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CUADERNO IX

MÉTODOS NUMÉRICOS DEL ÁLGEBRA

Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. PérezDep. de Informática y Matemática Aplicada

Universidad de Girona

RESUMEN: Se estudia la solución de sistemas lineales mediante métodos directos ymétodos iterativos y su aplicación a la obtención del valor de un determinante y de la matrizinversa. Se expone el método de las potencias para la obtención de los valores y vectorespropios de una matriz diagonalizable.

IX.1.- RESOLUCION DE SISTEMAS DE CRAMER

Sea un sistema lineal de Cramer

Ax = b

es decir, con igual número de ecuaciones que de incógnitas y con det (A) ≠ 0, por lo que elsistema tiene solución única. Los métodos exactos vistos en los capítulos anteriores son útilescuando el número de ecuaciones no es grande, pero si se trata de un sistema de p.ej. orden 20,la resolución por la regla de Cramer exige del orden de 5·109 multiplicaciones, lo que significauna enorme cantidad de tiempo; estos sistemas no son raros y es corriente encontrar en matemáti-ca aplicada la necesidad de resolver sistemas mucho mayores.

Dos tipos de métodos existen para resolver el problema: los métodos directos que danrespuesta exacta, excepto errores, después de un cierto número de pasos y los métodositerativos, caracterizados porque la solución no es exacta sino que se consigue con unaaproximación determinada, partiendo de su valor próximo y mejorándolo de modo sucesivo.

El método directo más importante es la eliminación gaussiana y se fundamenta en laaplicación de transformaciones elementales sobre las ecuaciones del sistema, que como yaprobamos, lo convierten en otro sistema equivalente. Sea el sistema lineal

a11x1+a12x2+...+a1nxn = a1n+1

a21x1+a22x2+...+a2nxn = a2n+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1]

an1x1+an2x2+...+annxn = ann+1

Como det(A) ≠ 0, existe al menos un coeficiente de x1 distinto de cero que, cambiandoecuaciones de lugar si fuese necesario, podemos conseguir que sea a11; aplicando a cada ecua-ción 2a, ..., na la transformación elemental consistente en restarle la primera multiplicada por

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ai1/a11 (para i = 2,...,n)

obtenemos un sistema en el que x1 aparece solamente en la primera ecuación

a11(0)

x1+a12(0)

x2+...+a1n(0)

xn = a1 n+1(0)

a22(1)

x2+...+a 2n(1)

xn = a2 n+1(1)

. . . . . . . . . . . . . . . .

an2(1)

x2+...+a nn(1)xn = a

n n+1(1)

siendo

a1j-1(0)

= a1j-1 , aij(1)

= aij – ai1

a11

a1j para 2 ≤ i ≤ n 2 ≤ j ≤ n+1

El nuevo sistema sigue teniendo un determinante distinto de cero ya que las transformaciones

elementales dejan invariante el rango de la matriz; por ello alguno de los elementos a22(1)

, . . . ,an2(1)

es distinto de cero y reordenando ecuaciones, si fuera necesario, podemos conseguir que sea

precisamente a22(1)

≠ 0. Aplicamos a las ecuaciones 3ª,...,nª la transformación elementalconsistente en restarles la 2ª ecuación multiplicada por

ai2(1)

/ a22(1)

(para i = 3,...,n)

y obtenemos el sistema en la forma

a11(0)

x1+a12(0)

x2+a13(0)

x3+...+a1n(0)

xn = a1 n+1(0)

a22(1)

x2+a23(1)

x3+...+a2n(1)

xn = a2 n+1(1)

a33(2)

x3+...+a 3n(2)

xn = a3 n+1(2)

. . . . . . . . . . . . . . . .

an3(2)

x3+...+a nn(2)xn = a

n n+1(2)

con

aij(2)

= ai j(1)

– ai2

(1)

a22(1)

a2j(1)

para 3 ≤ i ≤ n 3 ≤ j ≤ n+1

Reiterando el procedimiento llegamos al sistema transformado

3

a11(0)

x1+a12(0)

x2+a13(0)

x3+...+a1n(0)

xn = a1 n+1(0)

a22(1)

x2+a23(1)

x3+...+a2n(1)

xn = a2 n+1(1)

a33(2)

x3+...+a 3n(2)

xn = a3 n+1(2)

. . . . . . . . . . . . . . .

ann(n-1)xn = a

n n+1(n-1)

siendo

aij(k)

= aij(k-1)

– aik

(k-1)

akk(k-1)

akj(k-1)

para

1 ≤ k ≤ n–1

k+1 ≤ i ≤ nk+1 ≤ j ≤ n+1

Despejando xn en la última ecuación y sustituyendo en la anterior obtendremos xn-1 ysustituyendo sucesivamente en las ecuaciones anteriores vamos despejando todas las incógnitashasta la x1. La fórmula general es

xi = 1

aii(i-1)

(ai n+1(i-1)

– ai j(i-1)

xj∑j = i+1

n

) para i = n,n–1,...,1

El número total de operaciones a realizar depende del tamaño del sistema y se demuestra que

es proporcional a n log27. Depende de como sean los coeficientes del sistema y el númeromáximo de dígitos que mantiene el computador, pueden introducirse errores por redondeo que,

de acuerdo con la fórmula de resolución, se van acumulando aunque son menores si los ak k(k-1)

son grandes. Por ello una modificación del método puede reducir en algún grado el efecto

acumulado del error por redondeo y es tomar como elementos ak k(k-1)

los mayores posibles envalor absoluto. El método recibe el nombre de eliminación gaussiana con pivote . Elprocedimiento para obtenerlos consiste en definir para cada ecuación el escalar

si = akj (k-1)

maxj = k,...,n

(i = k,...,n)

con lo que el intercambio adecuado de ecuaciones se determina seleccionando los menoresenteros p y q tales que

apq(k-1)

sp

= aij

(k-1)

si

maxi = k,...,nj = k,...,n

e intercambiando las ecuaciones k ↔ p y los términos akk(k-1)

xk ↔ apq(k-1)

xq.

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Ejemplo IX.1.1

Resolvamos por el método de eliminación gaussiana con pivote el sistema

2x+y−z = 7 3x−y+2z = −4 3x−y+2z = −4 3x−y+2z = −4 ⇒ 2x+y−z = 7 ⇒ 5/3y−7/3z = 29/3 ⇒ x−2y−5z = 5 x−2y−5z = 5 −5/3y−17/3z = 19/3

3x−y+2z = −4 3x−3−4 = −4 x = 1 ⇒ 5/3y−7/3z = 29/3 ⇒ 5/3y+14/3 = 29/3 ⇒ y = 3

−8z = 16 z = −2 z = −2

o bien

3x + 3/5z = 9/5 3x = 3 x = 1 5y − 7 z = 29 ⇒ 5y = 15 ⇒ y = 3

−8 z = 16 −8z = 16 z = −2

La precisión de la solución puede obtenerse calculando la matriz de residuales r = b–Ax.Si los componentes de r son grandes es que hay problemas con el sistema, que puedenresolverse mediante un refinamiento iterativo consistente en resolver el sistema Ay = r ypuede demostrarse que x+y es una aproximación a la solución mejor que x. Este proceso puedeser repetido.

Ejercicios

IX.1 .- Dado el sistema

–12x1+x2–7x3 = –80

x1–6x2+4x3 = 13

–2x1–x2+10x3 = 92

Resolverlo mediante la eliminación gaussiana con pivote.

IX.2 .- Utilizar la eliminación gaussiana con pivote y refinamiento iterativo, para resolver lossiguientes sistemas:

a)

4x1+5x2–6x3 = 28

2x1–7x3 = 29

–5x1–8x2 = –64

b)

α1x2–13x3 = –50

2x1–6x2+α2x3 = 44

α3x1+α4x3 = 4

c)

x1+9x2+12x3 = 22

9x1+3x2+x3 = 13

x1+x2+x3 = 3

para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

Otra variante es el bien conocido método de Gauss-Jordan, en el que hemos basado la

mayor parte de los algoritmos desarrollados a lo largo del curso, y que consiste en utilizar los

elementos de la diagonal ak k(k-1)

para anular tanto los coeficientes de xk en las ecuaciones (k+1)-

5

ésima,...,n-ésima como en las anteriores (k−1)-ésima,..,1a. El resultado final es un sistema dela forma

a11(n)

x1 = a1 n+1(n)

a22(n)

x2 = a2 n+1(n)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

ann(n)xn = a

n n+1(n)

con

aij(k)

= aij(k-1)

– aik

(k-1)

akk(k-1)

akj(k-1)

para

1 ≤ k ≤ n–1

1 ≤ j ≤ n–1 , j ≥ k1 ≤ i ≤ n , i ≠ k

aij(k)

= aij(k-1)

para i = k o j < k

siendo los aij(0)

iguales a los coeficientes iniciales del sistema.

Para sistemas de gran número de ecuaciones son más efectivos los métodos iterativosconsistentes en construir una sucesión de aproximaciones que converja hacia la solución delsistema.

Veamos el método de Jacobi; en el sistema [1] despejamos x1 en la primera ecuación, x2en la segunda,..., xn en la n-ésima, en función de las restantes incógnitas

x1 = – a12

a11

x2 – a13

a11

x3 –...– a1n

a11

xn + a1 n+1

a11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2]

xn = –

an1

ann

x1 – an2

ann

x2 –...– ann–1

ann

xn–1 + an n+1

ann

siempre que sea posible. Partiendo de una solución aproximada inicial del sistema

x1(0)

,..., xn(0)

se substituye en las n igualdades anteriores, obteniéndose unos valores

x1(1)

,..., xn(1)

que son una aproximación mejor a la solución del sistema. Estos valores se sustituyen en lasanteriores igualdades y obtenemos otra aproximación mejor

x1(2)

,..., xn(2)

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y así sucesivamente, se va mejorando la aproximación hasta que se considere la aproximaciónsuficientemente buena. En efecto, la forma matricial de las anteriores igualdades es

x(k) = Bx(k–1)+c

siendo B = D-1(L+U), con las matrices D = (dij), L = (lij) y U = (uij) definidas por

if i = j then dij = aij else dij = 0

if i < j then lij = aij else lij = 0

if i > j then uij = aij else uij = 0

Como la solución del sistema x* debe verificar la ecuación anterior

x* = Bx*+c

restando se obtiene

x(k)−x* = B(x(k-1)−x*)

luego

x(1)−x* = B(x(0)−x*)

x(2)−x* = B(x(1)−x*)

. . . . . . . . . . . . . .

x(k)−x* = B(x(k-1)−x*)

y sustituyendo cada una en la siguiente llegamos a

x(k)−x* = Bk(x(0)−x*)

por lo que x(k) converge a x* si y sólo si Bk → 0 al tender k → ∞, siendo esta la condiciónnecesaria y suficiente de convergencia del método. Habrá muchos tipos de matrices queverificarán esta condición, aunque el más característico es el de las matrices cuyos valorespropios λ1,...,λn son en valor absoluto menores que 1, ya que

B k = PDkP-1 = P

λ1k . . 0

. . . . . . .

0 . . λnk

P-1

y, en efecto, si k → ∞ y λ i < 1, entonces λki → 0. Otro tipo de matrices que cumplen la

condición son las matrices estrictamente dominantes en la diagonal que verifican

aii > ai1 +...+ ai i–1 + ai i+1 +...+ ain

Se demuestra que si la matriz del sistema A es estrictamente dominante en la diagonal el métodoiterativo converge.

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La aplicación del método de Jacobi exige en primer lugar disponer de una aproximacióninicial; en caso contrario podemos elegir

x1(0)

= ... = xn(0)

= 0

Además, los coeficientes aii deben ser distintos de cero, para todo i, lo que puede conseguirseintercambiando de lugar ecuaciones o subíndices de incógnitas. Un criterio típico para acabar elproceso iterativo es hacer

M(k) = max xi(k)

–xi(k–1)

o bien M(k) = max xi

(k)–xi

(k–1)

xi(k)

y llegar hasta M(k) < δ, siendo δ algún número positivo pequeño.

Una variante muy útil del método de Jacobi es el denominado método de Gauss-Seidel yque en la mayoría de los casos reduce el número de iteraciones necesarias. En el método deJacobi cada nueva aproximación se obtiene de la anterior substituyendo ésta en los segundosmiembros de las ecuaciones [2], obteniendo la nueva x (

1k) de la primera igualdad, ..., x (

nk) de la

n-ésima; como la nueva solución, si se verifican las condiciones de convergencia, está máspróxima a la solución del sistema, podríamos obtener una mejor aproximación utilizando losnuevos valores según se vayan calculando, es decir el valor de x(

ik) obtenido de la i-ésima

igualdad utilizarlo en las siguientes, en vez de x(ik-1); las igualdades a que dan la nueva

aproximación serán, por tanto

x1(k)

= – a12

a11

x2(k–1)

– a13

a11

x3(k–1)

–...– a1n

a11

xn(k–1)

+ a1 n+1

a11

x2(k)

= – a21

a22

x1(k)

– a23

a22

x3(k–1)

–...– a2n

a22

xn(k–1)

+ a2 n+1

a22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi(k)

= – ai1

aii

x1(k)

–...– ai i–1

aii

xi–1(k)

–...– ain

aii

xn(k–1)

+ ai n+1

aii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn(k)

= – an1

ann

x1(k)

– an2

ann

x2(k)

–...– an n–1

ann

xn–1(k)

+ an n+1

ann

que al tener una forma análoga a la del método de Jacobi

x(k) = Bx(k-1)+c

siendo ahora B = (D–L)-1U, se le pueden aplicar las mismas condiciones de convergenciaanteriores.

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Ejemplo IX.1.2

El método de Jacobi aplicado al sistema

x+y+z = 23x−y+5z = 202x−5y+z = 15

se basa en las igualdades

x = −y−z+2 y = 3x+5z−20 z = −2x+5y+15

por lo que si partimos de la aproximación inicial cero, será

x(0) = 0 x(1) = −0−0+2 = 2 x(2) = 7 x(3) = 30 x(4) = 140y(0) = 0 ⇒ y(1) = 3·0+5·0-20 = −20 ⇒ y(2) = 61 ⇒ y(3) = −444 ⇒ y(4) = 1600z(0) = 0 z(1) = −2·0+5·0+15 = 15 z(2) = −89 z(3) = 306 z(4) = −2265

pudiéndose comprobar que el algoritmo no converge. Para el sistema de ecuaciones

3x+y+z = 4 x−2y−z = 2 2x−y−3z = −5

las igualdades para aplicar el algoritmo son

x = −y/3−z/3+4/3 y = x/2−z/2−1 z = 2x/3−y/3+5/3

mediante el que se obtiene, sucesivamente

x(0) = 0 x(1) = −0/3−0/3+4/3 = 1'3333 x(2) = 1'11 ... x(23) = 0'999979

y(0) = 0 ⇒ y(1) = 0/2−0/2−1 = −1 ⇒ y(2) = −1'167 ... y(23) = −2'000018

z(0) = 0 z(1) = 2·0/3−0/3+5/3 = 1'6666 z

(2) = 2'88 ... z(23) = 2'999988

convergiendo hacia la solución x = 1 y = −2 z = 3. Los resultados del algoritmo deGauss-Seidel para este sistema son

x(0) = 0 x(1) = −0/3−0/3+4/3 = 1'333 x(2) = 0'555 ... x(23) = 1'000000

y(0) = 0 ⇒ y(1) = 1'3333/2−0/2−1 = −0'333 ⇒ y(2) = −2'055 ... y(23) = −2'000000 z(0) = 0 z

(1) = 2·1'333/3−0'333/3+5/3 = 2'6666 z(2) = 2'722 ... z(23) = 3'000000

convergiendo hacia la solución de forma más rápida.

Ejercicios

IX.3 . - Resolver por los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, los siguientes sistemas:

9

a)

10x1–3x2+6x3 = 24'5

x1+8x2–2x3 = –9

–2x1+4x2–9x3 = –50

b)

x1+7x2–3x3 = –51

4x1–4x2+9x3 = 61

12x1–x2+3x3 = 8

c)

α1x1–2x2+α2x3 = 0

–x1+α3x2–2x3 = 11

x1+α4x2–3x3 = 6

para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

IX.2.- CALCULO DE DETERMINANTES Y DE LA MATRIZ INVERSA

El método de Gauss desarrollado antes para resolver un sistema de Cramer es válido parahallar el determinante de una matriz cuadrada regular. Si aplicamos al determinante

A =

a11 . . a1n

. . . . . . . .

an1 . . ann

las transformaciones del método de Gauss

aij(k)

= aij(k-1)

– aik

(k-1)

akk(k-1)

akj(k-1)

para

1 ≤ k ≤ n–1

k+1 ≤ i ≤ nk+1 ≤ j ≤ n

el resultado es un determinante triangular igual al anterior ya que las transformacioneselementales efectuadas no modifican el valor absoluto del determinante; por tanto

A = (–1)p aii(i–1)∏

i = 1

n

siendo p el número de posibles cambios de fila que hayan debido hacerse para evitar que los

pivotes akk(k–1)

sean 0.

Para el cálculo de la matriz inversa de una matriz regular A vimos también que las mismastransformaciones elementales sirven para calcularla. Por definición de matriz inversa

x1 x2 xn e1 e2 en

A·A-1 = I ⇔ A

x11 x12 . . x1n

x21 x22 . . x2n

. . . . . . . . . . .

xn1 xn2 . . xnn

=

1 0 . . 0

0 1 . . 0

. . . . . . . .

0 0 . . 1

lo que equivale a resolver n sistemas de Cramer con n incógnitas

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Ax1 = e1

Ax2 = e2 . . . . . . Axn = en

todas ellas con la misma matriz por lo que la eliminación gaussiana puede ser hechasimultáneamente usando n vectores en el segundo miembro en lugar de uno, lo que equivalea adjuntar la matriz unidad

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n . . . . . . . . . . .

an1 an2 ... ann

1 0 ... 0 0 1 ... 0

. . . . . . .0 0 ... 1

y mediante las mismas transformaciones elementales que las utilizadas para el método deGauss-Jordancon se llega a

a11(n-1)

0 . . 0

0 a22(n-1)

. . 0

. . . . . . . . . . . . .

0 0 . . ann(n-1)

a1 n+1(n-1)

a1 n+2(n-1)

. . a1 2n(n-1)

a2 n+1(n-1)

a2 n+2(n-1)

. . a2 2n(n-1)

. . . . . . . . . . . . . .

an n+1(n-1)

an n+2(n-1)

. . an 2n(n-1)

aij(k)

= aij(k-1)

– aik

(k-1)

akk(k-1)

akj(k-1)

para

1 ≤ k ≤ n–1

1 ≤ j ≤ 2n , j ≥ k

1 ≤ i ≤ n , i ≠ k

aij(k)

= aij(k-1)

para i = k o j < k

Así la matriz inversa es

A-1 =

a1 n+1(n-1)

a11(n-1)

a1 n+2

(n-1)

a11(n-1)

. . a1 2n

(n-1)

a11(n-1)

a2 n+1(n-1)

a22(n-1)

a2 n+2

(n-1)

a22(n-1)

. . a2 2n

(n-1)

a22(n-1)

. . . . . . . . . . . . . .

an n+1(n-1)

ann(n-1)

an n+2

(n-1)

ann(n-1)

. . an 2n

(n-1)

ann(n-1)

11

es decir, la transformación bij = ai n+j

(n-1)

ai1(n-1)

da los elementos de A1.

Ejercicios

IX.4.- Determinar las inversas para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = de las matrices:

α1 0 1

0 5 0

–1 1α2

2 0 α3

1 0 1

α4–2 0

IX.3.- CALCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS

Al ser los valores propios de una matriz las raíces de su ecuación característica, podríanaplicarse los algoritmos existentes en el cálculo numérico para resolver una ecuaciónpolinómica, si ésta se conociera. Existen algoritmos complicados para calcular la ecuacióncaracterística de una matriz cuadrada, sin embargo, vamos a optar por un camino más sencillo,y vamos a ver un procedimiento para calcular los valores y los vectores propios de una matriz apartir de sus elementos denominado el método de las potencias.

Supongamos que A es una matriz cuadrada de orden n diagonalizable, sean λ1,...,λ n losvalores propios dispuestos en orden decreciente de valores absolutos, es decir

λ1≥ λ2 ≥ ... ≥ λn [3]

y sean x1,...,xn vectores propios l.i. asociados a los valores propios λ 1,...,λ n. Sea y0 unvector de Kn; como A es diagonalizable (x1,...,xn) es una base de Kn por lo cual

y0 = k1x1+k2x2+...+knxn [4]

Multiplicando por A a la izquierda

y1 = Ay0 = A(k1x1+k2x2+...+knxn) =

= k1Ax1+k2Ax2+...+knAxn = k1λ1x1+k2λ2x2+...+knλnxn

y multiplicando sucesivamente por A tendremos, por inducción

yk = Aky0 = k1λ k1x1+k2λ k

2x2+...+knλ knxn [5]

Veamos como calcular, en primer lugar el valor propio dominante λ1 y un vector propioasociado; para cualquier componente de yk tenemos

yik = k1λk1xi1+ k2λ k

2xi2+...+knλ knxin [6]

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Supongamos que el vector y0 se ha elegido de modo que k1 ≠ 0 y consideremos los casosposibles que pueden darse respecto de los módulos de λ1 y λ2

a) λ1 > λ2

Dividiendo yik+1 por yik, para cualquier 1 ≤ i ≤ n, será

yik+ 1

yi k

= k1λ1

k+1xi1+...+knλ n

k+1xin

k1λ1kxi1+...+knλ n

kxi n

=

= λ1

k+1

λ1k

k1xi1+k2xi2(λ2/λ1)

k+1+...+knxin(λn/λ1)

k+1

k1xi1+k2xi2(λ2/λ1)k+...+knxin(λn/λ1)

k = λ1ε(k)

Como lim (λj/λ1)k = 0, al ser λ1 > λ2 >..., tenemos que lim ε(k) = 1, luego k→∞ k→∞

limk → ∞

yik+1

yi k

= λ1

cualquiera que sea 1 ≤ i ≤ n. Para k suficientemente grande

λ1 ≈ yik+1

yi k

Para obtener un vector propio asociado a λ1 basta tener en cuenta que de [5]

yk = k1λ k1x1+k2λ k

2x2+...+knλ knxn =λ k

1(k1x1+k2(λ2/λ1)kx2+...+kn(λn/λ1)kxn)

con lo que si k → ∞, entonces yk → λk1k1x1, es decir, yk es un múltiplo del vector propio

x1 luego yk es también un vector propio asociado a λ1.

b) λ1 = λ2 , λ2 > λ3 ≥ ... ≥ λn

En este caso en [6] puede sacarse factor común λk1 quedando

yik = (k1xi1+k2xi2)λ1k+k3λ3

kxi3+...+knλ knxin

y razonando de modo análogo será

yik+ 1

yi k

= λ1

k+1

λ1k

(k1xi1+k2xi2)+k3xi3(λ3/λ1)

k+1+...+knxin(λn/λ1)

k+1

(k1xi1+k2xi2)+k3xi3(λ3/λ1)k+...+knxin(λn/λ1)

k = λ1ε(k)

con lim ε(k) = 1 y su valor aproximado es también k→∞

13

λ1 ≈ yik+1

yi k

Para el vector propio asociado sirve el razonamiento anterior

yk = k1λ k1x1+k2λk

1x2+k3λ k3x3+...+knλ k

nxn =

= λ1k(k1x1+k2x2+k3(λ3/λ1)kx3+..+kn(λn/λ1)kxn

con lo cual si k → ∞, entonces yk → k1λ k1x1+k2λk

1x2, es decir, una combinación lineal devectores propios asociados a λ1, luego yk es también vector propio del mismo subespacio;partir de distintos vectores iniciales y0 llevará a obtener distintos vectores propios asociadosa λ1. La generalización a λ 1 =...= λ r , λr+1 > λr+2 ≥ ... ≥ λn es evidente, conresultados análogos

c) λ1 = −λ2, λ2 > λ3 ≥... ≥ λn

En este caso no se mantiene el razonamiento anterior ya que ε(k) no tiende a 1; pero bastaconsiderar el cociente

yi 2k+1

yi 2k-1

= λ1

2k+1

λ12k-1

(k1xi1–k2xi2)+k3xi3(λ3/λ1)

2k+1+...+knxin(λn/λ1)

2k+1

(k1xi1–k2xi2)+k3xi3(λ3/λ1)2k-1

+...+knxin(λn/λ1)2k-1

= λ12ε(k)

con lim ε(k) = 1; por tanto k→∞

λ12 ≈

yi 2k+1

yi 2k–1

En este caso

yk = k1λ k1x1+k2(−λ 1)kx2+...+knλ k

nxn ⇒

⇒ yk+λ1yk-1 =λ k1(2k1x1+k3(λ3/λ1+1)(λ3/λ1)k-1x3+...+k3(λn/λ1+1)(λ3/λ1)k-1xn)

con lo cual si k→∞, entonces yk+λ1yk-1 tiende a 2λ k1k1x1 luego yk+λ1yk-1 es un vector

propio asociado a λ1.

En la práctica es conveniente calcular los cocientes

yik+1

yi k

( o yi 2k+1

yi 2k-1

)

con i = 1,...,n para cada k, que representaremos por

yk+ 1

y k

( o y2k+1

y2k- 1

)

14

para todas las componentes de yk (que no sean nulas) de forma que una buena coincidenciaentre estos resultados indica que la aproximación alcanzada es suficiente. Para evitar númerosgrandes en el cálculo de los sucesivos vectores y1,...,yk, dados por

y1 = Ay0 ,..., yk = Ayk-1

es conveniente dividir las componentes de cada uno de estos vectores por la 1ª componente; eneste caso se obtiene la sucesión

y1 = µ0Ay0 ,..., yk = µkAyk-1

y para obtener λ1 deben calcularse los cocientes entre las componentes de Ayk e yk (o bienA 2y2k e y2k). En general la rapidez de la convergencia dependrá de yik+1/yik, existiendoalgunos procedimientos auxiliares para acelerarla.

Para calcular el segundo valor propio λ2 tendremos en cuenta que

yik+1–λ1yik

yik–λ 1yik– 1

= k2xi2(λ2–λ1)λ2

k+...+knxin(λn–λ1)λn

k

k2xi2(λ2–λ1)λ2k-1

+...+knxin(λn–λ1)λnk-1

=

= λ2

k

λ2k-1

k2xi2(λ2–λ1)+k3xi3(λ3–λ1)(λ3

λ2

)k

+...+knxin(λn–λ1)(λn

λ2

)k

k2xi2(λ2–λ1)+k3xi3(λ3–λ1)(λ3

λ2

)k-1

+...+knxin(λn–λ1)(λn

λ2

)k-1

= λ2ε(k)

con ε(k)→1 al tender k→∞, por lo que para k suficientemente grande

λ2 ≈ yik+1–λ1yik

yik–λ 1yik– 1

Un vector propio asociado a λ2 se puede obtener, teniendo en cuenta que,

∆1k+1 = yk+1−λ1yk = k2(λ2−λ1)λ k

2x2+...+kn(λn−λ1)λ knxn =

= λk2(k2(λ2−λ1)x2+λ3(λ3−λ1)(λ3/λ2)kx3+...+kn(λn−λ1)(λn/λ2)kxn)

y si k→∞, entonces yk+1−λ1yk → λk2k2(λ2−λ1)x2, es decir, yk+1−λ1yk es un múltiplo del

vector propio x2 con lo que es también un vector propio asociado a λ2. Reiterando el procesoanterior

λ3 ≈ ∆k+1

2

∆k2

= ∆k+1

1–λ2∆k

1

∆k1–λ2∆k-1

1

será la aproximación al siguiente valor propio así como (yk+1 – λ 1yk)–λ 2(yk – λ1yk-1) es unaaproximación a un vector propio asociado a λ3 y así sucesivamente.

15

El estudio detallado de la convergencia, errores y otros procedimientos más eficaces paracalcular los vectores y valores propios de una matriz cuadrada se sale fuera del alcance de estecapítulo introductorio a los métodos numéricos que más utiliza el álgebra lineal.

Ejemplo IX.3.1

Para diagonalizar la matriz

A =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

tomamos un y0 cualquiera, y0 = (1,1,1), y calculemos las sucesivas imágenes

y1 = Ay0 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

1

1

1

=

–1

–2

–2

y2 = Ay1 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

–1

–2

–2

=

3

3

3

y3 = Ay2 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

3

3

3

=

–3

–6

–6

y4 = Ay3 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

–3

–6

–6

=

9

9

9

y5 = Ay4 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

9

9

9

=

–9

–18

–18

y6 = Ay5 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

–9

–18

–18

=

27

27

27

Calculemos los cocientes y i k+ 1

y i k

y yi 2k+1

y i 2k- 1

y1

y0

= –1,–2,–2

y2

y1

= –3,– 3

2,–

3

2

y3

y2

= –1,–2,–2

y4

y3

= –3,– 3

2,–

3

2

y5

y4

= –1,–2,–2

y6

y5

= –3,– 3

2,–

3

2

que no convergen. Como

y3

y1

= 3,3,3

y5

y3

= 3,3,3

en que cada componente converge a 3, entonces λ1 = 3 es valor propio y λ2 = – 3

16

también lo es. Busquemos los correspondientes vectores propios, calculando lasexpresiones yk+λ1yk–1 y yk+λ2yk–1

[y1+ 3y0] = [(−1+ 3,−2+ 3,−2+ 3)] = [(−(1+ 3),1,1)]

[y2+ 3y1] = [(3− 3,3−2 3,3−2 3)] = [(−(1+ 3),1,1)]

[y3+ 3y2] = [(−3+3 3,−6+3 3,−6+3 3)] = [(−(1+ 3),1,1)]

El vector propio asociado al valor propio λ 1 = 3, será v( 3) = [(−(1+ 3),1,1)].Como

[y1− 3y0] = [(−1− 3,−2− 3,−2− 3)] = [(−1+ 3),1,1)]

[y2− 3y1] = [(3+ 3,3+2 3,3+2 3)] = [(−1+ 3),1,1)]

el asociado a λ2 = − 3, será v(− 3) = [(−1+ 3,1,1)]. Calculemos el tercer valorpropio, que será

λ3 ≈ ∆k+1

2

∆k2

= ∆k+1

1–λ2∆k

1

∆k1–λ2∆k-1

1 =

(yk+ 1– 3y k)+ 3(yk– 3yk–1)

(yk– 3yk– 1)+ 3(yk– 1– 3yk–2) =

yk+1–3yk–1

yk–3yk– 2

Hallemos pues los cocientes yi k+1–3yi k–1

yi k–3yi k– 2

y3–3y1

y2–3y0

= 0

0,0

0,0

0

Vemos que da una indeterminación para cada componente, y si calculásemos lossucesivos cocientes para todas las k también sucedería lo mismo. Esto se debe a que elvector inicial y0 = (1,1,1) es combinación lineal de los dos primeros vectores propios

(1,1,1) = 1

2 –

3

3 (–1– 3,1,1)+

3

3 +

1

2 (–1+ 3,1,1)

Por lo tanto, al escribir el vector y0 = (1,1,1) en la base de vectores propios, lacomponente correspondiente al tercer vector propio es cero. En este caso, partiremosde otro vector y0 para calcular el valor propio que nos falta. Tomemos, por ejemplo, elvector z0 = (1,2,1)

z1 = Az0 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

1

2

1

=

–2

–3

–2

17

z2 = Az1 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

–2

–3

–2

=

3

5

4

z3 = Az2 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

3

5

4

=

–6

–8

–7

z4 = Az3 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

–6

–8

–7

=

9

14

13

z5 = Az4 =

1 –1 –1

–1 –1 0

–1 0 –1

9

14

13

=

–18

–23

–22

z3–3z1

z2–3z0

= 0

0,

1

–1,–1

1 ,

z4–3z2

z3–3z1

= 0

0,–1

1,

1

–1 ,

z5–3z3

z4–3z2

= 0

0,

1

–1,–1

1

Entonces, el tercer valor propio es λ3 = −1, y un vector propio asociado lo podemosencontrar mediante la expresión

(zk+ 1– 3z k)–(– 3)(zk– 3zk–1) = z k+1–3zk–1

es decir,

[z3−3z1] = [(0,1,−1)] = [(0,1,−1)]

[z4−3z2] = [(0,−1,1)] = [(0,−1,1)]

[z5−3z3] = [(0,1,−1)] = [(0,1,−1)]

Luego V(−1) = [(0,1,−1)].

Ejercicios

IX.5 . - Hallar el valor propio dominante de las siguientes matrices:

a) –1 4

1 –1 b)

0 α1

α1 0 c)

4 2 1

0 –5 3

0 0 6

d)

α3 –12 0

1 0 0

0 0 α4

18

PROCEDIMIENTOS PRÁCTICOS BASICOS

Los procedimientos básicos que forman los elementos constructivos a partir de los cualespueden abordarse los problemas que tratan sobre las materias desarrolladas en este Cuaderno,son los siguientes:

- Resolución de un sistema por los métodos de Gauss y Gauss-Jordan con y sin pivotaje.

- Resolución de un sistema por los métodos de Jacobi y de Gauss-Seidel.

- Cálculo de un determinante y de la matriz inversa por los métodos directo e iterativo

- Cálculo del valor propio dominante y del vector propio asociado

19

EJERCICIOS DE RECAPITULACION

IX.6.- Resolver por los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, los siguientes sistemas:

a)

4x1–2x2–x3 = 39

x1–6x2+2x3 = –28

x1–3x2+12x3 = –86

b)

x1–3x2+12x3 = 10

5x1–12x2+2x3 = –33

x1–14x2 = –103

c)

–6x1+12x3 = 60

4x1–x2–x3 = –2

6x1+8x2 = 44

IX.7 .- Hallar la solución del sistema

x1+9x2+12x3 = 21,8

9x1+3x2+x3 = 13,2

x1+x2+x3 = 3

por el método de de Gauss con pivote.

IX.8.- Resolver los siguientes sistemas por eliminación gaussiana con pivote, redondeandotodos los cálculos hasta tres dígitos significativos:

a) 0'21x1+0'33x2 = 0'54

0'70x1+0'24x2 = 0'94 b)

0'11x1–0'13x2+0'20x3 = –0'02

0'10x1+0'36x2+0'45x3 = 0'25

0'50x1–0'01x2+0'30x3 = –0'70

IX.9 .- Resolver los sistemas

2x1+6x2 = 8

2x1+6'00001x2+x3 = 8'00001

2x1+6x2 = 8

2x1+5'99999x2+x3 = 8'00002

y compara sus soluciones.

IX.10.- Resolver el sistema de ecuaciones no lineales, por el procedimiento de Gauss-Siedel

4x–y 2–z2 = 3

–x+4y2–z = 2 –x–y–4z = 1

Tomar como valores iniciales x = y = z = 0 y efectuar cuatro o cinco iteraciones. (Nota:Aunque la matriz de los coeficientes sea diagonalmente dominante, no tenemosasegurada la convergencia de un sistema de ecuaciones no lineales).

IX.11.- Resolver los sistemas

20

a)

2x1–x2–x3 = 1'1

–x1+x2–3x3 = 0'05

3x1–3x2+4x3 = 1'9

b)

x1–2x2–x4 = 3

–2x1+7x2+x3–x5 = 2

x2+2x3+x4+2x5 = 1

–x1–x3+6x4+x5 = 4

–x2+2x3+x4+9x5 = 0

c)

5x1+4x2+2x3–3x4+x5 = 2

2x1–6x2+x3+2x4–3x5 = –5

4x1–x2+4x3–x4–x5 = –9

x1+x2+x3+x4+x5 = –1

–x1+x2–x3+x4–x5 = 7

IX.12.- ¿Cuáles de las siguientes matrices son estrictamente dominantes en la diagonal?

a) 2 1–1 4

b) 3 –51 2

c) 6 0 13 5 30 0 1

d) 4 1 20 3 24 1 –7

e)

5 1 2 03 –7 2 10 2 5 11 1 2 –5

IX.13.- Determinar la inversa de cada una de las siguientes matrices:

1 2 3

1 4 2

2 1 1

1 9 12

9 3 1

1 1 1

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

IX.14.- La matriz

A =

0 2 2

–2 0 2

–2 –2 0

es singular. Utilizar la regla de Cramer para determinar el valor de α para el cual laecuación

Ax = b con b = 22α

tiene una solución. Para este valor de α, la solución ¿es única?.

21

IX.15.- Sean las matrices

A = 3 41 3

B = 5 43 4

C = –3 2

2 0 D =

2 1 01 2 00 0 10

a) Utilizar el método de las potencias para obtener una aproximación del valor propiodominante de cada una de ellas. Redondear todos los cálculos hasta tres dígitossignificativos.

b) Usar el resultado anterior para obtener una aproximación de los valores propiosdominantes de cada matriz.

c) Encontrar los valores exactos del vector y valor propio dominante de cada matriz.

BIBLIOGRAFIA

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22