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Abstracto—Este trabalho apresenta a aplicação da meta-heurística, Simulated Annealing, num problema de despacho, sendo que o pretendido é despachar a potência necessária para as

cargas, com o menor custo possível, ou seja, minimizar o custo, que está associado à potência produzida por cada gerador. Para atingir este objectivo podemos alterar os valores da potência produzida pelos geradores, mas seria algo impraticável para

resolução dum problema real, por isso utilizamos o algoritmo do Simulated Annealing, para ajudar nesse tipo de problemas.

Palavras Chave—Despacho Económico, Meta-Heurística,

Optimização, Simulated Annealing.

I. NOMENCLATURA

VA – Valor Aleatório

II. INTRODUÇÃO

despacho é um problema comum nos sistemas eléctricos e de energia, já que é através dele que usualmente se

decide quais as centrais que deverão produzir a energia necessária durante um período de tempo. O despacho indica também a quantidade de energia a produzir por cada central, tendo sempre em consideração os limites técnicos do sistema, como os limites de produção de cada central e os limites da rede de transporte e distribuição.

O objectivo deste trabalho é resolver o despacho económico para um sistema constituído por 5 geradores, onde não são consideradas perdas nas linhas. Um dos modos de resolver este problema é através da utilização de meta-heurísticas, nomeadamente da utilização do Simulated Annealing, que é uma ferramenta útil para a resolução de problemas considerando a solução obtida e o tempo necessário.

O simulated annealing trata-se de uma meta-heurística usada para optimização, que assenta numa base de busca probabilística local e que se fundamenta com uma analogia à termodinâmica.

III. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Nesta parte o problema é formulado. Uma solução possível é uma solução que respeita todas as restrições do problema, neste problema, as restrições existentes prendem-se com os limites mínimos e máximos dos geradores. A outra restrição existente é a de que a potência gerada seja igual à carga, para que todas as cargas sejam alimentadas.

min z = � C(P�)�

��

Sujeito a:

• P�� ≤ P� ≤ P��, para todos os geradores

• ∑ P� = 1300 MW��

Onde: Ci representa o custo do gerador i; Pgi é a potência gerada pelo gerador i;

IV. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

Para resolver este problema vamos seguir uma série de passos. Vamos ter de começar por apresentar uma solução inicial para o problema, depois vamos criar uma nova configuração, para o despacho, que será uma vizinhança dessa solução, vizinhança essa poderá ser ou não uma solução, isto é, pode não respeitar as restrições. Por isso temos de implementar um algoritmo para que a potência gerada seja igual à carga, e ainda introduzir penalizações nos custos quando as restrições não são respeitadas. Depois definimos as condições para aceitar ou não a nova configuração, em relação à última solução aceite. Condição essa que estará sempre relacionada com o preço correspondente a esse despacho. Como método de paragem há que ter em atenção a quantidade de iterações que são realizadas para cada nível de temperatura, e qual o valor final da temperatura. Para isso utilizamos também uma constante de arrefecimento. O software utilizado para resolver este problema foi o MATLAB.

A. Solução Inicial

Para obter a solução inicial começamos colocar os 5 geradores no mínimo, o que totalizava 400 MW. Para os restantes 900 MW, aplicamos a cada gerador um múltiplo da

quantidade que já estava a produzir, isto é, como 900 é �� vezes

superior a 400 MW, multiplicamos a potência de cada gerador por este valor tendo obtido a solução inicial, já que como poderemos ver na tabela I, esta solução respeita todas as restrições, condição fundamental para ser uma solução.

TABELA I

VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS PARA CADA GERADOR E SOLUÇÃO INICIAL

DO PROBLEMA

Pmáx (MW) Pmín (MW) Solução Inicial (MW)

G1 600 100 325 G2 400 100 325 G3 200 50 162,5 G4 400 100 325 G5 200 50 162,5

Obtenção do Despacho Utilizando o Simulated Annealing

Paulo Alexandre Alves Félix, [email protected], FEUP

O

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B. Função Custo

Cada gerador tem um custo associado, que depende da potência que este estiver a produzir. Para todos os geradores a expressão é a mesma, sendo que mudam os valores das constantes de gerador para gerador. A expressão do custo é a seguinte:

C�P�� = a + b. P� + c. P�% + d. sin(e. ( P�� − P�)) Sendo que as constantes, a, b, c, d e e, apresentam os

seguintes valores, para os diferentes geradores:

TABELA II VALORES DAS CONSTANTES DA FUNÇÃO CUSTO

a b c d e

G1 561 7,92 0,001562 300 0,0315 G2 310 7,85 0,001940 200 0,0420 G3 78 7,97 0,004820 150 0,0630 G4 350 7,4 0,001940 200 0,0420 G5 85 7,8 0,004820 150 0,0630

Com estes valores e com o despacho da solução inicial

podemos desde já calcular o custo dessa solução. Aplicando então a função custo para a solução inicial obtemos:

TABELA III

CUSTOS DA SOLUÇÃO INICIAL

G1 3.083,88 € G2 3.071,21 € G3 1.392,35 € G4 2.964,96 € G5 1.371,72 €

Total 11.884,12 €

C. Determinação de um Novo Despacho

Como já havia sido dito, uma nova configuração para o despacho, será uma configuração “vizinha” da última solução aceite. A vizinhança é calculada através da soma de um número aleatório inteiro, que pertença ao intervalo [-20;20], ao valor da potência produzida por cada gerador, da última solução aceite. Vamos apresentar um exemplo para a determinação de um novo despacho, partindo da solução inicial.

TABELA IV VALOR OBTIDO PARA A VIZINHANÇA DA SOLUÇÃO INICIAL

Pg_0 (MW) VA Pg_1 (MW)

G1 325 2 327 G2 325 19 344 G3 162,5 -1 161,5 G4 325 -14 311 G5 162,5 12 174,5

Na tabela IV temos a solução inicial, Pg_0, o valor

aleatório que será somado à solução inicial para determinar uma nova configuração para o despacho, Pg_1. Mas como se pode comprovar, caso se somem os valores da configuração Pg_1, temos um valor total de potência despachada superior à

carga, por isso não é solução, e é preciso assegurar que essa restrição é respeitada. Verifica-se também que as restrições técnicas dos geradores são respeitadas.

Para corrigir o excesso ou o defeito de potência produzida por uma nova configuração, vamos utilizar um método, cuja finalidade é igualar a potência gerada à carga. Este método começa por determinar o valor da potência gerada em excesso, ou em defeito.

Em seguida calcula-se a capacidade total livre dos geradores, através da soma das capacidades livres dos 5 geradores.

Dividindo o valor excedente pela capacidade total livre obtemos um factor que será utilizado para obter um valor correcto para as capacidade livres dos geradores, aumentando ou diminuindo a sua capacidade, de modo a atingir o valor pretendido na potência gerada. Ao factor somamos 1 e multiplicamos o resultado pelo antigo valor da capacidade livre de cada gerador, obtendo assim uma capacidade livre que permite obter uma produção de 1300 MW.

Com o valor da capacidade livre de cada gerador que permite obter a produção pretendida, vamos então determinar o despacho, para isso temos de subtrair ao limite máximo de cada gerador o novo valor da capacidade livre. Obtêm-se então um despacho que já respeita pelo menos uma das restrições.

Caso este despacho respeite também as restrições dos limites técnicos dos geradores, estamos na presença de uma solução, mas caso não respeite essas restrições não é considerada uma solução e o custo desse despacho deve vir afectado de penalizações.

Neste caso temos uma produção que ultrapassa o valor da carga em 18 MW. Os valores das capacidades livres de cada gerador são apresentados na tabela V.

TABELA V

CAPACIDADES LIVRES DE CADA GERADOR

G1 273 MW G2 56 MW G3 38,5 MW G4 89 MW G5 25,5 MW

Total 482 MW

Para obter então o factor corrector vamos dividir 18 por 482, o que nos dá um quociente de cerca de 0.03734. Somando então 1 a este factor e multiplicando pelas capacidades livres de cada gerador obtemos as novas capacidades livres.

TABELA VI

NOVAS CAPACIDADES LIVRES DE CADA GERADOR

G1 283,195 MW G2 58,091 MW G3 39,938 MW G4 92,324 MW G5 26,452 MW

Total 500,0 MW

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Podemos observar que efectivamente a capacidade total

livre aumentou 18 MW, o que representa a diminuição da produção dessa mesma quantidade.

Para obter o despacho temos apenas que subtrair os valores da tabela VI, aos valores Pmáx da tabela I. Fazendo essa subtracção temos o despacho:

TABELA VII

VALORES PARA O NOVO DESPACHO


Total 1300,0 MW Podemos verificar que este despacho é efectivamente uma

solução do problema, pois respeita todas as restrições. Podemos então calcular desde já o custo deste despacho, já que não vai sofrer penalizações. Aplicando a função custo a este despacho obtêm-se:

TABELA VIII

CUSTOS DA NOVA SOLUÇÃO

G1 3.071,04 € G2 3.354,95 € G3 1.386,32 € G4 2.681,25 € G5 1.434,22 €

Total 11.927,77 € Podemos comparar desde já os dois custos obtidos, e

observar que o custo total da nova solução é maior do que o da solução inicial, o que faz com que esta solução não seja aceite de imediato, mas também não a excluiu, mas isso vai-se ver mais à frente neste trabalho.

D. Penalizações

As penalizações são incluídas, ou não, consoante seja a situação, a seguir à determinação de uma nova solução e do respectivo custo. As penalizações são utilizadas quando pelo menos um dos geradores não respeita os limites técnicos, ou seja, quando o despacho atribui a um gerador uma potência ou superior ao seu máximo, ou inferior ao seu mínimo.

Quando há então uma violação de um dos limites técnicos, vai haver penalizações, que não serão mais do que multiplicar o custo total desse despacho por 100. Isto faz com que uma configuração não seja imediatamente aceite, pois não será fácil ter um custo competitivo, comparado com outras soluções, mas também caso seja aceite pode ser facilmente eliminada por uma solução que respeite todas as restrições, mesmo que esta não apresente um custo muito baixo.

E. Aceitar Solução?

Para aceitar a solução, esta tem de apresentar certas características, nomeadamente a nível de custo total. Como o pretendido é minimizar o custo, caso o custo da nova solução seja inferior ao custo da última solução aceite, a nova solução é logo aceite, porque é das melhores soluções obtidas até ao momento. É esta solução que irá ser utilizada agora para tentar obter soluções ainda melhores, isto é, agora vamos arranjar uma solução vizinha da última aceite, e depois de corrigido o valor do despacho, será avaliada e caso o preço seja menor será aceite. Se o preço da nova solução não for inferior à última aceite, a solução fica dependente de outra condição. A outra condição para aceitar a solução, consiste em obter um valor para a equação auxiliar superior a um número aleatório pertencente ao intervalo [0;1[. A equação auxiliar é a seguinte:

p = e+,-+./ Onde: C0 é o custo da solução actual; C1 é o custo da nova solução; k é uma constante que representa o resultado da

multiplicação da constante de Boltzmann pela temperatura. Vamos utilizar o valor da constante k em substituição das

outras constantes, porque não há necessidade em apresentar as duas constantes já que estas constantes são utilizadas para controlar o valor de p, e assim definir um dos parâmetros responsáveis por aceitar ou não a solução. O valor da constante k deve apresentar um valor inicial elevado, para evitar que o algoritmo não fique parado num óptimo local, quando poderia encontrar o óptimo global, mas também não deve ser muito elevado, para não demorar demasiado tempo.

O valor inicial escolhido para a constante k foi de 30, e a constante de arrefecimento, ka, tem um valor de 0,95. A constante de arrefecimento é responsável por ir baixando o valor da constante k, para que assim se vá restringindo pouco a pouco a aceitação de soluções. Há também que ter em atenção que para cada nível de “temperatura”, isto é, para cada valor da constante k, vamos realizar 30 iterações. A seguir apresentamos uma representação gráfica para o valor da constante k:

Figura 1. Representação gráfica ilustrativa dos valores da constante k, e do efeito da constante de arrefecimento.

20

22

24

26

28

30

0 30 60 90 120 150 180 210

Valo

r d

a c

on

stan

te k

Nº de Iterações

Representação do Valor de k

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Como podemos comprovar a nova solução apresenta um

preço superior ao da solução inicial. Mas vamos ver se devido à outra condição esta solução acaba por ser aceite.

p = e��.00�,�%-��.�%2,2234 ⇔ p = 0.2334

Agora vamos obter um valor aleatório no intervalo

indicado. O valor obtido foi 0.7812, e como o valor de p não é superior a esse número aleatório, vamos manter como solução, a solução inicial, vamos rejeitar a nova solução. Temos de realizar mais iterações até aceitar uma solução que depois não seja substituída por outra por ser a que apresenta o menor custo. Para continuar teríamos de voltar ao ponto C, com a determinação de um novo despacho, usando como solução a solução inicial, já que foi a que ficou guardada.

F. Solução Óptima

Para a obtenção da solução óptima implementamos em MATLAB um programa, onde é aplicado o método apresentado, utilizando o simulated annealing para determinação do despacho económico. Após correr o programa, o resultado obtido para o despacho foi o apresentado na tabela IX.

TABELA IX

DESPACHO DA SOLUÇÃO ÓPTIMA


Total 1300 MW Como podemos verificar o despacho é admissível, sendo

por isso uma solução para o problema. Esta solução é considerada óptima, pois foi a última solução a ser aceite para o despacho. Para este despacho, há obviamente um custo associado, que apresentamos de seguida.

TABELA X CUSTOS DA SOLUÇÃO ÓPTIMA

G1 3.297,72 € G2 2.587,08 € G3 1.503,13 € G4 2.497,38 € G5 1.477,87 €

Total 11.363,19 €

O custo obtido para a solução óptima é, como esperado bastante inferior ao da solução inicial. Isto deve-se ao elevado número de iterações que foi realizado em busca de uma melhor solução. Há a possibilidade de ser obtido um valor inferior ao apresentado, já que há duas condições para aceitar uma solução, sendo que uma delas pode aceitar um preço superior ao da última solução aceite, no entanto com a

utilização da constante de arrefecimento, vamos diminuindo o valor de k, e por sua vez vamos restringindo essa condição de aceitação, para que não se perca o menor preço, e se possa obter efectivamente a solução óptima. Como condição de paragem tínhamos estabelecido que o valor da constante k, tinha de ser menor ou igual a 0,1. Podemos verificar que efectivamente aconteceu, já que terminou com um valor de aproximadamente 0.09598, o que indica que foram realizadas cerca de 3360 iterações.

G. Fluxograma

Fig. 2. Fluxograma do simulated annealing para o problema do despacho.

V. CONCLUSÃO

Atendendo aos resultados obtidos, podemos concluir que os objectivos foram atingidos, já que conseguimos resolver o problema do despacho com um custo tão baixo quanto possível.

Algumas das conclusões obtidas ao longo do trabalho, foram apresentadas ao longo do relatório, aquando da obtenção de alguns resultados, e por isso para não nos repetirmos, não as vamos reescrever.

Com o desenvolvimento deste trabalho podemos concluir que optando por utilizar o algoritmo do simulating annealing, que se trata de uma pesquisa não aleatória e que é de extrema relevância a maior ou menor experiência que o utilizador tem em relação à escolha da solução inicial a utilizar, pois tratando-se de um método de pesquisa local, a escolha de uma

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solução inicial de maior qualidade, mais próxima da solução óptima, permitir-lhe-á reduzir substancialmente o número de iterações necessárias até encontrar essa solução, pois o intervalo de soluções vizinhas que irá necessitar de testar será menor e por conseguinte reduzir também possivelmente o tempo de computação, muito útil se o problema em questão for de grandes dimensões.

Apesar do simulated annealing ser um método de pesquisa local, este método permite a pesquisa global, já que a segunda condição de aceitação da solução pode-nos levar dum óptimo local para outro ponto óptimo, que poderá ser o óptimo global.

Podemos indicar também, que devido ao facto da função custo não ser convexa, não se poderia utilizar, por exemplo, o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver este problema, o que faz com que a utilização da meta-heurística simulated annealing seja uma mais-valia, já que pode ser utilizada para resolver este problema.

VI. REFERÊNCIAS

[1] J. Pereira, J. T. Saraiva, M. T. Ponce de Leão, "Identification of

Operation Strategies of Distribution Networks Using a Simulated Annealing Approach" 1999.

[2] M. A. Matos, P. Melo, "Multiobjective Reconfiguration for Loss Reduction and Service Restoration Using Simulated Annealing" 1999.

VII. BIOGRAFIAS

Paulo Alexandre Alves Félix nasceu em Vila Real, Portugal, em 01 de Junho de 1988. Actualmente é estudante do Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, MIEEC, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, FEUP.

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