dominók és kombinatorika
DESCRIPTION
Dominók és kombinatorika. Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet. A szereplők. Dominó. A szereplők. Dominó Tábla. A szereplők. Dominó Tábla Mezők, szomszédság (4-szomszédság). A szereplők. Dominó Tábla Fedés. Lefedhető-e?. ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/1.jpg)
Dominók és kombinatorika
Hajnal Péter
SZTE, Bolyai Intézet
![Page 2: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/2.jpg)
A szereplők
Dominó
![Page 3: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/3.jpg)
A szereplők
Dominó Tábla
![Page 4: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/4.jpg)
A szereplők
Dominó Tábla
Mezők, szomszédság (4-szomszédság)
![Page 5: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/5.jpg)
A szereplők
Dominó Tábla
Fedés
![Page 6: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/6.jpg)
Lefedhető-e?
ALAPPROBLÉMA:
Adott T tábla.
Lefedhető-e?
![Page 7: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/7.jpg)
Lefedhető-e?
0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?
![Page 8: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/8.jpg)
Lefedhető-e?
0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?
NEM Fedés esetén páros sok mezőnek kell lenni.
![Page 9: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/9.jpg)
Lefedhető-e?
0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?
![Page 10: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/10.jpg)
Lefedhető-e?
0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?
NEM
A két fekete mezőnek egy szomszédja van.
![Page 11: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/11.jpg)
Lefedhető-e?
1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?
![Page 12: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/12.jpg)
Lefedhető-e?
1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?
![Page 13: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/13.jpg)
Lefedhető-e?
1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?
NEM
Minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt fed le. 32 fekete és 30 fehér mezőnk van.
![Page 14: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/14.jpg)
Lefedhető-e?
1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?
NEM
32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező.
![Page 15: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/15.jpg)
Lefedhető-e?
Tétel: Egy tábla akkor és csak akkor nem fedhető le dominókkal, ha valamelyik színben kijelölhető néhány mező úgy, hogy szomszédainak száma kevesebb legyen mint a kijelölt mezők száma.
![Page 16: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/16.jpg)
Lefedhető-e?
Probléma: Adott tábla lefedhető-e dominókkal?
Válasz: NEM
Bizonyítási séma: Adjunk meg valahány azonos színű mezőt úgy, hogy szomszédaik kevesebben legyenek mint ők maguk.
Tétel: A fenti séma egy teljes séma.
![Page 17: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/17.jpg)
Lefedhető-e?
Adott egy T tábla. Lefedhető-e?
IGEN
Hány fedés van?
NEM
Maximum hány dominó
rakható le?
![Page 18: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/18.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 2. Feladat: Maximum hány dominó rakható le
az alábbi táblára?
![Page 19: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/19.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 16 dominó könnyen larakható:
![Page 20: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/20.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 16 fekete, 24 fehér mező.
Minden dominó 1 fekete mezőt fed le.
Maximum 16 dominó rakható le.
![Page 21: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/21.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 3. Feladat: Maximum hány dominó rakható le
az alábbi táblára?
![Page 22: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/22.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 7 dominó könnyen lerakható:
![Page 23: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/23.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal
jelöltünk be.
A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve.
![Page 24: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/24.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal
jelöltünk be.
A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve. Legalább 5 fekete mező fedetlen.
![Page 25: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/25.jpg)
Lerakható dominók maximális száma 6 fehér mezőt, 2 fekete szomszéddal
jelöltünk be.
A bejelölt 6 fehér mezőből legfeljebb 2 lehet fedve. Legalább 4 fehér mező fedetlen.
![Page 26: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/26.jpg)
Lerakható dominók maximális száma Összesen 12 fekete és 11 fehér mező:
Legfeljebb 12-5=11-4=7 dominó rakható le.
![Page 27: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/27.jpg)
Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány
dominó rakható le? Válasz: k
![Page 28: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/28.jpg)
Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány
dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó
lerakást, amelyben k dominó szerepel.
Legyen d az M által lefedetlen fekete mezők száma.
![Page 29: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/29.jpg)
Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány
dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó
lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt
úgy, hogy s szomszédja legyen.
![Page 30: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/30.jpg)
Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány
dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó
lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt
úgy, hogy s szomszédja legyen.
Tétel: Ez egy teljes séma.
![Page 31: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/31.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
4. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal?
Válasz=V(tábla oszlopainak száma) V(16)=?
![Page 32: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/32.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Első fajta indulás:
V(n-1)-féle befejezés.
![Page 33: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/33.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Első fajta indulás:
V(n-1)-féle befejezés. Második fajta indulás:
V(n-2)-féle befejezés.
![Page 34: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/34.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).
![Page 35: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/35.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).
Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.
![Page 36: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/36.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).
Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.
Teljes indukció: V(n)= Fibonacci-számok.
![Page 37: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/37.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
5. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal?
Válasz=V’(tábla oszlopainak száma) V’(16)=? V’(2k+1)=0, V’(2k)=?
![Page 38: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/38.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Lehetséges kezdések:
…
![Page 39: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/39.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
V’(n)=3V’(n-2)+2V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+... V’(n-2)= 3V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+…
V’(n)-V’(n-2)=3V’(n-2)-V’(n-4) V’(n)=4V’(n-2)-V’(n-4)
Könnyen számolható: V’(0)=1,V’(2)=3, V’(4)=11
![Page 40: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/40.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy V’(16) páratlan.
![Page 41: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/41.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
![Page 42: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/42.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
![Page 43: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/43.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Egy tábla típus:
![Page 44: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/44.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Azték gyémánt, AGy(n):
n
![Page 45: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/45.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Azték gyémánt, AGy(n):
Kék mezők száma: n =n(n-1)/2 Összes mezők száma: 4 n
![Page 46: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/46.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
AGy(2) fedései:
![Page 47: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/47.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Tétel: n
AGy(n) fedéseinek száma 2 .
![Page 48: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/48.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Egy tábla típus:
N(2n)
![Page 49: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/49.jpg)
Hányféleképpen fedhető le?
Tétel:
N(2n)-nek
fedése van.
![Page 50: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/50.jpg)
A fedések összessége
7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:
![Page 51: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/51.jpg)
A fedések összessége
7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:
7.5 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó.
![Page 52: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/52.jpg)
A fedések összessége
Bizonyítás: N(6)?
![Page 53: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/53.jpg)
A fedések összessége
?
![Page 54: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/54.jpg)
A fedések összessége
?
![Page 55: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/55.jpg)
A fedések összessége
?
![Page 56: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/56.jpg)
A fedések összessége
![Page 57: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/57.jpg)
A fedések összessége
Lemma: N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:
Lemma: AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó.
Szomszédos dominók=Csavarás a fedésben.
![Page 58: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/58.jpg)
A fedések összessége
![Page 59: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/59.jpg)
A fedések összessége
![Page 60: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/60.jpg)
A fedések összessége
![Page 61: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/61.jpg)
A fedések összessége
AGy(2) gráfja:
![Page 62: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/62.jpg)
A fedések összessége
AGy(2) gráfja:
Tétel: AGy(n) és N(2n) gráfja összefüggő.
![Page 63: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/63.jpg)
Tábla telítése
Tábla:
Telített tábla: további dominó nem rakható le.
![Page 64: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/64.jpg)
Tábla telítése
Tábla:
Telített tábla: további dominó nem rakható le.
![Page 65: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/65.jpg)
Tábla telítése
Tábla:
Telített tábla: további dominó nem rakható le.
Mi a minimális számú dominó, ami a telítéshez szükséges?
![Page 66: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/66.jpg)
Tábla telítése
8. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a 6x6-os táblán bárhogy elhelyezünk 11 dominót lesz hely egy továbbinak is.
![Page 67: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/67.jpg)
Tábla telítése
Megjegyzés: A 6x6-os tábla telíthető 12 dominóval:
![Page 68: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/68.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: INDIREKT 11 dominó=14 üres mező
![Page 69: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/69.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó.
![Page 70: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/70.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek.
![Page 71: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/71.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek. x≤11.
![Page 72: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/72.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban legalább 3 üres mező.
![Page 73: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/73.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.
![Page 74: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/74.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.
![Page 75: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/75.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.
![Page 76: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/76.jpg)
Tábla telítése
Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik
alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.
![Page 77: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/77.jpg)
Tábla telítése
Az alsó féltáblán legalább
6=5+0,5+0,5
dominó.
Az felső féltáblán legalább 6 dominó.
Ellentmondás.
![Page 78: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/78.jpg)
Tábla telítése
Jóval NEHEZEBB feladat:
Mi a helyzet n x n-es táblával?
![Page 79: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/79.jpg)
Dominó lerakás javítása
Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk.
![Page 80: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/80.jpg)
Dominó lerakás javítása
Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk.
Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása.
![Page 81: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/81.jpg)
Dominó lerakás javítása
Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk.
Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása.
Telítés: triviális javításokat végzünk, amíg lehet.
![Page 82: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/82.jpg)
Dominó lerakás javítása
Dominó kígyó:
![Page 83: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/83.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 84: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/84.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 85: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/85.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 86: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/86.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 87: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/87.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 88: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/88.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 89: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/89.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 90: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/90.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 91: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/91.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 92: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/92.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 93: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/93.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 94: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/94.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 95: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/95.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 96: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/96.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 97: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/97.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:
![Page 98: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/98.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:
![Page 99: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/99.jpg)
Dominó lerakás javítása
Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:
![Page 100: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/100.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyó javítás:
Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó.
A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak.
![Page 101: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/101.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyó javítás:
Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó.
A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak.
Tétel: Ez egy univerzális javítási technika.
![Page 102: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/102.jpg)
Dominó lerakás javítása
9. Feladat: Bizonyítsuk be, ha a 6 x 6-os sakktábla bármely két különböző színű mezőjét elvesszük, a maradék tábla lefedhető dominókkal.
![Page 103: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/103.jpg)
Dominó lerakás javítása
Megoldás: Vegyük a következő fedést:
Egy önmaga farkába harapó kígyó.
![Page 104: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/104.jpg)
Dominó lerakás javítása
Vegyük a két kiüresítendő mezőt. Meghatá- roznak egy részkígyót:
A részkígyó fejét és farkát kell kiüríteni.
![Page 105: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/105.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 106: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/106.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 107: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/107.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 108: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/108.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 109: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/109.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 110: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/110.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 111: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/111.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 112: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/112.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 113: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/113.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 114: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/114.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:
![Page 115: Dominók és kombinatorika](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062305/56815738550346895dc4dde3/html5/thumbnails/115.jpg)
Dominó lerakás javítása
Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot: