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V¬ ³
∂Q2
∂t+ J(Ψ2, Q2) = −υ56 Ψ2 − κ56 Ψ2
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ΨiQicogrqm#vt¨gqsl1mhnwgqËxfbl<grusehtrqm~b<m#vt:rgreomonl<nwmodZgjmhbqmonpbv-dZgrufe#vtÅl<guslzfb
iJvwbtrlgrfnpbq zfgrehnp¾grqmtjv
J(Ψi, Qi) =
(∂Ψi
∂x∂Qi
∂y − ∂Ψi
∂y∂Qi
∂x )b<m
∇2vwb vptrdfvtrl<npbq*zsgrehnw¾8grqmhtrv
∇2Ψi = ∆Ψi = ∂2Ψi
∂x2 + ∂2Ψi
∂y2
[abcxfbuQ*l<guslzfb8c%grqmvt#~§~bztjuQmhbufeWñtjuSeob8dgc
ν<mhtrqmvt xfn¡[usconwgqCb<m
κvpt(¨ehnpl<monpgrqxQbcoufeo©trlbrQabcnwmobcocob8c
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xfb9l<grusehtrqmdstre-vVfustmhnwgqyxQntj|qfgcmonufb V¬ ÿ <
Q1 = ∇2Ψ1 + βy +1
2R2
d
(Ψ2 − Ψ1)V¬ ó
Q2 = ∇2Ψ2 + βy +1
2R2
d
(Ψ1 − Ψ2)V¬ ü
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(ui, vi) = (−∂Ψi
∂y,∂Ψi
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E¬ ÿ
Rd = (g′ H2f2
0
)1/2mhtjqmvwb eht6¯grqxQb xQ¨greh#tmonpgrqxfbG-gcoco¯r
Hvt,ztjuQmhbufetjuehbdZgcxQb(lzstusb(l<guslzfbr
g′ = g4θθ0vt~|ret6nmheh8xfufnmhbr
θvt mob~dZetmhufeobdZgjmhbqmonpbvpvwb
θ0vtmob8dZetmhufehbdZgjmhbqmonpbvpvpb9xQb;eo¨ehbqslbb<m
f0vpb;dstjetj~<mheobxQb
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H = 1
2R2
d
(Ψ2 − Ψ1)
ab8c8ustjmonpgrqsc E¬ ó$b<m V¬ ü $~grqmoehbqm-ufbvt rgreomonl<nwmodgrmob8qmhnwb8vwvpbb8cmlgrqscobehr8b%b8qScoufnwtrqmvpb%þsufCzfgrehnp¾grqmtjvchtjufdZgruse9vwbc9dfehgQl<bcocousc;xQncoconpdstmhn©c8l<bc;dfehgQl<b8chcousc;tj|npchcb8qm;coufe9vtrgemhnplnmh~eob8vptjmonprb
∆Ψi, i = 1, 2 n¬« ³ ¬ tymheht6becvt
xfn¡[usconwgqυb<mvt(¨ehnl1monpgrqxQb9coufeo©trl<b
κ
«Qufnwtrqm0vE tremhnplvwb %trnpxfrgr|bvtjqsxy%bvx¤ ³8® ð <<qfgusc!lgrqsconxQehgrqscvwbxQbvpgrdfdZb~b8qm0xQb8c!dZbeomoufehstmhnwgqsc!dstje!nwqscmhtrfnpvwnwmotjehglvwnpqfbdstreetjdsdgem&ufq~8l<gufvpb~bqm&xQ<Äsqsnfdstje
U2, V 2, V 1 = 0b<mU1 = U
t6b8lU i, V i
vtnwmobcocob¾gqstjvpb~g¯bqfqfbbmvpt~nwmobcocob8eonxQnpgrqstrvwb~g¯rb8qfqfbr ± nwqcnE
Ψ1(x, y, t) = −Uy + ψ1(x, y, t)E¬
Ψ2(x, y, t) = ψ2(x, y, t)E¬ íj
ψi, i = 1, 2b8cm0vptxQntmhnwgq(dstreetjdsdgem0vtg¯bqfqsb3mob8~dgeob8vwvpbxfbvt%¨grqsl<monpgrq xfblgrufetjqm
Ψi(x, y, t) = Ψi(x, y)+ψi(x, y, t)J%qfb;qfgrmhtmhnwgqyconpnpvtjnpeobb8cmuQmhnwvpnpcobdZgrufe%vptrgemhnplnmhdZgjmhbqmonpbvpvpbr
WK ®WB¯°²±³K´Pµ°²±uP]±¶µ¶]±=´P±¸·uP P°0gufeltrehtl1mo8eoncobevV grexQehbxQb;|ehtrqsxQb8ufe-xQb8cdfehnpqsl<npdstjvpb8ctreontjfvpb8cxQ¯qstr~npufbc-xQugQxQ8vwbQvwbctjehnptrfvwbc
xytψ
cogrqmtrxfnw~bqcnpgrqfqsb8cdtje RdRd Rd
U
URd
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± nwqcnEfvpb8c-utmonpgrqc E¬ ³ bm V¬ ¬ xQb8nwb8qfqfbqm;²
∂q1
∂t+ J(ψ1, q1) = −υ56 ψ1 + F1
V¬ ð
∂q2
∂t+ J(ψ2, q2) = −υ56 ψ2 − κ56 ψ2 + F2
V¬ ® ± rblvpt~greomonl<nwmodgrmobqmhnwb8vwvpb
q1 = ∇2ψ1 +1
2(ψ2 − ψ1)
E¬ ³8
q2 = ∇2ψ2 +1
2(ψ1 − ψ2)
E¬ ³r³
F1 = −∂q1∂x − (β + 1
2)∂ψ1
∂x
b<mF2 = −(β + 1
2)∂ψ2
∂x
mhtjqm-vpb8cmhbehbc-xQb¨greDCtr|rbab8c-dtjetj~<mheobc$qfgeo#trvwnccusntjdfdtjetjncocobqmxstjqsclb8cutmonpgrqcogrqm
β = βR2
d
U
κ = κRd
U
b<mυ = υ
R3
dU°&tre-bcuseob;xQb9conw~dfvpnl<nwmorxftjqscvt~cusnmhb;vwbc6treontjsvwbc-trxQnp~bqschcnpgrqsqfbccobehgrqmqfgjmhbc-cotrqscvwb
ð
Z Z5Q"UW¢_ªuRR]¹"R]RTS ¢ MNOQBRTSUV Z§MOP`¨UWV©`5a=SUPOªOR]
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
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6
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10
12
14
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18
20
22
24
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y
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4
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8
10
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hLiFh ¿ º0]@ÀLt<^t ¸ t p t¹!]
W@ ÁÂÃI±ÅÄÆ´±/ÇPKȱ± l8tjuscobxQbvptqstmhufehbyqsgrqQ¥ÀvwnpqftjnpeobyxQuËco¯Qckmh~b*l<vpnw#tjmonusbr0vwbc~dbmonwmobc,xQnw¡Z8eob8qsl<bcxstjqscvpb8c#l<gqsxQnwmonpgrqscnpqfnwmontjvpb8cc8 tj~dfvpnÄsb8qm~xftrqsc vwbCmob~dscvpgrec(xQbyvE npqmo|ehtjmonpgrqxQu ~gxfvpbytrudgnwqm~xQbylgrqmhtr~nwqfb8e lgr~dfvp<mob8~bqmvtcogrvpuQmhnwgqtru/guQm xQbSusbvusb8cikgufehc xQb,dfehncnpgrq!b<mmhbCvpnw~nwmob,bckmtjdfdZbvpb#vt*dfehncnpfnpvwnwmo,xQu c¯Qcmo~b,lvwnp#tmonufbr!°0grufe~bcufehbe vptdfeo8npconwsnwvpnmhrgrql8tjvl<ufvpb,vpb,mhtruQ/xQbSleognpchcotrqsl<b,xfb,vptxQnw¡Z8eob8qsl<b,npqfnwmontjvpb~bqmdbmonwmobybqmoehbCxQb8uQ/<mhtjmhc ageob8qf¾r ³®[ ó1# gruscdgufrgqscxQ8leonpeobvE 8rgvwuQmhnwgqCmhb~dZgrehbvpvwb;xQb;vE tjmo~gcodfzf8eobdstre-vV 8ustjmonpgrqxQn¡[ehbqmhnwb8vwvpb_É~ ï etjbxQeonlz ³8® ðíj
dψ
dt= f (ψ)
V¬ ³6¬ t6b8l
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«Qn!#tjnpqmob8qstjqmqsgruscl<grqcnxQehgrqc-vV grvpuQmonpgrqxstjqsc%vwb;mhb~dscxQb xfbuQ*<mtmcufqdfehb~npbe%mhtjmxQb eo¨ehbqslbψ0(t)
b<musq:xQb8uQQnw8~bmhtjm
ψ(t)t6rb8l(nwqsnmhnptrvwb8b8qmusqfb dZb<mhnmhb~db8emhufeotmonpgrqdstjeetjdfdZgreom
ψ0(t)a!tSxfn¡[ehbqslb b8qmoehblb8c
xfbuQ#<mtmc&grvpufbxftjqc3vpb-mob8dcδψ = ψ(t) − ψ
0(t)b<mmhtrqm$moeh8c&dZb<mhnmhbrqfgrusc$dgufrgqsc&vpnwqs8tjehncb8e3vV 8ustjmonpgrq V¬ ³6¬
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df
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∣
∣
∣
ψ0
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δψ (t) = δψ0 exp(λt)V¬ ³8ü
λbckm&tjdsdb8vwvV b<QdZgchtjqml8tjetrl<moehnckmhnpufbxQba¯trdfufqfgb<m&ufnfltrehtl1mo8eoncob&vpt~b8coufeobxQbvptdfehncnpfnpvwnwmo # grusc!dZgrufgrqsc
trnwqcnxfnwehb;u ufq*co¯Qckmh~bb8cmdseo8nconwfvpbikuschu ~ufqsblzf8trqsl<bTp = 1
λ
Tp<mhtrqmvwbmob8~dscxQb;dfehncnpfnpvwnwmo
W@ ÁÂK¶Ã˶G´P±Ì¶%ͬ±ËÎWÄ_ÈK"´±ÌÏyÐÄPPÑ°0gufe%bckmhnw~bevV b<QdZgchtjqm%xQb(a¯trdfufqfg,qsgrusct6rgrqc-ltjvl<usvw9vE qfb8eo|nwb9xQb(vpt,xfn¡[ehbqslb9bqmheob(xfbuQ<mtmhc8susq*<mhtjmxQbeh<¨8eob8qsl<b;bm%ufq*mhtmdb8emhufeoZrZ trqsc-qfgrmoehb(ltc-qfguscl<gqsconpxQ8eogqscvt¨grqsl<monpgrqxQulgrufetjqm
ψdgufelzstufb;l<grulzfb8c³ ¬ 3qfguscdstjeomogqscxQbxfbuQ,mhtmcnwqsnmhnptruQ,vwbdfehb~npbe
ψ0r1ψ0r2
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ψ0p1ψ0p2
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t6b8lεiufq*lzstj~dsctrvwtmognwehbx¤ tr~dfvwnwmouxQb
10−3
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ψr1 (t)ψp1 (t)
b<m ψr2 (t)
ψp2 (t)
<
E(t) =
∫
‖∇ (ψr1 − ψp1)‖2 + ‖∇ (ψr2 − ψp2)‖
2
2+
∥
∥
∥
∥
∥
(
(ψr1 − ψp1) − (ψr2 − ψp2)
2
)2∥
∥
∥
∥
∥
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°&trevtcusnmhb$qfgusc¤mhehtC<grqc¤vpt%l<gruseoZb3bq;lzfbvpvpb3vwg|treonwmozf~nufbrat-dZbqmobxQb$vt-dstremhnwb3vpnpqf8trnwehb$xQb3vtlgrufehbl<grehehb8codgqsx#xfbuQ,¨gnpcvV b<QdZgchtjqmxfb9a¯trdfufqfg[
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
100
t
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hLiÒ _ot m »Ów qa!ttjehntjfnpvwnwmonwqmob8eoqsbx¤ ufq~gQxQ8vwbeo8|rnpgrqstrv~b<mSb8qXufbckmhnwgq vV ufqfnl<nwmoÅxQbchtcogrvpuQmonpgrqJ%qfbdZb<mhnmhb:xQnw¡[ehbqslbrtruQdZb<mhnmhb8c;lzfbvpvpb8c;xQbc9cdZb8l<moehb8c;xQbc9lzstrdc;cnp(ufvp8c8cob#dfeogdstj|b becvwbc;8lzfb8vwvpb8cdsvwusc9|retjqsxQbc[bm(tikgrufmob~ufqfb
³8
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1
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f (ψnudge)b<m3vE ustmhnwgqE¬ ³ xfbnwb8qm9²
∂ψnudge∂t
= −1
τ(ψnudge − ψref )
E¬ ³ íjlr bckmo¥Àj¥Àxfnwehbqsgrusc©trnpcogrqscusqfb9cnp~dfvpb;eob8vptjQtjmonpgrqyxQuylztj~d|rufnxQrb8ehcvpb9lzstj~dxQb;eo¨ehbqslb «Qnτb8cmmoeh8c|retjqsx¤vpbmhbeh~b
1
τ (ψnudge − ψref )xQbnpbqmmoeh8cdbmonwmxQbtjqmvwbmob8eo~b
f (ψnudge)bm-vV 8ustjmonpgrq E¬ ³
xfbnwb8qm9²
∂ψnudge∂t
= f (ψnudge)E¬ ³ ð
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³r³
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Ò5iTj ¿ »;º» ` n ¹º q ^ x7zÖ ^t r _ q ^ m _ ` lLmonWp%qab8cdstrehtrmoehb8cusntjdfdstrehtrnpchcobqm$xftjqcvpb8cutmonpgrqctxQnw~b8qscnpgrqsqfbcxQbqfgrmoehb~gQxQvpbutrcon¥À|r8gcmoehgrdfzfnufb-b<m-ufncogrqm-trchcgQlnwc vptxQbcoleonpdQmonpgrqCdfz¯conusbxQuydfehgrfvp~bcgqm
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U
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f0 = 2Ω cosφ0
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eh8xfufnmhbg′ = g∆θ
θ0
θvt mob~dZetmhufeobdZgjmhbqmonpbvpvwb
trvwb8ufec-quf~ehnpufbc²Ω = 7, 25.10−5rd.s−1
R = 6380 km
cosφ0 = 0, 1
∆θ = 40K
θ0 = 350K
g = 9, 8m.s−1bm
H = 20km
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φ
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β(10−11) ÿj®s³ü ³ ³8ü¬& ³ f³ÿr® ³ ® í ®f³
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Rd kmí ÿQ³ üÈ ó ðróðf ³ü 𠳬& ÿf³ í ³üÿQ³ í ³6ÿ
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β(U = 20ms−1) ³ í üf³ ó ð ÿQ³ ó ¬ ð ÿü
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βusn¤b8cmbqmoehbÝ ³ ¬ßÞ
³¬
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κ = κRdU2
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κqfgusc<mhusxQnpgrqsc;vpb#fnpvptrq/x¤ 8qfbeh|rnpb~x¤ usq/gQxQ8vwb,
xfbuQl<grulzfb8cehbdfeh8cobqmhdstrevptÄs|ufehb óf ³
º@»¬¼"½Zóf ³P¾ *gQxQ8vwb9~xQb8uQSlgruslzfbc
Hb8cm;vV dtjncocobufe;xQb~vtCdseob8npehb~l<grulzfb vptystcocob moehgrdZgcodfzfehb<
δb8cm;vV dstrnpchcobufe;xQb~vtSlgruslzfb~x¤ ª3#tjq
Ktvwb
lgb%$,l<npbqm%xQbvt#xQn¡[usconwgqCmhufehfufvpbqmob9tcocogQl<nptruydZgr~dstr|rbx¤ ª3~trqa$ bQdfeobcoconpgrqxQb
κbckm~xQ<mhbehnpqfybqHxfeobcochtjqm(vpbCfnpvtjqHx¤ qsbeh|rnpbrª$qHb<¡[b<m0bqetjncgqfqstrqm9b8qmhbehbc(x¤ grexQehbCxQb
|ehtrqsxQb8ufe8vE 8qfbeh|rnpbnwqmh|rehb;coufe-vtlgruslzsbx 8dstjncocobuseHc8 l<ehnm;²
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βκ æ 1ª$qscusnmhb9qfgruct6rgqscltjvl<usvwvt~g¯bqfqsbcoufevpb8c-ó 6trvwb8ufecmoehgrufbcbmvwb9lgb%$,l<npbqm%xQb;tjehntmonpgrqxQÄsqfn!lgr~~bvwb
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µ
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µ
tjqcvpbmhtjsvwbtju ós óqfgruct6rgqsceob8dfeh8cobqmovpb8cxQnw¡[ehbqmobc-tjvpbufec-grfmobqufbc-dZgrufe%xfn¡[ehbqmhc3ikbuQxQb9dstrehtr~<moehb8c(β, κ)
Qvt#xQnpcodZbecnpgrqxQb8ctrvwb8ufehc-xfbvE b<Qdgcotrqm-xfb9a¯trdfufqfg,lgreheobcdZgrqxftjqmcob;l<gqQÄsqfb;b8qmheob ³ bm ³ÿç
ÚÛÜ ½[óf ó ¾ ¢£qsl<b8emhnmhusxQbeob8vptjmonprb;vpttjehntmonpgrqyxQb;vE bdZgchtjqmxQb;a¯tjdfusqfg#bqy¨grql1monpgrq*xQbβb<mκ
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κ = 0.4 ® í [rü¬ r® í ü
κ = 0.5 ð s³ ÿ í [rs³
κ = 0.6 ® ó ¬ ð ü ³ óí
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βbmκcoufe!vtdseo8nconwfnpvpnmhxQu ~gxfvpbqfgusc0t6rgqsc¤©trnm0ufqfb<mhusxQb
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