Download - บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3
![Page 1: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/1.jpg)
รากทสอง
บทนยาม ให n เปนจ านวนจรงบวกใดๆ หรอ ศนย รากทสองของ n คอจ านวนจรง
ทยกก าลงสองแลวได n
ตวอยาง
หมายเหต
1.รากทสองของ 0 คอ 0
2.รากทสองของจ านวนจรงบวกจะเปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะอยาง
ใดอยางหนงเทานน
3.รากทสองของจ านวนจรงลบจะไมเปนจ านวนจรง
![Page 2: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/2.jpg)
4.ถา n เปนจ านวนจรงใดๆ จะได l n l เมอ l n l แทน คาสมบรณของ n
![Page 3: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/3.jpg)
การหารากทสอง
1. การหารากทสองโดยแยกตวประกอบ ตวอยางท 1 จงหารากทสองของ 64 วธท า 64 = 2 x2x2x2x2x2 = 8 x 8 = 82 หรอ 64 = (-8) x (-8) = (-8) 2 ดงนน รากทสองของ 64 คอ 8 และ -8
2. การหารากทสองของเลขจ านวนเตมบวกโดยการตงหาร
1. แบงตวเลขจากหลงมาเปนคๆ ถาเปนเลขทศนยมกแบงจากจดทศนยมไปทางขวามอ ถาไมครบคใหเตมศนยใหครบค
2.หาเลขจ านวนหนง ซงคณตวมนเองไดคาใกลเคยงกบตวเลขหนาหรอคหนามากทสด ( แตตองไมมากกวา ) ใหตงตวเลขทไดลงในชองผลลพธตวหนง และชองตวหารตวหนง
3.ยกก าลงสองของผลลพธ ไดเทาไรเอาไปตงเปนตวลบเลขตวแรกหรอคแรกเศษเทาไรชกลงมาแลวชกเลขคตอไปลงมาคหนง
4.เอา 2 คณผลลพธ ไดเทาไรเอาไปหารตวเลขทชกลงมาใหถงจ านวนทชกลงมาเพยงจ านวนเดยว ไดผลลพธเทาไรเอาตงทผลลพธตวหนง และตงทชองหารตวหนง
5.เอาเลขลพธตวใหมคณตวหารทงหมด ตงเปนตวลบเหลอเศษเทาไรชกลงมา พรอมกบชกเลขตวตงลงมา 2 จ านวนดวย
![Page 4: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/4.jpg)
6.ในกรณทผลคณในขอ 5. ไดผลลพธของตวลบเกนตวตงใหลดคาของผลลพธทไดจากขอ 4. ลงมาอนดบหนง ตอจากนนท าเวยนจากขอ 4. ลงมาจนหมดกจะไดคารากทสอง
1. การหารรากทสองของทศนยม โดยการตงหาร มหลกเหมอนการหารากทสองของเลขจ านวนเตมทกประการ จะแตกตาง
กนกแตเพยงการแบงเลขเปนชด ๆ หลงจดทศนยมจะแบงจากซายไปขวา (โดยเรม
จากจดทศนยม) ครงละ 2 หลก โดยมเครองหมาย , คนเชนกน ลองท าดนะคะ
เชน จงหาราทสองของ 10.58 = 3.2527
รากทสองของสอง
รากทสองของสอง หรอทรจกในชอ คาคงตวของพทาโกรส เขยนแทนดวย
√2 เปนจ านวนจรงบวกทเมอคณกบตวเองแลวจะมคาเทากบ 2 มคาประมาณ
1.414213562373095
ในทางเรขาคณต รากทสองของสองคอความยาวของเสนทแยงมมของรปสเหลยม
จตรสทมความยาวดาน 1 หนวย ความยาวนเปนไปตามทฤษฎบทพทาโกรส ซงราก
ทสองของสองนถอเปนจ านวนอตรรกยะจ านวนแรกทเปนทรจก
![Page 5: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/5.jpg)
ประวต
จากหลกฐานบนทกบนกอนโคลนของชาวบาบโลเนยเผยใหเหน
คาประมาณของ ในรปผลบวกของเลขพหคณของ จ านวน 4 พจน ซงมคาใกลเคยง
ถงทศนยมต าแหนงทหก
บนทกในหนงสอ Sulbasutras ของชาวอนเดยโบราณ (800-200 ปกอนครสตกาล)
ไดกลาวถงคาประมาณของรากทสองไวคอ เปนการเพมความยาว (ของดาน) ดวย
หนงในสามเทาของคานน แลวเพมดวยหนงในสเทาของหนงในสามเทาคานน
แลวเพมดวยหนงในสามสบสเทาของคาหนงในสเทาคานน
การคนพบจ านวนอตรรกยะน ถอเปนผลงานทส าคญของฮปปาซส (ศษยในส านก
ของปทากอรส) ซงเปนผทพสจนความเปนอตรรกยะของรากทสองของสอง เปนท
เชอกนตามค ากลาววาปทากอรสเชอในความสมบรณแบบของจ านวนและท าใหไม
ยอมรบในการคนพบจ านวนอตรรกยะ ถงแมวาปทากอรสจะไมสามารถพสจน
ความไมมอยของจ านวนอตรรกยะได แตเขากไดสงลงโทษประหารฮปปาซสโดย
การกดน า ต านานอนเลาวาเขาถกฆากดน าโดยศษยคนอนของปทากอรสหรออาจ
ถกขบออกจากส านก
![Page 6: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/6.jpg)
วธการค านวณ
นกคณตศาสตรไดคนหาวธการค านวณรากทสองของสองในรปแบบตาง ๆกนเพอ
เขยนคาประมาณใกลเคยงของรากทสองของสองออกมาในรปของอตราสวนของ
จ านวนเตมหรอเลขทศนยม หนงในวธการทถอวาเปนเบองตนทสดคออลกอรธม
ของบาบโลเนยนเพอค านวณรากทสองของสอง ซงถอเปนพนฐานการค านวณของ
คอมพวเตอรและเครองคดเลข อลกอรธมเพอหารากทสอง (อาจใชเพอหารากท
สองของจ านวนใดๆ ไมเฉพาะของสอง) ดงกลาวสามารถท าไดดงน
1.เลอก a0 >0 คา a0 ทเลอกนจะมผลกระทบตอความเรวในการลเขาสคาของ √2
ในระดบความแมนย าหนงเทานน
2.ใชฟงกชนเรยกตวเองเพอค านวณ a1, a2, a3, ..., an
ตวอยางการค านวณโดยเลอก a0=1 ไดผลดงน
a0 = 1
a1 = 3/2 = 1.5
a2 = 17/12 = 1.416...
![Page 7: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/7.jpg)
a3 = 577/408 = 1.414215...
a4 = 665857/470832 = 1.4142135623746...
ในป ค.ศ.1997 ทมของยาซมาสะ คานาดะไดค านวณคาของ √2 แมนย าถงทศนยม
ต าแหนงท 137,438,953,444
เดอนกมภาพนธป ค.ศ.2006 ความทาทายในการค านวณคาของ √2 ไดถกท า
ใหหมดไปดวยการใชคอมพวเตอรบาน ชเกร คอนโดไดค านวณคาประมาณ
ใกลเคยงของ √2 ถงทศนยมต าแหนงท 200,000,000,000 ในเวลา 13 วน 14 ชวโมง
โดยใชเครองคอมพวเตอรสวนบคคลขนาด 3.6 GHz และหนวยความจ า 16 Gb
อยางไรกด เปนทยอมรบกนทวไปวาในจ านวนคาคงตวอตรรกยะทาง
คณตศาสตรตางๆ ทถอเปนความทาทายตอนกคณตศาสตรทจะเขยนในรปของ
ทศนยมไมรจบ คา π ดจะเปนจ านวนทถกประมาณไดแมนย าละเอยดสงสด
![Page 8: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/8.jpg)
แบบฝกหดเรองรากทสอง
1.ขอใดตอไปนไมถกตอง
1. รากทสองของ 484 คอ 22 และ -22
2. -21 เปนรากทสองของ 441
3. รากทสามของ 1,331 คอ 11 และ -11
4. 9 เปนรากทสามของ 729
2.ใดตอไปนไมถกตอง
1.
2.
3.
4.
3.จงหาผลลพธของ
4.จงหารากทสองของ 2,601
5.จงหารากทสองของ 3,025
![Page 9: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/9.jpg)
6.จงหารากทสองของ 4,225
7.จงหารากทสองของ 4,900
8.จงหารากทสองของ 6,084
9.
เปนสเหลยมดานขนาน มฐานยาว 15 ซม.พนท 150 ตาราง
เซนตเมตร
และ เปนสวนสง จงหาวา ยาวประมาณกเซนตเมตร(ตอบเปนจ านวน
เตมหนวย)
![Page 10: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/10.jpg)
10.จากรปก าหนดให
ม AB = 24 หนวย BC = 7 หนวย และ AC = CD จงหาความยาว (ตอบเปน
ทศนยมสองต าแหนง)
11.จงหารากทสองของ 2,601
12.จงหารากทสองของ 3025
13.รปสเหลยมผนผารปหนงยาว 8 ซม. มเสนทแยงมม 9 ซม.
จงหาวารปนกวางกเซนตเมตร (ตอบทศนยม 2 ต าแหนง)
![Page 11: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/11.jpg)
14.ก าหนดใหทรงสเหลยมมมฉาก ABCDEFGH ม AB = 5 หนวย
BC = 3 หนวย และ CD = 4 หนวย จงหาความยาว (ตอบเปนทศนยมสอง
ต าแหนง)
15.
16.
17.
![Page 12: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/12.jpg)
18.
19.
20.รากทสองของ 4,096
เฉลยแบบฝกหด
1.ตอบ 3. รากทสามของ 1,331 คอ 11 และ -11
2.ตอบ 4.
3.ตอบ
![Page 13: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/13.jpg)
4.ตอบ
5.ตอบ
6.ตอบ
7.ตอบ
8.ตอบ
9.วธท า พนทสเหลยมดานขนาน = ความยาวฐาน x สง
พนท
![Page 14: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/14.jpg)
เมอเรารความสงของรปสเหลยมแลว ตอไปเรา จะหา AE
พจารณา Δ ABE อยในเสนขนาน AB // DC และม BE เปนเสนตงฉาก กบ DC
เกดมมแยงกน ดงนน จะได
มม
ท Δ ABE จาก ทฤษฎบทพทาโกลส
![Page 15: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/15.jpg)
10.วธท า พจารณา Δ ABC เปนสามเหลยมมมฉาก จาก ทฤษฎบทพทาโกลส
11. วธท า การหารากทอง ใชการแยกตวประกอบ จะได
12.การหารากทสอง ใชการแยกตวประกอบ จะได
![Page 16: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/16.jpg)
13.วธท า จากรปดานบน เราดท Δ ABC จาก ทฤษฎบทพทาโกลส
14.วธท า จากรปดานบนเราก าลง จะหา BH จะไดดงรปท 2
จากรป หา BH จากสามเลยม ABH มม A เปนมมฉาก
จาก ทฤษฎบทพทาโกลส เราจะหา BH ไดดงน
![Page 17: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/17.jpg)
ตอไปเราจะหา GB พจารณาสามเหลยม GBH
15.
16.
17.
![Page 18: บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082207/577c849c1a28abe054b9a3d2/html5/thumbnails/18.jpg)
18.
19.
20.