Obtenga Dominio, Rango y grafica de la siguiente relacin: R = { (X,Y) R = { (X,Y) RxR/ x = RxR/ y = - 9} }

Dominio y Rango de una FuncinDominio y Rango de una Funcin

El dominio de una funcin est dado por el conjunto de valores que puede tomar una funcin. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restriccin, entonces su dominio esta compuesto por todos los nmeros Reales. Como los valores de la funcin estn dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la funcin son aquellos para los cuales al evaluar la funcin para un valor de x, su resultado nos da un nmero Real. Por ejemplo la funcin: f(x) = ,

Para buscar el dominio de la funcin, se debe analizar para qu valores de x la funcin produce como resultado un nmero Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un nmero negativo, la expresin se nos presenta como una raz cuadrada de un nmero negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un nmero que satisfaga la expresin; por lo tanto el dominio de la funcin est constituido por todos los nmeros mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una funcin o de una expresin algebraica:

No puede haber una raz cuadrada ( cualquier raz par ) negativa, pues se tratara de un nmero imaginario que no hace parte de los Reales. Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresin queda indeterminada.

El rango de una funcin, est determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una funcin. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). Tambin se puede expresar como todos los valores de salida de la funcin.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y as podemos hacerlo con cualquier nmero, positivo o negativo. Como x est elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango est conformado por el cero y todos los nmeros positivos. Al graficar la funcin se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista grfico, debemos poner nuestra atencin en el eje y. Se puede ver que el rango est dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parbola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniera por ejemplo cuando la resistencia de un material est en funcin de las horas de trabajo, en la desintegracin radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, as como las tasas de crecimiento poblacional, en los clculos de tasas de inters, etc.

Relaciones y funciones

Entender los conceptos de Relacin y de Funcin es de suma importancia en Matemtica. Para lograr esa comprensin es necesario adentrarnos en la nocin de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relacin. En nuestra lengua, decir en relacin a, es equivalente a decir corresponde a. Ejemplos: En una tienda comercial, cada artculo est relacionado con su precio; o sea, a cada artculo le corresponde un precio. En la gua telefnica, cada cliente est relacionado con un nmero; o sea, a cada nombre de la gua le corresponde un nmero.Definicin matemtica de Relacin y de Funcin

En matemtica, Relacin es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o ms elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Funcin es una relacin a la cual se aade la condicin de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y slo un valor del Recorrido. De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Tambin debemos agregar que toda ecuacin es una Relacin, pero no toda ecuacin es una Funcin. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano. Ver: Plano Cartesiano Dados dos conjuntos A y B una relacin definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposicin; dicho de otro modo, una relacin es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B Ejemplo 1. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Solucin

El producto cartesiano de A x B est conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B: R1 = {(2, 1), (3, 1)} R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} R3 = {(2, 4), (3, 5)} La relacin R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}. La relacin R2 est formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y} Y la relacin R3 est conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2} As, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relacin se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos. Ejemplo 2. Dados los conjuntos C = {1, 3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relacin R = {(x, y) / x + y = 3} Solucin El producto cartesiano de C x D est formado por los siguientes pares ordenados C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6)} Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son: R = {(1, 2), (3, 6)} Toda relacin queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresin x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relacin

El dominio de una relacin es el conjunto de preimgenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que estn relacionados. Al conjunto de imgenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que estn relacionados, se le denomina recorrido o rango. Ejemplo 3 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relacin definida de A en B determinada por la regla y es el doble de x o y = 2x, encontrar dominio y rango de la relacin. Solucin El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relacin R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} En esta relacin vemos que: 4 es el doble de 2; esto es, 4 es la imagen de 2 bajo R, dicho de otro modo, 2 es preimagen de 4. As, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8} Segn lo que vemos, Qu relacin hay entre el Dominio y el conjunto de partida? En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A. Otra pregunta: Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.Representacin grfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar grficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relacin definida por la regla

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solucin Los pares ordenados que pertenecen a la relacin (que cumplen con y = 2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)} Y la grfica correspondiente es la siguiente:

Dominio y Rango de una Funcin

DOMINIO, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Anlisis

1. DOMINIOLo primero que hay que estudiar en una funcin es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o est definida: Df= xR: y=f(x)} Hay funciones que se crean artificialmente dando por definicin el dominio (funciones definidas a trozos) o bien se tratan de funciones que modelizan una situacin real que no tiene sentido para ciertos valores de x aunque matemticamente se pueda calcular. Las funciones polinmicas estn definidas en todo R. Las funciones racionales (cociente de polinomios), no estn definidas en los valores que anulan el denominador. Funcin Polinmica: f(x)=anxn+ann-1 +...+a1x+a0 1x Exponenciales: f(x)=ax, a>0, a1 Funciones del tipo: f(x)g(x), f(x)>0 Logartmicas: f(x)=ln(x); f(x)=loga(x) Racionales: f(x)=p(x)/q(x); donde p(x) y q(x) son polinomios Cociente de funciones no Dominio Ejemplo: y=(3x2-5x-6)/(x2-x-2) no est definida ni para x=-1 ni para x=2. Es decir Df=R - {-1,2} Las funciones irracionales (con radicales) y= g(x)m/n estn definidas en todo R si el ndice n es impar y slo para los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero si el ndice n es par. Ejemplo: El dominio de y=x3/2 es D={xR: x>=0}. El dominio de y=(x2-x-2)1/2 es D=R-(-1,2); no est definida para x2-x-20. En general y=loga g(x) esta

R

R Para todo x tal que f(x) y g(x) estn definidas a la vez x>0

todo x tal que q(x)0 Para todo x donde g(x) y h(x) estn

polinmicas: f(x)=g(x)/h(x) Irracionales: f(x)=xm/n; n impar Irracionales: f(x)=xm/n; n par Irracionales: f(x)=g(x)m/n; n impar Irracionales: f(x)=g(x)m/n; n par Trigonomtricas: f(x)=sen(x); f(x)=cos(x) Trigonomtricas: f(x)=tg(x) Ciclomtricas: f(x)=arc tg(x) Ciclomtricas: f(x)=arc sen(x); f(x)= arc cos(x)

definidas a la vez excepto donde se anula h(x) R

Para x>=0

Para x donde g(x) est definida Para x donde g(x) est definida y g(x)>=0 R R excepto para x=/2+k, kZ

definida para los x tales que g(x)>0. Ejemplo: y=ln (x2-4) no est definida en x tal que x2-4