double gumbel

1. Antecedentes Tericos

3

1. ANTECEDENTES TERICOS

La planeacin y el diseo de obras hidrulicas estn relacionados con eventos hidrolgicos futuros, cuyo tiempo de ocurrencia o magnitud no pueden predecirse, ya que no estn gobernados por leyes fsicas o qumicas conocida, sino por las leyes de azar. Es por ello que la probabilidad y la estadstica juegan un papel muy importante para pronosticar eventos hidrolgicos.

Debido a que en hidrologa se cuenta con periodos muy cortos de precipitaciones para poder estimar la lluvia de diseo de una avenida, se requiere buscar entre las distintas funciones de distribucin de probabilidad tericas la que se ajuste mejor a los datos medidos, y usar esta funcin para poder extrapolar los eventos de diseo, ya sea por medios grficos o por medio de la obtencin de los parmetros de su funcin de distribucin. El presente captulo describe estas funciones y los mtodos de ajustes utilizados.

1.1 Variable, Muestra y Poblacin

Para facilitar la comprensin de algunos trminos que se usaran en las siguientes pginas, se da su definicin a continuacin:

1. Antecedentes tericos

4

Variable: es una descripcin numrica del resultado de un experimento, asocia un valor numrico con cada resultado experimental posible. Es discreta si su conjunto de valores posibles es finito, o se puede enumerar en una sucesin finita, y es continua cuando sus valores posibles abarcan un intervalo completo sobre la lnea de los nmeros reales.

Poblacin: es el conjunto de todos los posibles valores que podra tener la variable x.

Resultado: es un dato aislado, obtenido mediante la observacin de una variable cualquiera x en estudio.

Muestra: es un conjunto de resultados obtenidos para la variable x en cuestin, es un subconjunto de la poblacin. Una muestra aleatoria es aquella que se obtiene completamente al azar, sin dar preferencia a algn tipo de valores. En contraste, se dice que una muestra es sesgada cuando fue obtenida dando preferencia a algn tipo de resultados.

En muchos casos es prcticamente imposible obtener muestras completamente aleatorias; en estos casos debe tenerse al menos una idea de cules fueron los sesgos introducidos al momento de obtener la muestra.

1.2 Funciones de distribucin

Para poder hacer deducciones probabilsticas en relacin con alguna variable hidrolgica de inters, es necesario estudiar primero la forma de caracterizar a las poblaciones de las que la muestra en estudio forma parte. Con este objeto, se definen algunas funciones tpicas que permiten caracterizar estadsticamente a una poblacin, as como la forma de calcular sus parmetros.

Entre las funciones de distribucin de probabilidad ms usadas en hidrologa se destacan las siguientes:

Normal Lognormal Pearson III Gumble Doble Gumbel

1.2.1 Propiedades de las funciones de distribucin

Se define a la funcin de distribucin asociada a una variable aleatoria u, que puede tomar valores en el campo de los nmeros reales, como la probabilidad de que dicha variable tome valores menores o iguales que un valor fijo x para toda x comprendida entre los reales, esto es:


5

, Esta funcin (Figura 1.1) corresponde a la idea del histograma de frecuencias acumuladas

Figura 1.1 Funcin de distribucin

Sus principales propiedades son las siguientes:

1. 1 2. 0 3. 0 De acuerdo con la definicin, si se conoce la funcin de distribucin de probabilidad de una variable aleatoria, la probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo (a, b), se calcula como:

En resumen, la funcin de distribucin de probabilidad de la poblacin de valores posibles de una variable cualquiera, u, Fu(x), corresponde a la idea de frecuencia relativa acumulada asociada a los valores de una muestra, y mide la probabilidad de que u tome valores menores o iguales que un valor especificado x.

1.2.2 Funcin de densidad

Una funcin de densidad de probabilidad, integrada entre a a b (con ab), da la probabilidad de que la variable aleatoria correspondiente tomar un valor en el intervalo entre a a b.

Una funcin con valores f(x), definida con respecto al conjunto de todos los nmeros reales, se denomina funcin de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X si :

!"


6

Para cualesquiera constantes reales a y b, con ab.

A esta funcin de densidad tambin se le conoce con el nombre de densidades de probabilidades, funciones de densidad, densidades y funciones de densidad de probabilidad (que se abrevia como f.d.p.) La representacin grfica se muestra en la figura 1.2

Figura 1.2 Funcin de densidad

Una funcin puede desempear el papel de una funcin de densidad de una variable aleatoria X si sus valores f(x), cumplen que:

a) 0 # #

b) $ 1% Si X es una variable aleatoria continua la funcin dada por

& & ' ' # # (% Donde f(t) es el valor de la funcin de densidad de probabilidad de X en t. F(x) se llama funcin de distribucin o funcin acumulada de X. Por tanto se deduce:

Si f(x) y F(x) son, respectivamente, valores de la distribucin de probabilidad y la funcin de distribucin X en x, entonces

& Para dos constantes reales cualesquiera a y b con ab se tiene que

Por tanto la derivada de la funcin de distribucin de probabilidad es la funcin de densidad de probabilidad.


7

1.2.3 Funcin de distribucin normal

Una distribucin muy importante y mayormente usada es la Distribucin Normal o de Gauss. La ecuacin matemtica de la funcin de Gauss es la siguiente:

1)2,(

% -%./0(%12 34

Y la funcin de densidad se define de la siguiente manera:

.2/5 -%640789: 34 ; - < x -%

./?@A %BC D4 Y su funcin de densidad presenta la siguiente forma

12< 1> -%./?@A %BC D4

Donde y son los parmetros de la distribucin, estos parmetros corresponden a la media y desviacin estndar de los logaritmos de la variable aleatoria. La figura 1.3 muestra la representacin grafica de esta distribucin.


8

Figura 1.3 Funcin de densidad Lognormal

Esta distribucin tiene la ventaja sobre la distribucin normal de que est limitada (X>0) y de que la transformacin log tiende a reducir la asimetra positiva comnmente encontrada en informacin hidrolgica, ya que al tomar logaritmos se tiene una reduccin en una proporcin mayor los nmeros grandes que los nmeros pequeos. Las desventajas de esta distribucin son que se tiene solamente dos parmetros en la funcin y que se requiere que los logaritmos de los datos sean simtricos con respecto a la media.

1.2.5 Funcin de distribucin exponencial

Est definida por:

E 1 -%F Donde

F(x) probabilidad de que c h

y variable reducida, que se calcula como:

G >H H y > parmetros que definen la funcin Exponencial H desviacin estndar > cota inferior Los parmetros estadsticos de esta funcin son:

Media ; H >


9

Variancia )/ H/ La figura 1.4 muestra la representacin grfica de la funcin exponencial.

Figura 1.4 Funcin de probabilidad exponencial

La funcin exponencial se utiliza para describir los tiempos de interarribo de choques aleatorios a sistemas hidrolgicos, tales como volmenes de escorrenta contaminada que entra en los ros a medida que la lluvia lava los contaminantes localizados en la superficie del ro. La ventaja de esta distribucin es que es fcil estimar sus parmetros a partir de la informacin observada y esta distribucin se adapta muy bien a estudios tericos. La desventaja es que es necesario que la ocurrencia de cada evento sea completamente independiente de sus vecinos.

1.2.6 Funcin de distribucin Pearson III o Gama de tres parmetros

La funcin de densidad est dada por:

1H.>. I J.H. KC6%. -%(%L6B6

Donde H., >. y J. son los parmetros de la funcin y >. es la funcin Gamma. La grfica correspondiente a esta funcin se muestra en la figura 1.5.

Y su funcin de distribucin de probabilidad, es igual a:

1 >. -%?

(%L6B6 D(= ? J.H. D

C%. La distribucin Pearson tipo III se uso en hidrolgica por primera vez en 1924 por Foster para describir la distribucin de probabilidad de picos de gastos mximos anuales.


10

Figura 1.5 Funcin de densidad Pearson III o Gamma de 3 parmetros

1.2.7 Funcin de distribucin Gumbel

En los estudios realizados para eventos hidrolgicos extremos se incluye la seleccin de una secuencia de observacin ya sean mximas o mnimas de un conjunto de datos, por ejemplo en el estudio de los gastos picos en una estacin hidromtrica se utilizan solamente los valores mximos registrado cada ao, entre todos los valores registrados. Es por ello que se utiliza la funcin de valores extremos I o tambin llamada Gumbel en hidrologa, ya que esta funcin de distribucin se utiliza para determinar la probabilidad de que se presenten grandes avenidas, debido a que se ha demostrado tericamente que se ajusta a los valores mximos.

La funcin de distribucin de probabilidad se representa por la siguiente ecuacin:

-%M8N78O La funcin de densidad de probabilidad es la siguiente:

H -P%B(%C%M8N78OQ Donde:

H parmetro de forma > parmetro de escala x variable aleatoria

Los parmetros H y > se estiman por el mtodo de momentos, el cual se detallar en las pginas siguientes, como:

H 1.2825


11

> U 0.45 Donde:

s es la desviacin estndar que se calcula con la siguiente ecuacin

W Y UZY%.[ 1 U representa la media de la muestra, la cual se calcular con al siguiente expresin.

U \ Y[Z

Y%.

La grfica representativa de la funcin de distribucin Gumbel se muestra en la figura 1.6

Figura 1.6 Funcin de distribucin Gumbel

La distribucin de probabilidad Gumbel se utiliza para el estudio de los gastos mximos anuales en un ro o de precipitaciones mximas anuales en un sitio, y por lo tanto para la determinacin de avenidas de diseo.

Se puede definir a una variable reducida y como:

G H > Si sustituimos la variable reducida en la funcin de distribucin de probabilidad se tiene que

-%M]


12

Despejando y de la ecuacin anterior, aplicando logaritmo natural en dos ocasiones se obtiene.

G ^[ _^[ ? 1D` Los valores x y y pueden graficarse en una recta, tal como se muestra en la figura 1.7

Figura 1.7 Distribucin Gumbel, variable x contra variable reducida y.

1.2.8 Funcin de distribucin para dos poblaciones o Doble Gumbel

En nuestro pas, existen diversos lugares donde los gastos mximos anuales pertenecen a dos poblaciones diferentes, debido a los ciclones que se presentan en ciertas zonas y por las precipitaciones relacionadas con los fenmenos meteorolgicos dominantes de la regin. Esta variacin tambin se ven reflejadas en zonas, donde se tiene datos de gastos producidos por las precipitaciones y otros por gastos provenientes de deshielos. En estas situaciones se dice que llegamos a tener dos poblaciones para una misma zona en estudio.

Es por ello que fue necesario desarrollar la funcin de distribucin Doble Gumbel, dada por la siguiente expresin:

0-%M8N678O6 3 1 0-%M8N478O43 donde 1 y 1 son los parmetros correspondientes a la poblacin no ciclnica y 2 y 2 corresponden a la ciclnica, p es la probabilidad de que en un ao cualquiera el gasto mximo no sea producido por una tormenta ciclnica.

Los valores 1 y 1 se obtienen ajustando por momentos una funcin Gumbel a los datos de la primera poblacin y los valores de

2 y 2 ajustando otra funcin de Gumbel a los datos de la segunda poblacin.


13

Los parmetros 1 y 2 definen una cierta inclinacin de las curvas, entre ms pequeas ms fuerte es la inclinacin. Y 1, 2 son parmetros de escala, el valor ms grande que pueden tomar es el mximo valor de la muestra obtenido para las poblaciones 1 y la 2.

Para estimar los parmetros se recomienda minimizar el error cuadrtico

a b\Y cd /Z

Ye.f

./

Donde Y y cd son los valores medidos y los valores estimados con la funcin de distribucin de probabilidad, y n es el nmero de valores que contiene la muestra.

Para obtener la combinacin de valores p, 1 , 1 , 2 y 2 que hacen mnima la funcin Z, se recomienda hacer primero una grfica en la que se dibujen los puntos correspondientes a las parejas de valores ghY , hYi. Para dibujar los puntos en la grfica se utiliza el papel de Gumbel.

El papel de Gumbel tiene en el eje de las abscisas los valores de G ^[^[ j k(k(%.l y en las ordenadas los de x . Con esto se logra separar a las dos poblaciones que se agrupan en sendas rectas.

La figura 1.8 muestra un salto brusco en el grfico, por los valores de los gastos no ciclnicos y los ciclnicos.

Figura 1.8 Distribucin doble Gumbel

No es posible determinar una ecuacin para el clculo de gastos mximos debido a que la funcin de distribucin de probabilidad de Gumbel de dos poblaciones es implcita, eso


14

implica que la solucin de dicha ecuacin debe realizarse a travs de algn mtodo para determinar races en una funcin.

Para poder utilizar esta funcin es necesario estimar p, lo cual se puede realizar de diferentes maneras, puede ser al consultar los boletines meteorolgicos, preguntar a los habitantes de la zona o examinando los gastos mximos anuales.

El valor de p ser entonces:

mZmn Siendo mZ el nmero de aos de registro en que el gasto mximo no se produjo por una tormenta ciclnica y mn el nmero total de aos de registro. De acuerdo con la experiencia en Mxico, en el uso de esta distribucin de probabilidad para los valores mximos anuales se ha utilizado una p de 0.84.

1.3 Mtodos de ajustes

Debido a que una distribucin de probabilidad es una funcin que representa la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria. Mediante el ajuste de dicha funcin a los datos de una muestra, gran cantidad de informacin probabilstica en la muestra puede resumirse en forma compacta en la funcin y en sus parmetros asociados. Ajustar una funcin de distribucin a un grupo de datos significa encontrar la funcin que, a juzgar por los datos de la muestra, mejor representa la poblacin de valores posibles de la variable en estudio.

En el proceso de ajuste se debe llevar a cabo en dos pasos importantes: el primero es encontrar el tipo de funcin de distribucin adecuada y en segundo lugar obtener los parmetros del tipo de funcin elegida. En hidrologa una eleccin apresurada de cualquiera de las funciones podra traer como consecuencias tener una estructura sobrediseada y costosa o subdiseada y por tanto riesgosa. El ajuste de distribucin se puede realizar por diferentes mtodos, en seguida se describen algunos de ellos.

1.3.1 Anlisis grfico

Este mtodo consiste simplemente en observar una grafica donde se dibujara cada una de las diferentes funciones junto con los puntos medidos, la funcin de distribucin que se seleccionara ser aquella que se apegue visualmente mejor a los datos medidos.

Este mtodo es subjetivo, no es muy recomendable, sin embargo es muy ilustrativo y puede ser usado con otros mtodos, si lo llega a aplicar una persona con experiencia puede llegar a ser el mejor de los mtodos.


15

1.3.2 Mtodo de mnimos cuadrados

El mtodo de ajuste por mnimos cuadrados consiste en estimar los parmetros de la funcin de distribucin seleccionada, que hagan mnima la expresin:

Z \Pxr Fxr/A

re.

Donde

F(xi) funcin de distribucin en estudio, valuada en xi

P(xi) probabilidad "observada" de la muestra, que se estima mediante la frmula de Weibull

Y m 1 tm 1 Donde:

N nmero de datos

m nmero de orden que ocupa xi en la serie de los datos, si se ordenan de mayor a menor

1.3.3 Mtodo de los momentos

Una forma de estimar los parmetros de una funcin de distribucin, para que se "ajuste" a un conjunto de datos, consiste en igualar los valores de las caractersticas estadsticas de la muestra con las de la poblacin; esto es, hacer que la media de los valores muestreados sea igual a la de la funcin de distribucin (a la que se llamar primer momento), que las varianzas sean iguales (segundo momento), el coeficiente de asimetra (tercer momento), etc., hasta establecer tantas ecuaciones como parmetros tenga la funcin.

1.3.4 Mtodo de Mxima Verosimilitud

Supone que el mejor parmetro de una funcin debe ser aquel que maximiza la probabilidad de ocurrencia de la muestra observada. Se utiliza la funcin de verosimilitud L(x). Mientras mayor sea esta funcin mayor ser el ajuste de la funcin de distribucin a los datos.

La funcin de verosimilitud es el producto de los valores de la funcin de densidad de probabilidad terica, calculada para cada valor Y de la muestra, es decir:

^ u Y YZ

Ye. v / v w v Z


16

Donde

n

1 = i 0 es el operador que indica el producto de los valores que comprende.

Debido a que varias funciones de densidad de probabilidad son exponenciales, es conveniente trabajar con la funcin logaritmo de la funcin de verosimilitud

y ln ^ \ |[gYiZYe. De esta manera para poder estimar los valores de los parmetros de la funcin que hacen mxima a la funcin H, se deriva dicha funcin con respecto a cada uno de los parmetros y el resultado se iguala a cero. Al igualar a cero cada una de las derivadas se tendrn tantas ecuaciones como parmetros tenga la funcin de probabilidad, y de estas se despejan los parmetros para hacer el ajuste respectivo.

Este mtodo tericamente es el ms correcto para ajustar distribuciones de probabilidad a informacin, ya que produce los estimativos de parmetros ms eficientes, aquellos que estiman los parmetros de la poblacin con los menores errores promedio, sin embargo para algunas distribuciones de probabilidad, no existe una solucin matemtica y al maximizar la funcin logaritmo de verosimilitud resulta bastante complicado, es por ello que en general el mtodo de los momentos es ms fcil de aplicar que el mtodo de la mxima verosimilitud y resulta ser el ms apropiado para los anlisis prcticos en hidrologa.

1.4 Periodo de retorno

El periodo de retorno se usa comnmente en lugar de la probabilidad para definir crecientes de diseo. Se define como el lapso promedio entre la ocurrencia de un evento igual o mayor a una magnitud dada. Asociado a eventos mximos anuales, se define como el tiempo dentro del cual ese evento puede ser igualado o excedido una vez en promedio.

Una excedencia es un evento con magnitud igual o mayor que cierto valor, algunas veces el tiempo real entre excedencias es llamado intervalo de recurrencia, el intervalo de recurrencia para un cierto evento ser igual al perodo de retorno del evento, en la prctica los dos conceptos son sinnimos.

Cuando se habla de una tormenta o creciente con perodo de retorno de 100 aos, se entiende entonces que dicho evento ser igualado o excedido en promedio una vez cada 100 aos, en el transcurso de un gran nmero de aos, por ejemplo 1000 aos.

En hidrologa se utilizan muestras formadas por eventos hidrolgicos anuales, se podr plantear la siguiente ecuacin tomando en cuenta el concepto de probabilidad

& 1}


17

La ecuacin anterior nos muestra que si un evento hidrolgico X igual o mayor a x, ocurre una vez en Tr aos, su probabilidad de excedencias es 1/Tr, por ejemplo si una excedencia ocurre en promedio cada 100 aos, la probabilidad de que tal evento ocurra en cualquier ao es 1/100, que es igual al 1%. Entonces, las probabilidades de excedencias P(Xx) y de no excedencia P(Xx) y el periodo de retorno estn relacionadas por las siguientes ecuaciones:

} 1& 11 & Existen otras expresiones con las cuales podemos obtener un valor para el periodo de retorno segn la muestra de los datos, a continuacin se enlistan algunas de ella.

Segn Weibull se puede estimar el periodo de retorno con la siguiente ecuacin (frmula de Weibull; Weibull, 1939 referencia dada en Willson, 1990):

}Y 11 Y m 1t Donde:

Tr(xi) perodo de retorno del evento xi

xi magnitud del evento

m es el nmero de orden al ordenar los datos de mayor a menor, es la clasificacin del evento de acuerdo con su magnitud.

N es el total de eventos, numero de aos de registro

Otra ecuacin utilizada es la de California (California Department of Public Works, 1923 dada en Willson, 1990):

} [t Tambin est la frmula de Hazen:

} 2[t 1 Estas dos ltimas tambin se toman con reservas. Una que da resultados ms satisfactorios es la debida a Gringorten (Willson, 1990) :

} [ 0.12t 0.44


18

Otra forma sencilla es la recomendada por Cunnane:

} [ 12t 0.4 Debido a que cuando se trabaja con avenidas de diseo es comn que lo que interesa sea la probabilidad de que dicha avenida exceda una determinada magnitud. Como frecuentemente se trabaja con probabilidades de frecuencias muy cercanas a cero, se utiliza el concepto de perodo de retorno T, que se define como el nmero de aos, en promedio, en el que un evento puede ser igualado o excedido. Como ya se ha mencionado, los conceptos anteriores se pueden relacionar mediante la expresin:

} 11 Donde:

Tr(x) periodo de retorno, en aos, asociado a un valor

x valores mximos anuales

F(x) funcin de distribucin de los valores mximos anuales

Para una serie de valores mximos anuales medidos x1,x2,,xn, el mtodo bsico para estimar en cada uno de esos valores el periodo de retorno T(x) es el siguiente: Se ordenan los valores en orden descendente segn su magnitud y se asigna a cada uno un nmero de orden "m", correspondiendo m =1 al valor mximo, para calcular el periodo de retorno se utilizan las ecuaciones antes mencionadas.

Una vez que las series se han ordenado de mayor a menor (o de menor a mayor si se analizan eventos mnimos) se pueden dibujar en grficas relacionando a la variable analizada con su periodo de retorno Tr o bien con p.

As pues tomando como ejemplo la distribucin de probabilidad Gumbel

-%M8N78O Donde

G ^[ _^[ ? 1D`


19

Despejando 1/F(x) de

} 11 Se tiene que

1 }} 1 Si se llega a dibujar en una grfica para la distribucin Gumbel los valores x sern los gastos medios diarios mximos anuales en el eje de las ordenadas, y en el eje de la abscisas se tendr

G ^[ _^[ ? }} 1D` Teniendo un grfico como el de la figura 1.9

Figura 1.9 Ajuste una funcin de distribucin

1.5 Mtodo de clculo de lluvias de diseo

La precipitacin que una tormenta produce en una cuenca puede llegar a variar desde un mximo en uno o varios puntos, hasta tener valores nulos en la frontera de dicha tormenta. Estas variaciones tambin se presentan en los registros mensuales y anuales de las estaciones pluviomtricas, lo cual llega a originar problemas al determinar la precipitacin media en la cuenca.


20

Una tormenta de diseo es un patrn de precipitacin que se emplea en el diseo de un sistema hidrolgico. Se define a partir de una lmina de lluvia total, un patrn temporal y un mapa de distribucin espacial de la lluvia. Llega a ser complejo relacionar estos tres elementos, por esto se considera solamente la probabilidad de excedencia de la lmina de precipitacin total, y la distribucin tanto espacial como temporal se calcula usando otros mtodos.

El concepto de tormentas de diseo es generalmente usado debido a ciertas razones, la escasez de registros de gastos lo suficientemente largos para realizar anlisis de frecuencias de tal manera que sean confiables, una mayor disponibilidad de registros de lluvias y el carcter cambiante de las caractersticas fsicas de la cuenca en estudio.

Existen diferentes mtodos para obtener las tormentas de diseo, los ms empleados son los que se basan en las curvas intensidad-duracin-periodo de retorno (curvas IDT). Estos mtodos asignan intensidades a la tormenta de diseo que corresponden a una probabilidad constante durante toda la duracin del evento. Sin embargo se ha comprobado que a partir de varias observaciones en diferentes lugares, una tormenta con una distribucin uniforme de frecuencias durante toda su duracin no existe o que ocasionalmente puede llegar a ocurrir. Adems una tormenta de diseo corresponde a un patrn de precipitacin que intenta representar las tormentas tpicas de una determinada zona donde una tormenta real puede tener un gran nmero de combinaciones de duracin, intensidad, patrn temporal y distribucin espacial.

Es por ello que es ms comn utilizar modelos lluvia-escurrimiento con tormentas de diseo histricas, para realizar anlisis estadsticos a las avenidas resultantes. Las tormentas histricas ofrecen una mejor representatividad de la variabilidad de las tormentas reales en cuanto a su patrn temporal y espacial en comparacin con las tormentas de diseo obtenidas mediante curvas IDT. Este mtodo modo requiere de numerosos clculos, resultando ser muy laborioso cuando la cuenca en estudio es muy grande.

Se han incluido nuevos elementos en el clculo de las tormentas de diseo, tales como las relaciones precipitacin-duracin y precipitacin-rea, lo cual ha ayudado a entender la variabilidad temporal y espacial de la precipitacin.

1.5.1 Variacin espacial de la precipitacin

La variabilidad espacial de la lluvia se basa en dos aspectos importantes, el primero se refiere a la variabilidad de las propiedades estadsticas de la lluvia entre diferentes regiones geogrficas, y el segundo a la no uniformidad de la distribucin espacial de la lluvia sobre las cuencas.

El origen de la tormenta en cada zona, es un factor que condiciona la distribucin espacial de la lluvia. En una misma cuenca, la precipitacin llega a presentarse con una gran variacin en su distribucin espacial. Dos tormentas pueden llegar a tener la misma precipitacin media areal, mientras que su distribucin espacial puede ser muy distinta ya que la precipitacin se concentra en puntos diferentes dentro de la regin provocando distintos gastos en su sistema de drenaje.

En la prctica generalmente se supone que la lluvia es uniforme, al aplicar modelos hidrolgicos en pequeas cuencas. La variabilidad espacial debe tomarse en cuenta con el


21

objetivo de mejorar la estimacin del volumen de entrada en la cuenca. Por esta situacin surge el concepto de Factor de Reduccin por rea (FRA) el cual toma en cuenta el efecto de la variabilidad espacial de la precipitacin, y sobre todo, considera la simultaneidad con la que se presentan las lluvias mximas.

Las mediciones de la lluvia se realizan de forma puntual, por ello no es de esperar que sea la misma en toda la cuenca de estudio, por ese motivo, diversos autores han propuesto ecuaciones empricas para la reduccin de la precipitacin en funcin del tipo de tormenta y de la cuenca de estudio al calcular el Factor de Reduccin por rea, es una foma prctica que considera la no simultaneidad de las lluvias mximas en las estaciones dentro del rea as como tambin la reduccin de la lmina de precipitacion media sobre una determinada rea a medida que aumente dicha rea.

El factor puede calcularse segn las siguientes expresiones

a) Para tormentas de tipo convectivo y rea inferior a 50 km2. Woolhiser (1959) propone

~ " 1 1.94 ~=. Donde:

" precipitacin media en la cuenca para la duracin y zona de inters media de los valores puntuales para la misma zona y duracin. A rea de la cuenca en estudio

b) Para ciclones extratropicales o borrascas atlanticas, Boyer obtuvo:

~ " 1.680 3 _1 ?1.09 1D -%0..=3`

Siendo

d distancia al centro del cicln

D distancia al centro para " 0.5 se debe estimar c) Egleson(1972) propone la siguiente frmula:

~ " 1 -%...n.4 -%...n%=.=.


22

Donde

T duracin de la tormenta

A rea de la cuenca (expresada en millas cuadradas) 1.5.2 Mtodos de interpolacin de lluvias

La informacin necesaria para realizar estudios hidrolgicos a veces llega a ser escasa debido a la falta de estaciones de medicin en los sitios de inters, la precipitacin generalmente es registrada por los pluvimetros y pluvigrafos, este equipo mide la lluvia de manera puntual, esta informacin llega a ser insuficiente en algunos estudios ralizados a las cuencas. Por ello es necesario realizar un proceso de interpolacion de los valores observados puntualmente con el objetivo de obtener informcin de los sitios donde no existen mediciones, de esta manera podemos tener el comportamiento y la distribucin de la lluvia en el espacio.

La interpolacin espacial es un mtodo para inferir valores de una variable a partir de observaciones realizadas de la misma variable en puntos cercanos al lugar de inters.

Existen diversos mtodos que pueden emplearse para interpolar, la seleccin de uno u otro mtodo depender de la forma en que el modelo representa el fenmeno real. Lo diversos mtodos que existen se pueden clasificar como determinsticos o estocsticos. Los primeros son mtodos de interpolacin que modelan la variable a travs de una funcin especfica, al contrario de la segunda clasificacin. La magnitud de las diferencias entre las dos clasificaciones depende de las caractersticas de la zona estudiada, del tamao, la configuracin y la densidad de la red de observaciones con que se cuente.

Se presentaran a continuacin tres procedimientos para la interpolacin y promediacin de la precipitacin sobre una cuenca, a partir de las precipitaciones conocidas en varios puntos.

1.- Polgonos de Thiessen

Este mtodo est basado en la ley del vecino ms cercano, se toma como hiptesis de partida que la precipitacin en un punto de la cuenca cualquiera es la misma que la registrada en el pluvigrafo ms cercano. A cada estacin se le asigna un rea de influencia o polgono, el cual se construye de modo que cada punto dentro del polgono est ms cercano a su estacin que de cualquier otra.

Los polgonos estarn formados por las mediatrices de los segmentos que une cada estacin con las contiguas. La configuracin de los polgonos depende de la forma en que las estaciones de medicin se encuentran distribuidas espacialmente.

Estas reas asignadas, divididas por la total de la cuenca, son los coeficientes que ponderan la precipitacin de cada estacin. El mtodo no toma en cuenta la orografa, pero es un mtodo de gran simplicidad en su aplicacin, pero representativo del fenmeno real.

La frmula que se usa en este mtodo es la siguiente


23

1~ \ ~Y YZ

Ye.

Siendo

P precipitacin media en la cuenca

A superficie de la cuenca

n nmero de pluvigrafos

Ai rea de influencia del pluvigrafo

Pi precipitacin registrada por el pluvigrafo

2.- Medias ponderadas

Por este mtodo se extiende la precipitacin de las estaciones de la cuenca, a toda ella. Este procedimiento no toma en cuenta la colocacin de las estaciones ni el relieve dentro de la cuenca. Se basa en la divisin de la superficie de la cuenca en celdas elementales, con lo que la precipitacin en cada una de ellas se obtendr aplicando la siguiente ecuacin:

Yv 1 YZYe. \ YYZ

Ye.

Donde

Yv precipitacin ponderada en la celda i wi coeficiente de ponderacin, el cual se calcula como

Y 1 Y Siendo

di distancia del pluvimetro i a la celda i

Donde c es el coeficiente de ponderacin, que normalmente es 2, con lo que al procedimiento se le conoce como inverso de la distancia al cuadrado. El proceso de promediacin se realiza en base al nmero de celdas en las que se divide la cuenca en el estudio, y se obtendr la media aritmtica de las precipitaciones de las celdas.

1 \ Yv".

3.- Isoyetas


24

Las isoyetas son lneas que unen los puntos de igual precipitacin. Estas lneas se pueden trazar como curvas de nivel, a partir de precipitaciones en las diversas estaciones y la orografa y su influencia. La gran ventaja de este mtodo es la posibilidad de incluir efectos orogrficos no considerados en otros mtodos. El volumen descargado sobre la cuenca se determina calculando la superficie afectada por cada isoyeta y multiplicando por su precipitacin.

La ecuacin a utilizar en este mtodo es la siguiente:

1~ \ ~Y Y Y.2Z

Ye.

Donde

precipitacin media en la cuenca A rea de la cuenca

Ai rea entre isoyetas

N nmero de franjas entre isoyetas considerado Pi precipitacin en la isoyeta

Los tres mtodos vistos anteriormente para las precipitaciones en una cuenca, podrn aplicarse de la misma forma con intensidades en lugar de precipitaciones.

double gumbel

Documents