Doğrusal Ayrık Dinamik Sistemler

Erciyes Üniversitesi Mühendislik FakültesiElektrik-Elektronik Mühendisliği BölümüEnis GÜNAYegunay@erciyes.edu.trem.erciyes.edu.tr/egunay

Leslie Matrisi

•Leslie matris modeli, yaş sınıflarındaki yaşam oranı ve doğurganlık değerlerini kullanarak yaş yapısına ait çeşitli tahminlerde bulunmak için kullanılan bir yöntemdir *.

•Leslie matris modeli, gelecekteki populasyon büyüklüğünün tahminlenmesinde, üretkenlik değerinin hesaplanmasında, duyarlılık ve esneklik analizlerinde sıkça kullanılmaktadır *.

*Leslie Matris Modeli Kullanılarak Populasyon Büyüklüğünün Tahmin EdilmesiGürol ZIRHLIOĞLU, Atilla DURMUŞ, Mehtap TAŞKESEN

Leslie Matrisi•Ölüm ve üretkenlikten dolayı populasyon

büyüklüğünde meydana gelen değişiklikler 1945 yılında H. Leslie tarafından bir matris modeli üzerinde tanımlanmıştır *.

•Leslie modeli, gelişme (yaşam evresi boyunca gelişme), yaşa özgü doğum yaşa özgü ölüm olarak belirtilen üç çeşit ekolojik olayı tanımlayan ve birçok biyolojik materyale uygulanabilen bir modeldir *.

*Leslie Matris Modeli Kullanılarak Populasyon Büyüklüğünün Tahmin EdilmesiGürol ZIRHLIOĞLU, Atilla DURMUŞ, Mehtap TAŞKESEN

Leslie Matrisi

•Pekçok populasyonda, populasyonun büyümesi söz konusu olduğu zaman sadece dişi bireyler dikkate alınmaktadır *.

•Bu nedenle Leslie modelinin uygulanmasında da genel olarak dişi bireylere ait veriler dikkate alınarak tahminler yapılmaktadır *.

*Leslie Matris Modeli Kullanılarak Populasyon Büyüklüğünün Tahmin EdilmesiGürol ZIRHLIOĞLU, Atilla DURMUŞ, Mehtap TAŞKESEN

Leslie Matrisi• Kabuller:

▫dişiler n adet yaş sınıfına bölünür.

▫N popülasyondaki dişilerin ulaşabileceği teorik maksimum yaşı temsil eder.

▫böylece her bir yaş grubu N/n kadarlık gün, hafta, ay ve yıllı kapsar.

▫popülasyon her bir yaş sınıfına eşit düzgün zaman aralıkları ile gözlemlenir.

▫böylece k’ıncı zaman periyodu tk=kN/n ile verilir.

Leslie Matrisi▫xi

(k), k kadarlık zaman periyodundan sonraki dişilerin i’inci yaş sınıfının dişi sayısını ifade eder.

▫bi, i’inci yaş sınıfındaki tek bir dişiden doğan yavruları tanımlar. bi≥0, 1≤i≤n

▫ci, i’inci yaş sınıfından, (i+1)’inci yaş sınıfına yaşamını devam ettiren dişilerin oranını tanımlar.Yaşam oranı olarak adlandırılır.

0<ci ≤1, 1≤i≤n

Leslie Matrisi• k kadarlık zaman sonra birinci yaş sınıfındaki dişi

sayısı, tk-1 ile tk zaman aralığında doğan dişi sayısına eşit olacaktır.

• tk zaman periyodundaki (i+1)’inci yaş sınıfı dişi sayısı, tk-1 zaman periyodundaki i’inci yaş sınıfındaki dişi sayısına eşit olacaktır.

Leslie Matrisi

•Bir önceki sunudaki denklemler matris formatında aşağıdaki gibi düzenlenebilir:

•yada

Leslie Matrisi

•Burada X є Rn’dir. L ise Leslie matrisi olarak adlandırılır. X(0)’ın dişilerin her bir n adet yaş sınıfındaki başlangıç sayısını verdiği kabul edilirse:

Örnek•Bir kuş türü üç farklı yaş grubuna

sınıflandırılmıştır. •Bunlar 0-1 yaş, 1-2 yaş ve 2-3 yaş grubudur. •Popülasyon yılda bir kez gözlemlenmektedir. •Buna göre oluşturulan Leslie matrisi:

olmaktadır.

Örnek•Dişilerin yaş gruplarına göre başlangıç

değerleri

ile verilmektedir. Buna göre 10 yıl, 20 yıl ve 30 yıl sonra popülasyonun dişi birey sayısı kaç olacaktır?