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1 DM5 [DM5.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008

Devoir de Sciences Physiques n 5 pour le 07-12-2007

Probleme no 1 Experience originelle de Fourier dapres Agregation externe 2001

Dans le cas du fer, pour les applications numeriques on prendra : = 7, 86103 kg m3, c = 400 J kg1 K1, = 81 W m1 K1 et h = 10 W m2 K1.

A. Conduction dans un barreau

1. Enoncer la loi de Fourier pour la conduction thermique, en definissant les differentes grandeurs utiliseeset en precisant leur dimension.

2. Relier cette loi au second principe de la Thermodynamique.

3. Dans le domaine electrique, la loi dOhm presente des analogies avec la loi de Fourier. Donner un tableaude correspondance entre le flux thermique , les grandeurs precedemment introduites et les grandeurs electriquesanalogues.

4. Soit un barreau de longueur L, de section droite carree de surface S et dont le cote est tres inferieur a L.Ce barreau est entoure par une enveloppe adiabatique. On considere quil ny a aucune fuite thermique par lasurface laterale et que la temperature est uniforme sur une section droite du barreau et ne depend que de sonabscisse x et du temps t. En effectuant un bilan enthalpique pour la partie de barreau situee entre les abscissesx et x+dx, montrer que la temperature T (x, t) dans le barreau est solution de lequation aux derivees partielles,appelee equation de diffusion thermique :

2T

x2=

c

T

t

5. En regime dependant du temps, pour une diffusion thermique sur une distance d, il faut une duree de lordrede d. A partir des grandeurs , c, d et , construire une grandeur homogene a une duree et donner lexpressionde d appele temps caracteristique de diffusion thermique. Application numerique : calculer pour le fer les tempscaracteristiques d1, et d2 pour des extensions spatiales sur les distances d1 = 10 cm et d2 = 50 cm. Commenterces resultats.

B. Etude du dispositif experimental utilise par Joseph Fourier en

Un des dispositifs experimentaux utilises par Fourier etait constitue dun anneau de fer ayant la forme duntore de rayon moyen R et de section carree de cote , avec tres inferieur a R. Plusieurs petites loges rempliesde mercure, dans lesquelles plongent des thermometres, etaient percees en divers endroits de lanneau representesur la figure 1. Sous une section droite de lanneau, prise pour origine des angles = 0, on place un dispositifde chauffage a la distance R de laxe. On considere que la temperature est uniforme sur une section droitedu barreau et ne depend que et de t. On se limite au domaine ou est compris entre et radians, enremarquant que lon doit avoir, par raison de symetrie T (, t) = T (, t).

b

Axe de lanneau

R

Fig. 1 Anneau de Fourier

On rappelle lexpression du gradient en coordonnees polaires : grad f =f

rer +

1

r

f

e +

f

zez.

Lanneau est place dans lair ambiant de temperature Te uniforme et independante du temps. Selon la loi deNewton, le flux thermique conducto-convectif sortant par lelement de surface laterale dSlat de lanneau, etdonc cede a lair ambiant, vaut = h(T Te)dSlat ou h est le coefficient de transfert conducto-convectif entrele metal et lair, que lon suppose constant, et T la temperature de la portion danneau consideree a linstant t.

6. En effectuant un bilan enthalpique pour la partie danneau situee entre les sections reperees par les angles et + d montrer que lexpression aux derivees partielles dont la temperature T (, t) est solution est :

R22T

2

4h

(T Te) = c

T

t

JR Seigne Fauriel St Etienne

Sciences Physiques MP 2007-2008 DM5 [DM5.tex] 2

Dans la suite de cette partie, on etudie le regime independant du temps.

7. Donner la solution de cette equation aux derivees partielles en regime stationnaire independant du temps,

sachant que T = Tc pour = 0. On introduira la grandeur a =

4hdont on precisera la dimension. Afin

de determiner completement cette solution, on utilisera comme conditions aux limites T ( = 0, t) = Tc et(

T

)

||=

= 0. On expliquera avec soin la cause physique de cette seconde condition aux limites.

8. On se limite au domaine ou est compris entre 0 et radians. Un thermometre 2 est place dans la sectionA2 reperee par langle 2 ; un thermometre 1 est place dans la section A1 reperee par langle 1 = 2 ;enfin un thermometre 3 est place dans la section A3 reperee par langle 3 = 2+. On pose T = T ()Te.

Dapres Fourier, le rapport q =T1 +T3

T2ne depend que des dimensions ou de la nature de lanneau et non

de la maniere dont ce solide est chauffe. Demontrer queffectivement ce rapport ne depend ni de 2, ni de latemperature Tc de la temperature de la section reperee par = 0 au-dessous de laquelle on a place le dispositifde chauffage.

9. Application numerique : calculer le rapport qth trouve theoriquement pour = /4 en prenant les valeursdu dispositif de Fourier, soit R = 16, 0 cm et = 3, 30 cm.

10. Sur les releves dexperiences de Fourier du juillet , on lit que deux heures apres le debutdu chauffage, les valeurs des temperatures des differentes sections de lanneau sont stationnaires et que lesthermometres indiquent, par des lectures au tiers de degres pres : 17, 67 C pour lair ambiant, 66, 00 C pour1 = /2, 50, 67 C pour 2 = 3/4 et 44, 00 C pour 3 = . Calculer le temps caracteristique de diffusionthermique d defini a la question 5 pour une extension spatiale sur la distance d = R et comparer sa valeur auxdeux heures attendues par Fourier. Calculer le rapport qexp donne par les releves experimentaux de Fourieret comparer a la valeur theorique qth.

C. Series de Fourier

Cest en etudiant la diffusion thermique dans le dispositif experimental decrit precedemment que Joseph Fou-rier decouvrit les series trigonometriques, dites series de Fourier. Lanneau de la figure 1, chauffe commeprecedemment en = 0, est ensuite enfoui presque completement dans du sable, excellent isolant thermique.On suppose quil ny a aucune fuite thermique par la surface laterale de lanneau une fois que celui-ci est enfouidans le sable et que la temperature T est uniforme sur une section droite du barreau et ne depend, commeprecedemment, que de langle et du temps t. On se limite encore au domaine ou est compris entre et ,en remarquant que lon a T (, t) = T (, t) par raison de symetrie.

11. Donner lequation aux derivees partielles dont la temperature T (, t) est solution.

12. On cherche une solution particuliere de la forme Tn = An + f()g(t) ou An est une constante et g(t) une

fonction qui tend vers 0 lorsque t tend vers linfini. Etablir les equations differentielles verifiees respectivementpar f() et g(t). On introduira, sans chercher a lexprimer, une constante arbitraire positive homogene a une

distance dn et lon posera : dn =cd2n

.

13. Montrer que cette solution particuliere se met sous la forme :

Tn = An +Bn cosR

dnexp

t

dn

14. A linstant t = 0, la temperature initiale dune section reperee par langle est une fonction T0(),

symetrique, de periode 2 et developpable en serie de Fourier : T0() = Tm +

n=1

bn cosn ou Tm represente

la temperature moyenne de lanneau et bn des coefficients supposes connus. Montrer que la solution generaleT (, t) peut se mettre sous la forme :

T (, t) = Tm +

n=1

Tn(, t)

15. Comparer les constantes de temps des differents harmoniques.

16. Fourier constata, en mesurant la temperature en fonction du temps en differents points de lanneau, queletat de lanneau ne tarde pas a se confondre avec celui pour lequel les ecarts de temperatures des differentspoints par rapport a la moyenne Tm doivent etre proportionnels aux cosinus de langle qui mesure la distancea lorigine, la disposition initiale napportant aucun changement a ces resultats. Commenter cette constatationde Fourier.



Probleme no 2 Mise en equilibre thermique CCP PC 2007

Dans ce probleme sont compares deux procedes de chauffage au moyen dune resistance electrique, le premierdans le cas ou la resistance est alimentee en continu, le second dans le cas dune alimentation par intermittencemettant en uvre un capteur de temperature et un multivibrateur. Le fonctionnement du capteur et celui dumultivibrateur sont aussi etudies.

A. Mise en temperature dune eprouvette

1. Donner, en conduction thermique, les grandeurs analogues aux grandeurs electriques suivantes : potentielV , intensite I, resistance electrique R. Preciser leurs unites. En deduire un equivalent de la loi dOhm pour laconduction thermique. Existe-t-il, en regime permanent, une loi de lelectricite analogue a la loi de Fourier pourla conduction thermique ? Les materiaux bons conducteurs de lelectricite sont-ils, en general, bons conducteursthermiques ou est-ce le contraire ? Proposer une explication.

2. Donner lexpression de la capacite thermique Cth dun corps de masse m et capacite thermique massique apression constante cp. Ecrire une loi de conduction equivalente a celle qui exprime, en electricite, le courant de

chargedq

dtdun condensateur portant la charge q(t) en fonction de la derivee du potentiel a ses bornes. Quelle

grandeur thermique est-elle lanalogue de la charge electrique q emmagasinee dans ce condensateur ? Preciserles unites.

Une resistance electrique r = 10 est incorporee dans la masse dune eprouvette dont la capacite thermique estCth = 250 J K

1. Cette eprouvette est enfermee dans un botier depuis linterieur duquel on peut considererquelle est en contact avec le milieu exterieur a travers une resistance thermique egale aRth = 8 KW

1. Le milieuexterieur etant a ext = 20 C, on veut porter leprouvette jusqua une temperature finale = 40 C. Pour cefaire, on connecte la resistance electrique r a une source de tension de maniere a dissiper dans leprouvette unepuissance p. On supposera que la temperature (t) demeure uniforme dans toute sa masse. Le schema electriquepropose sur la figure 2 est limage du systeme thermique etudie.

bbb

bbb b

bb

Rth(t)p

0 C

Cth

Milieu

exterieurElementchauffant

Fig. 2 Mise en temperature dune eprouvette

3. Preciser la valeur numerique et lorientation de la fem du generateur de tension qui symbolise le milieuexterieur.

4. Quelle loi deKirchhoff appliquee au reseau electrique, traduit-elle le bilan thermique du reseau thermique ?

5. Lorsque le regime permanent est atteint, expliquer pourquoi lon peut faire abstraction de la capacite Cth.En deduire directement, en fonction de ext, de et de Rth exclusivement, la puissance (flux) thermique pnecessaire au maintien de la temperature finale. En preciser la valeur numerique.

Premiere methode de chauffage

6. La puissance thermique est maintenue constante, a la valeur p calculee precedemment. A linstant t = 0,on connecte la resistance electrique r sur une source de tension continue E1. Quelle doit etre la valeur de latension E1 pour que la resistance r dissipe la puissance p ?

7. Afin detudier la montee en temperature de leprouvette sous laction de ce chauffage, effectuer un bilanthermique pour celle-ci, entre les dates t et t + dt. En deduire lequation differentielle regissant levolution de(t). Exprimer levolution de la temperature (t) en supposant que la temperature initiale est 0 = ext = 20 C,lorsque le chauffage est mis en route.

8. Evaluer, en fonction de la constante de temps du systeme, le temps tr au bout duquel la variation detemperature depuis le debut de la chauffe atteint 95% de la valeur theorique necessaire pour arriver en regimestationnaire. Calculer puis tr.

Deuxieme methode de chauffage

La temperature (t) de leprouvette est mesuree a laide dun capteur electronique qui delivre une tensionu(t) = 0, 1(t), les unites etant le volt pour u(t) et le degre Celsius pour (t). Cette tension est comparee a unetension periodique w(t) en dents de scie decroissant de U0 = 4, 5 V a 0 pendant une periode T0, voir la figure 3.



Celle-ci est choisie suffisamment petite pour considerer que, dans tout intervalle [nT0, (n+1)T0], la temperaturede leprouvette (t) et donc la tension u(t) demeurent pratiquement constantes.

t

w(t)b

b bb b

U0

T00 2T0 3T0t

u(t)

Fig. 3 Tension en dents de scie

Le chauffage de leprouvette seffectue en reliant la resistance r a une source de tension continue E2, parlintermediaire dun interrupteur electronique K. Cet interrupteur est commande (voir la figure 4) par uncomparateur a amplificateur operationnel (suppose ideal) dont la tension de sortie Vout sature a Vsat aumoindre ecart sensible entre w et u. Linterrupteur est ferme si Vout = +Vsat ; il est ouvert si Vout = Vsat.

b

b

b

+

-

u(t)

w(t)Vout

bb

bb

r Vch

E2

K

b

Fig. 4 Comparateur

9. Tracer la caracteristique Vout en fonction de la difference w u, puis representer en fonction du tempsla tension Vch appliquee a la resistance de chauffage r. Au cours dune periode [0, T0], exprimer linstant t

,lors du basculement de linterrupteur, en fonction de u, U0 et T0. Pendant quel laps de temps le chauffagefonctionne-t-il ?

10. La puissance thermique moyenne dissipee dans la resistance r, calculee pendant une periode T0, etantnommee Pmoy(), lexprimer en fonction de E2, r, U0 et de . En considerant que Pmoy() correspond a lapuissance thermique dissipee dans leprouvette lorsque celle-ci se trouve a la temperature , ecrire la nouvelleequation differentielle qui regit la montee en temperature.

11. Preciser la valeur numerique de la tension E2 de sorte que Pmoy() soit egale a la puissance pprecedemment calculee lorsque = = 40 C. Dans ce cas, resoudre la nouvelle equation differentielle pourobtenir (t). Determiner la nouvelle valeur des temps et tr. Definir lavantage de cette deuxieme methode parrapport a la precedente.

B. Etude du capteur de temperature

On considere une sonde, composee de deux diodes de meme caracteristique, accolees de maniere a demeurer entres bon contact thermique. Ces diodes sont connectees, selon le schema donne sur la figure 5, a un dispositifcontenant un amplificateur operationnel. On mesure la tension VM sur lentree inverseuse M de lamplificateur.

bbbb b

b b

b

b

b

+

-

bb

bb

bb

I2

M b

B

A

R3

E0 D2

D1

I1

R1

R2

Fig. 5 Capteur de temperature



Dans cette partie, aucune connaissance particuliere sur les diodes nest requise. Leur fonctionnement est sim-plement caracterise par le courant qui les traverse et dont lexpression est donnee dans le texte. Lamplificateuroperationnel est alimente au moyen de deux sources symetriques (15 V, 0) et (0,+15 V). On supposera quilest ideal et quil fonctionne en regime lineaire. Les tensions en tout point du schema sont referencees par rap-port a la masse. Dans le sens passant, moyennant une bonne approximation, on peut ecrire que la diode D1 esttraversee par un courant dintensite :

I1 Is exp

[

e(VA VM )

2kT

]

avec e = 1, 6 1019 C la charge elementaire, k = 1, 38 1023 J K1 la constante de Boltzmann, T latemperature absolue du botier contenant les diodes. Le coefficient Is depend de la temperature T , mais estindependant des tensions.

12. Exprimer lintensite I2 traversant la diode D2, par analogie avec lexpression de I1.

13. Exprimer, en fonction de (VAVB), de la temperature T et des constantes e et k, le rapport des intensitesI1/I2. En deduire une expression de (VA VB) fonction de la temperature T , des resistances R1 et R2 et desconstantes e et k, mais independante du coefficient Is.

14. Etablir une deuxieme expression de (VAVB). En deduire la tension VM , mesuree au point M , en fonctionde la temperature T , de la tension E0, des resistances du reseau et des constantes e et k.

15. On impose a lentree une tension negative E0 = 15 V et lon fixe la valeur des resistances R1 = 10 k etR2 = 20 k. Quel valeur faut-il choisir pour R3 si lon veut obtenir une tension VM nulle a 0 C ? On prendraT = + 273, 15. Quelle est, dans ces conditions, lexpression numerique de la tension VM en fonction de latemperature exprimee en C ?

16. On souhaite realiser un capteur delivrant une tension proportionnelle a la temperature Celsius a raisonde 1 V pour 10 C, soit u = 0, 1. Pour ce faire on cable le montage represente sur la figure 6 ou lamplificateuroperationnel (suppose ideal et utilise en regime lineaire) mesure la tension VM sans prelevement de courant.Calculer la valeur de la resistance R5 sachant que R4 = 10 k.

b

VM

Mb

b

b

+

-b bb

b b

u = 0, 1

R4

R5

Fig. 6 Mise en forme de la tension finale

C. Multivibrateur a amplificateur operationnel

Pour obtenir un signal de la forme de w(t) represente sur la figure 3, on peut utiliser le multivibrateur schematisesur la figure 7. On y notera en particulier une source de courant I = 10 A orientee de maniere a abaisser lepotentiel Vc = V, reference par rapport a la masse. On donne C = C0 = 1 F et R = R0 = 1 k. On supposeraici, pour simplifier, que la diode D se comporte comme un interrupteur qui est ferme (fil sans resistance) dansle sens passant et ouvert (resistance infinie) dans le sens inverse.

A un instant que nous choisirons pour origine du temps (t = 0), partons dune situation ou V+ = 0 et

V = 0+, ce qui entrane que la tension de sortie de lamplificateur operationnel soit en saturation negative :

Vs = Vsat. La diode D ne conduit pas. Cependant, des linstant t = 0+, la source de courant I rend le potentiel

V sensiblement negatif, ce qui suffit pour faire basculer lamplificateur operationnel en saturation positive :Vs = +Vsat.

17. Quelle est la difference de potentiel Vs V+ entre les bornes du condensateur C0 a la date t = 0 ? En

deduire a la date t = 0+ la valeur de cette difference de potentiel puis la valeur de V+.

18. Ecrire lequation differentielle qui regit la croissance du potentiel V+ au cours du temps puis la resoudre,sachant que Vsat = 15 V.

19. Le courant traversant la diode des linstant t = 0+ etant nettement superieur au courant I, le conden-sateur C se charge alors progressivement sous une tension Vc = V croissante a partir de 0. Ecrire lequationdifferentielle qui regit levolution du potentiel V au cours du temps puis la resoudre. Pour ce faire, on feraabstraction de la source de courant I dont le debit (10 A) est tres faible.



b

bb b

b

bVc

bbb b

b

b

b

+

-

b b bb

ID

VDR

IC

R0

C0

Vs

VD

ID

Modele de

la diode

0

Fig. 7 Multivibrateur

20. Representer sur un meme graphe levolution des tensions V+ et V en fonction du temps puis determiner letemps t0 au bout duquel ces deux tensions segalisent, ainsi que leur valeur numerique commune en cet instant.Que se passe-t-il immediatement au-dela de ce temps ?

21. La diode cessant maintenant de conduire, la source de courant I agit seule ; elle abaisse alors tres lentementle potentiel Vc depuis la valeur calculee precedemment jusqua la limite atteinte pendant cette evolution par lepotentiel V+. Cette limite correspondra a une tension nulle, si la tension V+ tend beaucoup plus rapidementvers 0 que Vc. Il sera donc necessaire de verifier a posteriori que la constante de temps R0C0 est bien negligeabledevant le temps t necessaire a la decharge complete du condensateur C. Expliquer pourquoi la decroissancede la tension Vc est lineaire en fonction du temps. A partir des valeurs numeriques donnees, calculer la valeurnumerique de lintervalle t. Montrer quimmediatement franchie la date t0 +t, la tension Vc tend a devenirlegerement negative, ce qui ramene a la situation decrite initialement au temps t = 0. Que se passe-t-il alors ?

22. Expliquer pourquoi, dans lintervalle de temps [t0; t0 +t], le potentiel V+ tend vers 0 avec une constantede temps egale a R0C0 et verifier que cette constante de temps est bien negligeable devant t.

23. Comparer t au temps t0. En deduire la periode T0 des dents de scie obtenues.

24. Tracer levolution au cours du temps de la tension Vc aux bornes du condensateur C a lechelle de quelquessecondes, en negligeant lintervalle de temps [0; t0].

25. Expliquer comment obtenir la tension w(t) decrite sur la figure 3, a partir du montage represente sur lafigure 7. Faire une schema du montage additif ayant pour entree la tension Vc.


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