Slope-Deflection Method 1
บทท 4 Slope-Deflection Method
• วธศกษาทผานๆมาจะใชแรง (แรงทฐาน หรอ แรงภายในชนสวน) เปนตวไมทราบคา หรอเรยกวา Force Method
• สวนวธ Slope-Deflection นจะใชการเคลอนทของโครงสรางเปนตวไมทราบคา หรอเรยกวา Displacement Method
Slope-Deflection Method 2
วธ Slope-Deflection ใชวเคราะหคาน (Beam) และโครงขอแขง (Frame)ไดทกชนดแตในชนนจะศกษาแตคานและโครงขอแขงทประกอบมาจากชนสวน Prismatic
คานและโครงขอแขงประกอบมาจากชนสวน Prismatic
คานและโครงขอแขงประกอบมาจากชนสวน Non-Prismatic
Slope-Deflection Method 3
4.1 สมการทใชในวธ Slope-DeflectionSlope-Deflection Equations แสดงความสมพนธระหวางโมเมนตทปลายแตละ
ชนสวน และ End Distortion ของชนสวนนนๆ + Load ในชวงของชนสวน
Mab = f (θa , θb , Δ , Load)Mba = g (θa , θb , Δ , Load)
รปนแสดงทศทางทเปน (+)- โมเมนตทปลายชนสวน (Mab , Mbc) ตามเขม - มมหมน ( θa , θb ) ตามเขม- การเคลอนท (Δ) ตามเขม
Δ
Mab
Mba
θaθb
a bLoad
Slope-Deflection Method 4
โมเมนต Mab และ Mba เปนผลมาจาก 4 เหตการณ คอ• ผลของ θa เพยงอยางเดยว
• ผลของ θb เพยงอยางเดยว
• ผลของ Δ เพยงอยางเดยว
• ผลของ Load เพยงอยางเดยว หาไดจากตารางของ Fixed-End Moments ทวๆ ไป
LEI2
ML
EI4M a
baa
abθ
=′θ
=′ .......
LEI4
ML
EI2M b
bab
abθ
=″θ
=″ .......
2ba2ab LEI6
MLEI6
MΔ−
=Δ−
= '''''' .......
Mab’
θa
a b Mba’
θb = 0 , Δ = 0
Mab’’ θba b Mba
’’
θa = 0 , Δ = 0
ΔMab
’’’ a b
Mba’’’θa = 0 , θb = 0
MabF a b Mba
FLoad
θa = 0 , θb = 0 Δ = 0
Slope-Deflection Method 5
จาก
จดใหอยในรปอยางงายไดเปนสตรทใชในวธ Slope-Deflection คอ
Fba2
baFbababababa
Fab2
baFababababab
MLEI6
LEI4
LEI2
MMMMM
MLEI6
LEI2
LEI4
MMMMM
+Δ−
−θ
+θ
=++″+′=
+Δ−
−θ
+θ
=++″+′=
'''
'''
Fbababa
Fabbaab
ML
32LEI2
M
ML
32LEI2
M
+Δ
−θ+θ=
+Δ
−θ+θ=
)(
)(
Slope-Deflection Method 6
ตวอยางการหา Moment ทเกดในกรณท 1 (ผลของ θa เพยงอยางเดยว)
จากรปดานซายเปรยบเสมอน- ปลาย a เปน Hinge - ปลาย b เปน Fixed EndใชวธConjugate Beamเพอหา Rotationท a (θa)ใช Condition ทวา1) Moment ใน Conjugate Beam ท a = 0
การเคลอนทของคานจรง ท a = 02) Moment ใน Conjugate Beam ท b = 0
การเคลอนทของคานจรง ท b = 0
baMab
’
θa Mba’
θa
Mab’
EI Mba’
EI
Elastic Load on Conjugate Beam
Slope-Deflection Method 7
แทนคา (1) ใน (2) จะได
...สวนโมเมนตในกรณอนๆ กสามารถหาไดโดยวธเดยวกนน...
⟩⟨=×θ−××′
⋅−××′
⋅
=∑
=××′
⋅−××′
⋅
=∑
20L3L
LEI
M21
3L2
LEI
M21
0M
03L2
LEI
M21
3L
LEI
M21
0M
abaab
b
baab
a
..........)()(
;
)()(
;
⟩⟨′=′⇒ 1M2M baab .............
.......L
EI2Mและ
LEI4
M aba
aab
θ=′
θ=′
Slope-Deflection Method 8
Fixed-End MomentsP
L
L/28
PL8
PL WL12
WL2
12WL2
W
L
a
)( 222
2
a3aL8L6L12
Wa+− )( a3L4
L12Wa
2
3
−
P
L
a2
2
LPab b
2
2
LbPa
ML
a)( a2b
LMb
2 −b
)( ab2LMa
2 −
WL20
WL2
30WL2
W
L96WL5 2
96WL5 2
L/2
1
3
5
2
4
6
7
Slope-Deflection Method 9
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาแรงทฐานรองรบของคานตอเนอง ABCD ดงแสดงในรป
EI EI/2A800 kg.
4 m.
B C D
300 kg./m.
2 m. 2 m. 1 m.
Slope-Deflection Method 10
1) หา Fixed End Moments
.. mkg40012
430012WL
M22
FAB −−=
×−=
−=
.. mkg8008
480012
43008
PL12WL
M22
FBC −−=
×−
×−=−
−=
EI EI/2A
800 kg.
4 m.
B C DW=300 kg./m.
2 m. 2 m. 1 m.
MABF MBA
F MBCF MCB
F
300 kg./m.A4 m.
BMAB
F MBAF
.. mkg40012WL
M2
FBA −==
300 kg./m.B CMBC
F MCBF800 kg.
2 m. 2 m... mkg800
8PL
12WL
M2
FCB −=+=
Slope-Deflection Method 11
2) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection นอกจากนนคาการเคลอนทสมพทธ (Δ) ของทกชวงยง = 0 จงได
มตวแปร 2 ตว คอ θB และ θC
4002EI
ML
32LEI2
M BF
ABBAAB −θ=+Δ
−θ+θ= )(
400EIML
32LEI2
M BF
BABABA +θ=+Δ
−θ+θ= )(
80024EI
ML
32LEI2
M CBF
BCCBBC −θ+θ=+Δ
−θ+θ= )()(
80024EI
ML
32LEI2
M CBF
CBCBCB +θ+θ=+Δ
−θ+θ= )()(
Slope-Deflection Method 12
3) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (2 สมการ)
ได MBA+ MBC= 0 ได MCB= 150 kg.-m.
4) แทนคาทไดในขนตอนท 2 ลงในสมการขนตอนท 3 ได
BMBA MBC
FBD.ทจด B
A C CMCB 150 kg.-m.
FBD.ทจด C
B D
⟩⟨=−θ+θ++θ⇒=+ 1080024EI
400EI0MM CBBBCBA ..........])([][...
⟩⟨=+θ+θ⇒= 215080024EI
150M CBCB .................................])([...
Slope-Deflection Method 13
แกสมการ (2) ได
แกสมการ (1) ได
แกสมการ (3) และ (4) จะได
และ
⟩⟨−
=θ+θ 3EI6002
2 CB ...................................................,
⟩⟨=θ+θ 4EI6001
6 CB .......................................................,
.,
RadEI11
8005B =θ .
,Rad
EI1120017
C−
=θ
Slope-Deflection Method 14
5) หาโมเมนตดดทปลายชนสวนไดจากสมการในขนตอนท 2
..,,
mkg115001
400EI11
80052EI
4002EI
M BAB −−
=−×=−θ=
..,,
mkg1120010
400EI11
8005EI400EIM BBA −=+×=+θ=
800EI1120017
EI118005
24EI
80024EI
M CBBC −−×=−θ+θ= ),,
()(
..,
mkg11
20010−
−=
800EI1120017
2EI11
80054EI
80024EI
M CBCB +×−=+θ+θ= ),,
()(
.. mkg150 −=
Slope-Deflection Method 15
6) หาแรงทฐาน FBD. ของแตละชนสวน
จะได MA = 1,500/11 kg.-m. RA = 4,425/11 kg.RB = 43,825/22 kg. RC = 24,325/22 kg. ตอบ
300 kg./m.1,500/11 10,200/11
4,425/11 8,775/11
B8,775/11 26,275/22
300 kg./m.10,200/11 150
26,275/22 17,725/22
800 kg150
300A
1,500/11
RA RB
C17,725/22 300
RC
Slope-Deflection Method 16
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. แรงทฐานรองรบ และ 2. เขยน BMD. ของโครงขอแขง ABCDดงแสดงในรป (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)
A
100 kg. B C D300 kg./m.
2 m. 2 m.
2 m.
50 kg.-m.
Slope-Deflection Method 17
1) หาคา Fixed End Moments
,0MM FBA
FAB == 0MM F
CBFBC ==
.. mkg10012
230012WL
M22
FCD −−=
×−=
−=
.. mkg10012
230012WL
M22
FDC −=
×==
300 kg./m.C2 m.
DMCD
F MDCF
A
100 kg. B C DW
2 m. 2 m.
2 m.
50 kg.-m. MCDF MDC
F
W = 300 kg./m.
Slope-Deflection Method 18
2) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection นอกจากนนคาการเคลอนทสมพทธ (Δ= 0) เนองจากมคายนทางดานขาง จงได
มตวแปร 2 ตว คอ θB และ θC
BF
ABBAAB EIML
32LEI2
M θ=+Δ
−θ+θ= )(
BF
BABABA EI2ML
32LEI2
M θ=+Δ
−θ+θ= )(
)()( CBF
BCCBBC 2EIML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ=
)()( CBF
BCCBCB 2EIML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ=
100EI2ML
32LEI2
M CF
CDDCCD −θ=+Δ
−θ+θ= )(
100EIML
32LEI2
M CF
CDDCDC +θ=+Δ
−θ+θ= )(
Slope-Deflection Method 19
3) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (2 สมการ) ทจด B และจด C
ได MBA+ MBC= 50 ได MCB + MCD = 0
CMCB
FBD.ทจด C
B DMCD
BMBAMBC
FBD.ทจด B
A
C100 kg.50 kg.-m.
Slope-Deflection Method 20
4) แทนคาทไดในขนตอนท 2 ลงในสมการขนตอนท 3 ได
แกสมการ (1) และ (2) ได
และ.RadEI3
20B =θ .Rad
EI370
C =θ
⟩⟨=θ+θ+θ⇒=+ 1502EIEI250MM CBBBCBA ....................)(...
⟩⟨=−θ+θ+θ⇒=+ 20100EI22EI0MM CCBCDCB ..............)(...
Slope-Deflection Method 21
5) หาโมเมนตดดทปลายชนสวนไดจากการแทนคา θB และ θC ลงในขนตอนท 2
../)/( mkg320EI320EIEIM BAB −=×=θ=
../)()( mkg3110EI3
70EI3
202EI2EIM CBBC −=+×=θ+θ=
../)/( mkg340EI320EI2EI2M BBA −=×=θ=
../)()( mkg3160EI3
702
EI320
EI2EIM CBCB −=×+=θ+θ=
../ mkg3160100EI3
70EI2100EI2M CCD −−=−×=−θ=
../ mkg3370100EI3
70EI2100EIM CDC −=+×=+θ=
Slope-Deflection Method 22
6) หาแรงทฐาน FBD. ของแตละชนสวน
สรปไดคา MA = 20/3 kg.-m. RA,x = 10 kg.RA,Y = 45 kg. RC = 310 kg.MD = 370/3 kg.-m. RA,x = 110 kg.RD,Y = 335 kg. ตอบ 1
A
20/345
10
1045 40/3
B 10100 kg.
50 kg.-m.
40/3
110/3110
45
45
110/3110
45 160/3110
45C
RC=310
11011045 265 300 kg./m.
160/3 370/3265110
335110 D
Slope-Deflection Method 23
7) เขยนแผนภาพโมเมนตดด (BMD.)ได
ตอบ 2
A
C DB
110/3
160/320/3
40/3
370/3
185/3
BMD(kg.-m.)
++
--
+-
Slope-Deflection Method 24
4.2 การใชวธ Slope-Deflection กบโครงสรางทมJoint Translation
โดยตวอยางทผานมาไมม Joint Translation
...คานตอเนองทไมมการทรดตวของฐานรองรบ...
...Frame ทมคายนทางดานขาง...
Δ=0 ทกตว
Δ=0 ทกตว
Slope-Deflection Method 25
Frame ท Symmetry (สมมาตร) และม Load ทสมมาตรมากระทา (ทาใหไมม Sway เกดขนเสมอนมคายนทางดานขาง)
Δ=0 ทกตว
Centerline
Centerline
Centerline
Slope-Deflection Method 26
ซงตอไปนจะศกษาโครงสรางทม Joint Translation
ถงแมวา Frame จะ Symmetry แต Load ทมากระทาไม Symmetry
...Frame ทวๆ ไป...
Δ
Δ
Δ
Δ1
Δ2
Δ
Slope-Deflection Method 27
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขงดานลาง (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)
A
P B C
D
10 ft.
20 ft.
Slope-Deflection Method 28
1) สารวจดวาโครงสรางม Side Sway ไดกแบบ- ในทนม 1 แบบ คอ การเคลอนททางขาง Δ ทจด B และ C (1 DOF ของ Joint Translation)
2) หาคา Fixed End Moments
0MMและ0MM0MM FDC
FCD
FCB
FBC
FBA
FAB ====== ,
A
P B C
D10 ft.
20 ft.
Δ Δ
Slope-Deflection Method 29
3) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection จงได
มตวแปร 3 ตว คอ θB , θC และ Δ
)()( Δ−θ=+Δ
−θ+θ= 320200EI
ML
32LEI2
M BF
ABAB
BAAB
)()( Δ−θ=+Δ
−θ+θ= 3400200EI
ML
32LEI2
M BF
BAAB
BABA
)()( CBF
BCBC
CBBC 4080200EI
ML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ=
)()( CBF
CBBC
CBCB 8040200EI
ML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ=
)()( Δ−θ=+Δ
−θ+θ= 340200EI
ML
32LEI2
M CF
CDCD
DCCD
)()( Δ−θ=+Δ
−θ+θ= 320200EI
ML
32LEI2
M CF
DCCD
DCDC
Slope-Deflection Method 30
4) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (3 สมการ) ทจด B และจด C
ได MBA+ MBC= 0 ได MCB + MCD = 0ยงขาดอก 1 สมการ ใชสมดลของแรงในแนวราบของโครงสรางจะได
FBD.ทจด B
BMBA
MBC
A
CP
0P2
MM2
MM DCCDBAAB =++
++ )()(20MM BAAB /)( + 20MM DCCD /)( +
A
P B C
DMAB MDC
FBD.ทจด C
BMCD
MCB
D
C
Slope-Deflection Method 31
5) แทนคาทไดในขนตอนท 3 ลงในสมการขนตอนท 4 ได
⟩⟨−
=Δ−θ+θ
⟩⟨=Δ−θ+θ⟩⟨=Δ−θ+θ
6EI
P4001126060
5031204040340120
CB
CB
CB
.................................................,
...........................................................
...........................................................
⟩⟨=θ+θ+Δ−θ⇒=+ 104080200EI
340200EI
0MM CBBBCBA .......)()(...
⟩⟨=Δ−θ+θ+θ⇒=+ 20340200EI
8040200EI
0MM CCBCDCB .......)()(...
201
340200EI
320200EI
0P2
MM2
MMBB
DCCDBAAB ×Δ−θ+Δ−θ⇒=++
++
)]()([)()(
⟩⟨=+×Δ−θ+Δ−θ+ 30P201
320200EI
340200EI
CC ...................)]()([
Slope-Deflection Method 32
แกสมการ (4) , (5) และ (6) ได
6) หาคาโมเมนตทปลายจากสมการในขนตอนท 3
ตอบNote ถาใชคณสมบตปฏสมมาตร (Anti-Symmetry) ชวยจะลด Unknown ลงได 1 ตว
(เหมอนในหนงสอของ Yuan-Yu Hsieh)
.RadEI13P100
CB =θ=θ .,
ftEI39
P0016=Δ
13P70
EI39P0016
3EI13P100
20200EI
MAB−
=×−×= ),
(
13P60
EI39P0016
3EI13P100
40200EI
MBA−
=×−×= ),
(
13P60
EI13P100
40EI13P100
80200EI
MBC =×+×= )(
ABDCBACDBCCB MMMMMM === ;;
Slope-Deflection Method 33
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขงดานลาง (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)
A
300 kg.
B C
D
2.5 m.
4 m.
600 kg./m.
1.5 m.
1.5 m.
1 m.
Slope-Deflection Method 34
1) โครงสรางนม Sidesway เพยงแบบเดยวคอมการเคลอนททางดานขางทจด B และ C ดงรป
2) หาคา Fixed End MomentsA
300 kg.B C
D2.5 m.
600 kg./m.
4 m.1.5 m.
1.5 m.1 m.
Δ Δ
A300 kg. B
MABF
MBAF
1.5 m.1.5 m.
C
600 kg./m.
BMBC
F MCBF
2.5 m.
....
mkg531212
5260012WL
M22
FBC −−=
×−=
−=
... mkg531212WL
M2
FCB −==
... mkg51128
33008PL
MFAB −−=
×−=
−=
... mkg51128
33008
PLMF
BA −=×
==
.. mkg0MMและ FDC
FCD −==
Slope-Deflection Method 35
3) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection ได
มตวแปร 4 ตว คอ θB , θC , θD และ Δ
51123EI2
ML
32LEI2
M BF
ABAB
BAAB .)()( −Δ−θ=+Δ
−θ+θ=
511223EI2
ML
32LEI2
M BF
BAAB
BABA .)()( +Δ−θ=+Δ
−θ+θ=
531225EI4
ML
32LEI2
M CBF
BCBC
CBBC .)()( −θ+θ=+Δ
−θ+θ=
531225EI4
ML
32LEI2
M CBF
CBBC
CBCB .)()( +θ+θ=+Δ
−θ+θ=
)()(4
32
2EI
ML
32LEI2
M DCF
CDCD
DCCDΔ
−θ+θ=+Δ
−θ+θ=
)()(4
32
2EI
ML
32LEI2
M DCF
DCCD
DCDCΔ
−θ+θ=+Δ
−θ+θ=
Slope-Deflection Method 36
4) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (4 สมการ) ทจด B , C และ D
ได MBA+ MBC= 0 ได MDC = 0 ได MCB + MCD = 0
ยงขาดอก 1 สมการ ใชสมดลของแรงในแนวราบของโครงสรางจะได
FBD.ทจด BBMBA
MBC
A
C
03004
MM3
450MM DCCDBAAB =++
+−+ )()(
351300MM BAAB /).( ×−+
4MM DCCD /)( +
MDC
FBD.ทจด D
300 kg.
MAB MDC
600 kg./m.
FBD.ทจด CB
MCD
MCB
D
C
Slope-Deflection Method 37
5) แทนคาทไดในขนตอนท 3 ลงในสมการขนตอนท 4 ได
⟩⟨=−θ+θ++Δ−θ 10531225EI4
511223EI2
CBB ...........)(.)(
⟩⟨=Δ
−θ+θ++θ+θ 204
32
2EI
531225EI4
DCCB ............)(.)(
31
450511223EI2
51123EI2
BB ×−+Δ−θ+−Δ−θ ].)(.)([
⟩⟨=+×Δ
−θ+θ+Δ
−θ+θ+ 3030041
43
22EI
43
22EI
DCDC .......)]()([
⟩⟨=Δ
−θ+θ 404
32
2EI
DC .........................................................)(
Slope-Deflection Method 38
แกสมการ (5) ถง (8) ได
⟩⟨=Δ−θ+θ 50003EI10EI12EI44 CB ...............................................,
⟩⟨−=θ+Δ−θ+θ 650012EI20EI15EI104EI32 DCB .............................,
⟩⟨−=θ+Δ−θ+θ 760021EI54EI91EI54EI96 DCB ...............................,
⟩⟨=θ+Δ−θ 80EI8EI3EI4 DC ...........................................
..
RadEI
8244B =θ
..
mEI
3572=Δ
..
RadEI
6170C
−=θ
.RadEI
300D =θ
Slope-Deflection Method 39
6) หาคาโมเมนตทปลายจากการแทนคา θB , θC , θD และ Δ ในสมการขนตอนท 3 ได
MAB = -330.9 kg.-m. MBA = 57.34 kg.-m. MBC = -57.34 kg.-m. MCB = 235.3 kg.-m. MCD = -235.3 kg.-m. MDC = 0 kg.-m. ตอบ
Slope-Deflection Method 40
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขงดานลาง (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)
A
BC
D
1.5 T.
/m.5 m.
10 m.E
12 m. 12 m.
Slope-Deflection Method 41
1) Sidesway ขนกบ Δ1 และ Δ2 ดงรป
2) หาคา Fixed End Moments
A
BC
D
1.5 T.
/m.
5 m.
10 m.E
12 m. 12 m.
Δ1 Δ2
A1.5 T.
/m.
B
MABF
MBAF
10 m....
.mT512
121051
12WL
M22
FAB −−=
×−=
−=
... mT51212WL
M2
FBA −==
...sin.
mT12531213
13551
M2
FBC −−=×θ
×−=
B1.5 T.
/m.
MABF
MBAF
13 m.C
...sin.
mT12531213
13551
M2
FCB −=×θ
×=
Slope-Deflection Method 42
3) หา Rotation ของแตละชนสวนเมอมการเคลอนท Δ1 และ Δ2
Rotation ของชนสวน AB = Rotation ของชนสวน BC =
Rotation ของชนสวน CD = Rotation ของชนสวน DE =
101 /Δ
1013SIN21221 )( Δ−Δ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
×θΔ−Δ
1013SIN22121 )( Δ−Δ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
×θΔ−Δ
102 /Δ
A
BC
D
1.5 T.
/m.
5 m.
10 m.E
12 m. 12 m.
Δ1 Δ2
Δ1/10 Δ2/10
Slope-Deflection Method 43
4) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection ได
51210
35EI
ML
32LEI2
M 1B
FAB
ABBAAB .)()( −
Δ−θ=+
Δ−θ+θ=
51210
32
5EI
ML
32LEI2
M 1B
FBA
ABBABA .)()( +
Δ−θ=+
Δ−θ+θ=
125310
32
13EI2
ML
32LEI2
M 12CB
FBC
BCCBBC .]
)([)( −
Δ−Δ−θ+θ=+
Δ−θ+θ=
125310
32
13EI2
ML
32LEI2
M 12CB
FCB
BCCBCB .]
)([)( +
Δ−Δ−θ+θ=+
Δ−θ+θ=
])(
[)(10
32
13EI2
ML
32LEI2
M 21DC
FCD
CDDCCD
Δ−Δ−θ+θ=+
Δ−θ+θ=
])(
[)(10
32
13EI2
ML
32LEI2
M 21DC
FDC
CDDCDC
Δ−Δ−θ+θ=+
Δ−θ+θ=
Slope-Deflection Method 44
มตวแปร 5 ตว คอ θB , θC , θD , Δ1 และ Δ2
5) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (5 สมการ) - เมอพจารณาสมดลของโมเมนตทขอตอ B , C และ D จะได
][)(10
32
10EI2
ML
32LEI2
M 2ED
FDE
DEEDDE
Δ−θ+θ=+
Δ−θ+θ=
][)(10
32
10EI2
ML
32LEI2
M 2ED
FED
DEEDED
Δ−θ+θ=+
Δ−θ+θ=
⟩⟨=+=∑ 10MM0M BCBAB ..........................................................;
⟩⟨=+=∑ 20MM0M CDCBC ..........................................................;
⟩⟨=+=∑ 30MM0M DEDCD ..........................................................;
Slope-Deflection Method 45
พจารณาสมดลแนวราบทงโครงสรางจะไดแทนคา HA และ HE จะได
จดรปใหมได
E
D
MED
MDE
VD
VE
HE
HD010HMM0M EEDDED =×++=∑ ;
)( EDDEE MM101
H +−=∴
1551HH0F EAX ×=+=∑ .;
A1.5 T.
/m.
B
MAB
MBAVB
VA
HA
HB 05105110HMM0M ABAABB =××−×++=∑ .;
)(. BAABA MM101
57H +−=∴
522MM101
MM101
57 EDDEBAAB .)()(. =+−+−
⟩⟨−=+++ 4150MMMM EDDEBAAB ....................................
Slope-Deflection Method 46
พจารณาสมดลแนวดงทงโครงสรางจะไดแทนคา VA และ VE จะได
จดรปใหมได
EDDECDE M241
M81
M121
V −−=∴
0VV0F EAY =+=∑ ;
057155112V15HMM0M AACBABC =××−×+×++=∑ ..;
CBBAABA M121
M81
M241
68754V −++=∴ .
0M241
M81
M121
M121
M81
M241
68754 EDDECDCBBAAB =−−+−++.
⟩⟨=+−−+−+ 505112MM3M2M2M3M EDDECDCBBAAB .............
A1.5 T.
/m.
B
MAB
MCB
VA
HA
HC
C
VC
12V15HMM0M EEEDCDC ×=×++=∑ ;
E
D
MED
MCD VC
VE
HE
HC C
Slope-Deflection Method 47
6) แทนคาจากสมการ Slope-Deflection ลงในสมการในขนตอนท 5 ได
7) แกสมการ (6) ถง (10) จะได
⟩⟨−=Δ−Δ−θ+θ 638609EI3EI90EI10EI46 21CB .....................................
⟩⟨−=θ+θ+θ 73120EIEI4EI DCB .........................................................
⟩⟨=Δ−Δ−θ+θ 80EI90EI3EI46EI10 21DC .............................................
⟩⟨−=Δ−Δ−θ+θ 9250EI20EI20EIEI 21DB ............................................
⟩⟨−=Δ+Δ−θ−θ 1016120EI390EI390EIEI 21DB .....................................
..
RadEI3289
B =θ
..
mEI5612
1 =Δ
..
RadEI
8655C
−=θ .
.Rad
EI8113
D =θ
..
mEI1010
2 =Δ
Slope-Deflection Method 48
8) แทนคาทไดในขนตอนท 7 ลงในสมการ Slope-Deflection (ขนตอนท 4) จะไดMAB = -69.99 T.-m. MBA = -27.12 T.-m. MBC = 27.12 T.-m. MCB = 11.04 T.-m. MCD = -11.04 T.-m. MDC = 15.06 T.-m. MDE = -15.06 T.-m. MED = -37.82 T.-m. ตอบ
Slope-Deflection Method 49
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. มมหมนทจด B และ C 2. การเคลอนทแนวดงทจด B และ3. เขยน BMD ของโครงสรางดานลาง (กาหนดให EI เปนคาคงท)
A B
C D
9 m.2I
100 kN./m.
4 m.
6 m.
2I I
Slope-Deflection Method 50
1) โครงสรางนม Sidesway เพยงแบบเดยวคอมการเคลอนทแนวดง
- มการเคลอนททางขวางสมพทธในชนสวน AB และ CD ΔAB = -ΔCD = -vB
- ไมมการเคลอนททางขวางสมพทธในชนสวน BC ดงนน ΔBC = 0
2) มการเคลอนทแบบหมนได 2 รปแบบ คอ
- การหมนทจด B (θB) และ- การหมนทจด C (θC)
A B
C D
9 m.2I
100 kN./m.
4 m.
6 m.
2I I
-ΔAB
-ΔCD
A B
C D
9 m.2I
100 kN./m.
4 m.
6 m.
2I I
θB
θC
Slope-Deflection Method 51
3) คานวณหาคา Fixed End Moments
4) เขยนสมการ Slope-Deflection (มจานวน 6 สมการ) ได
ทงนทราบวา θA และ θD = 0
D
100 kg./m.C
MCDF MDC
F
9 m.
.. mkg67512
910012WL
M22
FCD −−=
×−=
−=
.. mkg67512WL
M2
FDC −==
.. mkg0MMMMและ FCB
FBC
FBA
FAB −====
0EIv3330EI6670EI3331M BBAAB ++θ+θ= ...
0EIv3330EI3331EI6770M BBABA ++θ+θ= ...
0EIv0000EI0001EI002M BCBBC ++θ+θ= ...
0EIv0000EI0002EI001M BCBCB ++θ+θ= ...
675EIv0740EI2220EI4440M BDCCD −−θ+θ= ...
675EIv0740EI4440EI2220M BDCCD +−θ+θ= ...
Slope-Deflection Method 52
5) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปรของการเคลอนท (3 สมการ)
ได MBA+ MBC= 0 ได MCB + MCD = 0
พจารณาสมดลในแนวดงทงโครงสรางได
FBD.ทจด C
CMCB
MCD
B
D
FBD.ทจด BA
MCBMBA
C
B
A B
C D
9 m.2I
100 kN./m.
4 m.
6 m.
2I ICDDCCDABBAAB LMMLMM /)(/)( +++−
0L1002L100 CDCD =−+ )/(
Slope-Deflection Method 53
6) แทนคาจากขนตอนท 4 ลงในสมการขนตอนท 5 ได
7) แกสมการ (1) , (2) และ (3) ไดคา
ตอบ 1,2
⟩⟨=++θ+θ 100EIv3330EI0001EI3333 BCB .................................
⟩⟨=−−θ+θ 20675EIv0740EI4442EI0001 BCB ..............................
⟩⟨=−−θ+θ− 30450EIv1280EI0740EI3330 BCB ...........................
..
RadEI
1519B =θ
..,
mEI
49334vB
−=
..
RadEI
785C
−=θ
Slope-Deflection Method 54
8) แทนคาทไดในขนตอนท 7 ลงในสมการ Slope-Deflection ในขนตอนท 4 เพอหาคาโมเมนตทปลายชนสวนไดMAB = -1,298.4 kN.-m. MBA = -952.4 kN.-m. MBC = 952.4 kN.-m.MCB = 347.7 kN.-m. MCD = -347.7 kN.-m. MDC = 1,021.4 kN.-m.
9) นาคาทไดมาเขยนแผนภาพโมเมนตดดได
ตอบ 3-1,298.4
-1,021.4
-347.7-347.7 952.4
952.4
356
BMD.(kN.-m.)
A B
C D
Slope-Deflection Method 55
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. มมหมนทจด C และ D 2. โมเมนตดดทจด C และ D และ3. แรงแนวดงทฐาน D (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)
A BC D
8 m.
60 kN.
4 m.
6 m. 6 m.E
Slope-Deflection Method 56
1) หาคา Fixed End Moments
.. mkN0MMMM FCE
FEC
FDC
FCD −====
.. mkN908
12608PL
MFAC −−=
×−=−=
MCAFMAC
FA B
C D
8 m.
60 kN.
4 m.
6 m. 6 m.E
60 kNA
12 m.C
MACF MCA
FB.. mkN90
8PL
MFCA −==
Slope-Deflection Method 57
2) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection นอกจากนนคาการเคลอนทสมพทธ (Δ= 0) เนองจากมคายนทางดานขาง จงได
มตวแปร 2 ตว คอ θC และ θD
90EI1670EI3330ML
32LEI2
M CAF
ACCAAC −θ+θ=+Δ
−θ+θ= ..)(
90EI3330EI1670ML
32LEI2
M CAF
CACACA +θ+θ=+Δ
−θ+θ= ..)(
DCF
CDDCCD EI250EI50ML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ= ..)(
DCF
DCCBDC EI50EI250ML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ= ..)(
ECF
CEECCE EI50EIML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ= .)(
ECF
ECECEC EIEI50ML
32LEI2
M θ+θ=+Δ
−θ+θ= .)(
Slope-Deflection Method 58
3) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (2 สมการ) ทจด B และจด C
ได MCA+ MCD+ MCE= 0 ได MDC = 0
4) แทนคาจากขนตอนท 2 ลงในขนตอนท 3 ไดสมการ
FBD.ทจด D
DMDC
FBD.ทจด C
MCA MCDC
MCE
⟩⟨−=θ+θ 190EI250EI8331 DC ................................................
⟩⟨=θ+θ 20EI50EI250 DC ......................................................
Slope-Deflection Method 59
5) แกสมการท (1) และ (2) ในขนตอนท 4 ไดคา
ตอบ 1
6) แทนคาการเคลอนทในสมการ Slope-Deflection ไดคาโมเมนตดดMAC = -98.8 kN.-m. MDC = 0 kN.-m. MCA = 72.4 kN.-m. MCE = -52.7 kN.-m. MCD = -19.8 kN.-m. MEC = -26.3 kN.-m. ตอบ 2
7) หาคาแรงแนวดงทฐาน D ได
ตอบ 3
..
RadEI
752C
−=θ .
.Rad
EI326
D =θ
CDYC M8D0M =⋅→=∑
.. kN472Dดงนน Y −=FBD.ของชนสวน CD
DMCD CVCD
NCDDY
DX
Slope-Deflection Method 60
EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. มมหมนทจด B 2. การเคลอนทในแนวดงทจด B และ3. โมเมนตดดทจด A (กาหนดให EI เปนคาคงท)
AB C
4 m.
10 kN./m.
3I
6 m.
I
Slope-Deflection Method 61
1) โครงสรางนม Sidesway เพยงแบบเดยวคอมการเคลอนทแนวดง
- มการเคลอนททางขวางสมพทธในชนสวน AB และ CD ΔAB = Δ และ ΔBC = -Δ
2) มการเคลอนทแบบหมนได 1 รปแบบคอ
- การหมนทจด B (θB)
A B C
4 m.
10 kN./m.
3I
6 m.
I
A B C
4 m.
10 kN./m.
3I
6 m.
I
Slope-Deflection Method 62
3) คานวณหาคา Fixed End Moments
4) เขยนสมการ Slope-Deflection (มจานวน 4 สมการ) ได
B
10 kN./m.A
MABF MBC
F
6 m.
.. mkN3012
61012WL
M22
FAB −−=
×−=
−=
.. mkN3012WL
M2
FBA −==
.. mkN0MMและ FCB
FBC −==
30EI50EIML32LEI2M BFABABABBAABABAB −Δ−θ=+Δ−θ+θ= .)/(/
30EI50EI2ML32LEI2M BFBAABABBAABABBA +Δ−θ=+Δ−θ+θ= .)/(/
0EI3750EIML32LEI2M BFBCBCBCCBBCBCBC +Δ+θ=+Δ−θ+θ= .)/(/
0EI3750EI50ML32LEI2M BFCBBCBCCBBCBCCB +Δ+θ=+Δ−θ+θ= ..)/(/
Slope-Deflection Method 63
5) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปรของการเคลอนท (2 สมการ)
ได MBA+ MBC= 0 ได VAB - VCB = (10)(6)
6) แทนคาจากขนตอนท 4 ลงในสมการขนตอนท 5 ได
⟩⟨−=Δ−θ 130EI1250EI3 B ........................................................
FBD.ทจด BA
MBCMBA
CBFBD.ทงโครงสราง
AVCBVAB
CB
⟩⟨=Δ+θ− 230EI3540EI1250 B ..................................................
BCCBBCCBABBAABAB LMMVL3610MMVโดยท /)(;/)( +−=××−+−=
Slope-Deflection Method 64
7) แกสมการ (1) และ (2) ไดคา
ตอบ 1,2
8) แทนคาทไดในขนตอนท 7 ลงในสมการ Slope-Deflection (ขนตอนท 3) ไดMAB = -77.8 kN-m. ตอบ 3
..
RadEI
66B
−=θ .
.m
EI482
=Δ