dizgi - grafik rnekt · 9.4.1 Üçgenlerde temel kavramlar 3 10 5 9.4.2 Üçgenlerde eşlik ve...

Dizgi - Grafik

MU BA Yayıncılık Dizgi - Grafik Birimi

Baskı

Ayrıntı Basımevi • Tel: 0312 394 55 90 - 91Matbaa Sertifika No: 13987

Öneri ve düşünceler için

[email protected] • 0.312 504 64 41

Yayın ve Dağıtım

MU BA Yayıncılık Ltd. Şti.Ostim (OSB) Mahallesi 1203. Cadde No: 38/1/2 Yenimahalle - ANKARA

Tel: 0.312 504 64 41 • Faks: 0.312 232 26 69www.mubayayinlari.com

ISBN: 978-605-7509-87-1T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı’nın bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını rica ederiz.

Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları MU BA YAYINCILIK LTD. ŞTİ.’ne aittir.Hangi amaçla olursa olsun, yayınların tamamının veya bir bölümünün, şirketin yazılı izni olmadan kopya

edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması yasaktır.MU BA bir Murat Yayınları Ltd. Şti. markasıdır.

ÖRNEKTİR

SUNU

Saygıdeğer Öğretmenlerimiz ve Sevgili Öğrencilerimiz,

Değişim ve gelişimin son hızla ilerlediği günümüz dünyasında eğitim ve öğretimdeki gelişmeler aynı hızda devam etmektedir.

Eğitim ve öğretim materyalleri gerek öğretmene gerekse öğrenciye en faydalı olacak biçime dönüşmekte ve öğretimi kolay-

laştırmaktadır.

Okullarımızdaki öğretimde öğretmenin ve öğrencinin faydasına olacağını düşündüğümüz “KAZANIM SIRALI DERS DERS

DEFTER VE KİTAPLAR” böyle bir nedenle gerçekleştirmek için doğmuştur.

KAZANIM SIRALI DERS DERS DEFTER VE KİTAP, öğretmenin bir yıllık öğretim sürecinde sınıfta hangi hafta, hangi gün,

hangi derste, hangi konuyu işleyeceği planlanarak hazırlanmıştır.

KAZANIM SIRALI DERS DERS DEFTER VE KİTAPLAR:

• TTKB’nin en son açıkladığı Matematik Öğretim Programı’ndaki kazanımlara uygun olarak hazırlanmıştır.

• Süreç 36 haftaya ayrılmış, haftalar da kendi içinde ders saati ağırlığına göre saatlere ayrılmıştır.

• TTKB’nin belirlediği ünite ders saatlerinin dağılımına dikkat edilmiştir.

• Öğretmenimizin günlük planını yapabilmesini sağlayacak, öğrencinin de öğrenmesini kolaylaştıracak bir sisteme dö-

nüştürülmüştür.

• Klasik konu anlatımı yerine öğrenme alanı ile özet bilgi ve konuların dikkat çeken yönleri belirtilmiş ve vurgulanmak

istenen kritik noktalar verilmiştir.

• Bir ders saatinde işlenen konulardan sonra her dersin sonuna dersin testi konulmuştur.

• Haftanın değerlendirmesine yönelik olarak her hafta öğrenilen konuları ve kazanımları kapsayan hafta sonu ödevi ile

haftanın testi verilmiştir.

• ÖSYM’nin son yıllarda üniversite sınavlarında sorduğu yeni nesil problemlere de konusuna göre ağırlık verilmiştir.

KAZANIM SIRALI DERS DERS DEFTER VE KİTABIMIZIN kendine özgü sistemi ve ortaya koyduğu yeni öğretim anlayışının

tüm eğitim camiasına hayırlı olmasını temenni ederiz.

KAZANIM SIRALI DERS DERS DEFTER VE KİTABIMIZIN hazırlanmasında emeği geçen Rafet ÖNAL, Ali DURAN, Elif

BOYRAZ, Mehmet SUCU, Mehmet TAŞYOL, Onur ÖZTÜRK, Selcem AYDIN, Semih YILMAZ, Zeynep AYGÜN, Meltem Emel

ÖZTÜRK, Haydar KILINÇOĞLU, Zahide ÖNAL, Ekrem KARAMANLI, Demir DURGUN, Erol TOSUNER, Hatice ALDAĞ ve

Haydar A. İĞDELİ’ye teşekkürü borç biliriz.

MUBA YAYINLARI

ÖRNEKTİR

No KonularKazanım Sayısı

Ders Saati

Ağırlık (%)

SAYILAR VE CEBİR

9.1 MANTIK 5 12 6

9.1.1 Önermeler ve Bileşik Önermeler 5 12 6

9.2 KÜMELER 5 20 9

9.2.1 Kümelerde Temel Kavramlar 3 6 3

9.2.2 Kümelerde İşlemler 2 14 6

9.3 DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER 12 98 46

9.3.1 Sayı Kümeleri 1 8 4

9.3.2 Bölünebilme Kuralları 3 12 6

9.3.3 Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler 4 24 11

9.3.4 Üslü İfadeler ve Denklemler 2 18 8

9.3.5 Denklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar 2 36 17

GEOMETRİ

9.4 ÜÇGENLER 16 70 32

9.4.1 Üçgenlerde Temel Kavramlar 3 10 5

9.4.2 Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik 4 20 9

9.4.3 Üçgenlerin Yardımcı Elemanları 4 14 6

9.4.4 Dik Üçgen ve Trigonometri 4 14 6

9.4.5 Üçgenin Alanı 1 12 6

VERİ, SAYMA VE OLASILIK

9.5 VERİ 3 16 7

9.5.1 Merkezî Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 1 8 4

9.5.2 Verilerin Grafikle Gösterilmesi 2 8 3

TOPLAM 41 216 100

KAZANIM SAYISI VE SÜRE TABLOSU

ÖRNEKTİR

1. ÜNİTE: 9.1. MANTIK

9.1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler ..................................................................................................................................................... 8

2. ÜNİTE: 9.2. KÜMELER

9.2.1. Kümelerde Temel Kavramlar ......................................................................................................................................................... 34

9.2.2. Kümelerde İşlemler ........................................................................................................................................................................ 46

3. ÜNİTE: 9.3. DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

9.3.1. Sayı Kümeleri ................................................................................................................................................................................. 75

9.3.2. Bölünebilme Kuralları .................................................................................................................................................................... 84

9.3.3. Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler .......................................................................................................................... 108

(Birinci dereceden denklemler, birinci dereceden eşitsizlikler, basit eşitsizlikler ve mutlak değer)

9.3.4. Üslü İfadeler ve Denklemler ........................................................................................................................................................ 156

(Üslü ve köklü ifadeler)

9.3.5. Denlemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar .......................................................................................................................... 198

(Oran orantı, sayı, kesir, yüzde, kâr - zarar, karışım, işçi, hareket ve rutin olmayan problemler)

4. ÜNİTE: 9.4. ÜÇGENLER

9.4.1. Üçgenlerde Temel Kavramlar ...................................................................................................................................................... 272

9.4.2. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik .................................................................................................................................................... 293

9.4.3. Üçgenlerin Yardımcı Elemanları ................................................................................................................................................. 332

(Açıortay, kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikme)

9.4.4. Dik Üçgen ve Trigonometri ......................................................................................................................................................... 362

9.4.5. Üçgenin Alanı ............................................................................................................................................................................... 390

5. ÜNİTE: 9.5. VERİ

9.5.1. Merkezî Eğilim ve Yayılım Ölçüleri ............................................................................................................................................. 415

9.5.2. Verilerin Grafikle Gösterilmesi .................................................................................................................................................... 430

İÇİNDEKİLER

ÖRNEKTİR

9.1 MANTIK

9.1.1. Önerme ve Bileşik Önermeler

1

ÖRNEKTİR

9.1.1.1. Önermeyi, önermenin doğruluk değerini, iki önermenin denkliğini ve öner-

menin değilini açıklar.

9.1.1.2. Bileşik önermeyi örneklerle açıklar.

9.1.1.3. Koşullu önermeyi ve iki yönlü koşullu önermeyi açıklar.

9.1.1.4. Her (6) ve bazı (7) niceleyicilerini örneklerle açıklar.

9.1.1.5. Tanım, aksiyon, teorem ve ispat kavramlarını açıklar.

KAZANIMLAR

ÖRNEKTİR

8

1.H A F TA

1. DERS 1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

9.1.1.1ÖĞRENME ALANI

Önermeler• Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere

önermedenir. “Biryıl13aydır.”ifadesibirönermedir.Ancak, “İyisabahlar!”ifadesibirönermedeğildir.• Önermelerip,q,r,s,t,…gibideğişkenlerlegöstereceğiz.• Bir önermenin doğruluğuna ya da yanlışlığına o öner-

menindoğrulukdeğeridenir.Doğruönermenindoğrulukdeğeri “1”, yanlış önermenin doğruluk değeri ise “0” ilegösterilir.

• Önermelerin,sayılarınagöreolasıbütündoğrulukdeğer-leridoğruluktablosuileifadeedilir.

p10

p q1 11 00 10 0

p q r1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

• ntanebağımsızönermenin2ntaneolasıdoğrulukdeğerivardır.

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin bir önerme oldu-ğunu bulunuz.

a)21asalsayıdır.b)19Aralık1988tarihiPazartesigününerastlamıştır.c)İyigünler!d)Tümasalsayılarteksayıdır.

a, b ve d önerme, c önerme değildir.

(a,b,d)

2. Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin bir önerme olma-dığını bulunuz.

a)Kayaş,Ankara’dabirsemttir.b)2+3=5tir.c)Yağmuryağıyormu?d)Biryıldaüçmevsimvardır.

a, b ve d önerme, c önerme değildir.

(c)

3. 128 farklı doğruluk değeri için kaç tane farklı önerme gerekmektedir?

2n = 128 ⇒ 2n = 27

n = 7

7 farklı önerme gerekmektedir.

(7)

4. (n – 1) tane farklı önermenin 1024 farklı doğruluk de-ğeri olduğuna göre, (n – 3) tane önermenin kaç farklı doğruluk değeri vardır?

2n–1 = 1024 ⇒ 2n–1 = 210

n – 1 = 10

n = 11

2n–3 = 211–3 = 28 = 256 farklı doğruluk değeri vardır.

(256)

Birönermeninikifarklıdoğrulukdeğeriolduğugibi,birmadenîparahavayaatıldığındayazıveturaolmaküze-reikifarklıdurumuvardır.

5. 5 tane madeni para havaya atıldığında kaç farklı du-rum oluşur?

1 tane madeni para atıldığında 2 farklı durum olabilir.

5 kez atılırsa 25 = 32 farklı durum oluşur. (32)

ÖRNEKTİR

9

1. DERS

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

2. DERS

DERSİN TESTİ

1. p, q, r ve s birer önermedir.

p q r s pl ql rl sl1 b c 0 a 0 1 d

Yukarıdakitablodaverilena,b,cvedninsayısaldeğerle-riiçin

3a–2b–c+4·d

işlemininsonucukaçtır?

A)–2 B)–1 C)0 D)1 E)2

2. p: “13 asal sayıdır.”

q:“İkibasamaklıenküçüksayı11dir.”

r:“Enküçükdoğalsayı1dir.”

önermelerinin doğruluk değerleri için aşağıdakiler-denhangisidoğrudur?

A)pq

r

1

0

1

/

/

/

B)pq

r

1

0

0

/

/

/

C)pq

r

1

1

1

/

/

/

D)pq

r

1

1

0

/

/

/

E)pq

r

0

1

0

/

/

/

3. 3 farklı önermenin kaç farklı doğruluk değeri vardır?

A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

4. :"p a2 3 >+ önermesinin doğruluk değerinin 1 olma-

sı için a yerine yazılabilecek doğal sayıların toplamı kaçtır?

A)8 B)9 C)10 D)11 E)15

1. E 2. B 3. D 4. C


DenkÖnermelerveBirÖnermeninDeğili

• Doğrulukdeğerleriaynıolanönermeleredenkönermelerdenir.

• Bir önermenin hükmünü olumsuz yapmakla elde edilenyeniönermeyeoönermenindeğiliveyaolumsuzudenir.

• pönermesininolumsuzuplveya~psembollerindenbirisiilegösterilir.

p pl (pl)l10

01

10

p≡(pl)l

Tablodandaanlaşıldığıgibibirönermeninolumsuzununolumsuzukendisinedenktir.

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarının doğruluk de-ğerini bulunuz.

a)Kedidörtayaklıbirhayvandır. b)32+52=82

c)Birhaftabeşgündür.

a) Kedidörtayaklıbirhayvandeğildir.

b) 32 + 52≠82

c) Birhaftabeşgündeğildir.

Doğrulukdeğerlerisırasıyla0,1,1dir.

(0,1,1)

2. “Camşişedesatılansu,petşişedesatılansuyagöredahapahalıdır.”önermesininolumsuzunuyazınız.

“Cam şişede satılan su, pet şişede satılan suya göre daha pahalı değildir.”

ÖRNEKTİR

10

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

2. DERS2. DERS

Karşılaştırma sorularında niceliklerin eşit olma hâlleridedikkatealınmalıdır.

“pahalıdır”ınolumsuzu“pahalıdeğildir”yerine “aynıfi-yattırveyaucuzdur”şeklindedeifadeedilebilir.

“küçüktür”ünolumsuzu“küçükdeğildir”yerine“büyüktüryadaeşittir”şeklindedeifadeedilebilir.

3. p: 2 + 7 > 5 önermesinin değilini bulunuz.

pl : 2 + 7 ≤ 5

(2+7≤5)

4. Aşağıdaki tabloda eksik bırakılan yerleri tamamlayınız.

ÖnermelerDoğrulukDeğeri

p Balinamemelibirhayvandır 1pl Balinamemelibirhayvandeğildir. 0q 3+5≠7 1ql 3+5=7 0r (–2)2–(–2)<–2 0rl (–2)2–(–2)≥–2 1s 4+1≥5 1sl 4+1<5 0

5. .dir2 5 7+ =

q: 6 3= tür.

r: ,0 251= tir.

s: ,0 331= tür.

önermeleriveriliyor.

Birbirinedenkolanönermeleribulunuz.

p ile q ve r ile s denk önermelerdir.

6. p:5<5

q: · ·23 2 10 3 1$ +

önermelerinindeğilinibulunuz.

pl: 5 5$ tir.

ql: 23 < 2 · 10 + 3 · 1

(5>5,23<2.10+3.1)

DERSİN TESTİ

1. Beş farklı önermenin doğruluk değerlerini bulmaları için sorulan soruya beş farklı öğrencinin verdikleri cevaplar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

p q r s tAyşe 1 1 0 1 0Oya 0 0 1 0 0

Ceyhun 1 1 0 0 1Sedat 0 1 0 1 0Vedat 0 1 1 1 0

• pönermesinindoğru

• tönermesininyanlış

olduğubilindiğinegöre,hangiöğrencitümönermele-rindoğrulukdeğerlerinidoğrubulmuştur?

A)Ayşe B)Oya C)Ceyhun

D)Sedat E)Vedat

2. p:“ 5 2#- "

q:“4>0” r:“Enküçükçiftsayı4tür.” s:“Ardışıkikitamsayınıntoplamıçiftsayıdır.” t:“ x y x xy y22 2 2- = - +^ h dir.”

önemelerininkaçtanesinindoğrulukdeğeriyanlıştır?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

3. “x+2<y–5”

önermesinindeğiliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)x–2<y+5 B)x+2>y–5

C)x+2≥y–5 D)x–2≥y+5

E)x+2≠y–5

4. n tane farklı önermenin birbirine göre 32 farklı doğru-luk değeri olduğuna göre, n 12 - değeri kaçtır?

A) 3 B)4 C)8 D)15 E)24

1. A 2. B 3. C 4. E

ÖRNEKTİR

11

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

3. DERS3. DERS


BileşikÖnermelerİki veyadaha fazlaönermeninveya,ve,yada, ise,ancakveancakgibimatematikselbağlaçlarlabağlanmasıylaoluşanyeniönermelerebileşikönermelerdenir.

Önermelermantığındabasitönermelerdenbileşikönermelerelde edilerek bunların doğruluk değerlerinin olası durumlarıincelenir.

Ve,Veya,YadaBağlaçları

p veq iki basit önermeolsun.Buönermeler “veya” bağlacıile birleştirilirse p0 q şeklinde gösterilip p veya q biçimin-de okunur. p ve q önermeleri “ve” bağlacı ile birleştirilirse p/qşeklindegösterilippveqbiçimindeokunur.

pveqönermeleri“yada”bağlacıilebirleştirilirsep0qşeklin-degösterilippyadaqbiçimindeokunur.

Elde edilen bileşik önermelerin doğruluk değeri aşağıdakitabloyagörebulunur.

p q p0q p/q p0q1 1 1 1 01 0 1 0 10 1 1 0 10 0 0 0 0

UYGULAMA ALANI

1. p:3–1≤7

q:Elmabirsebzedir.

olduğunagörep0 qönermesinioluşturupdoğrulukdeğe-

rinibulunuz.

p 0 q: ≤3 1 7-1

> veya elma bir sebzedir0

1 2 344444 44444

1 0 0 / 1(1)

2. p/1veq/0olduğunagöre(pl 0q)0(q0p)lönerme-sinindoğrulukdeğerinibulunuz.

(0 0 0) 0 (0 0 1)l / 0 0 1l / 0

(0)

3. p:“3birasalsayıdır.”

q:“5birtamkaresayıdır.”

olduğunagöre,p q/ bileşikönermesinioluşturupdoğru-lukdeğerinibulunuz.

:p q/ “3 bir asal sayıdır ve 5 bir tam kare sayıdır.”

:p q 1 0 0/ / / dır. (0)

4. p:“Üçgengeometrikbirterimdir.”

q: 2 42- =^ h tür.

olduğunagöre,p qlQ önermesinindoğrulukdeğerinibulu-nuz.

p q 1 0 1l / /QQ dir.

(1)

5. p:Enküçükasalsayı1dir.

q:Enküçükpozitifsayı0dır.

önermelerinegöreaşağıdakibileşikönermelerindoğrulukdeğerlerinibulunuz.

a) (p0p)/(q0q) b) pl 0(0/q) c) (p0ql)/(10q) d) (pl 0q)/(p0ql)

a) (0 0 0) / (0 0 0) / 0 / 0 / 0

b) 1 0 (0 / 0) / 1 0 0 / 1

c) (0 0 1) / (1 0 0) / 1 / 1 / 1

d) (1 Q 0) / (0 Q 1) / 1 / 1 / 1 dir.

(0,1,1,1)

ÖRNEKTİR

12

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

4. DERS3. DERS

DERSİN TESTİ

1. p:“Türkiye’ninbaşkentiAnkara’dır.

q:“3 4< <r tür.”

önermelerikullanılarakaşağıdakidenklikleroluşturulmuş-tur.

I. p q 0l/ / III.p q 1Q /

II. p q 1l 0 / IV. p q p 0l l l/ 0 /^ h denkliklerindenhangileriyanlıştır?

A)IveII B)IIveIII C)IIveIV

D)IveIV E)IIIveIV

2. p p0 1l0 Q /^ ^h h önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisi-

dir?

A)p B)pl C)1 D)0 E)p pl/

3. I. 1 1

II. 1 0

III. 0 0

ifadelerindekiboşkırmızıkutularıniçine/ (ve) 0 (ve-ya),Q (yada)sembollerihangisıradayerleştirilirse,her üç bileşik önermenin de doğruluk değeri aynıolur?

I II III

A) Q / 0

B) 0 Q /

C) / 0 Q

D) 0 / Q

E) Q 0 0

4. p q 1l/ / olduğuna göre,

p q p ql l0 0 /^ ^h h bileşikönermesinineşitiaşağıdakilerdenhangisidir?

A)1 B)0 C)p0q

D)pQ q E)pl Q ql

1. E 2. C 3. A 4. B


Ve,Veya,YadaBağlaçlarınınÖzellikleri1. TekkuvvetÖzelliği

• p p p/ / • p p p0 /

2. DeğişmeÖzelliği

• p q q p/ // • p q q p0 0/

• p q q pQ Q/

3. BirleşmeÖzelliği

• p q r p q r/ / / //^ ^h h • p q r p q r0 0 0 0/^ ^h h • p q r p q rQ Q Q Q/^ ^h h4. SadeleştirmeÖzelliği

• p p1/ / • p 1 10 /

• p 0 0/ / • p p00 /

• p p 0l/ / • p p 1l0 /

• p p1 lQ / • p p 1lQ /

• p p0Q / • p p 0Q /

5. DağılmaÖzelliği

• p q r p q p r/ 0 / 0 //^ ^ ^h h h • p q r p q p r0 / 0 / 0/^ ^ ^h h h

6. DeMorganKuralları

• p q p ql l l0 //^ h

• p q p ql l l/ 0/^ h

UYGULAMA ALANI

1. Veya işleminin değişme özelliğini doğruluk tablosu ilegösteriniz.

p q p 0 q q 0 p1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 0 0

p q q p0 0/

ÖRNEKTİR

13

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

4. DERS4. DERS

2. “ya da” bağlacının değişme özelliğini doğruluk tablosu ile gösteriniz.

p q p Q q q Q p1 1 0 01 0 1 10 1 1 10 0 0 0

p q q pQ Q/

3. “Ve” bağlacının birleşme özelliğini doğruluk tablosu ile gösteriniz.

p q r p q/ p q r/ /^ h q r/ p q r/ /^ h1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 01 0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 1 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

p q r p q r/ / / //^ ^h h

4. p/(p0q)/pdenkliğiniözelliklerikullanarakgösteriniz.

p p q p

p p q p

p q p

p p

p p

0

0

0

/ 0

0 / 0

0 /

0

/

/

/

/

/

^^^^

hhhh

5. p/(ql 0r)

önermesininolumsuzunubulunuz.

[p / (ql 0 r)]l / pl 0 (ql 0 r)l

/ pl 0 (q / rl)

(pl 0(q/rl))

6. p q ql l l0 0^ h önermesininensadehâlinibulunuz.

p q q q q q p

q p

q p

1

l l l l l

l l

l l

/ 0 0 / 0

/ 0

0

/

/

/

^ ^^

^h hh

h

(ql 0pl)

DERSİN TESTİ

1. pveqbirerönermeolmaküzere,

“nepnedeq”

p0qilegösterilir.

p0qbileşikönermesinindoğruluktablosu

p q p0q1 1 01 0 00 1 00 0 1

şeklindedir. Bunagöre,

I. (p0q)l ≡p0q

II. p0p≡pl

III. p0pl ≡0

denkliklerindenhangileridoğrudur?

A)YalnızI B)IveII C)IveIII

D)IIveIII E)I,IIveIII

2. p q p r 0l l l/ 0 Q /^ ^h h olduğunagöre,p q rl0 Q^ hbileşikönermesininensade

hâliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)q C)r D)1 E)0

3. p q p ql l l/ 0 /^ ^h h önermesininensadehâliaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)pl C)q D)ql E)1

4. p q 0l 0 /

p r 1Q /

olduğunagöre,p q rlQ 0^ hönermesinineşitiaşağıda-kilerdenhangisidir?

A)0 B)1 C)p0q

D)pQ r E)ql Q q

1. E 2. D 3. B 4. A

ÖRNEKTİR

14

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

5. DERS5. DERS


LeibnizveBooleAlman filozofGottfriendWilhelm Leibniz (1646 - 1716) tümsayıların0ve1 ile ifadeedilebileceğinikeşfetmişancakbu-luşlarınıyayımlamadığıiçinmatematikmantığınıngelişimi19.yüzyılınsonlarınakalmıştır.Leibniz1692ve1694yıllarıarasındaeğridentüretilenapsis,ordinat, teğet, kiriş ve diklik kavramlarıı ilk ortaya koyan birbiliminsanıdır.İngiliz matematikçi George Boole (1815 - 1864) tarafından1847’de “MantığınMatematikAnalizi”adlıeseryayınlanmış,1854yılındada“BooleanMatematiği”sayesindedigitalçağıntemelleriatılmıştır.BunedenleBoole“bilgisayarbilimininba-bası”ünvanınıhaketmiştir.Booleanmatematiğininsayısaldevrelerintasarımındaveana-lizindekullanılması1938yılındaAmerikalımatematikçi,elekt-rikmühendisivekriptograficisiClaudeShanon(1916-2001)tarafındangerçekleştirilmiştir.BooleKanunlarıyadaBoole(an)Matematiğinde“veya”⇒“toplama”işlemine“ve”⇒“çarpma”işleminekarşılıkgelir.

Kısaca· .

p q p q

p q p q dur

0

/

= +

=

UYGULAMA ALANI

1. Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını Boole(an) matema-tiğine göre bulunuz.

I. p+p II. p+pl III. p+0

I. p p p p p0+ = =

II. p p p p 1l l0+ = =

III. p p p0 00+ = = (p,1,p)

2. Aşağıda verilen ifadelerin sonuçlarını Boole Kanunlarına göre bulunuz.

I. p·p II. p·pl III. p·0

I. ·p p p p p/= =

II. ·p p p p 0l l/= =

III. ·p p0 0 0/= = (p,0,0)

3. p q r 0l+ + =

olduğunagöre, p q q rl l/ 0 0^ ^h hbileşikönermesinindoğ-

rulukdeğerinibulunuz.

p q r ise p q r0 0l l0 0+ + = = olup, p q r 0l/ / / dır.

p q q r 1 1 1 1 1l l/ 0 0 / 0 0/ /^ ^ ^ ^h h h h (1)

4. p·p+p·pl

ifadesiniBoole(an)Matematiğinegöresadeleştiriniz.

· · ·

·

p p p p p p p

p p1

l l+ = +

= =

^ h

(p)

5. p+p·q

ifadesinin sonucunuBoole(an)Matematiğine göre bulu-nuz.

· ·p p q p q p p1 1 /+ = + =^ h(p)

6. · · ·p p q p p q l+ +^ ^h h7 A


· ·p q p p q p p p q p p1 1l l l0 / 0 0 / /+ =^ ^ ^h h h6 7 7@ A A(p)

7. · · ·p p q p q p ql l+ + +^ ^h h


· · · · ·

· ·

·

·

p p p q q p p p q p q p q

p q p q

q p p

q q

0

1

l l l

l

l

+ + + = + + +

= +

= +

= =

^

^

h

h

(q)

ÖRNEKTİR

15

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. ÜN

İTE / M

antık

6. DERS5. DERS

DERSİN TESTİ

1. p pl p/p (p/p)0pl1 00 1

Yukarıdakitablodaverilenpveplönermeleriiçin

(p/p)0pl ≡ qve

p q p r/ 0 /l l^ h6 @ denklikleriveriyor.

Buna göre, (p0 r) / q önermesi aşağıdakilerdenhangisinedenktir?

A) pl B)p C)q D)r E)ql

2. p q r 0l l+ + =

olduğunagöre, p q p rl l/ Q 0^ ^h hbileşikönermesininen

sadebiçimiaşağıdakilerdenhangisidir?

A)p B)ql C)r D)1 E)0

3. · ·p p q pl l+^ h7 A

ifadesininBooleMatematiğinegöre,ensadehâliaşa-ğıdakilerdenhangisidir?

A)0 B)1 C)p D)pl E)q

4. ·p p q r s t f+ + + + +^ h

ifadesinin Boole(an) Matematiğine göre, en sade hâlinibulunuz.

A) 0 B)1 C)p D)q E)r

1. B 2. E 3. A 4. C


KoşulluÖnerme• İki önermearasına ise bağlacı yazılarakeldeedilen ve

“ise” yerine⇒ sembolü kullanılarak ifade edilen bileşikönermelerekoşulluönermedenir.

p q p⇒q1 1 11 0 00 1 10 0 1

• p ⇒ q koşullu önermesinde p önermesine hipotez qönermesinehükümdenir.Ayrıcapönermesi,qiçinyeterkoşul,qönermesi,piçingerekkoşuldur.

• p⇒ qönermesinindoğrulukdeğeri1ise,bukoşulluöner-meyegerektirmedenir.

• p⇒ q/1ifadesi“pgerektirirq”şeklindeokunur.

UYGULAMA ALANI

1. p:“Alievindeboşaakanmusluğukapatır.”

q:“Alidoğadakisukaynaklarınıkorur.”

önermelerinegöre,p⇒ qbileşikönermesiniifadeediniz.

p ⇒ q: “Ali evinde boşa akan musluğu kapatır ise doğada-ki su kaynaklarını korur.

2. p:“Yağmuryağıyor.”

q:“Yerlerıslaktır.

önermelerinegörep⇒qlbileşikönermesiniifadeediniz.

p ⇒ ql: “Yağmur yağıyor ise yerler ıslak değildir.”

3. [(1⇒ 0)⇒ 1]⇒ [(0⇒ 0)⇒ 0]

önermesininensadeşeklinibulunuz.

/ [0 ¡1] ¡[1 ¡ 0]

/ 1 ¡ 0 / 0(0)

ÖRNEKTİR

16

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Ü

NİT

E /

Man

tık

6. DERS6. DERS

4. (p⇒ ql)0(pl /q)

önermesinindoğrulukdeğerleritablosunuyapınız.

p q pl qlp ⇒ ql pl / q (p ⇒ ql) 0 (pl / q)

1 1 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 10 1 1 0 1 1 10 0 1 1 1 0 1

5. p⇒ (q0r)/0

olduğunagöre,(p/ ql)⇒ [rl/ (pl 0 q)]önermesinindoğrulukdeğerinibulunuz.

p / 1 , q / 0 ve r / 0 dır

(p / ql) ⇒ [rl / (pl 0 q)]

/ (1 / 0l) ⇒ [0l / (1l 0 0)]

/ ( 1 / 1) ⇒ [1 / (0 0 0)]

/ 1 ⇒ [1 / 0]

/ 1 ⇒ 0 / 0

(0)

6. p p q 0l & 0 /^ h

olduğunagöre, p q ql l&/^ h önermesinindoğrulukdeğeri-

nibulunuz.

p q 0

1 0 1 0 1 1& &/

/ /

/ /^ h(1)

7. q p r 0l &/ /^ h

olduğunagöre r q pl 0 /^ h önermesinindoğrulukdeğerini

bulunuz.,p q ve r1 0 0/ / /

1 0 1 10 / /^ h(1)

DERSİN TESTİ

1. pveqbirerönermedir.

pl ⇒ (❒ 0q)≡0

olduğunagöre,boşkutununyerine

I. pl 0q

II. pl /q

III. pl Qq

bileşikönermelerindenhangileriyazılabilir?

A)YalnızI B)YalnızII C)YalnızIII

D)IveIII E)IIveIII

2. p q r 0l& 0 /^ h

olduğunagöre, p q q rl l& & &^ ^h hönermesiaşağıda-

kilerdenhangisinedenktir?

A)pl B)ql C)r D)1 E)0

3. p q r 1l l& / /^ h

bileşikönermesindep,qvernindoğrulukdeğerlerisırasıylaaşağıdakilerdenhangisidir?

A)1,0,0 B)1,0,1 C)0,1,1

D)0,0,1 E)1,1,0

1. B 2. D 3. A

ÖRNEKTİR

dizgi - grafik rnekt · 9.4.1 Üçgenlerde temel kavramlar 3 10 5 9.4.2 Üçgenlerde eşlik ve...

Documents