do - matematikkolay.net · lys 2017 matematİk ÇÖzÜmlerİ m 3 45m 2 3 ilk bölme i o u]v oºu...

LYS 2017 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

www.matematikkolay.net

25 5.9 255

1 19 92 23 33 3

45 25 201 19 9

2 23 33 3

20

10

93

3

2

1 10 1 93 buluruz.

3 3 3 3

Doğru Cevap : C Şıkkı

2 2

3 2

60 .3 60 .3 60

15 15 .15

4

15

2

3

155

2 1 16 324 . 3,2 buluruz.

5 5 10

Doğru Cevap : E Şıkkı

48 75 16.3 25.3

108 27 36.3 9.3

4 3 5 3 9 3

6 3 3 3

3 33 bulunur.


2

6! 7! 6! 7.6! 6!(1 7)

4!.4! 4!.244!

6.5. 4!

. 8

4!. 243

3010 bulunur.

3

Doğru Cevap : A Şıkkı

x,x y,x sayıları ardışık sıralanmış çift tam sayılar ise;

y

ardışık 2 terim arasında 2'şer fark vardır.Buna göre;

x2 x y ve x y 2 x dir.

y

x

y 2 x y 2 dir.

x x2 x y 2 x 2

y 2

xx 4 x 2x 8

2x 8 dir.

x y 8 2 10 bulunur.

Doğru Cevap : B Şıkkı

http://www.matematikkolay.net/



m 3 45 m

2 3

ilk bölme işleminde bölüm k olsun.

m 3

k m 3k 2

2

İkinci bölme işleminde bölüm t olsun.

45 m

t 45 m

.t 3 m.t 42

3

m 3 olmak üzere

m.t 42

m 6 ,t 7 m 3k 2 sağlanmaz.

m 7 ,t 6 m 3k 2 sağlanmaz.

m 14 ,t 2 m 3k 2 sağlanır.

m 14 tür.

m sayısının rakamları toplamı 1 4 5 bulunur.

Doğru Cevap : C

Şıkkı

Ekok(a,b) bir asal sayı ise a ve b 'den biri bu asal sayı,

diğeri de 1 olmak zorundadır.

I.öncül doğrudur.(Sayılardan biri asal sayı biri de 1

olduğundan, 1 ile tüm sayılar aralarında asaldır.)

II.a 2 b 1 olsun.

a b 3 tektir.

a, 2 dışında bir asal sayı olursa tek sayı olur.

a 1 T 1 Ç olur.

bu öncül sadece asal sayı 2 iken doğru olur.

Her zaman doğru değildir.

III. a 2, b 1 a.b 2.1 çift olur.

a

, 2 dışında bir asal sayı olursa tek olacağından,

a.1 a tek olur.

Bu öncül de asal sayı 2 iken yanlış olur.

Doğru Cevap : A şıkkı

2 2

2 2

xz yz xy y xz xy (yz y )

x xy xz yz x xz (xy yz)

(x y)x(z y) y(z y)

x(x z) y(x z)

(z y)

(x y)

(x z)

y z bulunur.

x z





a c c

b 2 b

a ac (yukarıdaki ifadede c gördüğümüz yere yazalım.)

b b

ab aa aa

bb b b 2 b

a

b

b 2

b

a

(b 1) a

b 2

2

b

b b b 2

b 2 bulunur.


(3)

2

1 2 1 21 1

a 9a a 3 a

3 2 11 1

3 a 3 a

13 a 1 a

3

1 1a bulunur.

3 9

Doğru Cevap : D Şıkkı




|x y| |x| |y|

x y mutlak değerden küçülerek çıkmış. x pozitif

ise y'nin negatif olması gerekir. Ayrıca;

Mutlak değer, dışarıya negatif çıkamayacağından;

|x| |y| 0 |x| |y| dir.

|y z| |y| |z| y

ve z'nin ikisi de ya pozitiftir,

ya da negatiftir. y negatif olduğundan, z de negatif -

tir.

x ; y ; z

Öncülleri sırasıyla incelleyelim.

xI. öncül 1

x y

x ; y ve |x| |y| olduğundan x

y

xpozitiftir. 1 x x y 0 y çıkar.

x y

Ancak y negatif idi. Yanlış

yII. öncül 1

y z

y , z y z negatiftir.

y1 y y z 0 z çıkar.

y z

z negatif idi. Her zaman doğrudur.

II.

zöncül 1

x zx , z x z negatif mi pozitif mi

bilemeyiz. Çünkü mutlak değerce hangisinin daha

büyük olduğunu bilmiyoruz. Bu sebeple kesinlikle

doğru ya da yanlıştır diyemeyiz.

Doğru Cevap : B Şı

kkı

İlk eşitsizlikte A ile başlayan sayı, D ile başlayan sayı -

dan küçükmüş.

İkinci eşitsizlikte de tam tersi D ile başlayan sayı,

A ile başlayan sayıdan küçükmüş.

Demek ki büyüklük ya da küçüklüğü oluşturan

Aynı Aynı

Aynı Aynı

farklı bir sayı ve A ile D birbirine eşit.

ADB DA A B A olmalıdır.

DAD ADC D C olmalıdır. Buna göre;

B A D C buluruz.





y x iken her iki tarafın karesini alınca eşitsizlik

yön değiştiriyorsa;

y , x ve |y| x olmalıdır.

veya

y , x ve |y| x olmalıdır.

Buna göre; y 'nin negatif olduğu ve |y| x olduğu

kes

(y) (x)

indir. Şimdi öncülleri inceleyelim.

I. öncül: x.y 0

y ama x veya dir. Bu nedenle kesin

doğru diyemeyiz.

II. öncül: x y 0

|y| x ve y olduğundan, kesin doğrudur.

1 1III. öncül: 0

x y

y

veya

x x y0 0 0

xy xy x.y x.y

Kesin doğrudur diyemeyiz.


A {5,6,7} Tek ise A kümesinde 6 bulunamaz ve;

5 veya 7 elemanından en az birisi bulunmak zorun-

dadır.

Yani {1,2,3,4,5,7} elmanlarından 3 elemanlı alt

küme oluşturacağız.

6Bunların sayısı 20 dir.

3

5 veya 7'nin olmadığı kümeleri çıkaracağız;

4{1,2,3,4} 4 tür.

3

20 4 16 buluruz.


(p,q) A B ise (p,p) (p,3 p) dir.

3p 3 p 2p 3 p dir.

23

q 3 p dir.2

(r,s) B C ise (r,3 r) (r,r 4) tür.

13 r r 4 1 2r r dir.

21 7

s r 4 4 dir. Buna göre;2 2

3 1 4p r 2 2 2

3 7 10q s2 2 2

2 buluruz.

5





f(x) g(x 1)

2x.(2x 2) (x 1) (x 1 1) (x 1 2)

2 3

2

x .(2x 2)

2

(x 1) (x)

(x 1) (x 0 bir köktür.)

3

2 (x 1)

(x 1) (x 1)

(x 1 köktür.)3

6 x 1

x 5 de bir köktür.

Toplamları 0 1 5 6 buluruz.


f(x) x n, x [n, n 1) fonksiyonu

x'in tam sayı kısmını alıp, kesirli (ondalıklı) kısmını

ortaya çıkaran bir fonksiyondur. Buna göre;

f(1) 0 (Tam sayı olduğundan)

7 1 1f f 2 tür.

3 3 3

f

13 1 1f 2 dır.

6 6 6

1 1 2 1 3Toplamlarını 0

3 6 6

1

62

1 buluruz.

2


|x|'in en küçük değeri x 0'da olur.

|x| 0|x| 0 0 dır.

1 |x| 1 0

|x|'in en büyük değeri x 2'de olur.

|x| 2 2|x| 2 tür.

1 |x| 1 2 3

Buna göre f(x) fonksiyonu bu iki değer arasında

değerler alabilir.(Bu

noktalar dahil)

2Görüntü Kümesi 0, buluruz.

3





4.a çarpımının 11 ile bölümünden kalanın 2

olması isteniyor.

4a 2 olmaz, 4a 13 olmaz, 4a 24 olur.

a 6 dır.

4.b çarpımının 7 ile bölümünden k

alanın 5

olması isteniyor.

4a 5 olmaz, 4a 12 olur, a 3 tür.

Buna göre; en küçük a b 3 6 9 buluruz.


Burada iki farklı durum vardır.

I.durum: 1 ile 3'ün ortak kenarı olan hücrelerden

biri boyanmazsa;

Sadece 1 ile ortak kenarı olan 4 hücreden 1'i boya-

nacak ve

Sadece 3 ile ortak kenarı olan 4 hücreden 3'ü boya-

nacaktır.

4 4 4.4 16 farklı biçim.

1 3

2.durum: 1 ile 3'ün ortak kenarı olan hücrelerden

biri boyanırsa;

1 ve 3 ile ortak kenarı olan 2 hücreden 1'i boya-

nacak ve

Sadece 3 ile ortak kena

rı olan 4 hücreden 2'si

boyanacaktır.

2 4 2.6 12 farklı biçim.

1 2

Toplarsak; 16 12 28 buluruz.





Burada 22 sonucu 2 farklı durumda gerçekleşebilir.

I.Durum:

1224 olmalı.

6

Yani ilk olarak 4, ikinci olarak 6 basmalı.

1 1 1 olur.

3 2 6

II.Durum:

1226 olmalı.

3

Yani ilk olarak 6, ikinci olarak 3

(2)

basmalı.

1 1 1 olur.

2 6 12

İki durumu toplarsak;

1 1 2 1 3 1 bulunur.

6 12 12 12 4


2

2

2

2

x ax 1 0 denkleminin kökler toplamı;

b aa dır.

a 1

a değeri, x 6x a 0 denkleminin bir kökü

ise bu denklemi sağlatır.x yerine a yazalım.

a 6a a 0

a 7a 0 a(a 7) 0

a 0 olursa ilk denklemin iki gerçek kök

ü olamaz.

a 7 0 a 7 bulunur.


2 6 10

3 5

(1 i ).(1 i ).(1 i )

(1 i).(1 i ).(1 i )

(1 i)

3.(1 i). (1 i )

i

3 5.(1 i ). (1 i )

i

5.(1 i )

(1 i)

3. (1 i ) 5. (1 i )

2 2

( 1)

(1 i).(1 i).(1 i) (1 i ).(1 i)

1 1 (1 i) 2.(1 i) 2 2i bulunur.


(2 i)

2 2

1

2

z a bi olsun. z a bi olur.

1 18i4(a bi) 3(a bi)

2 i

(1 18i).(2 i)4a 4bi 3a 3bi

2 1

2 i 36i 18ia 7bi

5

5a 35bi 20 35i

205a 20 a 4 tür.

5

35b 35 b 1 dir.

z 4 i bulunur.

Doğru Cevap : E Ş

ıkkı




2

2

2

2x 1 3x 1

2

(x 1) x 1 6

x 1 olsun.

(x 1) (x 1) 6

(x 1) (x 1) 6 0

(x 1 2).(x 1 3) 0

(x 3)(x 2) 0

x ( 2,3) ve x 1 x ( 2,1) olur.

Bu aralıktaki x tam sayı değerleri;

-1,0 olur.

x 1 olsun.

(x 1) (x 1) 6

(x 1)

2

3x 1 2x 1

(x 1) 6 0

(x 1 3).(x 1 2) 0

(x 4).(x 1) 0

x ( 1,4) ve x 1 x [1,4) olur.

Bu aralıktaki x tam sayı değerleri;

1,2,3 olur.

x 'in tüm tam sayı değerlerinin toplamı;

1 0 1 2 3 5 bulunur.

2.Yöntem

(x 1

2

2

2

) x 1 6

|x 1| |x 1| 6 (|x -1| a olsun.)

a a 6

(a 3)(a 2) 0

2 a 3 olmalıdır.

|x 1| 3 olsa yeterlidir.

3 x 1 3

2 x 4 tür. x : 1,0,1,2,3

toplamları 5 tir.


2

2

2

2

6x 11 , x 1 0 x 1 olamaz.

(x 1)

6x 1 (x 1)

6x 1 x 2x 1

x 4x 0

x(x 4) 0

x (0,4)


2

2 2 2 2 2

2

P(x) a.(x 3).(x 1).(x 2) olur.

P(0) 12 a.3.1.( 2) 12

126a 12 a 2 dir.

6

P(x) 2.(x 3).(x 1).(x 2)

P(x) 2.(x 4x 3).(x 2)

x li terim ( 2).x .( 2) ( 2).4x.x 4x 8x 4x

x li terimin katsayısı 4 bulun

ur.





3 2

2

2 3 2 2

3 2

3

P(x) x ax (b 2)x 4b

Q(x) x 2ax b

P( 4) 0 ve Q(x)'in tüm kökleri P(x)'in de kökü ise

P(x) (x 4).Q(x) olmalı.

P(x) (x 4).(x 2ax b) x 2ax bx 4x 8ax 4b

x (4 2a)x (b 8a)x 4b

x

2ax (b 2)x 4b 3x 2(4 2a)x (b 8a)x 4b

a 4 2a a 4 tür.

(b 2) b 8a b 2 b 8.4

b 2 b 32 2b 30

30b 15 tir.

2b a 15 4 11 bulunur.


2

2

(9)(3)

4 182 90 0

8 3

Polinomların genel gösterimi;

P(x) ax bx c olsun.

2polinomun bir kökü ise;

3

2P 0 dır.

3

2 2a. b. c 0

3 3

4 2 ca b 0

9 3 1

4a 6b 9c 0 dır.

9c 6b 4a 9c 2(3b 2a)

c 4 3b 2a 18

c

5 37 69 9

2 34 66 9

2 3b 2a 9

c 0 3b 2a 0

Toplam 7 adet P(x) polinomu bulunur.





1 10 10 0

0

0

(p q) r 0 (p q) 1 ve r 0 olmalıdır.

(p q) 1 (p q)

Şimdi öncülleri inceleyelim.

I. p q 1 her zaman doğrudur.

II.q r bu önerme q'nun 1 olduğunda yanlış olacaktır.

III.r p bu önerme her zaman doğ

ru olacaktır.


I.adımda,

ef '(x) ve g'(x) dir. Öğrenci, e

x xkabul ettiği için bu eşitlik doğrudur.

II. adımda,

Türevleri eşit ise bu fonksiyonların eşit ol -

duğunu söylemiştir. Ancak bu ifade doğru değildir.

Çü

nkü fonskiyonlardaki sabit terimler, türevi

alınınca yok olur ve bu sabit terimler biribirinden

farklı olabilir.


ln4 lnx

2ln2 lnx

ln2 2 lnx

lnx 2 lnx ln2 lnx

( 4)( 2)

lnx lnx

lnx 2

lnx

x 6.2 8 0

x 6.2 8 0

(x ) 6.2 8 0

(2 ) 6.2 8 0 (x 2 dir.)

(2 4)(2 2) 0

2 4 lnx 2 x e veya;

2 2 lnx 1 x e dir.

Çarpımlarını

2 3e .e e buluruz.


3

3

3

3

333 27 3

33 27 3 3

3 1

2 23 3

3 1

2 23 3

log 3 log 3log 27 log 3

log 27 log 3 log 3 log 3

3 13 1 9 12 2

log 3 log 3 1 3 2 6 6 63 1 3 1 9 1

log 3 log 32 2 2 6 6 61 3

10

6

8

6

10 5 buluruz.

8 4





y

lnx lny 9

lnx lny 3 taraf tarafa toplayalım.

2lnx 12 lnx 6 dır.

lnx lny 9 6 lny 9 lny 3 tür.

Buna göre;

lnx 6log x 2 buluruz.

lny 3

Doğru Cevap : B Şıkk

ı

9 6 1 1

10 7 1 1

Aritmetik dizinin ortak farkına r diyelim.

a a 1 a 8r a 5r 1 3r 1

1 r tür.

3

a a 6 a 9r a 6r 6

2

1

1

1

1

a 15r 6

1 2a 15 6

3

2a 5 6

1 a buluruz.

2


nk 1

k 1

n n 1

1 1 1

( 1) k 10

1 2 3 4 5 ...( 1) (n 1) ( 1) n 10

1 9 tane 1 10

2'den n'ye kadar 18 tane sayı olmalıdır.

n 2 1 18 n 1 18 n 19 buluruz.


2 2

2x

2 2

2x

2 2

2x

x

x

x sin( x) sin(x )lim

(x )

x sin(x ) sin(x )lim

(x )

( x ) sin(x )lim

(x )

( x) ( x) sin(x )lim

(x )(x )

( x)lim

1

( x)

(x )

x

x

sin(x )lim

(x )

lim( x) 1

2 buluruz.





x 1 x 1

f(x)'in sürekliliği hakkında bilgimiz yok. Bu fonksiyon

kesikli olabilir. Bu sebeple f(x)'e bağlı I. ve II. öncül -

ler kesinlikle doğrudur diyemeyiz.

III. öncülde ise;

lim(|f(x)| f(x)) lim(f(x) f(x

)) 0 dır.

f(x)'e bağlılık kalktığından limit kesinlikle

vardır.


11

(x x)' 2 xf '(x) tir2 x x 2 x x

1 1 31 132 1 2 2f '(1) buluruz.

2 1 1 2 2 4 22 1 1


xsin

x 2(fof)(x) f f(x) f sin sin dir.2 2

x 1 xsin cos

2 2 2Türevi cos2 2

Buna göre;

2 1 2sin cos

2 2 2(fof)'(2 ) cos2 2

1 1cos

sin 12 2cos cos 0 buluruz.2 2 2 4

Doğru Cevap

: B Şıkkı




3 2

3 2 2

2 3

2

Küpün hacmi x , Yüzey alanı ise 6x dir.

Maliyeti 5x ve Satış Fiyatı 20.6x 120x

olduğundan;

Kâr 120x 5x tür.

En fazla olduğu değeri bulmak için türev alıp, 0'a

eşitleyelim.

240x 15x 0

240x 1

25x

240 15x

x 16 buluruz.


2

x 1 için y 2x 1 0 y 2 1 0 y 1 dir.

(1,1) noktası aynı zamanda f(x)'in de bir noktası

olduğundan; f(1) 1 dir;

a.ln1 b.1 3 1 0 b 3 1

b 2 dir

2

2

.

Teğetin eğimi, Fonksiyonun birinci türevine eşittir.

2y 2x 1 eğim 2 dir. f '(1) 2 olmalı

1a

f(x) a lnx b x 3 f '(x) 2bxx

f '(1) 2 ise a 2 b 2 dir.

a 4 2 a 6 dır. Buna göre;

a.b 6.( 2)

12 buluruz.


2

Logaritmanın içini sıfır yapan x değeri, f(x)'in düşey

asimptotudur.

f(x) ln(2x 8) düşey asimptot : x 4 tür.

sinxg(x) fonksiyonunda da paydaya 0 yapan

x ax

x değeri bu fonksiyonun düşey asimptotu

2

dur.

x ax 0

x(x a) 0 x 0 ve x a dır.

x a ve x 4 aynı ise a 4 buluruz.





6 6

0 0

ı

6 6 ı

0 0

60

sin2x2tan(2x)dx 2 dx

cos2x

cos2x u dersek, 2sin2xdx du olur.

Dikkat edersek pay kısmında u var.

sin2x (cos2x)2 dx dx

cos2x cos2x

ln cos2x

(ln cos 2

6

3

1

0

ln cos(2 0)

1 1(ln ln1) ln ln2 bulunur.

2 2


x

x

2 x x 2

2

2

2x

2 2

1 e dx

u 1 e her iki tarafın karesini alalım.

u 1 e e u 1

2ux ln u 1 dx du olur.

u 1

2u 2u1 e dx u. du du bulunur.

u 1 u 1


5 5

2

4 4

x 1 x 1dx dx

x 5x 6 (x 2).(x 3)

x 1 A B

(x 2).(x 3) (x 2) (x 3)

şeklinde basit kesirlere ayırarak çözelim.

x 1 A B

(x 2).(x 3) (x 2) (x 3)

Pratik olarak ilk ifadede x 2 yi kapatıp,

x 2 yazılırsa A bulunur

5 5

4 4

5

4

.

x 1 2 1 3A 3 tür.

x 3 2 3 1

x 3'ü kapatıp x 3 yazılırsa B bulunur.

x 1 3 1 4B 4 tür.

x 2 3 2 1

x 1 3 4dx dx

(x 2).(x 3) x 2 x 3

3ln x 2 4ln x 3

3ln 5 2 4ln 5 3 3ln 4 2 4ln 4 3

3ln3 4ln2 3ln2 4ln1

0

7ln2 3ln3 bulunur.





e

2

1

2

2

e e2 22 2

1122

x.ln 2x dx Kısmi integrasyon kullanarak çözelim.

2 1ln 2x u dx du dx du olur.

2x x

xxdx dv v olur.

2

udv uv vdu

x xx.ln 2x dx ln 2x .

2

e

2

1

2

1

2 x

e e e2 2 2 22 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

2 2

01

2 2 2

(2)

dx

x x x xln 2x . ln 2x .

2 4 2 4

e e 1 1

e 12 2 2 2ln 2. ln 2.

2 2 4 2 2 4

e e 1 1lne. ln1.

8 16 8 16

e e 1 e 1 bulunur.

8 16 16 16

Doğru Cevap : C Şık

kı




f(x) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan sadece

0,3 aralığına bakmak yeterli olacaktır.

0,3 aralığındaki fonksiyon eğrisinin altında kalan

alandan 5 kırmızı birim karenin alanını çıkarırsak;

mavi boya

33 3 32 2

0 0

2

lıbölgelerin toplam alanını buluruz.

0,3 aralığında fonksiyon eğrisinin altında kalan

alan;

x 3 27x dx 9 br bulunur.

3 3 3

Mavi alanlar toplamı 9 5 4 br dir.

0,3 aralığından mavi ve sarı alanların

2

toplamı

9 birim karedir.

Sarı alanların toplamı 9 4 5 br dir.

Mavi bölgelerin Alanı 4 bulunur.

Sarı bölgelerin Alanı 5

Doğru C evap : C Şıkkı

2

2

2 2 2

2

sec(x) 1 3

2 sec(x) 1

sec(x) 1 sec(x) 1 3.2

sec (x) 1 6

sec (x) 7

sec(x) 7

1 17 cosx

cosx 7

1sin x cos x 1 sin x 1

7

1 6 6sin x 1 sinx dir.

7 7 7

6

sinx 67tanx1cosx 77

7

6 bulunur.1





cos(5x) cos(3x).cos(2x)

cos(3x 2x) cos3x.cos2x

cos3x.cos2x

sin3x.sin2x cos3x.cos2x

sin3x.sin2x 0

ksin3x 0 3x 0 k x

3

2 4 5x 0, , , , ,

3 3 3 3

veya

ksin2x 0 2x 0 k x

23

x 0, , ,2 2

Farklı çözümlerinin kümesi;

2 3 4 50, , , , , , , 8 bulunur.

3 2 3 2 3 3


4

k 2

42 2 2 2

k 2

cos(2kx) A

cos4x cos6x cos8x A dır. Buna göre;

cos (kx) cos (2x) cos (3x) cos (4x)

1 cos4x 1 cos6x 1 cos8x

2 2 2cos4x cos6x cos8x 1 1 1

2A 3

buluruz.2





6tana 1 dir.

6

3 1tanb dir.

6 2

1 31

tana tanb 2 2tanx tan(a b) 31 11 tana.tanb 1 12 2

1Buna göre; cotx buluruz.

3

Doğru Cevap : B şıkkı

[DE] / /[AB] m(ABC) m(DEC) 'dır. (Yöndeş Açı)

ABC üçgeninin iç açıları toplamından;

a a a 60 180

3a 120 a 40 dir.

AFD eşkenar üçgen olduğundan, bütün açıları

60 dir.

CFB üçgeninin iki iç açısının

toplamı, diğer dış

açıya eşit olduğundan;

a a 60 x

2a 60 x

2.40 60 x

80 60 x x 20 buluruz.





D'den B'ye bir doğru çizersek, CDB eşkenar üçgenini

elde ederiz ve bütün açıları 60 olur.

ADB üçgeni de bir ikizkenar üçgen olduğundan;

m(ABD) 20 dir.

ADC üçgeni de ikizkenardır. Bu sebeple ;

m(CAD) x

dir.


x x 20 20 60 60 180

2x 160 180

2x 20

x 10 buluruz.


2 2

2 2

2 2

2 2

81

|EB| 9 x diye yazabiliriz.

|AE| y olsun.

AEC üçgeninde pisagordan;

x y 81 dir.

AEB üçgeninde de pisagordan;

y (9 x) 36

y 81 18x x 36

x y 81 18x 36

162 18x 36

18x 126

x 7 birim buluruz.

Doğr

u Cevap : D Şıkkı




ABC üçgeni ile EBD üçgeni aynı açılara sahip oldu-

ğundan benzerlik uygulayabiliriz.

Alanları oranı 6 ise; benzerlik oranı 6 dır.

Buna göre;

|AB| 66 6 |EB| 6 dır.

|EB| |EB|

EDB üçgeninde pisagorda

2

n;

|ED| 6 9 |ED| 3 tür.

x x6 ise 6

|ED| 3

x 18 3 2 buluruz.


Eşkenar üçgenlerin 60 olan açılarını yazınca

30 - 60 - 90 üçgenleri elde ederiz. Burdan sırasıyla

kenar uzunluklarını bulabiliriz.

|AB| 16 ise |AD| 8 ve |DB| 8 3 tür.

|DB| 8 3 ise |DF| 4 3 ve |FB| 1

2

2 dir.

|FB| 12 ise |FH| 6 ve |HB| 6 3 tür.

6 3.6Buna göre; A(BFH) 18 3 br buluruz.

2





D noktasından, [HF]'ye paralel çizersek bu uzunluk

2 birim olur. Oluşan bu üçgen ile ABC üçgeni arasın-

da 1 / 3 oranında benzerlik vardır. Bu sebeple

|CB| 6 birimdir.

H noktasından da, [GE]'ye paralel çize

rsek bu

uzunluk 4 birim olur. Oluşan bu üçgen ile de ABC

üçgeni arasında 1 / 3 oranında benzerlik vardır.

Bu sebeple |AB| 12 birimdir.

ABC üçgeninin hipotenüsü 12 birim, bir kenarı da

onun yarısı olan 6 d

2

ır. Buna göre bu 30 - 60 - 90

üçgenidir ve |AC| 6 3 birim olarak elde ederiz.

6 3.6O halde; A(ABC) 18 3 br buluruz.

2


Şekildeki gibi karelerin kenarları uzataraf DEMF

dikdörtgeni oluşturduk. Bu dikdörtgenin alanın -

dan, taralı olmayan üçgenlerin alanını çıkarırsak

taralı alanı bulabiliriz.

A(DNP) A(DEMF) A(DFN) A(PMN) A

2

(PED)

4 2 1 1 1 5A(DNP) 5.2

2 2 21 5

A(DNP) 10 42 26

A(DNP) 10 42

A(DNP) 10 4 3

A(DNP) 3 br buluruz.





2

1 numaralı dikdörtgenin kenarlarına a ve b birim

dersek alanı ab br olur.

2 numaralı dikdörtgenin de kenarları a ve b'dir.

3 numaralı dikdörtgenin uzun kenarı 2a birim oldu.

Bu dikdörtgenin de alanının ab olması için kısa

bkenarı birim olmalıdır.

23b

Buna göre |AB| birimdir. ABCD karesinde2

3bbütün kenarlar birbirine eşit olduğundan |AD|

2dir.Buna göre;

|AE| b 2 2b buluruz.

3b|AD| 3b 32

Doğru Cevap :

A şıkkı

ABF üçgeni ile DEF üçgeni arasında benzerlik uygu-

larsak;

|DE| k |DE| 2 birimdir.

8 4k

|DC| 4 birim (Eşkenar üçgenin tabanın yarısı)

|EC| 4 2 2 birimdir.

Eşkenar üçgenin yüksekliği h 4 3 (30 - 60 - 90

2

)

Buna göre;

8 2A(ABCE) h 5 4 3 20 3 br buluruz.

2





|BE| 4|ED| |ED| k ve |BE| 4k diyebiliriz.

5k. 16Deltoidin alanı

8

2160 ise;

40k 160 k 4 buluruz.

Buna göre; 4 dik üçgende pisagor yaparak hipote -

nüsleri toplayalım.

(Veya bu üçgenler 1-2 - 5 üçgenleridir.) Buna göre;

|AD| 4 5 ; |DC| 4 5 ; |AB| 8 5 ; |BC| 8 5

Ç(ABC

D) (4 4 8 8) 5 24 5 buluruz.


m(ABC) açısı 80 'in bütünleyenidir. (Paralel)

m(ABC) 180 80 100 dir.

Eşkenar üçgenin bir iç açısı 60 olduğundan;

m(CBE) 60 dir.

Eşkenar üçgen ile eşkenar dörtgenin kenarları bir -

birine eşit olduğun

dan ABE üçgeni ikizkenar üçgen-

dir. Buna göre;

y y 100 60 180

2y 160 180

2y 20 y 10 dir. O halde;

x 60 10 50 buluruz.


[AC] / /[ED] olduğundan;

m(BOC) m(BED) 60 dir. (Yöndeş açılar)

|OE| |OD| (Yarıçap) olduğundan m(FDE) 60 dir.

Yöndeş açılardan dolayı m(AOF) 60 dir.

m(BOA) 180 60 120 dir.

|AO| |OB| (Yarıçap) olduğ

undan;

180 120 60m(FAO) 30 dir.

2 2FAO üçgeninde iki iç açının toplamı diğer dış açıya

eşit olduğundan;

x 30 60 90 buluruz.





2

2

2

2 2

Çemberlerin alanları oranı, çapların karesi ile orantı -

lıdır.

En büyük çember (x 10) ile; (Y M B)

Ortadaki çember (x 6) ile; (M B)

En küçük çember de x ile ; (B)

Y M ise;

(x 10) (x 6) (x 6

2 2

2

) x

x

220x 100 ( x 212x 36) x 212x 36 x

20x 100 12x 36 12x 36

8x 64 12x 36

28 4x

x 7 birim buluruz.





Büyük çemberin yarıçapını bulmak için, şekildeki

gibi küçük çemberlerin merkezini birleştirirsek,

iki tane eşkenar üçgen oluşur. Bunların yükseklik -

likleri artı 1, büyük çemberin yarıçapıdır.

h değerini 30 - 60 - 90 üçgeninden yararlanarak bula-

biliriz.

90'ın karşısı 2 ise; 30'un karşısı 1, 60 'ın karşısı 3

Buna göre; h 3 tür.

Büyük çemberin yarıçapı da R 3 3 1 2 3 1

Taralı alan Büyük çemberin alanı 13 küçük

2 2

2

çember

.(2 3 1) 13. .1

.(12 1 4 3) 13

.(13 4 3) 13

13 4 3 13

4 3 br buluruz.


2 2

Üçgen dik prizmaların tabanını oluşturan üçgenlerin

dik kenarlarına a ve b diyelim.

Bu üçgenlerin hipotenüsü 5 birim ise ;

a b 25 dir. Oluşan küpün bir ayrıtı 7 birim ise;

a b 7 dir.

Bu duruma uyan

2

a ve b değerleri 3 ve 4 tür.

Buna göre bir dik üçgen prizmanın yüzey alanı;

2.Taban Alan Taban çevresi.Yükseklik

3.42 (3 4 5).7

212 12.7

12 84

96 br buluruz.





Şekildeki gibi en büyük küreyi çizelim.

Bu kürenin, koninin yüzeyine değdiği nokta ile olu-

şan üçgen (kırmızı renkli), koninin taban yarıçapı

ve yüksekliği ile oluşan üçgene (mavi renkli) benzer -

dir. B

u üçgenler arasında benzerlik uygularsak;

5 r r

13 12

60 12r 13r

60 25r

60r

12

25

5

12 birim buluruz.

5





2

2

2

Bir dikdörtgenin alanı 2.1 2 br dir.

9 tane dikdörtgen varsa tüm alan 18 br dir.

d doğrusu bu alanı ikiye ayırıyorsa ayırdığı kısımlar

9'ar br dir.

Şekildeki gibi en tepedeki dikdörtgeni sağ üst kısma

ta

2

2

şırsak üçgene benzer bir şekil elde ederiz. Sadece

1 br 'lik boşluk kalmaktadır.

Buna göre bu üçgenin alanı 9 1 10 br dir.

3.x 2010 3x 20 x tür.

2 3

Buna göre d doğrusunun eğimi;

3 9 sola ya

20 203

tık olduğundan negatif

9olacaktır. buluruz.

20


x y 6 doğrusu eksenleri 6 noktasında kesen bir

doğrudur. Yukarıdaki şekilde doğruları koordinat

düzlemine yerleştirdikten sonra;

x y 6 doğrusunun ikizkenar bir dik üçgen oluştur -

duğunu görüyoruz. Eşkenar üçgenin yüksekliği ile

oluşan üçgen de bir 45- 45- 90 üçgeni olup, hipote -

nüsü 6 birimdir. Burdan üçgenin yüksekliğini 3 2

buluruz.

Eşkenar üçgenin içinde oluşan 30 - 60 - 90 üçgeni

ile eşkenar üçgenin bir k

2

2

6 2enarını buluruz.

3

a 3Eşkenar üçgenin alanı olduğundan;

4

6 2 723 33 24 33Alan 6 3 buluruz.4 4 4





2 2 2

2

Şekildeki gibi koordinat düzleminde çemberi çiz -

diğimizde, oluşturduğumuz dik üçgende pisagor

uygulayarak yarıçapı bulabiliriz.

(R 10) 20 R

R

220R 100 400 R

20R 500

R 25 birim buluruz.


2 22 2 2

2 2

2 2

2 2

Odaklar arası uzaklık 2c dir.

2c 12 c 6 birimdir.

x y1 elipsinde a b c dir. Buna göre;

a b

(p 1) (p 1) 36 dır.

(p 1) (p 1) 36

(p 1 p 1)(p 1 p 1) 36

2p.2 36

p 9 dur.

Asal eksen uzunluğ

u 2a 2.(p 1) 2.(10)

20 birim buluruz.


u v 0 ise v u dur.

Buna göre, öncülleri inceleyelim.

I. 2u v v 2u ( u) u

3u u

3u u 3u vektörünün uzunluğu ile

u vektörünün uzunluğu birbirine eşit olamaz.

II. u 3v (2

, 4) ise u 3u (2, 4)

2u (2, 4) u ( 1,2) dir. Doğru

III. u ile v vektörleri birbirinin zıt işaretlisi

olduğundan yönleri zıttır. Dolayısıyla birbirleri

arasındaki açı 180 dir.

Doğru





2 2 2

x y

AB (8 3,6 1) (5,5) tir.

AC (7 3,9 1) (4,8) dir.

AB,AC 5.4 5.8 20 40AD AC (4,8) (4,8)

4 8 80AC

60 3(4,8) (4,8) (3,6) dır.

80 4

AD (3,6) (D 3,D 1) D(6,7) dir.

Şimdi diğe

2 2 2

x y

r dik izdüşüme bakalım.

AC,AB 4.5 8.5 40 20AE AB (5,5) (5,5)

5 5 50AB

60 6(5,5) (5,5) (6,6) dır.

50 5

AE (6,6) (E 3,E 1) E(9,7) dir.

Buna göre;

DE (9 6,7 7) (3,0) buluruz.

D

oğru Cevap : B Şıkkı

1

2

x 1 y 2 zd : doğrultmanı (1,1,2)

1 1 2x y z c

d : doğrultmanı (a,b,a)a b a

Bu doğrular, birbirine dik olduklarından;

Doğrultman vektörlerin iç çarpımları 0 olmalıdır.

(1,1,2).(a,b,a) a b 2a 0 b 3a d

2

1 2

1

ır.

a 1 dersek, b 3 olur. Buna göre;

x y z cd : olur.

1 3 1

d ve d doğruları kesişiyorsa bunların ortak bir

noktası olmalıdır. Doğruları parametreye bağlı

bir şekilde ifade edelim.

x 1 y 2 zd k i

1 1 2

2

se;

x k 1; y k 2; z 2k olur.

x y z cd : m ise;

1 3 1

x m; y 3m; z m c olur.

(k 1,k 2,2k) (m, 3m,m c) eşitliğindeki

k ve m'yi bulalım.

k 1 m

- / k 2 3m

11 4m m tür.

41 5

k 1 k4 4

tür

z'lerin eşitliğini sağlayalım.

5 1 92k m c 2 c c buluruz.

4 4 4

(Not : Bu sorunun müfredat dışı olarak sorulduğunu

düşünüyoruz.)





1

2

1 2

Düzlemler birbirine dik ise, Normal vektörleri de

birbirine diktir.

N (a,a b,a b)

N (1,2, 8)

N N 0 olmalıdır.

a 2a 2b 8a 8b 0

5a 10b 0 a 2b dir.

(1,1,1) noktası ax (a b)y (a b)z 6

'nın bir

noktası ise;

a a b a b 6

3a 6 a 2 dir.

a 2b idi. b 1 dir. Buna göre;

a b 2 1 3 buluruz.

(Not : Bu sorunun müfredat dışı olarak sorulduğunu

düşünüyoruz.)


2 2 2

2 2 2

P'den B'ye bir doğru çizersek, bu doğru da [BC]'ye

diktir. (Üç dikme teoremi)

PAB üçgeninde pisagordan;

|PB| 5 13 25 169 194 tür.

PBC üçgeninde pisagordan;

|PC| |PB| 9 194 81 275

|PC| 275

|PC| 25.1

1 5 11 buluruz.



x 2y 40 140

x 2y 140 tır.

CDE üçgeninin iç açıları toplamından;

2x y 74 180

2x y 106 dır.

Bu iki denklemden x'i bulalım.

-1 / x 2y 140

2 / 2x y 106

x 2y 140

4x 2y 212

3x 72 y 24 buluruz.




9 ile bölümünden kalan için, rakamları toplamına

bakmak yeterlidir.

A

AA 2A

AAA 3A

...

AAA..AAA 50A

Toplamları (1 2 .... 50)A

50 51A 25.51A

2 25.51.A 3 (mod 9)

7.6.A 3 (mod 9)

42A 3 (mod 9)

6A 3 (mod 9)

A 2 , 5 , 8 olabilir

toplamlarını 15 buluruz.

2 22 2 2 2 2

1 u du 1 1

u F(x) 7 3F(x)f(x)dx

2 2 2 2

49 9 40 20 buluruz.

2 2


do - matematikkolay.net · lys 2017 matematİk ÇÖzÜmlerİ m 3 45m 2 3 ilk bölme i o u]v oºu...

Documents