dossier de candidature à un poste de maître de...

Dossier de candidature

à un poste de Maître de conférences

Mathieu Mansuy

Contact

Adresse de correspondance 10 rue du Herblet, 51270 Mareuil en Brie - FranceAdresse électronique [email protected]

Téléphone +33 6 26 50 07 10Page web http://webusers.imj-prg.fr/∼mathieu.mansuy/

Table des matières

Curriculum Vitae 3

Publications 5

Activités d'enseignement 6

Activités de Recherche 9

Résumé des résultats obtenus 12

Programme de Recherche 21

Références 24

Mots clefs

Groupes quantiques, théorie des représentations, algèbres a�nes quantiques, algèbres toroïdalesquantiques, représentations extrémales, représentations `-extrémales, cristaux monomiaux, opé-rateurs de promotion, coproduit de Drinfeld, superalgèbres, algèbres de Nambu-Poisson, super-algèbres de Poisson.

Curriculum Vitae

État Civil

Nom Mathieu MansuyDate et lieu de naissance 13 Décembre 1986 à Épernay

Age 28 ansNationalité FrançaiseÉtat civil Célibataire

Adresse professionnelle Università di BolognaDipartimento di MatematicaPiazza di Porta San Donato, 540126 Bologna Italia

Titre Docteur en MathématiquesQuali�é en section 25 du CNU

Fonctions actuelles Chercheur Post-DoctorantUniversité de Bologne, Italie

Fonctions et expériences professionnelles

2013 - 2014 Chercheur Post-DoctorantUniversité de Bologne, Italie

2013 - 2014 Attaché Temporaire d'Enseignement et de RechercheUniversité de Reims Champagne - Ardenne

2010 - 2013 Allocataire MoniteurUniversité Paris Diderot Paris 7

2009 Professeur agrégé de Mathématiques, titularisé le 1er septembre 2013

Cursus Universitaire

2010 - 2013 Doctorat de Mathématiques sous la direction de David Hernandez, mentionTrès Honorable, Université Paris Diderot Paris 7Titre : Représentations `-extrémales des algèbres toroïdales quantiques

2009 - 2010 Master de Mathématiques (2eme année), mention Très Bien, Université Pierreet Marie Curie Paris 6Mémoire de Master sous la direction de Marc RossoTitre : Généralisations de l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques et applica-tions

2008 - 2009 Agrégation de Mathématiques (rang 27eme)2007 - 2008 Master de Mathématiques (1ere année), Université de Reims Champagne-Ardenne,

mention Très Bien avec les félicitations du Jury2006 - 2007 Licence de Mathématiques, mention Très Bien avec les félicitations du Jury,

Université de Reims Champagne-Ardenne2004 - 2006 Classes préparatoires aux grandes écoles MPSI - MP*, Lycée Clémenceau, Reims

3

Thèse

Titre : Représentations `-extrémales des algèbres toroïdales quantiques

Directeur de thèse : David Hernandez

Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche UMR 7586

Thèse soutenue le 13 décembre 2013 à Paris

Membres du Jury :� M. Jacques Alev, Professeur des Universités, Université de Reims� M. Pierre Baumann, Chargé de Recherche, Université de Strasbourg� M. David Hernandez, Professeur des Universités, Université Paris 7� M. Nicolas Jacon, Professeur des Universités, Université de Reims� M. Cédric Lecouvey, Professeur des Universités, Université de Tours� M. Marc Rosso (Président du Jury), Professeur des Universités, Université Paris 7

Rapporteurs :� Mme Vyjayanthi Chari, Professeur, Université de Riverside, Californie, États Unis� M. Cédric Lecouvey, Professeur des Universités, Université de Tours

Séjours de recherche

Décembre 2014 Visiteur invité à l'École Normale Supérieure de Pise, pour le semestre thématique�Perspectives in Lie theory�, Pise, ItalieDurée de la visite : 1 mois

Avril 2014 Visiteur invité au Centre de Mathématiques de Montréal, pour le semestre thé-matique �New directions in Lie theory�, Montréal, CanadaDurée de la visite : 1 mois

Janvier 2014 Visiteur invité à l'Université de Riverside, Californie, avec Vyjayanthi Chari,USADurée de la visite : 1 mois

Langues

Français (langue maternelle), Anglais (lu, écrit, parlé)

Informatique

Connaissances approfondies en programmation sur html, Caml, Matlab, Maple, Mupad, Python

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Publications

Thèse

1. Représentations `-extrémales des algèbres troroïdales quantiques, 155 pages, disponible surhttp ://webusers.imj-prg.fr/∼mathieu.mansuy/

Articles parus dans des revues à comité de lecture

2. Mathieu Mansuy. Quantum extremal loop weight modules and monomial crystals, Paci�cJournal of Mathematics, Vol. 267 (2014), No. 1, 185-241

Articles soumis

3. Mathieu Mansuy. Extremal loop weight modules and tensor products for quantum toroidalalgebras, Preprint arXiv:1305.3481, 2013

4. Mathieu Mansuy. Quantum extremal loop weight modules for Uq(sl∞),

Preprint arXiv:13094298, 2013

Article en préparation

5. Nicoletta Cantarini, Victor G. Kac, Mathieu Mansuy. Classi�cation of linearly compactsimple Nambu-Poisson algebras

En cas de convocation aux auditions, l'ensemble de ces travaux seront transmis à l'établissement.

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Activités d'enseignement

Voici un bref descriptif des di�érents enseignements que j'ai e�ectué à l'Université ParisDiderot Paris 7 en tant que moniteur (années universitaires 2010-2013), puis à l'Université deReims Champagne-Ardenne en tant qu'ATER (année universitaire 2013-2014). J'ai égalemente�ectué des colles et encadré des Travaux Pratiques d'informatiques durant ces années, auxLycées Jacques Decour (Paris) et Clémenceau (Reims).

Les documents pédagogiques utilisés lors de mes enseignements sont disponibles à l'adressehttp ://www.math.jussieu.fr/∼mansuy/

ATER à l'Université de Reims - 192h équivalent TD

� Arithmétique , Cours Magistral et Travaux Dirigés, L2 Mathématiques

Volume horaire 20h de CM, 40h de TDResponsabilité pédagogique Responsable de la matière

Chargé de l'ensemble des CM et des TD

Thèmes abordés : relations d'ordre et d'équivalence, arithmétique dans Z, polynômes àune indéterminée, fractions rationnelles à une indéterminée

� Statistique et Probabilité , Cours Magistral et Travaux Dirigés, M1 MEEF, préparationà l'écrit du CAPES

Volume horaire 12,5h de CM - 12,5h de TDResponsabilité pédagogique Responsable de la matière


Thèmes abordés : espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes et continues, couplesde variables aléatoires, théorèmes limites, applications statistiques

� Algèbre , Cours Magistral et Travaux Dirigés, M1 MEEF, préparation à l'écrit du CAPES

Volume horaire 12,5h de CM - 12,5h de TDResponsabilité pédagogique Responsable de la matière


Thèmes abordés : espaces vectoriels euclidiens, applications linéaires d'un espace vecto-riel euclidien, géométrie euclidienne

6

� Géométrie , Cours Magistral et Travaux Dirigés, L3 Sciences Exactes et Naturelles

Volume horaire 30h de CM - TD intégrésResponsabilité pédagogique Responsable de la matière


Thèmes abordés : géométrie élémentaire du plan et de l'espace, isométries

� Mathématiques générales, Cours Magistral et Travaux Dirigés, L3 école d'ingénieursIITBTP (Reims)

Volume horaire 30h de CM - TD intégrésResponsabilité pédagogique Responsable de la matière

Chargé de l'ensemble des cours et des TD

Thèmes abordés : développements limités, séries numériques, séries de Fourier, géométriedi�érentielle

Monitorat à l'Université Paris 7 - 3 × 64h équivalent TD

� Équations di�érentielles, Travaux Dirigés, L3 Mathématiques

Année scolaire 2011 - 2012 et 2012 - 2013Volume horaire 40h de TD

Responsabilité pédagogique Membre d'une équipe pédagogiqueChargé de la préparation et de l'encadrement de TD, dela correction d'Examens

Cours Vincent Millot

Thèmes abordés : systèmes di�érentiels linéaires, équations di�érentielles non linéaires,fonctions de Lyapunov et intégrales premières, �ot d'un système di�érentiel

� Projet pré-professionnalisant , Encadrement de projets, L1 et L2 Mathématiques

Année scolaire 2012 - 2013Volume horaire 20h

Responsabilité pédagogique Chargé de l'encadrement de cinq groupes de deux ou troisétudiants

Responsable du module Guillaume Malod

Thèmes abordés : élaboration d'un projet professionnel personnel, d'un CV, préparationà un entretien d'embauche et à la prise de parole argumentée, analyse et synthèse dedocuments

7

� Langage mathématique , Travaux Dirigés, L1 Mathématiques

Année scolaire 2011 - 2012Volume horaire 20h de TD


Cours René Cori

Thèmes abordés : fonctions et ensembles, expressions mathématiques, quanti�cateurs etconnecteurs logiques, raisonnement, cardinalité d'un ensemble

� Mathématiques générales, Travaux Dirigés, L1 Physique

Année scolaire 2010 - 2011Volume horaire 60h de TD


Cours Bertrand Gentou

Thèmes abordés : nombres complexes, ensembles et applications, polynômes, systèmeslinéaires, espaces vectoriels, suites, continuité et dérivabilité de fonctions d'une variableréelle

Autres enseignements

� Informatique , Travaux Pratiques, classe préparatoire MPSI, Lycée Clémenceau (Reims)

Année scolaire 2013 - 2014Volume horaire 30h de TP

Responsabilité pédagogique Membre d'une équipe pédagogiqueChargé de la préparation et de l'encadrement de TP

Logiciel Python

� khôlles, interrogations orales, classe préparatoires MPSI, MP-MP*, ECE, Lycée Clémen-ceau (Reims), Lycée Jacques Decour (Paris), de 2008 à 2014

� Membre de Jury de concours, épreuve écrite de Mathématiques du concours d'admis-sion à l'école de commerce ESSEC depuis mai 2014

Animations pédagogiques

2011 Introduction à la théorie des groupes, et application à la résolution du Rubik's CubeExposé de vulgarisation à destination d'étudiants de L1, CIRM, Luminy.

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Activités de Recherche

Exposés à des conférences et séminaires

Février 2015 Conférence �A Super Quantum Lie Day�, École normale supérieure de Pise,

Italie

Poster : Representations of quantum toroidal algebras

Janvier 2015 Séminaire Mathématique Physique, janvier 2015, Dijon

Exposé : Représentations des algèbres toroïdales quantiques

Novembre 2014 Groupe d'étude de l'équipe d'algèbre, Bologne, Italie

Exposés : Quantum groups at roots of unity : Proof of the De Concini - Kac -

Procesi conjecture, following the article of Sevostyanov

Juillet 2014 Oberseminar Algebra, Université de Cologne, Allemagne

Exposé : Representations of quantum toroidal algebras

Juin 2014 Conférence �European Network in Representation Theory�, Cargèse

Exposé : Canonical bases of Quantum Groups

Mai 2014 Séminaire de théorie des groupes, Amiens


Avril 2014 Séminaire d'algèbre, Université de Laval, Quebec, Canada


Avril 2014 Semestre thématique �New directions in Lie theory�, Montréal, Canada


Avril 2014 Séminaire d'algèbre, Lyon

Exposé : Représentations `-extrémales des algèbres toroïdales quantiques

Mars 2014 Séminaire Algèbre et Géométrie, Grenoble


Février 2014 Séminaire du Laboratoire de Reims


Février 2014 Séminaire Caen Cergy Clermont Paris - Théorie des représentations, Paris


Février 2014 Colloque tournant en théorie de Lie, Strasbourg


Janvier 2014 Lie theory seminar, Université de California, Riverside, USA

Exposé : Extremal loop weight representations for quantum toroidal algebras

Janvier 2014 Algebra and discrete mathematics seminar, January 2014, Université de Cali-

fornia, Davis, USA

Exposé : Extremal loop weight representations and monomial crystals

Avril 2013 Séminaire d'Algèbre de l'IHP, Paris

Exposé : Représentations extrémales pour les algèbres toroïdales quantiques

Février 2011 Groupe d'étude �Algèbres amassées et représentations de carquois�, Paris

Exposés : Représentations des algèbres a�nes quantiques

9

Avril 2011 Conférence �Di�érentielles non-commutatives et groupes quantiques�, CIRM,

Luminy.

Exposé : Étude du groupe quantique Uq(sl2), cas où q est une racine de l'unité.

Participation à des conférences, colloques, sans exposés

Décembre 2014 Vertex algebras,W-algebras, and applications, École normale supérieure de Pise,

Italie

Novembre 2014 Journées Théorie des représentations des groupes de Lie, Université de Reims

Juillet 2014 Journées de Combinatoire Algébrique, Université de Reims

Avril 2014 Théorie combinatoire de représentation, Centre de Recherche Mathématiques,

Montréal, Canada

Octobre 2013 Quantum Mathematics and Computation, Clay Mathematics Institute, Oxford,

UK

Décembre 2012 Thématiques algébriques et géométriques en théorie de Lie, Université de Reims

Avril 2012 Théorie de Lie et analogues quantiques, CIRM, Luminy

Avril 2012 Representation Theory and Geometry, ETH Zürich, Suisse

Décembre 2011 Symmetries, integrable systems and representations, Université de Lyon

Septembre 2011 Algèbres de Hecke, Algèbres de Cherednik, Algèbres amassées et Théorie des

représentations, IESC, Cargèse

Juin 2011 Espaces, groupes et algèbres de lacets, CIRM, Luminy

Organisation de séminaires, groupes de travail

2013 - 2014 Co-organisateur du séminaire Jeunes Chercheurs de Reims

Organisation de la journée de clôture du séminaire

Exposé en Novembre 2014 : Progressions arithmétiques et nombres premiers

Exposé en Novembre 2013 : Des frises et des Maths

2012 - 2013 Co-organisateur du séminaire des thésards de l'IMJ

Exposé en Novembre 2012 : Tableaux de Young et bases cristallines de Uq(sln+1)

2012 - 2013 Co-organisateur du séminaire informel des doctorants de Paris Diderot

Exposés en Novembre 2011, Avril 2012 et Septembre 2012

2011 - 2012 Co-organisateur du groupe de travail �Théorie géométrique des représentations� des

thésards de Paris Diderot

Exposé en Octobre 2011 : Catégorie O : Rappels et premiers résultats

2010 - 2011 Co-organisateur du groupe de travail �Bases cristallines des groupes quantiques� des

thésards de Paris Diderot

Exposé en Mai 2011 : Réalisations de cristaux pour l'algèbre a�ne quantique de type

A(1)n

2010 - 2011 Co-organisateur du groupe de travail �Groupes quantiques� des thésards de Paris

Diderot

Exposé en octobre 2010 : Étude du groupe quantique Uq(sl2)

10

Autres activités scienti�ques

Depuis janvier 2015 Rapporteur pour Transactions of the American Mathematical Society

Depuis mai 2014 Rapporteur pour MathSciNet

11

Résumé des résultats obtenus

Cette partie est consacrée à la description de mes travaux de recherche. Ces travaux ont été

réalisé dans le cadre de ma thèse au sein de l'équipe Groupes, représentations et géométrie de

l'Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (CNRS UMR 7586, Université Paris

Diderot Paris 7), sous la direction de David Hernandez, puis de mes fonctions d'ATER dans

l'équipe Groupes et Quanti�cation du Laboratoire de Mathématiques de Reims (FR CNRS 3399,

Université de Reims). Cette année universitaire, je poursuis mes travaux de recherche au sein du

Département de Mathématiques de l'Université de Bologne en Italie en tant que Post-Doctorant.

Ces travaux portent sur les thématiques suivantes :

• la théorie des représentations des algèbres toroïdales quantiques,

• les algèbres de Nambu-Poisson.

Ils ont donné lieu aux articles suivants :

[26] Mathieu Mansuy. Quantum extremal loop weight modules and monomial crystals,

Paci�c Journal of Mathematics, Vol. 267 (2014), No. 1, 185-241.

[24] Mathieu Mansuy. Extremal loop weight modules and tensor products for quantum toroidal

algebras, Preprint arXiv:1305.3481, 2013 (Soumis).

[25] Mathieu Mansuy. Quantum extremal loop weight modules for Uq(sl∞),

Preprint arXiv:13094298, 2013 (Soumis).

Cette partie est organisée de la façon suivante : je commence par présenter mes travaux sur

les représentations des algèbres toroïdales quantiques. Dans la première section, je présente le

contexte dans lequel ces travaux s'inscrivent. Dans la deuxième section je présente brièvement

l'ensemble des résultats que j'ai obtenu sur la théorie des représentations de ces algèbres. Je

présente dans les sections suivantes ces résultats plus en détail. La construction de représentations

de l'algèbre toroïdale quantique via les cristaux monomiaux qui est l'objet de [26] est détaillée

dans la quatrième section. La construction de représentations par produits de fusion dans [24] est

discutée dans la cinquième section. La sixième section présente la construction de représentations

de l'algèbre toroïdale quantique dans [25] via l'algèbre a�nisée de type A∞. La dernière section

de cette partie est indépendante des précédentes. J'y présente mes résultats (en collaboration avec

Nicoletta Cantarini et Victor Kac) sur la classi�cation des algèbres de Nambu-Poisson simples

linérairement compacts.

Contexte

Les groupes quantiques sont apparus pour la première fois en physique statistique dans les

années 80, dans les travaux de L. D. Faddeev et de l'École de Leningrad sur les procédés de

12

di�usion inverse en théorie des modèles intégrables, pour la résolution de l'équation de Yang-

Baxter

R12R13R23 = R23R13R12.

Comme l'ont montré V. G. Drinfeld et M. Jimbo [7, 20], ce sont des algèbres de Hopf qui, pour

la plupart, sont des déformations à un paramètre de l'algèbre enveloppante universelle associée

à une algèbre de Lie.

La théorie des groupes quantiques a depuis lors été l'objet d'un grand intérêt et fascine par la

diversité des connections, souvent surprenantes et non établies auparavant, qu'elle entretient avec

des domaines des mathématiques et de la physique. Citons parmi d'autres la théorie des noeuds

et de 3-variétés, la théorie des représentations des algèbres de Lie en caractéristique positive ou

encore la combinatoire avec la théorie des bases cristallines. Pour toutes ces applications, un enjeu

majeur est la construction et l'étude des représentations de dimension �nie, notamment pour

des groupes quantiques où le paramètre de déformation est une racine de l'unité.

De nombreuses généralisations des groupes quantiques sont depuis lors l'objet d'intenses

recherches pour leurs propriétés et la variété de leurs applications. Parmi elles les algèbres a�nes

quantiques, déformations de l'algèbre des applications polynomiales (aussi appelés lacets) du

cercle unité à valeurs dans une algèbre de Lie simple. En outre elles permettent, à partir d'une

représentation irréductible de dimension �nie de l'algèbre a�ne quantique, la construction de

solutions de l'équation de Yang-Baxter avec paramètres spectraux :

R12(u)R13(uv)R23(v) = R23(v)R13(uv)R12(u), u, v ∈ C∗.

Aussi l'étude des représentations de dimension �nie de ces algèbres est-elle un enjeu considé-

rable et est l'objet d'intenses recherches. Les algèbres a�nes quantiques apparaissent également

dans bien d'autres domaines des mathématiques. En type A, elles sont en dualité de Froebenius-

Schur avec les algèbres de Hecke a�nes [3]. D. Hernandez et B. Leclerc [18] ont également

démontré qu'il existe une structure d'algèbre amassée sur des sous-anneaux de l'anneau de Gro-

thendieck des représentations de dimension �nie. Cette catégori�cation monoïdale des algèbres

amassées a permis de résoudre des conjectures de positivité.

Une généralisation naturelle de l'algèbre a�ne quantique s'obtient en considérant cette fois

la déformation de l'algèbre des applications polynomiales du tore complexe à valeurs dans l'al-

gèbre de Lie simple. L'algèbre ainsi obtenue est appelée algèbre toroïdale quantique (ou algèbre

doublement a�ne). Elles ont été introduites pour la première fois en type A par Ginzburg, Ka-

pranov et Vasserot en 1995 [14]. Dans le cas des diagrammes de Dynkin simplement lacés, une

construction géométrique des algèbres toroïdales quantiques qui utilise les variétés de carquois a

été développée par Nakajima [27] (voir aussi [32]).

De même que pour les algèbres a�nes quantiques en type A, les algèbres toroïdales quan-

tiques sont en dualité avec les algèbres de Cherednik elliptiques [33] (algèbres de Hecke

doublement a�nes elliptiques). L'une des premières réussites de cette théorie est la construction

d'une action de l'algèbre toroïdale quantique de type A sur l'espace de q�Fock ? [30, 34].

13

L'étude des représentations de ces algèbres n'en est qu'à ses débuts. Réputée di�cile (voir l'in-

troduction de [12]), elle est encore très peu comprise. Mais on peut en espérer des applications

prometteuses et variées, comme c'est le cas pour les algèbres a�nes quantiques et les algèbres de

Cherednik [5]. Elle est notamment l'objet de recherches récentes en mathmatiques (on peut citer

les articles de B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa et E. Mukhin [8, 9, 10, 12], avec des applications

en théorie des représentations des W-algèbres [12]) et en physique (théorie de jauge de

carquois [29], théorie des champs conformes [11]).

Comme pour les groupes quantiques et les algèbres a�nes quantiques, l'étude des représenta-

tions de dimension �nie des algèbres toroïdales quantiques est un enjeu essentiel par la variété des

applications qu'elle laisse espérer. Seulement la construction même de telles représentations est

un obstacle di�cile : en e�et très peu d'exemples de telles représentations existaient avant mes

travaux 1. En particulier, aucun procédé général de construction de représentations de dimension

�nie n'avait été introduit.

Résultats obtenus

Mes travaux de recherche s'inscrivent dans cette direction : il s'agit d'obtenir un procédé

systématique de construction de représentations de dimension �nie 2.

Pour cela, on s'inspire de la construction de représentations de dimension �nie de l'algèbre

a�ne quantique introduite par Kashiwara [21, 22] : il dé�nit des représentations intégrables,

appelées représentations extrémales, qui admettent des quotients irréductibles de dimension

�nie sur l'algèbre de lacets (algèbre a�ne quantique sans élément de dérivation).

Dans l'esprit de ces travaux, Hernandez [16] a proposé la dé�nition de représentations `-

extrémales 3 pour les algèbres toroïdales quantiques. Les algèbres toroïdales quantiques sont

construites à partir d'une copie de l'algèbre a�ne quantique et de copies de l'algèbre de lacets

quantique (algèbre a�ne quantique sans élément de dérivation). Une représentation `-extrémale

est une représentation engendrée par un vecteur extrémal pour la copie de l'algèbre a�ne quan-

tique (au sens de Kashiwara), et sur laquelle les copies de l'algèbre de lacets quantique agissent

de façon localement �nie. Les représentations de dimension �nie de l'algèbre toroïdale quantique

s'obtiennent alors par spécialisation du paramètre quantique aux racines de l'unité.

Cependant il n'existait alors aucun procédé général de construction de représentations `-

extrémales. Mes travaux de recherche s'inscrivent dans cette direction : je propose trois construc-

tions complémentaires de représentations `-extrémales pour les algèbres toroïdales quan-

tiques de type A :

1. Le premier exemple d'une telle représentation est donné dans [16]. Exception faite des représentationsconstruites dans mes travaux, il n'y en a pas d'autre à ma connaissance.

2. Les représentations de dimension �nie obtenues dans mes travaux le sont par spécialisation du paramètrequantique à une racine de l'unité. Aucun exemple de représentation de dimension �nie n'est connu dans le cas oùq est générique. En particulier, le procédé proposé ici nécessite cette spécialisation aux racines de l'unité.

3. La lettre ` est communément utilisée en théorie des représentations des algèbres a�nisées quantiques (dontl'algèbre toroïdale quantique est un cas particulier). Elle provient du mot lacet (loop en anglais) et rappelle qu'ilest ici question d'une algèbre présentée en termes de générateurs de lacets (générateurs de Drinfeld).

14

1. via les cristaux monomiaux de Kashiwara et Nakajima ([26] publié dans Paci�c Journal

of Mathematics),

2. par produits de fusion via le coproduit de Drinfeld ([24] prépublié arXiv:1305.3481),

3. via l'algèbre a�nisée quantique de type A∞ ([25] prépublié arXiv:13094298).

On construit ainsi de nouvelles familles de représentations `-extrémales. En spécia-

lisant le paramètre quantique, nous obtenons de nouvelles représentations de dimension

�nie de l'algèbre toroïdale quantique aux racines de l'unité.

Durant ces travaux, il est apparu qu'une classe particulière de représentations que nous

avons construites (les représentations vectorielles, dénotées V1,a dans la suite) sont également

utilisées par B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa et E. Mukhin [12]. Cependant la construction de ces

représentations y est très di�érente : elles sont obtenues dans [12] comme déformation quantique

d'un module sur une algèbre de Lie d'opérateurs di�érentiels. Comme nous l'avons déjà évoqué,

leurs motivations sont également distinctes des nôtres, avec des perspectives notamment en

théorie des représentations des W-algèbres (voir [12]).

Nous reprenons à présent ces trois constructions plus en détail.

Construction via les cristaux monomiaux

La première construction [26] de représentations `-extrémales pour l'algèbre toroïdale de

type An (n ≥ 2) utilise les réalisations monomiales M`,a (où 1 ≤ ` ≤ n est un noeud du

diagramme de Dynkin, et a ∈ C∗ un paramètre complexe non nul) des bases cristallines des

représentations extrémales de Kashiwara [19], dont en voici un exemple (cristal monomial

M2,a pour l'algèbre a�ne quantique de type A3)

0uuY2,aY

−1

0,aq2

2

((0

vvY1,aqY

−1

2,aq2Y3,aqY

−1

0,aq2

1

vv

3

((Y −1

1,aq3Y3,aq

3

((

Y1,aqY−1

3,aq3

1

vvY −1

1,aq3Y2,aq2

Y −1

3,aq3Y0,aq2

2

((0

vvY2,aq2

Y −1

0,aq4Y −1

2,aq4Y0,aq2

0

uu

15

Les monômes apparaissant à leurs sommets se retrouvent en théorie des q-caractères de

l'algèbre toroïdale quantique (ra�nement de la notion de caractère introduit par Frenkel et

Reshetikhin). Les monômes dans cette théorie correspondent à une paramétrisation du spectre

de la sous-algèbre de Cartan. D'où une question naturelle :

Question Existe-t-il une représentation V`,a de l'algèbre toroïdale quantique dont le q-

caractère est la somme des monômes apparaissant dans le cristalM`,a ?

Si c'est le cas cette représentation serait un bon candidat pour être une représentation `-

extrémale. Seulement, une condition nécessaire est que cet ensemble de monômes satisfasse, en

plus de sa structure de cristal, les propriétés combinatoires des q-caractères (voir [13]). Un tel

cristal est dit clos dans [26]. Dès lors pour que le cristalM`,a soit clos, des conditions restrictives

sur le paramètre 1 ≤ ` ≤ n doivent être prises. En e�et, on a

Proposition 1 Le cristal monomialM`,a est clos si et seulement sin = 2r + 1 est impair et ` = 1, r + 1 ou n

ou

n est pair et ` = 1 ou n

(C)

Il est donc nécessaire de supposer que ` satisfasse (C) pour espérer construire une représen-

tation correspondante V`,a de l'algèbre toroïdale quantique. En fait cette condition est su�sante.

Théorème 2 Supposons que 1 ≤ ` ≤ n satisfasse (C). Il existe une représentation V`,a de

Uq(sltorn+1) dont le q-caractère est la somme des monômes apparaissant dans le cristalM`,a.

De plus la représentation V`,a ainsi obtenue est une représentation irréductible et `-extrémale.

L'utilisation des symétries des cristaux extrémaux est un point essentiel de la démonstration

de ces résultats. Nous avons notamment introduit des opérateurs de promotion pour ces

cristaux (généralisant les constructions de M. Shimozono [31]), qui traduisent au niveau du

cristal l'automorphisme de rotation du diagramme de Dynkin a�ne de type A.

En plus d'opérateurs de promotion, il existe un automorphisme de décalage du paramètre

spectral (dit automorphisme de Kashiwara)

τp` : Y ±1i,aqs −→ Y ±1i,aqs+p`

sur les cristauxM`,a. Par exemple pour le Uq(sl4)-cristalM2,a, τ2 induit un automorphisme de

M2,a. Ces automorphismes de décalage sont reliés à des représentations de dimension �nie de

l'algèbre toroïdale quantique aux racines de l'unité.

Théorème 3 Supposons que ` satisfasse (C). Soit L ≥ 1 et ε une racine primitive (p`L) de

l'unité. Il existe une représentation irréductible [V`,a]ε de dimension �nie de l'algèbre toroïdale

quantique aux racines de l'unité.

On obtient ici la première famille de représentations de dimension �nie de l'algèbre

toroïdale quantique aux racines de l'unité.

16

Construction par produits de fusion

Nous proposons dans [24] une construction des représentations `-extrémales par produits

de fusion pour l'algèbre toroïdale quantique de type An (n ≥ 2), en utilisant des techniques

récemment développées dans [15, 12].

On s'inspire ici des travaux de M. Kashiwara sur les représentations extrémales des algèbres

a�nes quantiques : elles sont étroitement liées au produit tensoriel d'un module de plus haut

poids par un module de plus bas poids. Il semble ainsi naturel d'étudier l'analogue dans le cas

toroïdale de tels produits tensoriels. Seulement l'algèbre toroïdale quantique ne possède pas de

structure d'algèbre de Hopf connue. Il existe cependant un coproduit (de Drinfeld), à valeur

dans une complétion du produit tensoriel, qui sous réserve de convergence permet de dé�nir une

action de l'algèbre toroïdale quantique [15, 12]. On démontre alors le

Théorème 4 Il existe une action de l'algèbre toroïdale quantique sur le produit tensoriel de la

représentation fondamentale associée au poids dominant Λ1 et de la représentation irréductible

associée au poids anti-dominant −Λ0.

De plus, on retrouve la représentation vectorielle V1,a comme sous-représentation de ce produit

tensoriel.

Il s'agit à présent de voir si :

� les représentations `-extrémales obtenues dans la première construction, peuvent se retrou-

ver par produit de fusion,

� on obtient de nouvelles représentations `-extrémales par ce procédé.

L'idée est alors d'étudier des produits de fusion de représentations vectorielles, et de regarder

si on obtient des représentations `-extrémales comme sous-représentations de tels produits de

fusion (on a en e�et des résultats analogues pour les groupes quantiques et les algèbres a�nes

quantiques). On a le

Théorème 5 � Supposons que ` satisfasse (C). Alors l'action de l'algèbre toroïdale quan-

tique est bien dé�nie sur le produit tensoriel

V1,a ⊗ V1,aq−2 ⊗ · · · ⊗ V1,aq−2(`−1) .

De plus, la représentation `-extrémale V`,a se retrouve comme sous-module de ce produit

tensoriel.

� Supposons que ` satisfasse (C), et soient k ∈ N∗ et a1, a2, · · · , ak ∈ C∗ pris génériques.

Alors l'action de l'algèbre toroïdale quantique est bien dé�nie sur le produit tensoriel

V`,a1 ⊗ V`,a2 ⊗ · · · ⊗ V`,ak

De plus, la représentation ainsi obtenue est une représentation `-extrémale.

On retrouve donc de cette manière les représentations `-extrémales obtenues dans la pre-

mière construction. On obtient également de nouvelles représentations `-extrémales de l'algèbre

17

toroïdale quantique, ainsi que de nouvelles représentations de dimension �nie aux racines de

l'unité.

Construction via l'algèbre a�nisée de type A∞

Dans la troisième construction [25], nous développons la théorie des représentations

`-extrémales pour l'algèbre a�nisée quantique de type A∞. Nos deux motivations ma-

jeures pour l'étude de ces représentations sont les suivantes : la théorie des représentations

de l'algèbre a�nisée de type A∞ est d'une part mieux comprise que dans le cas to-

roïdale, ce qui facilite l'étude des représentations `-extrémales. Elles sont également étroite-

ment reliées : en e�et il existe un lien entre les q-caractères des représentations de

ces algèbres, via le pliage du diagramme de Dynkin linéaire A∞ en un diagramme cyclique

φn : i ∈ Z 7→ i ∈ Z/(n + 1)Z. Plus précisément, ce morphisme induit en particulier un mor-

phisme d'anneau

φn : Z[Y ±1i,a ]i∈Z,a∈C∗ −→ Z[Y ±1i,a

]i∈Z/(n+1)Z,a∈C∗

donné par φn(Y ±1i,a ) = Y ±1i,a

. Dans un article de 2011, Hernandez [17] conjecture que l'image par

φn du q-caractère d'une représentation irréductible dans la catégorie Oint est le q-caractère d'une

�vraie� représentation de l'algèbre toroïdale quantique de type An. De plus, il démontre que cette

propriété est satisfaite par l'ensemble des modules de Kirillov-Reshetikhin.

Dès lors, notre motivation est la suivante : étudier les représentations `-extrémales V∞`,a (` ≥ 1,

a ∈ C∗) pour l'algèbre a�nisée de type A∞ (qui sera plus aisée que dans le cas toroïdal),

en espérant par le lien combinatoire construire des représentations `-extrémales cette fois sur

l'algèbre toroïdale quantique.

Nous construisons les représentations `-extrémales de l'algèbre a�nisée de type A∞ par pro-

duit de fusion par des méthodes analogues à la deuxième construction. On démontre alors la

conjecture de Hernandez dans le cas des représentations `-extrémales.

Théorème 6 Supposons que n ≥ 2 est pris tel que

(n est pair et ` ≤ n+ 1) ou

(n est impair et ` ≤ n+ 1

2

).

Alors φn(χq(V

∞`,a))est le q-caractère d'une représentation de l'algèbre toroïdale quantique de

type A∞. On la note [V∞`,a ]n.

On a alors le résultat suivant.

Théorème 7 Si ` = 1 ou si n = 2r+1 est impair et ` = r+1, alors la représentation `-extrémale

V`,a de l'algèbre toroïdale quantique se retrouve comme sous-quotient de la représentation [V∞`,a ]n.

On retrouve de cette manière les représentations `-extrémales de l'algèbre toroïdale quan-

tiques construites via les cristaux monomiaux.

18

Classi�cation des algèbres de Nambu-Poisson simpleslinéairement compacts

Travail en collaboration avec Nicoletta Cantarini (Université de Bologne, Italie) et

Victor G. Kac (MIT, États-Unis)

Une algèbre de n-Lie, où n est un entier supérieur ou égal à deux, est un espace vectoriel

L muni d'une application n-linéaire antisymétrique {·, · · · , ·} : Ln → L satisfaisant l'identité

suivante (qui généralise l'identité de Jacobi) :

{a1, · · · , an−1, {b1, · · · , bn}} =

n∑i=1

{b1, · · · , {a1, · · · , an−1, bi}, · · · , bn}

pour tous ai, bj ∈ L. De telles structures, introduites en 1985 par V.T. Filippov, sont particu-

lièrement intéressantes en physique en théorie des cordes et sont l'objet d'une recherche intense.

En particulier, W.X. Ling [23] a démontrer le résultat surprenant suivant : pour n > 2, il n'existe

qu'une seule algèbre de n-Lie simple de dimension �nie sur C. Elle est donnée par le produit

vectoriel de n vecteurs dans Cn+1 muni d'une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée. Dans le

cas plus général des espaces linéairement compacts (l'exemple de base d'un tel espace étant celui

des séries formelles C[[x1, . . . , xn]] muni de la topologie usuelle, ou une somme direct d'un nombre

�ni de tels espaces), la classi�cation des algèbres de n-Lie simples a récemment été obtenue par

Cantarini et Kac [2].

Une algèbre de n-Nambu-Poisson généralisée est une algèbre de n-Lie N munie d'un produit

associatif, commutatif et unitaire ·, la compatibilité de ces deux structures étant donnée par

l'identité de Leibniz généralisée :

{a1, · · · , an−1, b · c} = {a1, · · · , an−1, b} · c+ b · {a1, · · · , an−1, c} − {a1, · · · , an−1, 1} · b · c.

pour tous ai, b, c ∈ N . Lorsque {a1, · · · , an−1, 1} = 0, on parle simplement d'algèbre de Nambu-

Poisson. En particulier, une algèbre de 2-Nambu-Poisson n'est autre qu'une algèbre de Pois-

son usuelle. De telles structures sont apparues en mécanique dans les travaux de Nambu [28],

l'exemple fondamental étant le Jacobien sur l'espace de fonctions C∞(Rn,R).

Dans nos travaux, nous classi�ons les algèbres de Nambu-Poisson simples linéai-

rement compacts. Pour cela, nous procédons de la manière suivante : nous établissons une

correspondance bijective, qui associe à une algèbre de n-Nambu-Poisson simple N une paire

(P, µ), où P = (P, ·, [·, ·]) est une superalgèbre de Poisson simple généralisée impaire (voir [1]

pour sa dé�nition) et Z-graduée de profondeur un : P =⊕

k≥−1 Pk telle que P−1 = N , et où

µ ∈ Pn−1 satisfait les conditions suivantes :(i) P est engendrée par P−1 et µ,(ii) [µ, [· · · [[µ, a1], a2], . . . , an−1] = 0 pour tous ai ∈ P−1.

On appelle une telle paire une n-bonne paire. Cette correspondance nécessite la construction d'une

superalgèbre de Poisson universelle impaire, dans l'esprit de [6]. Réciproquement à partir d'une

n-bonne paire (P, µ), on retrouve l'algèbre de n-Nambu-Poisson correspondante en dé�nissant

19

sur P−1 le n-crochet suivant :

{a1, a2, . . . , an} = [. . . [[µ, a1], a2], . . . , an] où les ai ∈ P−1.

À noter que la condition (ii) est en fait équivalente au fait que ce n-crochet satisfasse l'identité

de Jacobi généralisée dé�nissant les algèbres de n-Lie.

Dès lors il s'agit de classi�er toutes les n-bonnes paires : en utilisant la classi�cation des

superalgèbres de Poisson P simples linéairement compacts [1], on détermine tous les éléments

µ ∈ P qui satisfont les conditions (i) et (ii). La classi�cation des algèbres de n-Nambu-Poisson

simples linéairement compacts en résulte.

20

Programme de Recherche

Dans cette partie, je présente trois directions que je souhaite prendre pour mes recherches à

venir. Ce programme de recherche s'appuie sur mes travaux sur les représentations des algèbres

toroïdales quantiques.

Avant de détailler mon programme de recherche, je donne ici une liste non-exhaustive de

problèmes et développements possibles sur les algèbres toroïdales quantiques.

1. Il n'existe pas de formule de q-caractère pour les représentations fondamentales de l'algèbre

toroïdale quantique de type général (des formules explicites ont cependant été obtenues

dans [17] en type A).

2. Un analogue de la théorie des bases cristallines des groupes quantiques reste à développer

dans le cas toroïdale. Les algèbres toroïdales quantiques n'ayant pas de présentation de

Chevalley, cette théorie devra faire intervenir les générateurs de Drinfeld.

3. Dans le cas des diagrammes de Dynkin simplement lacés, une approche géométrique de

la théorie des représentations des algèbres toroïdales quantiques faisant intervenir les va-

riétés de carquois a été développée par Nakajima [27] (voir aussi [32]). Qu'en est-il pour

les algèbres toroïdales quantiques associées à des diagrammes de Dynkin non simplement

lacés ?

4. Dans [12], l'algèbre toroïdale quantique de type A dépend de trois paramètres de déforma-

tion q1, q2, q3. Lorsque l'on prend la limite quand les qi → 1 de manière adéquate, l'algèbre

limite alors obtenue possède une structure d'algèbre d'opérateurs vertex. Cette algèbre

est importante pour l'étude de la conjecture AGT en théorie des champs conformes (voir

l'introduction de [11]).

La catégorie des représentations de dimension �nie

L'étude de la catégorie C des représentations de dimension �nie de l'algèbre toroïdale quan-

tique aux racines de l'unité n'en est qu'à ses débuts et est encore très peu comprise. Notamment,

et nous l'avons déjà évoqué, très peu d'exemples d'objets simples de cette catégorie étaient

connus avant nos travaux. Les résultats ici présentés sont une première contribution à l'étude de

la catégorie C : on obtient la première grande famille d'objets simples de cette catégorie. De plus

nous proposons dans nos travaux trois constructions di�érentes qui mènent (partiellement pour

la première et la troisième construction) à la même famille de représentations irréductibles de

dimension �nie. Ceci semble indiquer que nous avons ici obtenu tous les objets simples de C.

Aussi une première question, di�cile, sera de savoir s'il existe d'autres objets simples de

la catégorie C, ou si nous les avons tous obtenus dans nos travaux. Dans le cas des groupes

21

quantiques aux racines de l'unité, une paramétrisation des représentations irréductibles de di-

mension �nie a été obtenue dans les années 90 : De Concini et Kac ont montré que tout caractère

central correspond à un nombre �ni de représentations irréductibles. Ce résultat repose sur la

description du centre du groupe quantique. Mais un tel résultat n'est pas connu dans le cas de

l'algèbre toroïdale quantique. Il s'agira dans un premier temps d'étudier le centre de cette

algèbre et d'en exhiber une sous-algèbre su�samment large (à l'image de ce qui a été fait pour

les groupes quantiques). Le cas des algèbres a�nes quantiques traité dans [4] pourra être pré-

cieux dans cette étude. On peut déjà noter que les éléments k`h et hi,m de l'algèbre toroïdale

quantique sont centraux lorsque h est un élément du Cartan et que m est un multiple de `, où `

est l'ordre de la racine de l'unité. La description complète de ce centre s'annonce di�cile, mais

sera fondamentale dans l'étude de la catégorie C.

Les conséquences de tels résultats sur la catégorie C pourraient être nombreuses. Comme c'est

déjà le cas pour les représentations des groupes quantiques et des algèbres a�nes quantiques aux

racines de l'unité, on peut espérer des applications dans des domaines variés de la physique (théo-

rie des champs conformes, physique statistique) et des mathématiques, notamment en théorie

des noeuds pour les invariants sur les 3-variétés.

Représentations des algèbres toroïdales quantiques detype quelconque

Parmi les représentations de l'algèbre toroïdale quantique de type A que nous avons construites

dans [26, 24, 25], les représentations vectorielles ont une importance toute particulière dans notre

théorie : en e�et toutes les représentations `-extrémales que nous avons obtenues dans [24] sont

des sous-quotients de produits de fusion de ces représentations. Les représentations vectorielles

jouent également un rôle clef dans [12] : par un procédé de produits tensoriels in�ni de ces

représentations, ils construisent des représentations de la d-déformation de l'algèbre toroïdale

quantique de type A qui possèdent des bases naturelles indexées par des partitions. Comme

application, ils obtiennent des descriptions combinatoires de représentations de l'algèbre a�ne

quantique par restriction, représentations qui interviennent en théorie des W-algèbres.

L'objectif de ce programme de recherche sera la construction de représentations de

dimension �nie pour les algèbres toroïdales quantiques de type quelconque. Comme

évoqué précédemment, les représentations vectorielles devraient là aussi avoir un rôle particulier.

La première étape sera de dé�nir ces représentations vectorielles pour des types généraux. Le

procédé introduit dans [24] devrait nous y aider : nous avons déjà obtenu (un analogue) des

représentations vectorielles pour les algèbres toroïdales de type D. Par spécialisation,

on obtient là aussi des représentations de dimension �nie de ces algèbres aux racines de l'unité.

Il s'agira alors d'étudier les produits de fusion de ces représentations. D'autres représentations

`-extrémales devraient s'obtenir alors comme sous-quotients de tels produits (à l'image de ce qui

se passe en type A, [24]). Cependant, l'étude de ces produits de fusion ne sera pas une tâche

aisée. On peut en e�et s'attendre à ce que les représentations vectorielles soient plus compliquées

22

à décrire qu'en type A (on l'observe déjà en type D).

Une autre perspective de tels travaux serait d'étendre les résultats de Feigin - Jimbo -

Miwa - Mukhin [12] pour les algèbres toroïdales quantiques de type quelconque. Une

première obstruction résidait dans le fait qu'il n'y a pas de d-déformation connue de l'algèbre

toroïdale quantique pour des types di�érents du type A. C'est l'une des motivations qui nous

avait poussé à travailler avec l'algèbre toroïdale quantique de type A spécialisée à d = 1, dans le

but d'étendre nos résultats aux autres types. De ce fait et après la construction de représentations

vectorielles en type quelconque, il s'agira de voir si le procédé de produits tensoriels in�ni introduit

dans [12] peut encore s'appliquer. Comme c'est déjà le cas en type A, les perspectives de tels

résultats seraient nombreuses.

Représentations de dimension �nie des algèbres deCherednik

Il est bien connu que les représentations de dimension �nie du groupe linéaire et du groupe

symétrique sont reliées par dualité de Schur-Weyl. Cette dualité fait sens également pour les

groupes quantiques de type A et les algèbres de Hecke (version quantique du groupe symétrique),

et pour les algèbres toroïdales quantiques de type A et les algèbres de Cherednik elliptiques (aussi

appelées algèbres de Hecke doublement a�nisées). Comme pour l'algèbre toroïdale quantique,

les algèbres de Cherednik elliptiques et leurs représentations sont encore peu comprises. Mais on

peut en espérer des applications nombreuses comme c'est par exemple le cas pour les algèbres

de Hecke.

Par cette dualité de Schur-Weyl [33], les représentations construites dans [26, 24, 25] corres-

pondent à des représentations de dimension �nie de l'algèbre de Cherednik aux racines de l'unité.

L'objet de ce projet de recherche sera la description explicite de ces représentations.

Le cas de la représentation vectorielle pour l'algèbre toroïdale quantique de type A3 est traité

dans [16]. Ce résultat se généralise aisément pour toutes les représentations vectorielles des al-

gèbres toroïdales quantiques de type A. Mais le cas des représentations vectorielles est le plus

simple, et l'interprétation via la dualité de Schur-Weyl des autres représentations dans [26, 24]

s'annonce plus délicate. En e�et le foncteur de Schur-Weyl inverse dé�nit dans [33], associant

à une représentation de dimension �nie de l'algèbre toroïdale quantique une représentation de

dimension �nie de l'algèbre de Cherednik elliptique, est di�cile à utiliser ici et ne permet pas

à première vue cette description. Une autre idée serait alors de considérer les foncteurs d'in-

duction et de restriction de Bezrukavnikov et Etingof pour les algèbres de Cherednik.

Comme espéré dans [16], ces foncteurs devraient être reliés par dualité au produit de fusion

pour l'algèbre toroïdale quantique. Un tel résultat serait particulièrement intéressant ici, puisque

les représentations `-extrémales que nous avons obtenu sont des sous-quotients de produits de

fusion de représentations vectorielles.

23

Références

[1] Nicoletta Cantarini and Victor G. Kac. Classi�cation of linearly compact simple Jordan

and generalized Poisson superalgebras. J. Algebra, 313 :100�124, 2007.

[2] Nicoletta Cantarini and Victor G. Kac. Classi�cation of simple linearly compact n-Lie

superalgebras. Comm. Math. Phys., 298(3) :833�853, 2010.

[3] Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley. A Guide to Quantum Groups. Cambridge Univ.

Press, Cambridge, 1994.

[4] Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley. Quantum a�ne algebras at roots of unity. Represent.

Theory, 1 :280�328, 1997.

[5] Ivan Cherednik. Double a�ne Hecke algebras and Macdonald's conjectures. Ann. of Math.

(2), 141(1) :191�216, 1995.

[6] Alberto De Sole and Victor G. Kac. The variational Poisson Cohomology. Japan J. Math.,

8 :1�145, 2013.

[7] Vladimir Guerchonovitch Drinfel'd. Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation.

Soviet Math. Dokl., 32(1) :254�258, 1985.

[8] Boris Feigin, Evgeny Feigin, Michio Jimbo, Tetsuji Miwa, and Evgeny Mukhin. Quantum

continuous gl∞ : Semi-in�nite construction of representations. Kyoto J. Math., 51(2) :337�

364, 2011.

[9] Boris Feigin, Evgeny Feigin, Michio Jimbo, Tetsuji Miwa, and Evgeny Mukhin. Quantum

continuous gl∞ : tensor products of Fock modules and Wn-characters. Kyoto J. Math.,

51(2) :365�392, 2011.

[10] Boris Feigin, Michio Jimbo, Tetsuji Miwa, and Evgeny Mukhin. Quantum toroidal gl1algebra : plane partitions. Kyoto J. Math., 52(3) :621�659, 2012.

[11] Boris Feigin, Michio Jimbo, Tetsuji Miwa, and Evgeny Mukhin. Branching rules for quantum

toroidal gln. arXiv :1309 :2147, 2013.

[12] Boris Feigin, Michio Jimbo, Tetsuji Miwa, and Evgeny Mukhin. Representations of quantum

toroidal gln. J. Algebra, 380 :78�108, 2013.

[13] Edward Frenkel and Evgeny Mukhin. Combinatorics of q-characters of �nite-dimensional

representations of quantum a�ne algebras. Comm. Math. Phys., 216(1) :23�57, 2001.

[14] Victor Ginzburg, Mikhail Kapranov, and Eric Vasserot. Langlands reciprocity for algebraic

surfaces. Math. Res. Lett., 2(2) :147�160, 1995.

[15] David Hernandez. Drinfeld coproduct, quantum fusion tensor category and applications.

Proc. London Math. Soc., 95(3) :567�608, 2007.

[16] David Hernandez. Quantum toroidal algebras and their representations. Selecta Math.,

14(3) :701�725, 2009.

[17] David Hernandez. The algebra Uq(sl∞) and applications. J. Algebra, 329 :147�162, 2011.

[18] David Hernandez and Bernard Leclerc. Cluster algebras and quantum a�ne algebras. Duke

Math. J., 154(2) :265�341, 2010.

24

[19] David Hernandez and Hiraku Nakajima. Level 0 monomial crystals. Nagoya Math. J.,

184 :85�153, 2006.

[20] Michio Jimbo. A q-di�erence analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation. Lett. Math.

Phys., 10(1) :63�69, 1985.

[21] Masaki Kashiwara. Crystal bases of modi�ed quantized enveloping algebra. Duke Math. J.,

73(2) :383�413, 1994.

[22] Masaki Kashiwara. On level-zero representations of quantized a�ne algebras. Duke Math.

J., 112(1) :117�175, 2002.

[23] W. X. Ling. On the structure of n-Lie algebras. PhD thesis, Siegen, 1993.

[24] Mathieu Mansuy. Extremal loop weight modules and tensor products for quantum toroidal

algebras. Preprint arXiv :1305.3481 , 2013.

[25] Mathieu Mansuy. Quantum extremal loop weight modules for Uq(sl∞). arXiv :13094298,

2013.

[26] Mathieu Mansuy. Quantum extremal loop weight modules and monomial crystals. Paci�c

J. Math., 267(1) :185�241, 2014.

[27] Hiraku Nakajima. Geometric construction of representations of a�ne algebras. In Pro-

ceedings of the International Congress of Mathematicians, Beijing, 2002, volume I, pages

423�438. Higher Ed. Press, Beijing, 2002.

[28] Yoichiro Nambu. Generalized Hamiltonian Maechanics. Phys. Rev. D7, 8 :2405�2412, 1973.

[29] Nikita Nekrasov, Vasily Pestun, and Samson Shatashvili. Quantum geometry and quiver

gauge theories. arXiv :1312.6689, 2012.

[30] Yasuhisa Saito, Kouichi Takemura, and Denis Uglov. Toroidal actions on level 1 modules of

Uq(sln). Transform. Groups, 3(1) :75�102, 1998.

[31] Mark Shimozono. A�ne type A crystal structure on tensor products of rectangles, Demazure

characters, and nilpotent varieties. J. Algebraic Combin., 15(2) :151�187, 2002.

[32] Michela Varagnolo and Eric Vasserot. On the K-theory of the cyclic quiver variety. Int.

Math. Res. Notices, 1999(18) :1005�1028.

[33] Michela Varagnolo and Eric Vasserot. Schur duality in the toroidal setting. Comm. Math.

Phys., 182(2) :469�483, 1996.

[34] Michela Varagnolo and Eric Vasserot. Double-loop algebras and the Fock space. Invent.

Math., 133(1) :133�159, 1998.

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