DMV Studierendenkonferenz 2007

Humboldt-Universitat zu Berlin

26.3.–27.3.2007

Programm der Studierendenkonferenz

Montag, 26.3.2007

14.30 Eroffnung, Horsaal 107214.50 – 18.20 Sektionssitzungen: Programm siehe unten19.15 Abendessen im Restaurant “La Scala”, Rosenthaler Str. 13, Berlin-Mitte

Dienstag, 27.3.2007

9.00 – 12.30 Sektionssitzungen: Programm siehe unten14.00 Preisverleihung, Horsaal 3038

– Alle Raumangaben beziehen sich auf das Hauptgebaude, Unter den Linden 6 –

Programm der SektionssitzungenBei allen nicht naher spezifizierten Arbeiten handelt es sich um Diplomarbeiten.

Montag, 26.3.2007

Sektion ARaum 2014 A

14.50 Stanislav Bulygin: Some Problems from Coding Theory and Cryptography (Master-arbeit)

15.20 Sebastian Basten: Die Arithmetische Liftungseigenschaft fur Gruppen der Ordnung p4

15.50 Ulrich Terstiege: Antispecial cycles on the Drinfeld upper half plane and degenerateHirzebruch-Zagier cycles

16.20 Pause

16.50 Kira Samol: Die Deformationsmethode von Lauder und Dwork fur gewichtet projek-tive Hyperflachen

17.20 Anselm Knebusch: L2-Invarianten und Eigenwerte

17.50 Frank Ditsche: Resolution of Operads and Coherence Restraints

bis 18.20

Sektion BRaum 2014 B

14.50 Christian Hartfeldt: Kulturgeschichte und Geometrie der Platonischen Korper (Staats-examensarbeit)

15.20 Tina Kaplan: Inhaltliche Zugange zu Symmetrie und Farbung in der Sekundarstufe 1(Staatsexamensarbeit)

15.50 Frederik Hagemann: Grundprobleme der Raumgeometrie, bearbeitet mit der Software“Cabri 3D” (Staatsexamensarbeit)

16.20 Pause

16.50 Andrea Jakob: Faktorisierungs- und Irreduzibilitatsverfahren von Polynomen uberendlichen Korpern (Staatsexamensarbeit)

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17.20 Sophie Bruns: Gruppeneigenschaften von elliptischen Kurven (Staatsexamensarbeit)

17.50 Christina Roeckerath: Simulation und Analyse chemischer Reaktionen auf der Basiseines einfachen Konzeptmodells (Staatsexamensarbeit)

bis 18.20

Sektion CRaum 3086

14.50 Marita Thomas: Mode-III-Interface-Riss in einem Verbund aus nichtlinearen Materi-alien

15.20 Christian Schuft: Numerische Losung von Integralgleichungen fur Risse

15.50 Winnifried Wollner: Adaptive Finite-Elemente-Methoden fur Optimalsteuerungspro-bleme elliptischer partieller Differentialgleichungen mit Kontrollbeschrankungen

16.20 Pause

16.50 Timo Berthold: Primal Heuristics for Mixed Integer Programs

17.20 Barbara Zwicknagl: Potenzreihenkerne

bis 17.50

Sektion DRaum 3088

14.50 Georg Menz: Exponential Stability of Wave Equations with Non-Definite Damping

15.20 Anita Kettemann: Die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Losung eines Chemota-xis-Modells fur hamatopoietische Stammzellen

15.50 Konrad Kaltenbach: Das vollstandige Eigenleben des nichtrelativistischen spinlosenWasserstoffatoms

bis 16.20

Dienstag, 27.3.2007

Sektion ARaum 2014 A

9.00 kein Vortrag

9.30 kein Vortrag

10.00 Daniel Dressler: Toughness von Knotenmengen und lokale Faktoren in Graphen

10.30 Felix Distel: Mengen paarweise pseudoahnlicher Knoten in Graphen

11.00 Pause

11.30 Gerald Pientka: Uber eine Vermutung von Thompson

12.00 Christian Gutschwager: Multiplizitatenfreie Charaktere der Symmetrischen Gruppen

bis 12.30

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Sektion BRaum 2014 B

9.00 Stefan Blei: Uber Integralfunktionale eines Wiener-Prozesses mit Drift, streng Mar-kovsche lokale Martingale und lokale Exponentialmartingale

9.30 Matthias Keller: Produkte zufalliger Matrizen und der Lyapunov-Exponent

10.00 Hartmuth Henkel: Adaptive density estimations for mixing processes

10.30 Pause

11.00 Johannes Muhle-Karbe: Portfoliooptimierung in Modellen mit stochastischer Volatili-tat

11.30 Mathias Vetter: Integrierte Volatilitat unter Marktmikrostruktur

12.00 Nicolas Vogelpoth: Some Results on Dynamic Risk Measures

bis 12.30

Sektion CRaum 3086

9.00 Annabell Berger: Minkonvexe Faktoren fixer Kantenzahl (Masterarbeit)

9.30 Jens Krommweh: Bilateraler Filter zur Entstorung von Bildern

10.00 Tobias Schon: Multiresolutionsanalyse in der Computertomographie

10.30 Pause

11.00 Florian Drechsler: Optimierung von Clusterbaumen zu H-Matrixstrukturen

11.30 Thomas Bonesky: Ein verallgemeinertes Gradientenverfahren fur nichtlineare Opera-torgleichungen

12.00 Andreas Gunther: Gittersteuerung bei zustandsrestringierten Optimalsteuerungspro-blemen

bis 12.30

Sektion DRaum 3088

9.00 Filipp Levikov: Wang sequences in intersection homology

9.30 Boris Walter: Liegruppen von Diffeomorphismen von Banachraumen

10.00 Carla Cederbaum: Construction of Discrete Surfaces, Conformal Reparametrisation,and Applications to the Gradient Flow of the Willmore Functional

10.30 Pause

11.00 Patrick Breuning: Kompaktheit von Immersionen mit Lp-beschrankter zweiter Fun-damentalform

11.30 Jens Putzka: Aquivariante Signaturen und Darstellungen der Modulgruppe in derKohomologie von Modulkurven

12.00 Henrik Freymond: Uber eine selbstadjungierte Realisierung der Rotation

bis 12.30

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Teilnehmerliste

Basten, Sebastian U HeidelbergBerger, Annabell Fernuniversitat HagenBerthold, Timo TU BerlinBlei, Stefan U JenaBonesky, Thomas ZeTeM, U BremenBreuning, Patrick U FreiburgBruns, Sophie U GottingenBulygin, Stanislav TU KaiserslauternCederbaum, Carla U FreiburgDistel, Felix TU DresdenDitsche, Frank U MainzDrechsler, Florian MPIM LeipzigDressler, Daniel TU Chemnitz (jetzt U Dortmund)Freymond, Henrik TU DresdenGutschwager, Christian U HannoverGunther, Andreas TU Dresden (jetzt U Hamburg)Hagemann, Frederik U BremenHartfeldt, Christian U MagdeburgHenkel, Hartmuth U HeidelbergJakob, Andrea Katharina U GottingenKaltenbach, Konrad MPIM LeipzigKaplan, Tina PH KarlsruheKeller, Matthias TU ChemnitzKettemann, Anita U StuttgartKnebusch, Anselm U GottingenKrommweh, Jens U Duisburg-EssenLevikov, Filipp U HeidelbergMenz, Georg U KonstanzMuhle-Karbe, Johannes TU MunchenPientka, Gerald U HallePutzka, Jens U BonnRoeckerath, Christina RWTH AachenSamol, Kira Verena U MainzSchon, Tobias U Erlangen-NurnbergSchuft, Christian U GottingenTerstiege, Ulrich U BonnThomas, Marita U Stuttgart (jetzt HU Berlin)Vetter, Mathias U BochumVogelpoth, Nicolas LMU MunchenWalter, Boris TU DarmstadtWollner, Winnifried U HeidelbergZwicknagl, Barbara U Gottingen (jetzt MPIM Leipzig)

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Sponsoren

Wir bedanken uns bei folgenden Instituten, die Aufenthalte als Preise fur diebesten Abschlussarbeiten gestiftet haben:

Mathematisches Forschungsinstitut OberwolfachMax-Planck-Institut fur MathematikMax-Planck-Institut fur Mathematik in den NaturwissenschaftenKonrad-Zuse-Institut fur InformationstechnikFraunhofer-Institut fur Techno- und WirtschaftsmathematikFachgruppe Mathematik der RWTH Aachen

Beim Springer-Verlag bedanken wir uns fur die Stiftung diverser Buchpreise.

Schließlich bedanken wir uns bei der Konferenz der Mathematischen Fach-bereiche fur die Stiftung des KMathF-Preises fur Staatsexamensarbeiten.

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Zusammenfassungen der Abschlussarbeiten

in alphabetischer Reihenfolge der Vortragenden

Basten, Sebastian (Diplomarbeit, Universitat Heidelberg)Die Arithmetische Liftungseigenschaft fur Gruppen der Ordnung p4

Eine Gruppe G hat die Arithmetische Liftungseigenschaft uber einem vorgegebenen Korper K, wenn jede Ga-loiserweiterung von K mit Galoisgruppe G Spezialisierung einer uber K regularen G-Erweiterung von K(t),dem rationalen Funktionenkorper von K in einer Variablen, ist. In der ersten Arbeit uber die ArithmetischeLiftungseigenschaft von Sybilla Beckmann aus den Jahr 1994 wird die Arithmetische Liftungseigenschaft furalle abelschen Gruppen uber Q nachgewiesen. Von Elena Black wird 1998 und 1999 gezeigt, dass die Existenzgenerischer Polynome fur eine Gruppe die Arithmetische Liftungseigenschaft impliziert und die Vermutungaufgestellt, dass alle Gruppen die Arithmetische Liftungseigenschaft uber Q haben. Diese Arbeit befasst sichmit der Liftungseigenschaft fur nicht-abelsche p-Gruppen der Ordnungen p4 und p5 uber Zahlkorpern, wennp eine ungerade Primzahl ist. Insgesamt gibt es 10 nicht-abelsche Gruppen der Ordnung p4 fur p ≥ 3, 60nicht-abelsche Gruppen der Ordnung 35 = 243 und 54 + 2 · p + ggt(4, p− 1) + 2 · ggt(3, p− 1) nicht-abelscheGruppen der Ordnung p5 fur p > 3. In dieser Arbeit wird die Arithmetische Liftungseigenschaft fur alleGruppen der Ordnungen p4 und einen Teil der Gruppen der Ordnung p5 nachgewiesen.

Berger, Annabell (Masterarbeit, Fernuniversitat Hagen)Minkonvexe Faktoren fixer Kantenzahl

Dieser Vortrag behandelt diskrete Optimierungsprobleme auf der Knotenmenge von Graphen G auf folgendeWeise. Eine Funktion l : N0 → R von den nichtnegativen Zahlen auf die reellen Zahlen heißt diskrete konvexeFunktion, wenn fur alle i ∈ N0 gilt: 2l(i + 1) ≤ l(i) + l(i + 2). Wir betrachten den Graphen G = (V,E).Bezeichne H = (V, F ) mit F ⊆ E einen Teilgraphen von G und dH : V → N0 seine Knotengradfunktion. Wirwollen einen Teilgraphen H = (V, F ) mit |F | = k bestimmen, fur den l(H) :=

∑v∈V l(dH(v)) minimiert wird.

Formal ergibt sich das Problem Minkonvex(G, k) =H = (V, F ) |

∑v∈V dH(v) = 2k und l(H) = min

. Eine

grobe Skizze eines polynomiellen Algorithmus der Komplexitat O(|V |5,5) fur den Spezialfall l(n) := n2 wurdein der Arbeit “Minsquare Faktors and Maxfix Covers of Graphs” von Appolonio und Sebo (2002) angegeben.Wir reduzieren das Problem auf ein klassisches Problem der Graphentheorie, namlich auf die Suche nacheinem maximal gewichteten f -Faktor. Damit ergibt sich ein Algorithmus der Komplexitat O(|E|2log(|V |))fur alle diskreten konvexen Funktionen l. Da fur die Kantenmenge |E| ∈ O(|V |2) gilt, erreichen wir einedeutliche Verbesserung der Komplexitat.

Berthold, Timo (Diplomarbeit, TU Berlin)Primal Heuristics for Mixed Integer Programs

Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit Primalheuristiken fur Gemischt-Ganzzahlige Programme (MIPs).MIPs werden zur Modellierung einer Vielzahl praxisrelevanter Themen verwendet. Primalheuristiken spie-len in modernen MIP-Losern wie dem am ZIB entwickelten und in dieser Arbeit verwendeten SCIP eineSchlusselrolle beim Auffinden und Verbessern zulassiger Losungen. Die Arbeit gibt einen Uberblick uberdie Entwicklung der Primalheuristiken mit Schwerpunkt auf der aktuellen Forschung. Es werden diverseder in den letzten zehn Jahren veroffentlichten Methoden ausfuhrlich vorgestellt, sowie zum Teil deutlichverbessert. Daneben werden neue, bisher nicht beschriebene Verfahren prasentiert. So stellt sich zumBeispiel das in dieser Arbeit erstmals vorgestellte RENS als die effektivste derzeit bekannte Rundeheuristikheraus. Zu jeder Heuristik wird eine algorithmische Darstellung, eine grafische Illustration sowie zu jederGattung von Heuristiken vergleichende Tests und eine Diskussion der Implementationsdetails gegeben. Ab-schließend werden durch umfangreiche Testrechnungen 15 in SCIP implementierte Heuristiken miteinanderverglichen. Es zeigt sich, dass gerade das Zusammenspiel unterschiedlicher heuristischer Ansatze im Mittelfur ein gutes Losungsverhalten sorgt, wobei der Feinabstimmung zwischen Methoden mit ahnlichen Ansatzeneine besondere Wichtigkeit zufallt.

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Blei, Stefan (Diplomarbeit, Universitat Jena)Uber Integralfunktionale eines Wiener-Prozesses mit Drift, streng Markovsche lokale Martingale und lokale Expo-nentialmartingale

Das Ziel meiner Diplomarbeit war es, ein notwendiges und hinreichendes, rein analytisches Kriterium andas Geschwindigkeitsmaß eines streng Markovschen stetigen lokalen Martingals (kurz: SMSLM) (X, F) zufinden, unter der das zu (X, F) assoziierte lokale Exponentialmartingal (Z(X), F) definiert durch Z(X) :=exp

(X − 1

2 〈X〉)

ein Martingal ist. Zur Beantwortung verschiedener Fragen im Bereich stochastischerProzesse ist es wichtig zu wissen, unter welchen Bedingungen diese Martingaleigenschaft erfullt ist. Annah-men dieser Art sind beispielsweise im Satz von Girsanov uber den absolutstetigen Wechsel des Wahrschein-lichkeitsmaßes zu finden. Im ersten Kapitel werden wichtige Hilfsmittel wie Aussagen uber lokale Zeitenstetiger Semimartingale und zufallige Zeittransformationen stetiger lokaler Martingale fur die folgendenAnalysen bereitgestellt. Im sich anschließenden Kapitel werden fur ein nichtnegatives Maß m auf (R,B(R))und einen Wiener-Prozess mit Drift Yt = Wt + t, t ≥ 0, wobei W ein Wiener-Prozess ist, die Integralfunk-tionale Tt =

∫R LY (t, z) m(dz), t ≥ 0, betrachtet. Dabei bezeichnet LY die lokale Zeit von Y . Die Kenntnis

uber das Konvergenz- und Divergenzverhalten von Tt, t ≥ 0, und T∞ = supt≥0 Tt in Abhangigkeit vomMaß m spielt eine entscheidende Rolle in den nachfolgenden Untersuchungen. Das dritte Kapitel dient derDefinition und Analyse von SMSLM. Dabei werden wichtige Eigenschaften von SMSLM nachgewiesen. DasKapitel endet schließlich mit der Einfuhrung der Strukturfunktion und des Geschwindigkeitsmaßes einesSMSLM. Wichtig hierbei ist, dass ein SMSLM durch das zugehorige Geschwindigkeitsmaß in Verteilung ein-deutig bestimmt wird. Außerdem wird eine Konstruktionsmethode geschildert, die es ermoglicht, aus einemvorgegebenen, sich als Geschwindigkeitsmaß eignenden Maß m, ein SMSLM zu erzeugen, welches tatsachlichm als Geschwindigkeitsmaß besitzt. Im letzten Kapitel werden wichtige Eigenschaften uber zu lokalen Mar-tingalen assoziierte lokale Exponentialmartingale nachgewiesen. Schließlich wird die gerade angesprocheneKonstruktionsmethode eines SMSLM in Verbindung mit den Ergebnissen aus Kapitel 2 verwendet, um dieFrage nach einer notwendigen und hinreichenden Bedingung an das Geschwindigkeitsmaß eines SMSLM zubeantworten, unter der das assoziierte lokale Exponentialmartingal ein Martingal ist.

Bonesky, Thomas (Diplomarbeit, ZeTeM, Universitat Bremen)Ein verallgemeinertes Gradientenverfahren fur nichtlineare Operatorgleichungen

Die Arbeit befasst sich mit der Anwendung eines verallgemeinerten Gradientenverfahrens zur Losung vonMinimierungsproblemen in Hilbertraumen auf Minimierungsaufgaben, wie sie bei der Regularisierung nicht-linearer Operatorgleichungen auftreten. Es werden Funktionale vom Tikhonov-Typ minimiert, bei denen derquadratische Strafterm durch einen Besov-Strafterm ersetzt wurde. Diese Strafterme sind insbesondere dannsinnvoll, wenn bekannt ist, dass sich die gesuchte Losung bezuglich einer gewissen Orthonormalbasis durchwenige Basiselemente darstellen lasst. Im ersten Teil der Arbeit wird der Algorithmus des verallgemeinertenGradientenverfahrens vorgestellt und verschiedene Spezialfalle betrachtet. In diesem Zusammenhang werdendie einzelnen Schritte des Algorithmus naher untersucht und ein Konvergenzsatz gezeigt. Der zweite Teilbefasst sich mit dem Vergleich des verallgemeinerten Gradientenverfahrens und einem zweiten Verfahren zurLosung obengenannter Minimierungsprobleme. Das zweite Verfahren ist eine Methode, die auf der Mini-mierung sogenannter Ersatzfunktionale beruht. Ergebnis dieses Vergleiches ist eine Aussage daruber, unterwelchen Bedingungen beide Verfahren ineinander ubergehen. Abschließend werden die theoretischen Resul-tate an einem Beispiel aus der medizinischen Bildverarbeitung verdeutlicht. Als Beispiel dient hierbei einespezielle Form der Computertomographie, die Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT).

Breuning, Patrick (Diplomarbeit, Universitat Freiburg)Kompaktheit von Immersionen mit Lp-beschrankter zweiter Fundamentalform

Diese Arbeit stellt eine Aussage auf zur Kompaktheit einer Menge von Mannigfaltigkeiten, bzw. von Immer-sionen, die auf diesen definiert sind. Grundlage ist eine Arbeit von J. Langer aus dem Jahr 1985. Langer gehtaus von einer Menge F von Immersionen f : M → R3, wobei M eine zweidimensionale, kompakte Mannig-faltigkeit ist. Alle Abbildungen aus F mogen gewisse geometrische Schranken erfullen, als wichtigste davoneine gleichmaßige Lp-Schranke der zweiten Fundamentalformen. Nach Ubergang zu einer Teilfolge lasst sichdann jede gegebene Folge f i : M i → R3 aus F durch Diffeomorphismen φi : M → M i reparametrisieren, sodass f i φi in der C1-Topologie gegen eine Grenzimmersion f : M → R3 konvergiert. Der Satz von Langer

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kann damit als Kompaktheitsaussage fur den Fall klassischer Flachen im R3 aufgefasst werden. K. Corlettebewies 1990 im Falle beliebiger Dimension die Endlichkeit der Anzahl von Aquivalenzklassen derartiger Im-mersionen, wobei zwei Immersionen als aquivalent angesehen werden, wenn eine regulare Homotopie zwischenihnen existiert. Corlette vermutete nun, dass sich die Aussage von Langer ebenfalls auf beliebige Dimensionverallgemeinern ließe, also eine starke Kompaktheitsaussage existiere, aus der sowohl der Satz von Langer,als auch jener von Corlette als sofortige Folgerung hervorginge. Der Beweis dieser Aussage, neben einigenweitergehenden Verallgemeinerungen, wird in obengenannter Diplomarbeit erbracht.

Bruns, Sophie (Staatsexamensarbeit, Universitat Gottingen)Gruppeneigenschaften von elliptischen Kurven

Elliptische Kurven werden durch die Menge der Paare (x, y) aus einem beliebigen Korper gebildet, die dielange Weierstraßgleichung y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x

2 + a4x + a6 erfullen. Die Eigenschaft, die denmeisten Anwendungen dieser besonderen Mengen zugrunde liegt, ist die, dass sie Gruppen bilden. Und zwarGruppen, denen nicht nur eine Verknupfung mit einfacher, schnell ausfuhrbarer Arithmetik zugrunde liegt,sondern die auch sehr individuellen Anforderungen angepasst werden konnen. Denn Korper und Parameterkonnen frei gewahlt werden, mit der einzigen Einschrankung, dass die Kurve glatt sein muss. Der Beweisdieser erfreulichen Eigenschaft elliptischer Kurven ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Von seinemAnsatz her kann dieser als geometrisch angesehen werden. Lediglich der Beweis des Assioziativitatsgesetzes,der die Hauptschwierigkeit darstellt, erfordert eine etwas weniger elementare Argumentation. Er bezieht denFunktionenring uber einer elliptischen Kurve mit ein, um Einschrankungen bezuglich der Charakteristik deszugrundeliegenden Korpers zu vermeiden, die in der Literatur an dieser Stelle haufig vorgenommen werden.

Bulygin, Stanislav (Masterarbeit, TU Kaiserslautern)Some Problems from Coding Theory and Cryptography

In the present thesis we adress two issues: Generalized Hermitian codes and the security of Polly Cracker-type cryptosystems. In the first part of the thesis a generalization of Hermitian function field proposed byGarcia and Stichtenoth is considered. The structure of the Weierstrass semigroup of the point at infinityis studied. It turns out that it has more complex structure than its Hermitian counterpart. The resultsabout this semigroup are applied to the investigation of dimension of codes constructed on the generalizedHermitian function field over GF (2r). It also turns out that for certain values of the dimension these codesachieve record values of the minimum distance for an alphabet of 8 elements. One code delivers the newrecord. In the second part we study security issues connected with the Polly Cracker-type cryptosystems.We make an emphasis on chosen-ciphertext security of a noncommutative variant of the Polly Cracker.

Cederbaum, Carla (Diplomarbeit, Universitat Freiburg)Construction of Discrete Surfaces, Conformal Reparametrisation, and Applications to the Gradient Flow of theWillmore Functional

Die Willmore-Energie einer Immersion f : Σ → R3 einer geschlossen Flache Σ in den R3 ist gegeben durchW(f) = 1

2

∫Σ|H(f)|2, wobei H(f) den mittleren Krummungsvektor von f bezeichnet. Sie misst die Ab-

weichung von lokaler Spharizitat. Die kritischen Punkte (“Willmore-Flachen”) und der L2-Gradientenfluss(“Willmore-Fluss”) der Willmore-Energie sind in vielen Gebieten wie beispielsweise in der konformen Ge-ometrie und der Physik elastischer Membranen von Interesse und werden intensiv untersucht. Meine Diplom-arbeit setzt sich aus vier Teilen zusammen und hat sowohl theoretische als auch numerische Komponenten.Im ersten Teil habe ich ein Schema zur Konstruktion orientierbarer diskreter Flachen beliebiger Generaentwickelt. Ziel war dabei, basierend auf theoretischen Resultaten Flachen mit moglichst geringer Willmore-Energie zu gewinnen, die Aufschluss uber das Konvergenzverhalten des Willmore-Flusses geben sollen –insbesondere bei nicht-spharischen Flachen. Im zweiten Teil der Arbeit habe ich das Fließverhalten ver-schiedener Flachen unter dem mit Finiten Elementen diskretisierten Willmore-Fluss untersucht. Dabei konn-te ich einige Hypothesen beispielsweise uber Rotationstori bestatigen. Um eine durch die Diskretisierungdes Flusses bedingte Gitterdegeneration auszugleichen, habe ich im dritten Teil die Moglichkeit einer Sta-bilisierung der diskreten Flachen untersucht. Dabei habe ich insbesondere eine Methode zur diskretenkonformen Reparametrisierung verfeinert, aus technischen Grunden allerdings nur beispielhaft fur Spharen.

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Theoretisch beruht die diskrete konforme Reparametrisierung auf der Existenz globaler konformer Diffeo-morphismen zwischen beliebigen glatten Spharen mit glatter Riemannscher Metrik. Dabei handelt es sichum eine wohlbekannte Folgerung aus dem Uniformisierungssatz und aus der Existenz lokaler isothermerKoordinaten. Numerisch zuganglicher ist ein anderer Existenzbeweis, der auf der Minimierung einer verall-gemeinerten Dirichlet-Energie beruht und den ich im vierten Teil meiner Diplomarbeit vorstelle.

Distel, Felix (Diplomarbeit, TU Dresden)Mengen paarweise pseudoahnlicher Knoten in Graphen

Zwei Knoten u und v in einem Graphen G heißen pseudoahnlich, wenn sie sich nicht durch einen Auto-morphismus von G aufeinander abbilden lassen, aber trotzdem G − u und G − v isomorph sind. Dabeibezeichnet G − u den Graphen, der entsteht, wenn aus G der Knoten u und alle mit u inzidenten Kan-ten entfernt werden. In der Arbeit wurden zunachst nicht zusammenhangende Graphen betrachtet. Furdiese konnte gezeigt werden, dass zwei pseudoahnliche Knoten stets aus isomorphen Komponenten stammenmussen. Daraus lasst sich folgern, dass es genugt, zusammenhangende Graphen zu betrachten, wenn nur diegroßtmogliche Anzahl paarweise pseudoahnlicher Knoten interessiert. Fur diese Anzahl wurden anschließendAbschatzungen gefunden, die auf Betrachtungen der moglichen Grade der pseudoahnlichen Knoten und ihrerNachbarn beruhten. Den Kern der Arbeit stellte die Betrachtung der Isomorphismen dar, die G − u aufG − v abbilden. Zunachst wurde der Begriff der Restpermutation eingefuhrt, die einfach die Fortsetzungdes Isomorphismus auf ganz E(G) darstellt, indem π(u) := v gesetzt wird. Es erwies sich als außerst frucht-bar, die Zerlegung dieser Permutation in elementfremde Zyklen zu betrachten. Daraus konnten zahlreichenotwenige Bedingungen dafur gefunden werden, dass zwei Knoten pseudoahnlich sein konnen. Mit Hilfedieser Bedingungen konnten anschließend die zentralen Aussagen der Arbeit bewiesen werden. So wurdez.B. gezeigt, dass pseudoahnliche Knoten nur in Graphen mit mindestens acht Knoten vorkommen konnen;falls die pseudoahnlichen Knoten Grad 1 haben, muss der Graph sogar mindestens elf Knoten enthalten.Zuletzt wurden die Resultate in einem Programm umgesetzt, das die kleinsten Graphen mit drei paarweisepseudoahnlichen Knoten bestimmt.

Ditsche, Frank (Diplomarbeit, Universitat Mainz)Resolution of Operads and Coherence Restraints

Die Theorie der Operaden fußt auf dem Verstandis der monoidalen und symmetrisch monoidalen Kategorien,deren Theorien wir kurz diskutieren, um schließlich MacLanes Koharenztheorem zu beweisen. Danach gebenwir eine Einfuhrung in Baume, wobei wir einen unublichen, nicht mengentheoretischen Zugang wahlen: Dervon uns verwendete Vektorraum O.Treevec(E,L) der Baume fur zwei endliche Mengen E und L ist von derForm O.Treevec(E,L) = colimT∈ob(TREEL)

eint(T)=E

Q〈T〉 ⊗ det(T). Weiterhin geben wir eine explizite Konstruktion

zweier Differentiale δ+1 und δ−1 an, welche spater Differentiale auf Operaden induzieren. Danach gebenwir eine Einfuhrung in die Operadentheorie und ihrer wichtigsten Begriffe und Beispiele, etwa die freieOperade Γ(M), die Baumoperade TreeOp, die Endomorphismusoperade End, die Cobar Operade C(P ) unddie “duale differentialgraduierte Operade” D(P ), und beweisen dann, dass es einen QuasiisomorphismusD(D(P )) −→ P+ fur Operaden P gibt. Daran anschließend betrachten wir quadratische Operaden wie Ass,Lie, Com und ihre Beziehungen zueinander, wie etwa Ass! = Ass und Lie! = Com. Schließlich widmenwir uns wieder den Koharenzbedingungen, indem wir einen auf der Operadentheorie basierenden Beweisfur MacLanes Theorem fur monoidale Kategorien angeben und behandeln noch den Fall der symmetrischmonoidalen Kategorien.

Drechsler, Florian (Diplomarbeit, MPIM Leipzig)Optimierung von Clusterbaumen zu H-Matrixstrukturen

Integralgleichungen und partielle Differentialgleichungen werden oftmals mit numerischen Verfahren gelost.Dabei entstehen vollbesetzte Matrizen (bei PDGL’s ist dies die Inverse der Steifigkeitsmatrix), die einenquadratischen Speicheraufwand haben. Wir konnen diese Matrizen mittels der H-Matrix-Technik appro-ximieren, so dass wir einen fast linearen Speicheraufwand erhalten. Dazu wird mittels Clusterbaumeneine Blockstruktur fur die Matrix erstellt, von denen Blocke, die eine Zulassigkeitsbedingung erfullen, mitNiedrigrangmatrizen approximiert werden. Man ist nun an der optimalen Blockstruktur interessiert, so dassder Speicherbedarf minimal wird. Die Blockstruktur hangt wiederum von den Clusterbaumen ab, so dass

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man optimale Clusterbaume sucht. Ich konnte nun zeigen, dass der zugehorige Suchraum eine Komplexitatvon O(n!) hat. Durch die spezielle Konstruktion der Clusterbaume ergibt sich eine Einschrankung desSuchraumes, die aber von dem gegebenen Problem abhangt und den Aufwand nicht auf ein vertretbaresMaß senkt. Als zweiten Ansatz habe ich spezielle Heuristiken fur Integralgleichungen untersucht, wobeidie Partitionen der Indexmenge so unterteilt werden, dass die Zulassigkeitsbedingung fur moglichst großeBlocke erfullt ist. Diese Heuristiken habe ich so gewahlt, dass der Berechnungsaufwand moglichst gering ist.Zusatzlich wurden von mir die Zulassigkeitsbedingung sowie die Konstruktion der Blockstruktur modifiziert.Die Kombination der Verfahren senkt den Speicherbedarf um 17% und die benotigte Zeit zum Aufstellender Matrix um 25% bei der gleichen Großenordnung des Fehlers.

Dressler, Daniel (Diplomarbeit, TU Chemnitz)Toughness von Knotenmengen und lokale Faktoren in Graphen

Chvatal definierte das Konzept der Toughness eines Graphen. Dieses Konzept lasst sich auf eine Teilmengeder Knotenmenge ubertragen: Sei G = (V,E) ein Graph und H ⊆ V fest. Fur Z ⊆ V sei cH(G − Z) dieAnzahl der Komponenten von G−Z, die mindestens einen Knoten aus H enthalten. Fur ein nicht-negatives tbezeichnet man H als t-tough in G, wenn fur jeden sogenannten Trenner Z ⊆ V mit cH(G − Z) ≥ 2 dieBedingung tcH(G− Z) ≤ |Z| erfullt ist. Die Toughness von H sei das Supremum aller t, fur die H t-toughin G ist. Sie ist ein Versuch zu quantifizieren, “wie sehr H in G verbunden ist”. Sie verfugt z.B. uberMonotonieeigenschaften, die mit diesem Ziel ubereinstimmen. Ein H-lokaler k-Faktor ist ein System vonkreuzungsfreien H-Wegen, in dem jeder H-Knoten Endpunkt von genau k der Wege ist. Ein Satz von Maderbesagt, dass sich die Existenz eines solchen Faktors mit Hilfe spezieller Partitionen von V uberprufen lasst.In der Diplomarbeit wurden die Konzepte Toughness und lokale Faktoren miteinander verknupft. Durch diegeschickte Konstruktion von Trennern aus den Partitionen ergibt sich ein hinreichendes Kriterium, um auseiner genugend hohen Toughness von H die Existenz eines H-lokalen k-Faktors zu folgern. Dies stellt eineVerallgemeinerung eines Satzes von Enomoto et al. dar, welcher aus der Toughness von V die Existenz einesFaktors im herkommlichen Sinn folgert. Allerdings tritt die chromatische Zahl von H, χ(G[H]), als neuerTerm in der Bedingung auf, und es wird gezeigt, dass die Aussage bezuglich χ(G[H]) scharf ist.

Freymond, Henrik (Diplomarbeit, TU Dresden)Uber eine selbstadjungierte Realisierung der Rotation

Die Arbeit untersucht die vektoranalytische Operation der Rotation als Hilbertraumoperator im Raum derquadratintegrablen Funktionen. Ziel ist es, im Fall einer offenen, nicht leeren Grundmenge mit beschranktemLebesgue-Maß im R3 durch Wahl einer geeigneten Randbedingung eine selbstadjungierte Realisierung derRotation und eines hieraus abgeleiteten Operators anzugeben. Die Beweisfuhrung verwendet neben Hilbert-raummethoden insbesondere potentialtheoretische Uberlegungen, um an entscheidender Stelle zu zeigen, dasseine weitere Modifikation der Rotation einen kompakten, selbstadjungierten Integraloperator als Inversebesitzt. Ein wichtiges Nebenprodukt der Argumentation ist dabei, dass das Spektrum oben genannterOperatoren ein abzahlbares, reines Punktspektrum ohne Haufungspunkte ist und dass 0 der einzige Eigenwertunendlicher Vielfachheit ist. Daruber hinaus werden die gewonnenen Resultate auf spezielle Probleme ausdem Bereich der Theorie der Maxwellschen Gleichungen angewandt. Eine dieser Anwendungen ist einemathematische Theorie fur die Eigenfunktionen der Rotation, die so genannten kraftfreien Magnetfelder. DieBetrachtung der hier untersuchten speziellen Randbedingung fur die Rotation ist historisch gerechtfertigtaus ihrer Bedeutung fur die Theorie dieser Funktionen.

Gutschwager, Christian (Diplomarbeit, Universitat Hannover)Multiplizitatenfreie Charaktere der Symmetrischen Gruppen

In meiner Diplomarbeit beantworte ich die Frage, wann ein Schiefcharakter der symmetrischen Gruppe multi-plizitatenfrei ist. Schiefcharaktere der symmetrischen Gruppen werden durch Schiefpartitionen beschriebenund uber die Littlewood-Richardson-(LR-)Koeffizienten als Summe uber irreduzible Charaktere der sym-metrischen Gruppe definiert. Die Klassifizierung gelingt durch eine Ungleichung der LR-Koeffizienten, welcheeine Halbordnung auf der Menge der Schiefcharaktere induziert. Schiefe Schur-Funktionen konnen als Summeuber Schur-Funktionen zerlegt werden, wobei die gleichen Koeffizienten auftauchen wie in der Zerlegung derSchiefcharaktere. Damit ist die Klassifizierung der multiplizitatenfreien Schiefcharaktere aquivalent zu der

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Klassifizierung der multiplizitatenfreien schiefen Schur-Funktionen. Des Weiteren wird ein Eins-zu-eins-Zusammenhang zwischen den irreduziblen Charakteren in der Zerlegung eines Schiefcharakters und denSchubert-Klassen in der Zerlegung des Produkts von zwei Schubert-Klassen gefunden. Dies gelingt ubereine Symmetrie der LR-Koeffizienten. Dabei werden Schubert-Klassen auch durch Partitionen beschrieben,was einen Vergleich erst moglich macht. Anschließend werden als weitere Anwendung noch die Fragenbeantwortet, wann zwei Schiefdiagramme denselben multiplizitatenfreien Schiefcharakter beschreiben undwann ein Produkt von zwei Schur-Funktionen einer bestimmten Form multiplizitatenfrei ist. Außerdem wirdnoch eine Aussage uber das Auftreten von irreduziblen Charakteren in der Zerlegung eines Schiefcharaktersgetroffen.

Gunther, Andreas (Diplomarbeit, TU Dresden)Gittersteuerung bei zustandsrestringierten Optimalsteuerungsproblemen

In der Praxis auftretende Optimalsteuerungsprobleme mit elliptischen partiellen Differentialgleichungensowie punktweisen Zustandsschranken als Nebenbedingungen sind beispielsweise Stromungsprobleme mitbegrenzter Geschwindigkeit bzw. Aufheizungsprozesse mit Temperaturbeschrankungen. Rechnungen mitglobal feinen Gittern stoßen dabei sehr bald an die Grenzen des Hochleistungsrechnens. In diesem Kontextbeschaftigt sich die vorliegende Arbeit mit der Entwicklung eines neuartigen, problemspezifischen Fehler-schatzers zur Erzeugung zielorientierter, adaptiver Gitter. Hierzu wird die von B. Becker und R. Ran-nacher vorgestellte “Dual Weighted Residual”-Methode auf den zustandsrestringierten Fall erweitert. NachDiskretisierung mittels linearen finiten Elementen wird unter Verwendung der Optimalitatssysteme eineDarstellung fur den Fehler in der Zielgroße gefunden. Die darin auftretenden Terme beschreiben die Verlet-zung der Zustandsgleichung, der adjungierten Gleichung und der Komplementaritatsbedingung. Basierendauf dieser Darstellung werden lokale Fehlerindikatoren definiert und anhand zweier Beispiele auf ihre Eigen-schaften hin untersucht. Trotz nachweisbar geringer Effizienz erzeugen die Fehlerinformationen zielorien-tierte, adaptive Triangulationen. Bei Steuerung durch die Strategie des maximalen Fehlers bzw. der Fehler-gleichverteilung sind die Familien der erzeugten Gitter stets quasi-uniform.

Hagemann, Frederik (Staatsexamensarbeit, Universitat Bremen)Grundprobleme der Raumgeometrie, bearbeitet mit der Software “Cabri 3D”

In der Arbeit werden Anfange einer Tetraedergeometrie untersucht durch Analogiebildung zur in der Schuleetablierten ebenen Dreiecksgeometrie. Den Ausgangspunkt bilden elementare Gesetzmaßigkeiten der Drei-ecksgeometrie. Die Eigenschaften von Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Schwerelinien und Hohen imDreieck werden zunachst analysiert, um anschließend eine begrundete Ubertragung auf den Raum, vomDreieck auf ein (allgemeines) Tetraeder, durchzufuhren. Durch diese Analogiebildung ist es gelungen, dieentsprechenden besonderen Linien im Tetraeder naher zu beleuchten, ihre zentralen Eigenschaften zu erfassenund diese auch zu beweisen. Die Analogiebildung eroffnet aber auch eine didaktische Perspektive, denndurch die enge Wechselbeziehung zwischen ebener und raumlicher Geometrie bietet sich die Chance fureinen systematischen Aufbau konstruktiver, raumlicher Geometrie in der Schule. Die Examensarbeit nutztdie Moglichkeiten der aktuellen Software Cabri 3D, welche, entsprechend dynamischer Geometriesoftwareder Ebene, die konstruktive Seite raumlicher Geometrie betont. Neben den darstellerischen Moglichkeiten,die intensiv fur Abbildungen in der Arbeit genutzt werden, setzt sich der Autor auch kritisch mit derHandhabung der Software auseinander.

Hartfeldt, Christian (Staatsexamensarbeit, Universitat Magdeburg)Kulturgeschichte und Geometrie der Platonischen Korper

Die vorliegende Arbeit behandelt die Kulturgeschichte und Geometrie der Platonischen Korper, deren ver-schiedene Anwendungen (Kristallographie, Kunst, Architektur) sowie deren mogliche Behandlung in derSchule und umfasst im Einzelnen:

• Die Kulturgeschichte der Platonischen Korper, wobei in diesem Zusammenhang auf die Geschichteund Bedeutung der Platonischen Korper in der Kunst eingegangen wird. So werden der GoldeneSchnitt, das Zeitalter der Renaissance vorgestellt und der Zusammenhang zwischen der Mathematikund Musik dargestellt.

• Einen Uberblick uber die Geometrie der Platonischen Korper.

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• Die Begriffe Determinante, Packungen und Packungsdichte, welche fur die Anwendung der Platoni-schen Korper in der Kristallographie benotigt werden.

• Die Frage nach der Bedeutung der Platonischen Korper in der Kristallographie.• Verschiedene Beispiele fur den Unterricht in der Sekundarstufe I sowie in der Sekundarstufe II werden

erlautert, wobei auch einige Satze zu den Herleitungen von Formeln sowie geometrische Beweise zuden Eigenschaften der Platonischen Korper angegeben werden.

Henkel, Hartmuth (Diplomarbeit, Universitat Heidelberg)Adaptive density estimations for mixing processes

We create adaptive estimators for the density and the transition operator of discrete Markov chains ona compact interval. The results are proved on the assumption that the underlying process is β-mixing.This mixing property can be considered as a measure for the dependence of the random variables of theprocess. Other measures of dependence are imaginable, but we choose β-mixing, because this property canbe shown to hold for diffusion processes under suitable conditions. The estimators we propose are nonlinearwavelet estimators. They are nonlinear because some of the wavelet coefficients are thresholded – hardthresholding will be the means of choice. We give bounds in L2-norm and H1-norm respectively. Thesebounds attain the optimal minimax rates up to an additive logarithmic factor. In 2004 Gobet, Hoffmannand Reiß [Nonparametric Estimation of Scalar Diffusions based on Low Frequency Data. The Annals ofStatistics, 32(5): 2223-2253] established results on estimating the drift b and the diffusion coefficient σ of adiffusion X on [0,1] with reflecting boundary conditions. It is about a spectral estimation method, relyingon semigroup theory. It turned out that an estimator of the invariant density of X and estimators of aneigenvalue and eigenfunction of the transition operator of X can be used to build plug-in estimators of σand b. Thus, our thesis can be considered as a first step to generalize their results inasmuch as we try toconstruct adaptive estimators of σ and b. But up to now this is not completely possible, because we lack amethod to estimate the eigenvalues and eigenfunctions of the transition operator P∆ in an adaptive way.

Jakob, Andrea Katharina (Staatsexamensarbeit, Universitat Gottingen)Faktorisierungs- und Irreduzibilitatsverfahren fur Polynome uber endlichen Korpern

Aus der Vorlesung Kryptographie entstanden, behandelt diese Examensarbeit ein Grenzgebiet zwischenMathematik und theoretischer Informatik. Sie beschaftigt sich mit dem Faktorisieren, den Tests auf Irre-duzibilitat und der Konstruktion von irreduziblen Polynomen uber endlichen Korpern. Nach einer Darstel-lung der Grundlagen wird auf das Faktorisieren von Polynomen uber endlichen Korpern eingegangen. Diestritt in einer Vielzahl von Anwendungen als Unterproblem auf, z.B. beim Bestimmen des diskreten Log-arithmus oder beim Losen polynomialer Gleichungen. Zunachst wird das grundlegende Schema der Fak-torisierung dargestellt: die quadratfreie, gleichgradige und finale Faktorisierung. Anschließend werden wei-tere Moglichkeiten der Faktorisierung angegeben, schwerpunktmaßig der Algorithmus von Berlekamp undNiederreiter. Im zweiten Teil der Arbeit werden Kriterien zum Testen von Polynomen auf Reduzibilitat undIrreduzibilitat vorgestellt. Diese werden zur Darstellung der Algorithmen von Butler, Rabin, Ben-Or undShoup verwendet. Zusatzlich werden Binome und Trinome behandelt. Die auf diesem Weg gefundenen Algo-rithmen werden im letzten Teil der Arbeit so umgewandelt, dass sie zur Konstruktion irreduzibler Polynomegenutzt werden konnen. Einerseits kann ein zufalliges Polynom gewahlt und dann gepruft werden, ob eskeine Faktoren enthalt. Anderseits konnen aus bekannten irreduziblen Polynomen rekursiv weitere irredu-zible Polynome hoheren Grades konstruiert werden. Am Ende ist es moglich, ein irreduzibles Polynom vongewahltem Grad zu konstruieren. Tests auf Irreduzibilitat und die Konstruktion irreduzibler Polynome uberendlichen Korpern werden fur die Konstruktion von endlichen Korpererweiterungen benotigt. Sie finden ihreAnwendung beispielsweise in ausfuhrenden Kryptosystemen und fehlerkorrigierenden Codes.

Kaltenbach, Konrad (Diplomarbeit, MPIM Leipzig)Das vollstandige Eigenleben des nichtrelativistischen spinlosen Wasserstoffatoms

Die Diplomarbeit breitet vier Themen aus der mathematischen Behandlung des nichtrelativistischen spin-losen Wasserstoffatoms aus:1. Die Losungstheorie zur radialen Schrodingergleichung, einer linearen gewohnlichen Differentialgleichungzweiter Ordnung mit einer schwachen Singularitat an der Stelle 0. Referiert werden die allgemeine Gestalt

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eines Fundamentalsystems fur Gleichungen gar n-ter Ordnung, das Kriterium von Fuchs dafur, dass eineihrer Singularitaten schwach ist, und schließlich das praktikable Losungsverfahren von Frobenius.2. Die Berechnung eines Fundamentalsystems der Radialgleichung. Hierzu wird sie auf die KummerscheDifferentialgleichung transformiert, und diese wird mittels des Verfahrens von Frobenius integriert.3. Die strenge Bestimmung der Randbedingungen, denen jene klassischen Losungen genugen mussen, diephysikalische, gebundene Zustande des Wasserstoffatoms reprasentieren.4. Den Nachweis, dass die klassischen Eigenfunktionen zum diskreten und kontinuierlichen Energiespektrumzusammen ein vollstandiges System verallgemeinerter Eigenfunktionen im Sinne Gelfands bilden (verallge-meinerte Eigenfunktionen heißen dabei temperierte Distributionen, die die Eigenwertgleichung im distri-butionellen Sinne befriedigen): Jede Testfunktion lasst sich namlich nach den Eigenfunktionen entwickeln:ihr “Winkelanteil” nach den Kugelflachenfunktionen, ihr “Radialteil” nach dem Satz von Kodaira uber dieverallgemeinerte Fouriertransformation nach den Eigenfunktionen der Radialgleichung.

Kaplan, Tina (Staatsexamensarbeit, Padagogische Hochschule Karlsruhe)Inhaltliche Zugange zu Symmetrie und Farbung in der Sekundarstufe 1

In der Arbeit werden Farbungen von Kacheln von Zerlegungen im Hinblick auf offene Lernumgebungen zumentdeckenden Lernen genutzt. Wie in der Arbeit nachgewiesen wird, bietet dieses Thema die Moglichkeit,auf jedem mathematischen Niveau fur die Schule Fragestellungen zu entwickeln, denen Schuler selbststandigforschend nachgehen konnen und die die Kreativitat der Lernenden nicht einschranken. Um zunachst einmalselbst entdeckend und forschend tatig zu sein, habe ich mich mit Farbungen von Zerlegungen verschiedenerSymmetriegruppen beschaftigt. Anschließend ging ich der Frage nach, ob es fur alle naturlichen Zahlenmoglich ist, n Kacheln der Quadratzerlegung so zu farben, dass deren Mittelpunkte ein gleichseitiges n-Eckbilden. Es gibt die verschiedensten Forschungsauftrage fur Schuler, die leicht formulierbar und verstandlichsind und einen hohen Aufforderungscharakter haben. Es lassen sich etwa gleichseitige n-Ecke oder dieverschiedenen Viereckstypen in Zerlegungen suchen. Auch die Erkundung und Erforschung von Symme-trieeigenschaften gefarbter Zerlegungen fuhrt zu spannenden Fragestellungen.

Keller, Matthias (Diplomarbeit, TU Chemnitz)Produkte zufalliger Matrizen und der Lyapunov-Exponent

In vielen Bereichen der Mathematik und der theoretischen Physik, insbesondere der Quantenmechanik,treten Fragen auf, die die asymptotischen Eigenschaften von Produkten zufalliger Matrizen betreffen. Inder vorliegenden Arbeit werden 2× 2-Matrizen mit Determinante 1 betrachtet, die nach einigen grundlegen-den Betrachtungen als unabhangig und identisch verteilt angenommen werden. Von besonderer Bedeutungist dabei die Charakterisierung durch den Lyapunov-Exponenten. Dieser reprasentiert die asymptotischeWachstumsrate der Normen dieser Matrizen. Es werden zunachst die wichtigen Satze von Furstenbergund Osceledec dargestellt, sowie eine Verallgemeinerung des zweiten fur unabhangige, identisch verteilteMatrizen. Den Kern der Arbeit bildet die Diskussion zweier Satze uber große Abweichungen fur denLyapunov-Exponenten. Die Zugange zum Beweis unterscheiden sich sehr stark, je nachdem ob der Lyapunov-Exponent streng positiv oder null ist. Wir werden beide Satze in allen Details darstellen und beweisen.Am Ende soll die Transfermatrizen-Methode fur diskrete Schrodingeroperatoren H(ω) : l2(Z) → l2(Z),(H(ω)u)n = un+1 +un−1 +Vn(ω)un, abhangig von einem zufalligen Parameter ω, dargestellt werden. Dabeiwerden das allgemeine ergodische, das unabhangig, identisch verteilte und das zufallige Polymermodell un-tersucht. Samtliche in den vorherigen Kapiteln bewiesenen Resultate finden hier ihre Anwendung.

Kettemann, Anita (Diplomarbeit, Universitat Stuttgart)Die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Losung eines Chemotaxis-Modells fur hamatopoietische Stammzellen

Nach einer Stammzellentransplantation bei Blutkrankheiten wie Leukamie mussen die Stammzellen selbst-standig ihren Weg aus der Blutbahn in die sogenannten Stromanischen im Knochenmark finden. Wahrenddieses Vorgangs ist der Patient sehr gefahrdet und die Behandlung teuer. Dieser “homing”-Prozess wird durcheine Variante des Keller-Segel-Modells beschrieben. Ziel ist es, durch ein besseres Verstandnis die homing-Dauer zu verkurzen und dadurch die Erfolgsaussichten von Stammzellentransplantationen zu verbessern.Das Chemotaxis-System besteht aus zwei nichtlinearen gekoppelten parabolischen Differentialgleichungenmit inhomogenen Robin- und Neumann-Randbedingungen und einer Evolutionsgleichung auf dem Rand.

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Durch Losen der Evolutionsgleichung erhalt man nichtlokale Randbedingungen fur die beiden partiellenDifferentialgleichungen. Die in bisherigen Arbeiten zu Chemotaxis-Modellen verwendete Substitution kannhier aufgrund der inhomogenen Randbedingungen nicht verwendet werden. Um die lokale Existenz einerschwachen Losung zu zeigen, wird zunachst in den nichtlinearen Termen eine Große abgeschnitten. Eineschwache Losung fur das abgeschnittene System erhalt man mit Hilfe des Schaeferschen Fixpunktsatzes.A-priori-Abschatzungen der Losung in geeigneten Sobolevnormen ermoglichen es, die Eindeutigkeit und diefur die medizinische Anwendung notige Positivitat der Losung zu zeigen. Die Losung fur das ursprunglicheSystem erhalt man durch Regularitatsaussagen, insbesondere durch eine L∞(0, T ;L∞(Ω))-Abschatzung furdie Losung des abgeschnittenen Systems. Durch die mit Hilfe eines Finite-Elemente-Rothe-Verfahrens er-haltenen Simulationsergebnisse wird das experimentell beobachtete Verhalten gut wiedergegeben.

Knebusch, Anselm (Diplomarbeit, Universitat Gottingen)L2-Invarianten und Eigenwerte

Das Hauptresultat der Diplomarbeit zeigt, dass verallgemeinerte Liouvillsche Zahlen als Eigenwerte einesElementes A ∈ M(ZG|n), als Operator auf `2(G)d, ausgeschlossen werden konnen, falls G einer relativ großenKlasse G von Gruppen, welche z.B. amenable Gruppen enthalt, entspringt. Der Satz verallgemeinert einenSatz, der dies fur Liouvillsche Zahlen zeigt; diese sind dadurch ausgezeichnet, dass sie sich im Verhaltniszur Nennergroße gut durch Bruche approximieren lassen. Im Gegensatz hierzu werden verallgemeinerteLiouvillsche Zahlen gut durch Algebraische Zahlen approximiert, wobei als zusatzliches Kriterium der Graddes Minimalpolynoms herangezogen wird. Das vierte Kapitel ist ein Zusatzteil, der die im ersten Teilgenutzte Technik verwendet, um einige Aussagen uber das Verschwinden der Fuglede-Kadison-Determinanteauf bestimmten Ringen nachzuweisen.

Krommweh, Jens (Diplomarbeit, Universitat Duisburg-Essen)Bilaterale Filter zur Entstorung von Bildern

Das Ziel der Entstorung von digitalen Bildern ist die Beseitigung ungewunschten Rauschens bei gleichzei-tigem Erhalt der signifikanten Bildstrukturen. Dazu schlugen Tomasi und Manduchi 1998 eine nichtlineareFiltermethode vor, den bilateralen Filter, dem eine ebenso einfache wie einleuchtende Idee zugrunde liegt:Die Berechnung der gefilterten Pixelwerte erfolgt durch eine gewichtete Mittelwertbildung der umliegendenNachbarpixel, wobei das Gewicht aus zwei Komponenten besteht. Zum einen hangt die Gewichtung vonder geometrischen Distanz, zum anderen von der photometrischen Ahnlichkeit ab. Das bedeutet, dassnahegelegene Pixel und Pixel mit einem ahnlichen Bildwert durch ein hoheres Gewicht die Berechnung desneuen Bildwertes beeinflussen. Ziel meiner Arbeit war der analytische Vergleich der Methode der bilateralenFilterung mit anderen in der Bildverarbeitung verwendeten, nichtlinearen Verfahren. Dabei konzentrierteich mich insbesondere auf die genaue Darstellung der Zusammenhange zu statistischen Verfahren (z.B. M-Glatter, RE-Verfahren), zur anisotropen Diffusion und zur adaptiven Glattung. Die Verbindung zu diesenMethoden ergibt sich aus der wichtigen Tatsache, dass auch der bilaterale Filter mit Hilfe der robustenSchatzung hergeleitet werden kann. Damit wird dem bilateralen Filter ein theoretischer Hintergrund gegeben,ein Umstand, den Tomasi und Manduchi noch vernachlassigt hatten. Mit Hilfe von MATLAB zeige ichanschließend das Verhalten des bilateralen Filters an einigen graphischen Beipielen zur Entstorung vonBildern. Die Ergebnisse werden mit den Entstorungsresultaten der anderen, zuvor beschriebenen Methodenverglichen. Im letzten Kapitel der Arbeit werden Modifikationen des bilateralen Filters vorgeschlagen, diein gewissen Fallen sogar eine qualitative Verbesserung der Entstorung bewirken.

Levikov, Filipp (Diplomarbeit, Universitat Heidelberg)Wang Sequences in intersection homology

Der Begriff der Mannigfaltigkeit liegt im Herzen der Topologie und topologischer Anwendungen. In den1950er und 1960er Jahren wurden enorme Fortschritte in ihrer Erforschung gemacht, wichtige Invariantenwie die Signatur und charakteristische Klassen wurden eingefuhrt. Wenn X eine n-dimensionale geschlosseneMannigfaltigkeit ist, nutzt man eine wesentliche Eigenschaft dabei aus, die Poincare-Dualitat: Hn−i(X; R) ∼=Hom(Hi(X; R), R). In derselben Zeit ist auch das Interesse an Raumen gewachsen, die Singularitatenaufweisen. Leider ist bei diesen die Poincare-Dualitat verletzt. 1974 entwickelten M. Goresky und R. Mac-Pherson eine neue Theorie, die Schnitthomologie, welche besonders geeignet fur das Studium singularer

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Raume ist, und wiesen die verallgemeinerte Poincare-Dualitat nach. In der darauf folgenden Zeit wurdenschone Resultate in der Theorie singularer Raume erzielt und in der Sprache der Schnitthomologie formuliert,wie beispielsweise die Verallgemeinerung der Lefschetz-Theoreme auf singulare komplexe Varietaten. Fur unsist eine Verallgemeinerung des Signaturbegriffes zentral. Im wesentlichen arbeitet man mit stratifiziertenPseudomannigfaltigkeiten X, Raumen, welche durch Mannigfaltigkeiten gefiltert sind. Dabei lassen sichhaufig Umgebungen niederdimensionaler Komponenten als Faserbundel beschreiben. In der Theorie derFaserbundel wiederum gibt es sehr nutzliche exakte Homologiesequenzen, wie die Gysin-Sequenz oder dieWang-Sequenz. In dieser Arbeit werden Beweise der Wang-Sequenz fur Schnitthomologie gegeben, indemunterschiedliche Beschreibungen der Theorie genutzt werden. Sie wird unter anderem benutzt, um das Ver-schwinden der Schnitthomologiegruppen gewisser verallgemeinerter Thomraume zu zeigen; diese Gruppenwiederum treten in der Zerlegungsformel von Cappell und Shaneson auf, welche das Verhalten der Schnitt-homologie unter stratifizierten Abbildungen f : Y → X beschreibt. In den betrachteten Fallen resultiertschließlich die Gleichheit der Signaturen von X und Y .

Menz, Georg (Diplomarbeit, Universitat Konstanz)Exponential Stability of Wave Equations with Non-Definite Damping

In der Diplomarbeit wird die nichtlineare Wellengleichung utt − σ(ux)x + a(x)ut + b(x)u = 0 auf dembeschrankten Intervall x ∈ (0, L) ⊂ R betrachtet. Da die Funktion a das Vorzeichen wechseln darf,sprechen wir von einer nicht definiten Dampfung. Ergebnisse von Munoz Rivera und Racke fur den Fallb = 0 werden auf den Fall b 6= 0 verallgemeinert. Dabei mussen neu auftretende technische Schwierigkeitenuberwunden werden. Im ersten Teil wird die exponentielle Stabilitat der assoziierten linearen Wellenglei-chung utt − uxx + a(x)ut + b(x)u = 0 gezeigt, falls a := 1

L

∫ L

0a(x)dx positiv, der großte Eigenwert des

Operators (∂xx − b) negativ und ‖a − a‖L2 genugend klein ist. Hierfur wird zuerst die exponentielle Sta-bilitat einer assoziierten Wellengleichung nachgewiesen und anschließend auf die ursprungliche Gleichungdurch ein Fixpunktargument ubertragen. Explizite Abschatzungen fur die Abklingrate werden angegeben.Im zweiten Teil wird die globale Existenz einer glatten, kleinen Losung der nichtlinearen Wellengleichunggezeigt, falls zusatzlich der negative Teil von a klein genug ist. Hierfur wird eine lokale Losung mit Hilfeeiner Abschatzung von hoheren Energien und einer gewichteten a-priori-Ungleichung global fortgesetzt.

Muhle-Karbe, Johannes (Diplomarbeit, TU Munchen)Portfoliooptimierung in Modellen mit stochastischer Volatilitat

Diese Arbeit beschaftigt sich mit dem Portfolioproblem: Wie muss ein gegebenes Startkapital investiertwerden, um den erwarteten Nutzen aus dem Portfoliowert zu maximieren? Um diese Frage beantwortenzu konnen, wird zunachst ein hinreichendes Optimalitatskriterium bewiesen: Eine Kandidatenstrategie istoptimal, falls der Drift bestimmter Prozesse verschwindet und ein weiterer Prozess ein Martingal ist. Die Be-stimmung optimaler Strategien erfolgt dann in zwei Schritten. Mit einem geeigneten Ansatz fur die Form deroptimalen Strategie wendet man zunachst Hilfsmittel aus der stochastischen Analysis auf die Driftbedingun-gen an. Es ergibt sich ein Gleichungssystem fur die Ansatzfunktionen. Falls eine Losung existiert, hat maneine Kandidatenstrategie bestimmt. Daraufhin muss nachgewiesen werden, dass diese Strategie tatsachlichoptimal ist. Diese beiden Schritte konnen in verschiedenen stochastischen Volatilitatsmodellen erfolgreichdurchgefuhrt werden. Dabei wird verwendet, dass diese Modelle in die Klasse affiner Markov-Prozesse fallen.Macht man entsprechende affine Ansatze, so ist es unter bestimmten Voraussetzungen an die Parameter derModelle moglich, Kandidatenstrategien zu bestimmen. Um tatsachlich Optimalitat nachweisen zu konnen,werden daraufhin Bedingungen angegeben und bewiesen, unter denen Exponentiale affiner Prozesse Martin-gale sind. Auf diese Weise erhalt man unter anderem optimale Handelsstrategien fur das Modell von Hestonsowie fur zeittransformierte Levy-Modelle von Carr/Geman/Madan/Yor.

Pientka, Gerald (Diplomarbeit, Universitat Halle)Uber eine Vermutung von Thompson

Fur eine endliche Gruppe G bezeichnen wir mit N(G) die Menge aller Konjugiertenklassenlangen. EineVermutung von Thompson besagt nun: Ist M eine endliche einfache Gruppe und G eine endliche Gruppemit Z(G) = 1 und N(M) = N(G), so sind G und M isomorph. Durch den Klassifikationssatz ist es nunmoglich, die Vermutung durch Uberprufung samtlicher einfacher Gruppen M zu bestatigen. Die bisherigen

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Erfolge auf diesem Gebiet beschranken sich aber auf Gruppen mit einer bestimmten Eigenschaft. Dazu wirdfur M ein Graph definiert, dessen Eckpunkte die Primfaktoren der Gruppenordnung sind, und bei dem zweiPrimzahlen p und q genau dann miteinander verbunden werden, falls es in M ein Element der Ordnung pqgibt. Ist nun dieser Graph unzusammenhangend, so kann ein Satz von Grunberg und Kegel angewendetwerden, der das Problem zu großen Teilen auf ein rein arithmetisches reduziert. Bei dieser Methode wird derKlassifikationssatz benotigt. Im ersten Teil der Arbeit wird nun diese Methode genauer vorgestellt, indemThompsons Vermutung fur die PSL(p + 1, q), mit q − 1 | p + 1 und ungeradem q bewiesen wird. Der zweiteTeil der Arbeit widmet sich dagegen der Gruppe A10, und hier wird die Vermutung zum ersten Mal fureine Gruppe mit zusammenhangendem Primgraphen bewiesen. Die Klassifikation der endlichen einfachenGruppen wird dabei nicht benotigt.

Putzka, Jens (Diplomarbeit, Universitat Bonn)Aquivariante Signaturen und Darstellungen der Modulgruppe in der Kohomologie von Modulkurven

Ziel der Arbeit ist es, die Ergebnisse von Erich Hecke aus den Jahren 1928 bis 1930 uber die Vielfachheitenvon ausgezeichneten irreduziblen Darstellungen von PSL2(Fp) auf dem Raum der Spitzenformen S2(Γ(p))mittels einer Form der Selbergschen Spurformel zu beweisen. Kern der Arbeit ist die Berechnung derDifferenz y+ − y− der Vielfachheiten zweier zueinander konjugierter Darstellungen. Zunachst kann manSpitzenformen vom Gewicht 2, (L2)-harmonische Formen und Innere Kohomologie der Riemannschen FlacheΓ\H bzw. deren Kompaktifizierung X(p) geeignet identifizieren. Dies nutzt man dann dazu, aquivarianteSignaturen bezuglich der Wirkung einer kompakten oder endlichen Gruppe einzufuhren und deren Gleichheitzu zeigen. Die aquivariante Signatur ist so gegeben durch die Differenz von Spuren. Die Wirkung ist indiesem Fall durch die Verkettung eines elementaren Heckeoperators mit der rechtsregularen Darstellungdes Warmeleitungskerns gegeben. Somit konnen wir diese Spuren mittels einer abgewandelten Form derSelbergschen Spurformel fur Heckeoperatoren, die den zusatzlichen Twist berucksicht, bestimmen. In derDifferenz heben sich die divergenten Beitrage der Spurformel weg. Die verbleibenden Terme lassen sichdurch einfache Umformungen mittels der Hurwitz-Zetafunktion durch L(1, χp) ausdrucken, wobei χp durchdas Legendresymbol gegeben ist, was uns uber die Klassenzahlformel von Dirichlet das bekannte ErgebnisHeckes y+ − y− = 0 fur p ≡ 1 mod 4 und y+ − y− = h(−p) fur p ≡ 3 mod 4 liefert. Dabei ist h(−p) dieKlassenzahl von Q(

√−p).

Roeckerath, Christina (Staatsexamensarbeit, RWTH Aachen)Simulation und Analyse chemischer Reaktionen auf der Basis eines einfachen Konzeptmodells

Modellierung und Simulation haben sich nicht nur in der angewandten Mathematik als wertvolle Mittel er-wiesen, sondern spielen zunehmend auch im schulischen Bereich eine wichtige Rolle. Durch das Erkennen desZusammenhangs mit Alltagsphanomenen und anderen Wissenschaften gewinnt die Mathematik fur Schuleran Sinn und Wert. Im Rahmen dieser Arbeit wird aufbauend auf den Ergebnissen der Dissertation vonB. Gotzen (RWTH Aachen) die Entwicklung und Analyse eines Modells fur eine einfache chemische Reaktiondurchgefuhrt. Dazu wird diese anhand des Modells computerunterstutzt simuliert und unter mathematischenGesichtspunkten analysiert. Das entwickelte Simulationsprogramm lasst sich als Unterrichtsmaterial sowohlin der Mathematik als auch in der Chemie einsetzen. Es ist unter der Internetadressehttp://www.matha.rwth-aachen.de/˜roeckerath/Chemische Reaktion/Staatsarbeit.htmlzu finden. Das entwickelte Simulationswerkzeug erlaubt den Einsatz in verschiedenen Jahrgangsstufen undUnterrichtssituationen. Es ermoglicht einen experimentellen Zugang, dient aber auch als Grundlage fur ma-thematische Analysen. So lassen sich aus der Chemie bekannte Phanomene wie zum Beispiel das Erreicheneines Gleichgewichtszustandes und das Massenwirkungsgesetz bei kleinen Konzentrationen herleiten.

Samol, Kira Verena (Diplomarbeit, Universitat Mainz)Die Deformationsmethode von Lauder und Dwork fur gewichtet projektive Hyperflachen

Meine Diplomarbeit befasst sich mit der Berechnung der Zetafunktion ζ(X, Fq, T ) = exp(∑∞

n=1 Nn(X)T n

n

)einer glatten, gewichtet-projektiven Hyperflache uber dem endlichen Korper Fq, q = ps, mit Hilfe p-adischerKohomologie. Es sei hier Nn(X) die Anzahl der Punkte von X mit Koordinaten in Fqn . Das erste Kapitel be-fasst sich mit der theoretischen Bestimmung der Zetafunktion einer beliebigen glatten, gewichtet-projektiven

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Hyperflache. Mein Vorgehen hier ist angelehnt an Arbeiten von Dwork und Monsky, welche glatte pro-jektive Varietaten betrachten. Darauf folgend entwickele ich aufbauend auf die Ergebnisse aus Kapiteleins eine Deformationsmethode, um die Zetafunktionen der glatten Mitglieder einer 1-Parameter-Familievon gewichtet-projektiven Hyperflachen zu berechnen. Diese Deformationsmethode bildet die Grundlagefur einen Algorithmus, welcher erstmalig die effektive Bestimmung der Zetafunktionen einer Klasse vongewichtet-projektiven Hyperflachen ermoglicht. Ich habe das Verfahren in MAGMA implementiert, im An-hang der Arbeit finden sich der MAGMA-Code sowie einige explizit berechnete Beispiele. Im Ausblick leiteich die notwendige Theorie zur Berechnung der Zetafunktion einer torischen Varietat her und skizziere, wiesich die Berechnungsmethoden fur gewichtet-projektive Varietaten auf torische Varietaten verallgemeinernlassen.

Schon, Tobias (Diplomarbeit, Universitat Erlangen-Nurnberg)Multiresolutionsanalyse in der Computer-Tomographie

In der Rontgen-Computer-Tomographie (CT) wird der zu untersuchende Korper mit Rontgenstrahlen durch-leuchtet und mithilfe der Schwachung dieser Strahlen auf die innere Struktur des Prufobjektes geschlossen.Bei den heutzutage weit verbreiteten Ruckprojektionsverfahren wird meistens das vollstandige Objekt rekon-struiert. Da die zu rekonstruierenden Volumen immer großere Datenmengen besitzen, ware ein Verfahrenvon Vorteil, welches zuerst das Objekt “grob” rekonstruiert und nur an interessanten Stellen weitere Detail-Informationen berechnet. Dies wird progressives Rekonstruktionsverfahren genannt. Ziel der vorliegendenDiplomarbeit ist es, ein solches Verfahren herzuleiten, und dieses anhand von simulierten und gemessenenProjektionsdaten zu testen. Hierfur wenden wir die Multiresolutionsanalyse (MRA) auf die Computer-Tomographie an. Mittels einer MRA lasst sich eine gegebene Funktion in einen tieffrequenten und mehrerehochfrequente Anteile aufteilen. Aus dem tieffrequenten und den lokalen hochfrequenten Anteilen kannman die Funktion wieder vollstandig zuruckgewinnen. Diese lokale Eigenschaft einer MRA nutzen wir beider Herleitung eines progressiven Rekonstruktionsverfahrens aus. Zu Beginn der Diplomarbeit erlauternwir wichtige mathematische Grundlagen in der Computer-Tomographie. Wir fuhren die Methode der Ap-proximativen Inversen ein, mit Hilfe derer wir im Laufe der Arbeit die Rekonstruktionsformeln herleiten.Danach befassen wir uns mit der Wavelet-Transformation. Die Diskretisierung dieser Transformation fuhrtzur Multiresolutionsanalyse. Mithilfe dieser bestimmen wir zuerst eine Rekonstruktionsformel fur die n-dimensionale Radon-Transformation. Hiermit leiten wir im zweidimensionalen Fall Algorithmen fur dieparallele und Facherstrahlgeometrie her. In der dreidimensionalen Computer-Tomographie betrachten wirnur die Kegelstrahlgeometrie, wobei wir hier bei den Rekonstruktionsverfahren zwischen einer Kreisbahnund einer Tuy-Kurve als Abtastkurve unterscheiden. In Zusammenarbeit mit dem EnwicklungszentrumRontgentechnik, einer gemeinsamen Abteilung der Fraunhofer-Institute IZFP Saarbrucken und IIS Erlangen,wurden die fur die Praxis interessanten Rekonstruktionsverfahren implementiert und anhand von simuliertenund gemessenen Projektionsdaten getestet.

Schuft, Christian (Diplomarbeit, Universitat Gottingen)Numerische Losung von Integralgleichungen fur Risse

Ich behandele in dieser Arbeit das Dirichletproblem zur Laplace-Gleichung im Auengebiet eines Bogens.Zur numerischen Losung haben Jiang/Rokhlin in einem gemeinsamen Paper mit Hilfe eines Einfachschicht-potenzialansatzes die dadurch entstehende Integralgleichung erster Art in eine Integralgleichung zweiter Artuberfuhrt und diese dann numerisch gelost. In der vorliegenden Arbeit wird dieser Ansatz durch konse-quente Anwendung der Cosinus-Substitution vereinfacht. Das so entstehende numerische Verfahren wirddann mit dem Verfahren auf Effizienz verglichen, welches entsteht, wenn man die Integralgleichung ersterArt numerisch lost. Dazu wurden zusatzlich die letzteren numerisch implementiert und die Ergebnisse anBeispielen verdeutlicht.

Terstiege, Ulrich (Diplomarbeit, Universitat Bonn)Antispecial cycles on the Drinfeld upper half plane and degenerate Hirzebruch-Zagier cycles

Im ersten Teil der Arbeit wird der Begriff des antispeziellen Zykels auf dem formalen Modell der Drinfeldschenoberen Halbebene zu Qp in Analogie zum Begriff des speziellen Zykels aus der der Arbeit Height pairingson Shimura curves and p-adic uniformization von Kudla und Rapoport eingefuhrt. Fur p 6= 2, 3 werden

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lokale Gleichungen fur antispezielle Zykeln bestimmt, und es wird gezeigt, dass es sich um Divisoren handelt.Sodann wird das Schnittprodukt zweier antispezieller Zykeln bestimmt. Im zweiten Teil der Arbeit wird diesangewendet, um das Schnittprodukt dreier geeigneter (ausgearteter) Hirzebruch-Zagier-Zykeln zu berechnen,wobei letztere als spezielle Zykeln in einem geeigneten Modulraum p-divisibler Gruppen eingefuhrt werden.(Hier ist auch p = 3 moglich. Dieser Modulraum kann fur die Uniformisierung der Komplettierung einesModulraums abelscher Varietaten uber Z(p) entlang des supersingularen Ortes verwendet werden, welcher inder Arbeit Arithmetic Hirzebruch-Zagier cycles von Kudla und Rapoport eingefuhrt wird.) Es wird auch be-wiesen, dass es sich bei diesen speziellen Zykeln wieder um Divisoren handelt. (Daraus folgt die entsprechendeAussage uber antispezielle Zykeln auch fur p = 3. Der Schnitt der drei Zykeln heißt ausgeartet, weil er nicht0-dimensional ist, obwohl der Modulraum, in dem sie definiert sind, 3-dimensional ist.) Schließlich wird eineFormel bewiesen, die das Schnittprodukt der drei Hirzebruch-Zagier-Zykeln in eine einfache Beziehung zugewissen Darstellungsdichten quadratischer Formen setzt.

Thomas, Marita (Diplomarbeit, Universitat Stuttgart)Mode-III-Interface-Bruch in einem Verbund aus nichtlinearen Materialien

Die vorliegende Diplomarbeit befasst sich mit einem Risskriterium fur einen quasistatischen Rissvorgang ent-lang der Trennflache (Interface) von zwei fur sich homogenen, isotropen, ebenen Teilkorpern mit Lipschitz-Rand. Die unterschiedlichen konstitutiven Beziehungen der Teilkorper fuhren unter Beachtung der Grund-gleichungen der Kontinuumsmechanik zusammen mit der Mode-III-Belastung auf ein Randwertproblem furbereichsweise definierte, quasilineare partielle Differentialgleichungen vom Typ der p-Laplace-Gleichung. DieLosung hat gemischte Randbedingungen mit inhomogenen rechten Seiten sowie Transmissionsbedingungenauf dem Interface zu erfullen. Anders als bei linearen Randwertproblemen erfordert die Nichtlinearitat derDifferentialoperatoren eine ausfuhrliche Behandlung des inhomogenen Dirichlet-Problems, da die Fortsetzungdieser Randvorgabe ins Gebiet in diesem Fall nicht auf die rechte Gleichungsseite uberschoben werden kann.Zentrales Ziel der vorliegenden Diplomarbeit ist es, eine Griffithsche Volumenintegralformel zur Berechnungder Energiefreisetzungsrate fur einen Verbund mit Riss zu beweisen. Dies ist eine Formel, die in einerRissspitzenumgebung definiert ist und nur von Vorgabegroßen, wie der Volumenkraftdichte, sowie vom Gra-dienten des Energieminimierers in Rissfortschrittsrichtung abhangt. Die hierzu notigen Grundlagen aus derKontinuums- und Bruchmechanik sind in Kapitel 1 ausgefuhrt. Kapitel 2 behandelt die Untersuchung vonExistenz und Eindeutigkeit schwacher Losungen mit Hilfe der Theorie monotoner Operatoren. Desweite-ren wird der Zusammenhang zwischen schwacher Losung und Energieminimierer diskutiert. In Kapitel 3wird der Beweis der Griffithschen Formel mit Hilfe von Beschranktheits-und Konvergenzuntersuchungendurchgefuhrt. Kapitel 4 veranschaulicht schließlich, dass die Griffithsche Formel effizient zur numerischenBerechnung der Energiefreisetzungsrate im Rahmen von Finiten-Element-Methoden eingesetzt werden kann.Zahlreiche numerische Beispiele illustrieren dies.

Vetter, Mathias (Diplomarbeit, Universitat Bochum)Integrierte Volatilitat unter Marktmikrostruktur

In meiner Diplomarbeit habe ich mich mit Schatzungen der Volatilitat in Ito-Diffusionen auseinandergesetztund Konvergenzaussagen fur diese Schatzer hergeleitet. Grundlage der Betrachtung sind Prozesse der FormXt = X0 +

∫ t

0µsds +

∫ t

0σsdWs, die an Stellen X i

nmit i = 1, . . . , n beobachtet werden. Prozesse der obigen

Art bilden momentan eine mathematische Grundlage fur die Analyse der Preisentwicklung von Derivatenin Finanzmarkten. Typische Maße fur die Volatilitat sind dann Integrale der Form

∫ 1

0|σt|pdt, klassisch im

Fall p = 2 die “integrierte Volatilitat”. Die empirische Untersuchung von Kursentwicklungen legt jedochnahe, dass die beobachteten Daten keine Realisierungen des Prozesses Xt selbst sind, sondern die FormY i

n= X i

n+ ε i

nbesitzen. Dabei bezeichnen die ε i

nunabhangige zentrierte Zufallsvariablen mit Varianz ω2.

Wahrend die Schatzung der integrierten Volatilitat im ungestorten Modell Xt in den vergangenen Jahrenweit vorangetrieben wurde, fehlt bis heute eine konsistente Theorie zur Schatzung von

∫ 1

0|σt|pdt im gestorten

Modell. Eine der wenigen Arbeiten auf diesem Gebiet stammt von Zhang, Mykland und Ait-Sahalia [A tale oftwo time scales: Determining integrated volatility with noisy high frequency data. Journal of the AmericanStatistical Association 100 (472), 1394–1411], in der die drei Autoren einen Schatzer fur die integrierteVolatilitat konstruiert haben, der konsistent ist und fur den sich ein Grenzwertsatz bei einer Konvergenzratevon n−

16 beweisen lasst. Ein Nachteil dieses Grenzwertsatzes ist jedoch, dass die Große

∫ 1

0σ4

t dt als Varianz in

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der Grenzverteilung auftritt. Ohne Schatzung dieses Integrals lassen sich daher weder ein asymptotischer Testnoch Konfidenzintervalle fur die integrierte Volatilitat angeben. Ich habe mich daher in der Diplomarbeit derSchatzung von

∫ 1

0σ4

t dt gewidmet und einen konsistenten Schatzer fur diese Große konstruiert. Zusammenmit den Resultaten von Zhang, Mykland und Ait-Sahalia lasst sich nun zum ersten Mal ein asymptotischerTest fur die integrierte Volatiliat herleiten.

Vogelpoth, Nicolas (Diplomarbeit, LMU Munchen)Some Results on Dynamic Risk Measures

Die vorliegende Diplomarbeit sieht sich in die Theorie dynamischer Risikomaße eingebettet. Wenn be-schrankte Zufallsvariablen und beschrankte zeitdiskrete stochastische Prozesse den diskontierten Wertprozesszukunftiger Zahlungsstrome modellieren, liegt es nahe, dass Risikomaße fur gewohnlich in Form gewisserFunktionale auf dem Raum eben dieser Objekte gegeben sind. Solche Riskikomaße spielen eine entscheidendeRolle fur die Quantifizierung des sogenannten Zielkapitals, eine fiktive finanzielle Große beziehungsweise einfinanzieller Sollwert, der im Rahmen des Schweizer Solvenztests intensiv diskutiert wird. In der vorliegendenArbeit illustrieren wir exemplarisch ein konzeptionelles Problem der vom Schweizer Bundesamt fur Pri-vatversicherungen vorgeschlagenen Quantifizierungsmethode. Dadurch motiviert zeigen wir eine alternativeQuantifizierungsmethode auf, bei der der sogenannte dynamische Expected Shortfall als Risikomaß entschei-dend herangezogen wird. Wir fuhren dazu den Begriff bedingter Quantile ein und entwickeln eine dynamischeTheorie, auf deren Basis wir einen bedingten Value at Risk definieren. Sodann konstruieren wir einen dy-namischen Value at Risk und einen dynamischen Expected Shortfall, indem durch Ruckwartsinduktion dieein-Schritt bedingten Value at Risks beziehungsweise die ein-Schritt bedingten Expected Shortfalls hinter-einander geschaltet werden. Diese Konstruktionsmethode erweist sich aus Grunden dynamischer Konsi-stenzeigenschaften als besonders geeignet. Dabei prasentieren wir eine Reihe von Charakterisierungen desbedingten Expected Shortfalls, ahnlich denjenigen im statischen Fall, und ubertragen diese auch auf dendynamischen Expected Shortfall.

Walter, Boris (Diplomarbeit, TU Darmstadt)Liegruppen von Diffeomorphismen von Banachraumen

In der Diplomarbeit wurden auf verschiedenen Diffeomorphismengruppen eines Banachraumes Liegruppen-strukturen konstruiert. Die Untersuchung der dabei behandelten Diffeomorphismengruppen wurde dadurchmotiviert, ein bekanntes Resultat uber die kompakt getragenen Diffeomorphismen einer endlichdimensiona-len, nicht-kompakten Mannigfaltigkeit M zu verallgemeinern: Diese Gruppe lasst sich zu einer Liegruppemachen, deren Modellraum der der glatten, kompakt getragenen Funktionen auf M mit der ublichen Topolo-gie des strikten induktiven Limes ist. Die Arbeit hat gezeigt, dass sich auch die Gruppe der Diffeomorphismenvon Rn, die sich von der Identitat idRn um eine Schwartzfunktion unterscheiden, zu einer Liegruppe machenlasst, deren Modellraum aus den Schwartzfunktionen des Rn besteht. Den Fall n = 1 hat auch P. Michorbehandelt [Some geometric evolution equations arising as geodesic equations on groups of diffeomorphisms,including the hamiltonian approach. Progress in Non Linear Differential Equations and Their Applications 69(2006), 133-215]. G. Goldin benutzte das Resultat in [Lectures on diffeomorphism groups in quantum physics.Proceedings Of The Third International Workshop, World Scientific, 2004]. Erstmals wurde gezeigt, dassgewisse Untergruppen von Diffeomorphismen eines beliebigen Banachraumes zu Liegruppen gemacht werdenkonnen.

Wollner, Winnifried (Diplomarbeit, Universitat Heidelberg)Adaptive Finite-Elemente-Methoden fur Optimalsteuerungsprobleme elliptischer partieller Differentialgleichungenmit Kontrollbeschrankungen

Ziel der vorliegenden Diplomarbeit ist die Entwicklung von A-Posteriori-Fehlerschatzern fur Optimalsteue-rungsprobleme partieller Differentialgleichungen mit punktweisen Ungleichungsrestriktionen an die Kontrolle.Hierbei werden sowohl verteilte wie auch Neumann-Kontrollen berucksichtigt. Die Arbeit entwickelt auf derGrundlage der “dual-weighted residual” (DWR) Methode (Becker, Rannacher 2000) ein Konzept fur dieSchatzung des Fehlers im Kostenfunktional fur obige Optimalsteuerungsprobleme. Dies geschieht durch dieBerucksichtigung von Lagrangemultiplikatoren zu den Ungleichungsbeschrankungen. Hierdurch wird dasProblem behoben, dass die Ableitung des reduzierten Kostenfunktionals in der Losung nicht verschwindet.

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Dies wurde bei der Herleitung des Fehlerschatzers im unrestringierten Falle ausgenutzt. Bei der Auswertungder Gewichte in den entstandenen Fehlerschatzern wird anstelle der sonst ublichen Methoden ein leichtmodifizierter Ansatz unter Verwendung des adjungierten Zustandes vorgeschlagen und untersucht. Dieserumgeht das Problem der geringen Regularitat der optimalen Kontrolle. Diese ist problematisch, da fur dieRechtfertigung der ublichen Verfahren mehr Regularitat benotigt wird. Anschließend wird die Funktiona-litat des entwickelten Konzeptes anhand mehrerer Beispiele demonstriert. Ferner werden, ausgehend vonder verfugbaren Literatur, sowohl Existenz und Eindeutigkeit der Losungen bewiesen, wie auch A-Priori-Fehlerabschatzungen fur die Losungen (Zustand, Kontrolle, etc.) bewiesen.

Zwicknagl, Barbara (Diplomarbeit, Universitat Gottingen)Potenzreihenkerne

Potenzreihenkerne bilden eine neue Klasse von analytischen, positiv definiten multivariaten Kernen, dieunter anderem wichtige Kerne aus den Bereichen des maschinellen Lernens, der flat limits und der multi-variaten Polynominterpolation umfasst. Jeder solche Kern reproduziert in einem gewissen Hilbertraum vonmultivariaten analytischen Funktionen. Wenn Funktionen aus diesem Raum an gestreuten Punkten durchTranslate des Kerns interpoliert werden, konvergieren die Interpolanten beziehungsweise alle Ableitungenexponentiell mit der Fulldichte gegen die Funktion beziehungsweise deren Ableitungen. Die Approximationvon univariaten Sobolev-Funktionen wird numerisch untersucht. Die Kondition der Gram-Matrix des Potenz-reihenkerns wachst dabei exponentiell mit der Anzahl der Stutzstellen. Durch Abschneiden der Taylorreiheder Kern-basierten Interpolanten konstruieren wir explizit polynomiale Approximanten an multivariate ana-lytische Funktionen, die nur an diskreten Stellen gegeben sind. Die Polynomapproximanten konvergierenexponentiell mit dem Grad des Polynoms gegen die Funktion. Das liefert einen konstruktiven Beweis einermultivariaten Verallgemeinerung des klassischen Bernstein-Satzes. Bei hinreichend hoch gewahltem Gradgibt es stets auch gut approximierende Polynominterpolanten an multivariate analytische Funktionen.