Dosier módulo I

Módulo I

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CONTENIDO

Pág.

Introducción 5

Unidad I. Proceso de Medición 6

Unidad II. Cinemática 14

Unidad III. Dinámica 29

Unidad IV. Ley de conservación de la energía 35

Unidad V. Momento lineal y colisiones 52

Bibliografía 63

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El Módulo 1 Mecánica, del curso de formación de la especialidad de Física en el marco del Plan Nacional de formación de

docentes en servicio del sector público tiene como propuesta el desarrollo de ideas y conceptos básicos necesarios para

una correcta comprensión y descripción de los fenómenos físicos.

El módulo comprende magnitudes físicas, medida y errores, análisis vectorial, cinemática, dinámica, momento lineal y

colisiones.

Como herramienta de este curso, se elaboró el presente dossier que servirá de apoyo a los especialistas de Tercer Ciclo y

Media de la especialidad de Física, pues es una fuente de información, una guía para el aprendizaje, que contribuye a

ampliar y profundizar los contenidos que se estudian en este Módulo 1.

El dossier se compone, además del índice e introducción; de:

- lecturas en coherencia con los contenidos que se van estudiando jornada a jornada. - actividades que se sugiere que se realicen en el salón de clases con los estudiantes; y - bibliografía en la que se encuentra la información sobre el módulo.

Las lecturas corresponden a las temáticas de las cuatro unidades que contempla el módulo:

- En la primera se estudian los Sistemas de Unidades, haciendo énfasis en el uso del Sistema Internacional (SI) y la necesidad de popularizar su uso.

- En la segunda unidad, se estudia la Mecánica, comenzando con la descripción del movimiento (Cinématica) con especial interés en el movimiento uniforme, el uniformemente acelerado, éstos movimientos lineales y finalmente los movimientos bidimensionales: el movimiento de proyectiles y el movimiento circular uniforme.

- En la tercera unidad se estudia la Dinámica, es decir al estudio de las leyes del movimiento de Newton, resolviendo algunos problemas de interés práctico. Se desarrolla el concepto de trabajo y con este se llega al de energía cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica. Se formula entonces la Ley de Conservación de la energía Mecánica y se discute su generalización a todas las formas de energía y a todas las Ciencias Naturales.

- En la cuarta unidad se estudia otro Principio de Conservación: el Momento Lineal. Se define el concepto del Centro de Masa o Inercia, se estudia su movimiento. Se estudian los choques clasificándolos según criterios energéticos en: choque elásticos (conservación de la energía mecánica), choques inelásticos.

El desarrollo escrito de cada temática se presenta en un lenguaje técnico-científico, que ayuda al especialista a desarrollar

competencias investigativa que le permita adquirir dominio pleno de las temáticas del módulo.

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1.1 Propiedades, magnitudes físicas y unidades Existen muchas propiedades de los objetos: masa, peso, presión velocidad, temperatura, volumen, etc. pero solo aquellas que se pueden medir se consideran Magnitudes Físicas. Es decir, una Magnitud Física es toda propiedad de la materia y la energía que se puede medir. Existen otras propiedades como el color, olor, sabor, belleza, moral, que no se puede medir, por lo tanto no son Magnitudes Físicas. La cantidad de magnitudes Físicas es enorme pero algunas están relacionadas; es el caso de la velocidad, que se puede relacionar con la distancia recorrida (longitud) y el tiempo empleado en recorrerla. Así se puede escoger una cantidad de Magnitudes Fundamentales, las cuales se definen por sí mismas y son independientes de las demás, y el resto, que se derivan de las primeras, son las Magnitudes Derivadas. El conjunto de magnitudes Fundamentales y Derivadas, con sus unidades correspondientes, es lo que se conoce como Sistema de Unidades. Existen varios Sistemas de Unidades, sin embargo, el sistema que se pretende utilizar en todo el mundo es el Sistema Internacional. El Sistema Internacional de Unidades, abreviado S.I., es el más utilizado por la comunidad científica. Este sistema de unidades se adoptó en la Conferencia General de Medidas en 1917 y consiste en siete unidades fundamentales que se incluyen en la tabla I. Para el Sistema Internacional se definieron las siguientes magnitudes fundamentales, junto a sus unidades: Tabla I. Magnitudes Fundamentales en el Sistema Internacional (SI)

Magnitud Fundamental Unidad Abreviatura

Longitud (𝐿) metro m

Masa (𝑀) kilogramo kg

Tiempo (𝑇) segundo S

Temperatura (𝜏) kelvin K

Intensidad de corriente (𝐼) amperio A

Intensidad luminosa (𝐶) candela cd

Cantidad de sustancia (mol) mol mol

Proceso de medición

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Muchas de las magnitudes físicas están relacionadas entre sí, mediante leyes o por definición. Es muy importante utilizar siempre las unidades adecuadas, para obtener el valor de una magnitud que depende de otras a través de una ley física. En principio cualquier otra magnitud física puede escribirse en función de las magnitudes definidas en la tabla I. Por ejemplo, la fuerza se calcula como la masa por la aceleración y la aceleración es la longitud por unidad de tiempo al cuadrado. Las dimensiones de la fuerza serán masa×longitud/tiempo2 o ML/T2. Las unidades de medida de la fuerza en el Sistema Internacional serán por tanto kg m/s2.Dicha combinación de unidades recibió el nombre de Newton, en honor al científico Isaac Newton y se representa por N. Un Newton será la fuerza necesaria para impartir una aceleración de1 m/s2 a un objeto de 1 kg de masa.

1.2 Medida e instrumentos de medida Una medición o una medida, es un proceso que consiste en obtener experimentalmente uno o varios valores que pueden atribuirse razonablemente a una magnitud. Las mediciones no son de aplicación a las propiedades cualitativas. Una medición supone una comparación de magnitudes o el conteo de entidades. Para poder medir una magnitud, es necesario compararla con una unidad definida, un Patrón de medida. Un patrón de medida es la realización de la definición de una magnitud dada, con un valor determinado y una incertidumbre de medida asociada, tomada como referencia. Ejemplo, el patrón de masa de 1 kg, con una incertidumbre típica asociada de 3 μg. Habitualmente se suele reservar el nombre de magnitud para los atributos o rasgos que varían de manera cuantitativa y continua (longitud, peso, densidad, etc.), o también de manera discreta (p. e. “el número de personas”); las cantidades son los valores de dichas variables. En este caso, medir una cantidad consiste en determinar las veces que esa cantidad contiene a la cantidad (o cantidades) que se toman como referencia (unidades de medida). Por ejemplo, decimos que el largo de la mesa es 1 m 40 cm. Al hacer una medición asignamos un número y una unidad de medida, o varias, dependiendo de si la cantidad a medir es múltiplo dela cantidad tomada como referencia o no, y de la precisión deseada. Las cantidades de una magnitud pueden ser medidas en unos casos directamente usando los instrumentos de medida (el metro, sus múltiplos y divisores para las longitudes, etc.). Esta medición directa quiere decir aplicando reiteradamente las unidades de medida hasta lograr cubrir la longitud que se quiere medir, hasta conseguir equilibrar la balanza, etc., y según la precisión deseada. En otros casos, si el objeto en cuestión no puede medirse directamente, bien por su tamaño, forma, etc., pero se puede descomponer en partes o secciones cuya medida se conoce, podemos determinar la medida del objeto mediante operaciones aritméticas. Se habla entonces de medida indirecta. Ejemplo: No hace falta recubrir una superficie de losetas para determinar el área de dicha superficie. Ésta se puede determinar con frecuencia mediante el cálculo sobre las dimensiones dela superficie. Un instrumento de medida, es un dispositivo utilizado para realizar mediciones, solo o asociado a uno o varios dispositivos suplementarios

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Un instrumento de medida que puede utilizarse individualmente es un sistema de medida y puede ser un instrumento indicador o una medida materializada. El sistema de medida, es el conjunto de uno o más instrumentos de medida y, frecuentemente, otros dispositivos, incluyendo reactivos e insumos varios, ensamblados y adaptados para proporcionar información utilizada para obtener valores medidos dentro de intervalos especificados, para magnitudes de naturalezas dadas. Un sistema de medida puede estar formado por un único instrumento de medida. Cuatro son las cualidades que caracterizan a un instrumento de medida: Fidelidad: Un aparato de medida es fiel cuando si se realizan medidas de un mismo estado de una misma magnitud en idénticas condiciones se obtienen los mismos resultados. Exactitud: Un aparato de medida es exacto cuando el resultado de la medida que se realiza con el da justamente el valor de la magnitud. Es decir, será tanto más exacto cuanto menor sea el error absoluto que se comete en la medida. La exactitud se puede cuantificar como la inversa del error absoluto. Precisión: Un aparato de medida es tanto más preciso cuanto menor sea el error relativo que se comete en las medidas que se realizan con él. La precisión se puede cuantificar como la inversa del error relativo. Sensibilidad: Un aparto de medida es tanto más sensible cuanto más pequeñas son las variaciones que puede apreciar en la magnitud medida. La sensibilidad se puede cuantificar como el cociente entre la mínima división de la escala y la medida que se realiza.

1.3 Errores al medir Los datos numéricos que se obtienen en el laboratorio son resultado de medidas y por tanto, están sujetos a errores de diversa índole. El error en una medida se define como la diferencia entre el valor real y el valor medido. Aunque en la práctica el valor real nunca es conocido (y por ende tampoco el error), es posible establecer un intervalo en el que se encuentre el valor real. Se distinguen tres grandes tipos de imprecisiones al momento de llevar a cabo el registro de datos experimentales.

1. Errores del observador Los errores cometidos por el observador son generalmente lecturas incorrectas de datos, dada la imprecisión natural de los sentidos de éste. Cuando se hacen medidas con instrumentos que poseen escalas finas es muy probable la aparición de este tipo de errores. Existe también el error de paralaje, cuando la escala no se hace coincidir con la magnitud que se mide. Según la posición del observador se pueden obtener diferentes valores en la escala. La lectura correcta se hace cuando el observador mira perpendicularmente a la escala.

2. Errores sistemáticos

Los aparatos de medida utilizados en la toma de datos tienen como limite la precisión y la exactitud, tales factores hacen aparecer los llamados errores sistemáticos. Puede existir el error en la calibración de los equipos. Produce escalas no exactas. Puede existir el error de cero, cuando el aparato esta desajustado y marca algo cuando debería indicar cero. Este error se corrige ajustando el aparato o sumando o restando según el caso, esta lectura del cero.

3. Errores aleatorios

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Otra clase común de error es producida por variaciones impredecibles y desconocidas en un montaje, aun cuando se tengan todos los cuidados humanamente posibles. Fluctuaciones en la temperatura del proceso o en el voltaje de funcionamiento de un dispositivo son ejemplos típicos de errores aleatorios.

1.4 Formas de Expresar una Medida Existen tres formas de expresar una medida atendiendo el grado de confianza que ofrecen: a) Orden de Magnitud b) Cifras Significativas c) Tamaño de la Incerteza.

a) Por el orden de magnitud. El orden de magnitud, OM, de un número es la potencia de diez más próxima a dicho número. Cuando se trabaja con potencias de diez, el punto medio entre 100 y 101 es igual a 101/2 = 3.16. Todo número que se encuentra entre 100 y 101/2 estará más cerca de 100, y todo aquel que se encuentre entre 101/2 y 101, estará más cerca de101. En general, para encontrar el orden de magnitud de un número se procede así, 1- Se escribe el número en notación científica. 6500 = 6.5 × 103, a = 6.5 y n =3; 0.0025 = 2.5 × 10–3, a = 2.5 y n = – 3. 2- Se observa si el número “a” se encuentra más cerca de 100ó de 101. 6.5 se encuentra más cerca de 101, 2.5 se encuentra más cerca de 100 3- Se sustituye el número “a” por la potencia de 10 más cercana. 6.5 × 103 = 101 × 103 = 104, 2.5 × 10–3 = 100 × 10–3 = 10–3 4- La potencia que resulta de estas operaciones constituye el orden de magnitud. Ejemplo: Encontrar el O. M. de 1125, 53.2, 0.000015 y 0.00075. 1125 = 1.125 × 103, O.M. = 103 53.2 = 5.32 × 101, O.M. = 102 0.000015 = 1.5 × 10–5, O.M. = 10–5 0.00075 = 7.5 × 10–4, O.M. = 10–3

b) Cifras significativas Cifras significativas son aquellas que están medidas con precisión, según el instrumento utiliza o también, si se realizan cálculos a partir de los valores medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son precisas. Para saber cuántas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que veremos a continuación. Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el número 103tiene tres cifras significativas, y el 0.000000103 también. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no le añaden precisión a la medición, sino que solamente sirven para establecer la posición del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notación exponencial; así, los números mencionados se convertirían en1.03 × 102 y 1.03 × 10–7. Entonces, para contar las cifras significativas se parte del primer dígito distinto de cero y se cuentan todos los dígitos a partir de éste.

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Los ceros a la derecha sí son significativos. Esto es muy importante: los ceros a la derecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Por lo tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00 kg. La primera magnitud implica que la medición se realizó con una balanza graduada en kilogramos. La segunda medición fue realizada en una balanza graduada en centésimas de kilogramo. La segunda medición es cien veces más precisa que la primera; la primera tiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello es extremadamente importante no olvidar escribir los ceros ala derecha cuando se sabe que son significativos. Por ejemplo, en una balanza analítica que tiene precisión de diezmilésimas de gramo, si la balanza marca 0.5700 ges necesario registrar el número con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g. Sin embargo, a veces hay que tener cuidado con los ceros a la derecha. Para eso está la siguiente regla. Los ceros a la derecha no son significativos cuando su función es únicamente la de especificar la posición del punto decimal. Por ejemplo, si se dice que el sol está a una distancia de 150 000 000 000 m, ¿cuántas cifras significativas hay? Ciertamente no son doce, porque esto implicaría que se conoce la distancia con una precisión del orden de 1 m. Además de que es una precisión imposible en la práctica, sería demasiada coincidencia que tal magnitud física tuviera tantos ceros. Pero podría ser que el primer cero, o tal vez incluso el segundo, fueran significativos. Así como está escrito el número, no hay manera de saberlo. La única manera de evitar esta ambigüedad es utilizando la notación científica. Si nos dicen que el sol está a 1.50 × 1011 m, podemos saber sin duda alguna que sólo el primer cero es significativo y por lo tanto hay tres cifras significativas. Los números que son enteros por naturaleza se consideran como si tuvieran una cantidad infinita de cifras significativas. Dicho de otra manera, los enteros por naturaleza se pueden conocer con exactitud perfecta. Los factores de conversión generalmente son exactos. O sea que, al igual que los números enteros, puede considerarse como si tuvieran un número infinito de cifras significativas. Aunque hay algunos casos de conversiones que no son exactas porque están determinadas empíricamente, otras son exactas. Por ejemplo, una pulgada es exactamente igual a 2.54 cm por definición, y una caloría son 4.184 J. Además, todas las conversiones dentro de un mismo sistema son exactas (1 km son exactamente 1000 m, y un pie son exactamente 12 pulgadas). Ahora veremos cómo se decide cuántas cifras significativas tiene el resultado de un cálculo. En una multiplicación o división, hay que quedarse con el número de cifras significativas del factor menos preciso. Por ejemplo, 1.5 × 3.14159265359 = 4.7. No importa que la calculadora diga 4.71238898038; el resultado tiene solamente dos cifras significativas y debe reportarse como 4.7. No hay que olvidar redondear el último dígito: por ejemplo, 10.0 / 1.5 = 6.7, aunque la calculadora diga6.6666666666. En una suma o resta, hay que "alinear los puntos decimales" y quedarse con la precisión del número que tenga menos cifras significativas después del punto decimal. Veamos varios ejemplos. 1.44 + 2.35 × 10–5 = 1.44. Aunque la calculadora dice 1.4400235, el segundo sumando es despreciable con respecto al primero, por lo que no afecta la suma. Para que quede claro a que nos referimos con "alinear el punto decimal", hay que ver la suma de la siguiente manera: 1.44 (dos cifras después del punto) + 0.0000235 (siete cifras después del punto, pero solamente tres significativas) 1.44 (se toman solamente dos después del punto) Veamos ahora otro ejemplo: 37.59 + 8.3 = 45.9 (la calculadora da 45.89; no hay que olvidar el redondeo). 37.59 (dos cifras después del punto) +8.3 (una cifra después del punto) 45.9 (una cifra después del punto) Con las restas hay que tener especial cuidado, ya que dos números con muchas cifras significativas pero valores muy parecidos pueden dar un resultado con muy pocas cifras significativas.

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Por ejemplo, 125.890657 – 125.890643 = 1.4 × 10–5. Como último ejemplo de esta sección, no olvidemos que en el resultado pueden quedar ceros a la derecha. 5.57 – 2.372 = 3.20 (la calculadora da 3.198). Los resultados intermedios conviene guardarlos con todas sus cifras, o por lo menos con una cifra no significativa. Las cifras significativas hay que tomarlas en cuenta para reportar el resultado final de una operación con una precisión realista; sin embargo, en los resultados intermedios conviene guardar más cifras porque con cada redondeo que se haga se va perdiendo precisión. Si la cadena de operaciones es muy larga estos pequeños errores se van acumulando hasta volverse significativos. Nota: si es necesario reportar un resultado intermedio hay que reportarlo con sus cifras significativas, pero también hay que apuntarlo con todas sus cifras en la hoja de operaciones (o en la memoria de la calculadora) para su uso en cálculos posteriores. Para operaciones combinadas, hay que hacer el análisis paso por paso. Veamos un ejemplo un poco más complicado:

(5.4356 × 11.29) − 12.7

4.4+ 1.6456

Paso 1: 5.4356 × 11.29 = 61.367924. Los números más pequeños son cifras no significativas que se guardan para las siguientes operaciones. Paso 2: 61.367924 – 12.7 = 48.667924. Paso 3: 48.667924 / 4.4 = 11.0608918182. Paso 4: 11.0608918182 + 1.6456 = 12.7064918182. Por lo tanto, el resultado que tenemos que dar es 13 (¡no hay que olvidar el redondeo!) o, para que no haya dudas, se puede expresar como 1.3 × 101. Finalmente, para operaciones como raíces cuadradas, potencias, logaritmos y exponenciales no hay reglas tan sencillas. Pero como primera aproximación se pueden usar las mismas reglas que para la multiplicación y división.

c) Tamaño de la Incerteza La forma correcta de escribir el resultado de una medición es dar la mejor estimación del valor de la cantidad medida y el rango dentro del cual se puede asegurar que se encuentra este valor. Dado que no existe tal cosa como el valor real de una cantidad a medir, es suficiente saber dentro de qué intervalo estamos seguros que se encuentra la cantidad a medir. Cuando se realiza una sola medida, una cantidad con error se expresa de la forma 𝐴 = 𝐴0 ± ∆𝐴, donde 𝐴0 es el valor leído en el instrumento y ∆𝐴 es el error absoluto o incerteza del aparato de medida. El error absoluto puede tomarse como la minima división, la mitad o la decima parte de la minima división del instrumento, de acuerdo a estimaciones razonables. Si la medida se realiza n veces, el resultado se puede expresar

𝐴 = �̅� ± ∆𝐴̅̅̅̅

donde �̅� es el valor probable dado por la media aritmética de las mediciones

�̅� =1

𝑛∑𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

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y∆𝐴̅̅̅̅ es el promedio de las desviaciones o errores

∆𝐴̅̅̅̅ =1

𝑛∑|�̅� − 𝐴𝑖|

𝑛

𝑖=1

En general, el error absoluto no sirve para expresar la calidad de una medida. Por ello, se recurre al concepto de error relativo, que es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero. Como se deduce de su definición es un número adimensional y, habitualmente, se expresa en tantos por ciento

Error relativo =∆𝐴

𝐴0 100%

Para que se pueda considerar que la medida tiene cierta calidad, el error relativo debe ser mucho menor que la unidad.

1.5 Propagación de la incerteza Con frecuencia se tienen que combinar dos o más valores experimentales para calcular el valor de una variable física. Por ejemplo, si se desea calcular el perímetro de un rectángulo, se deben medir las longitudes de los lados del rectángulo y luego sumarlas, como las mediciones tienen errores experimentales el resultado de la suma también tendrá una incertidumbre experimental. Sean 𝑎 = 𝐴 ± ∆𝐴 y 𝑏 = 𝐵 ± ∆𝐵, dos cantidades expresadas con sus respectivos errores y 𝑐 = 𝐶 ± ∆𝐶, el resultado de realizar alguna operación con una de ellas o con ambas. Para expresar el resultado de dicha operación se tienen en cuenta las siguientes reglas: La suma o la diferencia de dos cantidades con error:

𝑐 = 𝑎 ± 𝑏, 𝐶 = 𝐴 ± 𝐵, ∆𝐶 = ∆𝐴 + ∆𝐵 El producto de dos cantidades con error:

𝑐 = 𝑎𝑏, 𝐶 = 𝐴𝐵, ∆𝐶 = 𝐶 [∆𝐴

𝐴+

∆𝐵

𝐵]

El cociente de dos cantidades con error:

𝑐 =𝑎

𝑏, 𝐶 =

𝐴

𝐵, ∆𝐶 = 𝐶 [

∆𝐴

𝐴+

∆𝐵

𝐵]

La potenciación de una cantidad con error:

𝑐 = 𝑎𝑛, 𝐶 = 𝐴𝑛 , ∆𝐶 = 𝑛𝐴𝑛−1∆𝐴

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2.1 Generalidades del movimiento: Posición, distancia, trayectoria, tiempo, velocidad, rapidez y aceleración La parte de la mecánica clásica que describe el movimiento de un objeto mientras se ignoran las interacciones con agentes externos que pueden causar o modificar dicho movimiento, se llama cinemática. A partir de la experiencia cotidiana es obvio que el movimiento de un objeto representa un cambio continuo en la posición de un objeto. En física se clasifica por categorías el movimiento en tres tipos: traslacional, rotacional y vibratorio. Un automóvil que viaja en una autopista es un ejemplo de movimiento traslacional, el giro de la Tierra sobre su eje es un ejemplo de movimiento rotacional, y el movimiento de ida y vuelta de un péndulo es un ejemplo de movimiento vibratorio. En el estudio del movimiento traslacional se usa el modelo de partícula y el objeto en movimiento se describe como una partícula sin importar su tamaño. En general, una partícula es un objeto parecido a un punto, es decir: un objeto que tiene masa pero es de tamaño infinitesimal. Por ejemplo, si quiere describir el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, puede considerar a la Tierra como partícula y obtener datos razonablemente precisos acerca de su órbita. Esta aproximación se justifica porque el radio de la órbita de la Tierra es grande en comparación con las dimensiones de la Tierra y del Sol. Como ejemplo en una escala mucho más pequeña, es posible explicar la presión que ejerce un gas sobre las paredes de un contenedor al tratar las moléculas de gas como partículas, sin importar su estructura interna. El movimiento de una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en todo momento. La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado. Este punto de referencia se llama marco de referencia. Así se dice que "el movimiento es relativo". Para describir el movimiento de un cuerpo es necesario previamente elegir otro cuerpo de referencia que se considere fijo. Por practicidad, nunca es conveniente elegir como referencia a un cuerpo en movimiento acelerado, como por ejemplo en caída libre. Una forma muy útil y simple de expresar la posición de un cuerpo es mediante un sistema de referencia con coordenadas cartesianas x, y, z en el espacio. Dicho sistema se conoce como "sistema de coordenadas cartesianas". Las sucesivas posiciones tomadas por el cuerpo, determinan una línea que puede ser curva o recta y a la que llamamos trayectoria del cuerpo puntual.

Cinemática

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Fig. 1. Trayectoria en el espacio tridimensional. En síntesis, el movimiento es relativo porque “depende” del sistema de referencia elegido y para poder describirlo correctamente es conveniente considerar un sistema de referencia fijo. Considere un automóvil que se mueve hacia adelante y en reversa a lo largo del eje 𝑥. Cuando comience a recopilar datos de posición, el automóvilestá a 30 m a la derecha de una señal del camino, que usará para identificar la posición de referencia 𝑥 = 0. Aplique el modelo de partícula para identificar la posición del Automóvil en diferentes instantes. Active el cronómetro y una vez cada 10 s anote la posición del automóvil en relación con la señal en 𝑥 = 0. Los datos obtenidos son Tabla II. Posición del automóvil y tiempo transcurrido.

El grafico correspondiente es

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Fig. 2. Posición del automóvil contra tiempo transcurrido. . A partir de los datos de la tabla I, se determina fácilmente el cambio en posición del automóvil para varios intervalos de tiempo. El desplazamiento de una partícula se define como su cambio en posición en algún intervalo de tiempo. Conforme la partícula se mueve desde una posición inicial 𝑥𝑖 a una posición final 𝑥𝑓, su desplazamiento se conoce por

∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

Se usa la letra griega mayúscula delta ∆ para denotar el cambio en una cantidad. A partir de esta definición se ve que ∆𝑥 es positiva si 𝑥𝑓es mayor que 𝑥𝑖 y negativo si 𝑥𝑓 es menorque 𝑥𝑖.

Es muy importante reconocer la diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida. Distancia es la longitud de una trayectoria seguida por una partícula. Considere, por ejemplo, a los jugadores de basquetbol. Si un jugador corre desde la canasta de su propio equipo a lo largo de la cancha hasta la canasta del otro equipo y luego regresa a su propia canasta, el desplazamiento del jugador durante este intervalo de tiempo es cero porque terminó en el mismo punto del que partió: 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖, de modo que ∆𝑥 = 0. Sin embargo, durante este intervalo, se movió a lo largo de una distancia del

doble de la longitud de la cancha de basquetbol. La distancia siempre se representa como un número positivo, mientras que el desplazamiento puede ser positivo o negativo. El desplazamiento es un ejemplo de una cantidad vectorial. Note que los datos de la tabla I resultan en los seis puntos de datos de la gráfica de la figura 2. La curva uniforme, que se dibuja a través de los seis puntos de la gráfica, sólo es una posibilidad del movimiento automóvil. Únicamente se tiene información acerca de seis instantes de tiempo; no se tiene idea de lo que ocurrió entre los puntos de datos. La curva uniforme es una suposición de lo que ocurrió. Si la curva uniforme representa el movimiento real del automóvil, la gráfica contiene información acerca de todo el intervalo de 50 s durante los que se observó el movimiento del automóvil. Es mucho más fácil ver los cambios en la posición a partir de la gráfica que de una descripción verbal o incluso de una tabla de números. Por ejemplo, el automóvil cubre más terreno durante la mitad del intervalo de 50 s que al final. Entre las posiciones C y D, el automóvil viaja casi 40 m, pero durante los últimos 10 s, entre las posiciones E y F, se mueve a menos de la mitad de esa distancia. Una forma común de comparar estos movimientos diferentes es dividir el desplazamiento ∆𝑥que se presentaentre dos lecturas de cronómetro entre el valor de dicho intervalo de tiempo particular∆𝑡. El resultado evidencia ser una relación muy útil, que

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se le ha dado un nombre especial: velocidad promedio. La velocidad promedio𝑣promedio de una partícula se define como

el desplazamiento ∆𝑥 de la partícula dividido entre el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre dicho desplazamiento:

𝑣promedio =∆𝑥

∆𝑡

La velocidad promedio tiene dimensiones de longitud divididas entre el tiempo (L/T), o metros por segundo en unidades del SI. La velocidad promedio de una partícula que se mueve en una dimensión es positiva o negativa, dependiendo del signo del desplazamiento. (El intervalo de tiempo ∆𝑡 siemprees positivo.) La velocidad promedio se interpreta geométricamente al dibujar una línea recta entre dos puntos en la gráfica posición-tiempo en la figura 2. Esta línea forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo de altura ∆𝑥y base ∆𝑡. La pendiente de esta línea esla proporción∆𝑥 ∆𝑡⁄ , que se definió como velocidad promedio. Porejemplo, la línea entre las posiciones A y B en la figura 2 tiene una pendiente iguala la velocidad promedio del automóvil entre dichos dos tiempos (52 m – 30 m)/(10 s –0 s) = 2.2 m/s. En el uso cotidiano, la rapidez y la velocidad promedio son intercambiables. De cualquier modo, en física, hay una clara distinción entre estas dos cantidades. Considere una competidora de maratón que corre una distancia d = 40 km y aun así termina en su punto de partida. Su desplazamiento total es cero, ¡así que su velocidad promedio es cero! No obstante, es necesario cuantificar cuán rápido corre. Una relación ligeramente diferente logra esto. La rapidez promedio de una partícula, una cantidad escalar, se define como la distancia total recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total requerido para recorrer dicha distancia:

𝑣rapidez promedio =𝑑

∆𝑡

La unidad del SI de la rapidez promedio es la misma que la unidad de velocidad promedio: metros por segundo. Sin embargo, a diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene dirección y siempre se expresa como un número positivo. Advierta la clara distinción entre las definiciones de velocidad promedio y rapidez promedio: la velocidad promedio es el desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo, mientras que la rapidez promedio es la distancia dividida entre el intervalo de tiempo. Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partícula en un instante específico en el tiempo en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo finito. En otras palabras, nos gustaría poder especificar su velocidad de manera tan precisa como detalla su posición al notar lo que ocurre en una lectura particular de reloj; esto es, en algún instante específico. A finales del siglo XII, con la invención del cálculo, los científicos empezaron a razonar las formas de describir el movimiento de un objeto en cualquier momento del tiempo. Para ver cómo se hace esto, considere la figura 3a, que es una reproducción de la gráfica de la figura 2.

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Fig. 3. a) Grafica que representa el movimiento de la figura 2. b) Una ampliación de la esquina superior izquierda de la gráfica muestra cómo la línea azul entre las posiciones A y B tiende a la línea tangente verde conforme el punto B se mueve más cerca del punto A. Ya se discutió la velocidad promedio para el intervalo durante el cual el automóvil se mueve desde la posición A hasta la posición B (dada por la pendiente de la línea azul). El automóvil comienza a moverse hacia la derecha, que se define como la dirección positiva. Ahora enfóquese en la línea azul corta y deslice el punto B hacia la izquierda a lo largo de la curva, hacia el punto A, como en la figura 2.3b. La línea entre los puntos se vuelve cada vez más inclinada, y conforme los dos puntos se vuelven en extremo próximos, la línea se convierte en una línea tangente a la curva, indicada por la línea verde en la figura 2.3b. La pendiente de esta línea tangente representa la velocidad del automóvil en el punto A. Lo que se hizo fue determinar la velocidad instantánea en dicho momento. En otras palabras, la velocidad instantánea 𝑣 es igual al valor límite de la proporción ∆𝑥 ∆𝑡⁄ conforme ∆𝑡 tiende a cero:

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡

En notación de cálculo, este límite se llama derivada de 𝑥 respecto a 𝑡, que se escribe 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ :

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo del signo de la pendiente de la gráfica posición- tiempo. En el punto B, la pendiente y la velocidad instantánea son cero y el automóvil está momentáneamente en reposo. De aquí en adelante, se usa la palabra velocidad para designar velocidad instantánea. Cuando se esté interesado en velocidad promedio, siempre se usará el adjetivo promedio. La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad instantánea. Como con la rapidez promedio, la rapidez instantánea no tiene dirección asociada con ella. Considere que un objeto representado como una partícula en movimiento a lo largo del eje 𝑥 tiene una velocidad inicial 𝑣𝑖 en el tiempo 𝑡𝑖 y una velocidad final 𝑣𝑓 en el tiempo 𝑡𝑓. La aceleración promedio 𝑎promediode la partícula se define

como el cambio en velocidad ∆𝑣 dividido por el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre el cambio:

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𝑎promedio =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

Como con la velocidad, cuando el movimiento a analizar sea unidimensional, se usan los signos positivo y negativo para indicar la dirección de la aceleración. Puesto que las dimensiones de velocidad son L/T y la dimensión de tiempo es T, la aceleración tiene dimensiones de longitud divididas entre el tiempo al cuadrado, o L/T2. La unidad del SI de aceleración es metros por segundo al cuadrado (m/s2). Es más sencillo interpretar estas unidades si piensa en ellas como metros por segundo por segundo. En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente durante distintos intervalos de tiempo. Por lo tanto, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio conforme ∆𝑡 tiende a cero. Este concepto es análogoa la definición de velocidad instantánea.

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Esto es: la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto al tiempo, que por definición es la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo. En consecuencia, tal como la velocidad de una partícula en movimiento es la pendiente en un punto sobre la gráfica 𝑥 − 𝑡 de la partícula, la aceleración de una partícula es la pendiente en un punto sobre la gráfica 𝑣 − 𝑡 de la partícula. Uno puede interpretar la derivada de la velocidad respecto al tiempo como la relación de cambio de velocidad en el tiempo. Si 𝑎 es positivo, la aceleración está en la dirección 𝑥 positiva; si 𝑎 es negativa, la aceleración está en la dirección 𝑥 negativa. Para el caso de movimiento en una línea recta, la dirección de la velocidad de un objeto y la dirección de su aceleración se relacionan del modo siguiente. Cuando la velocidad y la aceleración del objeto están en la misma dirección, el objeto aumenta su velocidad. Por otra parte, cuando la velocidad y la aceleración del objeto están en direcciones opuestas, el objeto frena.

2.2 Análisis Vectorial: Suma, resta y multiplicación de vectores en el sistema cartesiano Algunas magnitudes quedan completamente definidas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una masa de 20 kg; la masa queda totalmente descrita por su magnitud dada por el número 20, y las unidades correspondientes a la magnitud masa, en este caso kilogramos. Estas magnitudes se llaman Escalares. Así una definición de Magnitud Escalar es aquella que queda completamente definida por su magnitud y la unidad correspondiente. La suma y resta de magnitudes escalares deben ser dimensionalmente coherentes, es decir deben tener las mismas unidades para poder sumarse o restarse. Ejemplo: Realizar la suma de las siguientes magnitudes escalares: a) 25 m, 10 m, 7 m. Realizando la suma se tiene: 25 m + 10 m + 7 m = 42 m. b) 250 g, 3.1 kg, 3000 g. En este caso es necesario realizar una transformación de unidades, pasando los kilogramos a gramos se tiene:

3.1 kg [1000 g

1 kg] = 3100 g

Realizando la suma se tiene: 250 g + 3100 g + 3000 g = 6350 g. Entre las magnitudes escalares más comunes se pueden mencionar: masa, tiempo, volumen, área, distancia.

20

Existen otras magnitudes Físicas para las cuales no basta definirlas sólo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades se denominan Magnitudes Vectoriales. Magnitud Vectorial: es aquella que para quedar completamente definida es necesario dar su magnitud, dirección y sentido. La representación gráfica de un vector es dada por un segmento de recta dirigido.

Figura 4. Representación gráfica de un vector. La magnitud del vector se relaciona con la longitud de la flecha. La dirección es dada por el ángulo con respecto a la horizontal. El sentido se relaciona con la punta de la flecha. Se denomina vector unitario al que tiene magnitud uno. Los vectores unitarios más usados son los que indican la dirección de los ejes cartesianos en el espacio, y en el plano, se denotan por: �̂�,para la dirección postiva del eje 𝑥, 𝑗̂,para la dirección positiva del eje 𝑦,

�̂�,para la dirección positva del eje 𝑧.

Figura 5. Vectores unitarios en el espacio. En el plano cartesiano se tienen solamente el eje𝑥y el eje 𝑦.

21 21

Figura 6. Vectores unitarios en el plano cartesiano En muchos sistemas se tienen varios vectores actuando sobre él y el resultado de todos los vectores sobre el sistema es importante, por lo que es necesario sumar todos estos vectores, y el vector resultante es el que hace el mismo efecto de todos los vectores juntos. Todos los vectores que actúan sobre el sistema se denominan componentes del vector resultante. Las componentes rectangulares de un vector son aquellas que están a lo largo de los ejes cartesianos.

Figura 7. Componentes rectangulares de un vector.

Para un vector�⃗� en el plano, sus componentes rectangulares vienen dadas por las relaciones:

𝑉𝑥 = 𝑉cos𝜃, 𝑉𝑦 = 𝑉sin𝜃

siendo 𝑉 la magnitud del vector y θ el ángulo con respecto al sentido positivo del eje x, estas componentes también se denominan proyecciones del vector sobre los ejes cartesianos. Utilizando sus componentes el vector será dado por la relación:

�⃗� = 𝑉𝑥 �̂� + 𝑉𝑦𝑗 ̂

Si se tienen las componentes sobre los ejes,𝑉𝑥, 𝑉𝑦, la magnitud 𝑉 del vector está dada por:

22

𝑉 = √𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

La dirección, el ángulo con respecto al sentido positivo del eje 𝑥, está dada por:

𝜃 = arctan (𝑉𝑦

𝑉𝑥)

Ejemplo: Encontrar las componentes rectangulares de los siguientes vectores. a) La magnitud del vector es 25.

Figura 8. Vector V representado en el plano cartesiano, cuya magnitud es de 25 unidades, inclinado 30° respecto del semieje positivo de las 𝑥. b) El vector se encuentra en el tercer cuadrante del plano cartesiano.

Figura 9. Vector F en el plano, inclinado 65°respecto al semieje negativo de las 𝑥, su magnitud es de 12 unidades. Solución. a) La componente 𝑥 es:𝑉𝑥 = 𝑉 cos𝜃 = 25cos (30) = 21.65 La componente 𝑦 es: 𝑉𝑦 = 𝑉 sin𝜃 = 25sin (30) = 12.5

b) El ángulo respecto al sentido positivo del eje 𝑥, es,

23 23

𝜃 = 180º + 65º = 245º, Así se tiene: La componente 𝑥 es:𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝜃 = 12cos (245) = −5.07 La componente 𝑦 es:𝐹𝑦 = 𝐹 sin 𝜃 = 25 sin(245) = −10.88

Cuando se tienen diferentes vectores actuando sobre un mismo sistema, la forma más precisa de encontrar el vector resultante consiste en descomponer cada vector en sus componentes y luego sumar, algebraicamente, las componentes en la dirección 𝑥, y las componentes en la dirección 𝑦.

Si se tienen 𝑛 vectores, dados por:�⃗� 1, �⃗� 2, �⃗� 3, … , �⃗� 𝑛. Encontrando sus componentes en la dirección “𝑥” se tienen:𝑉1𝑥 , 𝑉2𝑥 , 𝑉3𝑥 , … , 𝑉𝑛𝑥 Las componentes en la dirección “𝑦” son dadas por: 𝑉1𝑦 , 𝑉2𝑦 , 𝑉3𝑦 , … , 𝑉𝑛𝑦

Obteniéndose la resultante 𝑉𝑅𝑥 en la dirección “𝑥” por la suma escalar de las componentes, así:

𝑉𝑅𝑥 = 𝑉1𝑥 + 𝑉2𝑥 + 𝑉3𝑥 + ⋯+ 𝑉𝑛𝑥 La resultante 𝑉𝑅𝑦, en la dirección “𝑦” se obtiene sumando escalarmente las componentes en la dirección “y”, así:

𝑉𝑅𝑦 = 𝑉1𝑦 + 𝑉2𝑦 + 𝑉3𝑦 + ⋯+ 𝑉𝑛𝑦

El vector resultante será dado por la relación

�⃗� 𝑅 = 𝑉𝑅𝑥 �̂� + 𝑉𝑅𝑦𝑗 ̂

Ejemplo: Encontrar el vector, magnitud y dirección, resultante para los vectores dados en la figura siguiente:

Fig. 10. Tres vectores en el plano- Solución. Para encontrar el vector resultante es necesario encontrar las componentes rectangulares de cada vector y luego sumarlas. Las componentes en la dirección “𝑥” se obtienen utilizando la ecuación 1.

𝐹1𝑥 = 𝐹1 cos 𝜃 = 25 N cos(50) = 16.07 N 𝐹2𝑥 = 𝐹2 cos 𝜃 = 20N cos(157) = −18.41 N 𝐹3𝑥 = 𝐹3 cos 𝜃 = 30 N cos(240) = −15 N

24

La resultante en la dirección “𝑥” es dada por la suma escalar de estas componentes.

𝐹𝑅𝑥 = 16.07 N + (− 18.41 N) + (− 15 N) = − 17.34 N. Las componentes en la dirección “𝑦” son:

𝐹1𝑦 = 𝑉1 sin𝜃 = 25 N sin(50) = 19.15 N

𝐹2𝑦 = 𝑉2 sin𝜃 = 20 N sin(157) = 7.81 N

𝐹3𝑦 = 𝑉3 sin𝜃 = 30 N sin(240) = − 25.98 N

La resultante en la dirección “𝑦” es dada por la sumas de las componentes en esta dirección.

𝐹𝑅𝑦 = 19.15 N + 7.81 N + (− 25.98 N) = 0.98 N.

El vector resultante se expresa en función de sus componentes rectangulares:

𝐹 𝑅 = 𝐹𝑅𝑥 �̂� + 𝐹𝑅𝑦𝑗̂ = − 17.34 N �̂� + 0.98 N𝑗̂.

La magnitud está dada por

𝐹 = √(−17.34 N)2 + (0.98 N)2 = 17.37 N. La dirección viene dada por:

𝜃 = arctan (𝐹𝑅𝑦

𝐹𝑅𝑥) = arctan (

0.98 N

−17.34 N) = 176.77

Se ha obtenido la magnitud, dirección y sentido del vector resultante, este vector resultante genera el mismo efecto que los tres vectores. Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de los vectores 𝐴 y �⃗� , se escribe como 𝐴 ∙ �⃗� (Debidoal símbolo punto, con frecuencia al producto escalar se le llama producto punto.)

El producto escalar de dos vectores cualesquiera𝐴 y �⃗� es una cantidad escalar igual alproducto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo 𝜃 entre ellos:

𝐴 ∙ �⃗� = 𝐴𝐵cos𝜃

Como es el caso con cualquier multiplicación, 𝐴 y 𝐵 ⃗⃗ ⃗no necesitan tener las mismas unidades.

La figura 11 muestra dos vectores 𝐴 y �⃗� y el ángulo 𝜃 entre ellos, que seaplica en la definición del producto punto.

25 25

Fig. 11. Producto escalar de los vectores𝐴 y �⃗�

En la figura 11, 𝐵cos𝜃 es la proyección de �⃗� sobre 𝐴 . Debido a eso,𝐴 ∙ �⃗� es el producto de la magnitud de 𝐴⃗⃗ ⃗y la proyección

de �⃗� sobre 𝐴 (nota: no confundir pensando que A.B es el cateto opuesto) El producto escalar es conmutativo

𝐴 ∙ �⃗� = �⃗� ∙ 𝐴 . El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación,

𝐴 ∙ [�⃗� + 𝐶 ] = 𝐴 ∙ �⃗� + 𝐴 ∙ 𝐶 .

El producto punto es simple de evaluar cuando 𝐴 esperpendicular o paralelo a �⃗� . Si 𝐴 es perpendicular a �⃗� (𝜃 = 90°), en

tal caso 𝐴 ∙ �⃗� = 0. (La igualdad 𝐴 ∙ �⃗� = 0 también se cumple en el caso más trivial en el que 𝐴 o�⃗� es cero.) Si el vector

𝐴 es paralelo al vector �⃗� y los dos apuntan en la misma dirección(𝜃 = 0), 𝐴 ∙ �⃗� = 𝐴𝐵. Si el vector 𝐴 es paralelo al vector

�⃗� pero los dos apuntanen direcciones opuestas (𝜃 = 180°), 𝐴 ∙ �⃗� = −𝐴𝐵. El producto escalar esnegativo cuando 90° <𝜃 ≤ 180°.

Los vectores unitarios �̂�, 𝑗̂ y �̂�, que se encuentran en lasdirecciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧 positivas, respectivamente, de un sistema coordenado de mano derecha.Por lo tanto, de la definición del producto punto, los productos escalares de estos vectores unitarios son

�̂� ∙ �̂� = 𝑗̂ ∙ 𝑗̂ = �̂� ∙ �̂� = 1.

�̂� ∙ 𝑗̂ = 𝑗̂ ∙ �̂� = �̂� ∙ �̂� = 0.

Como los vectores 𝐴 y �⃗� pueden expresarse como

𝐴 = 𝐴𝑥 �̂� + 𝐴𝑦𝑗̂ + 𝐴𝑧�̂�,

�⃗� = 𝐵𝑥 �̂� + 𝐵𝑦𝑗̂ + 𝐵𝑧�̂�,

el producto escalar de 𝐴 y �⃗� se reduce a

𝐴 ∙ �⃗� = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 .

26

En el caso especial en el que 𝐴 = �⃗� , se tiene

𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2 + 𝐴𝑧2 = 𝐴2.

Ejemplo. Se tienen los vectores 𝐴 = 2�̂� + 3𝑗̂y �⃗� = −�̂� + 2𝑗̂. Determine el producto escalar de estos vectores y encuentre el angulo entre ellos. El producto escalar es

𝐴 ∙ �⃗� = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 = 2[−1] + 3[2] = −2 + 6 = 4.

Las magnitudes de los vectores son

𝐴 = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2 = √22 + 32 = √13,

𝐵 = √𝐵𝑥2 + 𝐵𝑦

2 = √[−1]2 + 22 = √5.

De la definición de producto punto, se despeja el ángulo entre los vectores y se tiene

𝜃 = arccos (𝐴 ∙ �⃗�

𝐴𝐵) = arccos (

4

√13√5) = 60.3°

2.3 MRU: Movimiento rectilíneo uniforme

Si un cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo, el movimiento se denomina uniforme, porque la rapidez es constante. Si además su trayectoria es rectilínea se dice que se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniforme. En un MRU el vector velocidad es constante (no varía ni el valor ni el sentido). Por lo que su aceleración debe ser cero. Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea en cualquier instante durante un intervalo de tiempo es la misma que la velocidad promedio durante el intervalo. Esto es, 𝑣 = 𝑣promedio. Debido a esto, se obtiene una

ecuación útil para la representación matemática de esta situación:

𝑣 =∆𝑥

∆𝑡

Al recordar que ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖, se ve que 𝑣 = [𝑥𝑓 − 𝑥𝑖]/∆𝑡, o bien,

𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣∆𝑡

Esta ecuación dice que la posición de la partícula se conoce por la suma de su posición original𝑥𝑖 en el tiempo 𝑡 = 0 más el desplazamiento 𝑣∆𝑡 que ocurre durante el intervalode tiempo ∆𝑡. En la práctica, por lo general se elige el tiempo al principio del intervalo como 𝑡𝑖 = 0 y el tiempo al final del intervalo como 𝑡𝑓 = 𝑡, de modo que la ecuación seconvierte

en

𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑡

27 27

Estas ecuaciones son las ecuaciones básicas que se utilizan en el modelo de una partícula bajo velocidad constante. Se aplica a partículas u objetos que se representan como partículas. La figura 12 es una exposición gráfica de la partícula bajo velocidad constante.

Fig. 12. Gráfica posición tiempo para una partícula bajo velocidad constante. El valor de la velocidad constante es la pendiente de la línea. En esta gráfica posición-tiempo, la pendiente de la línea que representa el movimiento es constante e igual a la magnitud de la velocidad. La ultima ecuación, que es la ecuación de una línea recta, es la representación matemática del modelo de partícula con velocidad constante. La pendiente de la línea recta es 𝑣 y la ordenada al origen y es 𝑥𝑖 en ambas representaciones.

2.4 MRUV: Movimiento rectilíneo uniformemente variado Sabemos que si un cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo en una trayectoria rectilínea se dice que realiza un Movimiento Rectilíneo Uniforme. En un MRU el vector velocidad es constante y su aceleración es cero. Si, en cambio, el movimiento de un cuerpo es rectilíneo y además su aceleración es constante (no varía), el movimiento se denomina: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado. En un MRUV, el vector aceleración es constante, distinto de cero. En tal caso, la aceleración promedio en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea en cualquier instante dentro del intervalo, y la velocidad cambia con la misma proporción a lo largo del movimiento. Si 𝑎promedio = 𝑎, 𝑡𝑖 = 0 y 𝑡𝑓 = 𝑡, cualquier instante posterior, se encuentra que

𝑎 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡 − 0

o

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡

Esta poderosa expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier instante 𝑡, si se conoce la velocidad inicial 𝑣𝑖 del objeto y su aceleración 𝑎 (constante). En la figura 13 se muestra una gráfica velocidad-tiempo para este movimiento con aceleración constante.

28

Fig. 13. Partícula con aceleración constante. a) Grafica posición versus tiempo. b) Grafica velocidad versus tiempo. c) Grafica aceleración versus tiempo. La gráfica es una línea recta, cuya pendiente es la aceleración 𝑎; la pendiente (constante) es consistente con 𝑎 = 𝑑𝑣/𝑑𝑡 constante. Note que la pendiente es positiva, lo que indica una aceleración positiva. Si la aceleración fuese negativa, la pendiente de la línea en la figura 12 b) sería negativa. Cuando la aceleración es constante, la gráfica de aceleración en función del tiempo (figura 12 c)) es una línea recta que tiene una pendiente cero. Puesto que la velocidad con aceleración constante varía linealmente en el tiempo, se expresa la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial 𝑣𝑖 y la velocidad final 𝑣𝑓:

𝑣promedio =𝑣𝑖 + 𝑣𝑓

2

Note que esta expresión para la velocidad promedio sólo se aplica en situaciones en que la aceleración es constante. Para obtener la posición de un objeto como función del tiempo, hay que recordar que ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 y que ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 =

𝑡 − 0 = 𝑡, entonces

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣promedio𝑡 =1

2[𝑣𝑖 + 𝑣𝑓]𝑡

o

𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 +1

2[𝑣𝑖 + 𝑣𝑓]𝑡

Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el instante 𝑡 en términos de las velocidades inicial y final. Otra expresión útil para la posición de una partícula con aceleración constante es

𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 +1

2[𝑣𝑖 + ⌈𝑣𝑖 + 𝑎𝑡⌉] 𝑡 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 +

1

2 𝑎𝑡2 .

Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el instante 𝑡 en términos de la velocidad inicial y la aceleración constante. La gráfica posición-tiempo para movimiento con aceleración constante (positiva) que se muestra en la figura 12 a) se obtiene de esta ecuación. Perciba que la curva es una parábola. La pendiente de la línea tangente a esta curva en 𝑡 = 0 es igual a la velocidad inicial 𝑣𝑖, y la pendiente de la línea tangente en cualquier instante posterior 𝑡es igual a la velocidad 𝑣 en dicho instante. Por último, es posible obtener una expresión para la velocidad final que no contenga al tiempo como variable:

29 29

𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 +1

2[𝑣𝑖 + 𝑣𝑓] [

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑎] = 𝑥𝑖 +

𝑣𝑓2 − 𝑣𝑖

2

2𝑎

o

𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖

2 + 2𝑎[𝑥𝑓 − 𝑥𝑖]

Esta ecuación proporciona la velocidad final en términos de la velocidad inicial, la aceleración constante y la posición de la partícula. Para movimiento con aceleración cero,

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 = 𝑣, 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑡.

Esto es, cuando la aceleración de una partícula es cero, su velocidad es constante y su posición cambia linealmente con el tiempo.

30

3.1 Interacciones fundamentales

Actualmente, se considera que todas las fuerzas son expresiones de tan sólo cuatro clases de fuerzas o interacciones fundamentales entre las partículas. Dos de ellas las conocemos por la experiencia cotidiana; las otras dos implican interacciones entre partículas subatómicas que no podemos observar directamente con nuestros sentidos. Las interacciones gravitacionales incluyen la fuerza familiar del peso, que se debe a la acción de la atracción gravitacional terrestre sobre un cuerpo. La mutua atracción gravitacional entre las diferentes partes de la Tierra mantienen a nuestro planeta unido. Newton reconoció que la atracción gravitacional del Sol mantiene a la Tierra en su órbita casi circular en torno al Sol. La otra clase cotidiana de fuerzas, las interacciones electromagnéticas, incluye las fuerzas eléctricas y magnéticas. Si nos frotamos un peine por el cabello, al final el peine tendrá una carga eléctrica; es posible usar la fuerza eléctrica para atraer trocitos de papel. Todos los átomos contienen carga eléctrica positiva y negativa, así que átomos y moléculas pueden ejercer fuerzas eléctricas unos sobre otros. Las fuerzas de contacto, incluidas la normal, la de fricción y la de resistencia de fluidos, son la combinación de todas estas fuerzas ejercidas sobre los átomos de un cuerpo por los átomos de su entorno. Las fuerzas magnéticas, como las que se dan entre imanes o entre un imán y un trozo de hierro, son realmente el resultado de cargas eléctricas en movimiento. Por ejemplo, un electroimán causa interacciones magnéticas porque las cargas eléctricas se mueven por sus alambres. En el nivel atómico o molecular, las fuerzas gravitacionales no son importantes porque las fuerzas eléctricas son muchísimo más intensas: la repulsión eléctrica entre dos protones a cierta distancia es 1035 veces más fuerte que su atracción gravitacional. Sin embargo, en cuerpos de tamaño astronómico las cargas positivas y negativas suelen estar presentes en cantidades casi idénticas, y las interacción es eléctricas resultantes casi se anulan. Por ello, las interacciones gravitacionales son la influencia dominante en el movimiento de los planetas y en la estructura interna de las estrellas. Las otras dos clases de interacciones son menos conocidas. La interacción fuerte mantiene unido el núcleo de un átomo. Los núcleos contienen neutrones (eléctricamente neutros) y protones (con carga positiva). La fuerza eléctrica entre protones hace que se repelan mutuamente; la enorme fuerza de atracción entre las partículas nucleares contrarresta esta repulsión y mantiene el núcleo estable. En este contexto, la interacción fuerte también se denomina fuerza nuclear fuerte; tiene un alcance mucho menor que las interacciones eléctricas, pero es mucho más fuerte dentro de ese alcance. La interacción fuerte juega un papel fundamental en las reacciones termonucleares que ocurren en el núcleo del Sol, y que generan el calor y su luz. Por último, tenemos la interacción débil cuyo alcance es tan pequeño que es relevante sólo a una escala de núcleo o menor. La interacción débil causa una forma común de radioactividad, llamada desintegración beta, en la que un neutrón de un núcleo radioactivo se transforma en protón al tiempo que expulsa un electrón y una partícula casi sin masa llamada antineutrino electrónico. La interacción débil entre un antineutrino y la materia ordinaria es tan tenue que el antineutrino fácilmente podría atravesar una pared de plomo ¡de un millón de kilómetros de espesor! Incluso cuando una estrella

Dinámica

31 31

gigante sufrió una explosión cataclísmica llamada supernova, la mayoría de la energía fue liberada mediante la interacción débil. En la década de 1960 los físicos elaboraron una teoría que describe las interacciones electromagnética y débil, como aspectos de una sola interacción electro débil. Esta teoría ha superado todas las pruebas experimentales a las que se ha sometido, lo cual motivó a los físicos a realizar intentos similares que describan las interacciones fuerte, electromagnética y débil dentro de una sola gran teoría unificada (GUT), y se han dado ciertos pasos hacia una posible unificación de todas las interacciones en una teoría de todo (TOE). Tales teorías aún son especulativas, y hay muchas preguntas sin respuesta en este campo de investigación tan activo.

3.2 Efectos de las fuerzas: Movimiento y deformación Una fuerza es una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su ambiente y es capaz de modificar el estado de reposo o movimiento del cuerpo o de deformarlo. La fuerza es una cantidad vectorial. Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas éste cambia de forma o de tamaño. La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los cuerpos y las correspondientes deformaciones. Cuando una fuerza implica contacto directo entre dos cuerpos, como un empujón o un tirón que usted ejerce con la mano sobre un objeto, la llamamos fuerza de contacto. Los tres tipos comunes de fuerzas de contacto son:

- La fuerza normal, que es ejercida sobre un objeto por cualquier superficie con la que esté en contacto. El adjetivo normal significa que la fuerza siempre actúa perpendicular a la superficie de contacto, sin importar el ángulo de esa superficie.

- La fuerza de fricción ejercida sobre un objeto por una superficie actúa paralela a la superficie, en la dirección opuesta al deslizamiento.

- La fuerza de tirón que es ejercida por una cuerda o por un cordel estirado sobre un objeto al cual se ata se llama fuerza de tensión.

Además de las fuerzas de contacto, también hay fuerzas de largo alcance que actúan aunque los cuerpos estén separados. La fuerza entre dos imanes es un ejemplo de este tipo de fuerza, así como la gravedad; la Tierra atrae hacia sí cualquier objeto que se deje caer, incluso cuando no haya contacto directo entre el objeto y la Tierra. La fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre un cuerpo se llama peso del cuerpo. Para describir una fuerza vectorial debemos indicar su dirección de acción y su magnitud. La unidad SI de magnitud de fuerza es el newton, que se abrevia N. Las fuerzas pueden ser interiores o exteriores.

- Las fuerzas interiores son aquellas que se ejercen entre partes de un mismo cuerpo o sistema. Ejemplo, la fuerza que hace que un muelle recupere su forma después de estirarlo.

- Las fuerzas exteriores son aquellas que se ejercen entre cuerpos o sistemas diferentes. Ejemplo, la fuerza que una persona hace al empujar un libro sobre una mesa.

- Las fuerzas que se producen entre los cuerpos pueden actuar a distancia o por contacto entre ellos. Ejemplos:

Fuerzas a distancia son la atracción gravitatoria de los cuerpos en el Universo, o la atracción o repulsión entre cargas eléctricas o entre imanes

Fuerzas por contacto es la fuerza que hace un caballo tirando de un carro, una cuerda sujetando un objeto, la fuerza con que el suelo responde a un cuerpo apoyado en él.

3.3 Leyes de Newton

32

En esta sección usaremos los conceptos de fuerza y masa para analizar los principios de la dinámica, los cuales están establecidos en sólo tres leyes que fueron claramente enunciadas por Sir Isaac Newton (1642-1727), quien las publicó, por primera vez, en 1687 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (“Principios matemáticos de la filosofía natural”). Tales enunciados se conocen como leyes del movimiento de Newton. La primera ley dice que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, su movimiento no cambia. La segunda ley relaciona la fuerza con la aceleración cuando la fuerza neta no es cero. La tercera ley es una relación entre las fuerzas que ejercen dos cuerpos que interactúan entre sí. Primera Ley Es posible observar un objeto en movimiento desde muchos marcos de referencia. La primera ley del movimiento de Newton, a veces llamada ley de la inercia, define un conjunto especial de marcos de referencia llamados marcos inerciales. Esta ley se puede establecer del modo siguiente: Si un objeto no interactúa con otros objetos, es posible hallar un marco de referencia en el que el objeto no tiene aceleración. Tal marco de referencia se llama marco de referencia inercial. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante en relación con un marco inercial es, en sí mismo, un marco inercial. Un marco de referencia que se mueve con velocidad constante en relación con las estrellas distantes es la mejor aproximación de un marco inercial y, para propósitos de estudio, se considera a la Tierra como tal marco. En realidad la Tierra no es un marco inercial debido a su movimiento orbital en torno al Sol y su movimiento rotacional alrededor de su propio eje, y ambos involucran aceleraciones centrípetas. Sin embargo, estas aceleraciones son pequeñas comparadas con g, y con frecuencia se pueden despreciar. Por esta razón, la Tierra representa un marco inercial, junto con cualquier otro marco unido a él. Dada la discusión de las observaciones realizadas acerca de los marcos de referencia inerciales, se puede plantear un enunciado más práctico de la primera ley del movimiento de Newton: En ausencia de fuerzas externas y visto desde un marco de referencia inercial, un objeto en reposo se mantiene en reposo y un objeto en movimiento continúa en movimiento a velocidad constante. En otras palabras, cuando ninguna fuerza actúa sobre un objeto, la aceleración del objeto es cero. Una conclusión a partir de la primera ley, es que cualquier objeto aislado (uno que no interactúa con su entorno) está en reposo o en movimiento con velocidad constante. La tendencia de un objeto a resistir cualquier intento por cambiar su velocidad se llama inercia. Dado el enunciado anterior de la primera ley, se puede concluir que un objeto que acelera debe experimentar una fuerza. A su vez, de la primera ley, se puede definir fuerza como aquello que causa un cambio en el movimiento de un objeto. Un marco de referencia en el que es válida la primera ley de Newton es un marco de referencia inercial. Como usamos la primera ley de Newton para definir lo que es un marco de referencia inercial, se le conoce como ley de inercia. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante (en línea recta con rapidez constante), decimos que el cuerpo está en equilibrio. Para que esté en equilibrio, sobre un cuerpo no deben actuar fuerzas, o deben actuar varias fuerzas cuya resultante —es decir, la fuerza neta— sea cero:

∑𝐹 = 0

Para que esto se cumpla, cada componente de la fuerza neta debe ser cero, así que

33 33

∑𝐹𝑥 = 0, ∑𝐹𝑦 = 0, ∑𝐹𝑧 = 0

Estamos suponiendo que el cuerpo puede representarse adecuadamente como una partícula puntual. Fuerza neta cero significa velocidad constante. Velocidad constante significa fuerza neta igual a cero. Segunda Ley La masa es la propiedad de un objeto que especifica cuánta resistencia muestra el objeto a cambiar su velocidad; la unidad de masa es el kilogramo en el SI. Los experimentos muestran que mientras más grande sea la masa de un objeto, menos acelera el objeto bajo la acción de una fuerza aplicada conocida. De acuerdo con un cúmulo de observaciones similares, se concluye que la magnitud de la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa cuando sobre él actúa una fuerza conocida. La masa es una propiedad inherente de un objeto y es independiente de los alrededores del objeto y del método que se aplica para medirla. Además, la masa es una cantidad escalar y, en estos términos, obedece las reglas de la aritmética ordinaria. La masa no se debe confundir con el peso. La masa y el peso son dos cantidades diferentes. El peso de un objeto es igual a la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida sobre el objeto y varía con la posición. La primera ley de Newton explica lo que sucede a un objeto cuando sobre él no actúan fuerzas: permanece en reposo o se mueve en línea recta con rapidez constante. La segunda ley de Newton responde la pregunta de qué acontece a un objeto que tiene una o más fuerzas que actúan sobre él. Por observaciones experimentales se concluye que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza

que actúa sobre él: 𝑎 ∝ 𝐹 . La magnitud de la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa: 𝑎 ∝ 1/𝑚. Estas observaciones experimentales se resumen en la segunda ley de Newton: Visto desde un marco de referencia inercial, la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa:

𝑎 ∝∑𝐹

𝑚

Si se elige una constante de proporcionalidad 1, se relaciona masa, aceleración y fuerza a través del siguiente enunciado matemático de la segunda ley de Newton:

∑𝐹 = 𝑚𝑎

Tanto en el enunciado textual como en el matemático de la segunda ley de Newton se indicó que la aceleración se debe

a la fuerza neta ∑𝐹 que actúa sobre un objeto. La fuerza neta sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. (A veces a la fuerza neta se le referirá como fuerza total, fuerza resultante o fuerza desequilibrada.) Al resolver un problema con la segunda ley de Newton, es imperativo determinar la fuerza neta correcta sobre un objeto. Muchas fuerzas pueden actuar sobre un objeto, pero sólo hay una aceleración. La ecuación anterior es una expresión vectorial y por tanto es equivalente a tres ecuaciones componentes:

34

∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 , ∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 , ∑𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧.

La unidad del SI de fuerza es el newton (N). Una fuerza de 1 N es la fuerza que, cuando actúa sobre un objeto de 1 kg de masa, produce una aceleración de 1 m/s2. A partir de esta definición y de la segunda ley de Newton, es claro que el newton se puede expresar en términos de las siguientes unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo:

1 N = 1 kg ⋅ m/s2 Tercera Ley Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo resultan de otros cuerpos que conforman su entorno. Si examinamos a las fuerzas que actúan sobre un segundo cuerpo, uno anteriormente considerado como parte del entorno, entonces el primer cuerpo es parte del entorno del segundo cuerpo y es, en parte, responsable de las fuerzas que actúan sobre el segundo cuerpo. Toda fuerza es por lo tanto parte de la interacción mutua entre dos cuerpos. Hallamos experimentalmente que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo siempre ejerce una fuerza sobre el primero. Más aún, hallamos que estas fuerzas son siempre iguales en magnitud pero opuestas en dirección. Una fuerza aislada es por lo tanto, algo imposible. Arbitrariamente, llamamos a una de las fuerzas de la interacción mutua entre dos cuerpos la fuerza de “acción”, y a la otra la denominamos fuerza de "reacción". La tercera ley de Newton puede entonces ser establecida en la forma tradicional:

A cada acción corresponde una reacción igual y opuesta. Una versión más moderna de la tercera ley pertenece a la fuerza mutua ejercida por dos cuerpos uno sobre el otro:

Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas mutuas entre sí, las dos fuerzas son siempre de igual magnitud y de dirección opuesta.

Formalmente hagamos que el cuerpo A ejerza una fuerza 𝐹 BA sobre el cuerpo B; el experimento demuestra entonces que el cuerpo B ejerce una fuerza 𝐹AB, sobre el cuerpo A. (Nótese el orden de los subíndices; la fuerza se ejerce sobre el cuerpo representado por el primer subíndice por el cuerpo representado por el segundo.) En términos de una ecuación vectorial,

𝐹 AB = −𝐹 BA Es importante recordar que las fuerzas de acción y reacción siempre actúan sobre cuerpos diferentes, como nos lo indican los primeros subíndices diferentes. Si actuaran sobre el mismo cuerpo, no existiría fuerza neta sobre ese cuerpo ni movimiento acelerado.

35 35

4.1 Tipos de energía

A partir de la formalización derivada de la Mecánica Newtoniana, los científicos lograron explicar gran cantidad de fenómenos naturales mediante fuerzas y movimientos. Sin embargo, a principios del siglo XIX, paralelamente a la Revolución Industrial, se genera una nueva manera de interpretar los fenómenos naturales a partir del concepto de "Energía". Actualmente, el concepto de Energía es el concepto fundamental de las Ciencias Naturales. Todos los fenómenos y procesos naturales conocidos podemos explicarlos mediante su aplicación. Sin embargo, como veremos, es un concepto muy difícil de definir. La palabra Energía la asociamos, en general, con vitalidad, fuerza, temperamento, poder, etc. Los diferentes significados que adopta el término Energía dependen en gran medida del ámbito en que se los utilice. En el ámbito científico, el concepto de Energía tiene un significado específico, que a continuación comenzaremos a analizar. Como primera aproximación al lenguaje de las Ciencias Naturales, podemos señalar que la Energía es aquello que hace funcionar vehículos y maquinarias. Es Energía también lo que permite calentar o enfriar los diferentes objetos y lo que ilumina nuestros hogares. La actividad física de los seres vivos también requiere Energía. Como puede notar, la Energía se manifiesta de diversas maneras. Varias son las fuentes de Energía para el hombre, pero el Sol es indudablemente la más importante. Gracias a la luz y al calor que recibimos de él, las plantas y los animales pueden crecer y la vida puede desarrollarse en plenitud. La lluvia y el viento se producen también gracias a la Energía proveniente del Sol. En los tiempos de Galileo, e incluso mucho antes, el concepto de Energía se asociaba con la idea de cambio. Precisamente una de las propiedades de la Energía es la de transformarse de una forma a otras, produciendo cambios en la naturaleza. Algunos cambios son visibles y otros no. Detrás de todo cambio en la naturaleza está presente la Energía. En la atmósfera hay continuos cambios, también hay cambios en el mar, en la altura del vuelo de las aves, en el interior de tu cuerpo, etc. En todos estos sistemas hay transformaciones de Energía. Un sistema es una porción del Universo cuyos límites y elementos que lo integran se eligen arbitrariamente para su estudio. En todo sistema los elementos que lo constituyen están relacionados entre sí.

Ley de conservación de la

energía

36

Los sistemas pueden clasificarse de acuerdo a las interacciones que establecen con el medio exterior:

Abierto: es aquel en el que se intercambia materia y energía con otro sistema externo (el medio exterior). Es el caso del cuerpo humano

Cerrado: es aquel en el que se intercambia energía pero no materia con el medio exterior. Por ejemplo, un submarino.

Aislado: es el sistema que no intercambia materia ni energía con el medio exterior. Por ejemplo, el termo cerrado para el mate.

En realidad, ningún sistema es perfectamente cerrado o perfectamente aislado. Siempre hay pequeñas filtraciones de Energía y/o materia. Pero en tiempos relativamente cortos, pueden considerarse ideales. Desde este marco, diremos que la Energía es aquello que necesitamos entregarle a un sistema para producirle algún tipo de transformación. Si el sistema está formado por un objeto podemos, por ejemplo, ponerlo en movimiento, levantarlo, estirarlo o comprimirlo, aumentarle su temperatura, etc. Por el momento, no hemos dado una definición específica de Energía, aunque hemos avanzado en su caracterización a partir de los efectos que produce. A lo largo de la Unidad iremos profundizando en el significado de este concepto que, como veremos, es muy difícil de definir. Si un sistema dispone de Energía, entonces con esa Energía (o parte de ella) se tiene la capacidad (la posibilidad) de producir cambios. Específicamente, la Energía puede producir un trabajo mecánico que se manifiesta al empujar un carrito, comprimir un resorte, accionar una palanca o un botón de una maquinaria, masticarlos alimentos, etc. Por ello es habitual encontrar la siguiente definición, dada por Maxwell:

La Energía es la capacidad de un sistema de realizar trabajo mecánico Esta es una definición muy práctica y útil. Sin embargo, como veremos más adelante, tampoco es del todo correcta. En Física no hay verdades definitivas. Incluso el significado de los conceptos se construye continuamente. La Energía puede manifestarse básicamente en tres formas: Energía cinética (movimiento), Energía potencial (almacenada en un sistema) y Energía radiante. Las dos últimas, a su vez, incluyen una gran diversidad de manifestaciones. A continuación, le contaremos brevemente cómo reconocer algunas de ellas. No debe tomar las siguientes caracterizaciones como definiciones muy precisas, aunque son útiles para analizar las transformaciones que ocurren en la naturaleza:

Energía cinética: es la Energía asociada al movimiento. Todo objeto o sistema físico en movimiento posee una cierta cantidad de Energía cinética. Es una cantidad relativa porque el valor de la velocidad es relativo.

Energía potencial gravitatoria: es la Energía que almacenan los objetos por encontrarse a una determinada altura con respecto a un cero tomado arbitrariamente. Toda Energía potencial también es relativa porque la posición es relativa.

Energía potencial elástica: es la que se almacena cuando comprimimos, doblamos o estiramos un resorte, una bandita elástica o cualquier otro material. Estrictamente, todos los materiales son en alguna medida elásticos. Aun cuando para nosotros sea imperceptible.

Energía radiante: es la Energía que transportan las ondas electromagnéticas como la luz, las infrarrojas, las ultravioletas, las de radio y los rayos X, entre otras. Cada tipo de onda transporta distinta cantidad de Energía. Entre todas conforman el denominado "espectro electromagnético". Los objetos concretos no poseen Energía radiante. La absorben o liberan y se transporta por ondas.

4.2 Trabajo y potencia

37 37

La energía desde un punto de vista físico representa la capacidad de realizar un trabajo. Un cuerpo o un sistema de cuerpos tienen energía cuando es capaz de realizar trabajo y la energía que posee se mide por el trabajo que pueda desarrollar. El trabajo mecánico 𝑊 invertido sobre un sistema por un agente que ejerce una fuerza constante sobre el sistema es el producto de la magnitud 𝐹 de la fuerza, la magnitud ∆𝑟 del desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza y cos𝜃, donde 𝜃 es el ángulo entre los vectores fuerza y desplazamiento:

𝑊 = 𝐹∆𝑟cos𝜃

Note que el trabajo es un escalar, aun cuando se defina en términos de dos vectores, una fuerza 𝐹 y un desplazamiento ∆𝑟 .

Fig. 14. Trabajo mecánico realizado por una fuerza sobre un cuerpo Advierta que el trabajo invertido por una fuerza sobre un objeto en movimiento es cero cuando la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento de su punto de aplicación. Esto es, si 𝜃 = 90°, 𝑊 = 0 porque cos(90°) = 0.

El signo del trabajo también depende de la dirección de𝐹 en relación con ∆𝑟 . El trabajo invertido por la fuerza aplicada sobre un sistema es positivo cuando la proyección está en la misma dirección que el desplazamiento. Por ejemplo, cuando un objeto se levanta, el trabajo invertido por la fuerza aplicada sobre el objeto es positivo, porque la dirección de dicha fuerza es hacia arriba, en la misma dirección que el desplazamiento de su punto de aplicación. Cuando la proyección está en la dirección opuesta al desplazamiento, 𝑊 es negativo. Por ejemplo, conforme se levanta un objeto, el trabajo invertido por la fuerza gravitacional sobre el objeto es negativo. El factor cos𝜃 enla definición de automáticamente toma en cuenta el signo. Si una fuerza aplicada está en la misma dirección que el desplazamiento, por lo tanto 𝜃 = 0 y cos(0°) = 1. En este caso, se produce

𝑊 = 𝐹∆𝑟. Las unidades de trabajo son las de fuerza multiplicada por longitud. En consecuencia, la unidad del SI de trabajo es el newtonmetro (N ∙ m = kg ∙ m2/s2). Esta combinación de unidades se usa con tanta frecuencia que se le ha dado un nombre propio, joule (J). Una consideración importante para un enfoque de sistema a los problemas es que el trabajo es una transferencia de energía. Si el trabajo realizado sobre un sistema es positivo, la energía se transfiere al sistema; si el trabajo es negativo, la energía se transfiere desde el sistema. Por lo tanto, si un sistema interactúa con su entorno, esta interacción se describe

38

como una transferencia de energía a través de las fronteras del sistema. El resultado es un cambio en la energía almacenada en el sistema. Ahora considere una partícula que se desplaza a lo largo del eje 𝑥 bajo la acción de una fuerza que varía con la posición. La partícula se desplaza desde 𝑥 = 𝑥𝑖 a 𝑥 = 𝑥𝑓. En tal situación, no se aplica 𝑊 = 𝐹∆𝑟cos𝜃 para calcular el trabajo

realizado por la fuerza, porque esta ecuación sólo se aplica cuando 𝐹 es constante en magnitud y dirección. Sin embargo, si se piensa que la partícula se somete a un desplazamiento muy pequeño ∆𝑥, como se muestra en la figura 14 a), la componente 𝑥 de la fuerza es aproximadamente constante en este intervalo pequeño; para este desplazamiento pequeño, se puede aproximar el trabajo invertido en la partícula mediante la fuerza como

𝑊 ≈ 𝐹𝑥∆𝑥 que es el área del rectángulo sombreado en la figura 15 a).

Fig. 15. a) Trabajo realizado por una fuerza variable con desplazamiento pequeño. b) El trabajo es igual al área bajo la curva del grafico 𝐹𝑥 versus 𝑥. Si se considera𝐹𝑥 en funciónde la curva 𝑥 dividida en un gran número de tales intervalos, el trabajo total consumido porel desplazamiento desde 𝑥𝑖 a 𝑥𝑓 es aproximadamente igual a la suma de un gran número de tales términos:

𝑊 ≈ ∑𝐹𝑥 ∆𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

Si se permite que el tamaño de los desplazamientos pequeños se aproxime a cero, el número de términos en la suma aumenta sin límite, pero el valor de la suma se aproxima a un valor definido que es igual al área limitada por la curva 𝐹𝑥 y el eje 𝑥:

39 39

lim∆𝑥→0

∑𝐹𝑥 ∆𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

= ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

En consecuencia, el trabajo realizado por 𝐹𝑥 en la partícula conforme se traslada de 𝑥𝑖 a 𝑥𝑓se puede expresar como

𝑊 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

Esta ecuación se reduce a la ecuación 𝑊 = 𝐹∆𝑟cos𝜃cuando la componente 𝐹𝑥 = 𝐹cos𝜃 es constante. Si más de una fuerza actúa sobre un sistema y el sistema se puede modelar como una partícula, el trabajo total realizado en el sistema es justo el trabajo realizado por la fuerza neta. Si la fuerza neta en la dirección 𝑥 se expresa como 𝐹𝑥 , el trabajo total, o trabajo neto, realizado cuando la partícula se traslada de 𝑥𝑖 a 𝑥𝑓 es

𝑊neto = ∑𝑊 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

Para el caso general de una fuerza neta 𝐹 cuya magnitud y dirección puede variar, se aplica el producto escalar,

𝑊neto = ∑𝑊 = ∫𝐹 ∙ 𝑑𝑟

donde la integral se calcula sobre la trayectoria que toma la partícula a través del espacio. Si no es posible modelar el sistema como una partícula (por ejemplo, si el sistema consiste de múltiples partículas que se mueven unas respecto de otras), no se puede usar esta ecuación, porque fuerzas diferentes sobre el sistema pueden moverse a través de diferentes desplazamientos. En este caso, se debe evaluar el trabajo invertido por cada fuerza por separado y después sumar algebraicamente los trabajos para encontrar el trabajo neto invertido en el sistema. Potencia, 𝑃, es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el trabajo y la energía, la potencia es una cantidad escalar. Si se realiza un trabajo ∆𝑊 en un intervalo de tiempo ∆𝑡, el trabajo medio efectuado por unidad de tiempo o potencia media 𝑃media se define como

𝑃media =∆𝑊

∆𝑡.

La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante, así que se puede definir la potencia instantánea como la potencia media cuando ∆𝑡 se aproxima a cero:

𝑃 = lim∆𝑡→0

∆𝑊

∆𝑡=

𝑑𝑊

𝑑𝑡.

En el SI la unidad de potencia es el watt (W), llamada así por el inventor inglés James Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: 1 W = 1 J/ s. También son de uso común el kilowatt (1 kW = 1 × 103 W) y el mega watt (1 MW = 1 × 106 W).

40

En mecánica, también podemos expresar la potencia en términos de fuerza y velocidad. Suponga que una fuerza 𝐹 actúa sobre un cuerpo que tiene un desplazamiento ∆𝑠 . Si 𝐹∥ es la componente tangente a la trayectoria (paralela a ∆𝑠 ), el trabajo realizado por la fuerza es ∆𝑊 = 𝐹∥∆𝑠, y la potencia media es

𝑃media =𝐹∥∆𝑠

∆𝑡= 𝐹∥

∆𝑠

∆𝑡= 𝐹∥𝑣media

La potencia instantánea 𝑃 es el límite de esta expresión cuando ∆𝑡 → 0

𝑃 = 𝐹∥𝑣 donde𝑣 es la magnitud de la velocidad instantánea. También podemos expresar esta ecuación en términos del producto escalar:

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣

4.3 Energía mecánica y conservación de la energía El trabajo es un mecanismo de transferencia de energía en un sistema. Un resultado posible de hacer trabajo sobre un sistema es que el sistema cambia su rapidez. Considere un sistema que consiste de un solo objeto. La figura 16 muestra un bloque de masa 𝑚 que se mueve a través

de un desplazamiento dirigido hacia la derecha bajo la acción de una fuerza neta 𝐹 , también dirigida hacia la derecha.

Fig. 16. Desplazamiento de un bloque de masa 𝑚 por una fuerza 𝐹 . Se sabe de la segunda ley de Newton que el bloque se mueve con una aceleración 𝑎 . Si el bloque (y por tanto la fuerza)

se mueven a través de un desplazamiento ∆𝑟 = ∆𝑥 �̂� = [𝑥𝑓 − 𝑥𝑖]�̂�, el trabajo neto realizado sobre el bloque por la fuerza

neta 𝐹 es

𝑊neto = ∫ 𝐹 𝑑𝑥𝑥𝑓

𝑥𝑖

41 41

Al aplicar la segunda ley de Newton, se sustituye para la magnitud de la fuerza neta 𝐹 = 𝑚𝑎 y después se realizan las siguientes manipulaciones de la regla de la cadena en el integrando:

𝑊neto = ∫ 𝑚𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑑𝑥 = ∫ 𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑑𝑥 = ∫ 𝑚𝑣 𝑑𝑣 =

𝑣𝑓

𝑣𝑖

𝑥𝑓

𝑥𝑖

𝑥𝑓

𝑥𝑖

𝑥𝑓

𝑥𝑖

1

2 𝑚𝑣𝑓

2 −1

2 𝑚𝑣𝑖

2 .

Esta ecuación se generó por la situación específica de movimiento unidimensional, pero es un resultado general. Dice que el trabajo realizado por la fuerza neta en una partícula de masa 𝑚 es igual a la diferencia de los valores inicial y final de la cantidad 1

2𝑚𝑣2 . Esta cantidad representa la energía asociada con el movimiento de la partícula. Esta cantidad es tan

importante que se le ha dado un nombre especial, energía cinética: c

𝐾 =1

2 𝑚𝑣2 .

La energía cinética es una cantidad escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo.

Esta ecuación afirma que el trabajo realizado en una partícula por una fuerza neta 𝐹 que actúa sobre él es igual al cambio en energía cinética de la partícula. Con frecuenciaes conveniente escribir la ecuación en la forma

𝑊neto = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 .

Otra forma de escribirla es 𝐾𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑊neto, que dice que la energía cinética final de un objeto es igual a su energía

cinética inicial más el cambio debido al trabajo neto realizado sobre él. Esta ecuación se generó al suponer que se realiza trabajo en una partícula. También se podría hacer trabajo sobre un sistema deformable, en el que las partes del sistema se muevan unas respecto de otras. En este caso, también se encuentra que esta ecuación es válida en tanto el trabajo neto se encuentre al sumar los trabajos invertidos por cada fuerza y sumarlos. Esta ecuación es un resultado importante conocido como teorema trabajo–energía cinética: Cuando se realiza trabajo en un sistema, y el único cambio en el sistema es en su rapidez, el trabajo neto realizado en el sistema es igual al cambio en energía cinética del sistema. El teorema trabajo–energía cinética indica que la rapidez de un sistema aumenta si el trabajo neto invertido sobre él es positivo porque la energía cinética final es mayor que la energía cinética inicial. La rapidez disminuye si el trabajo neto es negativo porque la energía cinética final es menor que la energía cinética inicial. Considere ahora sistemas de dos o más partículas u objetos que interactúan a través de una fuerza que es interna al sistema. La energía cinética de tal sistema es la suma algebraica de las energías cinéticas de todos los integrantes del sistema. Sin embargo, puede haber sistemas en los que un objeto sea tan masivo que se pueda modelar como fijo y su energía cinética sea despreciable. Por ejemplo, si se considera un sistema bola–Tierra mientras la bola cae a la Tierra, la energía cinética del sistema se puede considerar sólo como la energía cinética de la bola. La Tierra se mueve tan lentamente en este proceso que se puede ignorar su energía cinética. Piense en un sistema que consiste de un libro y la Tierra, que interactúa a través de la fuerza gravitacional. Se hace algo de trabajo sobre el sistema al levantar el libro lentamente desde el reposo a través de un desplazamiento

vertical ∆𝑟 = [𝑦𝑓 − 𝑦𝑖]𝑗.̂ De acuerdo con la discusión del trabajo como una transferencia de energía, este trabajo

invertido en el sistema debe aparecer como un aumento en energía del sistema.

42

El libro está en reposo antes de realizar el trabajo y está en reposo después de realizar el trabajo. Por lo tanto, no hay cambio en la energía cinética del sistema. Puesto que el cambio de energía del sistema no es en la forma de energía cinética, debe aparecer como alguna otra forma de almacenamiento de energía. Después de levantar el libro, se le podría liberar y dejar que caiga de vuelta a la posición 𝑦𝑖. Note que el libro (y, por lo tanto, el sistema) ahora tiene energía cinética y su fuente está en el trabajo que se hizo al levantar el libro. Mientras el libro estaba en el punto más alto, la energía del sistema tenía el potencial para convertirse en energía cinética, pero no lo hizo hasta que al libro se le permitió caer. En consecuencia, al mecanismo de almacenamiento de energía antes de que el libro se libere se le llama energía potencial. Se encontrará que la energía potencial de un sistema sólo se asocia con tipos específicos de fuerzas que actúan entre integrantes de un sistema. La cantidad de energía potencial en el sistema se determina mediante la configuración del mismo. Mover los integrantes del sistema a diferentes posiciones o girarlos cambia su configuración y por ende su energía potencial. Considere un agente externo que levanta un objeto de masa 𝑚 desde una altura inicial 𝑦𝑖 sobre el suelo a una altura final 𝑦𝑓. Se supone que el levantamiento se hace lentamente, sin aceleración, de modo que la fuerza aplicada del agente se

representa como igual en magnitud a la fuerza gravitacional en el objeto: el objeto se modela como una partícula en equilibrio que se mueve con velocidad constante. El trabajo invertido por el agente externo sobre el sistema (objeto y Tierra) conforme el objeto se somete a este desplazamiento hacia arriba, se conoce por el producto de la fuerza aplicada

hacia arriba 𝐹 y el desplazamiento hacia arriba de esta fuerza, ∆𝑟 = ∆𝑦𝑗̂:

𝑊neto = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 𝑚𝑔𝑗̂ ∙ [𝑦𝑓 − 𝑦𝑖]𝑗̂ = 𝑚𝑔[𝑦𝑓 − 𝑦𝑖],

donde este resultado es el trabajo neto invertido en el sistema porque la fuerza aplicada es la única fuerza sobre el sistema desde el entorno. Advierta la similitud entre esta ecuación y la ecuación del teorema trabajo y energía. En cada ecuación, el trabajo invertido en un sistema es igual a una diferencia entre los valores final e inicial de una cantidad. En la ecuación del trabajo – energía, el trabajo representa una transferencia de energía en el sistema y el incremento en energía del sistema es cinética en forma. En esta ecuación, el trabajo representa una transferencia de energía al sistema y la energía del sistema aparece en una forma diferente, a lo que se llamó energía potencial. En consecuencia, la cantidad 𝑚𝑔𝑦 se puede identificar como la energía potencial gravitacional𝑈𝑔:

𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑦.

Las unidades de la energía potencial gravitacional son joules, las mismas unidades que el trabajo y la energía cinética. La energía potencial, como el trabajo y la energía cinética, es una cantidad escalar. Note que esta ecuación sólo es válida para objetos cerca de la superficie de la Tierra, donde 𝑔 es aproximadamente constante. Al usar la definición de energía potencial gravitacional, ahora se puede rescribir como

𝑊neto = ∆𝑈𝑔

que matemáticamente describe que el trabajo neto invertido en el sistema en esta situación aparece como un cambio en la energía potencial gravitacional del sistema. La energía potencial gravitacional sólo depende de la altura vertical del objeto sobre la superficie de la Tierra. La misma cantidad de trabajo se debe invertir sobre un sistema objeto–Tierra ya sea que el objeto se levante verticalmente desde la Tierra o se empuje desde el mismo punto hacia arriba de un plano inclinado sin fricción para terminar en la misma altura. Se puede demostrar que este enunciado es verdadero en general al calcular el trabajo invertido en un objeto por un agente que mueve el objeto a lo largo de un desplazamiento que tiene componentes tanto vertical como horizontal:

43 43

𝑊neto = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 𝑚𝑔𝑗̂ ∙ [⌈𝑥𝑓 − 𝑥𝑖⌉�̂� + ⌈𝑦𝑓 − 𝑦𝑖⌉𝑗̂] = 𝑚𝑔[𝑦𝑓 − 𝑦𝑖],

donde no hay término que involucre a 𝑥 en el resultado final porque 𝑗̂ ∙ �̂� = 0. Al resolver problemas, debe elegir una configuración de referencia para la cual la energía potencial gravitacional del sistema se haga igual a algún valor de referencia, que normalmente es cero. La elección de configuración de referencia es completamente arbitraria porque la cantidad importante es la diferencia en energía potencial, y esta diferencia es independiente de la elección de la configuración de referencia. Con frecuencia es conveniente elegir como la configuración de referencia para la energía potencial gravitacional la configuración en la que un objeto está en la superficie dela Tierra, pero esta elección no es esencial. Frecuentemente el enunciado del problema sugiere aplicar una configuración conveniente. Ahora que está familiarizado con la energía potencial gravitacional de un sistema, explore un segundo tipo de energía potencial que puede tener un sistema. Considere un sistema que consta de un bloque y un resorte, como se muestra en la figura 17.

Fig. 17. Sistema bloque resorte. La fuerza que el resorte ejerce sobre el bloque se conoce por 𝐹𝑠 = −𝑘𝑥. El trabajo invertido por una fuerza aplicada externa en un sistema que consiste de un bloque conectado al resorte se proporciona por la ecuación:

𝑊 =1

2 𝑘𝑥𝑓

2 −1

2 𝑘𝑥𝑖

2 .

En esta situación, las coordenadas inicial y final 𝑥 del bloque se miden desde su posición de equilibrio, 𝑥 = 0. De nuevo (como en el caso gravitacional) se ve que el trabajo invertidoen el sistema es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una expresión relacionada con la configuración del sistema. La función de energía potencial elástica asociada con el sistema bloque–resorte se define mediante

𝑈𝑠 =1

2𝑘𝑥2

La energía potencial elástica del sistema se puede percibir como la energía almacenada en el resorte deformado (uno que está comprimido o estirado desde su posición de equilibrio). La energía potencial elástica almacenada en un resorte es cero siempre que el resorte no esté deformado (𝑥 = 0). La energía se almacena en el resorte sólo cuando el resorte está estirado o comprimido. Puesto que la energía potencial elástica es proporciona la𝑥2, se ve que 𝑈𝑠 siempre es positiva en un resorte deformado. Considere la figura 17, que muestra un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando se empuja un bloque contra el resorte y el resorte se comprime una distancia 𝑥, figura 17b), la energía potencial elástica almacenada en el resorte es 1

2𝑘𝑥2.

Cuando el bloque se libera desde el reposo, el resorte ejerce una fuerza sobre el bloque y regresa a su longitud original. La energía potencial elástica almacenada se transforma en energía cinética del bloque, figura 17 c).

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Ahora se introduce un tercer tipo de energía que tiene un sistema. Imagine que usted acelera con su mano un libro y lo desliza hacia la derecha sobre la superficie de una mesa pesada y frena debido a la fuerza de fricción. Suponga que la superficie es el sistema. Debido a eso la fuerza de fricción al deslizarse el libro realiza trabajo sobre la superficie. La fuerza sobre la superficie es hacia la derecha y el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza es hacia la derecha. El trabajo invertido en la superficie es positivo, pero la superficie no se mueve después de que el libro se detiene. Sobre la superficie se realizó trabajo positivo, aunque no hay aumento en la energía cinética de la superficie o la energía potencial de sistema alguno. A partir de su experiencia cotidiana con el deslizamiento sobre superficies con fricción, probablemente usted puede adivinar que la superficie se calentará después de que el libro se deslice sobre ella. (¡Frote sus manos vigorosamente para descubrirlo!) El trabajo que se hizo sobre la superficie se fue en calentar la superficie en lugar de aumentar su rapidez o cambiar la configuración de un sistema. A la energía asociada con la temperatura de un sistema se le llama energía interna, que se simboliza 𝐸interna. En este caso, el trabajo invertido en la superficie de hecho representa la energía transferida hacia dentro del sistema, pero aparece en el sistema como energía interna en lugar de energía cinética o potencial. Considere el libro y la superficie juntos como un sistema. Inicialmente, el sistema tiene energía cinética porque el libro es móvil. Después de que el libro llegó al reposo, la energía interna del sistema aumentó: el libro y la superficie están más calientes que antes. Se puede considerar el trabajo invertido por fricción dentro del sistema (esto es, entre el libro y la superficie) como un mecanismo de transformación para energía. Este trabajo transforma la energía cinética del sistema en energía interna. De igual modo, cuando un libro cae recto hacia abajo sin resistencia del aire, el trabajo invertido por la fuerza gravitacional dentro del sistema libro–Tierra transforma la energía potencial gravitacional del sistema a energía cinética. Ahora considere con más detalle un objeto que se mueve hacia abajo, cerca de la superficie de la Tierra. El trabajo invertido por la fuerza gravitacional en el objeto no depende de si cae vertical o se desliza hacia abajo de un plano muy inclinado. Todo lo que importa es el cambio en la elevación del objeto. Sin embargo, la transformación de energía a energía interna debida a fricción en dicho plano depende de la distancia que el objeto se desliza. En otras palabras, la trayectoria no hace diferencia cuando se considera el trabajo invertido por la fuerza gravitacional, pero sí hace una diferencia cuando se considera la transformación de energía debida a fuerzas de fricción. Se puede usar esta dependencia variable con la trayectoria para clasificar fuerzas como conservativas o no conservativas. De las dos fuerzas mencionadas, la fuerza gravitacional es conservativa y la fuerza de fricción es no conservativa. Las fuerzas conservativas tienen estas dos propiedades equivalentes:

1. El trabajo invertido por una fuerza conservativa sobre una partícula móvil entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria tomada por la partícula.

2. El trabajo invertido por una fuerza conservativa en una partícula móvil a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero. (Una trayectoria cerrada es aquella en la que el punto de partida y el punto final son idénticos.)

La fuerza gravitacional es un ejemplo de fuerza conservativa; la fuerza que un resorte ideal ejerce en cualquier objeto unido al resorte es otra. El trabajo invertido por la fuerza gravitacional en un objeto móvil entre dos puntos cualesquiera

cerca de la superficie de la Tierra es 𝑊𝑔 = −𝑚𝑔𝑗̂ ∙ [𝑦𝑓 − 𝑦𝑖]𝑗̂ = 𝑚𝑔𝑦𝑖 − 𝑚𝑔𝑦𝑓. A partir de esta ecuación, observe que

𝑊𝑔sólo depende de las coordenadas 𝑦 inicial y final del objeto y por tanto es independientede la trayectoria. Además,

Wg es cero cuando el objeto se traslada en cualquier trayectoriacerrada (donde 𝑦𝑖 = 𝑦𝑓).

Para el caso del sistema objeto–resorte, el trabajo 𝑊𝑠 invertido por la fuerza del resortese conoce por 𝑊𝑠 = 1

2𝑘𝑥𝑖

2 − 1

2𝑘𝑥𝑓

2.

Se ve que la fuerza del resorte es conservativaporque 𝑊𝑠 sólo depende de las coordenadas 𝑥, inicial y final del objeto y es cero para cualquier trayectoria cerrada. Es posible asociar una energía potencial para un sistema con una fuerza que actúa entre integrantes del sistema, pero sólo se puede hacer para fuerzas conservativas. En general, el trabajo 𝑊𝑐 invertido por una fuerza conservativa en un

45 45

objeto que es integrante de un sistema conforme el objeto se traslada de una posición a otra es igual al valor inicial de la energía potencial del sistema menos el valor final:

𝑊c = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 = − ∆𝑈

Como ejemplo, compare esta ecuación general con la ecuación específica para el trabajo invertido por la fuerza de resorte como la extensión de los cambios del resorte. Una fuerza es no conservativa si no satisface las propiedades 1 y 2 para fuerzas conservativas. Se define la suma de las energías cinética y potencial de un sistema como la energía mecánica del sistema:

𝐸mecanica = 𝐾 + 𝑈, donde 𝐾 incluye la energía cinética de todos los integrantes móviles del sistema y 𝑈 incluye todos los tipos de energía potencial en el sistema. Las fuerzas no conservativas que actúan dentro de un sistema causan un cambio en la energía mecánica del sistema. Por ejemplo, para un libro que se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción, la energía mecánica del sistema libro–superficie se transforma en energía interna, como se discutió anteriormente. Sólo parte de la energía cinética del libro se transforma en energía interna en el libro. El resto aparece como energía interna en la superficie. (Cuando tropieza y se desliza por el suelo de un gimnasio, no sólo la piel en sus rodillas se calienta, ¡también lo hace el piso!) Puesto que la fuerza de fricción cinética transforma la energía mecánica de un sistema en energía interna, esta es una fuerza no conservativa. El trabajo realizado en un integrante de un sistema por una fuerza conservativa entre los integrantes del sistema no depende de la trayectoria seguida por el integrante en movimiento. El trabajo sólo depende de las coordenadas inicial y final. En consecuencia, se puede definir una función de energía potencial 𝑈 tal que el trabajo invertido dentro del sistema por la fuerza conservativa sea igual a ladisminución en la energía potencial del sistema. Conciba un sistema de partículas en el que la configuración cambia debido al movimiento de una partícula a lo largo del eje 𝑥.El trabajo realizado por una

fuerza conservativa𝐹 conforme una partícula se traslada a lolargo del eje 𝑥 es

𝑊c = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥 = − ∆𝑈,𝑥𝑓

𝑥𝑖

donde𝐹𝑥 es la componente de 𝐹 en la dirección del desplazamiento. Esto es: el trabajo invertido por una fuerza conservativa que actúa entre integrantes de un sistema es igual al negativo del cambio en la energía potencial del sistema asociado con dicha fuerza cuando cambia la configuración del sistema. Esta ecuación también se puede expresar como

∆𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = −∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥.𝑥𝑓

𝑥𝑖

En consecuencia, ∆𝑈 es negativa cuando 𝐹𝑥 y 𝑑𝑥 están en la misma dirección, como cuandose baja un objeto en un campo gravitacional o cuando un resorte empuja un objeto haciael equilibrio. Con frecuencia es conveniente establecer alguna ubicación particular 𝑥𝑖 de un integrantede un sistema como representativo de una configuración de referencia y medir todas las diferencias de energía potencial en relación con él. En tal caso es posible definir la función de energía potencial como

46

𝑈𝑓(𝑥) = −∫ 𝐹𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

𝑑𝑥 + 𝑈𝑖 .

Frecuentemente el valor de 𝑈𝑖 se considera cero para la configuración de referencia. No importa qué valor se asigne a 𝑈𝑖 porque cualquier valor distinto de cero simplemente desplaza a 𝑈𝑓(𝑥)en una cantidad constante y sólo el cambio en

energía potencial es físicamente significativo. Si el punto de aplicación de la fuerza se somete a un desplazamiento infinitesimal 𝑑𝑥, el cambio infinitesimal en la energía potencial del sistema 𝑑𝑈 se expresa como

𝑑𝑈 = − 𝐹𝑥 𝑑𝑥. Por lo tanto, la fuerza conservativa se relaciona con la función de energía potencial mediante la correspondencia

𝐹𝑥 = − 𝑑𝑈

𝑑𝑥 .

Es decir, la componente 𝑥 de una fuerza conservativa que actúa sobre un objeto dentro de un sistema es igual a la derivada negativa de la energía potencial del sistema en relación con 𝑥. Es fácil comprobar esta ecuación para los dos ejemplos ya analizados. En el caso del resorte deformado, 𝑈𝑠 = 1

2𝑘𝑥2;

debido a eso,

𝐹𝑠 = − 𝑑𝑈𝑠

𝑑𝑥= −

𝑑

𝑑𝑥[1

2 𝑘𝑥2] = −𝑘𝑥,

que corresponde a la fuerza restauradora en el resorte (ley de Hooke). Ya que la función de energía potencial gravitacional es 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑦, se sigue de la ecuación que 𝐹𝑔 = − 𝑚𝑔cuando se deriva 𝑈𝑔 respecto de 𝑦.

Ahora se ve que 𝑈 es una función importante porque de ella se deduce una fuerza conservativa. Además de esto, la ecuación pone en claro que sumar una constante a la energía potencial no es importante porque la derivada de una constante es cero. Podemos extender este análisis a tres dimensiones, donde la partícula puede moverse en las direcciones 𝑥, 𝑦, 𝑧, o todas a la vez, bajo la acción de una fuerza conservativacon componentes 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 y 𝐹𝑧. Cada componente de fuerza puede ser

función delas coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧. La función de energía potencial 𝑈 también es función de lastres coordenadas espaciales. Ahora se puede usar la derivada de la energía potencial para calcular cada componente de la fuerza. El cambio de energía potencial ∆𝑈 cuando la partículase mueve una distancia pequeña ∆𝑥 en la dirección 𝑥 está dada otra vez por− 𝐹𝑥∆𝑥; no depende de 𝐹𝑦 ni de 𝐹𝑧, que representan las componentes de la fuerza perpendicular al desplazamiento

que no efectúan trabajo. Tenemos de nuevo la relación aproximada

𝐹𝑥 = − ∆𝑈

∆𝑥

Las componentes 𝑦 y 𝑧de la fuerza se determinan exactamente de la misma forma:

𝐹𝑦 = − ∆𝑈

∆𝑦, 𝐹𝑧 = −

∆𝑈

∆𝑧 .

47 47

Si queremos que las relaciones sean exactas, deberemos tomar límites ∆𝑥 → 0,∆𝑦 → 0 y ∆𝑧 → 0 para que estos cocientes se conviertan en derivadas. Dado que 𝑈puede ser función de las tres coordenadas, debemos recordar que, al calcular las derivadas, sólo una coordenada cambia a la vez. Calculamos la derivada de 𝑈 con respecto a 𝑥 suponiendo que 𝑦 y 𝑧 son constantes y sólo 𝑥 varía, y así sucesivamente. Éstasse llaman derivadas parciales y su notación usual es 𝜕𝑈 𝜕𝑥⁄ , y así sucesivamente; elsímbolo 𝜕 es una d modificada, por lo que escribimos

𝐹𝑥 = − 𝜕𝑈

𝜕𝑥, 𝐹𝑦 = −

𝜕𝑈

𝜕𝑦, 𝐹𝑧 = −

𝜕𝑈

𝜕𝑧,

Podemos usar vectores unitarios para escribir una sola expresión vectorial compacta para la fuerza𝐹 :

𝐹 = − [𝜕𝑈

𝜕𝑥�̂� +

𝜕𝑈

𝜕𝑦𝑗̂ +

𝜕𝑈

𝜕𝑧�̂�]

La expresión en paréntesis representa una operación específica sobre la función 𝑈, donde se obtiene la derivada parcial de 𝑈 con respecto a cada coordenada, se multiplican por el vector unitario correspondiente y se suman vectorialmente. Esta operación se denomina gradiente de 𝑈 y suele abreviar∇𝑈 Por lo tanto, la fuerza esel negativo del gradiente de la función de energía potencial:

𝐹 = −∇𝑈. Como verificación, sustituyamos en esta ecuación la función 𝑈 = 𝑚𝑔𝑦 para laenergía potencial gravitacional:

𝐹 = −∇[𝑚𝑔𝑦] = − ⌈𝜕[𝑚𝑔𝑦]

𝜕𝑥�̂� +

𝜕[𝑚𝑔𝑦]

𝜕𝑦𝑗̂ +

𝜕[𝑚𝑔𝑦]

𝜕𝑧�̂�⌉ = −𝑚𝑔 𝑗̂.

Ésta es la expresión que ya conocemos para la fuerza gravitacional. No todas las fuerzas son conservativas. Considere una fuerza de fricción que actúa sobre la caja que se desliza por una rampa. El cuerpo sube y luego regresa al punto de partida, pero el trabajo total efectuado por la fricción sobre él no es cero. Al invertirse la dirección del movimiento, se invierte la fuerza de fricción, que realiza trabajo negativo en ambas direcciones. Si un automóvil con frenos bloqueados se derrapa por el pavimento con rapidez (y energía cinética) decreciente(s), la energía cinética perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento ni de ninguna otra manera, y la energía mecánica no se conserva. No hay función de energía potencial para la fuerza de fricción. Asimismo, la fuerza de resistencia de fluidos no es conservativa. Si lanzamos una pelota hacia arriba, la resistencia del aire efectúa trabajo negativo sobre ella al subir y al bajar. La pelota regresa a la mano con menor rapidez y menos energía cinética que cuando salió, y no hay forma de recuperar la energía mecánica perdida. El trabajo realizado por una fuerza no conservativa no puede representarse con una función de energía potencial. Algunas fuerzas no conservativas, como la fricción cinética o la resistencia de fluidos, hacen que se pierda o se disipe energía mecánica: son fuerzas disipadoras. También hay fuerzas no conservativas que aumentan la energía mecánica. Los fragmentos de un petardo que estalla salen despedidos con una energía cinética muy grande, debido a una reacción química de la pólvora con el oxígeno. Las fuerzas liberadas por esta reacción no son conservativas porque el proceso no es reversible. ¡Los trozos nunca se volverán a unir espontáneamente para formar un petardo!

48

Las fuerzas no conservativas no pueden representarse en términos de energía potencial; no obstante, podemos describir sus efectos en términos de energías distintas dela cinética y la potencial. Cuando un automóvil con frenos bloqueados se derrapa hasta detenerse, se calientan los neumáticos y el camino. La energía asociada a este cambio en el estado de los materiales se denomina energía interna. Cuando se eleva la temperatura de un cuerpo, aumenta su energía interna; si se reduce su temperatura, disminuye su energía interna. Un objeto que se representa como partícula pueden actuar fuerzas diferentes, resultando un cambio en su energía cinética. Esta situación muy simple es el primer ejemplo del modelo de un sistema no aislado, en él la energía cruza la frontera del sistema durante cierto intervalo de tiempo debido a una interacción con el medio ambiente. Este escenario es común en problemas de física. Si un sistema no interactúa con su medio ambiente, es un sistema aislado El teorema trabajo–energía cinética es el primer ejemplo de una ecuación de energía adecuada para un sistema no aislado. En el caso de dicho teorema, la interacción del sistema con su entorno es el trabajo invertido por la fuerza externa, y la cantidad que cambia en el sistema es la energía cinética. Hasta el momento sólo se ha visto una forma de transferir energía a un sistema: trabajo. Pero hay otras formas de transferencia de energía hacia o desde un sistema: El trabajo es un método para transferir energía hacia un sistema mediante la aplicación de una fuerza al sistema y causar un desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza. Las ondas mecánicas son un medio de transferencia de energía al facilitar que una perturbación se propague a través del aire u otro medio. Ejemplos de ondas mecánicas son el sonido, las ondas sísmicas y las ondas oceánicas. El calor es un mecanismo de transferencia de energía que se activa mediante una diferencia de temperatura entre dos regiones del espacio. La transferencia de materia involucra situaciones en las cuales la materia cruza físicamente la frontera de un sistema, transportando energía. La transmisión eléctrica es la transferencia de energía mediante corrientes eléctricas. La radiación electromagnética se refiere a las ondas electromagnéticas como la luz, microondas y ondas de radio. Una característica central de la aproximación de energía es la noción de que no se puede crear ni destruir energía, la energía siempre se conserva. Esta característica se ha comprobado en incontables experimentos, y ningún experimento ha demostrado jamás que este enunciado sea incorrecto. Debido a eso, si la cantidad total de energía en un sistema cambia, sólo es porque la energía cruzó la frontera del sistema mediante un mecanismo de transferencia, como alguno de los métodos mencionados anteriormente. Este enunciado general del principio de conservación de la energía se describe matemáticamente como la ecuación de conservación de energía del modo siguiente:

∆𝐸sistema = ∑𝑇,

donde𝐸sistema es la energía total del sistema, incluidos todos los métodos de almacenamiento de energía (cinética, potencial e interna) y 𝑇 (por transferencia) es la cantidad deenergía transferida a través de la frontera del sistema mediante algún mecanismo. Dos de los mecanismos de transferencia tienen notaciones simbólicas bien establecidas. Para el trabajo, 𝑇trabajo = 𝑊 y para el calor, 𝑇calor = 𝑄. Los otros cuatro integrantes de la lista no tienen símbolos

establecidos, así que se les llamará 𝑇OM (ondas mecánicas), 𝑇TM (transferencia de materia),𝑇TE (transmisión eléctrica) y 𝑇RE (radiación electromagnética). La expansión completa de la ecuación es

∆𝐾 + ∆𝑈 + ∆𝐸interna = 𝑊 + 𝑄 + 𝑇OM + 𝑇TM + 𝑇TE + 𝑇RE,

49 49

que es la representación matemática básica de la versión energética del modelo de sistema no aislado. En la mayoría de los casos, esta ecuación se reduce a una mucho más simple, porque algunos de los términos son cero. Si, para un sistema conocido, todos los términos en el lado derecho de la ecuación de la conservación de la energía son cero, el sistema es un sistema aislado. Suponga que se aplica una fuerza a un sistema no aislado y el punto de aplicación de la fuerza se mueve a través de un desplazamiento. Por lo tanto suponga que el único efecto sobre el sistema es cambiar su rapidez. En este caso, el único mecanismo de transferencia es el trabajo (de modo que el lado derecho de la ecuación se reduce sólo a 𝑊) y la únicaclase de energía en el sistema que cambia es la energía cinética (de modo que ∆𝐸sistema se reduce sólo a ∆𝐾). Por consiguiente la ecuación se convierte en

∆𝐾 = 𝑊, que es el teorema trabajo–energía cinética. Este teorema es un caso especial del principio más general de conservación de energía. Un sistema aislado es aquel en el que la energía no cruza la frontera del sistema por ningún método. En consecuencia, para un sistema aislado,

∆𝐾 + ∆𝑈 = 0. Diagramas de energía Cuando una partícula se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza conservativa, podemos entender mejor los posibles movimientos examinando la gráfica de la función de energía potencial 𝑈(𝑥). La figura 18a) muestra un deslizador con masa 𝑚que se mueve en el eje 𝑥 sobre un riel de aire. El resorte ejerce sobre él una fuerza demagnitud 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥. La figura 18 b) es la gráfica de la función de energía potencial correspondiente𝑈 = 1

2 𝑘𝑥2.

Fig. 18. a) Deslizador en un riel de aire. b) Función de energía potencial. Si la fuerza elástica del resorte es la única fuerza horizontal que actúa sobre el deslizador, la energía mecánica total 𝐸 =𝐾 + 𝑈 es constante, independiente de 𝑥. En ese caso, una gráfica de 𝐸 en función de 𝑥 es una rectahorizontal. Empleamos el término diagrama de energía para una gráfica así, la cual muestra tanto la función de energía potencial 𝑈(𝑥) como la energía de la partícula bajo la influencia de la fuerza que corresponde a 𝑈(𝑥). La distancia vertical entre las curvas de 𝑈 y 𝐸 en cada punto representa la diferencia 𝐸 − 𝑈 y es igual a la energía cinética 𝐾 en ese punto. Vemos que 𝐾 es máxima en𝑥 = 0 y cero en los valores de 𝑥 donde se cruzan las curvas (𝐴 y − 𝐴 en el

50

diagrama).Así, la rapidez 𝑣 es máxima en 𝑥 = 0 y cero en 𝑥 = ± 𝐴, los puntos del máximo desplazamiento posible desde 𝑥 = 0 para un valor dado de la energía total 𝐸. La energía potencial 𝑈 nunca puede ser mayor que la energía total 𝐸, pues entonces 𝐾 tendríaque ser negativa, lo cual es imposible. El movimiento es una oscilación entre los puntos 𝑥 = 𝐴 y 𝑥 = − 𝐴. En cada punto, la fuerza 𝐹𝑥 sobre el deslizador es igual al negativo de la pendientede la curva 𝑈(𝑥):𝐹𝑥 = −𝑑𝑈 𝑑𝑥⁄ . Cuando la partícula está en 𝑥 = 0, la pendiente y la fuerza son cero, y tenemos una posición de equilibrio. Si 𝑥 espositivo, la pendiente de la curva de 𝑈(𝑥) es positiva y 𝐹𝑥 es negativa, dirigida haciael origen. Si 𝑥 es negativo, la pendiente es negativa y 𝐹𝑥 es positiva, otra vez hacia el origen. Una fuerza así se denomina fuerza restauradora; si el deslizador se desplaza hacia cualquier lado de 𝑥 = 0, la fuerza resultante tiende a “restaurarlo” a 𝑥 = 0. Unasituación parecida es una canica que rueda en una ensaladera de fondo redondo. Decimosque 𝑥 = 0 es un punto de equilibrio estable. Más generalmente, todo mínimo de una curva de energía potencial es una posición de equilibrio estable. La figura 19 a) muestra una función de energía potencial 𝑈(𝑥) hipotética peromás general.

Fig. 19 a) Función de energía potencial 𝑈(𝑥) hipotética. b) Fuerza correspondiente 𝐹(𝑥) = −𝑑𝑈 𝑑𝑥.⁄ La figura 19 b) ilustra la fuerza 𝐹(𝑥) = − 𝑑𝑈 𝑑𝑥⁄ correspondiente. Donde𝑥1 y 𝑥3 son puntos de equilibrio estable. En ellos, 𝐹𝑥 = 0 porque la pendiente de la curva 𝑈(𝑥) es cero. Si la partícula se desplaza hacia cualquier lado, la fuerza la empujahacia el punto de equilibrio. La pendiente de la curva 𝑈(𝑥) también es cero en𝑥2 y 𝑥4, que también son puntos de equilibrio. Sin embargo, cuando la partícula sedesplaza un poco a la derecha de cualquiera de ellos, la pendiente de la curva de𝑈(𝑥) se hace negativa, lo que corresponde a una 𝐹𝑥 positiva que tiende a alejar másla partícula. Si ésta se desplaza un poco a la izquierda, 𝐹𝑥 es negativa y también tiende a alejar a la partícula del equilibrio. Esto es similar a una canica que rueda sobre la parte superior de una bola de bolos. Los puntos 𝑥2 y 𝑥4 son puntos de equilibrioinestable; todo máximo de una curva de energía potencial es una posición de equilibrio inestable. Si la energía total es 𝐸1 y la partícula está inicialmente cerca de 𝑥1, sólo puede moverseen la región entre 𝑥𝑎 y 𝑥𝑏 determinada por la intersección de las curvas de 𝐸1 y 𝑈, figura 16 a). De nuevo, 𝑈 no puede ser mayor que 𝐸1 porque 𝐾 no puede ser negativa.Decimos que la partícula se mueve en un pozo de potencial, y 𝑥𝑎 y 𝑥𝑏son lospuntos de retorno de su movimiento (pues en ellos la partícula se detiene e inviertesu dirección). Si aumentamos la energía total al nivel 𝐸2, la partícula puede ampliar su movimiento, de 𝑥𝑐 a 𝑥𝑑. Si la energía total es mayor que 𝐸3, la partícula puede “escapar”y alcanzar valores indefinidamente grandes de 𝑥. En el otro extremo, 𝐸0 representala energía total mínima posible que el sistema puede tener.

51 51

52

5.1 Momento Lineal

Consideremos una partícula de masa constante 𝑚. Puesto que 𝑎 = 𝑑𝑣 /𝑑𝑡, podemos escribir la segunda ley de Newton para esta partícula así:

∑𝐹 = 𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡[𝑚𝑣 ].

Podemos introducir 𝑚 en la derivada porque es constante. Así, la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de la combinación del producto de la masa y la velocidad de la partícula. Llamamos a esta combinación momento lineal de la partícula. Si usamos el símbolo 𝑝 para el momento lineal, tenemos

𝑝 = 𝑚𝑣 Cuanto mayor es la masa 𝑚 y la rapidez 𝑣 de una partícula, mayor es la magnitud de su momento lineal 𝑚𝑣. Sin embargo, tenga en mente que el momento lineal es una cantidad vectorial con la misma dirección que la velocidad de la partícula. A menudo expresamos el momento lineal de una partícula en términos de sus componentes. Si la partícula tiene componentes de velocidad 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 y 𝑣𝑧 , entonces sus componentes de momento lineal 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 y 𝑝𝑧 (a las

que también llamamos momentolineal𝑥, momento lineal 𝑦 y momento lineal 𝑧) están dadas por

𝑝𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 , 𝑝𝑦 = 𝑚𝑣𝑦 , 𝑝𝑧 = 𝑚𝑣𝑧 .

Las unidades de la magnitud del momento lineal son las de masa por rapidez; las unidades del SI para momento lineal son kg ∙ m/s. Se tiene

∑𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡

La fuerza neta (la suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio del momento lineal de la partícula. Ésta es la forma en que Newton planteó originalmente su segunda ley (aunque él llamó momentum al momento lineal), y sólo es válida en marcos de referencia inerciales.

Momento lineal y colisiones

53 53

Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza neta constante durante un tiempo ∆𝑡, de 𝑡1 a 𝑡2. El impulso de

la fuerza neta, denotado con 𝐽 se define como el producto de lafuerza neta y el intervalo de tiempo:

𝐽 = 𝐹 [𝑡2 − 𝑡1] = 𝐹∆𝑡.

El impulso es una cantidad vectorial; su dirección es la de la fuerza neta 𝐹 y su magnitud es el producto de la magnitud de la fuerza neta y el tiempo en que ésta actúa. Las unidades de impulso en el SI son newton-segundo, N · s = kg · m/s, igual que las del momento lineal.

Si la fuerza neta es constante𝐹 = constante,𝑑𝑝 /𝑑𝑡también es constante. En tal caso, es igual al cambio total de momento lineal 𝑝⃗⃗⃗ 2 − 𝑝 1 durante el lapso 𝑡2 − 𝑡1, dividido entre el lapso:

𝐹 =𝑝 2 − 𝑝 1𝑡2 − 𝑡1

o sea

𝐹 [𝑡2 − 𝑡1] = 𝑝 2 − 𝑝 1 obtenemos un resultado conocido como teorema del impulso y el momento lineal:

𝐽 = 𝑝 2 − 𝑝 1 El cambio del momento lineal de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante ese intervalo. El teorema del impulso y el momento lineal también se cumple si las fuerzas no son constantes. Para comprobarlo,

integramos los dos miembros de la segunda ley de Newton 𝐹 = 𝑑𝑝 /𝑑𝑡con respecto al tiempo entre los límites 𝑡1 y 𝑡2:

∫ 𝐹 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= ∫𝑑𝑝

𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= ∫ 𝑑𝑝 𝑝 2

𝑝 1

= 𝑝 2 − 𝑝 1.

La integral de la izquierda es, por definición, la definición general del impulso de la fuerza neta durante este intervalo:

𝐽 = ∫ 𝐹 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

.

Con esta definición, el teorema del impulso y el momento lineal es válido aun si la fuerza neta varía con el tiempo.

Podemos definir una fuerza neta media tal que, aun si𝐹 no es constante, el impulso esté dado por

𝐽 = 𝐹 media[𝑡2 − 𝑡1]

54

Si 𝐹 es constante, 𝐹 = 𝐹 media. En unos momentos tendremos actividad nuevamente

5.2 Ley de Conservación del Momento Lineal El concepto de momento lineal tiene especial importancia en situaciones en las que dos o más cuerpos interactúan. Para ver por qué, consideremos primero un sistema idealizado de dos cuerpos que interactúan entre sí, y con nada más; por ejemplo, dos astronautas que se tocan mientras flotan libremente en el espacio exterior en un ambiente de gravedad cero.

Fig20. Dos astronautas empujándose mutuamente. Consideremos a los astronautas como partículas. Cada partícula ejerce una fuerza sobre la otra; según la tercera ley de Newton, las dos fuerzas siempre son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Por lo tanto, los impulsos que actúan sobre las dos partículas son iguales y opuestos, y los cambios de momento lineal de las dos partículas serán iguales y opuestos. Repasemos esto a la luz de ciertos términos nuevos. En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas del sistema ejercen entre sí se denominan fuerzas internas; las ejercidas sobre cualquier parte del sistema por algún objeto externo son

fuerzas externas. En el sistema de la figura, las fuerzas internas son 𝐹 AB, la ejercida por la partícula B sobre la A, y 𝐹 BA, la ejercida por la partícula A sobre la B. No hay fuerza externas, así que tenemos un sistema aislado.

La fuerza neta sobre la partícula A es 𝐹 AB y sobre la partícula B, 𝐹 BA, así que las razones de cambio del momento lineal de ambas partículas son

𝐹 AB =𝑑𝑝 A

𝑑𝑡, 𝐹 BA =

𝑑𝑝 B

𝑑𝑡.

El momento lineal de cada partícula cambia, pero estos cambios están relacionados entre sí por la tercera ley de

Newton: las dos fuerzas, 𝐹 AB y 𝐹 BAsiempre son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Es decir, 𝐹 AB = − 𝐹 BA,

así que, 𝐹 AB + 𝐹 BA = 0, o

𝐹 AB + 𝐹 BA =𝑑𝑝 A

𝑑𝑡+

𝑑𝑝 B

𝑑𝑡=

𝑑[𝑝 A + 𝑝 B]

𝑑𝑡= 0.

Las razones de cambio de los dos momentos lineales son iguales y opuestas, así que la razón de cambio de la suma vectorial 𝑝 A + 𝑝 B es cero. Ahora definimos el momento lineal total 𝑝 del sistema de dos partículas como la suma vectorial de los momentos lineales de las partículas individuales. Esto es,

𝑝 = 𝑝 A + 𝑝 B

55 55

Así, se tiene finalmente

𝐹 AB + 𝐹 BA =𝑑𝑝

𝑑𝑡= 0.

La razón de cambio del momento lineal total es cero. Por lo tanto, el momento lineal total del sistema es constante, aunque los momentos lineales individuales de las partículas que constituyen el sistema pueden cambiar. Si también hay fuerzas externas, deben incluirse en el lado izquierdo de la ecuación, junto con las internas. En general, el momento lineal total no será constante, pero si la suma vectorial de las fuerzas externas es cero, éstas no contribuirán a la suma, y será otra vez cero. Así, tenemos el resultado general:

Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, el momento lineal total del sistema es constante.

Ésta es la forma más sencilla del principio de conservación del momento lineal, el cual es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton. La utilidad de este principio radica en que no depende de la naturaleza detallada de las fuerzas internas que actúan entre miembros del sistema, así que podemos aplicarlo incluso si (como suele suceder) sabemos muy poco acerca de las fuerzas internas. Usamos la segunda ley de Newton para deducir este principio, así que debemos tener cuidado de usarlo sólo en marcos de referencia inerciales. Podemos generalizar este principio para un sistema con cualquier número de partículas A, B, C… que sólo interactúan entre sí. El momento lineal total del sistema es

𝑝 = 𝑝 A + 𝑝 B + 𝑝 C + ⋯ = 𝑚𝑣 A + 𝑚𝑣 B + 𝑚𝑣 C + ⋯ Nuestro argumento es el mismo: la razón total de cambio del momento lineal del sistema debido a cada par acción-reacción de fuerzas internas es cero. Así, la razón total de cambio del momento lineal del sistema entero es cero siempre que la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él es cero. Las fuerzas internas pueden cambiar los momentos lineales de las partículas individuales del sistema, pero no el momento lineal total del sistema. La conservación del momento lineal significa conservación de sus componentes

5.3 Choque elástico e inelástico de partículas El término choque hace que una persona común piense en un percance de tráfico. Usaremos el término en ese sentido, pero además ampliaremos su significado para incluir cualquier interacción vigorosa entre cuerpos con duración relativamente corta. Así que no sólo incluimos accidentes automovilísticos, sino también bolas que chocan en una mesa de billar, neutrones que inciden sobre núcleos en un reactor atómico y el impacto de un meteorito sobre el desierto de Arizona. Si las fuerzas entre los cuerpos son mucho mayores que las externas, como suele suceder en los choques, podemos ignorar las fuerzas externas y tratar los cuerpos como un sistema aislado. Entonces, el momento lineal se conserva y el momento lineal total del sistema tendrá el mismo valor antes y después del choque. Dos autos que chocan en un cruce cubierto de hielo son un buen ejemplo. Incluso dos autos que chocan en pavimento seco se pueden tratar como sistema aislado durante el choque si, como es frecuente, las fuerzas entre los autos son mucho mayores que las fuerzas de fricción del pavimento contra los neumáticos.

56

Si las fuerzas entre los cuerpos son conservativas, de manera que no se pierde ni gana energía mecánica en el choque, la energía cinética total del sistema es la misma antes y después. Esto se denomina choque elástico. Un choque entre dos canicas o dos bolas de billar es casi totalmente elástico. Un choque en el que la energía cinética total final es menor que la inicial es un choque inelástico. Una albóndiga que cae en un plato de espagueti y una bala que se incrusta en un bloque de madera son ejemplos de choques inelásticos. Un choque inelástico en el que los cuerpos se pegan y se mueven como uno solo después del choque es un choque totalmente inelástico. Un choque inelástico no tiene que ser totalmente inelástico. Es un error común pensar que los únicos choques inelásticos son aquellos en que los cuerpos quedan pegados. En realidad, los choques inelásticos incluyen muchas situaciones en que los cuerpos no se pegan. Si dos autos chocan violentamente y rebotan, el trabajo efectuado para deformar las defensas no puede recuperarse como energía cinética de los autos, de manera que el choque es inelástico. Recuerde esta regla: En todo choque en el que se pueden ignorar las fuerzas externas, el momento lineal se conserva y el momento lineal total es el mismo antes y después. La energía cinética total sólo es igual antes y después si el choque es elástico. Veamos qué sucede con el momento lineal y la energía cinética en un choque totalmente inelástico de dos cuerpos A y B. Dado que los cuerpos quedan pegados después del choque, tienen la misma velocidad final

𝑣 A2 = 𝑣 B2 = 𝑣 2. La conservación del momento lineal da la relación

𝑚A𝑣 A1 + 𝑚B𝑣 B1 = [𝑚A + 𝑚B]𝑣 2. Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podremos calcular la velocidad final común 𝑣 2. Suponga, por ejemplo, que un cuerpo con masa 𝑚Ay componente 𝑥 inicial de velocidad𝑣A1𝑥 choca inelásticamente con un cuerpo de masa 𝑚B en reposo (𝑣B1𝑥 = 0). La componente 𝑥 de velocidad después del choque 𝑣2𝑥, común a ambos cuerpos, es

𝑣2𝑥 =𝑚A

𝑚A + 𝑚B𝑣A1𝑥 .

Verifiquemos que la energía cinética total después de este choque totalmente inelástico es menor que antes. El movimiento es sólo sobre el eje 𝑥, por lo que las energías cinéticas 𝐾1 y 𝐾2 antes y después del choque, respectivamente, son

𝐾1 = 1

2𝑚A𝑣A1𝑥

2

𝐾2 = 1

2[𝑚A + 𝑚B]𝑣2𝑥

2 = 1

2[𝑚A + 𝑚B] [

𝑚A

𝑚A + 𝑚B] 𝑣A1𝑥

2

El cociente de las energías cinéticas final e inicial es

𝐾2

𝐾1=

𝑚A

𝑚A + 𝑚B

57 57

El lado derecho siempre es menor que la unidad porque el denominador siempre es mayor que el numerador. Aun si la velocidad inicial de 𝑚B no es cero, no es difícil verificar que la energía cinética después de un choque totalmente inelástico siempre es menor que antes. Clasificación de los choques Es importante recordar que los choques se clasifican de acuerdo con consideraciones de energía.

Fig. 21. Clasificación de los choques de acuerdo a la conservación de la energía. Un choque en el que la energía cinética se conserva se considera elástico. Un choque en el que la energía cinética total disminuye se llama inelástico. Cuando dos cuerpos tienen una velocidad final común, decimos que el choque es totalmente inelástico. También hay casos en los que la energía cinética final es mayor que el valor inicial. Por último, hacemos hincapié una vez más en que, en ocasiones, podemos utilizarla conservación del momento lineal incluso cuando hay fuerzas externas que actúan sobre el sistema, si la fuerza externa neta que actúa sobre los cuerpos que chocan es pequeña en comparación con las fuerzas internas durante el choque. Choques elásticos U choque elástico en un sistema aislado es uno en el que se conserva la energía cinética (al igual que el momento lineal). Estos choques ocurren cuando las fuerzas entre los cuerpos que chocan son conservativas. Si chocan dos bolas de billar, se aplastan un poco cerca del punto de contacto, pero luego rebotan. Parte de la energía cinética se almacena temporalmente como energía potencial elástica, pero al final se convierte una vez más en energía cinética. Examinemos un choque elástico entre dos cuerpos 𝐴 y 𝐵. Comencemos con unchoque en una dimensión, con todas las velocidades en la misma línea, a la que llamamos eje 𝑥. Así, los momentos lineales y velocidades sólo tienen componentes 𝑥. Llamamos 𝑣𝐴1𝑥 y 𝑣𝐵1𝑥 a las componentes 𝑥 de velocidad antes del choque, y 𝑣𝐴2𝑥 y 𝑣𝐵2𝑥a las componentes x después del choque. Por la conservación de la energía cinética tenemos

1

2𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑥

2 +1

2𝑚𝐵𝑣𝐵1𝑥

2 =1

2𝑚𝐴𝑣𝐴2𝑥

2 +1

2𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥

2 ,

y la conservación del momento lineal da

𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑥 + 𝑚𝐵𝑣𝐵1𝑥 = 𝑚𝐴𝑣𝐴2𝑥 + 𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥 . Si conocemos las masas 𝑚𝐴 y 𝑚𝐵 y las velocidades iniciales 𝑣𝐴1𝑥 y 𝑣𝐵1𝑥 , podremos resolver las ecuaciones para obtener las velocidades finales 𝑣𝐴2𝑥 y 𝑣𝐵2𝑥 . Choques elásticos, un cuerpo inicialmente en reposo

58

La solución general de las ecuaciones anteriores es algo complicada, así que nos concentraremos en el caso especial en que el cuerpo 𝐵 está en reposo antes del choque (esdecir, 𝑣𝐵1𝑥 = 0). Piense que el cuerpo 𝐵 es el blanco que 𝐴 debe golpear. Las ecuaciones de conservación de energía cinética y el momento lineal son, respectivamente,

1

2𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑥

2 =1

2𝑚𝐴𝑣𝐴2𝑥

2 +1

2𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥

2

𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑥 = 𝑚𝐴𝑣𝐴2𝑥 + 𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥 Podemos despejar 𝑣𝐴2𝑥 y 𝑣𝐵2𝑥 en términos de las masas y la velocidad inicial 𝑣𝐴1𝑥. Esto implica operaciones algebraicas algo complicadas, pero vale la pena. El enfoque más sencillo es un tanto indirecto, pero de pasada revela otra característica interesante de los choques elásticos. Reacomodemos primero las ecuaciones así:

𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥2 = 𝑚𝐴[𝑣𝐴1𝑥

2 − 𝑣𝐴2𝑥2 ] = 𝑚𝐴[𝑣𝐴1𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥][𝑣𝐴1𝑥 + 𝑣𝐴2𝑥]

𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥 = 𝑚𝐴[𝑣𝐴1𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥] Ahora dividimos la primera ecuación entre la segunda para obtener

𝑣𝐵2𝑥 = 𝑣𝐴1𝑥 + 𝑣𝐴2𝑥 Sustituimos esto en la segunda ecuación para eliminar 𝑣𝐵2𝑥 , y luego despejamos 𝑣𝐴2𝑥:

𝑚𝐵[𝑣𝐴1𝑥 + 𝑣𝐴2𝑥] = 𝑚𝐴[𝑣𝐴1𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥]

𝑣𝐴2𝑥 =𝑚𝐴 − 𝑚𝐵

𝑚𝐴 + 𝑚𝐵𝑣𝐴𝐼𝑥 .

Por último, obtenemos

𝑣𝐵2𝑥 =2𝑚𝐴

𝑚𝐴 + 𝑚𝐵𝑣𝐴1𝑥 .

Ahora podemos interpretar los resultados. Suponga que 𝐴 es una pelota de ping pong y 𝐵 es una bola de boliche. Esperaremos que 𝐴 rebote después del choque con una velocidad casi igual a la original pero en la dirección opuesta (figura 8.22a), y que la velocidad de 𝐵 sea mucho menor. Eso es precisamente lo que las ecuaciones predicen. Si 𝑚𝐴 es mucho menor que 𝑚𝐵, la fracción de las ecuaciones es aproximadamente igual a – 1, y 𝑣𝐴2𝑥 es casi igual a − 𝑣𝐴1𝑥. La fracción de la ecuación es mucho menor que 1, así que 𝑣𝐵2𝑥 es mucho menor que 𝑣𝐴1𝑥. La figura muestrael caso opuesto, en el que 𝐴 es la bola de boliche y 𝐵 la de ping-pong, y 𝑚𝐴 es muchomayor que 𝑚𝐵. Otro caso interesante se presenta cuando las masas son iguales. Si 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵, las ecuaciones dan 𝑣𝐴2𝑥 = 0 y 𝑣𝐵2𝑥 = 𝑣𝐴1𝑥. Es decir, el cuerpoque se movía se para en seco, comunicando todo el momento lineal y energía cinética al cuerpo que estaba en reposo. Este comportamiento es conocido para quienes juegan billar. Choques elásticos y velocidad relativa Volvamos ahora al caso general en que 𝐴 y 𝐵 tienen diferente masa. Se tiene:

59 59

𝑣𝐴1𝑥 = 𝑣𝐵2𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥

Aquí, 𝑣𝐵2𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥 es la velocidad de 𝐵 relativa a 𝐴 después del choque; según la ecuación esto es igual a 𝑣𝐴1𝑥, el negativo de la velocidad de 𝐵 relativa a 𝐴 antes delchoque. (Tratamos las velocidades relativas en la sección 3.5.) La velocidad relativatiene la misma magnitud, pero signo opuesto, antes y después del choque. El signocambia porque los cuerpos se están acercando antes del choque y alejándose después. Si vemos el choque desde otro sistema de coordenadas que se mueve con velocidad constante relativa al primero, las velocidades de los cuerpos son diferentes pero las velocidades relativas son las mismas. Así, lo que dijimos acerca de las velocidades relativas se cumple en general para cualquier choque elástico rectilíneo, aun si ningún cuerpo está en reposo inicialmente. En un choque rectilíneo elástico de dos cuerpos, las velocidades relativas antes y después del choque tienen la misma magnitud pero signo opuesto. Esto significa que si B se está moviendo antes del choque, la ecuación se convierte en

𝑣𝐵2𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥 = − [𝑣𝐵1𝑥 − 𝑣𝐴1𝑥] Resulta que una relación vectorial similar a esta ecuación es una propiedad general de todos los choques elásticos, aun si ambos cuerpos se mueven inicialmente y las velocidades no están alineadas. Este resultado ofrece una definición alternativa y equivalente de choque elástico: en un choque elástico, la velocidad relativa de los dos cuerpos tiene la misma magnitud antes y después del choque. Siempre que se satisface esta condición, se conserva la energía cinética total. Si un choque elástico de dos cuerpos no es de frente, las velocidades no están alineadas. Si todas están en el mismo plano, cada velocidad final tiene dos componentes desconocidas y hay cuatro incógnitas en total. La conservación de la energía y la conservación de las componentes x e y del momento lineal sólo dan tres ecuaciones. Para determinar las velocidades finales sin ambigüedad, necesitamos información adicional, como la dirección o la magnitud de una de esas velocidades. Centro de masa Podemos replantear el principio de conservación del momento lineal en una forma útil usando el concepto de centro de masa. Supongamos que tenemos varias partículas con masas 𝑚1, 𝑚2, etcétera. Las coordenadas de 𝑚1 son (𝑥1, 𝑦1), las de 𝑚2, (𝑥2 , 𝑦2), y así sucesivamente. Definimos el centro de masa del sistema como el punto concoordenadas (𝑥cm, 𝑦cm) dadas por

𝑥cm =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯=

∑𝑚𝑖𝑥𝑖

∑𝑚𝑖

𝑦cm =𝑚1𝑦1 + 𝑚2𝑦2 + 𝑚3𝑦3 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯=

∑𝑚𝑖𝑦𝑖

∑𝑚𝑖

El vector de posición𝑟 cm del centro de masa se puede expresar en términos de los vectores de posición 𝑟 1, 𝑟 2, ⋯ de las partículas como

𝑟 cm =𝑚1𝑟 1 + 𝑚2𝑟 2 + 𝑚3𝑟 3 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯=

∑𝑚𝑖𝑟 𝑖∑𝑚𝑖

En la terminología estadística, el centro de masa es una posición media pondera da por la masa de las partículas. En el caso de cuerpos sólidos, que tienen (al menos en el nivel macroscópico) una distribución continua de materia, las sumas de estas ecuaciones deben sustituirse por integrales. Los cálculos suelen ser complicados, pero podemos decir

60

algo en general acerca de tales problemas. Primero, si un cuerpo homogéneo tiene un centro geométrico, como una bola de billar, un terrón de azúcar o una lata de jugo congelado, el centro de masa está en el centro geométrico. Segundo, si un cuerpo tiene un eje de simetría, como una rueda o una polea, el centro de masa está sobre ese eje. Tercero, ninguna ley dice que el centro de masa debe estar dentro del cuerpo. Por ejemplo, el centro de masa de una rosquilla está en el centro del agujero. Movimiento del centro de masa Para comprender la importancia del centro de masa de un conjunto de partículas, debemos preguntar qué le sucede cuando las partículas se mueven. Las componentes 𝑥 y𝑦 de velocidad del centro de masa, 𝑣cm−𝑥 y 𝑣cm−𝑦 son las derivadas

de 𝑥cm y 𝑦cm respecto al tiempo. Asimismo, 𝑑𝑥1 𝑑𝑡⁄ es la componente 𝑥 de velocidad de la partícula 1 (𝑣1𝑥), yasí sucesivamente, por lo que 𝑑𝑥1 𝑑𝑡⁄ = 𝑣1𝑥, etcétera. Al derivar respecto al tiempo, obtenemos

𝑣cm−𝑥 =𝑚1𝑣1𝑥 + 𝑚2𝑣2𝑥 + 𝑚3𝑣3𝑥 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

𝑣cm−𝑦 =𝑚1𝑣1𝑦 + 𝑚2𝑣2𝑦 + 𝑚3𝑣3𝑦 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de un solo vector que se obtiene al derivar la ecuación de la posición del centro de masa respecto al tiempo:

𝑣 cm =𝑚1𝑣 1 + 𝑚2𝑣 2 + 𝑚3𝑣 3 + ⋯

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Denotamos la masa total 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯con 𝑀. Así, podemos reescribir esta ecuación como

𝑀𝑣 cm = 𝑚1𝑣 1 + 𝑚2𝑣 2 + 𝑚3𝑣 3 + ⋯ = �⃗� El lado derecho es el momento lineal total del sistema. Así, hemos demostrado que el momento lineal total es igual a la masa total multiplicada por la velocidad del centro de masa. Al atrapar una pelota, realmente estamos atrapando un conjunto de un gran número de moléculas de masas 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, . . . El impulso que sentimos se debeal momento lineal total de ese conjunto, pero es el mismo que si estuviéramos atrapando una sola partícula de masa 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 +⋯ que se mueve con velocidad la velocidad del centro de masa del conjunto. Así, la esta ecuación ayuda a justificar la representación de un cuerpo extendido como partícula. En un sistema de partículas sobre el que la fuerza neta externa que actúa es cero, de manera que el momento lineal total es constante, la velocidad del centro de masa también es constante. Suponga que marcamos el centro de masa de una llave ajustable, que está en algún punto del mango, y deslizamos la masa concierto giro sobre una mesa lisa horizontal. El movimiento global parece complicado, pero el centro de masa sigue una línea recta, como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto.

61 61

Fig22. Movimiento del centro de masa de una llave lanzada sobre una mesa. Fuerzas externas y movimiento del centro de masa Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas no es cero, el momento lineal total no se conserva y la velocidad del centro de masa cambia. Veamos la relación entre el movimiento del centro de masa y las fuerzas que actúan sobre el sistema. Tenemos las ecuaciones que dan la velocidad del centro de masa en términos de las velocidades de las partículas individuales. Dando un paso más, derivamos estas ecuaciones respecto al tiempo para demostrar que las aceleraciones están relacionadas de la misma forma. Sea𝑎 cm = 𝑑𝑣 cm 𝑑𝑡⁄ la aceleración del centro de masa; entonces,

𝑀𝑎 cm = 𝑚1𝑎 1 + 𝑚2𝑎 2 + 𝑚3𝑎 3 + ⋯ Ahora,𝑚1𝑎 1 es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula, y así sucesivamente, por lo que el lado derecho de esta ecuación es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas. Podemos clasificar cada fuerza como interna o externa. La suma de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas es entonces

𝐹 = 𝐹 externas + 𝐹 internas = 𝑀𝑎 cm

Por la tercera ley de Newton, todas las fuerzas internas se cancelan en pares, y𝐹 internas = 0. Lo que queda en el lado izquierdo es la suma sólo de las fuerzas externas:

𝐹 externas = 𝑀𝑎 cm

Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partículas, el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto y sobre ella actuará

una fuerza neta igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Este resultado quizá no suene muy impresionante, pero es básico en mecánica. De hecho, hemos estado usándolo todo el tiempo; sin él, no podríamos representar un cuerpo extendido como una partícula puntual al aplicar las leyes de Newton. Este resultado explica por qué sólo fuerzas externas pueden afectar el movimiento de un cuerpo extendido. Si usted tira de su cinturón hacia arriba, éste ejercerá una fuerza igual hacia abajo sobre sus manos; éstas son fuerzas internas que se cancelan y no afectan el movimiento global del cuerpo.

62

Suponga que un obús con una trayectoria parabólica (ignorando la resistencia del aire) estalla en vuelo dividiéndose en dos fragmentos de igual masa. Los fragmentos siguen nuevas trayectorias parabólicas, pero el centro de masa sigue la trayectoria parabólica original, igual que si la masa aún estuviera concentrada ahí. Un cohete que estalla es un ejemplo espectacular de este efecto. Esta propiedad del centro de masa es importante al analizar el movimiento de cuerpos rígidos. Describimos el movimiento de un cuerpo extendido como una combinación de traslación del centro de masa y rotación alrededor de un eje que pasa por ese centro. Esta propiedad también es importante en el movimiento de objetos astronómicos. No es correcto decir que la Luna está en órbita alrededor de la Tierra; más bien, ambos cuerpos se mueven en órbitas alrededor de su centro de masa. Hay otra forma útil de describir el movimiento de un sistema de partículas. Usando𝑎cm = 𝑑𝑣cm 𝑑𝑡 ⁄ podemos reescribir la ecuación (8.33) como

𝑀𝑎 cm = 𝑀 𝑑𝑣 cm𝑑𝑡

=𝑑 [𝑀𝑣 cm]

𝑑𝑡=

𝑑�⃗�

𝑑𝑡.

La masa total del sistema 𝑀 es constante, así que podemos incluirla en la derivada. Así tenemos

𝐹exteriores =𝑑𝑃

𝑑𝑡

Ésta ecuación describe un sistema de partículas, como un cuerpo extendido. Las interacciones entre las partículas del

sistema pueden alterar los momentos lineales individuales de las partículas, pero el momento lineal total �⃗� del sistema sólo puede cambiar si fuerzas externas actúan sobre el sistema. Por último, observamos que, si la fuerza externa neta es cero, la aceleración del centro de masa es cero. Así que la velocidad del centro de masa es constante, como en el caso de la llave de la figura 15. El momento lineal total también es constante. Esto reafirma nuestro planteamiento del principio de conservación del momento lineal.

5.4 Desintegración de partículas

En algunos casos, usando sólo los teoremas de conservación del momento lineal y la energía, se pueden obtener una serie

de conclusiones importantes referentes a las propiedades de diversos procesos mecánicos. Es de esencial importancia

el hecho de que estas propiedades no dependan de la clase de interacción de las partículas que intervienen en el proceso.

Consideraremos la desintegración “espontánea” (o sea no provocada por fuerzas exteriores) de una partícula en dos

componentes, es decir en otras dos partículas que se mueven independientemente después de la desintegración.

Este proceso se describe en su forma más sencilla cuando se analiza en el sistema de referencia en el cual la partícula está

en reposo antes de la desintegración. En virtud de la Ley de Conservación del Momento Lineal (cantidad de movimiento),

la suma de los momentos lineales de cada porción deberá dar cero; esto es, las partículas se alejan entre sí con momentos

lineales iguales y opuestos, cuyo módulo común p0 se determina por la Ley de la Conservación de la Energía.

𝐸𝑖 = 𝐸1𝑖 +𝑝2

0

2𝑚1+ 𝐸2𝑖 +

𝑝20

2𝑚2

donde Ei es la energía interna de la partícula antes de la desintegración; m1 y m2 las masas de cada fracción

63 63

E1i y E2i las energías internas de cada fracción

Designemos por ε la energía de desintegración

𝜀 = 𝐸𝑖 − 𝐸1𝑖 − 𝐸2𝑖

Que debe ser positiva para que la desintegración sea espontánea. Tendremos entonces:

𝜀 =𝑝2

0

2(

1

𝑚1+

1

𝑚2) =

𝑝20

2𝜇

Donde µ es la masa reducida

1

𝜇=

1

𝑚1+

1

𝑚2=

𝑚1 + 𝑚2

𝑚1𝑚2

Si conocemos la energía de desintegración, podemos calcular de las ecuaciones anteriores p0 y de ahí los valores de las

velocidades de las partículas creadas en la desintegración

𝑣10 =𝑝0

𝑚1𝑣20 =

𝑝0

𝑚2

Una vez calculadas las anteriores magnitudes pasamos a un sistema de referencia en la cual la partícula inicial está

animada de una velocidad V antes de la desintegración (la cual supondremos en movimiento libre). Este sistema se

denomina usualmente Sistema del Laboratorio (L) por oposición al Sistema del Centro de Masa (C) en el cual el momento

linel total es nulo. Si consideramos a una de las partículas resultantes de la desintegración y sean v1 y v10 sus velocidades

en los sistemas de referencias L y C respectivamente.

Evidentemente el analis vectorial nos indica que 𝑣 1 = �⃗� + 𝑣 10 o 𝑣 1 − �⃗� = 𝑣 10

Por lo que las magnitudes están relacionadas así:

Fig. 23 Representación

vectorial de la desintegración

𝑣21 + 𝑉2 − 2𝑣1𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 𝑣2

10

64

Donde θ1 es el ángulo que forma la dirección en la que sale la partícula 1 respecto a la dirección que traía la partícula

original, antes de fraccionarse, en el sistema L. En los diagramas v es v1, v0 es v10 y θ 0 es θ 10

La ecuación anterior determina la velocidad de la partícula en función de la dirección de su movimiento en el sistema L.

En la figura se representan los casos en que V es menor que v10 y en el caso en que es mayor. En el primer caso el ángulo

θ puede tener cualquier valor, mientras que en el segundo la partícula sólo se puede mover hacia adelante y con un

ángulo que no exceda el ángulo máximo dado por (dirección de la tangente)

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥 =𝑣10

𝑉

La relación entre los ángulos θ 1 y θ 10 en los sistemas L y C se obtiene de los gráficos:

𝑡𝑔𝜃1 =𝑣10𝑠𝑒𝑛𝜃10

𝑣10𝑐𝑜𝑠𝜃10 + 𝑉

Que despejando θ 10 se obtiene

𝑐𝑜𝑠𝜃10 = −𝑉

𝑣10𝑠𝑒𝑛2𝜃1 ± 𝑐𝑜𝑠𝜃1√(1 −

𝑉2

𝑣210

𝑠𝑒𝑛2𝜃1)

Si v10> V la relación entre θ 10 y θ 1 es unívoca como lo muestra la figura correspondiente. En la fórmula anterior debe

tomarse el signo + delante de la raiz cuadrada de modo que se tenga θ 10=0 para θ 1 =0. Sin embargo, para v10< V la relación

entre θ 10 y θ 1 no es unívoca, para cada valor de θ 1 corresponden los vectores v10 que van desde el centro del círculo a

los puntos B y C y se toman los dos signos de la raíz.

Un disco de masa 1.00 kg se desplaza sobre una superficie horizontal sin fricción con una velocidad de 10.0 m/s. Un

mecanismo interno lo fracciona en dos porciones de 0.40 y 0.60 kg, el mecanismo interno proveyó al sistema de 80.0 J de

energía. Si consideramos a los cuerpos como partículas (es decir no consideraremos energías de rotación, por ejemplo) y

además se nos informa que la partícula de masa menor se desplaza formando un ángulo de 60° respecto a la dirección de

la velocidad de la partícula original en el Sistema del Centro de Masa (θ 10), calcular la velocidad de cada partícula hija.

Solución

Calculamos primero la masa reducida de las dos fracciones

𝜇 =𝑚1𝑚2

𝑚1 + 𝑚2=

0.40𝑘𝑔 × 0.60𝑘𝑔

1.00𝑘𝑔= 0.24𝑘𝑔

Luego 𝑝0 = √2 × 𝜇 × 𝜀 = √2 × 0.24𝑘𝑔 × 80𝐽 = 6.20 𝑘𝑔.𝑚/𝑠

Por lo que 𝑣10 =𝑝0

𝑚1=

6.20 𝑘𝑔.𝑚/𝑠

0.40 𝑘𝑔= 15.5 𝑚/𝑠 y 𝑣20 =

𝑝0

𝑚2=

6.20 𝑘𝑔.𝑚/𝑠

0.60 𝑘𝑔= 10.3 𝑚/𝑠

Calculamos la tangente del ángulo visto desde el sistema L

𝑡𝑔𝜃1 =𝑣10𝑠𝑒𝑛𝜃10

𝑣10𝑐𝑜𝑠𝜃10 + 𝑉= 0.7560

65 65

Por lo que el ángulo resulta ser 𝜃1 = 0.6473 𝑟𝑎𝑑 = 37.1°

La magnitud del vector v1 se calcula así:

𝑣21 = 𝑉2 + 𝑣2

10 + 2𝑣10𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃10

𝑣1 = 22.2 𝑚/𝑠

Se pide al lector que calcule los valores para la segunda partícula.

3. Actividades sugeridas Actividad 1 Para iniciar el tema de Sistemas de Unidades se partirá de una corta discusión sobre el porqué en la mayoría de países se tiene un desorden en el uso de diferentes patrones de medida y las desventajas que esto tiene para la ciudadanía. Se hacen varios comentarios históricos para llegar al Sistema Internacional SI y destacar la importancia de que el país llegue a su uso generalizado, social de tal sistema de unidades. Se muestra la necesidad de los factores de conversión y se practica en su manejo. Se llega así al proceso de medición descubriendo que siempre está acompañado de error en la medida. Se desarrollan las diferentes formas cualitativas en las que puedo expresar el resultado de las mediciones como orden de magnitud, cifras significativas y tamaño de la incerteza. Se estudia la propagación de la incerteza para las medidas indirectas. Se concluye con un laboratorio sobre el tema. Actividad 2 Con los vectores se parte de su definición y la suma gráfica, exponiendo sus propiedades geométricas (ley del seno y del coseno para el triángulo) para llegar al tratamiento algebraico y de componentes; se sugiere un laboratorio para hacer en casa.

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 01

Módulo 1

Contenido: Proceso de Medición

Objetivo: Aplicar en situaciones cotidianas los conocimientos aprendidos sobre las formas de expresar una medida, la incerteza al medir las magnitudes y cómo se propaga esta. 1. Un estudiante mide el largo de un cuaderno con una regla graduada en milímetros (mm) reportando (23.20

±0.05) cm. ¿cuánto es la incerteza absoluta de la medida? ¿Y la incerteza relativa?

2. Un profesor utiliza una pila AA como modelo de un cilindro. Mide con un vernier y nos dice que la altura del cilindro (largo de la pila) es de 48.90 mm, el diámetro de 14.10 mm ¿Cuál es el volumen que reporta expresado con incerteza absoluta?

3. ¿Cuántas cifras significativas tienen las siguientes magnitudes medidas?

a) 2333 b) 0.023 c) 0.001010 d) 3.20x105 e) 8.040x10-6

4. Un grupo de personas mide la distancia sobre carretera entre dos ciudades. El primer grupo mide una parte y reporta el siguiente dato: 12.3 km; el segundo mide otra parte y reporta 15.56 km y el tercer grupo completa la tarea y reporta 8.128 km. ¿Cuál es la distancia que se debe reportar entre las dos ciudades?

67 67

5. Usando una regla graduada en pulgadas cuya medida más pequeña es de un cuarto de pulgadas, se mide el largo de un escritorio y sabemos que el valor es no mayor de 40.75 pulgadas y no menor que 40.25 pulgadas. Exprese esta medida con valor central e incerteza absoluta.

6. Determinar el error máximo cometido cuando se calcula el valor de 𝑌 = 𝑋1 × 𝑋2, cuando 𝑋1 = 2.0 ± 0.1 y 𝑋2 = 3.0 ± 0.2

7. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de 1 mm ¿Cuál es la distancia más corta que puedo medir para que la incerteza relativa no sea mayor que el 1%? Calcular la distancias más corta que puedo medir para que la incerteza relativa no sea mayor que el 5%.

8. Se utiliza un termómetro graduado en 1/5 de grado Celsius para medir la temperatura exterior. Medida con aproximación de 1/5 de grado, la temperatura de ayer fue de 22.4° y la de hoy 24.8° ¿Cuál la incerteza relativa de la diferencias de temperaturas entre ayer y hoy?

9. Para medir la resistencia de un resistor, se miden la caída de tensión entre sus terminales y la corriente que circula por él. La lectura del voltímetro es de5.2 ± 0.2 𝑉, y la lectura del amperímetro es de 2.6 ±

0.1 𝐴¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada cómo 𝑅 =𝑉

𝐼 ?

10. Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando 𝑇 = 2𝜋√ℓ

𝑔. El período T medido

fue de1.24 ± 0.02 seg. y la longitud de0.381 ± 0.02 m. ¿Cuál es el valor resultante de g con su incertidumbre absoluta y relativa?

11. La distancia focal, f de una lente delgada, se va a medir usando la ecuación

iof

111 , donde

o = distancia objeto = 0.154 ± 0.002 metros i = distancia imagen = 0.382 ± 0.002 metros

Reporte la distancia focal de la lente y su respectiva incertidumbre absoluta.

12. Al medir la resistencia de un resistor, la lectura del voltímetro fue de 15.2 ± 0.2 voltios y la lectura del amperímetro, de 2.6 ± 0.1 amperios. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada?

13. Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando la ecuación

g

lT 2

El período medido fue de 1.24 ± 0.02 segundos y la longitud del péndulo de 0.381 ± 0.002 metros. ¿Cuál es el valor resultante de g con su incertidumbre absoluta y relativa?

68

14. Una rejilla de difracción se usa para medir la longitud de onda de la luz, usando la ecuación d sen θ = λ. El valor medido de θ es de 13º 34´ ± 2´. Suponiendo que el valor d es igual 1420 x 10-9 metros y que se puede ignorar su incertidumbre, ¿Cuál es la incertidumbre absoluta y relativa del valor de λ?

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 02

Módulo 1

Contenido: Sistema de Unidades

Objetivo: Aplicar las unidades de los sistemas de unidades y la conversión de un sistema a otro en la determinación de magnitudes físicas.

1. Un nanosegundo es:

a) 109 s

b) 10-9 s

c) 10-10 s

d) 10-6 s

e) 10-12 s

2. El estándar actual de longitud está basado en:

a) La distancia entre el polo norte y el ecuador a lo largo del meridiano que pasa por Paris

b) La longitud de onda de la luz emitida por Hg198

c) La longitud de onda e la luz emitida por Kr86

d) Un metro de precisión guardado en Paris

e) La velocidad de la luz

3. No existe unidad de área en el SI porque:

a) El área no tiene grosor; por lo tanto no se puede construir un estándar

b) Vivimos en un mundo tridimensional no de dos dimensiones

c) Es imposible expresar los pies cuadrados en términos de metros

d) El área se puede expresar en metros cuadrados

e) El área no es una magnitud física importante

4. La unidad base SI para la masa es:

a) El gramo

69 69

b) La libra

c) El kilogramo

d) La onza

e) El kilopondio

5. Un gramo es:

a) 10-6 kg

b) 10-3 kg

c) 1 kg

d) 103 kg

e) 106 kg

6. Uno estudiantes calculan la superficie de una esfera de radio R =4.65 cm y otros calculan el área

superficial de un cubo y encuentran que es de 42.1 pulg2 ¿Tienen la misma superficie?

7. El capitán de un barco nos dice que la velocidad de su barco es de 20 nudos y nos encontramos a 50 km

de distancia del puerto ¿En cuánto tiempo llegaremos al puerto?

8. El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es de 9.8 m/s2, ¿cuál es su valor en

el Sistema Absoluto Ingles, cuyas unidades para longitud, masa y tiempo son pulgadas, libras y segundos.

9. Una milla (mi) es equivalente a 1609 m, por lo tanto 55 mi/h es:

a) 15 m/s

b) 25 m/s

c) 66 m/s

d) 88 m/s

e) 1500 m/s

10. Una esfera tiene un radio de 1.7 cm, su volumen es de:

a) 2.1 x 10-5 m3

b) 9.1 x 10-4 m3

c) 3.6 x 10-3 m3

d) 0.11 m3

e) 21 m3

11. Suponga que A = B C, donde A tiene dimensiones L/M y C tiene dimensiones L/ T. Entonces B tiene

dimensiones:

a) T/M

b) L2 /TM

c) TM /L2

d) L2 T /M

e) M/ L2 T

70

12. Un campo cuadrado que mide 100.0 m por 100.0 m tiene un área de 1.00 hectáreas. Un acre tiene un

área de 43,600 ft2. Si un campo tiene un área de 12.0 acres, ¿cuál es su equivalencia en hectáreas?

13. Un trozo rectangular de aluminio mide 5.10 6 0.01 cm de longitud y 1.90 6 0.01 cm de anchura. a) Calcule

su área y la incertidumbre del área.

DATOS

1 nudo = 1 milla náutica/hora = 0.5144 m/s

1 pulgada = 2.54 cm

1 Pie = 12 pulgadas

1 milla 5280 pies

1 milla 1609 m

1 uma = 1.6605x10-27 kg

1 atm = 1.01325x105 Pa

1 cal = 4.184 J

1 eV = 1.602x10-19 J

1 lbf = 4.448 N

1 acre = 0.4047 Ha

1 galón U.S. =3.78528 litros

1 barril U.S. = 42 galones U.S.

1 tonelada = 1000 kg

1 Caballo de Vapor (HP) = 0.746 kilovatios

1 kilovatio hora = 3.6 Megajulios

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 03

Módulo 1

Contenido: Vectores

Objetivo: Resolver problemas en situaciones que se apliquen las operaciones con vectores

1. Un ciclista viaja 2.00 km hacia el norte, luego 4.00 km al este. ¿A qué distancia llega desde el punto de

partida? ¿Cómo describe la dirección en que se encuentra en ese momento?

2. Un insecto se desplaza 30 cm hacia el este, luego 20 cm al norte y finalmente 30 cm hacia el noroeste.

¿A qué distancia y dirección respecto al origen se encuentra?

3. El vector A tiene componente de 3.0 m en el eje de las X y 4.0m en el eje de las Y. ¿Cuál es la magnitud

y la dirección de dicho vector?

4. Un avión viaja 2 km hacia arriba en la dirección sur, luego viaja horizontalmente 20 km hacia el este,

finalmente viaja horizontalmente 5 km hacia el norte. ¿A qué distancia y dirección se encuentra del

origen?

5. Encuentre las componentes X – Y del vector que tiene de magnitud 9.30 m y forma un ángulo de 60° con

el eje de las X.

6. Se tienen los vectores 𝐴 = 3𝑖̂ + 4𝑗̂ y �⃗� = 5𝑖̂ − 6𝑗̂. Calcular los vectores 𝐴 + �⃗� 𝑦 𝐴 − �⃗�

7. Calcular la resultante de los tres vectores mostrados en la figura

8. Calcule la magnitud y dirección de los siguientes vectores, expresados en componentes: Ax = -8.0 m, Ay

=6.0 m; Bx = -9.5 m, By = -5.0 m; Cx = 3.5 m, Cy = -7.9 m

72

9. Un vector A que mide 2.80 cm forma un ángulo de 60° con el eje de las X y el segundo vector B mide

1.90 cm y forma un ángulo de -60° con el eje de las X. Calcular el vector resultante de su suma, su

magnitud y dirección.

10. Dados dos vectores 𝐴 = 4.00𝑖̂ + 3.00𝑗̂ , �⃗� = 5.00𝑖̂ − 2.00𝑗̂ a) Calcule la magnitud de cada vector, b)

escriba una expresión para 𝐴 − �⃗� usando vectores unitarios, c) Obtenga la magnitud y dirección de 𝐴 −

�⃗�

11. Calcule el módulo de la resultante (en Newton N) de dos fuerzas de 4N y 8N respectivamente que forman

entre sí un ángulo de 60°.

12. Determine el coseno del ángulo que forman dos vectores de igual magnitud, si su resultante vale la

mitad de ellos.

13. Dos fuerzas de igual módulo y que forman un ángulo de 60° entre sí, tiene una resultante de 40√3N.

Calcule el módulo de dichas fuerzas.

14. Los módulos de los vectores y son 4u y 3u respectivamente. Calcule el máximo valor de la operación |2

+ 3 |.

15. La resultante de los 4 vectores mostrados tiene un módulo de:

16. Un avión sale del aeropuerto de Comalapa (El Salvador) y vuela 240 km en dirección 45° al sureste; luego

vuela 140 km a 45° al noreste para efectuar un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué dirección

y qué distancia deberá volar desde el aeropuerto una cuadrilla de emergencia para llegar directamente

al avión averiado?

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 04

Módulo 1

Contenido: Cinemática

Objetivo: Resolver situaciones cotidianas con base a la conceptualización y cálculo de los parámetros de la

cinemática, utilizando métodos numéricos y gráficos.

PREGUNTAS

1) Un cuerpo que se mueve con velocidad constante, ¿difiere la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo de la velocidad instantánea en cualquier instante?

2) Se dice que un cuerpo se mueve a velocidad constante cuando a) Tiene una aceleración positiva. b) Tiene una aceleración negativa. c) tiene aceleración cero d) Podría tener cualquiera de los valores sugeridos en los literales anteriores.

3) En un gráfico posición-tiempo, una línea horizontal corresponde a un movimiento a) A velocidad cero. b) a velocidad constante c) A velocidad incrementándose. d) A velocidad decreciendo.

4) Si la posición es graficada en función del tiempo, la pendiente del gráfico representa: a) La aceleración instantánea. b) La velocidad instantánea. c) Relación de cambio de velocidad.

5) ¿Podemos tener desplazamiento cero y velocidad media distinta de cero? ¿Podemos tener desplazamiento cero y velocidad distinta de cero? Ilustre sus respuesta en una gráfica x – t.

74

PROBLEMAS

1.- Un auto se dirige al norte sobre una carretera recta y horizontal, recorriendo 18.0 Km en 15 minutos. Luego se da vuelta y regresa por el mismo camino hasta el punto de partida, tardando ahora 12 minutos. Encontrar:

a) La rapidez media en el viaje de ida.

b) La rapidez media en el viaje de retorno.

c) La rapidez media de todo el viaje.

d) La velocidad media para el trayecto de ida.

e) La velocidad media en el viaje de regreso.

f) La velocidad media en el viaje total.

2.- La Figura muestra la aceleración en función del tiempo para una partícula que parte del reposo y se mueve sobre el eje x. Trace un diagrama que muestre:

a) La velocidad instantánea (v) en función del tiempo (t). b) La posición (x) en función del tiempo (t).

3.- La figura muestra el desplazamiento en función del tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje x. Trace un diagrama que muestre:

a) La velocidad promedio en cada intervalo.

b) La velocidad promedio en todo el recorrido.

4.- La posición de una partícula en movimiento sobre el eje de las x está dado en función del tiempo por

X(t) = at2 - bt4 con X en metros y t en segundos. Calcule: a) Las dimensiones de las constantes a y b. b) La velocidad instantánea en función del tiempo. c) La aceleración instantánea en función del tiempo.

-6

-4

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0

2

4

6

0 10 20 30 40A

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(m

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Tiempo (s)

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3

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

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(m)

Tiempo (s)

75 75

Si las constantes a y b tienen valores de 16.0 y 1.0 respectivamente; calcule:

d) El valor máximo de la posición para t > 0. e) El valor máximo de la velocidad instantánea para t > 0. f) La velocidad media en el intervalo 1 s < t < 2 s. g) La aceleración media en el intervalo 1 s < t < 2 s.

5.- Una partícula se mueve a lo largo del eje X de manera que su desplazamiento está dado por:

)cos()( wtXtX 0 , donde X0 y w son constantes. Encuentre su velocidad y su aceleración instantánea.

Si X0 = 5 cm y w = 25 Rad/s, calcule los valores de la velocidad instantánea cuando t = 0.05 s.

6.- Usted suele viajar entre San Salvador y Santa Ana con una rapidez media de 96 Km. / h y el viaje dura 2 h 10 min. En un día lluvioso decide ser precavido y mantener una rapidez media de 80 Km. / h. ¿Cuánto tiempo más tardará el viaje?

7.- Partiendo de un pilar, usted recorre 200 metros al E (la dirección +x) con una rapidez media de 4.0 m / s, luego 280 m al O a 7.0 m / s, a un poste. Calcular a) su rapidez media y b) su velocidad media del pilar al poste.

8.- Un coche viaja en línea recta. Su distancia x desde una señal de stop está dada en función del tiempo por:

x = t2 + t3, donde = 1.50 m / s2 y = 0.250 m / s3. Calcule la velocidad media del auto durante los intervalos a) t = 0 a t = 2.00 s; b) t = 0 a t = 4.00 s; c) t = 2.00 a t = 4.00 s.

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Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

Discusión de Problemas 05

Módulo 1

Contenido: Tiro libre, Movimiento bidimensional y Dinámica

Objetivo: Resolver problemas en los que se apliquen los conceptos y procedimientos de tiro libre, movimiento

de proyectiles (bidimensional), Primera ley de Newton y coeficiente de fricción.

PREGUNTAS

1. ¿Puede cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo cuando su aceleración es constante? 2. ¿Puede ir aumentando la rapidez de un cuerpo a medida que su aceleración disminuye? Explique.

PROBLEMAS

1. El movimiento de caída de un cuerpo, cerca de la superficie de un astro cualquiera es uniformemente variado, como en la Tierra. Un habitante de un planeta X, que desea medir el valor de la aceleración de la gravedad en este planeta, deja caer un cuerpo desde una altura de 64 m, y observa que tardó 4.0 s en llegar al suelo.

a. ¿Cuál es el valor de la gravedad en el planeta X? b. ¿Cuál es la velocidad a la cual llegó hasta el suelo el cuerpo soltado?

2. Un astronauta, en la Luna, arrojó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8.0 m/s.

El objeto tardó 5.0 s para alcanzar el punto más alto de su trayectoria. Con estos datos calcule: a. El valor de la aceleración de la gravedad lunar. b. La altura que alcanzó el objeto.

3. Un ascensor sube con velocidad constante de 2 m/s. Cuando se encuentra a 10 m sobre el nivel del suelo los cables se rompen. Prescindiendo del rozamiento,

a. Calcular la máxima altura a que llega la cabina. b. Si los frenos de seguridad actúan automáticamente cuando la velocidad del descenso alcanza el valor

de 4 m/s, determinar la altura en la que actúan los frenos.

4. Una grúa eleva un objeto pesado a velocidad constante de 10 m/s. Cuando el objeto se encuentra a 5 m sobre el suelo, se rompe el cable quedando el objeto en libertad. Calcular:

a. ¿Hasta qué altura seguirá subiendo el objeto? b. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo desde que se rompió la cuerda?

77 77

5. Un cañón de un barco lanza horizontalmente, desde una altura de 5 metros respecto al nivel del mar, un proyectil con una velocidad inicial de 900 m/s. Si el tubo del cañón es de 15 m de longitud y se supone que el movimiento del proyectil dentro del tubo es uniformemente acelerado, debido a la fuerza constante de los gases de la combustión de la pólvora, calcular:

a. La aceleración del proyectil dentro del cañón y el tiempo invertido por el proyectil en recorrer el tubo del cañón.

b. La distancia horizontal alcanzada por el proyectil desde que abandona el cañón hasta que se introduce en el agua.

6. El lanzamiento más rápido medido de una pelota de beisbol sale de la mano del pitcher a una rapidez de 45.0 m/s. Si el pitcher estuvo en contacto con la pelota una distancia de 1.50 m y produjo aceleración constante,

a. ¿qué aceleración le dio a la pelota b. ¿cuánto tiempo le tomó lanzarla?

7. El cuerpo humano puede sobrevivir a un incidente de trauma por aceleración negativa (parada repentina), si la magnitud de la aceleración es menor que 250 m/s2. Si usted sufre un accidente automovilístico con rapidez inicial de 105 km/h y es detenido por una bolsa de aire que se infla desde el tablero, ¿en qué distancia debe ser detenido por la bolsa de aire para sobrevivir al percance?

8. En el instante en que un semáforo se pone en luz verde, un automóvil que esperaba en el cruce arranca con aceleración constante de3.20 m/s2. En el mismo instante, un camión que viaja con rapidez constante de 20.0 m/s alcanza y pasa al auto.

a. ¿A qué distancia de su punto de partida el auto alcanza al camión? b. ¿Qué rapidez tiene el auto en ese momento? c. Dibuje una gráfica x-t del movimiento de los dos vehículos, tomando x = 0 en el cruce. d. Dibuje una gráfica vx-t del movimiento de los dos vehículos.

9. Un elevador de 3800 kg es tirado hacia arriba por un cable con una aceleración de 1.6 m/s2. a) Cual es la tensión en el cable? b) ¿Cuál es la tensión cuando el elevador acelera hacia abajo a 1.6 m/s2, pero sique moviéndose hacia arriba?

10. El coeficiente de fricción estática entre el teflón y los huevos revueltos es aproximadamente 0.04, ¿Cuál es el ángulo más pequeño desde la horizontal que hará que los huevos resbalen en fondo de un sartén recubierto con teflón?

11. Suponga que sólo las llantas traseras de un automóvil pueden acelerarlo y que la mitad del peso total del automóvil está sostenida por ellas. a) ¿Cuál es la aceleración máxima alcanzable si el coeficiente de fricción estático entre las llantas y el carro es μs? b) ¿Suponga que μs=0.56 y obtenga un valor numérico de esta aceleración?

78

12. Un baúl de 240N está en el piso. el coeficiente de fricción estática entre ellos es de 0.41 y el de fricción cinética es 0.32. a) ¿Cuál es la fuerza horizontal mínima con que una persona debe empujarlo para que empiece a desplazarse? b) una vez en movimiento, ¿Qué fuerza debe aplicar la persona para que siga desplazándose a velocidad constante? c) Si por el contrario, la persona continuara empujando con la fuerza aplicada para iniciar el movimiento, ¿Qué aceleración alcanzaría el baúl?

13. Un estudiante quiere determinar los coeficientes de fricción estático y de fricción cinético entre una caja y un tablón. Coloca la caja sobre el tablón y poco a poco eleva un extremo de él. Cuando el ángulo de inclinación con la horizontal alcanza 28.0˚, la caja empieza a resbalar y en 3.92 s se desliza 2.53 m hacia abajo del tablón. Encuentre los coeficientes de fricción.

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 06

Módulo 1

Contenido: Trabajo y Energía

Objetivo: Discutir y resolver los problemas planteados aplicando los conceptos y procesos de cálculo en la

realización de trabajo mecánico, potencia y energía mecánica utilizando métodos gráficos y numéricos.

PREGUNTAS

11.. Un ascensor es subido por sus cables con una rapidez constante. El trabajo realizado sobre él ¿es negativo, positivo o cero?

22.. Se tira de una cuerda atada a un cuerpo y este se acelera. Según la Tercera Ley de Newton, el cuerpo tira de la cuerda con fuerza igual y opuesta. ¿Es cero el trabajo realizado? Si es así ¿Cómo puede cambiar la energía cinética del cuerpo? Explique.

33.. Para una fuerza constante en la dirección del desplazamiento, tal que FsW ¿Cómo puede efectuarse el doble de trabajo con una fuerza de la mitad de su magnitud?

44.. Se usa un gato mecánico para levantar un coche ejerciendo una fuerza de mucha menor magnitud que el peso del coche.

¿Implica esto que la fuerza del gato efectúa mucho menos trabajo sobre el coche que si este se hubiera

levantado directamente? Explique.

79 79

55.. Si hubiera una fuerza neta distinta de cero y de magnitud constante sobre un objeto, ¿el trabajo total realizado sobre él podría ser cero?

66.. Suponga que la Tierra gira alrededor del Sol en una órbita perfectamente circular. ¿Efectúa el Sol algún trabajo sobre la Tierra?

77.. Usted levanta lentamente una bola de boliche desde el piso y la pone sobre una mesa. Sobre la bola actúan dos fuerzas: su peso gm

y la fuerza para levantarla, gm

Estas dos fuerzas se cancelan entre sí,

de modo que parecería que no ha habido trabajo alguno. ¿Qué es lo que falla?

88.. El trabajo efectuado por una fuerza puede ser positivo, negativo o cero. ¿El trabajo total efectuado sobre un objeto durante un desplazamiento puede ser negativo? Explique. Si el trabajo total es negativo, ¿puede su magnitud ser mayor que la energía cinética inicial del objeto?

99.. ¿Depende la energía cinética de la dirección del movimiento? ¿Puede ser negativa? ¿Depende su valor del sistema de referencia del observador?

1100.. Cuando un montacargas se reemplaza por uno nuevo que tiene el doble de potencia, ¿cuánta mayor carga podrá levantar en el mismo periodo de tiempo? Si levanta la misma carga, ¿qué tanto más rápido opera?

PROBLEMAS

1. Desde el extremo A de una rampa se deja caer una partícula de 250 g de masa, que desliza con rozamiento (coeficiente μ=0.5) hasta llegar al punto B. En el punto B, continua su movimiento describiendo el arco de circunferencia BCD, de 5 m de radio (en este tramo no hay rozamiento). Sale por el punto D, describiendo un movimiento parabólico hasta que impacta en el punto E situado sobre un plano inclinado 30º respecto de la horizontal.

Calcular la velocidad de la partícula en el punto más bajo C de su trayectoria circular, y la reacción en dicho punto.

Determinar el punto de impacto del proyectil sobre el plano inclinado DE, y las componentes de la velocidad en el punto de impacto

80

2. Un bloque de 600 g se suelta en la posición A, desliza a lo largo del plano inclinado de 45º de inclinación hasta B, a continuación describe el bucle BCDEB, desliza a lo largo del plano horizontal BF y finalmente comprime un muelle de constante k=500 N/m cuyo extremo libre dista 60 cm de B.

Calcular la máxima deformación del muelle, sabiendo que la altura h de A es de 2.5 m, el radio del bucle r=0.5 m, y el coeficiente dinámico de rozamiento en el plano horizontal BG e inclinado AB es de 0.3. Se supone que no hay rozamiento en el bucle.

Hallar la reacción en la posición D. (Tomar g=9.8 m/s2)

3. Un bloque de 4 kg de masa desliza a lo largo de un plano inclinado de 30º de inclinación. Sobre el plano inclinado y paralelamente al mismo se ha colocado un muelle de constante recuperadora 500 N/m cuya misión es parar el bloque. Sabiendo que cuando se inicia el movimiento, la distancia entre el bloque y el muelle a lo largo del plano es de 10 m

Determinar la máxima deformación del muelle. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.2

4. Para empujar una caja de 52 kg por el piso, un trabajador aplica una fuerza de 190 N, dirigida 22º debajo de la horizontal. Conforme la caja se desplaza 3.3 m, ¿Cuánto trabajo realiza en ella a) el trabajador, b) la fuerza de gravedad y c) la fuerza normal del piso sobre la caja?

5. Para empujar hacia arriba una caja de 25 kg por una pendiente de 27º, un trabajador ejerce una fuerza de 120 N paralela a ella. A medida que la caja se sube 3.6 m, ¿Cuánto trabajo efectúan en ella a) el trabajador, b) la fuerza de gravedad y c) la fuerza normal de la pendiente?

6. Un bloque de hielo de 47.2 kg se desliza hacia abajo por una pendiente de 1.62 m de longitud y 0.902 m de altura. Un trabajador empuja el hielo paralelo a la pendiente hacia arriba para que se deslice hacia abajo con una velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre el hielo y la pendiente es 0.111. Determine, a) la fuerza ejercida por

81 81

el trabajador. b) el trabajo efectuado por el trabajador sobre el bloque y c) el trabajo que realiza la gravedad en el bloque.

7. En un funicular para 100 esquiadores, una maquina levanta con rapidez constante a pasajeros que en promedio pesan 667 N a una altura de 152 m en 55.0 s. Calcule la potencia generada por el motor, suponiendo que no hay perdidas por fricción.

8. ¿Cuánta potencia en caballos de fuerza, debe alcanzar el motor de un automóvil de 1600 kg que va a 26 m/s en una carretera plana, si las fuerzas de resistencia suman 720 N?

9. ¿Qué potencia desarrolla una afiladora cuya rueda tiene un radio de 20.7 cm y realiza 2.53 rev/s cuando la herramienta que se desea afilar se sostiene contra la rueda con una fuerza de 180 N? El coeficiente de fricción entre ésta y la herramienta es 0.32.

10. Un péndulo simple está formado por un hilo inextensible y de masa despreciable de 0.5 m de longitud del que cuelga una masa puntual de 2 kg. Si se separa de la posición de equilibrio 10º y se suelta, calcular la tensión del hilo cuando el péndulo pasa de nuevo por la posición vertical. Tomar g=9.8 m/s2.

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 07

Módulo 1

Contenido: Colisiones

Objetivo: Discutir y resolver los problemas planteados aplicando los conceptos y procesos de cálculo de

cantidad de movimiento, impulso y choques elásticos e inelásticos utilizando métodos gráficos y numéricos.

PREGUNTAS

1. ¿Qué tiene más cantidad de movimiento, un automóvil de 1 tonelada que avance a 100 km/h o un camión de 2 toneladas que avance a 50 km/h?

2. ¿Tiene impulso un objeto en movimiento?

3. ¿Tiene cantidad de movimiento un objeto en movimiento?

4. Para la misma fuerza, qué cañón ejerce mayor impulso a la bala: uno largo o uno corto.

82

5. Un boxeador es alcanzado por un golpe, y lo cabecea para aumentar el tiempo y alcanzar los mejores resultados; en tanto que un experto en karate entrega su fuerza durante un intervalo corto, para obtener mejores resultados. ¿No hay una contradicción aquí?

6. ¿En qué caso el impulso es igual a la cantidad de movimiento?

7. La segunda ley de Newton establece que, si no se ejerce ninguna fuerza neta sobre un sistema, no ocurre aceleración. ¿De esto se desprende que tampoco ocurre cambio en la cantidad de movimiento?

8. La tercera ley de Newton establece que la fuerza que ejerce un cañón sobre la bala es igual y opuesta a la fuerza que la bala ejerce sobre el cañón. ¿De esto se desprende que el impulso que ejerce el cañón sobre la bala es igual y opuesto al impulso que la bala ejerce sobre el cañón?

PROBLEMAS

1. En una erupción volcánica, una roca de 2400 kg es lanzada verticalmente hacia arriba. Al alcanzar su altura máxima, estalla súbitamente (a causa de los gases atrapados) y se divide en dos fragmentos, uno de los cuales tiene una masa tres veces mayor que el otro. El fragmento más liviano comenzó con una velocidad horizontal y tocó tierra 274 m directamente al norte del punto del estallido. ¿Dónde caerá el otro fragmento? Desprecie la resistencia del aire.

2. Tres vagones de ferrocarril en movimiento se acoplan con un cuarto vagón que está en reposo. Los cuatro continúan en movimiento y se acoplan con un quinto vagón en reposo. El proceso continúa hasta que la rapidez del tren formado es la quinta parte de la rapidez de los tres vagones iniciales. Los vagones son idénticos. Sin tomar en cuenta la fricción, ¿cuántos vagones tiene el tren final?

3. Tres discos idénticos en una mesa horizontal de hockey de aire tienen imanes repelentes. Se les junta y luego se les suelta simultáneamente. Todos tienen la misma rapidez en cualquier instante. Un disco se mueve al oeste. ¿Qué dirección tienen los otros dos discos?

4. Un niño de 40 kg está en el extremo de una plataforma de 80 kg y 2 m de longitud. El niño se desplaza hasta el extremo opuesto de la plataforma. Supondremos que no hay rozamiento entre la plataforma y el suelo.

a) ¿Cuánto se desplaza el centro de masas del sistema formado por la plataforma y el niño? Razónese la respuesta.

b) ¿Cuánto se desplaza el niño respecto del suelo? ¿Cuánto se desplaza la plataforma respecto del suelo?

5. Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s, choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo. Si el choque es frontal y elástico, hallar la velocidad de cada partícula después del choque.

83 83

6. Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la reacción es de 190 MeV. (un mega M es 106 veces). Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10-27 kg, 1eV = 1.6 10-19 J. Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.

7. Un cuerpo de 5 kg de masa se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10 m/s y choca contra otro cuerpo de 10 kg de masa, que se desplaza en dirección perpendicular al anterior con velocidad de 5 m/s. Ambos bloques después del choque quedan unidos y se desplazan juntos. Calcular:

a) La velocidad de ambos después del choque. b) La dirección de su velocidad. c) La pérdida de energía cinética en el choque

8. Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve a 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección original.

a) Hallar la velocidad de la segunda partícula. b) La Q (cambio de energía cinética) del proceso.

9. Una partícula de masa 4 kg y velocidad 2 m/s choca contra otra de 3 kg que está en reposo. La primera se desvía –45º respecto de la dirección inicial y la segunda 30º.

a) Calcular las velocidades de ambas partículas después del choque. b) ¿Es elástica la colisión?

10. Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo. Si la primera partícula se desvió 50º de la dirección original del movimiento. Hallar la velocidad de cada partícula después del choque. Se supone que el choque es elástico

11. Una bala de 50 g de masa se empotra en un bloque de madera de 1.2 kg de masa que está suspendido de una cuerda de 2 m de larga. Se observa que el centro de masa del bloque y la bala se eleva 40 cm. Encontrar el módulo de la velocidad de la bala

12. Una granada se mueve horizontalmente con respecto al suelo a 8 km/s explota dividiéndose en tres fragmentos iguales. Uno sale en dirección horizontal (la misma que llevaba la granada) a 16 km/s. El segundo sale hacia arriba formando un ángulo de 45º y el tercer fragmento, hacia abajo formando un ángulo de 45º.

a) Hallar la velocidad del segundo y del tercer fragmento b) Hallar la Q de la explosión (Q=ΔEc) c) Sabiendo que la granada se encontraba a 100 m del suelo cuando se produce la explosión, hallar el

alcance de cada uno de los fragmentos.

84

Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

LABORATORIO 01

Módulo 1

Contenido: Proceso de Medición y Error en la Medida.

Objetivos:

Expresar adecuadamente los resultados de un proceso de medición.

Determinar el intervalo de incerteza para los siguientes casos: una medida realizada una sola vez y una medida realizada varias veces.

Hacer la propagación de incertezas para la determinación de magnitudes físicas que son medidas indirectamente, a través de un cálculo matemático (suma, resta, multiplicación y división) con otras variables o magnitudes medidas directamente.

Material y equipo:

Regla de un metro graduada en cm

Regla de un metro graduada en mm

Un vernier o pie de rey

Un tornillo micrométrico

50 hojas de papel bond

Una balanza

Una probeta de 100 ml

1 pieza cilíndricas de metal

Figura triangular

Agua Primero: Observa detenidamente los diferentes instrumentos de medición que utilizarás y familiarízate con su escala de graduación y completa la información de la siguiente tabla:

Aparato de medida Valor de la menor división de la Escala

Incerteza estimada

Regla graduada en cm

Regla graduada en mm

Vernier

Nonius o tornillo micrométrico

Balanza

Probeta

Segundo: Mide la longitud de tu mesa de trabajo. Utiliza ambas reglas y reporta tus resultados en la siguiente tabla. Repite las medidas con tus compañeros de mesa hasta completar la tabla.

85 85

No de medida Regla graduada en cm Regla graduada en mm

1

2

3

4

5

6

1. De acuerdo a tus resultados, ¿Cuál medida es más exacta? ¿Cuál es más precisa? ¿Existe alguna diferencia entre

precisión y exactitud?

2. De los resultados de la columna 3 de la tabla anterior, ¿Cual reportarías como el mejor valor? Hazlo y exprésalo en la

forma L = l l __________________________ 3. ¿Cómo medirías el grosor de una página de papel? Hazlo sin utilizar el pie de rey ni el tornillo micrométrico. Describe

brevemente el procedimiento que seguiste para hacerlo

4. Con el tornillo micrométrico mide el grosor del cabello de uno de tus compañeros. Que ellos también hagan lo mismo

y anota los resultados con su respectiva incerteza:

D1: ________________, D2: _______________, D3: ________________________, D4: _________________ 5. Mide la longitud y el diámetro de la pieza de metal cilíndrica, expresa el resultado de esta medida con su respectiva

incerteza y con estos datos determina el volumen del cilindro (v h r2) y expresa el resultado en la forma V = V V. __________________________

6. Llena parcialmente la probeta con agua y determina el volumen de agua que contiene VH2O= ____________________ ml

86

7. Introduce completamente y con cuidado la pieza cilíndrica de metal y observa el incremento de nivel del agua. Anota esta nueva lectura y a partir de ésta y la anterior, determina el volumen del cilindro. V’ = _________________ ml,

Vc = __________________ cm3. Puedes tomar la siguiente equivalencia: 1cm3 1ml. Compara este resultado con el obtenido en el numeral 7 y saca tus conclusiones.

8. Utilizando la balanza, determina la masa de la pieza cilíndrica y tomando el resultado del numeral 7 para su volumen,

determina la densidad de la misma ( = m / V ), tomando en cuenta la propagación de incertezas para la misma. 9. Determina el área del siguiente triángulo (no es rectángulo). Toma siempre en cuenta la propagación de incertezas.

Hazlo utilizando cada vez, un lado como base. 10. Elabora tus conclusiones y recomendaciones sobre la práctica en general.

87 87

Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

LABORATORIO 02

Módulo 1

Contenido: Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Objetivo general: Estudiar de manera experimental el movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento

rectilíneo uniformemente variado.

Objetivos específicos:

Que el estudiante usando equipo sencillo de laboratorio sea capaz de:

1. Medir la posición (x) de una partícula en función del tiempo (t).

2. Construir, a partir de los datos experimentales, la gráfica de x vrs. t.

3. Determinar mediante el método de mínimos cuadrados los tipos de proporcionalidad del movimiento.

4. Escribir las ecuaciones del movimiento.

Marco teórico

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles

de describir. En primer lugar, aquél en que la

velocidad es constante. En el caso más sencillo, la

velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en

el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es

constante, la velocidad media es igual a la velocidad en

cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide

con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la

posición x a velocidad constante v será igual al

producto de la velocidad por el tiempo.

En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

Figura 1. Gráfica x vrs. t para el MRU

88

xv

t (1)

Al representar gráficamente la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas

(tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa el desplazamiento.

La representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente

se corresponde con la velocidad.

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad

varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de

una aceleración a constante, considerando una

velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad

instantánea en el tiempo t será:

.v a t (2)

La distancia recorrida durante ese tiempo será

210 2x x at (3)

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t²). En el

movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante, ver

figura 3.

0 constante y v=variablea (4)

Figura 2. Gráfica x vrs. t para el MRUV

X0

89 89

La gráfica v vs t es siempre un línea recta, cuya pendiente

representa la aceleración instantánea. El área bajo la

gráfica equivale al desplazamiento, que será positivo

cuando el móvil se aleja del punto de partida, y negativo,

si se acerca al punto de partida. Si sacamos el valor

absoluto de la velocidad y después obtenemos el área

bajo la curva, esta nos representaría la distancia total

recorrida.

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

1. Observación del fenómeno: Coloque un extremo del riel sobre un montaje mecánico (8 - 10 cm de alto), para formar un plano levemente inclinado, esta posición no deberá ser modificada en todo el experimento. Ver figura 5. Observe cómo rueda el balín por el riel.

Figura 5. Montaje experimental para la parte B.

2. Marque el riel cada 20 cm y repita la medida por cada distancia tres veces, asegúrese de soltar el balín siempre del mismo punto así como tomar el tiempo de llegada siempre en el mismo punto, coloque los datos en la siguiente tabla.

No. Distancia (cm) Tiempo (s)

Tiempo (s) Tiempo (s) Tiempo

promedio (s)

1 20

2 40

3 60

4 80

5 100

Figura 3. Gráfica v vrs. t para el MRUV

90

6 120

7 140

8 160

3. Análisis del experimento:

Promedie el tiempo para cada distancia y haga una gráfico x vrs. t. ¿Qué representa la pendiente en este grafico?

Mediante el siguiente procedimiento encuentre la relación matemática entre x y t: Nuestro conocimiento de la física del problema nos sugiere que la relación entre x y t es de la forma

nx at (5)

Con n=2. Nuestro trabajo es comprobar si los datos obtenidos en el experimento se ajustan a una

relación como la dada por la ecuación (5). Para tal fin usaremos el método de mínimos cuadrados

linealizando la ecuación anterior

ln ln( ) ln lnnx at a n t (6)

Y haciendo ln , ln lnx X a A y t T tenemos

X A nT (7)

Grafique sus datos en la forma de la ecuación (7)

Una vez obtenidos los coeficientes A y n de la ecuación (7) y sustituirlos en la ecuación (5),

explique si sus resultados son conforme a lo esperado, si no es así explique por qué no lo es.

Derive la ecuación (5) para obtener la velocidad y haga un gráfico v vs t.

¿Qué representa la pendiente en esta grafica? ¿y el área bajo la curva?

Si el riel tuviera 10 metros de largo, cuánto tiempo tardaría el balín en recorrer:

a) La mitad del riel

b) Qué posición tendría el balín en el instante que hubiera transcurrido la mitad del tiempo total,

necesario para recorrer los diez metros.

91 91

Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

LABORATORIO 03

Módulo 1

Péndulo simple y el valor de la gravedad.

Objetivos:

Analizar en qué influye la longitud de la cuerda en la cantidad de oscilaciones por minuto que hace el péndulo y la diferencia en la cantidad de oscilaciones por minuto al cambiar el material y el peso de la masa.

Determinar el valor de la gravedad a partir de la medición del período de oscilación. Visualizar fenómenos físicos que intervienen en el movimiento de un péndulo simple.

Introducción En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos periódicos. En Física se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este. Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMÖNICO SIMPLE (MAS) El movimiento Armónico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento de una partícula alrededor de un mínimo de energía potencial, siempre que las oscilaciones sean pequeñas, tiene como aplicaciones entre otras, a los péndulos, es así que podemos estudiar el movimiento de este tipo de sistemas tan especiales, además de estudiar las expresiones de la Energía dentro del Movimiento Armónico Simple.

Materiales Soportes Bola de péndulo o masa Hilo Trasportador Masas de plomo y cobre que varíen hasta el peso de 100gr Cronómetro

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Marco teórico

El movimiento armónico simple

Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.

Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.

Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.

Para representar gráficamente (una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas, las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).

Péndulo simple

Es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes: El hilo es inextensible su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo El ángulo de desplazamiento que llamaremos θ debe ser pequeño

¿Cómo funciona? Con un hilo inextensible y cuya masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo; el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño. Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden,

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bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos. Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuáles no.

Período de un péndulo Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa.

1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen dos péndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo.

2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.

Ecuaciones para el péndulo simple

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Consideremos las fuerzas que actúan en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos:

El peso mg La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la dirección tangencial y mg∙cosθ en la dirección radial.

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Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es 𝑎𝑛 =𝑣2

𝑙dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

𝒎𝒂𝒏 = 𝑻 − 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo. La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio,

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑔 +𝑚𝑣2

𝑙

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero,

𝑇𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃0

Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ0(antes de soltar el péndulo) el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma totalmente en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio. Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0 la energía es solamente potencial

𝐸 = 𝑚𝑔(𝑙 − 𝑙 𝑐𝑜𝑠𝜃0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

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𝐸 =1

2𝑚𝑣2 + 𝑚𝑔(𝑙 − 𝑙𝑐𝑜𝑠 𝜃)

Como la energía se conserva tenemos, después de despejar:

𝒗𝟐 = 𝟐𝒈𝒍(𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎)

La tensión de la cuerda resulta ser

𝑻 = 𝒎𝒈(𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0(la velocidad es nula).

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es 𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

La segunda ley de Newton se escribe

𝑚𝑎𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular α es 𝑎𝑡 = 𝛼𝑙

La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+

𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

Aplicaciones

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.

Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés León Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo. Puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean León Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria: demostró

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experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.

Procedimiento y experiencias

a. Construir un péndulo con una longitud aproximada de 50cm, colocar una masa en el extremo inferior y moverlas a 10°con la vertical para dejarlas oscilar.

b. Contar 10 oscilaciones, realizar el experimento 2 veces más y promediar. c. Cambiar la longitud del péndulo a 25cm y realizar el mismo procedimiento anterior. d. Anotar todo en una tabla que posea masa, longitudes y número de oscilaciones. Repetir con longitudes

de 75 cm y un metro. Cambiar la masa y repetir los pasos anteriores

Tabla de datos

M = _________________

Longitud Tiempo1de 10 oscilaciones

Tiempo 2 de 10 oscilaciones

Tiempo 3 de 10 oscilaciones

Tiempo promedio

Periodo

1 0.5 m

2

3

Repita esta tabla para varios valores de masa

¿Cuál es la ecuación experimental que relaciona periodo (T), longitud (l) y masa? Valor promedio del periodo con su incerteza ____________________________ Calculo del valor de la gravedad con su incerteza _______________________

Preguntas

a) ¿Cambia la frecuencia al variar el tamaño de los cuerpos que se ponen en el extremo del péndulo?, ¿de qué forma cambia?

b) ¿Cambia la frecuencia al variar la masa de los cuerpos que se ponen en el extremo del péndulo?, ¿de qué forma cambia?

c) ¿Cambia la frecuencia al variar el material suponiendo que fueran del mismo tamaño los cuerpos que se cuelgan del péndulo?, ¿de qué forma cambia?

d) ¿Cambia la frecuencia al variar la longitud del péndulo?, ¿de qué forma cambia? e) Con la ayuda de la expresión de periodo para el péndulo, calcular la gravedad de la tierra si el valor es

muy alejado a 9,8, explicar ¿a qué se debe?

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Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

LABORATORIO 04

Módulo 1

Contenido: Leyes de Newton Objetivo General: Estudiar experimentalmente el comportamiento de los resortes ante la acción de una fuerza. Objetivos Específicos:

Calcular la constante elástica k del resorte

Verificar la existencia de fuerzas recuperadoras.

Equipo requerido

ITEM DESCRIPCIÓN CANTIDAD

1 Soporte (base, varilla , pinza)

2 Resorte (constante pequeña)

3 Bolsita de tela

4 Monedas de $ 0.25 (m = 5.67 g)

5 Regla graduada en mm

Marco Teórico

Un cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre él, sufre una deformación de tal manera, que al cesar la fuerza, recupera su forma original. Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, ente ellos los metales y minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relación se conoce como Ley de Hooke, que fue el primero en expresarla. No obstante si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad. La relación entre el esfuerzo y la deformación, denominada módulo de elasticidad, así como el límite de elasticidad, están determinados por la estructura molecular del material. La distancia entre las moléculas de un material no sometido a esfuerzo depende de un equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracción y repulsión. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensión en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma.

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Si las moléculas están firmemente unidas entre sí, la deformación no será muy grande incluso con un esfuerzo elevado. En cambio si las moléculas están poco unidas, una tensión relativamente pequeña causará una deformación grande. Por debajo del límite de elasticidad, cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición de equilibrio y el material elástico recupera su forma original. Más allá del límite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las moléculas que no pueden volver a su posición de partida y el material queda permanentemente deformado o se rompe. Para un resorte sencillo, se determina la constante de elasticidad, k, como la fuerza F necesaria para estirarlo

en una unidad de longitud, tal como se observa en la figura. Es decir 𝑘 =𝐹

∆𝑥. En el sistema MKS, la constante k

se expresa en N/m.

Procedimiento

Montaje I. Cálculo de la constante de elasticidad k.

1. Realice el montaje de la figura. Para ello cuelgue un resorte del brazo horizontal del soporte. Considere despreciable el peso de la bolsita de tela.

2. Mida la longitud inicial del resorte con ayuda de la escala métrica y regístrelo en la tabla de datos como Xo, en la fila 0.

3. Cuelgue del extremo inferior del resorte una masa m. Registre este valor en la tabla de datos como m1. Mida la longitud final del resorte y regístrelo en la tabla como X1.

4. Varíe el valor de la masa colgante seis veces y registre estos valores en la tabla de datos como m2, m3, m4, m5, m6 y m7. También mida la longitud final del resorte en cada caso y regístrelos en la tabla de datos como X2, X3, X4, X5, X6, X7.

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5. Cambie el resorte por otro de diferente dureza. Repita los pasos 1, 2,3, y 4. Registre estos datos en la tabla de datos 2.

Análisis de datos

1. Encuentre la fuerza aplicada al resorte como F = mg para cada masa colgante. Registre estos datos en la tabla de datos 1 comoF1, F2, ...

2. Grafique sobre una hoja de papel milimetrado, la fuerza aplicada en función del alargamiento para el resorte 1. Encuentre gráficamente la pendiente de la gráfica encontrada.

3. Promedie los valores del alargamiento de cada resorte y su respectiva incertidumbre. Encuentre la

constante de elasticidad del resorte con la ecuación 𝑘 =𝐹

∆𝑋experimentalmente. Regístrelo en la tabla

de datos. 4. Repita los pasos 1 y 3 del análisis de datos anterior para el segundo resorte. Registre estos datos en la

tabla de datos 2. Tabla de datos 1

Medida F (Newtons) m Xi (metros) ΔX = (X i+1- Xi) K

0

1

2

3

4

5

6

7

Valor de la pendiente = _______________ Cálculo de la incerteza

Preguntas

a) ¿Que representa la pendiente de cada una de las gráficas de F Vs ΔX para cada resorte? b) ¿Cuánto es la incerteza con la que se ha determinado la constante de elasticidad? c) ¿Se puede calcular el peso de un cuerpo desconocido?, ¿cómo?

Conclusiones En este espacio se deben anotar las conclusiones de lo observado en la práctica, de manera sencilla y coherente.

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1. Serway, Raymod A. y Jewett, John W., Jr. (2008). Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. Sétima edición. México D.F. México. Cengage Editores, S.A. de C.V.

2. Young, Hugh D. y Freedman, Roger A. (2009). Física Universitaria Volumen 1. Decimosegunda edición. México. Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

3. Resnick, Robert; Halliday, David y Krane, Kenneth S. (1993). Física Volumen 1. Tercera edición. México. Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V.

4. Nivel secundario para adultos : módulos de enseñanza semipresencial : física - 1a ed. Buenos Aires : Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007

5. Documento sobre errores en la medida, cifras significativas y propagación de errores. Curso de Biofísica I y Laboratorio. Universidad de Antioquia.

6. Análisis de datos y teoría de errores. Prácticas de Física de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones U.L.P.G.C.

7. VIM Vocabulario Internacional de Metrología. Conceptos fundamentales y generales, y términos asociados. 3ª edición 2012, Edición del VIM 2008 con inclusión de pequeñas correcciones, 3ª edición en español, Centro Español de Metrología.