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Tutorial di Barberis Paola - 2009
DOMINIO di FUNZIONI
PREREQUISITI:
Grafici delle funzioni elementari.
Calcolo di EQUAZIONI eDISEQUAZIONI, intere e fratte.
Definizioni: FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE E’ UNA LEGGE che associa ad
ogni valore di x uno ed un solo valore di y.Le funzioni empiriche sono ricavabili sperimentalmente.Nelle funzioni matematiche il legame fra x ( variabile indipendente)
e y ( var dipendente) è un calcolo matematico e si indica: y=f(x) forma esplicita oppure F(x,y)=0 forma implicita
Il GRAFICO di una funzione è larappresentazione sugli assi cartesianidelle coppie ( x;y) che soddisfano la funzione
Si chiama DOMINIO l’insieme dei valoridi x che rendono calcolabile la y( graficamente proietto verso l’asse x )
Si chiama CODOMINIO l’insieme delle immagini y( graficamente proietto verso l’asse y )
Funzioni algebriche (operazioni algebriche fra polinomi) RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice):
- Intere (x non compare nel Denominatore) Dominio: ∀x∈R - Fratte (x compare nel Denominatore) Dominio: Denominatore ≠ 0
IRRAZIONALI (x sotto radice) - Intere : Dominio se la radice ha indice pari : Radicando ≥ 0 Dominio se la radice ha indice dispari : ∀x∈R - Fratte : Denominatore≠ 0 e Radicando ≥ 0 (se indice pari)
Funzioni trascendenti (non algebriche)y=ax esponenziale Dominio: ∀x∈Ry= logax logaritmica Dominio: x > 0 ARGOMENTO > 0
funzioni goniometriche: seno, coseno e tangentey= senx , y= cosx Dominio : ∀x∈R y= tgx Dominio: x≠π/2+k π
DOMINIO FUNZIONI MATEMATICHE
Dominio: funzioni razionali intere
Si chiamano:- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
Le funzioni razionali intere hanno tutteDominio: ∀x∈R cioè D:(-∞,+∞)
(qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI)�
y = 3x ! 4
�
y =2
5x2
+1
3x
�
y =x2!1
10
Esempi:
NB: In generale il risultato del Dominio D si può esprimere in due modi: scrivendo i valori della x, esempio: x<4 V x≥10 mediante intervalli numerici, esempio : (-∞,4)U[10,+ ∞)
Ricordo che V significa “oppure” , U significa “UNIONE”.
- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice- FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore
Poiche’ la DIVISIONE per 0 è OPERAZIONE IMPOSSIBILEescludo le x che rendono il Denominatore uguale a zero.
Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO
�
y =x ! 4
x ! 5
�
y =x ! 4
x2! 9
�
y =x4
+ 4x !1
10 ! x
x ! 5 " 0# x " 5
a) b) c)
a)
b) x2! 9 " 0; x
2" 9# x " ±3;
10 ! x " 0;+x !10 " 0# x " +10;c)
Dominio D:(-∞,5)U(5.+∞)
D:(-∞,-3)U(-3,+3)U(+3.+∞)
D:(-∞,10)U(10,+∞)
Dominio: funzioni razionali fratte
- IRRAZIONALIperchéla x non compare sotto radice- INTERE poiché la x non si trova nel DenominatoreDuecasi:La radice con indice Dispari esiste sempre : dominio ∀x∈RLa radice con indice PARI esiste solo se il radicando è positivo ozero! Devo risolvere la Condizione:RADICANDO≥0
�
y = 3x ! 4
�
y = x2! 4
�
y = x2
+ 5x + 4
�
x2
+ 5x + 4 ! 0;"# > 0" x $ %4& x ! %1 D: (-∞,-4] U [-1,+∞)
�
x2! 4 " 0;#$ > 0# x % !2& x " +2 D: (-∞,-2] U [+2,+∞)
a) b) c)
3x ! 4 " 0# 3x " 4# x "4
3
D: [4/3 , +∞)a)
b)
c)
Dominio: funzioni irrazionali
un logaritmo esiste solo se l’argomento è positivo.
Pertanto devo risolvere la Condizione:ARGOMENTO >0
y = log(5x !10) y = log(x2 !16)y = log(x2 ! 5x)
x2! 5x > 0;" # > 0" x < 0 $ x > 5 D: (-∞,0) U (5,+∞)
x2!16 > 0;" # > 0" x < !4 $ x > +4 D: (-∞,-4)U (+4,+∞)
a) b) c)
5x !10 > 0" 5x > 10" x > 2 D: (2 , +∞)a)
b)
c)
Dominio: funzione logaritmica
Esercizio 1 Dominio di funzioniy =
4 ! x
x2+ x
y =x2+ 6
!2x + 6
y = 5x + 20
y = log(8 ! 2x)
y = 5x !103
y =x ! 2
x ! 6
y =x2+10
x2! 2x
y = x2+ x ! 3
y = x2! 25
y = !x2+ 4
y = log(x2 ! 9)
y = x2+ 3x
D: ∀x∈R ,x≠0, x≠-1(-! ; -1)∪(-1;0) ∪(1;!)
D: ∀x∈R e x≠0 (-! ; 0) ∪(0 ; +!)
Esercizio 1 Dominio: soluzioniy =
4 ! x
x2+ x
y =x2+ 6
!2x + 6
y = 5x + 20
y = log(8 ! 2x)
y = 5x !103
y =x ! 2
x ! 6
D: ∀x∈R e x≠3(-! ; 3) ∪(3; +!)
y =x2+10
x2! 2x
y = x2+ x ! 3
y = x2! 25
y = !x2+ 4
D: x < 4( -! ; 4 )
D: x≥-4[-4 ; +!)
D: ∀x∈R e x≠6(-! ; 6) ∪(6 ; +!)
D: x<-3 v x>3(-! ; -3) ∪(3 ; +!)
D: ∀x∈R(-! ; +!)
D: ∀x∈R(-! ; +!)
y = log(x2 ! 9)
D: x≤-5 v x≥5(-! ; -5]∪[5 ; +!)
D: -2≤x ≤ 2[-2 ; 2]
y = x2+ 3x D: x ≤ -3 v x≥ 0
(-! ; -3] ∪[0 ; +!)
y = x2! xa) b) c)y =
6x
x2!1
y = log(2 ! x)
�
y = x3
+ 5x3! x ! 5e) f)y =
17 ! x
x4!1
�
y = x3! 9xd)
y = x3+ 3x
2+ 2xd) e) f)y =
x ! 4
x3! x
y = log(x3 + 3x2 )
2 esercizi DominioEsegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni:
2 ! x >" !x + 2 > 0
a)
b)
c)
x2!1 " 0# x
2" 1# x " ±1
y = x2! xa) b) c)y =
6x
x2!1
y = log(2 ! x)
Pongo il radicando ≥0
Pongo l’argomento del logaritmo maggiore di zero
Soluzioni:
Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo
Soluzioni 2a-b-c Dominio:
x2! x " 0
x2! x = 0" xi(x !1) = 0" x = 0, x = 1
E trovo risolvo l’equazione associata:
! > 0" concordanza : x # 0 $ x % 1
cambio segni e verso x ! 2 < 0" x < 2
D: (-∞,-1) U (-1,+1) U(+1,+∞)
D: (-∞,0] U [+1,+∞)
D: (-∞,+2)
�
x3! 9x " 0# x $ (x
2! 9) " 0
�
x4! 4 " 0;
d)
d)
e)
f)
�
x4! 4 " 0;
D : x ! " 2 # x ! 2
�
x3
+ 5x2! x ! 5 " 0
�
(x + 5) ! (x2"1) # 0
�
x + 5 ! 0" x ! #5
�
x2!1" 0# x $ !1% x " +1
�
(x2! 2) " (x
2+ 2) # 0;
�
y = x3
+ 5x3! x ! 5e) f)y =
17 ! x
x4!1
�
y = x3! 9x
�
x ! 0
�
x2! 9 " 0# x $ !3% x " 3 D :!3 " x " 0 # x $ 3
D :!5 " x " !1# x $ 1
con il grafo dei segni,(..svolgilo tu )siottiene il risultato :
con il grafo deisegni ( …svolgilotu ) si ottiene:
Pongo i due fattori ≥0
Pongo i due fattori ≥0
Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni:
Pongo i due fattoridiversi da 0 (… fai ipassaggi ) si ottiene:
Soluzioni 2d-e-f Dominio
x3+ 3x
2! 0" x
2# (x + 3) ! 0
d)
e)
f)
x3! x " 0;
# x(x2!1) " 0
D : x ! ±1" x ! 0
x3+ 3x
2+ 2 ! 0" x(x
2+ 3x + 2) ! 0
x ! 0
x2+ 3x + 2 ! 0" x # $2 % x ! $1
y = x3+ 3x
2+ 2xd) e) f)y =
x ! 4
x3! x
y = log(x3 + 3x2 )
x2! 0"#x $R % 0}{
x + 3 ! 0" x ! 3D : x ! 3
D :!2 " x " !1# x $ 0
con il grafo dei segni,(svolgilo tu )si ottiene:
con il grafo deisegni (svolgilo tu )si ottiene:
Pongo i due fattori ≥0
Pongo i due fattori ≥0
Soluzioni:
Pongo i due fattori diversi da 0(fai tu i passaggi ) si ottiene:
Soluzioni 2g-h-i Dominio: