Download - Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη
• Να διαβάσεις καλά όλους τους ορισμούς, τις αποδείξεις , τα σχόλια και τα πλαίσια που υπάρχουν στο σχολικό
βιβλίο. Κάποια από αυτά θα είναι το 1ο Θέμα του διαγωνίσματος!
• Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών) • Σελ.87: Ορισμοί (Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών) • Σελ.88-90: Πράξεις στο C. Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89 με τα έντονα γράμματα • Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού)
Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) • Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα)
• Σελ.91: Απόδειξη: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 • Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0) • Σελ.93: Παρατήρηση • Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού) • Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο • Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια • Σελ.98: Απόδειξη: ( |z1 z2| = |z1| |z2| ) • Σελ.99: Οι εξισώσεις: |z – z0| = ρ , ρ > 0 και |z – z1| = |z – z2| • Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης
Η θεωρία στο σχολικό
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ
Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96
Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96
z: πραγματικός z : φανταστικός 11Α/96, 6Β/96, 8Β/96
Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102
Γεωμετρικοί τόποι Εύρεση γραμμής που κινούνται οι εικόνες μιγαδικού 12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101,
8Α/101, 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102, 6Β/102, 9Β/102, 1Γ/123, 6Γ/103
Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123
Κατηγορίες ασκήσεων στο σχολικό
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Δυνάμεις του i
*ρ
4ρ + υ 4ρν υ 4 υ υ , ν Ν , ν = 4ρ + υ με 0 υ < 4
1 , αν υ = 0
i , αν υ = 1i = i = i i = i i = i =
- 1 , αν υ = 2
- i , αν υ = 3
2015 = i
2 3 1996 ... = i i i i
Βρες τις δυνάμεις: i
1
Απαντήσεις
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Υπολόγισε τα παρακάτω: Απαντήσεις
1 + 𝑖 2
1 − 𝑖 2
𝑎 + 𝑎𝑖 2
𝑎 − 𝑎𝑖 2
𝑎 3 + 𝑎𝑖3
𝑎 + 𝑎 3𝑖3
1 − 𝑖 20
2 3 + 2𝑖3
2i
2i
22α i
22α i
38a i
38a
102
64i
Δυνάμεις του α αi, α α 𝟑 i , α 𝟑 α i
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
z + 𝒛 , z - 𝒛
z+z=2Re(z) z-z=2Im(z)i
Συμπλήρωσε τα παρακάτω: Απάντηση
z w + z w
z w - z w
z zw w
z zw w
2Re(z w)
2Im(z w) i
2Rezw
2Im izw
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν z=z1+z2i με z1 , z2 C, τότε: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2𝑖
• Είναι λάθος να πεις: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2𝑖 , διότι ο z δεν είναι σε κανονική μορφή.
• Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. (Δηλαδή δεν έχει νόημα η σχέση z1 < z2 με z1 , z2 C )
Προσέχω !
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις : 𝒛𝟏,𝟐 =−𝜷± −𝚫 𝒊
𝟐𝜶
• Πρόσεξε ότι για να χρησιμοποιήσεις τον παραπάνω τύπο πρέπει τα α, β, γ να είναι πραγματικοί αριθμοί!
• Οι λύσεις είναι συζυγείς μιγαδικοί, άρα: z1+ z2= 2Re(z1) και z1z2=|z1|2
• Ισχύουν και οι τύποι Vieta: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 =−𝜷
𝜶 και 𝒛𝟏 𝒛𝟐 =
𝜸
𝜶
• Για εξάσκηση : • 1. άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού. • 2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , z C.
Προσέχω !
• Επίλυση της εξίσωσης : αz2 + βz + γ = 0 με α, β, γ R και α ≠ 0
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό z και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας ,ενώ αν είναι μεγαλύτερου βαθμού κάνουμε αν γίνεται παραγοντοποίηση.
• Αν η εξίσωση περιέχει τους z και 𝑧 ή και δυνάμεις τους ,τότε θέτουμε z = x + y i και βρίσκουμε τα x , y.
Μεθοδολογία
• Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός : • τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β = 0
ή δείχνουμε ότι: 𝒛 = 𝒛 .
• Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α = 0 ή δείχνουμε ότι: 𝒛 = - 𝒛 .
• Για εξάσκηση :
• Αν z , w μιγαδικοί με |z|=|w|= 3 , να δείξετε ότι ο z1= 𝑧 −𝑤
3+𝑧 𝑤 είναι
φανταστικός.
Μεθοδολογία
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια
ισότητα της μορφής: z1
2 + z22 = 0 και όταν z1≠ 0 και z2 ≠ 0 .
• Όταν δίνεται η σχέση z1
2 + z22 = 0, τότε μπορούμε να τη γράψουμε
ως εξής: • 𝑧1
2 + 𝑧22 = 0 𝑧1
2 - i2 𝑧22 = 0
• (z1 + iz2) (z1 – iz2) = 0 • z1 = -iz2 ή z1 = iz2
• Επίσης παρατήρησε ότι: –iz2= 𝑧2
𝑖
Προσοχή!
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αντισυζυγής • Αν z = α + βi , α , β R τότε ως αντισυζυγής του z ορίζεται ο μιγαδικός:
w = β – αi (ή w = - β + αi ).
• Παρατηρούμε ότι: β – αi = -i(α + βi) δηλαδή w = -i z α + βi = i(β – αi) δηλαδή z = i w -β + αi = i(α + βi) δηλαδή -w = i z
• Για παράδειγμα: z 4κ+2 + w 4κ+2 = ( i w )4κ+2 + w 4κ+2 = - w 4κ+2 + w 4κ+2 = 0
• Για εξάσκηση: • Υπολόγισε την παράσταση: (3-i)2010 + (1+3i)2010
Θυμάμαι
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Μια ασκησούλα για εξάσκηση στις δυνάμεις μιγαδικών:
• Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠ 0 με 𝑧1
𝑧2+
𝑧2
𝑧1 = 1.
• Να δείξετε ότι:
• α. 𝑧13= -𝑧2
3
• β . 𝑧1
𝑧2
2010+
𝑧2
𝑧1
2010= 2
Εξάσκηση στις δυνάμεις
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Μέτρο μιγαδικού
• αν z = α + β i , τότε: |z|= 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐
• Ιδιότητες • |z|= |-z|=|𝒛| • |z|2 = z 𝒛 • |z1 z2|=|z1||z2|
•𝒛𝟏
𝒛𝟐=𝒛𝟏
𝒛𝟐 , z2≠0
• Πρόσεξε επίσης: |iz| = |i| |z| = |z|
• Και μια ασκησούλα στα μέτρα: • Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 με: z1 = 1, z2 = 3, z3 = 5
Να δείξετε ότι:|z1 + z2 + z3|=1
15 |z2z3+9z1z3+25z1z2|
Θυμάμαι
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Μέτρο αθροίσματος μιγαδικών
• ||z1|-|z2|| |z1 + z2| |z1|+|z2| • Χρησιμοποιείται κυρίως για απόδειξη ανισοτικών σχέσεων.
• Παράδειγμα
• Αν |z|=2 με z C και w = 3 – 4i , να δείξετε ότι: 3 |z+w| 7
Θυμάμαι
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Μέτρο διαφοράς μιγαδικών • Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ1 , Μ2 οι εικόνες τους στο
μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , τότε |z1 – z2| = (M1M2) , δηλαδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους.
• Επίσης ισχύει: ||z1|-|z2|| |z1 - z2| |z1|+|z2|
• Παράδειγμα • Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύει: |z1|=|z2|=|z3|=1 και z1+z2+z3=1,
να δείξετε ότι :
• α) 𝟏
𝒛𝟏+
𝟏
𝒛𝟐+
𝟏
𝒛𝟑= 1
• β) |z1 – 2z2|2 9 • γ) Re(𝑧1𝑧2) -1
Θυμάμαι
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Η εξίσωση: |z – z0| = ρ , ρ > 0
• παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα Ρ(x0,y0) του z0 και ακτίνα ρ.
• Η εξίσωση: |z – z1|=|z – z2|
• παριστάνει τη μεσοκάθετο του Μ1Μ2 , όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα.
• Παράδειγμα
• Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών z και w, για τους οποίους ισχύει: |2z+3-2i|=2 και |w-2+i|=|w+2i| και να εξετάσετε αν υπάρχουν z και w ώστε z = w.
Βασικές εξισώσεις
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Η εξίσωση: |z – z1| + |z – z2| = 2α , α > 0
• Παριστάνει έλλειψη με εστίες Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και εστιακή απόσταση: 2γ=(Μ1Μ2)=|z1 – z2|<2α
• Η εξίσωση: ||z – z1| - |z – z2|| = 2α , α > 0
• Παριστάνει υπερβολή με εστίες Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και εστιακή απόσταση: 2γ=(Μ1Μ2)=|z1 – z2|>2α
Βασικές εξισώσεις
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Βασικές σχέσεις
ΣΧΕΣΗ
ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ
|z – z 0| = ρ , ρ > 0
Κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ
|z – z 0| ρ , ρ > 0
Κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ
|z – z 0|< ρ , ρ > 0
Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ
|z – z 0|> ρ , ρ > 0
Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ
|z – z 0| ρ , ρ > 0 Τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x 0,y 0) και ακτίνα ρ και τα σημεία που βρίσκονται εξωτερικά αυτού του κύκλου
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν για τον μιγαδικό z ισχύει:|z – z0| = ρ , ρ > 0 ή έχεις δείξει ότι η εικόνα του z κινείται σε κύκλο και σου ζητούν να βρεις τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z| , τότε:
• max|z| = (KO) + ρ
• min|z| = (KO) – ρ
• όπου Κ η εικόνα του z0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .
• Για να βρεις τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο, λύνεις το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας ΟΚ και του κύκλου
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού
Ο
Α
Β
Κ
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν η εικόνα του μιγαδικού z ξέρεις ότι κινείται σε ευθεία (ε), τότε ο z έχει μόνο ελάχιστο μέτρο.
• Για να βρεις το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνεις κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε) και βρίσκεις το σημείο τομής των δύο ευθειών.
• min|z|= d(O,ε)
• Για εφαρμογή:
• εφαρμογή 2 σελ.99 , Α7 σελ.101 , Β8 σελ.102 , Γ3 σελ. 123 σχολικού
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού
Ο ε
ζ
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν ο μιγαδικός z με εικόνα Μ κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w με εικόνα Ν είναι σταθερός ,τότε:
• max |z – w|=(NB)=(NΚ)+ρ και • min |z – w|=(NA)=|(NK)-ρ|
• Αν η εικόνα του w ανήκει και αυτή στον κύκλο (Κ , ρ) τότε:
• max |z – w|=(NB)=2ρ και • min |z – w|=0
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών
O
K
y
x
N
B A
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε) και Ν είναι η εικόνα του w,τότε:
• max |z – w| δεν υπάρχει και • min |z – w|= d(N,ε)
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών
O
y
x
N
ε
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Θυμάμαι
Απόσταση σημείου από ευθεία
Αν Μ1(x1,y1) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε : d(M1 , ε) =
𝚨𝒙𝟏+𝚩𝒚𝟏+𝚪
𝚨𝟐+𝚩𝟐
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Θυμάμαι
Κύκλος
Κέντρο κύκλου Εξίσωση κύκλου
O(0 , 0) C: x2 + y2 = ρ2
Κ(x0 , y0) C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2
𝚱 −𝚨
𝟐 , −
𝚩
𝟐
C: x2 + y2 + Ax + By + Γ= 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0
Ακτίνα : 𝝆 =𝚨𝟐+𝚩𝟐−𝟒𝚪
𝟐
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν οι εικόνες των μιγαδικών z , w κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), με z ≠ w, τότε:
• max |z – w|= ΜΝ = 2ρ. • min |z – w|δεν υπάρχει
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών
O
K
y
x
Μ Ν
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και του w σε ευθεία (ε) ,τότε
• max |z – w|δεν υπάρχει • min |z – w|= |d(K , ε) – ρ|
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών
O
K
y
x
ε
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο (Κ , ρ) και του w σε κύκλο (Λ,R) και οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο (σχήμα 1), τότε
• max |z – w|= (ΚΛ) + ρ + R • min |z – w|= |(ΚΛ)– ρ - R| • Αν οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο (σχήμα 2) τότε min|z – w|= 0.
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών
O
K
y
x
Α Β Γ
Δ Λ
σχήμα 1 σχήμα 2
y
O
K Λ
x x
K
Λ
O
y
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Αν οι εικόνες των μιγαδικών z , w με z ≠ w κινούνται σε έλλειψη, τότε • max |z – w|= 2α , δηλαδή ο μεγάλος άξονας.
• Για εξάσκηση δες: Εφαρμογή 2 σελ.99 σχολικού, ασκήσεις Α7 σελ.101, Β8 σελ.102 και Γ3 σελ.123 σχολικού
Μεθοδολογία
• Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών
O
y
x Α΄ Α
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν ,τότε και η συζυγής
παράσταση αυτής είναι ίση με μηδέν.
• Παράδειγμα
• Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι : z2z3 + z1z3 = z1z2
Μεθοδολογία
• Αν 𝒇(𝒛 ,𝒘) = 0 τότε και 𝒇(𝒛 , 𝒘) = 0
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα.
• Παράδειγμα
• Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι:
𝑧1 + 2𝑧2 − 3𝑧3 = 12 𝑧2𝑧3 + 2𝑧1𝑧3 − 3𝑧1𝑧2
Μεθοδολογία
• |𝒇 𝒛 ,𝒘 | = |𝒇(𝒛 , 𝒘)|
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα |z|2 = 𝒛𝒛
• Για παράδειγμα:
• 1. Αν z , w C και z ν = w |z ν| = |w| |z|= |𝒘|𝝂
• 2. Αν z , w C και z ν = w ν |z| ν = |w| ν
• |z| = |w| |z| 2 = |w| 2 𝒛𝒛 = 𝒘𝒘
• 3. Γενικά [ f (z )] ν = [g(z )] ν | f (z )| ν = |g(z )| ν | f (z )|=|g(z)|
• |f(z )| 2 = |g(z )| 2 𝒇(𝒛)𝒇(𝒛) 𝒈(𝒛)𝒈(𝒛)
Μεθοδολογία
• Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο)
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• 1. άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού βιβλίου
• 2. Αν (1 + i z ) ν = (1 – i z ) ν να δείξετε ότι z R .
• Σε τρίγωνο, αν Α ,Β,Γ ε ίναι οι ε ικόνες των μιγαδικών z , w , u , τότε: • α. ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ |z -w|=|u-w|=|z-u| • β . ΑΒΓ ισοσκελές με βάση ΒΓ ΑΒ=ΑΓ |z -w|=|z-u| • γ . ΑΒΓ ορθογώνιο με 𝚨 =90 0 ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ 2
|z -w| 2 + |z -u| 2 = |w-u| 2
• Παράδειγμα: • Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις:
z 1 + z 2 + z 3 = 0 και |z 1|=|z 2|=|z 3|=1 , να δείξετε ότι οι ε ικόνες των z 1 , z 2 , z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 .
Μιγαδικοί και τρίγωνο Παραδείγματα
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Γεωμετρικοί τόποι
Σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των ε ικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w
1 . Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: |z-z 0|=ρ, ρ>0 ή |z -z 1|=|z-z 2| και επομένως γνωρίζω σε ποια γραμμή κινούνται οι ε ικόνες του z . Παράδειγμα
Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 𝟑+i)iz , τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. 2 . Αν δεν μπορεί να συμβεί το 1. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των ε ικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λ i το μιγαδικό γ ια τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι ε ικόνες του, άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ . Στόχος μας ε ίναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ .
Παράδειγμα
Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+𝒛 , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
• ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΚΑΙ ΟΛΟΥΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! • ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΞΑΝΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΝΑ «ΦΡΕΣΚΑΡΕΤΕ» ΤΡΟΠΟΥΣ ΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.
• ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ ΚΑΙ ΝΑ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΚΑΛΑ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. • ΚΑΘΑΡΟ ΜΥΑΛΟ ΠΑΝΩ ΑΠ΄ ΟΛΑ!
Η επιπολαιότητα και η βιασύνη δεν σας ταιριάζει! • ΝΑ ΦΥΓΕΤΕ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ!
• Να έχετε εμπιστοσύνη στον εαυτό σας και στη διαίσθησή σας! • ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΝΑ ΒΓΕΙΤΕ «ΝΙΚΗΤΕΣ» ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΗΝ ΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ!
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος