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4
AÑO
División de polinomios:
Horner
División de polinomios
Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados dividendo D(x) y divisor d(x).
D(x)
R(x)
d(x)
q(x)
la
Identidad fundamental
Propiedades Clases de división
es 1 exacta
D(x) d(x).q(x) + R(x)
d(x) 0
El grado del dividendo es mayor o por lo menos igual al grado
del divisor: D° d°
R(x) 0
para: x = 1 2 inexacta
D(1) d(1).q(1) + R(1)
Suma de coeficientes
del dividendo
El grado del cociente es igual
al grado del dividendo menos el grado del divisor: q° = D° - d°
R(x) 0
para: x = 0 3
D(0) d(0).q(0) + R(0)
Término independiente del dividendo
El grado máximo del resto es igual al grado del divisor
disminuido en 1: R°max. = d° - 1
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y
divisor estén ordenados y completos en forma descendente, si falta algún término completar con el cero.
Por ejemplo, así en la división:
2x5 3x2 - 1
2x3 - x2 6
completando con ceros se tiene:
2x5 0x 4
0x3 3x2
0x - 1
2x3 - x2 0x 6
Método de Horner Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando el siguiente esquema:
Con su
1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma
horizontal. 2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma
vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo cambiado.
3. La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el número que representa el grado del divisor.
4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente.
5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce los coeficientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundo coeficiente del cociente.
6. Se continuará hasta completar los coeficientes del mismo signo
Con signo
cambiado
D D I V I D E N D O
I
V
I
S
O
R C O C I E N T E R E S I D U O
cociente y residuo.
Problemas resueltos 1. Dividir:
Solución:
Utilizando el esquema de Horner:
1 a b c d e 2
4x5 - 12x4 13x3
12x2 - x 1
2x2 - 3x 1
0 0 a
2
0
2
b
2
0
c
2+a
4
Solución: Utilizando el esquema de Horner:
a
En el residuo:
b c+a 0 0
2 4 -12
3 6
-1
13 12 -1 1
-2
-9 3
3 -1
- d + b2 = 0 2 = - d
... (1) b
- e + c2 + a4 = 0 ... (2) Reemplazando (1) en (2):
2
27 -9 - d
- d
2 -3 1
9 25 -8 e + c b
+ a = 0
- El divisor: 2x2 - 3x + 1
b
cd ad2
es de grado: d° = 2, entonces separamos dos
columnas para el residuo.
- D 5
q° = 5 - 2 = 3; R° 1
d 2
e - + = 0 b b2
Transformando:
eb2 - cbd + ad2 = 0
ad2 + b2e = cdb - Finalmente:
q(x) = 2x3 - 3x2 + x + 9
R(x) = 25x - 8
4. Determinar “” para que el polinomio:
x4 + y4 + z4 - (x2y2 + y2z2 + x2z2) sea divisible por (x + y + z).
2. La siguiente división:
ax 5 bx 4
1
(x - 1)2
es exacta. Hallar “a” y “b”.
Solución:
; x IR - {1}
Solución:
Calculando el residuo de la división:
- Se iguala el divisor a cero:
x + y + z = 0
- Con la anterior, se cumple:
x4 + y4 + z4 = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2)
En toda división exacta se establece que es posible
invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta seguirá siendo exacta.
Ordenando y completando se tiene:
ax5 bx4
0x3 0x2
0x 1
x2 - 2x 1
Utilizando el esquema de Horner:
- Reemplazando en el dividendo:
R = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2)
- (x2y2 + y2z2 + x2z2) - Como es divisible entonces: R 0 2(x2y2 + y2z2 + x2z2) (x2y2 + y2z2 + x2z2) Finalmente: = 2
Problemas para la clase
1 1 0
2 2
-1
0 0 b a
-1
4 -2
6 -3
1. Dividir:
10x 4 6x3 - 37x2
36x - 12
5x2 - 7x 3
8 -4 e indicar el resto.
1 2 3 4 (b + 5) (a - 4)
a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1
En la columna del residuo: b + 5 = 0 b = - 5 a - 4 = 0 a = 4
d) 3x - 1 e) 3x - 3 2. Dividir:
3. La siguiente división:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ÷ (x2 - 2) es exacta. Calcular el valor de: ad2 + b2e
12x 4 - 14x3 15x2 - 6x 4
4x2 - 2x 1
e indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta.
8x 4 6x3 - 23x2
mx - n
4x2 - 3x 1
a) 15 b) 19 c) 11 d) 48 e) 60
4. Calcular “m + n + p”, si la división:
8x5 4x 3
mx 2 nx p
2x 3 x 2
3
deja como resto:
R(x) = 5x2 - 3x + 7
a) 32 b) 23 c) 21 d) 15 e) 12
5. En la división:
6x3 - 12x2 3ax a
3x2 3
el residuo toma la forma “mx + m”. Calcular “m + a”.
a) 21 b) - 21 c) 30 d) - 30 e) 9
6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta.
7. En la siguiente división exacta:
6x 4 11x3
Bx2 - 7x - 3B
3x2 4x 5
Hallar el valor de “B”.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Calcular “A - B” si la división es exacta:
x7 Ax B
x2 x 1
a) 3 b) - 2 c) 2 d) 1 e) - 1
9. Si la división:
x5 3x 4 - 3x3 - 4x2
Ax B
x2 2x - 2
deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 23 e) 24
10.En la división:
ax 4 bx3 - 4x2
19x 14
3x2 - x 7
2x 4 5x3
Ax A
x2 - x 1
el residuo es un término constante, indique dicho resto.
a) 13 b) - 13 c) 7 a) -1 b) -4 c) -2
d) - 7 e) 3 d) -8 e) -3
Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B.
D. No se puede determinar.
E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!
Preg. Información Columna A Columna B
Al dividir:
11
se obtiene:
6x 4 13x3
6x2 - 3x 5
2x2 3x 2
q(2) R(-1)
q(x) = cociente
R(x) = residuo
a) 4 - x b) 4x c) x d) x + 4 e) x - 4
Preg. Información Columna A Columna B
Dividir:
12
4x 4 3x2
8x - 5
2x2 x - 1
Suma de coeficientes del cociente
Término independiente
del residuo
La división:
13 x5 3x 4 - 3x3 - 4x2
Ax B
x2 2x - 2
deja como resto “2x - 1”.
Dada la división exacta:
14 8x 4 - 2x3 7x2
mx n
4x2 x 2
A B
A - B - 25
m - n
m
B2
n - m
n
Al dividir:
15
6x 4 Ax3
Bx2 Cx D
3x2 2x - 1
A - C B - D
se obtiene un cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a “2x + 7”.
Suficiencia de Datos
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.
16.En la división:
6x5 - 2ax 4 5bx2
cx
3x2 - x 3
I. D(x) = d(x) q(x) + R(x)
II. q(x) = x2 - 5x + 2 18.Si:
P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + 3x + 1
se divide por: x2 - x + 1.
Calcule “a + b + c”.
I. Suma de coeficientes del cociente es 22. II. Suma de coeficientes del residuo es 9.
19.Si la siguiente división:
2x 4 3x2
(A 1)x (B - 3)
2x2 2x 3
deja como residuo: R(x) = x + 3.
Hallar:
a3 b3
c3
Hallar “A.B”
3
I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. II. El residuo es un polinomio de grado 0.
17. El residuo en la siguiente división:
a) 9 b) - 9 c) 0 d) 11 e) 21
20.En la división indicada:
x6 - 25x2 x - 4
3
ax5 bx4
cx3 2x2 - 5x - 3
2x3 x2 - x - 2
es: 7x2 + 8x - 3. Calcular “a + b + c”.
Hallar el residuo.
x - 5x
3
K1
K2
4 -12
6 -18
-14 42
2 3 -7
a) 10 b) 4 c) 6 d) 3 e) N.A.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
a) 10 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A.
21.Si: {m; n} ZZ y al efectuarse la división:
x3 - x
el resto obtenido es: 6ab + b2. Calcular:
x2 mx n 3a2
b2
2
se obtiene como resto 6. Calcular “m + n”.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4
22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división:
a
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
27. Si la división:
tiene residuo:
mx 4 nx 3
px 2 17x - 5
2x 2 - x 2
R(x) = 6x - 3
Ax 4 - 7x3 Bx2
15x - 9
4x2 - 3x 2
deja como residuo: 2x - 3
Hallar “A - B”.
y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.
a) 10 b) 70 c) - 70 d) 100 e) - 7
a) 12 b) - 14 c) 28
d) - 12 e) 14
28.En el esquema de Horner mostrado:
23.Calcular “b - a” si al dividir:
ax 4 bx3
13x 18
3x2 - x 7
se obtiene como resto “2x - 3”.
1
m
2 Determinar:
3 a 1
9 d
e
n -2 p
b c
f
g h
4 -3
24.Al efectuar:
2x5 7x 4 - 3x3
5x 1
x3 3x2 - 4x K
(m +n + p) - (a + b + c)
a) 12 b) 18 c) 14 d) 17 e) N.A.
29.Si el polinomio: se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dicho
resto. es divisible por:
ax7 + bx5 - 1 mx5 + nx4 + px3 - x - 1
a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4 d) 13x + 3 e) 12x + 3
calcular el valor de “ab + mn + p”.
25.En la división:
6x5 - x 4 ax3 - 3x2
4
3x3 - 2x2 - x - 2
30.En el esquema de Horner mostrado:
se obtiene como resto: bx + c. Indique “a + b + c”.
a) 3 b) - 4 c) - 2 d) - 1 e) 2
A1 A2 A3 A4 A5
6 8
26.En la división:
9x 4 6ax 3
(a2 3b)x 2
abx 9a2
3x 2 ax - b
se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo.
Autoevaluación
1. Dividir:
x 4 4x3
6x2 - 7x 2
x2 2x 1
a) - 25 b) 25 c) 24
d) 21 e) 0
Indicar el resto. 4. Calcular “ab” si la división:
a) 1 - 10x b) 1 + 11x c) 1 - 11x ax 4 bx3
7x2
10x 3
d) 10x - 2 e) 4x - 1
es exacta.
3x2 x 3
2. Calcular “a + b” si la siguiente división:
5x 4 4x 3 - 13x 2
ax (b 1)
x 2 2x - 1
deja como residuo a: -12.
a) 1 b) 27 c) 16 d) 4 e) 2
5. Si:
a) 2 b) 3 c) - 3 x5
3x 4 - 3x 3 - 4x 2
(A - 1)x (B 1)
d) - 2 e) 1
3. Calcular (mn)2 si la siguiente división:
6x 4 5x3
2mx - 3n
2x2 x 3
x 2 2x - 2
deja como resto 4x - 10, calcular “A + B”. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
es exacta.
4
AÑO
- a
a
División de polinomios:
Ruffini - Teorema del Resto
Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado
Solución: Por Ruffini:
3x - 1 = 0 3
5 -17 8 7
de la forma: ax + b ; a 0 x =
1 1 3
2 -5 1
Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes cumpliendo el siguiente esquema:
3 6 -15 3 8
1 2 -5 1
D I V I D E N D O
Como:
q° = 4 - 1 = 3
Coeficientes del cociente
ax + b = 0
x = - b
a
C O C I E N T E R E S T O
q = x3 + 2x2 - 5x + 1
R = 8
Teorema del Resto Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos
Problemas resueltos 1. Dividir:
especiales. Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x)
3x5 - 2x 4 7x3 - 11x2
5x 1
x - 2
por (ax + b) donde: a 0, viene dado por P
b
Solución: Por Ruffini:
x - 2 = 0 x = 2
3 -2 7 6 8
3 4 15
-11 5 1 30 38 86
19 43 87
Demostración: Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”. De la identidad fundamental, se tiene:
P(x) (ax + b)q(x) + R
b
Como:
resto En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = -
a
q° = 5 - 1 = 4
- b
= a - b b q -
b + R P -
b = 0 + R
q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 P
a
a
a
R(x) = 87 a
0
Observación: Si el divisor: ax + b; a 1, luego de dividir Finalmente:
- b
por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.
R = P
2. Dividir:
3x 4 5x3 - 17x2
8x 7
3x - 1
Regla para calcular el Resto - Se iguala el divisor a cero. - Se calcula el valor de la variable que aparece con
frecuencia en el dividendo.
- El valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
Problemas resueltos 1. Hallar el resto de dividir:
Solución:
Por Ruffini, ordenando y completando:
2x2 5x 3
x - 2 + 1 = 0 1 0 (3 2 - 2) 0 0 (2 2 + 7)
2x - 1 x = 2 - 1 2 - 1 (3 - 2 2) 1 2 - 1 3 - 2 2
Solución:
Siguiendo la regla antes mencionada:
- 2x - 1 = 0
1
1 2 - 1
Finalmente: R(x) = 10
(1 + 2) 1 2 - 1 10 resto
- x = 2
1 2
1
5. Hallar el residuo en la siguiente división:
(x - 4)4 (x - 2)5
- Resto = 2 + 5 + 3
2
1 5
2 x2 - 6x 8
Resto = 2
+ 2 + 3 Resto = 6
Solución: Aplicando la identidad fundamental:
D(x) d(x).q(x) + R(x) 2. Calcular el residuo en la división:
(x 1)(x - 2)(x 4)(x - 5)(x 7)(x - 8) 1
(x 9)(x - 10)
Donde: R°máx.
= d° - 1 Reemplazando datos:
(x - 4)4 + (x - 2)5 (x2 - 6x 8) q(x) + 2do grado
R(x) 1er grado
Solución: Multiplicando convenientemente se tiene:
* 1er grado R (x) = ax + b
(x 2 - x - 2)(x 2 - x - 20)(x 2 - x - 56) 1
x 2 - x - 90
Hacemos el cambio: x2 - x = y
(x - 4)4 + (x - 2)5 (x2 - 6x + 8)q(x) + ax + b Para: x = 4
(y - 2)(y - 20)(y - 56) 1
y - 90
(4 - 4)4
0
+ (4 - 2)5 = (42 - 6(4) 8) q(4) + 4a + b
0
32 = 4a + b ...... (1) - y - 90 = 0 y = 90 - Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1
- Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441
Para: x = 2
(2 - 4)4 + (2 - 2)5
0
= (22 - 6(2) 8) q(2) + 2a + b
0
3. Calcular el resto en:
2y13 - 21y10 y 8 - y7
3y 4 2y 1
y2 - 2
De (1) y (2):
16 = 2a + b ...... (2)
4a b 32 ......(1) 2a b 16 ......(2)
Solución:
Aplicando la regla:
- y2 - 2 = 0 y2 = 2 Dando forma al dividendo:
2(y2)6y - 21(y2)5 + (y2)4 - (y2)3y + 3(y2)2 + 2y + 1
Reemplazando: y2 = 2
- Resto = 2(2)6y - 21(2)5 + (2)4 - (2)3y + 3(2)2 + 2y + 1
Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1
Resto = 122y - 643
4. Hallar el residuo en:
Restando: 2a = 16 a = 8; b = 0 Luego: R(x) = ax + b = 8x
Problemas para la clase
1. Dividir:
4x 4 x2 - 3x 4
2x - 1
e indicar el producto de coeficientes del cociente.
x5 (3
2 - 2)x 3 2
2 7
a) 2 b) - 2 c) 4
x - 2 1 d) - 4 e) 6
a) 50 b) 53 c) 51 d) 52 e) 60
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Hallar el residuo en la siguiente división:
5x 4 16x3 - 8x 2
x 3
a) - 4 b) 4 c) - 6
d) - 24 e) - 2 10.Al dividir:
a) 1 b) - 2 c) - 1 d) 4 e) 10
3 x 4 - 2
2 x 3 - (2
x -
3 - 1)x 2 -
6
6 x m
3. Hallar el residuo en:
15x4 - 8x3 - 9x2 7x 1
5x - 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Calcular el valor de “a”, si la división:
x3 - ax2 - 2ax - a2
x - a - 3
se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: (n IR)
nx 4 (3 - n2 - n)x 3
(5n - 3)x 2 - 8nx - 8n2
x - n - 1
si el resto es 64.
da residuo: 7a + 2
a) 8 b) 5 c) - 5 d) 6 e) - 6
5. Hallar el resto en la división:
x 4
x 2
a) 16 b) - 16 c) 0 d) 1 e) 1024
6. Calcular el resto de la división:
(2x 3)5 (x 3)4 - 6x
x 2
a) 1 b) - 6 c) - 3 d) 12 e) 40
7. Calcular el resto en la siguiente división:
12.Hallar el resto en la división:
3x7 2x6
5x 4 x3
x 4
x3 - 1
a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2 d) 4x + 14 e) 9x + 7
13.Hallar el resto en:
x70 x60
x 40 x20
7
x10 1
a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 6
14.Hallar el resto en:
x 3 (x - 3)3 5(x 2
1) - 15x 14 2
4x 40 8x39
1
x 2
x - 3x 1
a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13
8. Calcular el resto de:
(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 4
x 2 8x 11
a) - 9 b) - 10 c) - 11 d) - 12 e) - 13
9. Hallar el resto en la división:
(x 6 - 6x 6)2002 (x 6 - 6x 4)2003 - 2(x 6 - 6x) - 14
Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :
A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede determinar.
x6 - 6x 5 E. ¡ N O DEBE USAR ESTA OPCIÓN!
Preg. Información Columna A Columna B
15.
En la siguiente división:
2x 32 bx 5
x - 1 la suma de coeficientes del cociente entero es
64. Efectúe la siguiente división:
Residuo b
Suma de coeficientes
16. x5 (3 2 - 2)x 3
2 2 7 del cociente Residuo
x - 2 1
17.
18.
19.
En la siguiente división:
3nx5 (n 3)x 4
2(2n - 1)x 3 - 4nx 2 9nx - 2n
3x - 2
se obtiene un cociente entero cuya suma de coeficientes es igual al duplo del resto. Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se obtuvo el siguiente esquema:
4 -3 -b a
2 8a c m
x 4 b d n
* “R1” es el residuo de dividir: (3x3 - 5x - 8)2 - 4(x + 3) + 7
entre: (x - 2)
* “R2” es el residuo de dividir: x300 - 25x298 + x2 + x + 9
entre: (x - 5)
Grado del polinomio
cociente n
a + b + c n + d
R
1 R
2
Suficiencia de datos
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:
A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.
20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si:
P(x + 2) = P(x + 4) + 4 + P(x)
I. Al dividir P(x) ÷ (x - 2) se obtuvo “5” como residuo. II. Al dividir P(x) ÷ (x - 4) se obtuvo “4” como residuo.
21.Hallar el resto en la siguiente división:
(x - 4)4 (x - 2)5
x2 - 6x 8
I. D(x) d(x).q(x) + R(x); R° < d° II. q(x) = x2 + x + 2
22.En la división:
[x3 - (m - 1)x2 + 2m] ÷ (x - 1)
el resto obtenido es nulo. Hallar “m”.
a) - 1 b) - 2 c) - 3
d) - 4 e) - 5 23.Hallar el valor de “a”, si al dividir:
x a17 x a16
x a15 ... x2
x 1
x - 1
se observa que la suma de los coeficientes del cociente
es igual a 90 veces su resto.
A B C D E F
-1 1 3 5 7 9
e d c b a 0
a) - 6 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5
a) 161 b) 162 c) 163
d) 164 e) 165 24.Del esquema de Ruffini:
29.Calcular el residuo de dividir:
(x 1)8 - x 8 7
2x2 2x 1
a) 1 b) 3 c) 7 d) x + 1 e) x - 1
Determinar la suma de coeficientes del polinomio
dividendo.
a) 10 b) - 40 c) 40
d) 50 e) - 50 25.Hallar el resto de dividir:
2x120 1
x 2 - x 1
Autoevaluación
1. Hallar el cociente en la división:
3x 4 x3
6x2 5x - 1
3x 1
a) x3 + 2x + 1 b) x3 + 2x - 1 a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3 c) x3 + 2x2 + 1 d) x3 + 2x2 - 1 d) 3x + 3 e) 5x - 1 e) x3 + x2 + 2x - 1
26.Calcular el valor de:
2. Hallar el residuo en la división:
n 2
R = 2 n-2
8x5
- x 4
16x3
- 2x2 4
si el residuo de la división:
x 2n1
x 2n-1
22n
es 256.
8x - 1
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. Determinar el residuo en la siguiente división:
2x30 - 128x24 8x15 - 32x13
4x - 5 1
a) 8
1 b)
4 1
c) 2
x - 2
d) 1 e) 2 27. Dado el polinomio:
P(x) = ( 2 + 1)x4 + 2 2 x - 3 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Hallar el resto en:
Evaluar: P( 2 - 1)
(x - 4)20 (x - 4)10
x - 5
x - 1
a) 1 b) 2 + 1 c) 2 - 1
d) - 2 e) - 3 28.Determine el valor de “m” para que la división:
(x2 - y2 z2 )(x2
y2 - z2 ) mx2 yz
x y z
arroje como residuo un polinomio idénticamente nulo.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
5. Hallar el resto en la división:
x5
x 2
a) - 32 b) 32 c) 31 d) - 31 e) 1