divisibilidad. los numeros enteros.pdf
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Divisibilidad. Los nmeros enteros
anton
iojrol
dan.e
s
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1.1 Repaso
Tipos de nmeros
Notacin:
El conjunto de los nmeros naturales se escribe as:
anton
iojrol
dan.e
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Nmeros enteros
Ejemplo:
Definicin: Los nmeros enteros son los naturales, sus negativos y el cero.
anton
iojrol
dan.e
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Notacin: El conjunto de los nmeros enteros se escribe con la letra zeta mayscula:
{ }+3+2+1+012,3,= .......,,,,,---,........-
Crees que se puede alcanzar el infinito? an
tonioj
rolda
n.es
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Valor absoluto
Definicin: El valor absoluto
de un nmero entero a es su distancia al 0. Se escribe as:
Definicin: El valor absoluto de un nmero a
es su distancia al 0.
Ejemplo: Calcula
a
3,3- +
Propiedad: Como la distancia del cero al cero es cero, .0=0
Pertenece a
anton
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Entero opuesto
Definicin: Dos nmeros enteros a y b son opuestos
si tienen el mismo valor
absoluto pero distinto signo. Se escribe op(a).
Ejemplo: El -3 y el +3 son opuestos.
Observacin: Como el cero no tiene signo, no podemos calcular su opuesto. No puedes pedirle algo que no tiene
Me das tu sombrero? ?an
tonioj
rolda
n.es
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Ejemplo:
1.2 Suma y resta de enteros
Suma de dos enteros
Mtodo: Para sumar dos nmeros
enteros, usamos la siguiente frmula.
anton
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Observacin: Tambin puedes hacerlo como si fueran euros.
Sumar algo positivoDarte dinero.Sumar algo negativoEntregarte un recibo o una deuda para que pagues.
anton
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Suma de varios enteros
Primer mtodo: Agrupando
positivos y negativos. Luego se suman.
Ejemplo:
Segundo mtodo: Trabajando de izquierda a derecha.
Ejemplo:
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Resta de dos enteros
Ejemplo:
Mtodo: Para restar dos nmeros
enteros, usamos la siguiente frmula: a-b=a+op(b)
Restar algo positivoQuitarte dinero.Restar
algo negativoPerdonarte una deuda,
equivale a darte dinero.
anton
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Ejemplo:
1.3 Multiplicacin y divisin exactade enteros
Multiplicacin
Mtodo: Para multiplicar dos nmeros
enteros, usamos la siguiente frmula.
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Observacin: Si tenemos que multiplicar varios enteros, se puede hacer de izquierda a derecha.
Ejemplo:
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a) Conmutativa: Si a y b son nmeros enteros, entonces
Propiedades de la multiplicacin
Ejemplo:
abba
)2()3()3()2(
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b) Asociativa: Si a, b y c son nmeros enteros, entonces
Ejemplo:
cbacba
Observacin: La propiedad asociativa nos dice que para multiplicar varios nmeros enteros, podemos trabajar de izquierda a derecha
o de
derecha a izquierda.
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c) Distributiva de la multiplicacin respecto a la suma: Si a, b y c son nmeros enteros, entonces
Ejemplo: (Sin la propiedad)
(Con la propiedad)
cabacba
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d) Factor comn: Si a, b y c son nmeros enteros, entonces
Ejemplo: (Sin la propiedad)
(Con la propiedad)
( )c+ba=ca+ba
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Ejemplo:
Ejemplo:
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e) Elemento neutro: Si a es un nmero entero, entonces
aa11a f) Factor cero: Si a es un nmero entero, entonces
0a00a
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Divisin exacta de enteros
Mtodo: Para dividir dos nmeros
enteros, usamos la siguiente frmula.
Observacin: No se puede dividir entre cero.
0a;0
a0
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1.4 Operaciones combinadas con enteros
Mtodo: Para resolver una operacin combinada
hay que seguir la prioridad
mediante los siguientes pasos:
1) Resuelve llaves, corchetes y parntesis. Si hay varios, desde el interior hacia el exterior.
2) Potencias y races.
3) Multiplicacin y divisin.
4) Sumas y restas.
5) En caso se igualdad de prioridad,
trabajamos de izquierda a derecha.an
tonioj
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Ejemplo:
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Ejemplo:
Observacin: Para cambiar un signo menos
delante de un parntesis por un ms, se puede hacer cambiando todos los signos del interior.
Ejemplo:
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1.5 Divisibilidad
Ejemplo: 18 es mltiplo de 2 y de 3, porque 29=18 y 36=18
Definicin: Un nmero a es mltiplo
de otro b si a se puede obtener multiplicando b por otro nmero c. Es decir, a=bc.
Definicin: Un nmero b es divisor o factor
de otro a si se puede dividir a entre b obteniendo de resto cero.
Ejemplo: 4 y 8 son divisores de 24 porque 24:4=6 y 24:8=3
Ejemplo: Con 24 monedas de 2 euros vamos a hacer montones de modo que todos tengan el mismo nmero de monedas.
1 moneda24 montones; 2 monedas12 montones
3 monedas8 montones; 4 monedas6 montones
6 monedas4 montones; 8 monedas3 montones
12 monedas2 montones; 24 monedas1 montn
Mltiplos y divisores
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Criterios de divisibilidadUn nmero es:
divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
divisible por 3, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 3.
divisible por 4, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 4.
divisible por 5, si termina en cero o cinco.
divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
divisible por 7
cuando la diferencia entre el nmero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0
mltiplo de 7.
Ejemplo: 343
34 -
2
3 = 28; 112 11 -
2
2 = 7 Ambos son mltiplo de 7.
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divisible por 8, si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 8.
divisible por 9, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 9.
divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.
divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares menos las que ocupan los pares es 0
mltiplo de 11.
Ejemplo: 121 (1 + 1) -
2 = 0; 78408 (7 + 4+8) -
(8+0) = 19-8=11
Ambos son mltiplo de 11.
divisible por 25, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 25.
divisible por 125, si sus tres ltimas cifras son ceros o mltiplo de 125.
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Definicin: Un nmero es primo
si slo tiene dos divisores: l mismo y la unidad.
Nmeros primos
Definicin: Un nmero es compuesto
si tiene ms de dos divisores.
Descomposin factorialMtodo: Para descomponer un nmero en producto de sus factores primos:
Se divide entre los nmeros primos, de menor a mayor (el 1 no es primo)
Cada cociente obtenido se divide por el siguiente nmero primo.
Se repite el proceso hasta llegar a 1.
Ejemplo:
anton
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Ejemplo: Calcula el mcm(50,72)
Definicin: El mnimo comn mltiplo
(m.c.m.) de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que es mltiplo
de todos ellos. Para
calcularlo se descomponen los nmeros en factores primos y se multiplican todos los factores elevados al mayor exponente.
m.c.m. y m.c.d.
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Ejemplo: Calcula el mcd(48,60)
Definicin: El mximo comn divisor
(m.c.d.) de dos o ms nmeros naturales es el mayor nmero que los divide
sin dejar resto. Para
calcularlo se descomponen los nmeros en factores primos y se multiplican todos los factores comunes elevados al menor exponente.
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Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29