Подготовка к ЕГЭ.
Решение задач группы С2
(стереометрия)
D
А В
С
А1
D1 С1
В1
11
11
11
Треугольник ACD1 – равносторонний.
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до AD1.
К??
606000
.2
;2
;2
;11
;
:
2
222
222
AC
AC
AC
AC
BCABAC
ABCИз
22
AC
CK006sin
Из CKA
22
3 CK
2
6CK
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AB1 и BС1 .
Заменим одну из заданных прямых BC1 на параллельную прямую AD1 .
А В
С
С1
D1
А1В1
D
∆B₁AD₁ - равносторонний и, значит, угол B₁AD₁ равен 60°.
Угол между BC1 и АB₁ равен углу между параллельной прямой AD1 и АB₁.
А В
С
С1
D1
А1В1
D
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми DA1 и BD1 .
Рассмотрим ортогональную проекцию AD₁ прямой BD1 на плоскость ADD1 .
ADAD₁₁ DA DA₁₁ TTT DADA₁₁ BD BD₁₁
ADAD₁ ₁ DA DA₁₁
П-РП-Р
Н-я
П-я
Искомый угол между прямыми DA₁ и BD1 равен 90°.
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB и CA1 .
А В
С
С1
D1
А1
D
В1
Заменим одну из заданных прямых AB на параллельную прямую B₁A1 .
.2
;2
;2
;11
;
:
1
1
21
2221
221
21
1
CB
CB
CB
CB
CВBBCB
ВCBИз
2
Угол между AB и CА₁ равен углу между прямой C A1 и А₁B₁.
.
:1ACAИз
А В
С
С1D1
А1
D
В1
2
Если вы получите отрицательное значение косинуса, - это говорит о том, что угол тупой. Вспомним, что в стереометрии углом между прямыми называют острый. Перейти к острому углу просто.
!!
mcos
Решение.
В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.
D
В
С
A
E
M
В ∆DBC проведем через точку E прямую ME // BC
Точка М – середина ребра DB.
Угол AEM - искомый.
Его можно найти из равнобедренного треугольника MAE.
Из ∆ АВD :
1
0,5
Из ∆ СВD :
0,5
В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.
0,5M
D
В
С
A
Eα
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.
2. В правильной шестиугольной призме A….F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.
Чертеж и подсказка
Чертеж и подсказка
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.
E
A В
СD
S В ∆DBS проведем через точку E прямую ME // BS
M
Угол AEM - искомый.
Из ∆ SВD :
1
1
0,5
1
1
Из ∆ AВD :
Из ∆ AEM : Из ∆ ADS:
значит ∆ AEM прямоугольный
Ответ:
AA BB
CC
DDEE
BB11
CC11
DD11EE11
11
11
AA11
FF
FF11
2. В правильной шестиугольной призме A….F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.