divisorfunktionen, modulformen und modulare …...2015/10/19 · vorspann divisorfunktionen...
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Titelseite
Divisorfunktionen, Modulformenund
modulare Integrale
Tobias Mühlenbruch
Lehrgebiet StochastikFernUniversität in Hagen
19. Oktober 2015
http://www.fernuni-hagen.de/http://www.fernuni-hagen.de/stochastik/team/tobias.muehlenbruch.shtmlhttp://www.fernuni-hagen.de/WTHEORIE/http://www.fernuni-hagen.demailto:[email protected]
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Vortragszusammenfassung in Bildern
Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim
† 18. November 1919 in Zürich
Ferdinand Gotthold MaxEisenstein? 16. April 1823 in Berlin
† 11. Oktober 1852 in Berlin
Martin Maximilian EmilEichler? 29. März 1912 in Pinnow
† 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel
Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Elementare zahlentheoretische Funktionen
N = {1, 2, 3, 4, . . .} Menge der natürlichen ZahlenZ = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen
Elementare zahlentheoretische FunktionenEine elementare zahlentheoretische Funktion ist eine Funktion von dennatürlichen Zahlen N in die ganzen Zahlen Z.
Beispiele:
1 gerade(n) =
{1 n ist gerade
0 sonsttestet ob n gerade ist.
2 σ0(n): Anzahl der Teiler einer Zahl n ∈ N.σ0(p) = 2 für jede Primzahl p σ0(p) = ]{1, p}
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist eine Divisorfunktion
Divisorfunktion σkSei k ∈ Z≥0. Die Divisorfunktion σk ist definiert durch
σk(n) :=∑d|n
dk
für alle n ∈ N.
Beispiele:1 σ0(n) ist die Anzahl aller Teiler von n:
σ0(12) = 10 + 20 + 30 + 40 + 60 + 120
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= 6
2 σ1(n) ist die Summe aller Teiler von n:
σ1(12) = 11 + 21 + 31 + 41 + 61 + 121
= 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12
= 28
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist eine Divisorfunktion
σ0(n) mit n zwischen 1 und 250 σ1(n) mit n zwischen 1 und 250
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Eigenschaften der Divisorfunktion
Divisorfunktion σkSei k ∈ Z≥0. Die Divisorfunktion σk ist definiert durch
σk(n) :=∑d|n
dk
für alle n ∈ N.
Einige Eigenschaften:
σk(p) = 1 + pk für jede Primzahl p
Für jedes ε > 0 gibt es eine Konstante C > 0 mit
2 ≤ σ0(n) ≤ C · nε
für alle n ≥ 2.
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Eigenschaften der Divisorfunktion
Beispiel einer Identität zwischen denDivisorfunktionen σ7 und σ3:
Hurwitz-Identität
σ7(n) = σ3(n) + 120∑k,l∈Nk+l=n
σ3(k)σ3(l).
Beispiel (Fall n = 2):
σ7(2) = 17 + 27 = 1 + 128 = 129
σ3(2) = 17 + 23 = 1 + 8 = 9
σ3(1) = 1
120∑
k,l∈Nk+l=2
σ3(k)σ3(l)
= 120(σ3(1)σ3(1)
)= 120 · 1
σ7(2) = 129!
= 9 + 120 =σ3(2) + 120
(σ3(1)σ3(1)
) Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim † 18. November 1919 in Zürich
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Eigenschaften der Divisorfunktion
Hurwitz-Identität
σ7(n) = σ3(n) + 120∑k,l∈Nk+l=n
σ3(k)σ3(l).
Identitäten dieser Art wurden jeweils individuell gezeigt.
Kann man solche Identitäten aus einer abstrakteren Theorieableiten?
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist eine Eisensteinreihe
Eisensteinreihe
Für k ∈ 2N, k ≥ 4 definiere dieEisensteinreihe Ek durch
Ek(z) = 1 +
(2
ζ(1−k)
∞∑n=1
σk−1(n) e2πinz
)für alle z ∈ H := {z ∈ C; im(z) > 0}.
ζ(s) =∑∞
n=1 n−s ist die
Riemansche Zetafunktion2
ζ(1−k) ist eine explizit bekannte
Konstante
k = 4 E4(z) = 1 + 240∑∞
n=1 σ3(n) e2πinz
k = 8 E8(z) = 1 + 480∑∞
n=0 σ7(n) e2πinz
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein
? 16. April 1823 in Berlin † 11. Oktober 1852 in Berlin
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist eine Eisensteinreihe
Warum betrachten wir nun Eisensteinreihen
Ek(z) = 1 +
(2
ζ(1− k)
∞∑n=1
σk−1(n) e2πinz
)
(z ∈ H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eisensteinreihen erfüllen
Ek(z + 1) = Ek(z) und Ek
(−1z
)= zk Ek(z).
Gibt es noch andere Funktionen die obige Funkionalgleichungerfüllen?
Theorie der Modulformen
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Theorie der Modulformen
Modulform
Eine Modulform f vom Gewicht k ∈ 2Z ist eine holomorphe Funktionf : H→ C mit
f (z + 1) = f (z) und f(−1
z
)= zk f (z) für alle z ∈ H,
”f ist meromorph in ∞“
Beispiel:
Eisensteinreihe Ek ist Modulform vom Gewicht k .
Satz
f Modulform von Gewicht k , g Modulform von Gewicht l=⇒ f · g Modulform vom Gewicht k + l .
Insbesondere gilt E4 · E4 = E8.
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Theorie der Modulformen
E4(z) · E4(z) = E8(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Was bedeutet obige Identität für die Koeffizienten von Ek?
E4(z) · E4(z)
=
[1 +
2
ζ(−3)
( ∞∑n=1
σ3(n) e2πinz
)][1 +
2
ζ(−3)
( ∞∑n=1
σ3(n) e2πinz
)]
= 1 +
∞∑n=1
4ζ(−3)σ3(n) + 4ζ(−3) ζ(−3) ∑k,l∈Nk+l=n
σ3(k)σ3(l)
e2πinz
!= 1 +
2
ζ(−7)
( ∞∑n=1
σ7(n) e2πinz
)= E8(z)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2ζ(−7)σ7(n) =
4ζ(−3)σ3(n) +
4ζ(−3) ζ(−3)
∑k,l∈Nk+l=n
σ3(k)σ3(l)
Hurwitz-Identität für σ3 und σ7!
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Nutzen der Modulformen
Nutzen der Modulformen:
Ein theoretischer Rahmen, um gemeinsame Eigenschaften gewisserelementare zahlentheoretische Funktionen zu studieren.
Findet neue Identitäten zwischen elementare zahlentheoretischeFunktionen.
Findet neue Beweise bekannter Identitäten Beispiel: Hurwitz-Identität
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist ein modulares Integral
1 Divisorfunktionenσk(n) =
∑d|n d
k
2 Modulformenf (z)− f (z + 1) = 0 und f (z)− z−k f
(−1z
)= 0
3 Modulare Integrale. . .
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist ein modulares Integral
Modulform f von Gewicht k :
f (z)− f (z + 1) = 0 und
f (z)− z−k f(−1z
)= 0.
Erste Identität folgt aus Entwicklung
f (z) =∑n
an e2πinz .
Mögliche Verallgemeinerung der zweiten Identität: Erlaube etwas andersals
”= 0“.
Führt zum Begriff der modularen Integrale
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Was ist ein modulares Integral
Modulares Integral
Eine holomorphe Funktion f auf Hheisst modulares Integral vom Gewichtk ∈ 2N falls:
Es gibt ein PolynomP(z) = a0 + a1 z + . . .+ ak z
k mit
f (z)− f (z + 1) = 0
und
f (z)− zk f(−1z
)= P(z),
”f ist meromorph in ∞“
Martin Maximilian Emil Eichler? 29. März 1912 in Pinnow in Pommern
† 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Was ist ein modulares Integral
Wofür hat Martin Eichler die modularen Integrale betrachtet?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 g : H→ C holomorph erfülltg(z + 1) = g(z) und g
(−1z
)= zk g(z)
g(z)→ 0 für im(z)→∞
2 f (z) :=∫ z+i∞z
g(τ) (τ − z)k−2 dτ erfüllt.f (z + 1) = f (z) undzk−2 f
(−1z
)− f (z) =: P(z) ist Polynom (vom Grad k − 2)
3 P(z) =∫ i∞
0g(τ) (τ − z)k−2 dτ erfüllt
P(z) ist Polynom (vom Grad k − 2)zk−2 P
(−1z
)− P(z) = 0 und
(z + 1)k−2 P( −1z+1
)+ zk−2 P
(−z−1z
)− P(z) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eichler–Shimura–Theorie: Zusammenhang zwischen g und P
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Modulare Integrale
Satz 1
Sei f : H→ C eine Modulform von Gewicht k ∈ 2Z
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann
Modulare Integrale
Satz 2
Für k ∈ 2N (genügend groß) seien a−M , . . . , a−1 ∈ C beliebigeKoeffizienten (M Stück).
Dann ist die Funktion f gegeben durch
f (z) = a−M e2πi(−M)z + . . .+ a−1 e
−2πiz +∞∑n=0
bn e2πinz
mitbn = Hk(a−M , . . . , a−1; n) für alle n ∈ Z≥0
ein modulares Integral vom Gewicht k .
Zur Erinnerung: f modulares Integral von Gewicht k
=⇒ Es gibt ein Polynom P(z) mit f (z)− zk f(−1
z
)= P(z)
2Jose Gimenez, TM, Wissam Raji, Construction of vector-valued modular integralsand vector-valued mock modular forms. Ramanujan J., Published online 04.10.2014,doi:10.1007/s11139-014-9606-3 [B]
http:dx.doi.org/10.1007/s11139-014-9606-3
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Modulare Integrale
f (z) = a−M e2πi(−M)z + . . . a−1 e
−2πiz +∞∑n=0
bn e2πinz
mit bn = Hk(a−M , . . . , a−1; n) für alle n ∈ Z≥0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz 1 Gegeben Modulform f von negativen Gewicht k
=⇒ Koeffizienten a−M , . . . , a−1 bestimmen bn.
Satz 2 Gegeben beliebige Koeffizienten a−M , . . . , a−1 undpositives Gewicht k
=⇒ f ist modulares Integral.
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Vortragszusammenfassung in Bildern
Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim
† 18. November 1919 in Zürich
Ferdinand Gotthold MaxEisenstein? 16. April 1823 in Berlin
† 11. Oktober 1852 in Berlin
Martin Maximilian EmilEichler? 29. März 1912 in Pinnow
† 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel
Hurwitz-Identität Eisensteinreihen Modulare Integralefür Divisorfunktionen Modulformen Konstruktionsformel
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Warum ist Zahlentheorie von Interesse?
Zahlentheorie — Warum könnte uns das interessieren?
Grundlegene Struktureigenschaften der Zahlen
z. B. Primzahlen, Quadratzahlen, Anzahl der Teiler einer Zahl, etc
Moderne Anwendungen in der Kryptographie
z. B. Public-Key-Verschlüsselung, Protokolle zum Schlüsseltausch im
Internet, etc
Bekannte Vermutungen
z. B. Riemannsche Vermutung (offen), fermatsche Vermutung (1995), etc
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Adolf Hurwitz
Adolf Hurwitz [3]
1877 Studium der Mathematik an derKöniglich Bayerischen TechnischenHochschule unter Felix Klein
1877–1878 Studium an derFriedrich-Wilhelms-Universität zuBerlin unter Ernst Eduard Kummer,Karl Weierstraß und LeopoldKronecker
1880 Studium in Leipzig
1881 Promotion bei Klein in Leipzig
Danach Wechsel an dieGeorg-August-Universität Göttingen,Habilitation, Privatdozent.
1884 Ruf an die Albertus-UniversitätKönigsberg
(lernte David Hilbert kennen)
1892 Ruf an die ETH Zürich.Adolf Hurwitz? 26. März 1859 in Hildesheim † 18. November 1919 in Zürich
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein [2]
Ab 1840 besuchte er Vorlesungen vonDirichlet an der Universität Berlin.
1842 Umzug (England, Wales, Irland)
1843 Umzug nach Berlin.
1843 Studium in Berlin
1844 erschien in Crelles Journal 25Arbeiten.
1845 wurde er als Student im drittenSemester Ehrendoktor der UniversitätBreslau.
1845 vorgeschlagen für den OrdenPour le Mérite.
1847 Habilitation und Privatdozentand der Berliner Universität
1850 für Professur vorgeschlagen –Abgelehnt wegen Zweifell anLehrbefähigung
1852 stirbt an Blutsturz (Tuberkulose)
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein
? 16. April 1823 in Berlin † 11. Oktober 1852 in Berlin
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Martin Maximilian Emil Eichler
Martin Maximilian Emil Eichler [1]
1930 Studium in Königsberg, Zürichund Halle
(Mathematik, Physik, Chemie)
1936 Promotion über”Zahlentheorie
der rationalen Quaternionenalgebren“
1936 Assistent in Halle
1939 Habilitation in Göttingen
Arbeitete in der HeeresversuchsanstaltPeenemünde und an der TUDarmstadt
1947 Versuchsanstalt der RoyalAircraft in Farnborough in England
1949 Professor an der WestfälischenWilhelms-Universität in Münster
1956 Professor in Marburg.
1959 Ruf nach Basel.
Martin Maximilian Emil Eichler? 29. März 1912 in Pinnow in Pommern
† 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Firoz Kaderali
Firoz Kaderali [4]
1969 Diplom an der TH Darmstadt /Theoretische ElektrotechnikAssistent an der TH Darmstadt
1974 Promotion an der TH Darmstadt/ Symbolische NetzwerkanalyseDozent an der TH Darmstadt
1976 ProjektleiterSEL-Forschungszentrum Stuttgart
1981 Entwicklungsleiter Großsystemebei Telenorma Frankfurt
1986 Ruf an die FernUniversitätHagen, Professor fürKommunikationssysteme
2007 Pensionierung Firoz Kaderali3
3Quellennachweis:[4] https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml
https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Abstrakt
Abstrakt
Mit zahlentheoretische Fragen beschäftigten sich Gelehrte seit der Existenz vonZahlen. Beispielsweise kannten schon die Babylonier das Konzept der Quadratzahlen.Im antiken Griechenland wurde die Entwicklung der Zahlentheorie systematischvorangetrieben. Stichwortartig wären hier Euklid und sein berühmtes Werk
”Elemente“ zu nennen, welches bis ins achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch
für Geometrie und Zahlentheorie verwendet wurde.
Dieser Vortrag setzt etwa in der frühen Neuzeit und dem neunzehnten Jahrhundert an.Zu dieser Zeit wurden viele elementare zahlentheoretische Funktionen gefunden undstudiert. Unser dominierendes Beispiel im Vortrag ist die Divisorfunktion und einigeihrer Eigenschaften.
Die Frage nach einem abstrakteren Rahmen, um gewisse Eigenschaften vonelementaren zahlentheoretischen Funktionen zu beschreiben und zu studieren, führtzum Konzept der Modulformen, welches am Beispiel der Eisensteinreihen erläutertwird.
Martin Eichler, dessen Foto Sie auf der Einladung abgebildet sehen, führte für seinStudium der Modulformen den Begriff der modularen Integrale ein. Für die Expertensei hier noch das Stichwort
”Eichler–Shimura–Theorie“ genannt. Dieses Konzept der
modularen Integrale aufgreifend stelle ich Ihnen zum Schluss ein Resultat aus meinerArbeit
”Construction of vector-valued modular integrals and vector-valued mock
modular forms“ vor. Diese Veröffentlichung wurde mit dem Fakultätspreis 2015 für diebeste wissenschaftliche Arbeit ausgezeichnet.
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Referenzen aus dem Web
Referenzen aus dem Web:Wikipedia, FernUniversität in Hagen und Bildernachweis
Seite”Martin Eichler“.
In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 25.September 2014, 14:54 UTC.https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Martin_Eichler&oldid=134350705
Seite”Gotthold Eisenstein“.
In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11.Oktober 2014, 17:55 UTC.https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gotthold_Eisenstein&oldid=134798801
Seite”Adolf Hurwitz“.
In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 30. März2015, 13:06 UTC.https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Adolf_Hurwitz&oldid=140409247
FernUni PLUS – Schlusspunkt vom 19.10.2012.
”Weinprobe“.
https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml
https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Martin_Eichler&oldid=134350705https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gotthold_Eisenstein&oldid=134798801https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Adolf_Hurwitz&oldid=140409247https://www.fernuni-hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19-pl-schluss-wein.shtml
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Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen
Sonstige Referenzen
Sonstige Referenzen
J. Gimenez und W. Raji.q-Expansions of vector-valued modular forms of negative weight.The Ramanujan Jourbal 27 (2012), 1–13.doi:10.1007/s11139-011-9299-9
J. Gimenez, T. Mühlenbruch und W. Raji.Construction of Vector-Valued Modular Integrals and Vector-ValuedMock Modular Forms.The Ramanujan Journal, Online 04. Oktober 2014.doi:10.1007/s11139-014-9606-3
http://dx.doi.org/10.1007/s11139-011-9299-9http://dx.doi.org/10.1007/s11139-014-9606-3
DivisorfunktionenElementare zahlentheoretische FunktionenWas ist eine DivisorfunktionEigenschaften der Divisorfunktion
ModulformenWas ist eine EisensteinreiheTheorie der ModulformenNutzen der Modulformen
Modulare IntegraleWas ist ein modulares IntegralModulare Integrale
ZahlentheorieWarum ist Zahlentheorie von Interesse?
PersonenAdolf HurwitzFerdinand Gotthold Max EisensteinMartin Maximilian Emil EichlerFiroz Kaderali
AbstraktAbstrakt
ReferenzenReferenzen aus dem WebSonstige Referenzen