Problemas de oscilaciones (M.A.S.)

Problema 1

Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre

el desplazamiento,

su velocidad,

su aceleración.

Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.

 Soluciónx=5cos(2t+π6)v=dxdt=−10sin(2t+π6)a=dvdt=−20cos(2t+π6)t=0⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=5cosπ6=53√2 cmv=−10sinπ6=−5 cm/sa=−20cosπ6=−103√ cm/s2

Frecuencia angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π s

Amplitud, A= 5 cm.

Problema 2

Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:

Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante.

Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.

 Solución

Frecuencia angularω=km−−−√=43.20.3−−−−√=12 rad/sEcuación del M.A.S.

x=0.2sin(12t+ϕ)v=dxdt=2.4cos(12t+ϕ)En el instante t=0, x=0.1 y v<0t=0{0.1=0.2sin(ϕ)v=2.4cos(ϕ)sinϕ=0.5{ϕ=π6  cosϕ>0  v>0ϕ=5π6  cosϕ<0  v<0La segunda solución es la que pide el enunciado del problemax=0.2sin(12t+5π6)v=dxdt=2.4cos(12t+5π6)a=dvdt=−28.8sin(12t+5π6)EnergíasEk=12mv2=120.3⋅2.42cos2(12t+5π6)=0.864⋅cos2(12t+5π6)Ep=12kx2=1243.2⋅0.22sin2(12t+5π6)=0.864⋅sin2(12t+5π6)E=Ek+Ep=0.864 JInstantes en los que pasa por el origenx=0.2sin(12t+5π6)=012t+5π6=nπ  t=nπ−5π/612 n=1,2,3...

Problema 3

Un cuerpo está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0. Hallar:

la frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S.

¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de equilibrio?

 Soluciónω=km−−√=52√=1.58 rad/s  P=2πω=3.97 sx=Asin(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos(ωt+ϕ)Condiciones iniciales: t=0, x=0.1, v=0t=0{0.1=Asinϕ0=Aωcosϕϕ=π2 A=0.1x=0.1sin(1.58t+π2)v=dxdt=0.158cos(1.58t+π2)Pasa por primera vez por el origen x=0, v<01.58t+π2=π  t=0.993 s

Problema 4

Un muelle elástico de constante k=0.4 N/m está unido a una masa de m=25 g. En el instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad v=−203√ cm/s . Calcular El periodo de la oscilación.

Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.

El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad

 Soluciónω=km−−√=0.40.025−−−−√=4 rad/s  P=2πω=π2 sx=Asin(4t+ϕ)v=dxdt=Aωcos(4t+ϕ)Condiciones inicialest=0{0.05=Asinϕ−0.23√=4Acosϕϕ=5π6 A=0.1x=0.1sin(4t+5π6)v=dxdt=0.4cos(4t+5π6)a=dxdt=−1.6sin(4t+5π6)Pasa por el origen x=0,x=0{sin(4t+5π6)=0cos(4t+5π6)=±1v=±0.4 m/s(4t+5π6)=nπ  n=1,2,3...  t=0.13, 0.91, 1.70...

Problema 5

Una partícula de m=200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple siendo la frecuencia angular ω=100 rad/s. Sabemos que en el instante t=0, la posición inicial −0.53√ cm y la velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s. Escribir la ecuación del MAS

Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento.

 Soluciónx=Asin(100t+ϕ)v=dxdt=100Acos(100t+ϕ)Condiciones iniciales:t=0{−0.0053√=Asinϕ0.5=100Acosϕϕ=−π3=5π3 

A=0.01x=0.01sin(100t+5π3)v=dxdt=cos(100t+5π3)a=dxdt=−100sin(100t+5π3)Constante del muelleω=km−−−√  100=k0.2−−−√  k=2000 N/mEnergía del movimiento

E=12kA2=122000⋅0.012=0.1 J

Problema 6

Una partícula de masa de m=500 g está unida a un muelle de constante k=200 N/m. Se desplaza la masa 2 cm de la posición de equilibrio, y se le proporciona en el instante inicial t=0, una velocidad de 100 cm/s hacia la izquierda tal como se muestra en la figura.

Calcula el periodo de las oscilaciones

La ecuación del MAS

Calcula la velocidad, energía cinética, potencial y el (los) instante(s) en el que la partícula pasa por la posición x=-3 cm dirigiéndose hacia la derecha.

 Soluciónω=km−−√=2000.5−−−√=20 rad/s  P=2πω=π10 sx=Asin(20t+ϕ)v=dxdt=20Acos(20t+ϕ)Condiciones inicialest=0{0.02=Asinϕ−1=20Acosϕϕ=2.76 rad A=5.38 cmx=5.38sin(20t+2.76) cmv=dxdt=107.7cos(20t+2.76) cm/sPasa por x=-3 cm, con v>0x=−3{sin(20t+2.76)=−0.557cos(20t+2.76)=+

0.83020t+2.76=5.69+2nπ  n=0,1,2,3... t=0.14,0.46,.... sEnergías

v=20⋅0.0538⋅cos5.69=0.894 m/sEk=12mv2=0.2 JEp=12kx2=12200⋅0.032=0.09 JE=12kA2=Ek+Ep=0.29 J

Problema 7

Un muelle horizontal tiene una constante recuperadora de k=48 N/m. En el extremo del muelle se coloca una masa dem=0.75 kg y se estira el muelle 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:

El periodo de la oscilación.

La ecuación del M.A.S.

El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el origen.

Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s).

 Soluciónω=km−−√=480.75−−−√=8 rad/s  P=2πω=π4 sx=Asin(8t+ϕ)v=dxdt=8Acos(8t+ϕ)Condiciones inicialest=0{0.2=Asinϕ0=8Acosϕϕ=π2 rad A=0.2 mx=0.2sin(8t+π2) mv=dxdt=1.6cos(8t+π2) m/sPasa por x=-0.1 m, con v<0sin(8t+π2)=−0.5{8t+π2=7π6+2nπ v<08t+π2=11π6+2nπ v>0Energíasv=1.6cos(7π6+2nπ)=−0.83√ m/sEk=12mv2=0.72 JEp=12kx2=1248⋅0.12=0.24 JE=12kA2=Ek+Ep=0.96 J

Problema 8

Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro.

Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2.4 s, calcular la constante K de torsión del muelle.

Si en el instante inicial t=0 el péndulo se desplaza θπ/6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula). 

Escribir la ecuación del M.A.S.

Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

 Solución

Momento de inercia respecto del ejeI=1120.1⋅0.32+2(250.15⋅0.052+0.15⋅0.12)=4.05⋅10−3 kg⋅m2P=2πIK−−√  K=4π2IP2=0.0278 N⋅mEcuación del MASω=2πP=2.62 rad/sθ=θ0sin(ωt+ϕ)dθdt=θ0ωcos(ωt+ϕ)Condiciones iniciales, t=0, θ=π/6, dθ/dt=0t=0{π6=θ0sinϕ0=ωθ0cosϕϕ=π2 rad θ0=π6 radθ=π6sin(2.62t+π2) raddθdt=2.62π6cos(2.62t+π2) rad/sCuando pasa por θ=0,θ=0{sin(2.62t+π2)=0cos(2.62t+π2)=±1dθdt=±1.37 rad/s

Problema 9

Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

Hállese el periodo.

Si ahora se separa el péndulo 10º de la posición de equilibrio y se suelta, empezándose en ese momento a contar el tiempo. Escríbase la ecuación del M.A.S.

 Solución

Momento de inercia respecto del eje que pasa por el punto de suspensiónI=(1120.2⋅0.42+0.2⋅0.122)+250.5⋅0.052+(250.4⋅0.042+0.4⋅0.242)=0.0293 kg⋅m2

Posición del centro de masas y periodob=0.2⋅0.12+0.4⋅0.240.2+0.5+0.4=0.11 mP=2πImgb−−−√=0.992 sEcuación del MASω=2πP=6.33 rad/sθ=θ0sin(ωt+ϕ)dθdt=θ0ωcos(ωt+ϕ)Condiciones iniciales, t=0, θ=10º=π/18, dθ/dt=0t=0{π18=θ0sinϕ0=ωθ0cosϕϕ=π2 rad θ0=π18 radθ=π18sin(6.33t+π2) rad

Problema 10

Hallar el periodo de la oscilación de un bloque de masa m=250 g unido a los dos muelles elásticos de la figura. Se supone que no hay rozamiento

 Solución

ma=-k1x-k2x

0.25a=-30x-20x

a=-200xx=Asin(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos(ωt+ϕ)a=dvdt=−Aω2sin(ωt+ϕ)=−ω2x

ω2=200,P=2πω=2π200−−−√=π52√ s

Problema 11

Hallar el MAS resultante de la composición de de los dos MAS de la misma dirección y frecuencia

x1=2sin(ωt+5π/4) x2=5sin(ωt+5π/3)

 Solución

A1=−2sin45iˆ−2cos45jˆA2=5sin30iˆ−5cos30jˆ}A=(52−2√)iˆ−(2√+523√)jˆA=5.85  ϕ=280.7º=4.9 radEl MAS resultante es

x=5.85sin(ωt+4.9)

Problema 12

Hallar el MAS resultante de la composición de de los dos MAS de la misma dirección y frecuencia

x1=2sin(ωt-π/6) x2=4sin(ωt+π/4)

 Solución

 

A1=4cos45iˆ+4sin45jˆA2=2cos30iˆ−2sin30jˆ}A=(22√+3√)iˆ−(22√−1)jˆA=4.91  ϕ=0.38 radEl MAS resultante es

x=4.91sin(ωt+0.38)

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Problema 12

Hallar el MAS resultante de la composición de de los dos MAS de la misma dirección y frecuencia

x1=2sin(ωt-π/6) x2=4sin(ωt+π/4)

 Solución

 

A1=4cos45iˆ+4sin45jˆA2=2cos30iˆ−2sin30jˆ}A=(22√+3√)iˆ−(22√−1)jˆA=4.91  ϕ=0.38 radEl MAS resultante es

x=4.91sin(ωt+0.38)