![Page 1: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/1.jpg)
Применение подвижных адаптивных
и наложенных сеток с маркерами
к решению задач механики сплошных сред
Бураго Н.Г.1, Никитин И.С.2
1Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН2Институт автоматизации проектирования РАН
5-июля-2014, Суздаль, Россия
![Page 2: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/2.jpg)
Типы адаптации сетки1) Описание границ областей сложной переменной формы2) Минимизация ошибок аппроксимации ( min |hdy/dx| )
![Page 3: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/3.jpg)
min ( ,T)V
dV ε
( , ) :tx x x
0.5( ) Tε F ×F - I
*( , )x V
t
x x x
T || || yTF x
0 0 ε 0 0 ε
Уравнения нелинейной термоупругости для генерации адаптивных сеток
Бураго Н.Г., Иваненко С.А. Применение уравнений теории упругости к построению адаптивных сеток // Труды Всеросс. Конф. по прикладной геометрии, построению сеток и высокопроизводительным вычислениям, М.: ВЦ РАН, 2004, 28 июня- 1 июля. С. 107-118
![Page 4: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/4.jpg)
Изотропная термо-упругая среда:
V~
*213 V~
dJ]I~2]T~
I2/)1I[(K~
[min
)F~
det(J
5.0),~(*~~ txxxVx
)4,Jmax(J 10* ' ( : I)I / 3
I:~I1 '~:'~I2 2T
3 J)F~
:F~
det(I
![Page 5: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/5.jpg)
Управление отображением
Формоизменение:
Сжимаемость:
Эффект «температурного расширения»
0
0K
||y||T~
V~
*213 V~
dJ]I~2]T~
I2/)1I[(K~
[min
![Page 6: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/6.jpg)
Метод расчета адаптивных сеток
[ ( : ) : ] 0t
V
x x L x x f J dM V
)t,x~(xx *V~x~
Алгоритм: явная двухслойная схема установления
с масштабированием, уравнивающим вклады от L и J
(...)Jf )1( 5.0
Подробности: ipmnet.ru/~burago
![Page 7: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/7.jpg)
Уравнения для задач механики жидкости и газа
( ) 0art dVt
V
u
dS)
S
(dV
V
:)p(t vv unuugIuuu
TdS
S
dV
V
T:Tr))pE((t
E
nqqu
2 ( ( : ) / 3) ( )v v art σ e e I I u U)1(p
))((5.0 Tuue
( )T artk T E q 2/UE uu
![Page 8: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/8.jpg)
Упрощенная явная схема SUPG FEM1 (Схема уравновешивающей вязкости)
n( ) 1k
n2k
d
dk n
art k
2 0 21
1
( ) [ ( ) ]M
n n nk k kl
l
d d
u
n 2 22k
1
(d ) [ ]M
nk kl
l
| | / 1 0u c u 0.5nk
1.0nk иначе
тоесли
, , , ,x y zu u u E 0( , )
1
M
k kl J k ll
d
( , )1
M
k kl J k ll
1Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline Upwind Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 32. (1982) pp. 199-259.
(Искусственная диффузия “уравновешивает” конвекцию)
![Page 9: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/9.jpg)
)3/):((~2~vv IIeeσ Tk
~~Tq
art
art
v
vv /
1
//~
art
art
T
TT /k
1
/k/k
~
Коррекция физической вязкости по А.А.Самарскому(“экспоненциальная подгонка”)
n
knk
nk
nk
nk
N,1k
n
h/)!1D(||c(
hmint
2 u
Условие устойчивости (Курант-Фридрихс-Леви)
![Page 10: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/10.jpg)
Резюме численного метода.
Формулировка Галеркина. Симплекс-элементы. Адаптивная подвижная сетка. Все неизвестные в узлах.
МКЭ аналог центрально-разностных схем.
Явная схема (сжимаемая среда):
“Уравновешивающая” конвекцию искусственная вязкость.
Экспоненциальная подгонка физической вязкости.
Неявная схема (несжимаемая среда):
Метод штрафа или метод коррекции давления
Явная схема для конвекции & неявная схема для диффузии.
Адаптация: отдельный этап на каждом шаге по времени
![Page 11: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/11.jpg)
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 0; 0.5;
![Page 12: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/12.jpg)
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 1.0; 2.0;
![Page 13: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/13.jpg)
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 3.0; 4.0;
![Page 14: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/14.jpg)
Течение идеального газа в канале М=3; =1.4; t = 4.0;
Изолинии плотности; Адаптация по дивергенции скорости
![Page 15: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/15.jpg)
Адаптивные сетки для сверхзвуковых течений в каналах с препятствиями
![Page 16: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/16.jpg)
Адаптация по градиенту завихренности.
Адаптивные сетки для течений несжимаемой жидкости
1. Термогравитационная конвекция вязкой несжимаемой жидкости Gr=1O7. Квазистационарное течение.
2. Нестационарное течение
Дорожка Кармана
![Page 17: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/17.jpg)
Адаптивные сетки для течений несжимаемой жидкости
Течения расплава в процессах роста кристаллов
![Page 18: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/18.jpg)
поддержание равномерного распределения узлов
K T 0
Адаптивная сетка для штамповки лопатки турбины.
![Page 19: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/19.jpg)
Подвижные адаптивные сетки в задаче Стефанао намерзании льда на холодную стенку
Сквозной счет межфазной границы по А.А.Самарскому
![Page 20: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/20.jpg)
Наложенные сетки – зачем они? Примеры расчета сверхзвукового обтекания тел
Сетка с вырезом Наложенные сетки
![Page 21: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/21.jpg)
Метод наложенных сеток (Overlapping or Chimera grids)
Основная окаймляющая сетка + Наложенные сетки
Расчет проводится шагами по явной схеме или итерациями по неявной схеме отдельно на основной сетке и на наложенных сетках, при этом после каждого шага (итерации) с помощью интерполяции проводится обмен расчетными данными между сетками в зоне наложения.
![Page 22: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/22.jpg)
Упрощенный метод наложенных сеток
Основная окаймляющая сетка + Наложенные сетки
Наложенные сетки используются только для приближенного задания границ и граничных условий на основной сетке
==========================
Вместо наложенных сеток можно использовать наложенные области, определяемые набором условий
Цель: простое решение проблемы сложной геометрии
![Page 23: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/23.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиполе скоростей (t=0)
![Page 24: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/24.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиполе скоростей (t=0.1)
![Page 25: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/25.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиполе скоростей (t=0.2)
![Page 26: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/26.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиполе скоростей (t=0.3)
![Page 27: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/27.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиизолинии вертикальной скорости
![Page 28: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/28.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиизолинии вертикальной скорости (t=0.1)
![Page 29: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/29.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиизолинии вертикальной скорости (t=0.2)
![Page 30: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/30.jpg)
Фрагмент области решения около наложенной сеткиизолинии вертикальной скорости (t=0.3)
![Page 31: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/31.jpg)
Фрагмент области решения изолинии местного числа Маха (t=0.45)
![Page 32: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/32.jpg)
Полная область решения изолинии местного числа Маха (t=0.45)
![Page 33: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/33.jpg)
Полная область решения изолинии местного числа Маха (t=7.00)
![Page 34: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/34.jpg)
Полная область решения Основные искомые функции (t=7.0)
![Page 35: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/35.jpg)
Зонтик и капли дождя (непрерывные маркеры)
0tC C u С=0 – пусто, С=1 - вода
![Page 36: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/36.jpg)
Диффузия границ и нарушения консервативности в методах непрерывных маркеров
![Page 37: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/37.jpg)
Консервативная антидиффузия маркер-функции на свободных границах
![Page 38: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/38.jpg)
Метод непрерывных маркеровЗадачи о падении капли в бассейн
о стекании воды через дыруоб обрушении водяной колонны
![Page 39: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/39.jpg)
Генерация и уничтожение дискретных маркеров
![Page 40: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/40.jpg)
Интерполяция на свободных границах
![Page 41: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/41.jpg)
Метод дискретного маркера для задач о падении водяных струй в водоем и о фонтане (обрушение вертикальной струи)
![Page 42: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/42.jpg)
Дискретные маркерыФонтан и лужа. Падение струй в бассейн
![Page 43: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/43.jpg)
Задачи соударения упругопластических тел
![Page 44: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/44.jpg)
Развитие трещины отрыва при растяжении образца
Спекание порошкового композита
Разрушение и спекание
![Page 45: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/45.jpg)
Приливная волна в Онежском заливе Белого моря
Уединенная волна в бассейне с углублением
Течения мелкой воды
![Page 46: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/46.jpg)
Распространение дыма по комнате от горящей свечи
Перенос загрязнений подземным фильтрационным потоком
![Page 47: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/47.jpg)
Выводы
• Адаптивные сетки позволяют получать численные решения повышенной точности при малом числе узлов.
• Уравнения нелинейной термоупругости пригодны и удобны для управления адаптацией сетки.
• Коррекция решения по методу адаптивных и наложенных сеток оформляется в виде отдельной подпрограммы
• Наложенные области можно задать аналитически набором условий.• Преимущества: повышенная точность решений, простота задания
геометрии, простые робастные алгоритмы сквозного счета с простой логикой.
• Недостатки: сетки должны обеспечивать хорошее разрешение, то есть иметь большую размерность.
Копия данной презентации и публикаций по теме доступны на сайте http://www.ipmnet.ru/~burago
![Page 48: Применение подвижных адаптивных и наложенных сеток с маркерами](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062304/56812dde550346895d933177/html5/thumbnails/48.jpg)
Конец