Download - Плоскость и прямая в пространстве
3
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Методические указания
Сыктывкар
2005
4
§ 1. Различные виды уравнений плоскости
В этом параграфе приводятся различные виды уравнений плоскости.
Читатель может самостоятельно вывести каждое уравнение, используя
схему приложения I.
A. Уравнение плоскости, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM
перпендикулярно вектору ),,( CBAn ( n называется нормальным
вектором плоскости или нормалью) имеет вид
0)()()( 000 zzCyyBxxA . (1)
B. Общее уравнение плоскости – это уравнение вида
0 DCzByAx , (2)
где DCBA ,,, – произвольные числа, причем CBA ,, одновременно не
равны нулю. Вектор ),,( CBAn – нормальный вектор плоскости.
C. Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид
1c
z
b
y
a
x . (3)
Значения cba ,, есть величины отрезков, отсекаемых плоскостью на ко-
ординатных осях, начиная от начала координат.
D. Нормальное уравнение плоскости
1,0 222 CBADCzByAx . (4)
Последнее условие означает, что нормаль плоскости имеет единичную
длину. Если известны направляющие косинусы нормального вектора к
плоскости (косинусы углов между нормалью и соответствующими осями
координат), то уравнение (4) может быть записано в виде
0coscoscos pzyx . (5)
Причем значение модуля параметра p равно расстоянию от плоскости
до начала координат.
E. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
),,( 0000 zyxM параллельно двум векторам ),,( 1111 p и ),,( 2222 p
5
0det
222
111
000
zzyyxx
. (6)
F. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
),,( 0000 zyxM , ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM
0det
020202
010101
000
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
. (7)
G. Уравнение касательной плоскости к графику функции .
Пусть ),,( 0000 zyxM фиксированная точка на графике функции ),( yxfz
(то есть ),( 000 yxfz ). Тогда уравнение касательной плоскости в точке
0M имеет вид
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx . (8)
Нормальный вектор касательной плоскости имеет вид
)1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx.
Если функция задана в неявном виде уравнением 0),,( zyxF , то урав-
нение касательной плоскости в точке ),,( 0000 zyxM имеет вид
0))(,,())(,,())(,,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx . (9)
Нормальный вектор касательной плоскости в этом случае имеет
координаты )),,(),,,(),,,(( 000000000 zyxFzyxFzyxF zyx .
§ 2. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плос-
кости
1. Угол между плоскостями. Если известны уравнения плоскостей
0: 11111 DzCyBxA и 0: 22222 DzCyBxA , то для того, что-
бы найти угол, под которым они пересекаются, достаточно найти угол
между их нормальными векторами ),,( 1111 CBAn и ),,( 2222 CBAn . Поэтому
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cosCBACBA
CCBBAA
. (10)
6
Второй угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями 1
и 2 , дополняет уже найденный угол до .
2. Условие параллельности двух плоскостей 1 и 2 эквивалентно
условию коллинеарности их нормальных векторов 1n , 2n и заключается
в пропорциональности их координат, то есть
.2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
Условие перпендикулярности плоскостей выражается равенством ну-
лю скалярного произведения нормальных векторов 1n и 2n , то есть в
координатной записи
0212121 CCBBAA .
3. Расстояние от точки ),,( 0000 zyxM до плоскости 0: DCzByAx
выражается формулой
222
000
CBA
DCzByAxd
. (11)
§ 3. Прямая линия в пространстве
В этом параграфе мы приведем различные виды уравнений прямой в
пространстве. Предлагаем читателю самостоятельно вывести эти
уравнения, используя при этом блок-схему приложения 2.
A. Канонические уравнения прямой. Это уравнения прямой, про-
ходящей через данную точку ),,( 0000 zyxM параллельно заданному
вектору ),,( p называемому направляющим вектором прямой. Они
имеют вид
000 zzyyxx
. (12)
B. Уравнения прямой, проходящей через две точки ),,( 0000 zyxM
и ),,( 1111 zyxM . Эти уравнения получаются из уравнений (12), если
вместо координат направляющего вектора ),,( p подставить коорди-
наты вектора 10MM :
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
. (13)
7
C. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Если
),,( p – направляющий вектор прямой l и lzyxM ),,( 0000 , то
уравнения
tzz
Rttyy
txx
0
0
0
, (14)
называются параметрическими уравнениями прямой l . Если представ-
лять параметр t как время, то уравнения (14) определяют закон дви-
жения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью
222 v .
D. Прямая линия может быть задана как пересечение двух
плоскостей. Тогда, если 0: 11111 DzCyBxA , а yBxA 222 :
022 DzC , и 21 l , то уравнения прямой l могут быть напи-
саны в виде системы двух линейных уравнений
.0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA (15)
На практике часто встает задача перехода от уравнений вида
(15) к каноническим уравнениям (12) и обратно. В первом случае дос-
таточно найти решение ),,( 0000 zyxM системы (15) и вычислить вектор
),,(),,( 212211121 CBACBAnnp , который будет являться направляю-
щим вектором прямой, заданной уравнениями (15). Обратный переход
осуществляется записью уравнений (12) в виде системы. Например,
.00
00
zzxx
yyxx
§ 4 Взаимное расположение прямой и плоскости
1. Угол между прямой и плоскостью. Пусть дана плоскость
0: DCzByAx и прямая
000:zzyyxx
l
.
Под углом между прямой и плоскостью понимают меньший из углов
между прямой и ее проекцией на плоскость. Этот угол заключается в
пределах от 0 до 2/ .
8
Пусть – угол между пря-
мой l и плоскостью , тогда
угол между нормалью ),,( CBAn
к плоскости и направляющим
вектором ),,( p прямой l ра-
вен
2 (см. рис.1). Так как
0sin , то
pn
pn
2cossin .
Таким образом, получаем сле-
дующую формулу для вычисле-
ния угла между прямой и плос-
костью
.sin222222
CBA
CBA (16)
Если прямая параллельна плоскости , то векторы n и p будут
перпендикулярны, т.е. 0 pn или
0 CBA .
Если прямая l перпендикулярна плоскости , то векторы n и
p будут коллинеарны и, следовательно,
CBA .
2. Пересечение прямой и плоскости. Найдем точку пересече-
ния прямой
000:zzyyxx
l
с плоскостью 0: DCzByAx .
Прежде всего перепишем уравнения прямой в параметрической
форме
tzztyytxx 000 ,,
и найдем значение параметра t , соответствующее точке пересече-
ния прямой l и плоскости . Так как координаты точки пересече-
ния должны удовлетворять уравнению плоскости , то
или .0)(
0)()()(
000
000
CBAtDCzByAx
DtzCtyBtxA
Рис. 1
φ
n p
ℓ
9
Если 0 CBA (т.е. прямая l не параллельна плоскости ),
то из последнего уравнения легко выразить искомые значения пара-
метра 0tt :
CBA
DCzByAxt
000
0.
Подставляя значение 0t в параметрические уравнения прямой l ,
находим координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Отметим, что если прямая принадлежит плоскости, то решением
задачи будет являться любая точка прямой. Если же прямая l па-
раллельна плоскости , то решение задачи не существует.
3. Уравнения прямой, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM
перпендикулярно плоскости 0: DCzByAx . Очевидно, что в
качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять век-
тор нормали ),,( CBAn к плоскости . Используя (12), получаем
C
zz
B
yy
A
xxl 000:
.
4. Уравнение плоскости, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM
перпендикулярно прямой
111:zzyyxx
l
, имеет вид
0)()()( 000 zzyyxx .
Здесь в качестве нормального вектора n искомой плоскости при-
нят направляющий вектор прямой ),,( p и использовано уравнение
плоскости ( I ) .
5. Уравнение плоскости, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM
параллельно прямым:
1
1
1
1
1
11 :
zzyyxxl
и
2
2
2
2
2
22 :
zzyyxxl
.
Пусть точка ),,( zyxM принадлежит искомой плоскости . Тогда три
вектора ),,( 0000 zzyyxxMM , ),,( 1111 p , ),,( 2222 p компла-
нарны, следовательно,
.0det
222
111
000
zzyyxx
Последнее равенство задает уравнение искомой плоскости .
Другие задачи, связанные с взаимным расположением прямой и
плоскости будут также рассмотрены в следующем параграфе.
10
§ 5. Решение задач на прямую и плоскость в пространстве
Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
)0,2,1(1M и )1,1,2(2M параллельно вектору )1,0,3(a .
Решение. I способ. Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид
0 DCzByAx . Так как ||a , то нормальный вектор ),,( CBAn плос-
кости перпендикулярен вектору a . Следовательно, 0na или в коор-
динатной записи 03 CA .
Поскольку 1M и 2M , то 02 DBA и 02 DCBA .
Таким образом, коэффициенты DCBA ,,, удовлетворяют системе уравнений
.02
02
03
DCBA
DBA
CA
Выразим из этой системы неизвестные CBA ,, через переменную D :
DCD
BD
A ,3
2,
3.
В частности, если 3D , то 3,2,1 CBA и искомое уравнение
имеет вид .0332 zyx
II способ. Возьмем в качестве нормального вектора n искомой плос-
кости вектор aMMn 21 . Тогда
kji
kji
n 32
103
111
и в силу (1) искомое уравнение имеет вид
0)0(3)2(2)1( zyx или .0332 zyx
Задача 2. Определить угол между плоскостями 0322 zyx и
.08326 zyx
Решение. Пользуясь формулой (10), находим
.21
4
9436414
321262
||||cos
21
21
nn
nn
Отсюда 21
4arccos .
Задача 3. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости
01122 zyx , если известно, что расстояние между ними равно 5, а
искомая плоскость и точка )4,2,1(1M расположены по разные сторону
от заданной плоскости.
11
Решение. Так как плоскости параллельны, то можно считать, что их
нормальные векторы совпадают, и уравнение искомой плоскости имеет вид
022 Dzyx .
Найдем значение коэффициента .D Для этого возьмем произвольную
точку, принадлежащую заданной плоскости, например, ).11,0,0(2 M Так
как расстояние между плоскостями равно 5, то для точки 2M , используя
формулу (11), можно записать соотношение
.3
|11|
144
|1110202|5
DD
Откуда 4D или 26D . Точка )4,2,1(1M и принадлежащая иско-
мой плоскости точка ),0,0(3 DM лежат по разные стороны плоскости
01122 zyx . Поэтому при подстановке координат точек 1M и 3M
в левую часть уравнения заданной плоскости 01122 zyx мы долж-
ны получить значения, разные по знаку, то есть
0)110202)(1142212( D или 0)11(9 D .
Отсюда находим, что 11D . Следовательно, 26D . Искомое
уравнение плоскости имеет вид: .02622 zyx
Задача 4. Прямая l задана уравнениями
.022
0
yx
zyx
Написать канонические уравнения этой прямой.
Решение. Прямая l задана как пересечение двух плоскостей с нор-
мальными векторами )1,1,1(1 n и )0,1,2(2 n соответственно. В качестве
направляющего вектора прямой l возьмем вектор .21 nnp Итак,
.32
012
111 kji
kji
p
Точка )2,2,0(M лежит в каждой из заданных плоскостей (еѐ коор-
дината удовлетворяют уравнениям системы). Канонические уравнения пря-
мой l :
.3
2
2
2
1
zyx
Задача 5. Написать уравнения общего перпендикуляра l к прямым
1
2
0
1
2:1
zyxl и
1
2
2
1
1
1:2
zyxl .
12
Решение. I способ. В качестве направляющего вектора искомой прямой
l возьмем вектор 21 ppn , где 1p и 2p направляющие векторы
прямых 1l и 2l . Действительно, 1ln и 2ln , а, следовательно,
nl || (см.рис. 2) . Найдем координа-
ты вектора n :
).4,1,2()1,2,1()1,0,2( n
Пусть 11111 ),,( llzyxM и
.),,( 22222 llzyxM Тогда
1
2
0
1
2
111
zyx и
1
2
2
1
1
1 222
zyx
Далее, .21 lMM Следователь-
но, векторы 21MM и n коллинеар-
ны и .412
121212
zzyyxx
Мы получили систему уравнений относительно неизвестных координат
точек 1M и 2M :
044,1,1
,022,12,42
1212221
12122211
zzyyxzy
yyxxyxzx
Решив систему (например, методом Гаусса), найдем точки
7
11,1,7
61 M и
75,
711,
72
2M . Уравнения искомой прямой l имеют
вид
412
75
711
72
zyx
II способ. Построим плоскость , содержащую прямую 1l и парал-
лельную прямой 2l . Точка 11 )2,1,0( lN и следовательно, 1N .
Вектор 21 ppn будет нормальным вектором для . Итак,
0)2(4)1(2: zyx или .0742 zyx
Прямую l будем искать как пересечение двух плоскостей 1 и 2 ,
где 1 содержит 1l и перпендикулярна плоскости , а 2 содержит 2l и
также перпендикулярна плоскости (см. рис. 3). Точка 11 N и вектор
)2,10,1(11 pnn является нормальным вектором к плоскости 1 .
Следовательно, 0)2(2)1(10:1 zyx или 014210 zyx
Рис. 2
ℓ1
ℓ2
1p
2p
2p
n
М1
М2
ℓ
13
Аналогично, 22 )2,1,1( N
и )3,6,9(22 pnn – нормаль-
ный вектор к плоскости 2 . Откуда
0)2(3)1(6)1(9:2 zyx
или 09369 zyx .
Итак, прямая l определяется
системой
.09369
014210
zyx
zyx
Легко получить канонические
уравнения прямой l . Достаточно
заметить, что lM )7
1,7
10,0(
(координаты точки M удовле-
творяют уравнениям системы,
определяющей l ). В качестве направлявшего вектора прямой l возьмем
вектор ).4,1,2(21 ppn Поэтому канонические уравнения прямой l
таковы:
412
71
710
zyx.
Задача 6. Вычислить расстояние от точки )2,1,0(M до прямой l :
0
1
12
1
zyx.
Решение. Проведем через точку M плоскость , перпендикулярную
прямой l (рис.4). Ее нормальный вектор n совпадает с направлявшим
вектором )0,1,2(p прямой l .
Следовательно, уравнение плоско-
сти имеет вид
0)2(0)1(2 zyx или
.012 yx
Прямая l пересекает плоскость
в точке N , координаты которой
),,( zyx являются решением систе-
мы:
.012
0
1
12
1
yx
zyx
Рис. 3
2p
1p
n
ℓ2
ℓ1
ℓ
21
N2
N1
М N
ℓ
Рис. 4
14
Отсюда )1,51,53( N . Искомое расстояние от точки M до прямой
l совпадает с длиной отрезка MN , т.е.
.306,0)12(5
11
5
30 2
22
d
Задача 7. Найти расстояние между прямыми
24
1
3
2:1
zyxl
и .
2
3
4
1
3
7:2
zyxl
Решение. Прежде всего, заметим, что 21 || ll , так как их направляющие
векторы совпадают. Найдем уравнение плоскости , проходящей через
точку 11 )0,1,2( lM перпенди-
кулярно прямым 1l и 2l (рис.
5). Очевидно, что )2,4,3(n
является нормалью к и ее
уравнение имеет вид
0)0(2)1(4)2(3 zyx или
.02243 zyx
Пусть 22 lM . Коорди-
наты точки 2M находим как
решение системы
.02243
2
3
4
1
3
7
zyx
zyx
Имеем )1,3,4(2 M . Расстояние между прямыми 1l и 2l равна длине
отрезка 21MM . Следовательно, искомое расстояние
.3)01(1324 222d
Задача 8. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
1
2
0
1
2:1
zyxl и .
1
2
2
1
1
1:2
zyxl
Решение. I способ. Используя решение задачи 5, можно провести
общий перпендикуляр l к прямым 1l и 2l . Затем найти точки пересе-
чения перпендикуляра l с прямыми 1l и 2l (см.рис.3). Расстояние ме-
жду найденными точками и будет искомым расстоянием между пря-
мыми 1l и 2l .
П способ. Проведем плоскость , параллельную прямой 2l и содер-
Рис. 5
М1
М2
ℓ1 ℓ2
15
жащую прямую 1l (см.рис.3). Плоскость проходит через точку
)2,1,0(1 N перпендикулярно вектору )1,2,1()1,0,2( n и имеет
уравнение
0)2(4)1()0(2 zyx или .0742 zyx
Расстояние между прямыми 1l и 2l равно расстоянию от любой точки
прямой 2l , например, точки )2,1,1(2 N , до плоскости . Используя
формулу (11), получим
.21
12
412
|7241)1(2|),(
2221
ll
Задача 9. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые
1
2
0
1
2:1
zyxl и .
1
2
2
1
1
1:2
zyxl
Решение. I способ. Прежде всего, отметим, что прямые 1l и 2l па-
раллельны. Далее, 11 )1,2,0( lM ,
22 )2,3,1( lM и 13 )6,1,7( lM . Иско-
мая плоскость должна проходить через точки 21, MM и 3M . Следова-
тельно, ее уравнение (см.формулу (7)) имеет вид
0
537
351
12
zyx
или .010161317 zyx
П способ. Возьмем в качест-
ве нормального вектора к иско-
мой плоскости вектор
21MMpn , где p – направ-
ляющий вектор прямой 1l , а
точки 11 )1,2,0( lM ,
22 )2,3,1( lM (см. рис. 6).
Тогда искомое уравнение при-
мет вид 0)1(32)2(26)0(34 zyx
или .010161317 zyx
Задача 10. Проверить, принадлежит ли прямая l плоскости , если
a) ;0334:,5
2
1
3
2
1:
zyx
zyxl
ℓ1
Рис. 6
М2
М1
ℓ2
n
p
16
б) .01523:,14
5
3
2:
zyx
zyxl
Решение. Для того чтобы прямая l принадлежала плоскости , дос-
таточно выполнения двух условий: направляющий вектор p прямой был
перпендикулярен нормальному вектору n плоскости и, по крайней ме-
ре, одна точка прямой l принадлежала . В нашем случае )5,1,2( p ,
)1,3,4( n , их скалярное произведение 0153142 np . Значит
||l . Точка )2,3,1( M принадлежит l , т.к. еѐ координаты удовлетво-
ряют уравнению плоскости 03)2()3(314: . Следовательно,
прямая l принадлежит плоскости .
В случае б) точка )0,5,2(N лежит на прямой l , но не решает урав-
нение плоскости 015052)2(3: . В то же время направляющий
вектор )1,4,3(p прямой l ортогонален нормали )1,2,3( n плоскости .
Следовательно, прямая l и плоскость параллельны и l не принадле-
жит плоскости .
Задача 11. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам дву-
гранные углы между плоскостями 0473:1 zyx и
.02535:2 zyx
Решение. I способ. Пусть 1n и 2n – нормальные векторы плоскостей
1 и 2 . Заметим, что
59|||| 21 nn . Следователь-
но, векторы 1n и 2n порожда-
ют ромб, диагональ 21 nnn
которого может быть выбрана в
качестве нормального вектора к
искомой плоскости (см. рис.
7). В качестве нормали для вто-
рой плоскости можно взять
произвольный вектор, лежащий
в плоскости векторов 1n , 2n и
перпендикулярный вектору n .
Таким, например, является век-
тор 21 nn (свойство диагона-
лей ромба). Итак, в качестве нормалей искомых плоскостей берем векторы
)2,2,8(21 nn и )12,4,2(21 nn .
Для того, чтобы выписать уравнения искомых плоскостей найдем точ-
n
1n
2n
2
1
ℓ
Рис. 7
17
ку, через которую они проходят. Так как искомые плоскости проходят че-
рез прямую l , являющуюся пересечением плоскостей 1 и 2 , то нас ин-
тересует одно из решений системы линейных уравнений
,02535
0473
zyx
zyx
которая задает l . Например, lM 0,7
13,7
5 .
Итак, уравнения искомых плоскостей имеют вид
0027
132
7
58
zyx и 0012
7
134
7
52
zyx
или 014 zyx и 0362 zyx .
II способ. Пусть точка ),,( zyxN принадлежит искомой плоскости. Так
как искомые плоскости представляют собой геометрическое место точек,
равноудаленных от данных плоскостей 1 и 2 , то
).,(),( 21 NN
Но 59
|473|),( 1
zyxN и
59
|2535|),( 2
zyxN .
Следовательно, координаты точки N удовлетворяют уравнению
|,2535||473| zyxzyx
из которого получаем 2535473 zyxzyx или ,0362 zyx
а также )2535(473 zyxzyx или 014 zyx
Итак, требуемые уравнения плоскостей имеют вид
0362 zyx и 014 zyx .
Задача 12. Три грани тетраэдра, расположенного во втором октанте
( 0,0,0 zyx ), совпадают с координатными плоскостями. Написать
уравнение четвертой грани, зная длины ребер, ее ограничивающих
5,29,6 ACBCAB и найти длину высоты OH тетраэдра.
Решение. Обозначим через cba ,, величины отрезков OA , OB и OC со-
ответственно )0,0,0( cba (см. рис.8). Очевидно, что
.25
,29
,36
222
222
222
ACca
CBcb
ABba
Отсюда находим .3,52,4 cba Грань ABC лежит в плоско-
сти, уравнение которой в отрезках имеет вид
18
.13524
zyx
Общее уравнение плоскости
051254653:)( zyxABC .
Наконец, длина высоты OH тетра-
эдра равна расстоянию от плоскости
( ABC ) до точки O (начала координат):
.161
512
803645
51205406053
OH
Задача 13. Написать уравнение
плоскости, содержащей ось Oz и обра-
зующей с плоскостью 0752:0 zyx угол 3
.
Решение. Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид
.0 DCzByAx
Так как проходит через начало координат, то 0000 DCBA
или 0D . Нормальный вектор ),,( CBAn плоскости перпендикулярен на-
правляющему вектору оси Oz и, следовательно, 0)1,0,0( Cn . Итак,
уравнение 0: ByAx . По формуле (10) вычислим угол между плоско-
стями и 0 :
.
10
2cos
22
BA
BA
С другой стороны, 2
13
coscos . Получим уравнение
221024 BABA или .0383 22 BABA
Положив 1A из последнего уравнения, найдем значения для
.3
1,3: 21 BBB
Иак, задача имеет два решения
03 yx и .03
1 yx
Задача 14. Написать уравнение плоскости , если известно, что точка
)3,1,2( M является основанием перпендикуляра, опущенного из начала
координат на эту плоскость.
Решение. Найдем расстояние от начала координат до плоскости
.14914: OMp
y
x x
A
B
C
z
H
x
Рис. 8
19
Вектор OM является нор-
мальным вектором . Найдем
его направляющие косинусы (см.
рис. 9):
.14
33cos
,14
11cos
,14
22cos
p
p
p
Выпишем нормальное урав-
нение плоскости (см.формулу (5))
01414
3
14
1
14
2 zyx или .01432 zyx
Задача 15. Даны вершины треугольника ),0,0,2(),2,1,4( BA
)5,3,2( C . Составить уравнения высоты треугольника, опущенной из
вершины B и уравнение биссектрисы угла A .
Решение. Проведем через точку B плоскость , перпендикулярную
пряной )(AC (см. рис.10). Уравнение прямой )(AC имеет вид:
25
2
13
1
42
4
zyx или
.3
2
2
1
6
4
zyx
В качестве нормального
вектора плоскости возь-
мем направлявший вектор
прямой )(AC . Получим
0)0(3)0(2)2(6: zyx
или .012326 zyx
Так как )(ACH , то
еѐ координаты удовлетворя-
ют системе уравнений
.012326
3
2
2
1
6
4
zyx
zyx
Перепишем уравнения
прямой )(AC в параметриче-
х
у
z
M
O
х
α
х
β
х
γ
х
Рис. 9
A
B
C
H
D
Рис.10
2p
1p
p
20
ской форме
tztytx 32,21,64
и найдем значение параметра t , при котором прямая )(AC пересекает
плоскость
.012)32(3)21(2)64(6 ttt
Получим 49
4t и, следовательно,
49
110,
49
57,
49
172 zyx . Используя
(13), выпишем уравнение высоты :)(BH
49
110
49
572
49
172
2
zyx или .
1105774
2
zyx
Построим уравнение биссектрисы AD , проведенной из вершины A .
Для того чтобы найти направляющий вектор )(AD поступим следующим
образом. Возьмѐм единичные векторы 1p и 2p , сонаправленные с векто-
рами AB и AC
ACp
AB
ABpAC 21 ;: , и составим ромб, натянутый на 1p и
2p . Тогда диагональ 21 ppp делит угол между векторами 1p и 2p
пополам и может служить направляющим вектором искомой биссектрисы
)(AD .
.21
5,
21
1,
21
32
,7
3,
7
2,
7
6,
3
2,
3
1,
3
2
,79436,3414
21
21
ppp
pp
ACAB
Итак, уравнение биссектрисы )(AD имеет вид
215
2
211
1
2132
4
zyx или .
5
2
1
1
32
4
zyx
Задача 16. Найти уравнение проекции прямой 42
1
3
4:
zyxl
на
плоскость .083: zyx
Решение. Так как 05143213 np , то прямая l пересекает
плоскость в некоторой точке M . Найдем ее координаты: )12,5,5( M .
Возьмем произвольную точку на прямой l , например, )0,1,4( N и найдем
еѐ проекцию на плоскость . (Заметим, что N ). Для этого выпишем
уравнение прямой 0l , проходящей через точку N перпендикулярно плос-
21
кости :
13
1
1
4
zyx
и найдем точку 0N пересечения
прямой 0l с плоскостью (см.
рис.11): .11
15,
11
34,
11
290
N
Проекция прямой l на плос-
кость проходит через точки M и
0N и, следовательно, имеет урав-
нение
1211
15
12
511
34
5
511
29
5
zyx или
7
12
1
5
4
5
zyx.
Задача 17. На эллипсоиде 1169
222
zyx
найти точку, в которой каса-
тельная плоскость перпендикулярна прямой
.012
02:
zyx
zyxl
Решение. Пусть
),,( 000 zyxM произ-
вольная точка эллип-
соида, то есть ее ко-
ординаты удовлетво-
ряют уравнению:
.1169
20
20
20 z
yx
Пользуясь (9), вы-
пишем уравнение ка-
сательной плоскости к
поверхности эллип-
соида в точке
.0)(2)(8
1)(
9
2: 000000 zzzyyyxxx
Вектор нормали плоскости имеет координаты
.2,8
1,
9
2000
zyxn
М
N
ℓ Рис. 11
Nо
Рис. 12
х
y
z
M1
M2
22
Найдем направляющий вектор заданной прямой l :
).1,3,2(
112
111
kji
p
Так как p , то векторы n и p коллинеарны и, следовательно,
.1
2
3
8
1
2
9
2
000
zyx
Таким образом, координаты искомой точки M должны удовлетворять
системе уравнений
,2249
1169
000
20
20
20
zyx
zyx
которая имеет два решения: .181
1,
181
48,
181
18
Задача имеет 2 реше-
ния: ,181
1,
181
48,
181
181
M и .
181
1,
181
48,
181
182
M
22
23
24
§ 5. Задания контрольной работы
Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M
параллельно векторам a и b :
1. M(1, 0, -2); a (2, -1, 0); b (0, -1, 2).
2. M(1, -6, 5); a (2, 3, 1); b (-1, 0, 1).
3. M(-7, 0, -1); a (3, 2, 1); b (2, 3, 4).
4. M(-2, 4, 2); a (1, 5, 2); b (-1, 1, -1).
5. M(2, -1, 4); a (1, -1, 3); b (3, 2, 1).
6. M(3, -2, 9); a (2, 2, 2); b (3, 1, -1).
7. M(-6, 7, -10); a (-1, 1, -1); b (1, 1, 1).
8. M(-2, 3, 5); a (3, 2, 1); b (4, 2, 3).
9. M(-3, 4, -5); a (3, 3, 1); b (1, -2, 1).
10. M( 4, 3, 0); a (3, 1, -1); b (-2, -1, 0).
11. M(3, 6, 68); a (4, 3, 1); b (1, -2, 1).
12. M(2, -10, 8); a (4, 3, 1); b (6, 7, 4).
13. M(-3, 2, 7); a (3, 2, 1); b (1, -3, 7).
14. M(5, -4, 5); a (3, 7, 2); b (-2, 0, -1).
15. M(-12, 1, 8); a (1, -2, 6); b (1, 0, 1).
16. M(10, 1, 8); a (6, 3, 4); b (-1, -2, -1).
17. M(-3, 1, 8); a (7, 3, 4); b (-1, -2, -1).
18. M(-4,-13, 6); a (2, 3, 2); b (4, 7, 5).
19. M(-3, -6, -8); a (2, 0, -1); b (5, 3, 4).
20. M(-6, 5, 5); a (-1, 0, -1); b (4, 2, 4).
21. M(-1, 8, 7); a (3, 10, 5); b (-2, -2, 3).
22. M(-5, 3, 7); a (2, 4, 3); b (-2, -4, -3).
23. M(2, 3, 8); a (4, 3, 1); b (6, 7, 4).
24. M(-5, -4, -8); a (3, 1, -1); b (-1, 0, 1).
25. M(1, -1, 2); a (8, 3, -2); b (4, 2, 2).
Задача 2. Найти координаты единичного вектора, перпендикулярного к
плоскости, проходящей через точки A, B, C.
1. A(-1, 1, 1);
2. A(-3, 4, -7);
3. A(-1, 2, -3);
B(1, 1, 0);
B(1, 5, -4);
B(4, -1, 0);
C(1, 0, -1).
C(-5, -2, 0).
C(2, 1, -2).
25
4. A(-3, -1, 1);
5. A(1, 0, -2);
6. A(1, 2, -3);
7. A(3, 10, -1);
8. A(-1, 2, 4);
9. A(-1, 3, 0);
10. A(-2, -1, -1);
11. A(-3, -5, 6);
12. A(2, -4, -3);
13. A(1, -1, 2);
14. A(1, 3, 6);
15. A(-4, 2, 6);
16. A(1, -3, 6);
17. A(7, 2, 4);
18. A(2, 1, 4);
19. A(-1, -5, 2);
20. A(0, -1, -1);
21. A(5, 2, 0);
22. A(2, -1, -2);
23. A(-2, 0, -4);
24. A(2, -1, 2);
25. A(2, 3, 2);
B(-9, 1, -2);
B(1, 2, -1);
B(1, 0, 1);
B(-2, 3, -5);
B(-1, -2, -4)
B(4, -1, 2);
B(0, 3, 2);
B(2, 1, 4);
B(5, -6, 0);
B(2, 1, 2);
B(2, 2, 1);
B(-10, 5, 8);
B(-2, -2, 1);
B( 7, -1, -2)
B(3, 5, -2)
B(-6, 0, -3)
B(-2, 3, 5);
B(2, 5, 0);
B(1, 2, -1);
B(-1, 7, 1);
B(1, 2, -1);
B(4, 1, -2);
C(3, -5, 4).
C(2, -2, 1).
C(-2, -1, 6).
C(-6, 0, -3).
C(3, 0, -1).
C(3, 0, -1).
C(3, 1, -4).
C(0, -3, 1).
C(-1, 3, -1).
C(1, 1, 4).
C(-1, 0, -1).
C(2, -3, 0).
C(-1, 0, 5).
C(-5, -2, -1).
C(-7, -3, 2).
C(3, 6, -3).
C(1, -5, -9).
C(1, 2, 4).
C(5, 0, -6).
C(4, -8, -4).
C(3, 2, 1).
C(6, 3, 7).
Задача 3. Написать уравнение касательной плоскости к заданной по-
верхности в точке M.
1. 2 2 2x + y - z = -2 ,
2. 2 2 2x - y + z = 20 ,
3. 2 2 2x + y + z = 10 ,
4. 2 2 2x + y = 16 z ,
5. 2 2 6
x + y =z
,
6. 2 2 2x + y + z = 4 ,
7. 2 2 2 16x y z ,
8. 2 2 2 9x y z ,
9. 2 2 2 9x y z ,
10. 2 2 2 9x y z ,
M(0, 4, 3 2 );
M(2, 0, 4);
M(1, 2, 5);
M(2, 2, 1
2);
M(1, 1, 3);
M(1, 1, 2 );
M(-1, -2, 11 );
M(-1, 2, -2);
M(2, -2, 1);
M(-2, -2, -1);
M(-3, 6, 5 );
26
11. 2 2 29x y z ,
12. 2 2 29( )x y z ,
13. 2 2 2-x y z ,
14. 2 2 24x y z ,
15. 2 2 2z y x ,
16. 2 2 2-z y x ,
17. 2 22 3 6 1z x y y ,
18. 2 22 3 6 2z x y y ,
19. 2 23 2z x x y ,
20. 2 2 25 9 16 720x y z ,
21. 2 2 23 4 4 60x y z ,
22. 2 2 23 10x y z ,
23. 2 2 23 10x y z ,
24. 2 2 23 - 10x y z ,
25. 2 2 2- 5x y z ,
M(3, -4, 15);
M(4, -3, 7 );
M(-2, -4, 5 );
M(5, -4, 3);
M(-3, -4, 5);
M(1, -1, -2);
M(-1, -1, 1);
M(1, -2, 14);
M(4, -4, 31 );
M(2, -2, -2 2 );
M(-1, 0, 3);
M(0, 1, -3);
M(4, 2, 42 );
M(1, 2, 0).
Задача 4. Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую
l1 параллельно прямой l2 .
1. l1:x -1 y +1 z
= =2 -2 3
;
2. l1:x + 2 y - 3 z -1
= =1 -1 2
;
3. l1:x + 2 y -1 z - 3
= =1 -1 2
;
4. l1:x y - 2 z +1
= =2 3 1
;
5. l1:x + 5 y -1 z + 2
= =3 1 4
;
6. l1:x +1 y - 2 z
= =4 3 4
;
l2:x + 2 y -1 z - 3
= =1 -1 2
.
l2:x -1 y +1 z
= =2 -2 3
.
l2:x + 2 y - 3 z -1
= =2 -2 3
.
l2:x - 4 y +1 z -1
= =3 2 -1
.
l2:x -1 y +1 z
= =2 -2 3
.
l2:x - 3 y +1 z - 4
= =2 2 3
.
27
7. l1:x - 3 y +1 z + 2
= =2 -1 -2
;
8. l1:x +1 y - 2 z + 3
= =-1 3 -2
;
9. l1:x - 2 y + 2 z
= =3 4 1
;
10. l1:x +1 y - 3 z + 5
= =2 4 -3
;
11. l1:x + 2 y - 3 z
= =2 2 0
;
12. l1:x y - 2 z -1
= =2 3 -1
;
13. l1:x -1 y - 2 z - 4
= =1 3 3
;
14. l1:x + 2 y -1 z - 3
= =1 1 2
;
15. l1:x + 5 y -1 z + 2
= =-3 1 2
;
16. l1:x - 3 y + 2 z -1
= =2 1 2
;
17. l1:x +1 y - 2 z + 3
= =-1 3 2
;
18. l1:x -1 y +1 z - 4
= =2 -2 -3
;
19. l1:x -1 y + 2 z - 3
= =-3 1 2
;
20. l1:x +1 y - 3 z + 5
= =2 4 -3
;
21. l1:x + 2 y + 3 z + 4
= =2 -2 1
;
22. l1:x + 3 y - 2 z +1
= =2 1 3
;
l2:x +1 y - 3 z
= =2 -2 4
.
l2:x y +1 z -1
= =0 -3 2
.
l2:x +1 y -1 z + 2
= =-1 -1 4
.
l2:x - 2 y + 2 z
= =3 -4 0
.
l2:x -1 y +1 z - 3
= =4 2 2
.
l2:x + 4 y -1 z +1
= =3 2 1
.
l2:x + 2 y - 3 z + 5
= =1 2 -2
.
l2:x - 4 y +1 z -1
= =3 -2 1
.
l2:x + 4 y - 3 z
= =1 2 5
.
l2:x + 3 y -1 z +1
= =-1 2 -3
.
l2:x - 5 y z +1
= =2 0 1
.
l2:x + 2 y -1 z
= =3 1 5
.
l2:x +1 y -1 z
= =2 2 4
.
l2:x - 2 y + 2 z -1
= =3 -4 1
.
l2:x +1 y + 2 z + 3
= =1 2 -1
.
l2:x -1 y + 2 z - 3
= =1 3 -1
.
28
23. l1:x + 5 y - 5 z
= =1 2 0
;
24. l1:x - 2 y + 3 z + 2
= =2 3 1
;
25. l1:x +1 y + 3 z + 2
= =1 2 4
;
l2:x -1 y +1 z + 4
= =2 3 1
.
l2:x + 2 y - 3 z +1
= =1 4 -3
.
l2:x -1 y + 2 z +1
= =2 3 1
.
Задача 5. Найти значения параметра a, при которых плоскости 1 и 2
параллельны (перпендикулярны).
1. П1: ax + 2ay + 10z = 2;
2. П1: x + ay + 5az = 1;
3. П1: ax + 2y + 7az = 2;
4. П1: -5ax + ay + 3z = 4;
5. П1: -10ax + 2ay + az = 5;
6. П1: 2ax - 2y – 70az = 1;
7. П1: x - 2ay + 4az = -1;
8. П1: -ax + y + 3az = -4;
9. П1: -x + ay + 5az = 2;
10. П1: ax - ay + 5az = 4;
11. П1: ax + 4y + 3az = -4;
12. П1: 2x + 2ay – 5z = 5;
13. П1: 9x + 3ay – 3az = -5;
14. П1: 5x - ay + 2az = 1;
15. П1: 3x + ay + 2z = 2;
16. П1: ax + 2y + az = -4;
17. П1: ax + 6y - az = 3;
18. П1: ax - 3ay + 4z = -2;
19. П1: ax + 2ay + 4z = -1;
20. П1: 7x - ay + 5az = 0;
21. П1: 8x + 2ay + az = 4;
22. П1: 4x - 3ay - az = -4;
23. П1: 3x - 7ay + 4az = -3;
24. П1: 2ax - 5y - az = -2;
25. П1: 4ax - 6y + 2az = 0;
П2: x + 2y + 5z = 7.
П2: -x + y + 3z = 4.
П2: x - y + 2z = 5.
П2: -5x + y + 3z = 8.
П2: -5x + 2y + z = 5.
П2: -x + y + 35z = 10.
П2: 2x - 2y + 4z = 1.
П2: -x + y + 3z = -2.
П2: 2x + 4y + 20z = 1.
П2: 2x + 4y + 10z = 3.
П2: x - 2y + 3z = 4.
П2: x + 2y - 5z = 1.
П2: x + y - z = 0.
П2: x - y + 2z = 4.
П2: -x + y + 2z = 0.
П2: x - 2y + z = 0.
П2: x + 2y - z = 5.
П2: x - 3y + z = 4.
П2: x + 2y + z = 4.
П2: -x - y + 5z = 2.
П2: x + 2y + z = 4.
П2: x - 3y - z = 2.
П2: x - 7y + 4z = 1.
П2: 2x + y - z = 4.
П2: 4x - y + 2z = 4.
29
Задача 6. Дана плоскость и вне ее точка M. Найти точку, симметрич-
ную M относительно данной плоскости.
1. : x + y - 2z – 6 = 0;
2. : 4x - y + 2z = 4;
3. : 2x + y – z = -4;
4. : x -7 y + 4z = 1;
5. : x - 3y - z = 2;
6. : x + 2y + z = 4;
7. : -x - y +5z = 2;
8. : x + 2y + z = 4;
9. : x - 3y + z = 4;
10. : x + 2y - z = 5;
11. : x - 2y + z = 1;
12. : -x + y + 2z = -1;
13. : x - y + 2z = 4;
14. : x + y - z = -1;
15. : x + 2y – 5z = 4;
16. : x - 2y - 3z = 1;
17. : 2x + 4y + 2z = 1;
18. : -x + y + 3z = 2;
19. : 2x + 4y + 2z = 1;
20. : x + y + 3z = 4;
21. : -5x + y + 3z = 8;
22. : x - y + 2z = -1;
23. : x - 2y + z = 5;
24. : x + 2y - 3z = 1;
25. : x + 5y - z = 4;
M(1, 1, 1).
M(1, -1, 1).
M(1, 2, 1).
M(1, -1, 1).
M(-1, 1, 1).
M(1, -1, 1).
M(-1, -1, 0).
M(1, 1, -1).
M(0, 1, 1).
M(1, 0, -1).
M(0, 1, 1).
M(1, 1, 0).
M(1, 1, 3).
M(1, 2, 1).
M(-1, -1, 0).
M(0, 1, 1).
M(1, 0, 1).
M(0, 1, 1).
M(0, -1, 1).
M(1, 1, 1).
M(1, -1, 2).
M(0, 1, 1).
M(1, 1, 1).
M(1, 1, -1).
M(0, 1, 0).
.
Задача 7. Найти расстояние между параллельными прямыми l1 и l2.
1. l1:x y - 3 z - 2
= =1 2 1
;
2. l1:x -1 y z +1
= =1 2 -1
;
3. l1:x +1 y -1 z + 2
= =2 1 2
;
l2:x - 3 y +1 z - 2
= =1 2 1
.
l2:x + 3 y - 4 z + 5
= =-1 -2 1
.
l2:x - 3 y - 2 z -1
= =-2 -1 -2
.
30
4. l1:x -1 y z +1
= =1 2 3
;
5. l1:x y - 2 z
= =3 3 -1
;
6. l1:x -1 y - 2 z
= =2 3 -1
;
7. l1:x +1 y z
= =3 1 2
;
8. l1:x y z
= =-3 1 2
;
9. l1:x + 2 y -1 z
= =-2 1 3
;
10. l1:x y z
= =-1 -2 3
;
11. l1:x - 2 y z
= =1 1 -2
;
12. l1:x + 2 y -1 z
= =2 2 -1
;
13. l1:x - 3 y - 2 z
= =1 2 -2
;
14. l1:x +1 y +1 z
= =2 1 -2
;
15. l1:x -1 y -1 z - 2
= =3 1 1
;
16. l1:x + 2 y - 2 z +1
= =1 3 1
;
17. l1:x y z -1
= =4 2 1
;
18. l1:x -1 y z
= =2 4 1
;
19. l1:x + 2 y -1 z
= =2 3 2
;
l2:x + 2 y -1 z -1
= =1 2 3
.
l2:x +1 y -1 z +1
= =-3 -3 1
.
l2:x +1 y + 2 z
= =2 3 -1
.
l2:x y z + 2
= =-3 -1 -2
.
l2:x +1 y -1 z + 2
= =3 -1 -2
.
l2:x - 2 y z + 2
= =2 -1 -3
.
l2:x -1 y - 2 z - 3
= =1 2 -3
.
l2:x + 2 y -1 z +1
= =1 1 -2
.
l2:x - 2 y +1 z
= =2 2 -1
.
l2:x + 3 y z -1
= =1 2 -2
.
l2:x - 2 y - 2 z
= =2 1 -2
.
l2:x + 2 y + 2 z
= =3 1 1
.
l2:x -1 y -1 z -1
= =1 3 1
.
l2:x -1 y -1 z + 3
= =4 2 1
.
l2:x + 5 y -1 z
= =2 4 1
.
l2:x + 4 y + 2 z +1
= =2 3 2
.
31
20. l1:x - 2 y +1 z -1
= =3 2 2
;
21. l1:x y z + 5
= =1 3 1
;
22. l1:x +1 y -1 z + 3
= =3 1 3
;
23. l1:x -1 y + 2 z - 3
= =3 1 4
;
24. l1:x + 2 y -1 z + 2
= =4 1 2
;
25. l1:x - 2 y + 2 z - 2
= =2 -2 1
;
l2:x - 4 y - 2 z -1
= =3 2 2
.
l2:x +1 y -1 z + 2
= =1 3 1
.
l2:x - 2 y + 2 z
= =3 1 3
.
l2:x - 3 y + 4 z +1
= =3 1 4
.
l2:x - 2 y +1 z - 2
= =4 1 2
;
l2:x + 3 y z
= =2 -2 1
;
Задача 8. Найти кратчайшее расстояние между прямыми l1 и l2.
1. l1:x -1 y - 2 z +1
= =-1 -2 1
;
2. l1:x -1 y +1 z
= =2 -2 3
;
3. l1:x + 2 y +1 z - 3
= =1 1 2
;
4. l1:x + 2 y +1 z - 3
= =1 -1 -2
;
5. l1:x y - 2 z +1
= =2 3 -1
;
6. l1:x y - 2 z +1
= =2 3 1
;
7. l1:x +1 y - 2 z
= =4 3 4
;
8. l1:x - 3 y +1 z + 2
= =2 -1 -2
;
l2:x - 5 y + 3 z
= =2 1 2
.
l2:x + 2 y - 3 z -1
= =1 -1 2
.
l2:x -1 y +1 z
= =2 -2 3
.
l2:x + 2 y - 3 z -1
= =2 -2 3
.
l2:x - 4 y +1 z -1
= =3 2 -1
.
l2:x -1 y +1 z
= =2 -2 3
.
l2:x - 3 y +1 z - 4
= =2 2 3
.
l2:x +1 y - 3 z
= =2 -2 4
.
32
9. l1:x +1 y - 2 z + 3
= =-1 3 -2
;
10. l1:x - 2 y + 2 z
= =3 4 -1
;
11. l1:x +1 y - 3 z + 5
= =2 4 -3
;
12. l1:x + 2 y - 3 z
= =2 2 0
;
13. l1:x y - 2 z -1
= =2 3 -1
;
14. l1:x -1 y - 2 z - 4
= =1 3 3
;
15. l1:x + 2 y -1 z - 3
= =1 -1 2
;
16. l1:x +1 y + 3 z + 2
= =1 2 4
;
17. l1:x - 2 y + 3 z + 2
= =2 3 1
;
18. l1:x + 5 y - 5 z
= =1 2 0
;
19. l1:x + 3 y - 2 z +1
= =2 1 3
;
20. l1:x + 2 y + 3 z + 4
= =2 2 1
;
21. l1:x +1 y - 3 z + 5
= =2 4 -3
;
22. l1:x -1 y + 2 z - 3
= =-3 1 2
;
23. l1:x -1 y +1 z - 4
= =2 -2 -3
;
24. l1:x +1 y - 2 z + 3
= =-1 3 2
;
l2:x y +1 z -1
= =0 -3 2
.
l2:x +1 y -1 z + 2
= =-1 -1 4
.
l2:x - 2 y + 2 z
= =3 4 0
.
l2:x -1 y +1 z - 3
= =4 2 2
.
l2:x + 4 y -1 z +1
= =3 2 2
.
l2:x + 2 y - 3 z + 5
= =1 2 -2
.
l2:x - 4 y +1 z -1
= =3 -2 1
.
l2:x - 2 y -1 z +1
= =2 3 -1
.
l2:x + 2 y - 3 z +1
= =1 4 -3
.
l2:x -1 y +1 z + 4
= =2 3 1
.
l2:x -1 y + 2 z - 3
= =1 3 -1
.
l2:x +1 y + 2 z + 3
= =1 2 -1
.
l2:x - 2 y + 2 z -1
= =3 -4 1
.
l2:x +1 y -1 z
= =2 2 4
.
l2:x + 2 y -1 z
= =3 1 5
.
l2:x - 5 y z +1
= =2 0 1
;
33
25. l1:x - 3 y + 2 z -1
= =2 1 2
;
l2:x + 3 y -1 z +1
= =-1 2 -3
;
Задача 9. Найти углы, образуемые плоскостью : а) с осями коорди-
нат, б) с координатными плоскостями.
1. : 2x + y – z + 6 = 0,
2. : x - 2y + z + 4 = 0,
3. : x + 2y – z + 5 = 0,
4. : 5x - y + z - 1 = 0,
5. : x + 2y – z + 4 = 0,
6. : 3x - y – 2z + 2 = 0,
7. : 2x + y – 3z + 1 = 0,
8. : -2x - y + z + 7 = 0,
9. : -3x + y – z + 5 = 0,
10. : x - 2y + 3z + 4 = 0,
11. : 2x + y – z + 5 = 0,
12. : x - 2y – 5z + 1 = 0,
13. : -x + 2y + z + 4 = 0,
14. : -x - y - 4z + 3 = 0,
15. : -2x + y + 3z = 0,
16. : 2x - y - z + 1 = 0,
17. : 2x + y + z - 3 = 0,
18. : 2x - 3y + z + 4 = 0,
19. : -x - 2y – 3z + 1 = 0,
20. : -3x - y + z + 5 = 0,
21. : 6x - 4y + 5z + 1 = 0,
22. : -3x + y + 4z + 2 = 0,
23. : -x - 2y - 4z + 1 = 0,
24. : x - 2y + 2z = 0,
25. : 3x + 2y – z + 1 = 0.
Библиографический список
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981. 232 с.
2. Бакельман И.Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Просвеще-
ние, 1976. 288 с.
34
Содержание
§1
§2
§3
§4
§5
§6
Различные виды уравнений плоскости..………………..........
Угол между плоскостями.Расстояние от точки до плоскости
Прямая линия в пространстве…………………………..........
Взаимное расположение прямой и плоскости………………
Решение задач на прямую и плоскость в пространстве……
Приложение 1. Плоскость в пространстве………………….
Приложение 2. Прямая в пространстве……………………...
Задания контрольной работы………………………………...
3
4
5
6
9
22
23
24