Transcript
Page 1: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 1

บทท 4 Slope-Deflection Method

• วธศกษาทผานๆมาจะใชแรง (แรงทฐาน หรอ แรงภายในชนสวน) เปนตวไมทราบคา หรอเรยกวา Force Method

• สวนวธ Slope-Deflection นจะใชการเคลอนทของโครงสรางเปนตวไมทราบคา หรอเรยกวา Displacement Method

Slope-Deflection Method 2

วธ Slope-Deflection ใชวเคราะหคาน (Beam) และโครงขอแขง (Frame)ไดทกชนดแตในชนนจะศกษาแตคานและโครงขอแขงทประกอบมาจากชนสวน Prismatic

คานและโครงขอแขงประกอบมาจากชนสวน Prismatic

คานและโครงขอแขงประกอบมาจากชนสวน Non-Prismatic

Page 2: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 3

4.1 สมการทใชในวธ Slope-DeflectionSlope-Deflection Equations แสดงความสมพนธระหวางโมเมนตทปลายแตละ

ชนสวน และ End Distortion ของชนสวนนนๆ + Load ในชวงของชนสวน

Mab = f (θa , θb , Δ , Load)Mba = g (θa , θb , Δ , Load)

รปนแสดงทศทางทเปน (+)- โมเมนตทปลายชนสวน (Mab , Mbc) ตามเขม - มมหมน ( θa , θb ) ตามเขม- การเคลอนท (Δ) ตามเขม

Δ

Mab

Mba

θaθb

a bLoad

Slope-Deflection Method 4

โมเมนต Mab และ Mba เปนผลมาจาก 4 เหตการณ คอ• ผลของ θa เพยงอยางเดยว

• ผลของ θb เพยงอยางเดยว

• ผลของ Δ เพยงอยางเดยว

• ผลของ Load เพยงอยางเดยว หาไดจากตารางของ Fixed-End Moments ทวๆ ไป

LEI2

ML

EI4M a

baa

abθ

=′θ

=′ .......

LEI4

ML

EI2M b

bab

abθ

=″θ

=″ .......

2ba2ab LEI6

MLEI6

MΔ−

=Δ−

= '''''' .......

Mab’

θa

a b Mba’

θb = 0 , Δ = 0

Mab’’ θba b Mba

’’

θa = 0 , Δ = 0

ΔMab

’’’ a b

Mba’’’θa = 0 , θb = 0

MabF a b Mba

FLoad

θa = 0 , θb = 0 Δ = 0

Page 3: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 5

จาก

จดใหอยในรปอยางงายไดเปนสตรทใชในวธ Slope-Deflection คอ

Fba2

baFbababababa

Fab2

baFababababab

MLEI6

LEI4

LEI2

MMMMM

MLEI6

LEI2

LEI4

MMMMM

+Δ−

−θ

=++″+′=

+Δ−

−θ

=++″+′=

'''

'''

Fbababa

Fabbaab

ML

32LEI2

M

ML

32LEI2

M

−θ+θ=

−θ+θ=

)(

)(

Slope-Deflection Method 6

ตวอยางการหา Moment ทเกดในกรณท 1 (ผลของ θa เพยงอยางเดยว)

จากรปดานซายเปรยบเสมอน- ปลาย a เปน Hinge - ปลาย b เปน Fixed EndใชวธConjugate Beamเพอหา Rotationท a (θa)ใช Condition ทวา1) Moment ใน Conjugate Beam ท a = 0

การเคลอนทของคานจรง ท a = 02) Moment ใน Conjugate Beam ท b = 0

การเคลอนทของคานจรง ท b = 0

baMab

θa Mba’

θa

Mab’

EI Mba’

EI

Elastic Load on Conjugate Beam

Page 4: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 7

แทนคา (1) ใน (2) จะได

...สวนโมเมนตในกรณอนๆ กสามารถหาไดโดยวธเดยวกนน...

⟩⟨=×θ−××′

⋅−××′

=∑

=××′

⋅−××′

=∑

20L3L

LEI

M21

3L2

LEI

M21

0M

03L2

LEI

M21

3L

LEI

M21

0M

abaab

b

baab

a

..........)()(

;

)()(

;

⟩⟨′=′⇒ 1M2M baab .............

.......L

EI2Mและ

LEI4

M aba

aab

θ=′

θ=′

Slope-Deflection Method 8

Fixed-End MomentsP

L

L/28

PL8

PL WL12

WL2

12WL2

W

L

a

)( 222

2

a3aL8L6L12

Wa+− )( a3L4

L12Wa

2

3

P

L

a2

2

LPab b

2

2

LbPa

ML

a)( a2b

LMb

2 −b

)( ab2LMa

2 −

WL20

WL2

30WL2

W

L96WL5 2

96WL5 2

L/2

1

3

5

2

4

6

7

Page 5: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 9

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาแรงทฐานรองรบของคานตอเนอง ABCD ดงแสดงในรป

EI EI/2A800 kg.

4 m.

B C D

300 kg./m.

2 m. 2 m. 1 m.

Slope-Deflection Method 10

1) หา Fixed End Moments

.. mkg40012

430012WL

M22

FAB −−=

×−=

−=

.. mkg8008

480012

43008

PL12WL

M22

FBC −−=

×−

×−=−

−=

EI EI/2A

800 kg.

4 m.

B C DW=300 kg./m.

2 m. 2 m. 1 m.

MABF MBA

F MBCF MCB

F

300 kg./m.A4 m.

BMAB

F MBAF

.. mkg40012WL

M2

FBA −==

300 kg./m.B CMBC

F MCBF800 kg.

2 m. 2 m... mkg800

8PL

12WL

M2

FCB −=+=

Page 6: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 11

2) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection นอกจากนนคาการเคลอนทสมพทธ (Δ) ของทกชวงยง = 0 จงได

มตวแปร 2 ตว คอ θB และ θC

4002EI

ML

32LEI2

M BF

ABBAAB −θ=+Δ

−θ+θ= )(

400EIML

32LEI2

M BF

BABABA +θ=+Δ

−θ+θ= )(

80024EI

ML

32LEI2

M CBF

BCCBBC −θ+θ=+Δ

−θ+θ= )()(

80024EI

ML

32LEI2

M CBF

CBCBCB +θ+θ=+Δ

−θ+θ= )()(

Slope-Deflection Method 12

3) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (2 สมการ)

ได MBA+ MBC= 0 ได MCB= 150 kg.-m.

4) แทนคาทไดในขนตอนท 2 ลงในสมการขนตอนท 3 ได

BMBA MBC

FBD.ทจด B

A C CMCB 150 kg.-m.

FBD.ทจด C

B D

⟩⟨=−θ+θ++θ⇒=+ 1080024EI

400EI0MM CBBBCBA ..........])([][...

⟩⟨=+θ+θ⇒= 215080024EI

150M CBCB .................................])([...

Page 7: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 13

แกสมการ (2) ได

แกสมการ (1) ได

แกสมการ (3) และ (4) จะได

และ

⟩⟨−

=θ+θ 3EI6002

2 CB ...................................................,

⟩⟨=θ+θ 4EI6001

6 CB .......................................................,

.,

RadEI11

8005B =θ .

,Rad

EI1120017

C−

Slope-Deflection Method 14

5) หาโมเมนตดดทปลายชนสวนไดจากสมการในขนตอนท 2

..,,

mkg115001

400EI11

80052EI

4002EI

M BAB −−

=−×=−θ=

..,,

mkg1120010

400EI11

8005EI400EIM BBA −=+×=+θ=

800EI1120017

EI118005

24EI

80024EI

M CBBC −−×=−θ+θ= ),,

()(

..,

mkg11

20010−

−=

800EI1120017

2EI11

80054EI

80024EI

M CBCB +×−=+θ+θ= ),,

()(

.. mkg150 −=

Page 8: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 15

6) หาแรงทฐาน FBD. ของแตละชนสวน

จะได MA = 1,500/11 kg.-m. RA = 4,425/11 kg.RB = 43,825/22 kg. RC = 24,325/22 kg. ตอบ

300 kg./m.1,500/11 10,200/11

4,425/11 8,775/11

B8,775/11 26,275/22

300 kg./m.10,200/11 150

26,275/22 17,725/22

800 kg150

300A

1,500/11

RA RB

C17,725/22 300

RC

Slope-Deflection Method 16

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. แรงทฐานรองรบ และ 2. เขยน BMD. ของโครงขอแขง ABCDดงแสดงในรป (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

A

100 kg. B C D300 kg./m.

2 m. 2 m.

2 m.

50 kg.-m.

Page 9: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 17

1) หาคา Fixed End Moments

,0MM FBA

FAB == 0MM F

CBFBC ==

.. mkg10012

230012WL

M22

FCD −−=

×−=

−=

.. mkg10012

230012WL

M22

FDC −=

×==

300 kg./m.C2 m.

DMCD

F MDCF

A

100 kg. B C DW

2 m. 2 m.

2 m.

50 kg.-m. MCDF MDC

F

W = 300 kg./m.

Slope-Deflection Method 18

2) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection นอกจากนนคาการเคลอนทสมพทธ (Δ= 0) เนองจากมคายนทางดานขาง จงได

มตวแปร 2 ตว คอ θB และ θC

BF

ABBAAB EIML

32LEI2

M θ=+Δ

−θ+θ= )(

BF

BABABA EI2ML

32LEI2

M θ=+Δ

−θ+θ= )(

)()( CBF

BCCBBC 2EIML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ=

)()( CBF

BCCBCB 2EIML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ=

100EI2ML

32LEI2

M CF

CDDCCD −θ=+Δ

−θ+θ= )(

100EIML

32LEI2

M CF

CDDCDC +θ=+Δ

−θ+θ= )(

Page 10: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 19

3) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (2 สมการ) ทจด B และจด C

ได MBA+ MBC= 50 ได MCB + MCD = 0

CMCB

FBD.ทจด C

B DMCD

BMBAMBC

FBD.ทจด B

A

C100 kg.50 kg.-m.

Slope-Deflection Method 20

4) แทนคาทไดในขนตอนท 2 ลงในสมการขนตอนท 3 ได

แกสมการ (1) และ (2) ได

และ.RadEI3

20B =θ .Rad

EI370

C =θ

⟩⟨=θ+θ+θ⇒=+ 1502EIEI250MM CBBBCBA ....................)(...

⟩⟨=−θ+θ+θ⇒=+ 20100EI22EI0MM CCBCDCB ..............)(...

Page 11: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 21

5) หาโมเมนตดดทปลายชนสวนไดจากการแทนคา θB และ θC ลงในขนตอนท 2

../)/( mkg320EI320EIEIM BAB −=×=θ=

../)()( mkg3110EI3

70EI3

202EI2EIM CBBC −=+×=θ+θ=

../)/( mkg340EI320EI2EI2M BBA −=×=θ=

../)()( mkg3160EI3

702

EI320

EI2EIM CBCB −=×+=θ+θ=

../ mkg3160100EI3

70EI2100EI2M CCD −−=−×=−θ=

../ mkg3370100EI3

70EI2100EIM CDC −=+×=+θ=

Slope-Deflection Method 22

6) หาแรงทฐาน FBD. ของแตละชนสวน

สรปไดคา MA = 20/3 kg.-m. RA,x = 10 kg.RA,Y = 45 kg. RC = 310 kg.MD = 370/3 kg.-m. RA,x = 110 kg.RD,Y = 335 kg. ตอบ 1

A

20/345

10

1045 40/3

B 10100 kg.

50 kg.-m.

40/3

110/3110

45

45

110/3110

45 160/3110

45C

RC=310

11011045 265 300 kg./m.

160/3 370/3265110

335110 D

Page 12: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 23

7) เขยนแผนภาพโมเมนตดด (BMD.)ได

ตอบ 2

A

C DB

110/3

160/320/3

40/3

370/3

185/3

BMD(kg.-m.)

++

--

+-

Slope-Deflection Method 24

4.2 การใชวธ Slope-Deflection กบโครงสรางทมJoint Translation

โดยตวอยางทผานมาไมม Joint Translation

...คานตอเนองทไมมการทรดตวของฐานรองรบ...

...Frame ทมคายนทางดานขาง...

Δ=0 ทกตว

Δ=0 ทกตว

Page 13: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 25

Frame ท Symmetry (สมมาตร) และม Load ทสมมาตรมากระทา (ทาใหไมม Sway เกดขนเสมอนมคายนทางดานขาง)

Δ=0 ทกตว

Centerline

Centerline

Centerline

Slope-Deflection Method 26

ซงตอไปนจะศกษาโครงสรางทม Joint Translation

ถงแมวา Frame จะ Symmetry แต Load ทมากระทาไม Symmetry

...Frame ทวๆ ไป...

Δ

Δ

Δ

Δ1

Δ2

Δ

Page 14: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 27

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขงดานลาง (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

A

P B C

D

10 ft.

20 ft.

Slope-Deflection Method 28

1) สารวจดวาโครงสรางม Side Sway ไดกแบบ- ในทนม 1 แบบ คอ การเคลอนททางขาง Δ ทจด B และ C (1 DOF ของ Joint Translation)

2) หาคา Fixed End Moments

0MMและ0MM0MM FDC

FCD

FCB

FBC

FBA

FAB ====== ,

A

P B C

D10 ft.

20 ft.

Δ Δ

Page 15: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 29

3) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection จงได

มตวแปร 3 ตว คอ θB , θC และ Δ

)()( Δ−θ=+Δ

−θ+θ= 320200EI

ML

32LEI2

M BF

ABAB

BAAB

)()( Δ−θ=+Δ

−θ+θ= 3400200EI

ML

32LEI2

M BF

BAAB

BABA

)()( CBF

BCBC

CBBC 4080200EI

ML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ=

)()( CBF

CBBC

CBCB 8040200EI

ML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ=

)()( Δ−θ=+Δ

−θ+θ= 340200EI

ML

32LEI2

M CF

CDCD

DCCD

)()( Δ−θ=+Δ

−θ+θ= 320200EI

ML

32LEI2

M CF

DCCD

DCDC

Slope-Deflection Method 30

4) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (3 สมการ) ทจด B และจด C

ได MBA+ MBC= 0 ได MCB + MCD = 0ยงขาดอก 1 สมการ ใชสมดลของแรงในแนวราบของโครงสรางจะได

FBD.ทจด B

BMBA

MBC

A

CP

0P2

MM2

MM DCCDBAAB =++

++ )()(20MM BAAB /)( + 20MM DCCD /)( +

A

P B C

DMAB MDC

FBD.ทจด C

BMCD

MCB

D

C

Page 16: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 31

5) แทนคาทไดในขนตอนท 3 ลงในสมการขนตอนท 4 ได

⟩⟨−

=Δ−θ+θ

⟩⟨=Δ−θ+θ⟩⟨=Δ−θ+θ

6EI

P4001126060

5031204040340120

CB

CB

CB

.................................................,

...........................................................

...........................................................

⟩⟨=θ+θ+Δ−θ⇒=+ 104080200EI

340200EI

0MM CBBBCBA .......)()(...

⟩⟨=Δ−θ+θ+θ⇒=+ 20340200EI

8040200EI

0MM CCBCDCB .......)()(...

201

340200EI

320200EI

0P2

MM2

MMBB

DCCDBAAB ×Δ−θ+Δ−θ⇒=++

++

)]()([)()(

⟩⟨=+×Δ−θ+Δ−θ+ 30P201

320200EI

340200EI

CC ...................)]()([

Slope-Deflection Method 32

แกสมการ (4) , (5) และ (6) ได

6) หาคาโมเมนตทปลายจากสมการในขนตอนท 3

ตอบNote ถาใชคณสมบตปฏสมมาตร (Anti-Symmetry) ชวยจะลด Unknown ลงได 1 ตว

(เหมอนในหนงสอของ Yuan-Yu Hsieh)

.RadEI13P100

CB =θ=θ .,

ftEI39

P0016=Δ

13P70

EI39P0016

3EI13P100

20200EI

MAB−

=×−×= ),

(

13P60

EI39P0016

3EI13P100

40200EI

MBA−

=×−×= ),

(

13P60

EI13P100

40EI13P100

80200EI

MBC =×+×= )(

ABDCBACDBCCB MMMMMM === ;;

Page 17: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 33

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขงดานลาง (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

A

300 kg.

B C

D

2.5 m.

4 m.

600 kg./m.

1.5 m.

1.5 m.

1 m.

Slope-Deflection Method 34

1) โครงสรางนม Sidesway เพยงแบบเดยวคอมการเคลอนททางดานขางทจด B และ C ดงรป

2) หาคา Fixed End MomentsA

300 kg.B C

D2.5 m.

600 kg./m.

4 m.1.5 m.

1.5 m.1 m.

Δ Δ

A300 kg. B

MABF

MBAF

1.5 m.1.5 m.

C

600 kg./m.

BMBC

F MCBF

2.5 m.

....

mkg531212

5260012WL

M22

FBC −−=

×−=

−=

... mkg531212WL

M2

FCB −==

... mkg51128

33008PL

MFAB −−=

×−=

−=

... mkg51128

33008

PLMF

BA −=×

==

.. mkg0MMและ FDC

FCD −==

Page 18: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 35

3) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection ได

มตวแปร 4 ตว คอ θB , θC , θD และ Δ

51123EI2

ML

32LEI2

M BF

ABAB

BAAB .)()( −Δ−θ=+Δ

−θ+θ=

511223EI2

ML

32LEI2

M BF

BAAB

BABA .)()( +Δ−θ=+Δ

−θ+θ=

531225EI4

ML

32LEI2

M CBF

BCBC

CBBC .)()( −θ+θ=+Δ

−θ+θ=

531225EI4

ML

32LEI2

M CBF

CBBC

CBCB .)()( +θ+θ=+Δ

−θ+θ=

)()(4

32

2EI

ML

32LEI2

M DCF

CDCD

DCCDΔ

−θ+θ=+Δ

−θ+θ=

)()(4

32

2EI

ML

32LEI2

M DCF

DCCD

DCDCΔ

−θ+θ=+Δ

−θ+θ=

Slope-Deflection Method 36

4) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (4 สมการ) ทจด B , C และ D

ได MBA+ MBC= 0 ได MDC = 0 ได MCB + MCD = 0

ยงขาดอก 1 สมการ ใชสมดลของแรงในแนวราบของโครงสรางจะได

FBD.ทจด BBMBA

MBC

A

C

03004

MM3

450MM DCCDBAAB =++

+−+ )()(

351300MM BAAB /).( ×−+

4MM DCCD /)( +

MDC

FBD.ทจด D

300 kg.

MAB MDC

600 kg./m.

FBD.ทจด CB

MCD

MCB

D

C

Page 19: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 37

5) แทนคาทไดในขนตอนท 3 ลงในสมการขนตอนท 4 ได

⟩⟨=−θ+θ++Δ−θ 10531225EI4

511223EI2

CBB ...........)(.)(

⟩⟨=Δ

−θ+θ++θ+θ 204

32

2EI

531225EI4

DCCB ............)(.)(

31

450511223EI2

51123EI2

BB ×−+Δ−θ+−Δ−θ ].)(.)([

⟩⟨=+×Δ

−θ+θ+Δ

−θ+θ+ 3030041

43

22EI

43

22EI

DCDC .......)]()([

⟩⟨=Δ

−θ+θ 404

32

2EI

DC .........................................................)(

Slope-Deflection Method 38

แกสมการ (5) ถง (8) ได

⟩⟨=Δ−θ+θ 50003EI10EI12EI44 CB ...............................................,

⟩⟨−=θ+Δ−θ+θ 650012EI20EI15EI104EI32 DCB .............................,

⟩⟨−=θ+Δ−θ+θ 760021EI54EI91EI54EI96 DCB ...............................,

⟩⟨=θ+Δ−θ 80EI8EI3EI4 DC ...........................................

..

RadEI

8244B =θ

..

mEI

3572=Δ

..

RadEI

6170C

−=θ

.RadEI

300D =θ

Page 20: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 39

6) หาคาโมเมนตทปลายจากการแทนคา θB , θC , θD และ Δ ในสมการขนตอนท 3 ได

MAB = -330.9 kg.-m. MBA = 57.34 kg.-m. MBC = -57.34 kg.-m. MCB = 235.3 kg.-m. MCD = -235.3 kg.-m. MDC = 0 kg.-m. ตอบ

Slope-Deflection Method 40

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขงดานลาง (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

A

BC

D

1.5 T.

/m.5 m.

10 m.E

12 m. 12 m.

Page 21: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 41

1) Sidesway ขนกบ Δ1 และ Δ2 ดงรป

2) หาคา Fixed End Moments

A

BC

D

1.5 T.

/m.

5 m.

10 m.E

12 m. 12 m.

Δ1 Δ2

A1.5 T.

/m.

B

MABF

MBAF

10 m....

.mT512

121051

12WL

M22

FAB −−=

×−=

−=

... mT51212WL

M2

FBA −==

...sin.

mT12531213

13551

M2

FBC −−=×θ

×−=

B1.5 T.

/m.

MABF

MBAF

13 m.C

...sin.

mT12531213

13551

M2

FCB −=×θ

×=

Slope-Deflection Method 42

3) หา Rotation ของแตละชนสวนเมอมการเคลอนท Δ1 และ Δ2

Rotation ของชนสวน AB = Rotation ของชนสวน BC =

Rotation ของชนสวน CD = Rotation ของชนสวน DE =

101 /Δ

1013SIN21221 )( Δ−Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×θΔ−Δ

1013SIN22121 )( Δ−Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×θΔ−Δ

102 /Δ

A

BC

D

1.5 T.

/m.

5 m.

10 m.E

12 m. 12 m.

Δ1 Δ2

Δ1/10 Δ2/10

Page 22: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 43

4) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection ได

51210

35EI

ML

32LEI2

M 1B

FAB

ABBAAB .)()( −

Δ−θ=+

Δ−θ+θ=

51210

32

5EI

ML

32LEI2

M 1B

FBA

ABBABA .)()( +

Δ−θ=+

Δ−θ+θ=

125310

32

13EI2

ML

32LEI2

M 12CB

FBC

BCCBBC .]

)([)( −

Δ−Δ−θ+θ=+

Δ−θ+θ=

125310

32

13EI2

ML

32LEI2

M 12CB

FCB

BCCBCB .]

)([)( +

Δ−Δ−θ+θ=+

Δ−θ+θ=

])(

[)(10

32

13EI2

ML

32LEI2

M 21DC

FCD

CDDCCD

Δ−Δ−θ+θ=+

Δ−θ+θ=

])(

[)(10

32

13EI2

ML

32LEI2

M 21DC

FDC

CDDCDC

Δ−Δ−θ+θ=+

Δ−θ+θ=

Slope-Deflection Method 44

มตวแปร 5 ตว คอ θB , θC , θD , Δ1 และ Δ2

5) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (5 สมการ) - เมอพจารณาสมดลของโมเมนตทขอตอ B , C และ D จะได

][)(10

32

10EI2

ML

32LEI2

M 2ED

FDE

DEEDDE

Δ−θ+θ=+

Δ−θ+θ=

][)(10

32

10EI2

ML

32LEI2

M 2ED

FED

DEEDED

Δ−θ+θ=+

Δ−θ+θ=

⟩⟨=+=∑ 10MM0M BCBAB ..........................................................;

⟩⟨=+=∑ 20MM0M CDCBC ..........................................................;

⟩⟨=+=∑ 30MM0M DEDCD ..........................................................;

Page 23: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 45

พจารณาสมดลแนวราบทงโครงสรางจะไดแทนคา HA และ HE จะได

จดรปใหมได

E

D

MED

MDE

VD

VE

HE

HD010HMM0M EEDDED =×++=∑ ;

)( EDDEE MM101

H +−=∴

1551HH0F EAX ×=+=∑ .;

A1.5 T.

/m.

B

MAB

MBAVB

VA

HA

HB 05105110HMM0M ABAABB =××−×++=∑ .;

)(. BAABA MM101

57H +−=∴

522MM101

MM101

57 EDDEBAAB .)()(. =+−+−

⟩⟨−=+++ 4150MMMM EDDEBAAB ....................................

Slope-Deflection Method 46

พจารณาสมดลแนวดงทงโครงสรางจะไดแทนคา VA และ VE จะได

จดรปใหมได

EDDECDE M241

M81

M121

V −−=∴

0VV0F EAY =+=∑ ;

057155112V15HMM0M AACBABC =××−×+×++=∑ ..;

CBBAABA M121

M81

M241

68754V −++=∴ .

0M241

M81

M121

M121

M81

M241

68754 EDDECDCBBAAB =−−+−++.

⟩⟨=+−−+−+ 505112MM3M2M2M3M EDDECDCBBAAB .............

A1.5 T.

/m.

B

MAB

MCB

VA

HA

HC

C

VC

12V15HMM0M EEEDCDC ×=×++=∑ ;

E

D

MED

MCD VC

VE

HE

HC C

Page 24: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 47

6) แทนคาจากสมการ Slope-Deflection ลงในสมการในขนตอนท 5 ได

7) แกสมการ (6) ถง (10) จะได

⟩⟨−=Δ−Δ−θ+θ 638609EI3EI90EI10EI46 21CB .....................................

⟩⟨−=θ+θ+θ 73120EIEI4EI DCB .........................................................

⟩⟨=Δ−Δ−θ+θ 80EI90EI3EI46EI10 21DC .............................................

⟩⟨−=Δ−Δ−θ+θ 9250EI20EI20EIEI 21DB ............................................

⟩⟨−=Δ+Δ−θ−θ 1016120EI390EI390EIEI 21DB .....................................

..

RadEI3289

B =θ

..

mEI5612

1 =Δ

..

RadEI

8655C

−=θ .

.Rad

EI8113

D =θ

..

mEI1010

2 =Δ

Slope-Deflection Method 48

8) แทนคาทไดในขนตอนท 7 ลงในสมการ Slope-Deflection (ขนตอนท 4) จะไดMAB = -69.99 T.-m. MBA = -27.12 T.-m. MBC = 27.12 T.-m. MCB = 11.04 T.-m. MCD = -11.04 T.-m. MDC = 15.06 T.-m. MDE = -15.06 T.-m. MED = -37.82 T.-m. ตอบ

Page 25: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 49

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. มมหมนทจด B และ C 2. การเคลอนทแนวดงทจด B และ3. เขยน BMD ของโครงสรางดานลาง (กาหนดให EI เปนคาคงท)

A B

C D

9 m.2I

100 kN./m.

4 m.

6 m.

2I I

Slope-Deflection Method 50

1) โครงสรางนม Sidesway เพยงแบบเดยวคอมการเคลอนทแนวดง

- มการเคลอนททางขวางสมพทธในชนสวน AB และ CD ΔAB = -ΔCD = -vB

- ไมมการเคลอนททางขวางสมพทธในชนสวน BC ดงนน ΔBC = 0

2) มการเคลอนทแบบหมนได 2 รปแบบ คอ

- การหมนทจด B (θB) และ- การหมนทจด C (θC)

A B

C D

9 m.2I

100 kN./m.

4 m.

6 m.

2I I

-ΔAB

-ΔCD

A B

C D

9 m.2I

100 kN./m.

4 m.

6 m.

2I I

θB

θC

Page 26: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 51

3) คานวณหาคา Fixed End Moments

4) เขยนสมการ Slope-Deflection (มจานวน 6 สมการ) ได

ทงนทราบวา θA และ θD = 0

D

100 kg./m.C

MCDF MDC

F

9 m.

.. mkg67512

910012WL

M22

FCD −−=

×−=

−=

.. mkg67512WL

M2

FDC −==

.. mkg0MMMMและ FCB

FBC

FBA

FAB −====

0EIv3330EI6670EI3331M BBAAB ++θ+θ= ...

0EIv3330EI3331EI6770M BBABA ++θ+θ= ...

0EIv0000EI0001EI002M BCBBC ++θ+θ= ...

0EIv0000EI0002EI001M BCBCB ++θ+θ= ...

675EIv0740EI2220EI4440M BDCCD −−θ+θ= ...

675EIv0740EI4440EI2220M BDCCD +−θ+θ= ...

Slope-Deflection Method 52

5) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปรของการเคลอนท (3 สมการ)

ได MBA+ MBC= 0 ได MCB + MCD = 0

พจารณาสมดลในแนวดงทงโครงสรางได

FBD.ทจด C

CMCB

MCD

B

D

FBD.ทจด BA

MCBMBA

C

B

A B

C D

9 m.2I

100 kN./m.

4 m.

6 m.

2I ICDDCCDABBAAB LMMLMM /)(/)( +++−

0L1002L100 CDCD =−+ )/(

Page 27: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 53

6) แทนคาจากขนตอนท 4 ลงในสมการขนตอนท 5 ได

7) แกสมการ (1) , (2) และ (3) ไดคา

ตอบ 1,2

⟩⟨=++θ+θ 100EIv3330EI0001EI3333 BCB .................................

⟩⟨=−−θ+θ 20675EIv0740EI4442EI0001 BCB ..............................

⟩⟨=−−θ+θ− 30450EIv1280EI0740EI3330 BCB ...........................

..

RadEI

1519B =θ

..,

mEI

49334vB

−=

..

RadEI

785C

−=θ

Slope-Deflection Method 54

8) แทนคาทไดในขนตอนท 7 ลงในสมการ Slope-Deflection ในขนตอนท 4 เพอหาคาโมเมนตทปลายชนสวนไดMAB = -1,298.4 kN.-m. MBA = -952.4 kN.-m. MBC = 952.4 kN.-m.MCB = 347.7 kN.-m. MCD = -347.7 kN.-m. MDC = 1,021.4 kN.-m.

9) นาคาทไดมาเขยนแผนภาพโมเมนตดดได

ตอบ 3-1,298.4

-1,021.4

-347.7-347.7 952.4

952.4

356

BMD.(kN.-m.)

A B

C D

Page 28: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 55

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. มมหมนทจด C และ D 2. โมเมนตดดทจด C และ D และ3. แรงแนวดงทฐาน D (กาหนดใหมคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

A BC D

8 m.

60 kN.

4 m.

6 m. 6 m.E

Slope-Deflection Method 56

1) หาคา Fixed End Moments

.. mkN0MMMM FCE

FEC

FDC

FCD −====

.. mkN908

12608PL

MFAC −−=

×−=−=

MCAFMAC

FA B

C D

8 m.

60 kN.

4 m.

6 m. 6 m.E

60 kNA

12 m.C

MACF MCA

FB.. mkN90

8PL

MFCA −==

Page 29: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 57

2) แทนคา Fixed End Moments ลงในสมการ Slope-Deflection นอกจากนนคาการเคลอนทสมพทธ (Δ= 0) เนองจากมคายนทางดานขาง จงได

มตวแปร 2 ตว คอ θC และ θD

90EI1670EI3330ML

32LEI2

M CAF

ACCAAC −θ+θ=+Δ

−θ+θ= ..)(

90EI3330EI1670ML

32LEI2

M CAF

CACACA +θ+θ=+Δ

−θ+θ= ..)(

DCF

CDDCCD EI250EI50ML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ= ..)(

DCF

DCCBDC EI50EI250ML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ= ..)(

ECF

CEECCE EI50EIML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ= .)(

ECF

ECECEC EIEI50ML

32LEI2

M θ+θ=+Δ

−θ+θ= .)(

Slope-Deflection Method 58

3) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปร (2 สมการ) ทจด B และจด C

ได MCA+ MCD+ MCE= 0 ได MDC = 0

4) แทนคาจากขนตอนท 2 ลงในขนตอนท 3 ไดสมการ

FBD.ทจด D

DMDC

FBD.ทจด C

MCA MCDC

MCE

⟩⟨−=θ+θ 190EI250EI8331 DC ................................................

⟩⟨=θ+θ 20EI50EI250 DC ......................................................

Page 30: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 59

5) แกสมการท (1) และ (2) ในขนตอนท 4 ไดคา

ตอบ 1

6) แทนคาการเคลอนทในสมการ Slope-Deflection ไดคาโมเมนตดดMAC = -98.8 kN.-m. MDC = 0 kN.-m. MCA = 72.4 kN.-m. MCE = -52.7 kN.-m. MCD = -19.8 kN.-m. MEC = -26.3 kN.-m. ตอบ 2

7) หาคาแรงแนวดงทฐาน D ได

ตอบ 3

..

RadEI

752C

−=θ .

.Rad

EI326

D =θ

CDYC M8D0M =⋅→=∑

.. kN472Dดงนน Y −=FBD.ของชนสวน CD

DMCD CVCD

NCDDY

DX

Slope-Deflection Method 60

EX. จงใชวธ Slope-Deflection เพอคานวณหา1. มมหมนทจด B 2. การเคลอนทในแนวดงทจด B และ3. โมเมนตดดทจด A (กาหนดให EI เปนคาคงท)

AB C

4 m.

10 kN./m.

3I

6 m.

I

Page 31: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 61

1) โครงสรางนม Sidesway เพยงแบบเดยวคอมการเคลอนทแนวดง

- มการเคลอนททางขวางสมพทธในชนสวน AB และ CD ΔAB = Δ และ ΔBC = -Δ

2) มการเคลอนทแบบหมนได 1 รปแบบคอ

- การหมนทจด B (θB)

A B C

4 m.

10 kN./m.

3I

6 m.

I

A B C

4 m.

10 kN./m.

3I

6 m.

I

Slope-Deflection Method 62

3) คานวณหาคา Fixed End Moments

4) เขยนสมการ Slope-Deflection (มจานวน 4 สมการ) ได

B

10 kN./m.A

MABF MBC

F

6 m.

.. mkN3012

61012WL

M22

FAB −−=

×−=

−=

.. mkN3012WL

M2

FBA −==

.. mkN0MMและ FCB

FBC −==

30EI50EIML32LEI2M BFABABABBAABABAB −Δ−θ=+Δ−θ+θ= .)/(/

30EI50EI2ML32LEI2M BFBAABABBAABABBA +Δ−θ=+Δ−θ+θ= .)/(/

0EI3750EIML32LEI2M BFBCBCBCCBBCBCBC +Δ+θ=+Δ−θ+θ= .)/(/

0EI3750EI50ML32LEI2M BFCBBCBCCBBCBCCB +Δ+θ=+Δ−θ+θ= ..)/(/

Page 32: บทที่ 4 (Slope-Deflection) - Civil Engineeringcivil.in.th/cen321/CEN321-04T.pdfSlope-Deflection Method 3 4.1 สมการที่ใช ในวิธี Slope-Deflection

Slope-Deflection Method 63

5) สรางสมการสมดลใหเทากบจานวนตวแปรของการเคลอนท (2 สมการ)

ได MBA+ MBC= 0 ได VAB - VCB = (10)(6)

6) แทนคาจากขนตอนท 4 ลงในสมการขนตอนท 5 ได

⟩⟨−=Δ−θ 130EI1250EI3 B ........................................................

FBD.ทจด BA

MBCMBA

CBFBD.ทงโครงสราง

AVCBVAB

CB

⟩⟨=Δ+θ− 230EI3540EI1250 B ..................................................

BCCBBCCBABBAABAB LMMVL3610MMVโดยท /)(;/)( +−=××−+−=

Slope-Deflection Method 64

7) แกสมการ (1) และ (2) ไดคา

ตอบ 1,2

8) แทนคาทไดในขนตอนท 7 ลงในสมการ Slope-Deflection (ขนตอนท 3) ไดMAB = -77.8 kN-m. ตอบ 3

..

RadEI

66B

−=θ .

.m

EI482


Top Related