do ğ rusal model

Doğrusal Model

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU*

uXXXY 4433221

1

Doğrusal olmama durumunu anlatmadan önce doğrusallıktan bahsetmek gerekmektedir.

*Bu konu Christopher Dougherty’, Inroduction to Econometrics kitabının slaytlarından çevrilerek hazırlanmıştır.

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

uXXXY 4433221

2

Yukarıda verilen model iki durum bakımından dorusaldır. Model değişkenler bakımından doğrusaldır. Ayrıca parametreler bakımından da doğrusaldır.

Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:


uXXXY 4433221

3

Parametreler her bir terimde çarpımsal olarak yer almaktadır.

Değişken ve parametre bakımından doğrusallık:

Parametre bakımından doğrusal, değişken bakımından doğrusal olmama:


uXXXY 4433221

uXXXY 44332221 log

4

İkinci model parametre bakımından doğrusalken, değişken bakımından doğrusal değildir.


uXXXY 4433221

uXXXY 44332221 log

4433222 log,, XZXZXZ

5

Bu modellerde bir sorun yoktur. Yeni değişkenler yukarıdaki gibi tanımlanabilir.


Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu:


uXXXY 4433221

uXXXY 44332221 log


uZZZY 4433221

6

Yapılan yüzeysel dönüşümler ile hem parametre hem de değişkenler doğrusal duruma getirilir.


Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu:

Parametre bakımından doğrusal olmama durumu:


7

uXXXY 4433221

uXXXY 44332221 log


uZZZY 4433221

uXXXY 43233221

Üçüncü model katsayı bakımından doğrusal değildir. X4 değişkeninin katsayısı, X2 ve X3 değişkenleri katsayılarının çarpımıdır. Parametre bakımından doğrusal olmayan modeller uygun dönüşümler sayesinde doğrusallaştırılabilir.

Muz Gelir (lbs) ($10,000) Hanehalkı Y X

1 1.71 1

2 6.88 2

3 8.25 3

4 9.52 4

5 9.81 5

6 11.43 6

7 11.09 7

8 10.87 8

9 12.15 9

10 10.94 10


8

Doğrusallaştırma için yukarıdaki örnek ile başlayalım. 10 hanehalkına ait yıllık muz tüketimi ve yıllık gelir bilgileri yukarıdaki gibidir.


9

Verilerin dağılımı grafikte verilmiştir.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X

Y

. reg Y X

Source | SS df MS Number of obs = 10---------+------------------------------ F( 1, 8) = 17.44 Model | 58.8774834 1 58.8774834 Prob > F = 0.0031Residual | 27.003764 8 3.3754705 R-squared = 0.6856---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6463 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = 1.8372

------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- X | .8447878 .2022741 4.176 0.003 .378343 1.311233 _cons | 4.618667 1.255078 3.680 0.006 1.724453 7.512881------------------------------------------------------------------------------


10

Doğrusal modelin sonuçları çıktı olarak verilmiştir. Dağılma diyagramından görüldüğü gibi X’in katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır. R2 değeri oldukça iyidir.


11

Regresyon doğrusu çizildikten sonra dağılım diyagramı yukarıda yine verilmiştir.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X

Y


12

Grafiğe tahmin değerleri ve hata terimleri eklenmiştir. Hata terimleri modelin bazı bakımlardan yanlış belirlenmiş olabileceğini göstermektedir.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X

Y

13

Eğer model doğru olarak belirlenmiş olsaydı hata terimleri tesadüfi olarak dağılacaktı. Bu durumda tesadüfi değildir. Negatif hata terimini altı tane pozitif hata terimi ve bunları da üç tane negatif hata terimi takip etmektedir.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X

Y


Yeniden düzenlenmiş model:

14

Y değişkeninin ilişkisinin 1/X ile daha uygun olabilir. Eğer 2 < 0 ise,

Y değişkeni X ile yine artacaktır, fakat artış oranı düşecektir.

uX

Y 21


Gözden geçirilmiş model :

15

uX

Y 21

Yukarıdaki model doğusal değildir. X değişkeninin tersi olarak bir Z değişkeni tanımlanırsa model doğrusal olabilecektir.

XZ

1

uZY 21


Muz Gelir (lbs) ($10,000)

Hanehalkı Y X Z=1/X

1 1.71 1 1.00

2 6.88 2 0.50

3 8.25 3 0.33

4 9.52 4 0.25

5 9.81 5 0.20

6 11.43 6 0.17

7 11.09 7 0.14

8 10.87 8 0.13

9 12.15 9 0.11

10 10.94 10 0.10

16

Yeni adım Z değişkenini X değişkeni yardımı ile hesaplamaktır. Böylece eski değişkenlerden yeni değişkenler elde edilebilir.


17

Bu kez Y ve Z arasındaki dağılma diyagramı yukarıdaki gibidir.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Y

Z


. g Z=1/X

. reg Y Z

Source | SS df MS Number of obs = 10---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038

------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331------------------------------------------------------------------------------

18

Yeni Z değişkeni ile elde edilen model çıktısı yukarıdadır.


. g Z=1/X

. reg Y Z

Source | SS df MS Number of obs = 10---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038

------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331------------------------------------------------------------------------------

19

Regresyon modeli

ˆ 12.48 10.99 .Y Z


20

Regresyon doğrusu ve verilerin dağılım diyagramı

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Z

Y

ZY 99.1048.12ˆ


0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

21

X değişkeninin tersini alarak Z değişkeninin yer alması ve elde edilen modelin orijinal veriler ile grafiği çizildiğinde daha uygun olduğu görülmektedir.

XY

99.1048.12ˆ

X

Y


1

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Doğrusal olmayan regresyon modellerinin hata yapısını ele alalım.

uX

Y 21

XZ

1

uZY 21

2

Doğrusal modellerde regresyon sonuçları istenilen özelliklere sahiptir. Dönüştürülen modelde hata terimi toplamsal olmalıdır ve Gauss-Markov şartlarını sağlamalıdır.

uX

Y 21

XZ

1

uZY 21


3

Geleneksel testlerin gerçekleştirilebilmesi için, dönüştürülmüş model hata terimi normal dağılmalıdır.

uX

Y 21

XZ

1

uZY 21


4

Eğer orijinal modeldeki hata terimleri istenilen özelliklere sahip ise, doğrusal olmayan regresyon modelindeki hata terimleri de istenilen özelliklere sahiptir. Dönüşümden etkilenmemektedir.

uX

Y 21

XZ

1

uZY 21


vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

5

Log-log bir modelde hata terimi dışlansın.


vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

6

Bununla birlikte, dönüştürülmüş modelde hata teriminin toplamsal olduğu varsayılsın.


vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

7

Ancak orjinal modelde tesadüfi bileşen çarpımsaldır. eu.


vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

8

Orijinal modeldeki çarpımsal terimi v ile gösterelim.


vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

9

u sıfıra eşit olduğunda, log Y değerini değiştirmeye gerek yoktur.

Aynı biçimde v 1’e eşit olduğunda ise Y değerini değiştirmeye gerek yoktur.


vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

10

1 değerinden büyük olan v değerlerine karşılık gelen pozitif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde pozitif etkiye sahiptir.

0 ve 1 değerleri arasındaki v değerlerine karşılık gelen negatif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde negatif etkiye sahiptir.


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16v

f(v)

vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

11

Ayrıca Gauss-Markov şartlarını sağlanması, t ve F testlerini gerçekleştirebilmek için u teriminin normal dağılması gerekmektedir.


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16v

f(v)

vXeXY u 2211

uXY logloglog 21

12

Eğer v lognormal dağılıma sahip ise şekli yukarıdaki gibi olacaktır.


13

u = 0 iken, dağılımın modu v =1 olmaktadır.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16v

f(v)

vXeXY u 2211

uXY logloglog 21


14

Aynı çarpımsal hata terimi yarı-logaritmik modelde de olmalıdır.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16v

f(v)

veeeY XuX 2211

uXY 21loglog


15

Bu dağılımda büyük pozitif tesadüfi etkiye maruz kalan gözlemlerde küçük oransal değişme beklenecektir.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16v

f(v)

veeeY XuX 2211

uXY 21loglog


16

Örnekte kazanç ve eğitim yılına ait verilerin dağılımı yukarıdaki gibidir. Birçok aykırı gözlem bulunmaktadır ve bunların üç tanesi sarı ile gösterilmiştir.

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Years of schooling

Ho

url

y ea

rnin

gs

($)


17

Yukarıda yarı-logaritmik modelin regresyon doğrusu etrafındaki dağılma diyagramı gösterilmektedir. Aynı üç değer hala aykırı gözlem olarak görülmektedir.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Years of schooling

Lo

gar

ith

m o

f h

ou

rly

earn

ing

s


18

Yukarıdaki histogram doğrusal ve yarı-logaritmik modellerin hata terimlerini karşılaştırmaktadır. Hata terimleri standart sapması bir olacak şekilde standartlaştırıldığında karşılaştırılabilir.

0

20

40

60

80

100

120

140

-2 0 2

Linear Semi-Logarithmic


19

Eğer regresyon modelindeki hata terimi normal dağılıyorsa yukarıdaki gibi gösterilir

0

20

40

60

80

100

120

140

-2 0 2



20

Yarı-logaritmik modelden elde edilen hata terimleri yaklaşık olarak normal iken; doğusal modelden elde edilen model hata terimleri normal değildir. Bu da yarı-logaritmik modelin daha iyi tanımlama olduğunu göstermektedir.

0

20

40

60

80

100

120

140

-2 0 2



21

Eğer tam logaritmik yada yarı-logaritmik model hata terimi çarpımsal yerine toplamsal olursa ne olur?

uXY 21


22

Eğer böyle bir durum söz konusu ise, verilerin logaritması alınarak doğrusallaştırılamaz. log(1X + u)’i basitleştirmenin bir yolu yoktur.

Bu durum için bazı doğrusal olmayan tekniklerin kullanılması gerekmektedir.

uXY 21

)log(log 21 uXY

2


1

BOX-COX TESTİ*

Bir regresyon modelinin tanımlanmasında bağımlı değişken aynı iken R2, modelleri karşılaştırmak için kulllanılabilir.

uXY 21

1 2lnY = b +b X +u

* Bu konu Applied Econoemtrics A Modern Approach” Dimitrios Asterious and Stephen G. Hall, Basic Econometrics, Damodar Guharati ve Econometrics Models and Economic Forecasting, Pindcyk ve Rubinfield kitaplarından alınmıştır.

2

Ancak bağımlı değişken aynı değilse karşılaştırma yapılamaz.

uXY 21

BOX-COX TESTİ

1 2lnY = b +b X +u

4

Bu modeller aynı değildir ve karşılaştırma yapılamaz. Farklı fonksiyonel biçimlerin Box-Cox dönüşümü ile karşılaştırılması mümkündür.

uXY 21

BOX-COX TESTİ

1 2 ilnY β β X u

BOX-COX TESTİ

Box-Cox dönüşümü yapılmadan önce Box-Cox dönüşüm parametresi olan λ nın bulunması gerekmektedir. λ belirlendikten sonra bağlım değişkene ilişkin dönüşüm aşağıdaki gibi yapılmaktadır.

10

0

Y,

Y

logY ,

λ değeri eğer sıfır olarak bulunmuş ise, gerçek bağımlı değişken(Y) ile logaritmik bağımlı değişken (logY) birbiri yerine kullanılabilmektedir.

λ nın sıfırdan farklı olması durumunda yukarıdaki formülden hesaplanan yeni bağımlı değişkeni oluşturulup Box-Cox testi aşamaları gerçekleştirilebilir.

BOX-COX TESTİ

Değeri Regresyon Modeli

1

2

0.5

0

-0.5

-1.0

1 2 iY β β X u

21 2 iY β β X u

1 2 iY β β X u

1 2 iln Y β β X u

1 2 i

1β β X u

Y

1 2 i

1β β X u

Y

1 2λ

iY β β X u (1) negatif, pozitif ya da sıfır olabilmektedir. (1) nolu eşitlik Box-Cox regresyon modeli olarak adlandırılmaktadır. ’nın aldığı değerlere göre Tablodaki modeller elde edilmektedir.

Doğrusal ve logaritmik-doğrusal modeller Box-Cox dönüşümünün özel durumlarıdır.

BOX-COX TESTİ

1 2

1

λ

i

Yβ β X u

λ

1Y

denkleminde yerine konursa

1 olduğu zaman

1 2 iY β β X u olmaktadır.

0 olduğu zaman

1 2 ilnY β β X u olmaktadır.

1 2λ

iY β β X u

BOX-COX TESTİ

= 0 olduğu zaman (Y - 1) / belirsiz olmaktadır. Taylor serisi açılımı kullanılarak Y aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

211

2Y exp( lnY lnY lnY ...

1λ2Y λ

=lnY+ lnY +... λ 2

1λY=lnY

λ

0

1 2 ilnY β β X u

En çok olabilirlik fonksiyonu ile parametre tahminleri yapılabilmesi için logaritmik olabilirlik fonksiyonu:

2

22

1 11 2

2 2 2

N N YL lnY ln ln X . (2)

(2) nolu olabilirlik fonksiyonu = 0 ve =1 olduğunda verilere

en uygun olan modelin seçimde ve karşılaştırılmasında

kullanılabilmektedir.

En çok olabilirlik çözümü için program uygun olmadığında

doğrusal ve log-doğusal model karşılaştırması için en küçük

kareler yöntemi kullanılabilmektedir.

Karşılaştırmanın yapılabilmesi için Box-Cox dönüşüm testi

uygulanabilir.

BOX-COX TESTİ

BOX-COX TESTİ

uXY 21 (3)

(4)1 2lnY X u

•En küçük kareler yaklaşımı kullanarak her iki denklemde

karşılaştırılabilir.

•Bunun için orijinal Y gözlemleri geometrik ortalamalarına

bölünerek normalleştirilebilmektedir.

•Normalize edilen Y değişkeni kullanılarak doğrusal ve log-

doğrusal model karşılaştırılabilmektedir.

BOX-COX TESTİ

1.Adım: Y gözlemlerinin geometrik ortalaması alınır.

uXY 21

11 2 1

ngeo n iY Y Y Y exp n lnY

2.Adım: Y gözlemleri geometrik ortalamalarına bölünerek Y* değişkenine dönüştürülür.

geometrik ortalamasıiY* Y / Y ' nin

(3)

(4)1 2lnY X u

BOX-COX TESTİ

3.Adım: (3) ve (4) nolu modellerde bağımlı değişken yerine Y* değişkeni konur.

uXY 21 (3)

(4)

(5)

(6)

1 2lnY X u

1 2*Y X u

1 2*lnY X u

BOX-COX TESTİ

(5)

(6)

4.Adım: (5) ve (6) nolu modellerden elde edilen hata kareler toplamına göre ki-kare kritik değeri elde edilir. Serbestlik derecesi 1 olan ki-kare tablo değeri ile karşılaştırılır.

2 daha büyük ln

2 daha küçük test

n HKT

HKT

2 2hes tab

Sonuç olarak eğer test değeri tablo değerinden büyük ise daha küçük hata kareler toplamına sahip modelin daha iyi olduğu ifade edilebilir.

1 2*Y X u

1 2*lnY X u

BOX-COX TESTİ

Örnek: 1985:1-1994:2 dönemleri arasında tüketim, gelir ve tüketici fiyat indeksi verileri verilmiştir. İki türlü tüketim fonksiyonu tanımlanmıştır.

11 12 1

21 22 2

t t

t t

C Y u (3)

lnC Y u (4)

Ct : reel tüketim, Yt: reel gelir

Her iki modeli karşılaştırabilmek için reel hale getirilen değişkenlerin logaritması alınarak dönüştürme adımlarına başlanabilir.

BOX-COX TESTİ

C değişkenin geometrik ortalaması alınır.

geoC exp 1 n ln C *

geoC C / C

C* değişkeni (3) ve (4) nolu modellerde bağımlı değişken yerine kullanılır ve (5) ve (6) nolu modeller ayrı ayrı tahminlenir:

1 2*lnC Y u

1 2*C Y u (5)

(6)

λ=0 olduğu için logaritmik C değişkeni kullanılmıştır.

(5) nolu model: 1 2*C Y u

Dependent Variable: C*

Method: Least SquaresSample: 1985Q1 1994Q2Included observations: 38

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. Y 0.015086 0.001925 7.835114 0.0000C -0.480574 0.189967 -2.529774 0.0159

R-squared 0.630348 Mean dependent var 1.005590Adjusted R-squared 0.620080 S.D. dependent var 0.104430S.E. of regression 0.064368 Akaike info criterion -2.597195Sum squared resid 0.149158 Schwarz criterion -2.511006Log likelihood 51.34670 F-statistic 61.38901Durbin-Watson stat 0.136686 Prob(F-statistic) 0.000000

(6) nolu model.1 2

*lnC Y u

Dependent Variable: lnC*

Method: Least SquaresSample: 1985Q1 1994Q2Included observations: 38

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.576979 0.191307 -8.243206 0.0000Y 0.016008 0.001939 8.255687 0.0000

R-squared 0.654366 Mean dependent var 9.79E-16Adjusted R-squared 0.644765 S.D. dependent var 0.108759S.E. of regression 0.064822 Akaike info criterion -2.583144Sum squared resid 0.151269 Schwarz criterion -2.496955Log likelihood 51.07973 F-statistic 68.15636Durbin-Watson stat 0.117352 Prob(F-statistic) 0.000000

2 2tab 1,0.05 3.84

2 2hes tab

larger 38 0.151269ln 0.2670

2 smaller 2 0.149158

e

n HKT

HKT

Model karşılaştırması

Logaritmik fonksiyonun doğrusal modelden daha iyi olduğu söylenemez

H0: Model tahminleri arasında fark yoktur.H1: Hata kareler toplamı küçük olan model daha iyidir.

9

uSEARNINGS 21

uSLGEARN 21

* / ' geometrik ortalamasıEARN EARNINGS EARNINGS in

YYY of mean geometric/*

BOX-COX TESTİ ÖRNEK 2

Aşağıdaki iki model karşılaştırılmak istensin.

Bir önceki örnekte olduğu gibi bağımlı değişkenin geometrik ortalaması alınarak bağımlı değişken gözlemleri geometrik ortalamaya bölünür.

10

BOX-COX TESTİ

Kazanç denklemini doğrusal ve yarı logaritmik biçimde karşılaştırmak için yukarıdaki testi uygulayacağız.

daha büyük ln

2 daha küçük

n HKT

HKT)1(2

uSEARN '2

'1*

uSEARN '2

'1*log

uXY '2

'1*

uXY '2

'1*log

EARN* elde edildikten sonra aşağıdaki iki model tahminlenebilir.

Karşılaştırma amaçlı aşağıdaki test istatistiği hesaplanır.

λ≠0 olduğu için bağımlı değişkenin logaritması alınarak iki model elde edilmiştir.

. reg EARNSTAR S

Source | SS df MS Number of obs = 570---------+------------------------------ F( 1, 568) = 65.64 Model | 30.8184248 1 30.8184248 Prob > F = 0.0000Residual | 266.69807 568 .469538855 R-squared = 0.1036---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1020 Total | 297.516494 569 .522876089 Root MSE = .68523

------------------------------------------------------------------------------EARNSTAR | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- S | .0944558 .0116589 8.102 0.000 .0715559 .1173557 _cons | -.1224433 .1602326 -0.764 0.445 -.437164 .1922774------------------------------------------------------------------------------

17

EARNSTAR’nın S ye göre regresyonu alınır. Hata kareleri toplamı bulunur.

BOX-COX TESTİ

. reg LGEARNST S

Source | SS df MS Number of obs = 570---------+------------------------------ F( 1, 568) = 93.21 Model | 21.6812545 1 21.6812545 Prob > F = 0.0000Residual | 132.120642 568 .232606764 R-squared = 0.1410---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1395 Total | 153.801897 569 .270302103 Root MSE = .48229

------------------------------------------------------------------------------LGEARNST | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- S | .0792256 .0082061 9.655 0.000 .0631077 .0953435 _cons | -1.071214 .1127785 -9.498 0.000 -1.292727 -.8496999------------------------------------------------------------------------------

18

LGEARNST’nın de regresyonu alınır ve hata kareler toplamı alınır.

BOX-COX TESTİ

19

Test istatistiği 200.2 dir. Kikare tablo değeriyle karşılaştırıldığında yarı logaritmik modelin daha iyi olduğuna karar verilir.

daha büyük 570 266.7ln ln 200.2

2 daha küçük 2 132.1

n HKT

HKT

level 0.1% d.f, 1 ,83.10 2crit

BOX-COX TESTİ

H0: Model tahminleri arasında fark yoktur.H1: Hata kareler toplamı küçük model daha iyidir.

do ğ rusal model

Documents