dos fases y dual

Universidad Nacional Jos Faustino Sanchez Carrin -

Investigacion Operativa I Ingenieria Informatica

Los pasos bsicos del mtodo M son los siguientes:

1. Exprese el problema en forma estndar transformando las inecuaciones en ecuaciones

introduciendo variables de holgura.

2. Agregue variables no negativas al lado izquierdo de cada una de las ecuaciones

correspondientes a las restricciones de tipo (>=) o (=). Estas variables se denominan

variables artificiales y su adicin hace que las restricciones correspondientes.

Esta dificultad se elimina asegurando que las variables sean 0 en la solucin final. Esto se

logra asignando una penalizacin muy grande por unidad a estas variables en la funcin

objetivo. Tal penalizacin se designar como M para problemas de maximizacin y +M

para problemas de minimizacin.

3. Utiliza las variables artificiales en la solucin bsica inicial; sin embargo la funcin

objetivo de la tabla inicial se prepara adecuadamente para expresarse en trminos de las

variables no bsicas nicamente. Esto significa que los coeficientes de las variables

artificiales en la funcin objetivo deben ser 0 un resultado que puede lograrse sumando

mltiplos adecuados de las ecuaciones de restriccin al rengln objetivo.

4. Proceda con los pasos regulares del mtodo simplex.



EJEMPLO 01:

Para resolver por el metodo M se debe tener en cuenta, los simbolos si las

restricciones son , , = dependiendo de ello se estandariza.

SOLUCION:

Standarizamos las variables artificiales, y le agregamos la variable de exceso a todos los

que tengan el signo(), y le aadimos una artificial.

Min Z = 4x1 + x2

s.a:

3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 >= 6

x1 + 2x2 = 0

3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 - x3 + R2 = 6

x1 + 2x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, R1, R2, x4 >= 0

Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2

1. R1 = 3 - 3 x1 - x2

2. R2 = 6 - 4 x1 + x2 + x3

Z = 4 x1 + x2 + M(3 - 3x1 x2) + M(6 - 4x1 3x2 + x3)

Z = x1(4 -7M) + x2 (1 - 4M) + X3 M + 9M



Construimos la tabla, con las variables basicas, y las no basicas, le agregamos

las variables de las restricciones. Como se presenta acontinuacion.

Var. B. Z X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solucion.

Z 1 -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M

R1 0 3 1 0 1 0 0 3

R2 0 4 3 -1 0 1 0 6

X4 0 1 2 0 0 1 1 4

Luego escogemos la variable de entrada, de las variables No Basicas, es decir escogeremos el mayor positivo de las No basicas y el valor es -4+7M, luego

pintaremos de un color la columna identificada.


Z 1 -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M

R1 0 3 1 0 1 0 0 3 1

R2 0 4 3 -1 0 1 0 6 1,5

X4 0 1 2 0 0 1 1 4 4

Luego a los valores de la columna de la solucion le divideremos los valores de la columna de la variable de entrada, y obtendremos donde se ubica con la variable

de salida y el elemento pivote, y la ecuacion pivote.

Luego escogeremos de lo divido el menor positivo y en esta ocasin es el 3 , y la

pintaremos de un color para identificarla.

Min Z = x1(4 -7M) + x2 (1 - 4M) + X3 M + 9M

s.a:

3x1 + x2 + x3 + R1 0R2 + 0 x4 = 3

4x1 + x2 - x3 + 0R1 + R2 + 0 x4 = 6

x1 + x2 + x3 + 0R1 0R2 + x4 = 4

x1, x2, x3, R1, R2, x4 >= 0



Luego para hallar la nueva ecuacion pivote, se divide la ecuacion pivote anterior

entre el elemento pivote.

Y asi obtendremos la nueva ecuacion pivote y sera:

0 1 1/3 0 1/3 0 0 1

Luego la trasladaremos en la tabla y comenzar la primera iteracion y realizar el

mismon procedimiento anterior.

Luego se obtienen las nuevas ecuaciones con la formula asignada, y obtendremos

las siguientes ecuaciones.


Z 1 -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M

R1 0 3 1 0 1 0 0 3 1 R2 0 4 3 -1 0 1 0 6 1,5

X4 0 1 2 0 0 1 1 4 4

R1 0 3 1 0 1 0 0 3 /3

Variable B. Z X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solucion

Z 1 0 1+5M/3 -M 4-7M/3 0 0 2M+4

X1 0 1 1/3 0 1/3 0 0 4

R2 0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

X4 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 5

Variable

Entrada

Variable

Salida

Elemento

Pivote Ecuacion Pivote



Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M

-(-4+7M)*(n.e.p): 0 4-7M 4-7M/3 0 4-7M/3 0 0 4-7M

1 0 1+5M/3 -M 4-7M/3 0 0 2M+4

Nueva Ecuacion en R2:

Nueva Ecuacion en X4:


Z 1 0 1+5M/3 -M 4-7M/3 0 0 2M+4

X1 0 1 1/3 0 1/3 0 0 4 3

R2 0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 1,2

X4 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 5 1,8


R2 0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 5/3


Ec. R2 anterior: 0 4 3 -1 0 1 0 6

-(4)*(n.e.p): 0 -4 4/3 0 -4/3 0 0 -4

0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

Ec. X4 anterior: 0 1 2 0 0 0 1 4

-(4)*(n.e.p): 0 -1 1/3 0 -1/3 0 0 -1

0 0 5/3 0 -1/3 0 1 3



0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

Luego la trasladaremos en la tabla y comenzar la segunda iteracion y realizar el

mismo procedimiento anterior.

Se obtienen las nuevas ecuaciones:

Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 0 1+5M/3 -M 4-7M/3 0 0 2M+4

-(1+5M/3)*(n.e.p): 0 0 -1-5M/3 1+5M/5 4+20M15 -1-5M/5 0 4-7M

1 0 0 1/5 8-5M/5 -1-5M/5 0 18/5




Z 1 0 0 1/5 8-5M/5 -1-5M/5 0 18/5

X1 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

X2 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 X4 0 0 0 1 1 -1 1 1

Ec. X1 anterior: 0 1 1/3 0 1/3 0 0 1

-(1/3)*(n.e.p): 0 0 -1/3 1/5 4/15 -1/5 0 -2/5

0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

Ec. X4 anterior: 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

-(1)*(n.e.p): 0 -1 -5/3 1 4/3 -1 0 -2

0 0 0 1 1 -1 1 1




Z 1 0 0 1/5 8-5M/5 -1-5M/5 0 18/5

X1 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 3

X2 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 1,2

X4 0 0 0 1 1 -1 1 1 1


X4 0 0 0 1 1 -1 1 1 /1


0 0 0 1 1 -1 1 1

Luego la trasladaremos en la tabla y comenzar la segunda iteracion y realizar el

mismo procedimiento anterior.


Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 0 0 1/5 8-5M/5 -1-5M/5 0 18/5

-(1/5)*(n.e.p): 0 0 0 -1/5 -1/5 1/5 -1/5 -1/5

1 0 0 0 7-5M/5 -M -1/5 17/5


Z 1 0 0 0 7-5M/5 -M -1/5 17/5

X1 0 1 0 0 3/5 -1/5 0 2/5

X2 0 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5

X3 0 0 0 1 1 -1 1 1





Se obtienen la tabla:

Luego la minimizacion de la funcion objeto es:

Min Z= 4x1 + x2

Min Z= 4(2/5) +9/5

Min Z= 17/5

Ec. X1 anterior: 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

-(1/5)*(n.e.p): 0 0 0 -1/5 -1/5 1/5 -1/5 -1/5

0 1 0 0 3/5 -1/5 0 2/5

Ec. X2 anterior: 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

(3/5)*(n.e.p): 0 0 0 3/5 3/5 -3/5 3/5 3/5

0 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5


Z 1 0 0 0 7-5M/5 -M -1/5 17/5

X1 0 1 0 0 3/5 -1/5 0 2/5

X2 0 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5

X3 0 0 0 1 1 -1 1 1



ste mtodo difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema auxiliar que

trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer

problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar

el mtodo Simplex normal.

FASE I: Se realiza la minimizacin de una funcin que est compuesta por la suma de los

valores de las variables artificiales; para el sistema aumentado del problema

original. (Independientemente de qu funcin objetivo tenga el problema original).

Si en la solucin ptima de la FASE I, el valor de las variables artificiales es de

cero, se procede con la FASE II tomando la solucin bsica factible resultante.

Si alguna de las variables artificiales tiene un valor distinto a cero, el problema

original es infactible.

FASE II:

Utilizando la solucin bsica factible final de la FASE I, se resuelve el problema

original, esto es, se resuelve para la funcin objetivo del problema original; si se

desea, se pueden eliminar las columnas artificiales.

Ntese que primeramente debe actualizarse correctamente el rengln cero para el

conjunto de variables bsicas que defini la FASE I.

Con la tabla en forma correcta se procede a optimizar de forma habitual siguiendo

el algoritmo Simplex.

Nota: Si el valor mnimo de la funcin objetivo ptima es mayor que cero, el

problema no tiene solucin y termina anotndose que no existen soluciones

factibles.

A modo resumen podemos dejar esta tabla, segn la desigualdad que aparezca, y

con el valor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece

- exceso + artificial

= + artificial

+ holgura



EJEMPLO 01:

Para minimizar la funcion objeto por el metodo de dos faces se debe seguir los

siguientes pasos y realizar por dos faces.

PRIMER PASO: Estandarizamos:

SEGUNDO PASO: realizamos la minimizacion de las variables artificiales

FASE I

Min Z = R1 + R2

S.a:

SEGUNDO PASO: Realizamos la minimizacion de las variables artificiales

Min Z = 2000x1 + 500x2

s.a:

2x1 + 3x2 >= 36

3x1 + 6x2 >= 60

x1, x2 >= 0

2x1 + 3x2 + R1 = 36 + S1 3x1 + 6x2 + R2 = 60 + S2

x1, x2, R1, R2 >= 0

2x1 + 3x2 - S1 - 0S2 + R1 + 0R2 = 36

3x1 + 6x2 - 0S1 - S2 + 0 R1 + R2 = 60

x1, x2, R1, R2 >= 0

Var. B Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solucion

Z 1 0 0 0 0 -1 -1 0

R1 0 2 3 -1 0 1 0 36 R2 0 3 6 0 -1 0 1 60

R1,R2 son variables artificiales

S1,S2 son variables de exceso



Luego se tiene que convertir las variables artificales en 0 y se hace la

siguiente suma.

Sumamos F2 y F3 y el resultado se reemplazara en la fila F1

CUARTO PASO: se resuelve y se hace las respectivas operaciones para la

minimizacion.

Nueva Ecuacion Pivote: 0 1/2 1 0 -1/6 0 1/6 10

0 3 6 0 -1 0 1 60 / 6


Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 5 9 -1 -1 0 0 96 -(9)*(n.e.p): 0 -9/2 -9 0 9/6 0 -9/6 -90


Z 1 5 9 -1 -1 0 0 96

R1 0 2 3 -1 0 1 0 36 R2 0 3 6 0 -1 0 1 60


Z 1 1/2 0 -1 1/2 0 -9/6 6

R1 0 1/2 0 -1 1/2 1 -1/2 6

X2 0 1/2 1 0 -1/6 0 1/6 10

Variable Entrada

Variable Salida Elemento Pivote Ecuacion Pivote



1 1/2 0 -1 1/2 0 -9/6 6

Nueva Ecuacion en R1:

LA NUEVA TABLA:

QUINTO PASO: Se realizan los mismos pasos del anterior

Nueva Ecuacion Pivote: 0 1 0 -2 1 2 -1 12

0 1/2 0 0 -1 1/2 1 -1/2 / 6


Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 1/2 0 -1 1/2 0 -3/2 6

-(1/2)*(n.e.p): 0 -1/2 0 1 -1/2 -1 1/2 -6

1 0 0 0 0 -1 -1 0

Ec. R1 anterior: 0 2 3 -1 0 1 0 36 -(3)*(n.e.p): 0 -3/2 -3 0 1/2 0 -1/2 -30

0 1/2 0 -1 1/2 1 -1/2 6


Z 1 1/2 0 -1 1/2 0 -9/6 6

R1 0 1/2 0 -1 1/2 1 -1/2 6

X2 0 1/2 1 0 -1/6 0 1/6 10


Z 1 0 0 0 0 -1 -1 0

X1 0 1 0 -2 1 2 -1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 -1 2/3 4




LA NUEVA TABLA:

Las variables basicas(X1,X2) y la solucion quede en 0, Actualizando, la tabla es ptima,

por lo tanto finaliza la FASE I y se tiene una solucin bsica factible. Y comenzamos con

siguiente face.

FASE II:

Min Z = 2000X1 + 500X2

Z= -2000 - 500 -0S1 -0S2=0

Se toma la solucin bsica factible de la FASE I como la solucin inicial, se eliminan las columnas artificiales.

V. B. Z X1 X2 S1 S2 Solucin

Z 1 -2000 -500 0 0 0

X1 0 1 0 -2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 4

Ec. X2 anterior: 0 1/2 1 0 -1/6 0 1/6 10 -(1/2)*(n.e.p): 0 -1/2 0 1 -1/2 -1 1/2 -6

0 0 1 1 -2/3 -1 2/3 4


Z 1 0 0 0 0 -1 -1 0

X1 0 1 0 -2 1 2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 -1 2/3 4



Se reduce a cero el coeficiente de las variables bsicas para tener la tabla correcta.


Z 1 -2000 -500 0 0 0

X1 0 1 0 -2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 4

Nueva Ecuacion Pivote: 0 0 1 1 -2/3 4

0 0 1 1 -2/3 4 / 1


Z 1 -2000 0 500 -1000/3 2000

X1 0 1 0 -2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 4


Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 -2000 -500 0 0 0 -(-500)*(n.e.p): 0 0 500 500 -1000/3 2000

1 -2000 0 500 -1000/3 2000


Ec. X2 anterior: 0 1 0 -2 1 12 (0)*(n.e.p): 0 0 0 0 0 0

0 1 0 -2 1 12




Z 1 -2000 0 500 -1000/3 2000

X1 0 1 0 -2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 4

Continuamos con las mismas iteraciones.

Nueva Ecuacion Pivote : 0 1 0 -2 1 12

0 1 0 -2 1 12 / 1


Z 1 0 0 -3500 -5000/3 26000

X1 0 1 0 -2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 4


Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 -2000 0 500 -1000/3 2000

-(-2000)*(n.e.p): 0 2000 0 -4000 2000 24000

1 0 0 -3500 -5000/3 26000


Ec. X2 anterior: 0 0 1 1 -2/3 4 (0)*(n.e.p): 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 -2/3 4



Nueva Tabla:


Z 1 0 0 -3500 -5000/3 26000

X1 0 1 0 -2 1 12

X2 0 0 1 1 -2/3 4

Actualizamos la tabla para verificar si es ptima.

Nueva ecuacin pivote:


Z 1 -5000/3 0 -500/3 0 6000

S2 0 1 0 -2 1 12

X2 0 2/3 0 -1/3 0 12


Nueva Ecuacion Z:

Ec. Z anterior: 1 0 0 -3500 -5000/3 26000

-(-5000/3)*(n.e.p): 0 -5000/3 0 -10000/3 -5000/3 -60000/3

1 -5000/3 0 -500/3 0 6000


0 1 0 -2 1 12

Ec. X2 anterior: 0 0 1 1 -2/3 4

-(-2/3)*(n.e.p): 0 2/3 0 -4/3 2/3 8

0 2/3 0 -1/3 0 12



TABLA 05: Primera iteracin


Z 1 -5000/3 0 -500/3 0 6000

S2 0 1 0 -2 1 12

X2 0 2/3 0 -1/3 0 12

Solucin ptima:

Min Z = 2000x1 + 500x2

X1 = 0, X2 = 12,

Min Z = 2000(0) + 500(12)

Z = 6000



Primero se debe expresar el modelo en formato estndar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran. Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados , para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar as un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable bsica inicial. sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restriccin. Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables bsicas aparezca una matriz

identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial.

Obtendremos que los trminos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solucin inicial sea infactible.

Es importante destacar que este proceso es muy til ya que en muchos modelos evita la inclusin de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato

estndar.

El algoritmo para resolver un modelo de maximizacin es el siguiente:

El mtodo dual-simplex requiere de la aplicacin de dos criterios para su solucin: El criterio de optimalidad que asegura que la solucin permanecer ptima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza las soluciones bsicas hacia el espacio factible. Criterio de Factibilidad. La variable saliente ser aquella variable bsica que tenga el valor ms negativo en el vector bi. Si todas las variables bsicas son positivas o sea 0 se tiene la solucin final, ptima y factible.

La aplicacin del mtodo dual-simplex es especialmente til para el tema de anlisis de



sensibilidad. El procedimiento del mtodo dual-simplex se explicara ms objetivamente

con los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 01:

Min. Z = 4X1 + 12X2 + 18X3

S.A.

X1 + 3X3 3

2X2 + 2X3 5

Solucin:

PASO 1: Convertir el problema de minimizacin en uno de maximizacin. La

funcin objetivo se multiplica por -1

F.O.

Max. Z = - 4X1 - 12X2 - 18X3

Las restricciones se multiplican por -1

S.A.

- X1 - 3X3 -3

- 2X2 - 2X3 -5

X1, X2, X3 0

PASO 2: Se convierten las inecuaciones en ecuaciones.

F.O.

Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0

S.A.

- X1 - 3X3 + S1 = -3

2X2 - 2X3 + S2 = -5

PASO 3: Se determinan las variables bsicas y no bsicas.

X1, X2, X3 0



Bsicas: S1 y S2

No Bsicas: X1, X2 y X3

PASO 4: Elaborar la tabla inicial del simplex

Variable

Bsica

Variables Solucin

X1 X2 X3 S1 S2

S1 -1 0 -3 1 0 -3

S2 0 -2 -2 0 1 -5

Z 4 12 18 0 0 0

PASO 5: Determinar la variable que sale (fila pivote).

Es el numero mas negativo de la solucion de las restricciones = fila de S2

PASO 6: Determinar la variable que entra (columna pivote)

Razon = Coeficiente de Z / coeficiente fila pivote.

Razon Mayor = Columna X2 (-12 / 2)

Variable

Bsica

Variables Solucin

X1 X2 X3 S1 S2

S1 -1 0 -3 1 0 -3

S2 0 -2 -2 0 1 -5

Z 4 12 18 0 0 0

Razn - -6 -9 - 0

PASO 7: Elaborar la nueva tabla del simplex

a) Nueva fila pivote = Fila pivote / elemento pivote

0 -2 -2 0 1 -5 Fila Pivote

-2 -2 -2 -2 -2 -2 Elemento Pivote



0 1 1 0 -0,5 2,5 Nueva Fila Pivote

b) Nuevas filas = fila anterior (coeficiente de la columna pivote x nueva fila pivote.)

Nueva Fila (S1)

-1 0 -3 1 0 -3 Fila Anterior

0 0 0 0 0 0 Coeficiente

0 1 1 0 -0,5 2,5 Nueva Fila Pivote

-1 0 -3 1 0 -3 Nueva Fila

Nueva Fila (Z)

4 12 18 0 0 0

12 12 12 12 12 12

0 1 1 0 -0,5 2,5

4 0 6 0 6 -30

Nueva Tabla del Simplex

Variable

Bsica

Variables Solucin

X1 X2 X3 S1 S2

S1 -1 0 -3 1 0 -3

X2 0 1 1 0 -1 2,5

Z 4 0 6 0 0 -30

Razn -4 - -2 - 0



Se realizan nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como solucin final:

Variable

Bsica

Variables Solucin

X1 X2 X3 S1 S2

X1 0,33 0 1 0,33 0 1

X2 0,33 1 0 0,33 -0,5 1,5

Z 2 0 0 2 6 -36

NOTA: No hay mas iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes negativos.

R: El valor mnimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36

dos fases y dual

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