋅=⋅ dUVVUdVU .
Fazendo
rat
tdtdVtU
)(,
22 +==
obtemos
,dtdU =
14
.)(
1
)1(2
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
2
1
)( 12222
22
22
2
2222 −+⋅
−=
++=
+=
+=
+= ∫∫∫∫ rrrrr atrat
atd
at
td
at
tdt
at
tdtV
Portanto na continuação temos:
(*)= =
+−−
+−−
+ ∫∫ −−− 12212221222 )(22
1
))(22(
1
)(
11rrr at
td
ratr
t
adt
ata
.)(22
32
))(22(
11221222
Cat
dt
r
r
atr
t
a rr+
+−−+
+−= ∫ −−
Obtemos a fórmula de recorrência
Cat
dt
r
r
atr
t
aat
dtrrr
+
+⋅
−−+
+−=
+ ∫∫ −− 122122222 )(22
32
))(22(
1
)(
que permite diminuir o grau da expressão do denominador no integral ∫ + rat
dt
)( 22.
15
Exemplos de cálculo de integrais indefinidos. Integração de funções racionais.
►1) ∫ ⋅+−
+xd
xx
x
23
122
.
A função integranda é função racional regular. Determinamos as raizes do polinómio do denominador.
212
13
2
8930232 =∨=⇒
±=−±=⇒=+− xxxxx .
Portanto o polinómio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:
21)2()1(
12
23
122 −
+−
=−−
+=+−
+x
B
x
A
xx
x
xx
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
⇒−+−=+⇒−
+−
=−−
+=+−
+BBxAAxx
x
B
x
A
xx
x
xx
x212
21)2()1(
12
23
122
( ) )2(12 BAxBAx −−++=+ .
Obtemos o sistema de equações lineares:
=−−=+
,12
,2
BA
BA
Determinemos a solução do sistema :
⇔
=−=+
⇔
+=++−−=+
⇔
=−−=+
,3
,2
,21)(2
,2
,12
,2
A
BA
BABA
BA
BA
BA
=−=
.5
,3
B
A
Portanto 2
5
1
3
)2()1(
12
23
122 −
+−
−=−−
+=+−
+xxxx
x
xx
x
e
=⋅−
+⋅−
−=⋅
−+
−−=⋅
+−+
∫∫∫∫ xdx
xdx
xdxx
xdxx
x
2
5
1
3
2
5
1
3
23
122
=−⋅−
+−⋅−
−=⋅−
+⋅−
−= ∫∫∫∫ )2(2
15)1(
1
13
2
15
1
13 xd
xxd
xxd
xxd
x
Cxnlxnl +−+−−= 2513 . ■
16
2) ∫ ⋅−++−
xdxx
xx
)1()2(
2432
2
.
A função integranda é função racional regular
−++−==
)1()2(
243
)(
)()(
2
2
3
2
xx
xx
xQ
xPxf .
O polinómio do denominador, )1()2()( 2
3 −+= xxxQ , tem três raizes reais:
2−=x de multiplicidade 2 e 1=x de multiplicidade 1.
Portanto a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:
1)2(2)1()2(
24322
2
−+
++
+=
−++−
x
C
x
B
x
A
xx
xx.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
⇒−
++
++
=−++−
1)2(2)1()2(
24322
2
x
C
x
B
x
A
xx
xx
⇒++−+−+=+− 22 )2()1()1()2(243 xCxBxxAxx
⇒+++−+−+=+− )44()1()2(243 222 xxCxBxxAxx
⇒+++−+−+=+− CCxxCBxBAxAxAxx 442243 222
)42()4()(243 22 CBAxCBAxCAxx +−−+++++=+− .
Obtemos o sistema de equações lineares:
=+−−−=++
=+
242
44
3
CBA
CBA
CA
Determinemos a solução do sistema :
⇔
=+−−=+
+−=⇔
=+−+−−−=+++−
+−=⇔
=+−−−=++
=+
86
73
3
24)3(2
443
3
242
44
3
CB
CB
CA
CBC
CBC
CA
CBA
CBA
CA
=
−=
=
⇔
=−−=+−=
⇔
=+−−−−−=+−=
9
13
229
26
19
37
3
86)37(
37
3
C
B
A
C
CB
CA
CC
CB
CA
17
Portanto 1
9
1
)2(3
22
29
26
)1()2(
24322
2
−+
+
−+
+=
−++−
xxxxx
xx
e
=⋅
−+
+
−+
+=⋅
−++−
∫∫ xdxxx
xdxx
xx
19
1
)2(3
22
29
26
)1()2(
24322
2
=⋅−
⋅+⋅+
⋅−⋅+
⋅= ∫∫∫ xdx
xdx
xdx 1
1
9
1
)2(
1
3
22
2
1
9
262
=−⋅−
⋅++⋅+
⋅−+⋅+
⋅= ∫∫∫ )1(1
1
9
1)2(
)2(
1
3
22)2(
2
1
9
262
xdx
xdx
xdx
=+−⋅++−
+⋅−+⋅=+−
Cxnlx
xnl 19
1
12
)2(
3
222
9
26 12
Cxnlx
xnl +−⋅++
⋅++⋅= 19
1
2
1
3
222
9
26. ■
►3) ∫ ⋅−−+−
xdxx
xx
32
2522
3
.
A função integranda é função racional irregular. Dividimos o polinómio do
numerador pelo polinómio do denominador e representamos a função integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular:
42
32
149
1284
24
642
252 2
2
2
23
3
+
−−
+−−
++
−−
+−
−−−−−−−−−−−−−−−−−
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−
x
xx
x
xx
xx
xxx
xx
Daqui resulta que a representação da função racional irregular como a soma de um polinómio e uma função racional regular é:
32
14942
32
25222
3
−−+++=
−−+−
xx
xx
xx
xx.
Portanto
=⋅
−−+++=⋅
−−+−
∫∫ xdxx
xxxd
xx
xx
32
14942
32
25222
3
18
( )*32
1494
22
32
14942
2
2
2=⋅
−−+++⋅=⋅
−−+++⋅= ∫∫∫∫ xd
xx
xx
xxd
xx
xxdxdx
No integral obtido a função integranda, 32
149)(
2 −−+=
xx
xxf , é racional regular.
Determinamos as raizes do polinómio do denominador.
312
42
2
12420322 =∨−=⇒
±=+±=⇒=−− xxxxx .
Portanto o polinómio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:
31)3()1(
149
32
1492 −
++
=−+
+=−−
+x
B
x
A
xx
x
xx
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
⇒++−=+⇒−
++
=−+
+=−−
+BBxAAxx
x
B
x
A
xx
x
xx
x3149
31)3()1(
149
32
1492
( ) )3(149 BAxBAx +−++=+ .
Obtemos o sistema de equações lineares:
=+−=+
,413
,9
BA
BA
Determinemos a solução do sistema :
⇔
=+−−=
⇔
=+−−−=
⇔
=+−=+
,14427
,9
,14)9(3
,9
,143
,9
B
BA
BB
BA
BA
BA
=
−=⇔
=
−=
.4
41
,4
5
,4
41,9
B
A
B
BA
Portanto 3
4
41
14
5
)3()1(
149
32
1492 −
++
−=
−++=
−−+
xxxx
x
xx
x
e na continuação obtemos
( ) =⋅−
⋅+⋅+
⋅−+=⋅
−+
+
−++= ∫∫∫ xd
xxd
xxxxd
xxxx
3
1
4
41
1
1
4
54
34
41
14
5
4* 22
Cxnlxnlxx +−⋅++⋅−+= 34
411
4
542 . ■
19
►4) ∫ ⋅−
++xd
x
xx
1
134
46
.
A função integranda é função racional irregular. Dividimos o polinómio do
numerador pelo polinómio do denominador e representamos a função integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular:
13
1
23
1
13
33
13
2
4
2
4
24
26
46
+
−
+
−
++
−
++
−−−−−−−−−−−−−−−−−
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−
x
x
x
x
xx
xx
xx
Daqui resulta que a representação da função racional irregular como a soma de um polinómio e uma função racional regular é:
1
2313
1
134
22
4
46
−+++=
−++
x
xx
x
xx.
Portanto
=⋅
−+++=⋅
−++
∫∫ xdx
xxxd
x
xx
1
2313
1
134
22
4
46
( )*1
23
33
1
233
4
23
4
22 =⋅
−+++⋅=⋅
−+++⋅= ∫∫∫∫ xd
x
xx
xxd
x
xxdxdx
No integral obtido a função integranda 1
23)(
4
2
−+=
x
xxf é racional regular.
Determinamos a representação do polinómio do denominador em produto de factores de primeira e segunda ordem.
( )( ) ( )( )( )111111 2224 ++−=+−=− xxxxxx . Na representação do polinómio do denominador em produto de factores de primeira e segunda ordem temos dois factores de primeiro grau e um factor de segundo grau todos de multiplicidade um. Portanto a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:
( )( )( ) 111111
23
1
2322
2
4
2
+++
++
−=
++−+=
−+
x
DCx
x
B
x
A
xxx
x
x
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B , C e D utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
( )( )( ) ⇒+++
++
−=
++−+=
−+
111111
23
1
2322
2
4
2
x
DCx
x
B
x
A
xxx
x
x
x
20
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ⇒+−+++−+++=+ 11111123 222 xxDxCxxBxxAx
( ) ( ) ( ) ⇒−−++−+−++++=+ DCxxDxCxxxBxxxAx 2323232 1123
( ) ( ) ( ) ( )DBAxCBAxDBAxCBAx −−+⋅−++⋅+−+⋅++=+ 232 23 .
Obtemos o sistema de equações lineares:
=−−=−+=+−=++
2
0
3
0
DBA
CBA
DBA
CBA
Determinemos a solução do sistema aplicando o método de condensação:
⇔
−=′−=′−=′
−−−
−⇔
=−−=−+=+−=++
144
133
122
2
0
3
0
1011
0111
1011
0111
2
0
3
0
LLL
LLL
LLL
operações
DBA
CBA
DBA
CBA
−
−−−−
⇔
−=′
−−−−−−
1
0
3
0
2000
0200
1120
0111
2
0
3
0
1120
0200
1120
0111
244 LLLoperação
Então 4
5,
4
5,0,
2
1 =−=== ABCD ,
( )( )( ) 12
1
14
5
14
5
111
23
1
2322
2
4
2
++
+−
−=
++−+=
−+
xxxxxx
x
x
x
e na continuação obtemos
( ) =+
⋅++
⋅−−
⋅++=⋅
++
+−
−++= ∫∫∫∫ 12
1
14
5
14
5
12
1
14
5
14
5
*2
32
3
x
xd
x
xd
x
xdxxxd
xxxxx
Cxarctgxnlxnlxx +⋅++⋅−−⋅++=2
11
4
51
4
53 . ■
21
►5) ∫ ⋅−
xdxx
x4
5
.
A função integranda é função racional irregular. Representamos a função
integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular:
( ) ( ) ( ) ( ) 11111 33
2
3
25
3
225
3
5
4
5
−+=
−⋅+
−⋅−=
−⋅+−=
−⋅=
− x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
x.
Portanto
( )*1211 3
2
334
5
=⋅−
+=⋅−
+⋅=⋅
−+=⋅
− ∫∫∫∫∫ xdx
xxxd
x
xxdxxd
x
xxxd
xx
x
No integral obtido a função integranda ( )1)1(1)(
23 ++⋅−=
−=
xxx
x
x
xxf é racional
regular. O trinómio 12 ++ xx não tem raizes reais e portanto
( ) 111)1(1 223 ++++
−=
++⋅−=
− xx
CBx
x
A
xxx
x
x
x.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
( ) ⇒++
++−
=++⋅−
=− 111)1(1 223 xx
CBx
x
A
xxx
x
x
x
( ) ( )( ) ⇒−++++= 112 xCxBxxAx
( ) ( ) )(222 CAxCBAxBAxCBxCxxBAxAxAx −++−++=⇒−−++++=
Obtemos o sistema de equações lineares:
=−=+−
=+
0
1
0
CA
CBA
BA
Determinemos a solução do sistema aplicando o método de substituição:
⇔
=−−=−=
⇔
=−=+
−=⇔
=−=++
−=⇔
=−=+−
=+
0
21
0
12
0
1
0
1
0
CA
AC
BA
CA
CA
BA
CA
CAA
BA
CA
CBA
BA
22
=
−=
=
⇔
=+−−=−=
⇔
=−−=−=
3
13
13
1
021
21
0
21
C
B
A
AA
AC
BA
CA
AC
BA
Então
( ) 13
1
3
1
13
1
13
1
3
1
13
1
1)1(1 2223 ++
−−
−=
++
+−+
−=
++⋅−=
− xx
x
xxx
x
xxxx
x
x
x
e na continuação obtemos
( ) =⋅
++
−−
−+=⋅
−+= ∫∫ xd
xx
x
x
xxd
x
xx
13
1
3
1
13
1
212*
2
2
3
2
=⋅++
−⋅−−⋅+=⋅++
−⋅−⋅−
⋅+= ∫∫∫ xdxx
xxnl
xxd
xx
xxd
x
x
1
1
3
11
3
1
21
1
3
1
1
1
3
1
2 2
2
2
2
=⋅+
−
+⋅⋅+
−⋅−−⋅+= ∫ xd
xx
xxnl
x
12
1
2
1
2
12
1
3
11
3
1
2 222
2
=⋅+
+
−⋅−−⋅+= ∫ xd
x
xxnl
x
4
3
2
1
1
3
11
3
1
2 2
2
=⋅+
+
−+⋅−−⋅+= ∫ xd
x
xxnl
x
4
3
2
12
3
2
1
3
11
3
1
2 2
2
=
⋅+
+−⋅
+
+
+⋅−−⋅+= ∫∫ xd
x
xd
x
xxnl
x
4
3
2
12
3
4
3
2
12
1
3
11
3
1
2 22
2
=⋅+
+⋅+⋅
+
+
+⋅−−⋅+= ∫∫ xd
x
xd
x
xxnl
x
4
3
2
1
1
2
1
4
3
2
12
1
3
11
3
1
2 22
2
23
=
+⋅+
+⋅+
+⋅+
+
+⋅⋅−−⋅+= ∫∫ 2
1
4
3
2
1
1
2
1
2
1
4
3
2
1
2
12
6
11
3
1
2 22
2
xd
x
xd
x
x
xnlx
=
+⋅
+
+
⋅++
+
+
+
⋅−−⋅+= ∫∫ 2
1
2
3
2
1
1
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
6
11
3
1
2 222
2
2
xd
xx
xd
xnlx
=+
+
⋅⋅++
+⋅−−⋅+= Cx
arctgxnlxnlx
2
32
1
2
3
1
2
1
4
3
2
1
6
11
3
1
2
22
Cx
arctgxxnlxnlx +
+⋅+++⋅−−⋅+=3
12
3
11
6
11
3
1
22
2
. ■
►6) ∫ ⋅+
xdx
x3
5
)1(.
A função integranda é função racional irregular. Dividimos o polinómio do
numerador pelo polinómio do denominador e representamos a função integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular.
Porque 133)1( 233 +++=+ xxxx temos:
61510
618186
386
3993
33
3363
133
2___________________________
23
23____________________________
234
234___________________________
2345
2
235
−−−
+++
++
−−−−
−−−
++++−
+++
−
−
−
xx
xxx
xxx
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
Daqui resulta que a representação da função racional irregular como a soma de um polinómio e uma função racional regular é:
24
133
6151063
)1( 23
22
3
5
+++++−+−=
+ xxx
xxxx
x
x.
Portanto
=⋅
+++−+−=⋅
+ ∫∫ xdx
xxxxxd
x
x3
22
3
5
)1(
6151063
)1(
=⋅+
++−⋅+⋅−⋅= ∫∫∫∫ xdx
xxxdxxdxdx
3
22
)1(
6151063
( )*)1(
615106
23
3 3
223
=⋅+
++−+⋅−= ∫ xdx
xxx
xx
No integral obtido a função integranda 3
2
)1(
61510)(
+++=
x
xxxf é racional regular e o
polinómio de primeiro grau 1+x na factoração do denominador tem multiplicidade três. Portanto a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:
323
2
)1()1(1)1(
61510
++
++
+=
+++
x
C
x
B
x
A
x
xx.
Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
⇒+
++
++
=+
++323
2
)1()1(1)1(
61510
x
C
x
B
x
A
x
xx
⇒++⋅++⋅=++ CxBxAxx )1()1(61510 22
⇒+++⋅++⋅=++++⋅+⋅=++ )()(61510 222 CBAxBAxACBBxAxAxAxx
−===
⇔
=++=+
=
9
5
10
6
15
10
C
B
A
CBA
BA
A
Portanto
323
2
)1(
9
)1(
5
1
10
)1(
61510
+−
++
+=
+++
xxxx
xx
e na continuação temos:
25
( ) =⋅
+−
++
+−+⋅−= ∫ xd
xxxx
xx32
23
)1(
9
)1(
5
1
106
23
3*
=⋅+
⋅+⋅+
⋅−⋅+
⋅−+⋅−= ∫∫∫ xdx
xdx
xdx
xxx
32
23
)1(
19
)1(
15
1
1106
23
3
=+⋅+⋅++⋅+⋅−++⋅−+⋅−= ∫∫∫
−− )1()1(9)1()1(51
)1(106
23
332
23
xdxxdxx
xdx
xx
=++−
+⋅++−
+⋅−+⋅−+⋅−=+−+−
Cxx
xnlxxx
13
)1(9
12
)1(51106
23
3
131223
Cxx
xnlxxx +
+⋅−
+⋅++⋅−+⋅−=
2
23
)1(
1
2
9
1
151106
23
3. ■