división de números fraccionarios prof. josé mardones c. e-mail: [email protected]
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Observación:
Por la dificultad que se presenta en escribir los números fraccionarios, en algunas ocasiones se usa la siguiente notación:
Ejemplo
5
85 8
División de un número fraccionario por un número natural.
Para fundamentar esta operación puedes apoyarte en los números naturales.
En los números naturales, el dividir está conectado a problemas de repartir.
Ejemplo:
Se dispone de 30 galletas. Si se reparten entre 10 personas, ¿cuántas le tocan a cada una?
Aquí es claro interpretar que el total de galletas (30) se debe repartir en 10 partes iguales.
Al efectuar la división, el cuociente obtenido (3) indica a cuánto es igual cada parte de esta repartición.
Ahora ve como puedes aplicar lo anterior al objeto de estudio:
3
56
e interprétala como repartir tres quintos en seis partes iguales; entonces cualquiera de estas partes debe representar el cuociente.
Considera la división
Observa cómo esta repartición puede hacerse gráficamente...
Previamente, considera que el siguiente rectángulo representa al ENTERO
Divide el entero en cinco partes iguales.
Cada una representa
un quinto del entero: 1/5
Selecciona o pinta tres quintos del entero
Finalmente, divide los quintos en seis partes iguales.
¿Qué representa cada columna?
Cada columna representa
la sexta parte del entero: 1/6
Esta es una de las partes obtenidas al repartir 3/5en 6 partes iguales: es el
cuociente de la operación.
Lo pintado representa
tres quintos: 3/5
Interpreta lo realizado:
El cuociente ocupa 3 casillasde un total de 30 casillas quehay en el entero, por lo tanto
el cuociente es 3/30
3
56
3
30
De acuerdo con lo observado se concluye que
Ejemplo:
Medio litro de yogur se repartirá entre 4 niños. ¿Qué parte del litro le corresponde a cada uno?
Solución gráfica:
Respuesta: A cada uno le corresponde un octavo de litro.
En lugar de proceder gráficamente, puedes también razonar de la siguiente manera:
Dividir 3/5 en 6 partes iguales es equivalente a encontrar la sexta parte de 3/5
Como esto último corresponde a multiplicar 3/5 por 1/6 (fracción de una cantidad) entonces:
3
56
3
5
1
6
3 1
5 6
3
30
Regla:
Para dividir un número fraccionario cualquiera a/b por un número natural n (no cero), se multiplica la fracción por el recíproco de n.
a
bn
a
b n
1
Observación: Sólo se puede efectuar esta operación gracias a la existencia del recíproco, o inverso multiplicativo.
Ejemplo:
Medio litro de yogur se repartirá entre 4 niños.
¿Qué parte del litro le corresponde a cada uno?
Solución:1
24
1
2
1
4
1
8
Respuesta: A cada uno le corresponde un octavo de litro.
¿Podrá aplicarse la regla anterior si la división se efectúa entre dos números fraccionarios?
Por ejemplo:
¿6
15
5
3
6
15
3
5 ?
División de números fraccionarios
¡No es un númeronatural!
Para responder esta pregunta nuevamente debes apoyarte en los números naturales.
Recuerda que existe una manera de comprobar la división de naturales:
24 : 6 = 4 ; porque 24 = 6 . 4
dividendo
divisor
cuociente dividendo
divisor
cuociente
6
15
5
3
6
15
3
5
dividendo divisor cuociente
Por lo tanto, para que la respuesta sea afirmativa el producto entre el divisor y el cuociente debe dar el dividendo.
5
3
6
15
3
5
5
3
3
5
6
15
5
3
3
5
6
15
15
15
6
151
6
15
6
15 ( ) ( ) ( )
Observa:
divisor
cuociente¡es el dividendo!
¡5/3 y 3/5 sonrecíprocosentre sí!
¿Por qué?
Propiedadconmutativa
Propiedadasociativa
Neutromultiplicativo
Por lo observado, la respuesta a la pregunta planteada es afirmativa y se puede seguir desarrollando el ejercicio...
6
15
5
3
6
15
3
5
18
75
6
25
Con esto se puede asegurar que:
Para dividir un número fraccionario cualquiera a/b por un número fraccionario c/d (no cero), se multiplica el primero por el recíproco del segundo.
a
b
c
d
a
b
d
c
Ejemplo:
Una caja de un litro de leche se quiere repartir en vasos de un quinto de litro cada uno. ¿Cuántos se llenan?
Solución:
11
5155
Respuesta: Se llenan 5 vasos.
