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第 1 部分 材 料
Chapter 3同質半導體中的電流流動
■ 3.1 簡 介■ 3.2 漂移電流■ 3.3 載子移動率■ 3.4 擴散電流■ 3.5 載子的產生和復合■ 3.6 半導體中光的過程■ 3.7 連續性方程式■ 3.8 少數載子壽命■ 3.9 少數載子擴散長度■ 3.10 準費米能階■ 3.11 結 論
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.1 簡介■電荷載子在半導體中運動有兩種基本機制:漂移 (drift) 和擴散 (dif-fusion) 。我們先從漂移電流開始,它的發生是由於電子和電洞在電場中運動;接下來我們會討論擴散電流,它是由於載子濃度隨位置而變
3.2 漂移電流■一個平衡的半導體,它的總淨電流為零。雖然因為熱能的關係,電子和電洞會移動,但它們的移動方向是完全任意方向的,所以個別電荷的移動,加總起來的總電流為零
93
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■考慮傳導帶中的一個電子,若沒有外加電場,它的路徑會如圖 3.1(a) 所示;在每一次碰撞以後,新的方向是任意的,所以平均而言,電子沒有在特定方向行進且淨電流為零
■當有一個外加電場施加到半導上時,帶負電的電子被加速且帶正電的電洞以相反的方向被加速,一個電荷的任意淨的運動都會產生電流,所以這種運動稱為“漂移電流”
■總漂移電流是電子電流和電洞電流的和
93
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.1 電子在一個晶格中的運動。每當電子碰撞後,會任意的改變方向 (a) 沒有外加電場下,在任意的特定方向都沒有行進; (b) 當外加電場,電子傾向於在某一特定方向漂移,像這樣的軌跡祇有在非常高的電場才有
94
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.1 電子在一個晶格中的運動。每當電子碰撞後,會任意的改變方向 (c) 在低電場下,漂移速度遠低於熱速度,在任何可觀的行進以前都必須經過多次碰撞; (d) 一個電洞以相同的方式行進,但因帶正電,所以被加速的方向與電子相反; (e) 電子和電洞以相反的方向漂移,但產生的電流方向是相同的
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
(drift ) (drift ) (drift )n pI I I (3.1)
電流密度 J ,是每單位時間單位面積穿過某一平面的電荷數量
面積
IJ (3.2)
由歐姆定理得到,一個長度 L ,截面積 A 的均勻樣品,它的電阻 R 為
V LR
I A
這裡的 定義成電阻率 (resistivity) ,單位為歐姆 - 厘米 (Ω· cm)
(3.3)
95
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
95
I = JA ,可以將方程式 (3.3) 表示成 L L
JA A
%
或
(drift )J
%
%
(3.4)
(3.5)
這裡的 σ= 1 /ρ ,定義成傳導率,它的單位是歐姆 - 厘米 [(Ω· cm)-1] 的倒數或每公分的西門子 (S / cm)
EE
E
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□一旦外加電場,樣品不再是平衡的,這個時候, p≠p0
□假設由電場產生的電洞平均 ( 漂移 ) 速度為 dp,在時間 dt ,穿過面積 A 的總電荷會等於 Q = qpAdp dt ,因為電流定義成單位時間穿過一個平面的電荷
電洞電流密度為 Jp = Ip / A
p dp
dQI qpA
dt (3.7)
96
(drift )p dp pJ qp % (3.8) E
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
96
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
dpp pqp qp
% (3.9)
這裡的 μp 稱為電洞移動率 (hole mobility) ,它是每單位電場的電洞漂移速度
dpp
% (3.10)
移動率是一個載子在一特定半導體中移動快慢的量測值,它的單位是每伏特 - 秒的平方公分 (cm2 / V·s)
E
E
97
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
同樣的,電子移動率為 dn
n
%
電子傳導率 σn 為 n nqn
總漂移電流密度為
(drift ) (drift ) (drift ) ( )n p n pJ J J q n q p % %
總傳導率為 n pqn qp
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
E E
E
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.3 載子移動率移動率會隨摻雜濃度而改變,矽中的移動率可由經驗公式描述:
10
ref
1N
N
(3.15)
這裡的 N 是摻雜濃度 ( ND 或 NA ) ,而 Nre
f 和 α 是適當參數
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
在室溫下,方程式 (3.15) 變成:
多數載子 [1] :
0.72
16
1265( ) 65
18.5 10
n D
D
NN
0.76
16
447( ) 48
11.3 10
p A
A
NN
(3.16)
(3.17)
98
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
少數載子 [2-4] :
0.9
16
1180( ) 232
18 10
n A
A
NN
1.25
17
370( ) 130
18 10
p D
D
NN
(3.18)
(3.19)
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■從這些曲線我們可以看到: □ 在低的雜質濃度,多數載子和少數載子電子漂移率會趨近於相同的值: μn ≈ 1330 cm2 /V·s 。
□ 對於電洞有相同的結果: μp ≈ 495 cm2 /V·s 。□ 電子和電洞移動率 ( 多數和少數載子 ) 隨著雜質濃度的增加而降低。
□ 對於一所給的摻雜濃度,電子和電洞的少數載子漂移率會大於多數載子漂移率。
□ 隨著濃度的增加,這些微小差值會跟著增加。
99
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.1
計算室溫下,本質矽的電阻率且與未補償的 n 型和 p 型矽,摻雜濃度 1017 cm-3 的施體 ( 或受體 ) 比較。假設 n = n0 且 p = p0 。
解: 一個樣品的電阻率是傳導率的倒數1
由方程式 (3.14) ,
( )n pq n p
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.1( 續 )
所以傳導率為:
0 0
2 219 10 3 10 3
6 1
( ) ( )
cm cm1.6 10 C 1330 1.08 10 cm 495 1.08 10 cm
V s V s
3.15 10 ( cm)
n p n pq n p q n p
由傳導率,可以得到電阻率為:
56
1 13.17 10 cm
3.15 10
99
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.1( 續 )
(b) n型矽:因為這個材料的摻雜較高且有較多的電子攜帶電流,所以我們期望它有比本質矽較高的傳導率和較低的電阻率。因為 ND » ni ,且所有雜質全部解離,
17 30
2 10 3 23 3
0 17 30
10 cm
(1.08 10 cm )1.17 10 cm
10 cm
D
i
n N
np
n
由圖 3.4 ,對於 1017 的施體濃度,我們發現電子和電洞移動率為:
2
2
cm650
V s
cm480
V s
n
p
多數載子移動率
少數載子移動率
99
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.1( 續 )
使用這些值,我們得到 0 0
2 219 17 3 3 3
19 19 5 1
( )
cm cm1.6 10 C 650 10 cm 480 1.17 10 cm
V s V s
1.6 10 (6.5 10 5.62 10 ) 10.4 ( cm)
n pq n p
注意:第二項,即電洞項在這裡可以忽略,所以電阻率為
1 10.096 cm
10.4
摻雜的矽比本質矽有更高的傳導率。
100
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.1( 續 )
(c) p型,但摻雜濃度與前面的 n型相同:我們期望 p型材料比本質有更高的傳導性,因為它有較多的載子。另一方面,電洞的移動率低於電子,所以 p型材料沒有像 n型那麼高的傳導率,我們先求載子濃度:
17 30
23 3
00
10 cm
1.17 10 cm
A
i
p N
nn
p
因為
2
2
cm750
V s
cm230
V s
n
p
少數載子
多數載子
100
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.1( 續 )因此
0 0
2 219 3 3 17 3
1
( )
cm cm1.6 10 C 750 1.17 10 cm 230 10 cm
V s V s
3.7 ( cm)
n pq n p
在這裡,電子數目很少,對於傳導率的貢獻可以忽略。 p型樣品的電阻率為
1
1 10.27 cm
3.7 ( cm)
因為電流主要是電洞在傳導且電洞的移動率低於電子,所以在相同摻雜濃度下, p型材料的傳導率稍低於 n型材料。
100
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.3.1 載子擴散 離子化的雜子散射
□ 當電子或電洞趨近離子化的雜質時,會因庫侖力而偏向,這稱為離子化的雜質散射 (ionized impurity scattering)
101
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
晶格 ( 聲子 ) 散射 □另外一種影響載子移動率的是晶格散射,經常稱為聲子散射
□原子的振動會在晶格中產生壓力 ( 聲 ) 波,這些壓力波又稱為聲子 (pho nons)
□把聲子想成粒子,一個聲子可以和一個電子 ( 或電洞 ) 產生碰撞而將它散射,聲子的能量是很小,約小於 0.1 eV
102
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.3.2 散射的移動率電場施加在電子上的力開始:
由方程式 (3.22) 可以寫成
將方程式 (3.23) 的兩邊積分 ( 兩次碰撞期間 ) 可得
(3.23)
(3.24)
這裡的 a 是由於電場 的電子加速度,而 υ 是電子的速度
E
ce
qd dt
m *
%E
0 0( ) ( ) ( )ce
qt t t t
m *
%E
ce ce
dF q m a m
dt
* *% (3.22) E
102
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
若考慮多次碰撞且取其平均值,可得
定義電子的漂移速度為 υdn= 〈 (t) - (t0) 〉,也定義兩次碰撞期間的平均自由時間為
那麼電子的漂移速度為0nt t t (3.26)
由方程式 (3.11) 和 (3.27)
nn
ce
qt
m *
(3.28)
0 0( ) ( )dnce
qt t t t
m *
%(3.25)
E
dn nce
qt
m *
%(3.27)
E
103
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
對於電洞,帶 +q 的類似計算且傳導率有效質量為 ,所以可得 chm*
pp
ch
qt
m * (3.30)
pdp p
ch
qt
m * % % (3.29) E E
103
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
因為對於載子 - 離子和對於載子 - 聲子的碰撞,它們的散射時間是彼此無關的,所以由梅西森 (Matthiessen) 定理
1 1 1
n nii nlt t t
1 1 1
n nii nl
這裡的下標 i i 和 l 分別表示離子化的雜質和晶格 ( 聲子 ) 散射。
和
103
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.2
室溫下,求本質矽在碰撞期間的平均自由時間,和。
解: 對於本質矽, ND = NA = 0 。由方程式 (3.28) , ,由圖 3.4 , 。電子傳導率有效質量,由表 2.1 可得 。 平均散射時間為
2 21330 cm / V s 0.133 m / V sn
cem * 1900.26 0.26 9.11 10 kgm
3113
19
0.26 9.11 10 0.1332 10 s
1.60 10nt
同理對於電洞, ,且 。
20495 cm / V s , 0.36p chm m *
131 10 spt
103
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.3.3 雜質能帶的移動率□ 在未補償 (uncompensated) 材料中,這個機制
( 多數載子被施體或受體狀態降低速度 ) 僅對多數載子是重要的
104
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.7 室溫下,電子和電洞多數載子移動率 ( 低電場 ) 與未補償摻雜濃度 N 的關係 (a) GaAs (b) Ge 。
105
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.7 室溫下,電子和電洞多數載子移動率 ( 低電場 ) 與未補償摻雜濃度 N 的關係 (a) GaAs (b) Ge 。
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.3.4 移動率的溫度關係□ 當溫度增加時,因為聲子濃度會增加而導致散射增加,所以由於晶格散射會使得載子移動率降低。對於矽而言,由於晶格散射造成的移動率隨溫度變化的關係,對於電子是 T-2.6,而電洞則為 T-2.3。
□離子化雜質散射的效應是隨著溫度增加而減少,這是因為載子的平均熱速度增加了,所以當載子通過離子化雜質時與之接近的時間較短,以致離子的散射效應降低
106
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.3.5 高電場效應
□在高電場下,碰撞之間的平均自由時間 會 E 增加而減少,而導致移動率降低。
□在低電場下,漂移速度 d 和 E 成正比,所以 µ 是常數,這個 µ 的值稱為低電場移動率 µlf
□當電場增加時, d 增加緩慢並趨近於一個極限速度 sat , sat 的值在 Si 中,對於電子和電洞約為 1 × 107 cm / s ,而在GaAs 中的電子和 Ge 中的電洞和電子,約在 6 × 106 cm / s 。
t
107
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.4 擴散電流
□ 擴散是可移動的粒子從高濃度區移動到低濃度區的一種過程,這種擴散是來自於粒子的隨機 ( 熱 ) 運動
□ 考慮 x = x0 的平面,電子以任意的方向通過這個平面。在平面的左邊電子有一個較高的濃度 n
L ,有一半往右走,另一半往左走。在右邊有一個較小的電子濃度 nR ,而這些中有一半會往左邊走;所以比起從右邊到左邊,會有較多的電子從左邊到右邊穿過 x = x0 的平面,所以有一個往右邊的淨電子流動
109
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
電子流密度為 ( )
2L R
n
n n lF
t
(3.36)
nL 和 nR 分別為左邊和右邊的電子濃度,如果在距離 內, n 的改變量很小,則可以寫成l
( )L R
dnn n l
dx (3.37)
所以電子流密度為 2 ( ) ( )
2n n
l dn x dn xF D
t dx dx
這裡的 2
2n
lD
t
Dn 稱為電子的擴散係數 (diffusion coefficient)
(3.38)
(3.39)
110
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
電子的擴散電流密度等於電子流密度乘上電子電荷:
(diff)
( )n n n
dn xJ qF qD
dx (3.40)
同理,對於電洞,
(diff )
( )p p p
dp xJ qF qD
dx (3.41)
擴散係數和移動率是用來量測粒子在材料中運動的容易性,且我們預期它們之間會有關係,下一章,我們將推導這個關係式,稱為愛因斯坦關係式 (Einstein relation) ,我們敘述如下:
n
n
D kT
q
p
p
D kT
q
(3.42)
(3.43)
111
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 圖 3.11顯示了室溫下, Si 中少數和多數載子,電子和電洞的擴散係數與摻雜濃度的關係
111
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
施加一個電場到電子和電洞上面;在這種情形,電子受到電場和濃度的改變,所以總電子電流為
(3.44)
電洞電流也有漂移和擴散成份:
(3.45) (drift ) (diff )
( )( )p p p p p
dp xJ J J q p x qD
dx %E
(drift ) (diff )
( )( )n n n n n
dn xJ J J q n x qD
dx %E
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
使用愛因斯坦關係式,可將方程式 (3.44) 和 (3.45) 表為
n n
kT dnJ q n
q dx
%
總電流為
(3.46)
(3.47)
(3.48)
E
p p
kT dpJ q p
q dx
%E
(drift ) (drift ) (diff ) (diff )n p n p
n p n p
J J J J J
dn dpq n q p qD qD
dx dx
% %E E
112
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.5 載子的產生和復合■創造電子 - 電洞對或電子從價電帶激發到傳導帶的過程稱為產生 (generation) 。
■電子從傳導帶移動到價電帶,如此一個個電子 - 電洞對被消滅的過程稱為復合 (recombination) 。
■在平衡下,半導體中產生和復合的速率是相等的,所以平衡的電子和電洞濃度 ( n0 和 p0 ) 是固定的;然而,當半導體元件工作在非平衡情況下,這個規則不再成立,亦即n ≠ n0 且 p ≠ p0 。
112
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.5.1 帶對帶的產生和復合
□藉由吸收能量大於能帶間隙的光子,或藉由同時吸收許多聲子可以將電子由價電帶激發到傳導帶。
□ 當一個電子與電洞復合時,那麼會產生一個光子、一個光子和一個聲子或多重聲子 ( 如圖 ) 。在任一種情形,不論是產生或復合,能量和波向量 ( 晶格動量 ) 必須守恆。
113
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.5.2 二階段過程
□ 產生和復合也能以二階段過程發生。圖 3.12(c) 顯示 p型 GaAs 中的產生,聲子激發電子從價電帶到受體能階,然後光子 ( 或多重聲子 ) 能激發電子從受體能階到傳導帶。
□ 圖 3.12(d) 顯示復合過程,從傳導帶轉移到受體能階會釋放光子,然而從受體轉移到價電帶會釋放出聲子。
113
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.6 半導體中光的過程
圖 3.12 不同的產生和復合過程。 (a) 當一個電子吸收 ( 在這裡 ) 一個聲子和一個光子時會產生一個電子 - 電洞對,藉由吸收單一光子或多重聲子,也會有產生;光子和聲子是同時被吸收的; (b) 帶對帶的復合,經由同時釋放多重聲子
114
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.12 不同的產生和復合過程。 (c) 二階段的產生過程,例如電子吸收一個聲子,提升到受體狀態,在下一階段,它吸收一個光子跑到傳導帶; (d) p型材料中的典型復合,伴隨光子的釋放使得電子暫時停留在受體能階,接下來聲子釋放,電子回到價電帶消滅電洞
114
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.12 不同的產生和復合過程。 (e) 和 (f) 經由陷阱狀態的產生和復合。
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.6.1 吸 收
115
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 假如入射光子的能量 E = hv 小於能帶間隙,那麼光子就不會被吸收
□直接 (Direct) 意謂著傳導帶的最小值和價電帶的最大值都在相同的 K 值,即 K = 0
□ 在間接材料中,傳導帶的最小值和價電帶的最大值並不在同一 K 值
□ 間接材料中的電子必須同時獲得能量和波向量才可以作轉移,間接材料的例子是 Si、 Ge 和GaP
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.14 要發生吸收, K 和 E 都必須守恆。 (a) 一個直接能隙半導體,左邊的是 E – K 圖,右邊是能帶圖
116
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
圖 3.14 要發生吸收, K 和 E 都必須守恆。 (b) 一個間接能隙材料 ( 因傳導帶最低點與價電帶最高點不在同一 K 值,所以光子 - 電子的間內部反應是間接的,故稱之 ) 。
116
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.4
證明有興趣的光子,它的波向量與在布里淵區邊緣的電子比較是可以忽略的。
解: 考慮一個波長 620 nm ( 能量 2 eV) ( 橘光 ) 的光子,它的波向量為
6 1pht 9
2 6.2810.1 10 (m)
620 10 mK
117
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.4( 續 )
我們記得第 2章,在第一布里淵區邊緣的電子,其波向量為 π/α ,對於一個晶格常數為 α= 0.5 nm
9 19
3.146.28 10 m
0.5 10eK
a
所以 K 向量的比例
6pht 3
9
10.1 101.6 10
6.28 10e
K
K
所以光子的 K 向量是電子的 1/1000 。然而,注意:高能 (X-ray) 光子的波向量與布里淵區邊緣的電子相當。
117
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 當一個光子被吸收時,會在傳導帶產生一個額外電子 ( 超過平衡數目 ) ,同時也在價電帶產生一個電洞,與吸收一個光子會產生一個電子 - 電洞對,這些電子和電洞稱為超額載子 (excess carries) ── 超過平衡濃度,超額電子濃度為∆n ,超額電洞濃度為 Δp ,總載子的濃度是平衡值加上超額濃度
0
0
n n n
p p p
(3.53)
117
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.6.2 發 射□ 光吸收過程的相反就是光發射,在這個過程裡,一個電子起初在 E1 能態,轉移到較低的 E0 能態,如圖 3.15 ,由能量守恆,超額的能量必須以光子 ( 光 ) 或聲子 ( 熱 ) ,或兩者都有的形式釋放出來。
118
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
118
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.7 連續性方程式□ 考慮具有單位截面積,長度 dx 的微小體積半導體 ,傳導帶中電子濃度的增加率為
( )nn n
Fndx dx G R dx
t x
(3.54)
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Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 這裡的 Gn 是電子產生速率, R 是電子復合速率 ( 單位時間單位體積載子的數目 ) , ( ∂Fn / ∂ x ) 表示區間 dx 內在任一端的電子流差值。
□令 Gth 為熱 ( 聲子產生 ) 產生速率, Gop 為光 ( 光子產生 ) 產生速率,而 Gother 為由於其它過程的產生速率 ( 如捕捉,再釋放 ) ,那麼總電子產生速率為
□ 電子流密度和電流密度的相關性可藉由 Fn = -Jn /q 得到,在抵消 dx 項之後,方程式 (3.54) 變成
( th) (op) (other)n n n nG G G G (3.55)
1( )n
n n
JnG R
t q x
電子的連續性方程式
(3.56)
120
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 同理,電洞的連續性方程式為
□ n = n0 + Δn ( 方程式 (3.53)) ,且平衡的電子濃度 n0 與時間無關,或 ∂ n0 / ∂t = 0
□ 復合速率是正比於可用以復合電子的數目 ( 亦即傳導帶中的電子 ) ,由
1( )p
p p
JpG R
t q x
電洞的連續性方程式
(3.57)
0nn n n
t t t t
(3.58)
0
n n n
nn nR
(3.60)
120
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 將這些結果代入方程式 (3.56) ,得
□ 平衡下, Δn = 0, Jn = 0 且 Gop = 0 ,所以方程式 (3.61) 的左邊等於零,得到
□ 由方程式 (3.62) 的輔助,方程式 (3.61) 變成
□ 同理,對於電洞
0th op
1 n
n n
J nn n nG G
t t q x
(3.61)
0th
n
nG
(3.62)
op
1 n
n
Jn n nG
t t q x
(3.63)
op
1 p
p
Jp p pG
t t q x
(3.64)
121
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 電流密度包含漂移和擴散。
□ 連續性方程式變成
(drift ) (driff )
(drift ) (driff )
n n n n n
p p p p p
dnJ J J qn qD
dxdp
J J J qp qDdx
%
%
2
op2
2
op2
n n nn
p p pp
n n n n nn D G
t t x x x
p p p p pp D G
t t x x x
%%
%%
(3.65)
(3.66)
E
E
E
E
E
E
121
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□三維中的連續性方程式為
3.8 少數載子壽命□ 我們定義少數載子壽命 為 p 型半導體中,電子在傳導帶停留的平均時間 ( n ) 或電洞 ( p ) 在 n 型半導體價電帶停留的平均時間
1( )
1( )
n n n
p p p
nJ G R
t q
pJ G R
t q
122
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 半導體樣品的電阻 Rs=ρL /A ,且 σ= 1/ρ,我們有
則與時間有關的電壓正比於 i(t) ,亦即正比於傳 導率 σ(t)
( )( )
( )A AV V A t
i tt L LA
(3.67)
122
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 半導體樣品的傳導率為
這裡的
□ 連結方程式 (3.14) 和 (3.53) 得到
或
不照光環境的傳導率為
光傳導率為
( )n p n pq n p (3.14)
0
0
n n n
p p p
(3.53)
0 0( )n n p pq n n p p (3.68)
0 pc (3.69)
0 0 0( )n pq n p (3.70)
( )pc n pq n p (3.71)
123
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
123
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 光電流的時間關係會正比於 Δn 和 Δp 的時間關係,因為 Δn = Δp ,我們求 Δn 的連續性方程式 [ 方程式 (3.63) 或 (3.66)] ,因半導體是均勻的且均勻照光, E 是固定的且 dE / dx, dn / dx 與∂ Jn /∂x = 0 ,那麼
□ 由方程式 (3.71) 可求得光傳導率或因 Δp = Δn
opn
d n nG
dt
(3.72)
( ) ( )( )pc n pt q n t
124
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.8.1 上升時間□ 對於 t > 0 解方程式 (3.72) ,得
□ Δn 隨時間常數 τ n 增加且達到一最大值
/op (1 )nt
nn G e (3.73)
max op nn G (3.74)
124
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
■ 3.8.2 下降時間□ 假設在某一時間 t = t0,關閉照光,在 t0 以後,光產生速率變成零, Gop = 0 代入方程式 (3.72) 得到解答為
□ 由方程式 (3.60) ,復合速率為 R = n /τn,對於一個 p型的直接能隙半導體,經常有 n « NA,所以
□ β 是單位時間電子和電洞復合的機率,那麼
□ τn 或反比於 NA,摻雜濃度愈高,壽命愈短
0( ) /0( ) ( ) nt tn t n t e (3.75)
AR n p n N
1n
AN
125
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.5
證明 p 型半導體中電子停留在傳導帶的平均時間等於時間常數 τn 。
解: 考慮圖 3.18 光傳導率的實驗,且假設在 t = t0 = 0時;關閉照光則方程式 (3.75) 變成
/( ) (0) ntn t n e
電子在傳導帶的平均時間 為 nt
/1(0) nt
n
dn d nn e
dt dt
125
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.5( 續 )
使用 dn / dt = d∆n /dt 對 dn /dt 積分,得
0
0
n
dnt dt
dtt
dndt
dt
所以分母為/
0
1(0) (0)nt
n
dndt n e dt n
dt
分子的積分
0 0
(0) ndn d n
t dt t dt ndt dt
126
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
例題 3.5( 續 )
□ 在低摻雜,壽命與陷阱濃度有很大的關係,少數載子壽命的經驗表示式為
所以
0
0
(0)
(0)n
n n
dnt dt
ndtt
dn ndt
dt
12 32 2 1[3.45 10 9.5 10 ]n A AN N (3.76)
13 31 2 1[7.8 10 1.8 10 ]p D DN N (3.77)
這裡的 NA 和 ND 以 cm -3 表示,而 τn 和 τp 以秒表示
126
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.9 少數載子擴散長度 127
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
128
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□ 因為
或
□ 這裡我們引入一個新的值,稱為擴散長度:
2
2
( )n
n
d n nqD q
dx
(3.79)
2
2
( )
n n
d n n
Ddx
(3.80)
這是一個二階微分方程式,可以在 x = 0, ∆n = ∆n(0) ,在 x = ∞, ∆n = 0 的邊界條件來求解,其解為
/ /( ) (0) (0)n n nx D x Ln x n e n e (3.81)
n n nL D (3.82)
它們是復合以前,電子的平均擴散距離。同理,電洞的擴散長度為
p p pL D (3.83)
128
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
129
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
3.10 準費米能階□記得一個非簡併的半導體
□ 對於非平衡情況,電子和電洞有相同的表示法,我們可以寫出類比於方程式 (3.84) :
( ) / ( ) /0
( ) / ( ) /0
C f f i
f V i f
E E kT E E kTC i
E E kT E E kTV i
n N e n e
p N e n e
平衡 (3.84)
( ) / ( ) /
( ) / ( ) /
C fn fn i
fp V i fp
E E kT E E kTC i
E E kT E E kTV i
n N e n e
p N e n e
非平衡 (3.85)
這裡的 n 和 p 是包含平衡和超額載子的總電子與電洞濃度。方程式 (3.85) 事實上定義了電子,Efn ,與電洞, Efp 的準費米能階。
129
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
□解出準費米能階,我們發現方程式 (3.85) 變成
□ 在平衡時, Efn = Efp = Ef
ln ln
ln ln
Cfn C i
i
Vfp V i
i
N nE E kT E kT
n n
N pE E kT E kT
p n
(3.86)
130
Chapter 3 同質半導體中的電流流動 P
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