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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
DIVISÃO EUCLIDIANA: UM OLHAR PARA O RESTO
PRODUTO DA DISSERTAÇÃO – SEQUÊNCIA DIDÁTICA
JANETE JACINTA CARRER SOPPELSA
2016
1
SEQUÊNCIA REVISADA DE ATIVIDADES
Neste apêndice apresentamos, como produto da dissertação, uma sequência didática
com vinte atividades para que o leitor possa utilizar em sala de aula.
Para a elaboração deste produto final, partimos das atividades aplicadas em sala de aula
durante o período da pesquisa e elaboramos este produto da dissertação com as atividades
reformuladas e renumeradas, pois, partindo do que foi feito em sala de aula, do que foi
observado durante a análise do material produzido pelos alunos e das anotações da professora,
procuramos melhorar e complementar a proposta didática para a utilização em sala de aula.
A maioria das atividades foi criada especialmente para a pesquisa e outras adaptadas de
questões da OBMEP e inspiradas em atividades encontradas nas dissertações de mestrado que
foram analisadas. Buscou-se utilizar, nas atividades propostas, uma linguagem que se
aproximasse, ao máximo possível, da linguagem verbal usada pelos alunos. Além disso, as
situações-problema foram pensadas de modo que fossem familiares ao cotidiano do aluno.
Esperamos que este trabalho sirva como fonte de pesquisa e inspiração para outros
trabalhos na área.
2
ATIVIDADE 1
O objetivo dessa atividade é disparar uma discussão/reflexão sobre o conceito de
divisão por meio de uma desestabilização gerada por um problema prático, apresentando três
soluções distintas. Convidamos o aluno a refletir sobre as soluções fornecidas, solicitamos uma
análise das soluções e uma solução própria para o problema, além da análise e da comparação
de sua proposta com as fornecidas.
A professora Queridinha tem duas turmas na EMEF Attílio Tosin.
Na turma A, ela levou 225 balas para serem divididas igualmente entre os 8 alunos dessa turma.
Logo os alunos se mobilizaram para ajudar a fazer a divisão e surgiram várias propostas diferentes:
Joãozinho propôs que cada aluno recebesse 27 balas;
Cláudia sugeriu que cada aluno recebesse 26 balas;
Fernanda propôs que cada aluno recebesse 25 balas.
Responda:
a) As propostas acima dividem as balas em partes iguais entre os 8 alunos da turma A?
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b) Quantas balas sobrarão na divisão feita por:
c) Qual a sua proposta de divisão das 225 balas entre os 8 alunos dessa turma?
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d) A sua proposta é melhor que as demais? O que ela tem de diferente? E por que essa diferença é importante?
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Atividade 1
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ATIVIDADE 2
A Atividade 2 é proposta no intuito de verificar o que os alunos fizeram anteriormente.
O fato de se tratar de um problema semelhante ao anterior tem como objetivo fazer com que os
alunos possam observar melhor os resultados obtidos e atentar para detalhes que possam não
ter sido identificados na primeira atividade. Também temos como objetivo que os alunos
aprimorem o processo da escrita da justificativa das respostas utilizando a linguagem
matemática.
Na turma B a professora Queridinha levou 307 chocolates para serem divididos igualmente entre os 12 alunos
dessa turma.
Como na outra classe, também surgiram várias propostas para a divisão:
Miguel sugeriu que cada aluno recebesse 24 chocolates;
Paulo propôs que cada aluno recebesse 22 chocolates;
Ana sugeriu que cada aluno recebesse 23 chocolates.
a) As propostas acima dividem os chocolates em partes iguais entre os 12 alunos da turma B?
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b) Quantos chocolates sobrarão na divisão feita por:
c) Qual a sua proposta para a divisão dos 307 chocolates entre os 12 alunos dessa turma?
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d) A sua proposta é melhor que as demais? O que ela tem de diferente? E por que essa diferença é importante?
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Atividade 2
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ATIVIDADE 3
O objetivo dessa atividade é iniciar o processo de retomada da escrita: dividendo igual
à soma do resto com o produto do divisor pelo quociente, por meio da escrita das diferentes
propostas de divisão das balas e dos chocolates que foram trabalhadas nas duas primeiras
atividades. Esperamos que os alunos evidenciem a escrita da expressão numérica em cada caso
e percebam que essa escrita representa uma situação que está redigida em linguagem
matemática.
Podemos escrever a proposta de Miguel como uma expressão numérica. Veja que havia 307 chocolates para serem
divididos entre os 12 alunos da turma e ele sugeriu que cada um deveria ganhar 24 chocolates e ainda sobrariam 19
chocolates.
Teremos então a expressão: 307 = 12 × 24 + 19
Agora escreva as demais sugestões em forma de expressão numérica:
Propostas da turma A:
Joãozinho:______________________________________________________________
Cláudia:________________________________________________________________
Fernanda:______________________________________________________________
Sua proposta:___________________________________________________________
Propostas da turma B:
Miguel:________________________________________________________________
Paulo:_________________________________________________________________
Ana :__________________________________________________________________
Sua proposta: ___________________________________________________________
Em quais propostas temos o maior número de balas ou chocolates por aluno? O que acontece com as respectivas
sobras?
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_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
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Atividade 3
5
ATIVIDADE 4
A Atividade 4 resume o conceito de divisão entre dois números naturais, como aquele
em que temos o maior quociente e o menor resto possível, além de apresentar formalmente a
escrita na forma 𝑎 = 𝑏. 𝑞 + 𝑟 , identificando os termos: a (dividendo), b (divisor), q
(quociente) e r (resto), com r < b, além de relembrar o que os alunos conhecem como a “prova
real” da operação de divisão de dois números naturais.
Assim, quando dividimos o número natural a (dividendo), por um número b (divisor) não nulo, obtemos um
quociente (q) e um resto (r) que é sempre menor que o divisor (b) ou é zero, ou seja, a=b.q+r e r = 0 ou r < b.
Então, no exemplo 225 = 8 × 28 + 1, temos que a = 225, b = 8, q = 28 e r = 1 < 8
Utilizando o algoritmo conhecido:
1) A divisão acima está correta? Como você acha que podemos “conferir” esse resultado?
2) Faça a divisão de 377 por 3 e escreva-o na forma a = b.q + r, sendo a = 377 e b = 3:
3) Na sua proposta de divisão das balas e dos chocolates indique o dividendo, o divisor, o quociente e o resto e
escreva na forma a = b.q + r:
Atividade 4
A “melhor” divisão nos garantiu o maior número de balas ou chocolates por aluno e gerou a menor
sobra possível. Essa é a divisão utilizada nos números naturais onde o resto deve ser o menor possível.
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ATIVIDADE 5
O objetivo dessa atividade é que os alunos utilizem o algoritmo da divisão para calcular
as divisões solicitadas e escrevam o resultado identificando cada termo dessa operação.
1) Faça os cálculos abaixo e nomeie-os conforme os termos da divisão:
a) 29 ÷ 3 =
b) 108 ÷ 4 =
c) 580 ÷ 14 =
d) 341 ÷ 13 =
Atividade 5
7
ATIVIDADE 6
A atividade 6 apresenta uma situação de divisão exata e tem como objetivo levar o aluno
a perceber que se o quociente é um valor menor do que o explicitado, poderemos ter um resto
igual ou maior que o divisor, contrariando o Teorema da Divisão Euclidiana. Espera-se também
que o aluno observe o algoritmo dado não como uma ação mecânica, mas observando e
atribuindo significado a cada elemento dessa operação tendo que justificar a resposta.
Veja que se quiséssemos dividir 84 canetas igualmente entre 6 pessoas, de modo que cada pessoa recebesse o maior
número de canetas possível, teríamos:
Dessa forma cada pessoa receberá 14 canetas.
Esta é uma divisão em que o resto é zero o que garante que 84 é um múltiplo de 6.
Para verificar se a divisão está correta, multiplicamos 6 por 14 e obtemos 84 o que seria o mesmo que contar o total
de canetas após recolher as 14 canetas de cada uma das 6 pessoas.
Responda:
1) Por que 14 é o maior número de canetas possível?
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Atividade 6
8
ATIVIDADE 7
O objetivo dessa atividade é fazer com que o aluno perceba que não é necessário resolver
a expressão numérica para chegar ao resultado, ele pode observar o que cada elemento dessa
expressão representa para tirar as suas próprias conclusões.
1) Considere o número dado pela expressão: 5 × 7 × 3 + 4.
Determine o quociente e o resto, de 5 × 7 × 3 + 4, na divisão por:
a) 5
Quociente:_________________________________________________________________________________
Resto:_____________________________________________________________________________________
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__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
b) 7
Quociente:_________________________________________________________________________________
Resto:_____________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
c) 3
Quociente:__________________________________________________________________________________
Resto:______________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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d) Que número é dado pela expressão: 5 × 7 × 3 + 4?
Atividade 7
9
ATIVIDADE 8
Nessa atividade é dado a escrita de um número em forma de expressão numérica e
também é feito o desenvolvimento do algoritmo da divisão. Esperamos que os alunos percebam
que uma expressão numérica da forma 𝑎 = 𝑏. 𝑞 + 𝑟 não necessariamente representa a escrita
do resultado da operação de divisão de a por b, e que eles observem que, no desenvolvimento
do algoritmo da divisão, o valor do quociente não está correto em alguns casos, sendo
necessário corrigir o quociente da operação.
Observe as operações abaixo e identifique quais estão corretas e quais não estão corretas.
a) 327 = 4 × 80 + 7
b) 959 = 9 × 106 + 05
c) 428 = 6 × 71 + 02
d) 125 = 2 × 61 + 3
Responda:
e) O que você precisou para “consertar” o cálculo das divisões que não estavam corretas?
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ATIVIDADE 9
Essa atividade foi planejada com o objetivo de os alunos pesquisarem o significado das
siglas AM/PM que aparecem nos relógios digitais, pois, na sequência, utilizaremos situações-
problema que envolvem relógio.
1) Para a próxima aula pesquise na internet ou em livros o significado das siglas AM/PM que aparecem nos
relógios digitais. Qual a origem dessas siglas e para que elas são utilizadas.
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Atividade 9
11
ATIVIDADE 10
Nessa atividade, o nosso objetivo é que os alunos percebam que a cada 12 horas, os
números marcados pelos ponteiros do relógio se repetem. Os alunos devem realizar a conversão
de algumas horas e explicar como fazem essa conversão.
1) Onde estará o ponteiro das horas quando forem 15 horas? ___________
2) Onde estará o ponteiro das horas quando forem 17 horas? ___________
3) Onde estará o ponteiro das horas quando forem 22 horas?____________
4) Imagine que você tem que explicar para seu irmão mais novo como funciona essa conversão.
Como você faria isso? Descreva:______________________________________________________________________
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Atividade 10
12
ATIVIDADE 11
Na Atividade 11 continuamos explorando situações que envolvem relógio, porém,
diferente da atividade anterior, onde os alunos podem ter utilizado a subtração para chegar ao
resultado, agora devem utilizar o resto da divisão Euclidiana para resolver os problemas
sugeridos. O objetivo é que o aluno perceba que é possível utilizar o resto da divisão por 12
para resolver alguns problemas e que, em outros, é necessário antes utilizar a divisão por 24,
visto que um dia está dividido em dois períodos iguais de 12 horas e que, a cada 24 horas
estaremos em outro dia.
1) Agora responda:
a) Se forem 7:00 horas da manhã e se passarem 10 horas, que horas serão? ____________________________
b) Se forem 7:00 horas da manhã e se passarem 89 horas que horas serão? ___________________________
2) Responda:
a) Agora são 10 horas da manhã; um filme que quero muito assistir vai passar daqui a 72 horas. Que horas começará
o filme? ___________________________________________________________________________________
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b) Agora são 10 horas da manhã e o meu time irá jogar daqui a 24 horas? Que horas será o jogo?_______________
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c) Agora são 10 horas da manhã e estamos saindo para um passeio com a escola e só voltaremos daqui a 48 horas. A
que horas do dia estaremos de volta?______________________________________________________________
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d) Acordei às 10 horas da manhã e fui passar uns dias na casa da minha avó. Quando voltei calculei o tempo que
fiquei fora de casa e totalizaram-se 60 horas. A que horas cheguei da casa da minha avó? ____________________
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e) A empresa JOGOSMIX lançará 3 novos jogos, às 10 horas da manhã, do dia 3 de outubro de 2015, para download
imediato. Você deseja baixar os 3 jogos o mais rápido possível, porém a empresa não disponibiliza downloads
simultâneos; cada jogo poderá ser baixado com um intervalo de 30 horas depois de iniciado o download. Faça
um planejamento para obter os 3 jogos relacionando dia e hora prevista para os downloads.
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Atividade 11
13
ATIVIDADE 12
A Atividade 12 tem como objetivo levar o aluno a perceber que é possível resolver
problemas do cotidiano utilizando a divisão de dois números naturais, além de observar a
conveniência da escolha de divisores de 24 na prescrição dos intervalos para tomar um
medicamento.
a) O Dr. Melhorelogo receitou um xarope para a Dona Tosse Louca que deveria ser tomado de 8 em 8 horas durante
7 dias. Às 15horas ela tomou a primeira dose. Faça um cronograma de todos os horários em que terá de tomar o
xarope.
b) Mesmo seguindo o cronograma à risca, Dona Tosse Louca piorou um pouco e o Dr. Melhorelogo pediu para que
ela tomasse o xarope de 7 em 7 horas durante uma semana. Às 6 horas da manhã ela tomou a primeira dose. Faça
um cronograma de todos os horários em que terá de tomar o xarope.
c) Qual a diferença deste cronograma para o anterior?_________________________________________________
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d) É mais prático tomar um remédio a cada 8 horas ou a cada 7 horas? Por quê?____________________________
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e) Dona Tosse Louca não conseguiu seguir o segundo cronograma e tomar o xarope nas horas indicadas pois os
horários variavam todos os dias e o Doutor Melhorelogo precisa aumentar o número de doses do xarope. Indique as
opções que o Dr. Melhorelogo tem para prescrever o remédio de modo que a Dona Tosse Louca tome as doses
sempre no mesmo horário.
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Atividade 12
14
ATIVIDADE 13
Essa atividade têm o objetivo de aplicar as propriedades dos restos a problemas
relacionados com calendário.
Com o objetivo de levar os alunos a refletir um pouco mais sobre problemas envolvendo
horas e calendários, elaboramos a atividade 13/2 para ser resolvida depois de terminada a
atividade anterior. Nessa atividade os alunos devem responder às questões utilizando a divisão
de dois números naturais e tomando o resto.
Outra aplicação muito interessante da divisão está nos problemas relacionados com os calendários.
Vamos considerar, por exemplo, o calendário do mês de setembro do ano de 2015:
D S T Q Q S S
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
1) Sabendo que 01/09/2015 foi uma terça-feira, determine:
a) Em que dia da semana cairá o dia 12 de outubro de 2015, Dia da Criança?
b) Em que dia da semana cairá o dia 09/11/2015, dia do início da Feira do Livro de Garibaldi?
c) Em que dia da semana cairá o dia 31/12/2015, último dia deste ano?
d) Qual é o dia do seu aniversário? Quantos dias faltam para essa data? E em que dia da semana cairá?
Atividade 13
a) Nosso último encontro será dia 02/10/2015, sexta-feira e retomaremos nossas aulas depois de 33 dias
afastados. Faça os cálculos e relacione o dia, o mês e o dia da semana do nosso próximo encontro.
b) Nosso último encontro será dia 02/10/2015 às 10h da manhã e retomaremos nossas aulas depois de 790
horas afastados. Faça os cálculos e relacione o dia, o mês, o dia da semana e o horário do nosso próximo
encontro.
Atividade 13/2
15
ATIVIDADE 14
Essa atividade foi adaptada de um problema que integra o Banco de Questões da
OBMEP e onde o aluno deve perceber que, continuar construindo a teia não é uma solução
muito prática, devendo utilizar o resto da divisão para obter o resultado.
A atividade foi proposta com o objetivo de verificar as estratégias de resolução que os
alunos utilizam e observar se algum deles lançará mão da divisão para chegar ao resultado, além
de estimular o processo inverso e a capacidade de argumentação da resposta.
1) Uma aranha usa os fios de apoio A, B, C, D, E, F, G e H para construir sua teia, conforme mostra a
figura. A aranha continua seu trabalho nesse ritmo e seguindo sempre a mesma ordem.
a) Sobre qual fio de apoio estará o número 25?
b) Sobre qual fio de apoio estará o número 40?
c) Sobre qual fio de apoio estará o número 55?
d) Sobre qual fio de apoio estará o número 82?
e) Podemos dizer que o número 100 está sobre o fio de apoio E? Por quê?
f) É correto afirmar que o número 240 está sobre o fio de apoio H? Por quê?
g) Onde a aranha deveria começar sua teia para que o número 240 estivesse sobre o fio de apoio H?
Atividade 14
16
ATIVIDADE 15
Inspirados na atividade anterior sugerimos a introdução de outra aranha para ajudar a
tecer a teia. O objetivo é que o aluno observe e perceba que não é necessário usar as voltas
inteiras e sim utilizar os fios a mais que cada aranha percorre durante a construção da teia. Dessa
forma esperamos que os alunos identifiquem essa particularidade do problema e utilizem os
“restos” e a soma deles para resolver a questão.
1) Duas aranhas se revezam na construção de sua teia (uma continua o trabalho de onde a outra parou) usando
os fios de apoio A, B, C, D, E, F, G, e H, conforme mostra a figura.
a) A primeira aranha sempre tece duas voltas inteiras e mais quatro fios. A segunda aranha sempre tece cinco
voltas completas e mais dois fios. Sabendo que a primeira aranha teceu três vezes e a segunda duas vezes,
diga em que fio a teia foi terminada?
b) Imagine agora que a primeira aranha teceu 300 voltas completas e mais 4 fios e a segunda aranha teceu 200
voltas completas e mais 2 fios. Diga em que fio a teia foi terminada.
Atividade 15
17
ATIVIDADE 16
A Atividade 6 foi adaptada de um problema retirado do Banco de Questões da OBMEP.
Esperamos que os alunos percebam que, depois de um determinado número de giros, os
quadrados voltam à posição inicial e que devem utilizar o resto da divisão para resolver o a
atividade. Também é solicitado o processo inverso quando se pede para qual deve ser a posição
inicial dos dois quadrados para obter a configuração solicitada
1) Um quadrado de lado 1cm roda em torno de um quadrado de lado 2cm, como na figura, partindo da posição
inicial e completando um giro cada vez que um de seus lados fica apoiado em um lado do quadrado maior.
Considere a posição inicial do quadrado menor como sendo a posição zero.
a) Qual a posição dos dois quadrados após o 5º giro?
b) Qual a posição dos dois quadrados após o 8º giro?
c) Qual a posição dos dois quadrados após o 16º giro?
d) Qual a posição dos dois quadrados após o 20º giro?
e) Quantos giros o quadrado menor deve dar sobre o quadrado maior para obtermos as figuras abaixo?
I) II) III) IV)
f) Partindo da posição inicial dada, é possível obter a configuração dos quadrados dada abaixo com 3
giros?
g) Qual deveria ser a posição inicial dos dois quadrados para que pudéssemos obter a configuração abaixo
com 7 giros?
Atividade 16
18
ATIVIDADE 17
O objetivo dessa atividade é que os alunos observem que podem solucionar cada item
sem construir toda a tabela. Esperamos que eles percebam que a cidade foi dividida em áreas
pares e ímpares e que isso facilita a resolução do problema.
1) Uma empresa de coleta de lixo dividiu a cidade em 150 áreas para realizar a coleta de lixo nas casas.
Abaixo segue um cronograma para a coleta:
Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
X 1 X X 2 X X
X 3 X X 4 X X
X 5 X X 6 X X
X 7 X X 8 X X
X 9 X X 10 X X
Pergunta-se:
a) Em que dia da semana a área 45 deve esperar o caminhão do lixo? E a área 60 e a área 100?
b) Você mora na área 14 e gostaria que o caminhão fizesse a coleta na segunda-feira. Baseado no cronograma
dado isso é possível? Por quê?
c) O caminhão faz o recolhimento do lixo em algumas áreas sempre na segunda-feira. É possível a área 19
estar nesse cronograma de coleta? Por quê?
d) Meu amigo mora na área número 24 e o recolhimento do lixo acontece na quinta-feira. Minha prima está se
mudando para a área número 62 e também gostaria que o caminhão recolhesse o lixo nesse dia. Baseado no
cronograma de coleta dado, isso é possível?
e) Como você acha que o cronograma para a coleta de lixo foi construído?
Atividade 17
19
ATIVIDADE 18
Nessa atividade inserimos mais um dia de recolhimento de lixo nas áreas da cidade com
o objetivo de o aluno perceber que a operação de divisão deve ser utilizada na resolução dessa
questão e que cada dia de recolhimento está relacionado a um resto na divisão por três. Também
trazemos uma pergunta pouco usual, que se refere a uma resposta ser possível ou não, além de
estimularmos o processo inverso nos últimos itens da atividade.
1) Uma empresa de coleta de lixo dividiu a cidade em 150 áreas para realizar a coleta de lixo nas casas.
Abaixo segue um cronograma para a coleta: Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
X 1 X 2 X 3 X
X 4 X 5 X 6 X
X 7 X 8 X 9 X
X 10 X 11 X 12 X
Pergunta-se:
a) Em que dia da semana a área 30 deve esperar o caminhão do lixo? E a área 45 e a área 60? O que essas áreas
têm em comum?
b) Em que dia da semana a área 40 deve esperar o caminhão do lixo? E a área 55 e a área 70? O que essas áreas
têm em comum?
c) Em que dia da semana a área 35 deve esperar o caminhão do lixo? E a área 50 e a área 65? O que essas áreas
têm em comum?
d) Você mora na área 20 e gostaria que o caminhão fizesse a coleta na segunda-feira. Isso é possível? Por quê?
e) O caminhão faz o recolhimento do lixo em algumas áreas sempre na segunda-feira. Baseado no cronograma
de coleta, a área 35 pode estar nesse roteiro? Por quê?
f) Eu resido na área número 44 e o recolhimento do lixo acontece na quarta-feira. Minha amiga irá morar na
área 62 e gostaria que o caminhão recolhesse o lixo na sexta-feira. Dentro do cronograma de coleta dado, isso
é possível?
g) É possível estabelecer uma relação ente a distribuição das áreas e cada dia da semana em que ocorre o
recolhimento? Qual?
Atividade 18
20
ATIVIDADE 19
Propomos esta atividade com o objetivo de o aluno perceber que o problema fica
resolvido com a operação de divisão, no entanto a resposta não é nem o quociente e nem o resto,
no sentido de perceber a relação intrínseca entre os termos da operação de divisão.
1) Uma empresa de ônibus tem veículos com capacidade para 53 passageiros. Nossa Escola fará um passeio
no Dia das Crianças, com 4 professores acompanhando os alunos.
a) Quantos ônibus dessa empresa, no mínimo, será preciso alugar se 155 alunos confirmarem presença?
b) Quantos ônibus dessa empresa, no mínimo, será preciso alugar se 120 alunos confirmarem presença?
c) Sabendo que a Escola possui 170 alunos e que, com a quantidade de alunos que confirmaram presença,
os 3 ônibus alugados dessa empresa foram lotados, quantos alunos não confirmaram presença?
Atividade 19
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ATIVIDADE 20
Baseados nas experiências obtidas na resolução das atividades anteriores, solicitamos
para os alunos elaborarem questões que utilizem o resto da divisão na sua resolução. Um dos
objetivos dessa atividade é fazer o processo inverso, onde o aluno deve mobilizar os
conhecimentos que possui acerca da divisão Euclidiana para representar uma situação através
de um problema que, posteriormente, pode ser solucionado por um colega.
1) Inspirado nos exemplos trabalhados em aula, elabore e resolva um problema que utilize a divisão com resto
em que o resto tenha um papel fundamental na resolução. Atente para que seu problema apresente todos os
dados necessários, pois será resolvido por um colega.
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Atividade 20