dİnamİk ders... · 2016-08-20 · dinamik maddesel noktaların kinematiği 2.4. birbirine bağlı...

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

DİNAMİK


İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ

- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları

2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi

3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ

- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum

Behcet DAĞHAN



DİNAMİK

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN



DİNAMİK

2KİNEMATİK


Birbirine Bağlı MaddeselNoktaların Hareketi

Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

DİNAMİK

2.4



Behcet DAĞHAN

Dinamik Maddesel Noktaların KinematiğiBehcet DAĞHAN


2.4. Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi 1

A

B

B

y

x

br1

r2

keyfi olarak seçilensabit bir noktayıreferans alan doğrultu

keyfi olarak seçilenhareketli bir noktayı

referans alan doğrultu

Maddesel noktaları birbirine bağlayan iplerin toplam uzunlukları genellikle sabit kalır.

Fakat iplerin bazı kısımları boy değiştirebilir.

Boy değiştiren kısımlar, yukarıda verilen örnek problemde kırmızıya boyanmıştır.

L = x + –––– + y + πr2 + y + b

L = x + 2 y + sabit uzunluklar

Değişken uzunluğa sahip olan kısımların boyu yönlü olarak

gösterilir. Daima sabit olandanhareketliye doğru pozitiftir.

Maddesel noktaların mutlak hareketini incelerkenreferans doğrultularından birisinin mutlaka sabit olması gerekir.

Bu noktaB maddesel noktası ileaynı hareketi yapmaktadır.

Bu noktaA maddesel noktası ile

aynı hareketi yapmaktadır.

İpin toplam boyugenellikle sabittir. değişken uzunluklar

π r1

2

A

!

sabit

hareketli

Birbirine bağlı maddesel noktaların hareketini nasıl inceleyeceğimizi bir örnek üzerinde açıklayalım.



Behcet DAĞHAN




A

B

y

x

L = x + 2 y + sabit uzunluklar

pozitiftaraf

vB

vA

L = x + 2 y

0 = x + 2 y

→

→

vA + 2 vB = 0

aA + 2 aB = 0

hızlar arasındaki bağıntıvA < 0 vA > 0

vA + 2 vB = 0 vA = – 2 vB}

A nın hızı sadece bir değişkene, yani B nin hızına, B nin hızı da sadece bir değişkene, yani A nın hızına bağlı olduğu içinbu sisteme ve böyle sistemlere "tek serbestlik dereceli sistem" denir.

vA + 2 vB = 0

aA + 2 aB = 0

Bu eşitliğin sağlanabilmesi içinhızlardan birisinin pozitif diğerininnegatif olması gerekir.

{

| Aynı şey bu eşitlik için de geçerlidir.

ivmeler arasındaki bağıntı

sabit

hareketli

sabit

vB < 0vB > 0

pozitiftaraf

hareketli

→

→vB

vA

vB

vA sola doğru ise vB yukarı doğrudur.vA sağa doğru ise vB aşağı doğrudur.

vA

0

Hareketler, doğrusal hareket olduğu için: a = v↑

vA pozitif ise vB negatiftir.vA negatif ise vB pozitiftir.

Eksenler yukarıdaki gibi seçilirse:

Eksenlerin seçiminden bağımsız olarak daima:

→

Yön belirtir.↓



Behcet DAĞHAN




A

x

L = x + 2 (h – y) + sabit uzunluklar

pozitiftaraf

pozitiftaraf vA

0 = x – 2 y•• ••vA – 2 vB = 0

aA – 2 aB = 0

vA pozitif ise vB de pozitiftir.vA negatif ise vB de negatiftir.

vA = 2 vB

sabit

sabithareketli

sabit

hareketli

B

vB

Sabit referans ekseni keyfi olarak seçilebilir.Eğer seçim yandaki gibi yapılırsa o zaman hız ve ivmeler arasındaki bağıntılaraşağıdaki gibi elde edilir.

vB

vA

vB


vA


L = x – 2 y0

vA < 0 vA > 0vB > 0vB < 0

{

→

y

h

→

→



Behcet DAĞHAN




A

y

x

L = (l – x) + 2 (h – y) + sabit uzunluklar

pozitiftaraf vA

0 = – x – 2 y

→

→

– vA – 2 vB = 0

– aA – 2 aB = 0

vA negatif ise vB pozitiftir.vA pozitif ise vB negatiftir.

– vA = 2 vB

sabit

hareketli

sabit

hareketli

h

l

sabit

sabit

B

vB

pozitiftaraf

→L = – x – 2 y0

vA > 0 vA < 0vB > 0vB < 0

vB

vA

vB


vA


Sabit referans ekseni keyfi olarak seçilebilir.Eğer seçim yandaki gibi yapılırsa o zaman hız ve ivmeler arasındaki bağıntılaraşağıdaki gibi elde edilir.

{



Behcet DAĞHAN




LA = yA + 2 yD + sabit uzunluklarİki serbestlik dereceli bir sistem

LB = yB + yC + (yC – yD) + sabit uzunluklar

LA = yA + 2 yD

2/ LB = yB + 2 yC – yD

aA + 2 aB + 4 aC = 0

+

Maddesel noktalardan birisinin hızı diğer ikisinin hızına bağlı olduğu içinyani iki değişkene bağlı olduğu için bu sisteme ve böyle sistemlere

iki serbestlik dereceli sistem denir.

Maddesel noktaların mutlak hareketini incelemek içinher iki ucu da hareketli olan

böyle bir referans seçimi yapmakdoğru değildir.

Ama bağıl hareketini incelemek için böyle bir seçim yapılabilir.

sabitsabit

hareketli

hareketli

→

!

0

0

ivmeler arasındaki bağıntı

vA + 2 vB + 4 vC = 0

hızlar arasındaki bağıntı

Hareketler,doğrusal hareket olduğu için: a = v

A nın yukarı doğru olan hızını B nin aşağı doğru olan hızına ve y ye bağlı olarak bulunuz.Makaraların boyutlarını ihmal ediniz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



2.4. Birbirine Bagli Maddesel Noktaların Hareketi 6

Örnek Problem 2/25Örnek Problem 2/25

Verilenler:

İstenenler:

Verilenler:

İstenenler:

ÇözümÇözüm

B

vB aşağıy aşağı

vA = ? yukarı

vA vB

y

b

A

sabit

hareketli

sabit

hareketli

x

L = x + 2 (b2 + y2)1/2

b

L = x + 2 y y (b2 + y2)–1/2

0 = vA + 2 y vB (b2 + y2)–1/2

yön gösterir

} vB > 0

vA yukarıx aşağı } vA < 0

vA = ––––––––– vB

yukarıyönde

√ b2 + y2

2 y

vA = − ––––––––– vB

√ b2 + y2

2 y

A nın hızının şiddeti B nin hızının şiddeti

Yönlerden kaynaklananişaretleri çıkarıp sadece

hızların şiddetleri arasındakibağıntıyı yazarız.

Hızın yönünüyanına yazarız

0

Cam yıkama vincinin motorları şekilde görülen yönde dönerken vinci yukarı doğru kaldırmaktadırlar.Vincin motorlarına bağlı olan tamburların her birinin çapı 200 mm ve devir sayısı 40 rev/min olduğuna görevincin yukarı doğru olan hızını bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN





Verilenler:

İstenenler:

Verilenler:

İstenenler:

ÇözümÇözüm

v = ?

vA

x

L1 = (h – x) + (y – x) + sabit uzunluklar (sabit)

L2 = 2 (h – y) + h + sabit uzunluklar (değişken)

d = 200 mm

n = 40 rev/min

A2/ L1 = – 2 x + y

L2 = – 2 y+

L2 = – 4 x

v = 104.7 mm/s

1 2

4 vA = R ω

vA > 0vA = 104.7 mm/s

vA = v

y2 nolu ipin boyunda

birim zamandameydana gelen değişme:

ipin boyu kısalıyor

L2 = − R ω

vA = x•

hω = n (2π/60)

Tamburun dış yüzeyindebulunan bir noktanıntamburun dönmesindenkaynaklanan hızı,2 nolu ipintambura sarılma hızı

+

vm

ω = 4.19 rad/s

vm = R ω

vm = 418.9 mm/s

ωR

vm

yukarı

0

Tambur

↓ ↓

Cam yıkama vincinin motorları şekilde görülen yönde dönerken vinci yukarı doğru kaldırmaktadırlar.Vincin motorlarına bağlı olan tamburların her birinin çapı 200 mm ve devir sayısı 40 rev/min olduğuna görevincin yukarı doğru olan hızını bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN




İstenenler:İstenenler:

v = ?

L1 = x + (x − y) + sabit uzunluklar (sabit)

L2 = 2 y + (x + b) + sabit uzunluklar (değişken)

v = 83.8 mm/s

1 2

vB

y

B

x + b

2 nolu ipin boyundabirim zamanda

meydana gelen değişme:

5 vA = − R ω

yön belirtir

vA < 0

vB < 0vA = − 83.8 mm/s

vA = vB = x

ω = n (2π/60)

Tamburun dış yüzeyindebulunan bir noktanıntamburun dönmesindenkaynaklanan hızı,2 nolu ipintambura sarılma hızı

+

vm

ω = 4.19 rad/s

vm = R ω

vm = 418.9 mm/s

ωR

Verilenler:Verilenler:

d = 200 mm

n = 40 rev/min

ipin boyu kısalıyor

vm

x

A

vA

b

•

vA = 83.8 mm/s, yukarı →

•L2 = − R ω

| vA | = | vB | = v


ÇözümÇözüm

yukarı

2/ L1 = 2 x – y

L2 = 2 y + x+

L2 = 5 x

0

↓ ↓

Tambur

Birbirine L uzunluğunda bir iple bağlanmış olan A ve B kızakları, birbiri ile dik açı yapan kollar üzerinde kaymaktadır.Eğer B kızağının yukarı doğru olan hızı vB sabit ise A kızağının ivmesini y ye bağlı olarak bulunuz.



Behcet DAĞHAN





Verilenler:

İstenenler:

Verilenler:

İstenenler:

ÇözümÇözüm

aA = ?

L2 = x2 + y2

•

x vA + y vB = 0

vB (sabit) vB (sabit) vB = 0

aB = 0

x

y

B

A

x

y L

2 L L = 2 x x + 2 y y

vB

aB = 0

vA

aA

x vA + x vA + y vB + y vB = 0• • • •

vA2 + x aA + vB

2 + y aB = 0vA = − –– vB xy 0

aA = − (––– + ––) vB2

x3

y2

vA2 + vB

2

aA = ––––––––– vB2

(L2 – y2)3/2

L2aA = − ––––––––

x

1

x

O

yön belirtir

→

→

aA = − ––––––––– vB2

(L2 – y2)3/2

L2

sola

0

dİnamİk ders... · 2016-08-20 · dinamik maddesel noktaların kinematiği 2.4. birbirine bağlı...

Documents