安徽理工大学 2005 级《大学物理》 安徽理工大学 2005 级《大学物理》

物理教研室物理教研室

第十八章 量子物理基础第十八章 量子物理基础

第二讲 定态的薛定谔方程第二讲 定态的薛定谔方程

本次课内容§19-6 实物粒子的波动性§19-7 不确定关系§19-8 量子力学简介（ I ） 一 波函数 二 薛定谔方程

课本 pp245—255 ； 练习册 第十九单元

本次课内容§19-6 实物粒子的波动性§19-7 不确定关系§19-8 量子力学简介（ I ） 一 波函数 二 薛定谔方程

课本 pp245—255 ； 练习册 第十九单元

§19-6 实物粒子的波动性§19-6 实物粒子的波动性光既有波动性，光既有波动性，

又有粒子性，又有粒子性，

那么实物粒子呢？那么实物粒子呢？

一、德布罗意波一、德布罗意波

德布罗意 : 既然光具有波粒二象性，实物粒子也应当具有波粒二象性。

德布罗意 : 既然光具有波粒二象性，实物粒子也应当具有波粒二象性。

hE ph /

相应的平面波称为德布罗意波或物质波

（德布罗意关系式， 1924 ） 法国物理学家 Louis de Broglie获得获得 19291929 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖法国物理学家 Louis de Broglie获得获得 19291929 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖

动量 p 为的自由粒子，当速度较小时 ,E=p2/2m

mE

h

p

h

2

由 U 伏电势差加速的电子，其动能 E=eV, 徳布罗意波长为

AUmeU

h 25.12

2

当 V=150 伏特时， =1Å ，与软 X 射线具有相同的数量级。

例如，子弹 m=0.01kg, v=300m/s, 相应的徳布罗意波长为

)(1021.230001.0

1063.6 3434

mmv

h

。

5 10 2015 250

U

I

二、 戴维孙 - 革末实验（ 1927 ）二、 戴维孙 - 革末实验（ 1927 ）

0

A65.1nm165.0

根据德布罗意假说 ,由加速电势差算得的波长为 :0

67.1167.0 Anm

Gφ

φK

狭缝

镍

集电

器

U

电子射线

单 晶

另有，（ 1 ） G.P. 汤姆逊（ 1927 年） 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验

另有，（ 1 ） G.P. 汤姆逊（ 1927 年） 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验

（ 2 ）单电子双缝衍射实验：

7 个电子

100 个电子

3000 个电子

20000 个电子

70000 个电子

说明 : 衍射图样不是电子相互作用的结果 , 它来源于单个电子具有的波动性。

这是一张果蝇的照片，是用电子显微镜拍摄的。电子显微镜的最基本原理是利用电子的波动性。

经典粒子，用经典粒子，用坐标和动量坐标和动量

来描述其运动状态；来描述其运动状态；

微观粒子，用坐标和动量来微观粒子，用坐标和动量来

描述其运动状态出现描述其运动状态出现不确定不确定

现象现象。。

§19-7 不确定关系§19-7 不确定关系

德国物理学家 W.Heisenberg 19321932 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖德国物理学家 W.Heisenberg 19321932 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖

衍射图样衍射图样

xpxp

ypyp

pp

电子束电子束

xx

缝缝

屏屏屏屏

幕幕幕幕aa 22

电子的单逢衍射实验电子的单逢衍射实验

1927 年海森伯（ W.Heisenberg ）提出了测不准关系（不确定性原理）不确定性原理）

hpx x

X 方向电子的位置不准确量为：

一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为：

sina

ax

xpppx /sin X 方向的分动量 的测不准量为：xp

因为 , 所以ph

hp

hpx

x

pxpx

xp

yp

p

考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以有：

说明： ① 量子力学给出的结果是

hpx x

xpx

2

xpx

这就是著名的海森伯不确定关系。

zpyp zy ,同理还有

通常此公式只用于数量级的估计，又常简写为

（“试题库” ）

② 对于微观粒子的能量 ΔE 及它在能态上停留的平均

时间 Δt 之间也有下面的测不准关系：

tE

原子处于激发态的平均寿命一般为 st 810于是激发态能级的宽度为：

Jt

E 2610

这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实这一点。

对于大量原子，在同一激发态能级上，有的停留时间长，有的停留时间短，其平均停留时间 τ 叫激发态的平均寿命。 τ 越长，ΔE越小。反之， ΔE越大。 原子在有些能级上的寿命可长达 1ms ，这种能级叫亚稳态能级，在激光技术上有重要应用。

例例 11 ：质量为：质量为 10g10g 的子弹，具有的子弹，具有 200m200mss-1-1 的速率，的速率，速率的测量误差为速率的测量误差为 0.01%0.01%，问子弹位置的不确定量有，问子弹位置的不确定量有多大？多大？解：子弹的动量为解：子弹的动量为

1220001.0 smkgmvp

动量的不确定量为动量的不确定量为144

00 102210101.0 smkgpp

由不确定关系，子弹位置的不确定范围为由不确定关系，子弹位置的不确定范围为

mp

x 31

4

34

102.52100.2

1063.6

对宏观物体，不确定关系不起作用。对宏观物体，不确定关系不起作用。

例 2 ：原子线度的数量级为 1Å，求原子中电子速度的不确定量。解：原子中电子位置的不确定量为 x = 1Å，

由不确定性关系由不确定性关系

16

831

34

sm101.16101109.12π

106.63

xm

电子的经典速度为： 16 sm10υ

电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。

例 1 和例二表明，测不准关系式可以用来判别对于实物粒子，其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。

一张有趣的图片少女还是老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。

一张有趣的图片少女还是老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。

“冬虫夏草” -- 是虫还是草？

“冬虫夏草” -- 是虫还是草？

看到“冬虫夏草”这个名字，许多人都会感到奇怪；冬天还是动物，怎么夏天又变成了植物呢？自然界的变化，奥妙无穷，世界上就有这种一身兼动物、植物的奇特生物。冬天的形状完全是虫，夏天的形状又象是草，所以取了这么一个形象生动的名字 --冬虫夏草。

看到“冬虫夏草”这个名字，许多人都会感到奇怪；冬天还是动物，怎么夏天又变成了植物呢？自然界的变化，奥妙无穷，世界上就有这种一身兼动物、植物的奇特生物。冬天的形状完全是虫，夏天的形状又象是草，所以取了这么一个形象生动的名字 --冬虫夏草。

用指数形式表示：

§19-8 量子力学简介（ I ）波函数和薛定谔方程 §19-8 量子力学简介（ I ）波函数和薛定谔方程

)(2cos),( xtAtxy

)(2),( xtiAetxy

单色平面简谐波波动方程为：

1 波函数1 波函数

)(2cos txA

沿 x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为：

)(2

0),( xtietx

hEph ,

px)(Eti

etx 0),(

微观粒子具有波动性，其运动状态应该用波函数来描写。

利用

其中波函数模的平方为： 2

)(

0

)(

0

rpEti

rpEti

ee

2

0

)rp(Eti

etr 0),(

波函数可写为：如果是自由粒子沿 方向传播的三维情况，r

波函数有什么物理意义呢？ 德国物理学玻恩19541954 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖

2 波函数的统计解释 -概率波

1926 年，物理学 Born 提出了德布罗意波的统计解释。他认为波函数体现了发现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。

在某处发现一个实物粒子的概率同与波函数模的平方成正比。体积 dV 中发现一个粒子的几率为：

dVdVdW *2

2),(),( tr

dv

dWtr

这就是玻恩对波函数的统计解释。

*——单位体积内发现一个粒子的几率，即几率密度（波函数的物理意义）。

⑴ 在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：

12dxdydz

⑵ 波函数必须满足的条件（标准条件）：

① 单值 ②有限 ③连续

（归一化条件）

“ 波函数本身没有直接的物理意义，波函数模的平方代表单位体积中粒子出现的几率。”

二、薛定谔方程1. 薛定谔方程的引入

一维自由粒子的波函数为：

)(

0),(pxEt

i

etx

2

2

2

2 p

x

Ei

t

又因为 ，代入上两式得到：m2pE 2

显然

19331933 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖

奥地利物理学家

ti

xm2 2

22

一维自由粒子的含时

薛定谔方程

2

2

2

2 p

x

E

i

t

有势力场中粒子的总能量为：

),(2

1 2 txVpm

E （ 1 ）

),(2

1 2 txVpm

E

将 和 代如（ 1 ）式得

titxV

xm

),(2 2

22和 势场中一维运动粒子的薛定谔方程

在势场中，作三维运动粒子薛定谔方程为：

titzyxV

m

),,,(

22

2

( 拉普拉斯算符 )

),,,(2

ˆ 22

tzyxVm

H ( 哈密顿算符 )

2

2

2222

2 φθsinr

1

θsinθ

θsinθr

1

rr

rr

1

2

2

2

2

2

22

zyx

或记成 t)z,y,Ψ(x,t

it)z,y,Ψ(x,H ˆ

其中

titzyxV

m

),,,(

22

2

二、定态薛定谔方程

)(),,(),,( tfzyxzyx

如势函数不是时间的函数，即 ),,( zyxVV

代入薛定谔方程得：

td

tfd

tfizyxV

m

)(

)(

1),,(

2

1 22

用分离变量法将波函数写为：

则Eti

CetfEt

tf

tfi

)()(

)(

1

Et

tf

tfizyxV

m

)(

)(

1),,(

2

1 22

),,(),,()],,(2[ 2

2

zyxEzyxzyxVm

和

这就是定态薛定谔方程

定态 : 能量取确定值的状态

Eti

ezyxctzyx

),,(),,,( 22),,( zyxc

与时间无关

定态波函数

对自由粒子波函数，

),,(),,(2

22

zyxEzyxm

则)(

0)()(),(rpEt

i

etfrtr

本次课内容

由 U 伏电势差加速的电子，电子的徳布罗意波长为

AUmeU

h 25.12

2

ph /① 实物粒子也有波长

② 测不准关系 xpx

③ 波函数

tE

④ 定态薛定谔方程波函数的意义；归一化条件；标准条件

⑤

),,(),,()],,(2[ 2

2

zyxEzyxzyxVm

海森伯和玻尔、泡利在一起海森伯和玻尔、泡利在一起

1927 年第五届索尔威会议1927 年第五届索尔威会议

爱因斯坦

爱因斯坦

洛仑兹

洛仑兹

居里夫人

居里夫人

普朗克

普朗克

德拜德拜

泡利泡利

康普顿

康普顿

薛定谔

薛定谔

狄拉克

狄拉克

布喇格

布喇格

玻尔玻尔

海森伯

海森伯

玻恩玻恩

朗之万

朗之万

德布罗意

德布罗意

（本次课完）