Download - ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2
![Page 1: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/1.jpg)
ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 2012ნიკოლოზ ოსტაპენკო
Mლექცია 10დროითი მწკრივების ანალიზი
ბოქსი-ჯენკინსის მიდგომა და ARMAმოდელი
![Page 2: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/2.jpg)
ARMA მოდელის აგებისათვის ბოქსმა და ჯენკინსმა შეიმუშავეს შემდეგი პროცესი”
პირველი ეტაპი – მოდელის იდენტიფიკაცია
1. ინტეგრაციის რიგის ჩამოშორება – მწკრივის სტაციონალურობის მიღწევა – “სტაციონარიზაცია”
2. ავტოკორელაციური ფინქციების (SACF და SPACF) საშუალებით ARMA (p,q) მოდელის განსაზღვრა.
მეორე ეტაპი – მოდელის კოეფიციენტების შეფასება
მესამე ეტაპი – ნარჩენობითი წევრის გამოკვლევით აგებული მოდელის ვარგისიანობის ტესტირება (შეფასება)
მეოთხე ეტაპი – მოდელის გამოყენება მომავალი პერიოდის პროგნოზირებისათვის.
ბოქსი–ჯენკინსის მიდგომა
![Page 3: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/3.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია(სტაციონარიზაცია)განვიხოლოთ მოდელის:
თუ მაშინ პროცესი არ არის სტაციონალური და ასეთ პროცეს “შემთხვევითი ხეტიალი” ეწოდება.
თუ მაშინ პროცესი არ არის სტაციონალური და ასეთ პროცეს “ფეთქებადი” ეწოდება. მისი ავტოკორელაციური ფუნქცია ზრდადია ლაგის ზრდასტან ერთად.
სტაციონარიზაცია
პირველ შემთხვევაში სტაციონარიზაცია ხდება პირველი სხაობის აღების შემდეგ:
მეორე შემთხვევაში პირველი სხაობის აღებას არ მივავართ მწკრივის სტაციონალურობამდე
ttt XX 1
1
1
ttt yX 1
![Page 4: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/4.jpg)
მოდელის იდენტიფიკაცია(სტაციონარიზაცია)განვიხოლოთ მოდელი:
ავიღოდთ მოდელის პირველი სხაობები:
მწკრივის ტრენდით დახასიათების ხარისხი შემცირდა ერთით
ავიღოთ მოდელის მეორე სხვაობები:
მწკრივი გათავისუფლდა ტრენდისაგან. ჩვენ ვხედავთ რომ მოდელში
აღწევს მცურავი საშუალოს პროცესი .
tt ttX 2
)(2
)1()1(
1
122
tt
ttt
t
ttttX
)2(2 2112
tttttt XXX
)2(MA
![Page 5: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/5.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
მოდელის იდენტიფიკაციის ეტაპზე უნდა განვსაზღვროთ რომელიღაცა კერძო შემთხვევა ARMA (ρ ,q ) კლასის მოდელებიდან ანუ უნდა განვსაზღვროთ ρ და q. პირველი ეტაპი არის მწკრივის კერძო ავტოკორელაციური (PACF) და ავტოკორელაციური (ACF) ფუნქციების ანალიზი. წარმოადგენს იულა–უოლკერის განტოლებათა სისტების ამონახსენს:
შერჩევითი ავტოკორელაცია:p
partp
p
a
kpkakakak
0),()2()1()( 21
T
tt
kT
tktt
xxk
xxxxkT
k
1
2
1
)(1
))((1
)(
![Page 6: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/6.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
კრამერის წესი
11
0 1
part
part
1
1
1
1
1
121
3412
231
121
121
3412
231
121
kk
k
k
k
kkk
k
k
k
partk
![Page 7: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/7.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
ჰიპოთეზა უარყოფილია თუ:
ჰიპოთეზა უარყოფილია თუ:
p პარამეტრის განსაზღვრა:
PACF- ოსცილირებულია თუ მონოტონურად მცირდება p ლადიდან დაწყებული. q პარამეტრის განსაზღვრა:
ACF– ოსცილირებულია თუ მონოტონურად მცირდება p ლადიდან დაწყებული
)(:0 pARxH t
)(:0 qMAxH t
pkT
partk ,
2
qkT
k ,2
![Page 8: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/8.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
მაგალითად T=499 0.08952
T
![Page 9: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/9.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
AR(2)
![Page 10: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/10.jpg)
ARMA(1,1)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
![Page 11: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/11.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაციაკერძო ავტოკორელაციური ფუნქციის გრაფიკები ARMA (4,q)
![Page 12: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/12.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაციაავტოკორელაციური ფუნქციის გრაფიკები ARMA (4,q)
![Page 13: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/13.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
Еvews-ში ACF–ის და PACF–ის ამონაწერებს ახლავთ Q-სტატისტიკაც, რომელც მწკრივის ტესტირებას ახდენს თეთრ ხმაურთან დაკავშირებით. არის თუ არა მწკრივი თეთრი ხმაური. არსებობს Q-სტატისტიკსი რამოდენიმე ვარიანტი. ერთ ერთ ასეთი სტატისტიკაა ლუნგა–ბოქსის(Ljung, Box) სტატისტიკა, რომელიც გამოიყენება Eviews–ის პაკეტში:
M
k kT
kTTQ
1
2 )()2(
Еvews-ში Q-სტატისტიკა მოცემულია ალბათობების მნიშვნელობებით. თუმცა აღნიშნული სტატისტიკები ARMA მოდელის იდენტიფიცირებისათვის და შეფასებისათვის არასეკმარისია და ხშირად სხვა პროცედურებს მივმართავთ.
![Page 14: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/14.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია (ავტორეგრესიული პროცესის შეფასება)
აკაიკეს (Akaike) კრიტერიუმი
შვარცის (schwarz) კრიტერიუმი
ჰენან–კუინის (Hannan-Quinn) კრიტერიუმი
TkkAIC k
2ˆln)( 2
T
TkkSIC k
lnˆln)( 2
T
TkkHQ k
lnln2ˆln)( 2
![Page 15: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/15.jpg)
მოდელილს იდენტიფიკაცია
მაგალითად განვიხილოთ AR მოდელი. მოცემულია რაღაც სტაციონალური მწკრივი
0.0892
T
![Page 16: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/16.jpg)
მოდელილს კოეფიციენტების შეფასება
უმცირეს კვადრატთა მეთოდის და მაქსიმალური დასაჯერებლობის მეთოდის გამოყენებით ფასდება მოდელი.
შესაძლოა ტესტებით მიღებული შედეგაბი იყოს წინააღმდეგობრივი
![Page 17: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/17.jpg)
მოდელილს კოეფიციენტების შეფასება
AR(3) და AR(4) შემთხვევებში მეოთხე და მესამე ლაგის კოეფიციენტები მოყვანილის მნიშვნელოვნების დონეებში
მოდელი ცვლადების კოეფიციენტები
Xt-1 Xt-2 Xt-3 Xt-4
AR(2) 1.26 -0.4
AR(3) 1.25 -0.39 P=0.87
AR(4) 1.25 -0.4 P=0.72 P=0.56
![Page 18: ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081503/568132f6550346895d99b357/html5/thumbnails/18.jpg)
ნარჩენობითი წევრის გამოკვლევანარჩენობითი წევრის გამოკვლევა გულისხმობს იმის შემოწმებას სტაციონალურობაზე და ნორმალურობაზე . მაგალითად ნარჩენობითი წევრი ავტოკორელაციური მოდელი.
ხარკე–ბერის ტესტი – საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ, ნორმალურად არის თუ არა ნარჩენობითი წევრი განაწილებული. იგი გამოითვლება ექსცესის და ასიმეტრიის კოეფიციენტების გამოყენებით. და მისი განაწილება არის χ2(2).
სადაც, k-მოდელში შესაფასებელი პარამეტრების რაოდენობა.