Download - Тригонометрия на ЕГЭ
![Page 1: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/1.jpg)
Тригонометрия на ЕГЭ
Выполнила
ученица 11 «а» класса ГБОУ ЦО №1486
Поташева Виктория
Руководитель
учитель математики Соколина В.И.
![Page 2: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/2.jpg)
ОГЛАВЛЕНИЕ Радианная мера угла
Угол поворота
Определение тригонометрических функций
Знаки тригонометрических функций
Значения тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций
![Page 3: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/3.jpg)
ОГЛАВЛЕНИЕ Основные формулы тригонометрии
Формулы приведения
Формулы корней уравнений
Задачи группы В
Способы решения тригонометрических уравнений
Из материалов ЕГЭ
![Page 4: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/4.jpg)
Единичной окружностью называется окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
RR
R0
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
1 радиан = углу АОВ Длина дуги АВ = ОА =
1 рад
А
В
R
радиан180
10 0
0
57180
1
радиан
Радианная мера угла
Единичная окружность соответствует 2p радиан
![Page 5: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/5.jpg)
+
-
Р (a >0)a
(a >0)Рa
У
х0
Угол поворота
Ро
Угол поворота радиуса ОР против часовой стрелки считается положительным, а по часовой --- отрицательным
о-
+
R=1II I
III IV
Начало отсчета углов - в точке (1;0)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 6: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/6.jpg)
4
0
6
6
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
4
3
3
3
2
6
5 4
3
6
5
4
3
3
2
2
1
2
радиан01
![Page 7: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/7.jpg)
Через единичную окружность (радиус равен 1)
Через произвольную окружность
Через прямоугольный треугольник (для острых углов
Определение тригонометрических функций
А С
В
b
ca
х
у
0
0
Р (х;у)
Р (х;у)
х
у
у
xctg
х
ytg
R
xR
y
cos
sin
a
bctg
b
atg
c
bс
а
cos
sin
sin
coscos
sin
a
bctg
x
ytg
Sin = - ордината точки Р Соs = х - абсцисса точки Р
![Page 8: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/8.jpg)
Синусом угла a называется абсцисса точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат
Косинусом угла a называется ордината точки единичной окружности, полученной при повороте точки (1;0) на угол a радиан вокруг начала координат.
У
Х
sin
cos0
А
(1;0)a
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 9: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/9.jpg)
1
х
у
a
А(1;уА )
Р0
А - ось тангенсов
Р0
А ‖ ОУ Р0
cos
sintg
Aytg По общему определению- ордината соответствующей точки оси тангенсов
Тангенсом угла a называется отношение синуса угла a к его косинусу
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 10: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/10.jpg)
У
Х0
a
С
В (хВ;1) СВ -- ось котангенсовСВ ‖ Ох
sin
cosctg
BXctg По общему определению
- абсцисса соответствующей точки оси котангенсов
Котангенсом угла a называется отношение косинуса угла a к его синусу
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 11: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/11.jpg)
Знаки тригонометрических функций
_
+
+
_ +
_
+
_
+
+
_
_
II
IIII I
I
I
III
III
III
IV
IVIV
sincos
ctg
tg
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 12: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/12.jpg)
Тригонометрический круг
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 13: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/13.jpg)
Значения тригонометрических функций некоторых углов
![Page 14: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/14.jpg)
Свойства тригонометрических функций
Четность и нечетность
Косинус- четная функция
Синус, тангенс, котангенс – нечетные функции
Периодичность
cos)cos(
ctgctg
tgtg
)(
)(
sin)sin(
cos,sin
ctgtg ,
- период
- период
Znctgnctg
tgntg
,)(
)(
Znn
n
,sin)2cos(
sin)2sin(
2T
T
![Page 15: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/15.jpg)
Основные формулы тригонометрии
1cossin 22
Znn
tg
,2
cos
sin
Znn
ctg
,sin
cos
Znn
ctgtg
,2
1
Znn
tg
,2
cos
11
22
Znn
ctg
,sin
11
22
![Page 16: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/16.jpg)
2cos
2sin2sinsin
2
cos2
sin2sinsin
2cos
2cos2coscos
2sin
2sin2coscos
cossin22sin 22 sincos2cos
2cos22cos1 2sin22cos1
![Page 17: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/17.jpg)
мнемоническое правило:• Если аргумент изменяется на угол, кратный p ,
название функции не меняется.
• Если аргумент изменяется на угол , кратный /p 2, название функции меняется на противоположное.
• Знак новой функции определяется знаком исходной, считая , что a ( 0 , О /2)p .
Аргумент tПриводимая
функция
п/2+t п +t 3/2п+t 2п-t
sint cost +sint -cost -sint
cost +sint -cost +sint cost
tgt +ctgt +tgt +ctgt -tgt
ctgt +tgt +ctgt +tgt -ctgt
Формулы приведения
![Page 18: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/18.jpg)
Формулы решения уравненийsinx =а, cosx = а, tg х=а.
Zkkax
aгдеaxk
,arcsin)1(
;1;1 ,sin.1
Zkkax
aгдеax
,2arccos
1;1 ,cos.2
Zkkarctgax
Raгдеatgx
,
,.3
![Page 19: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/19.jpg)
Задачи группы В. Задания В5
Решите уравнение .
В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
3
3
2
.375,0:
.375,08
3,2;5,0,2
;,8
6
8
9;,
4
31
;,6278;,6178
3;,23
2
3
78;,2
3
1
3
78
:;,23
2
3
)78(;,2
33
)78(
Ответ
xnxn
ZnnхZnnх
ZnnxZnnx
Znnx
Znnx
Znnx
Znnx
Решение
2
3
3
)78(sin
x
![Page 20: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/20.jpg)
Задачи группы В. Задания В6
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=25,АС=20. Найдите sinA .
.6,0:
6,025
15
25
400625sin
.
22
ОтветAB
ACAB
AB
BCA
Решение
A
BC
![Page 21: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/21.jpg)
Задачи группы В. Задания В7
Найдите значение выражения .312
5cos12 2
.5,1:
.5,12
33
6
5cos3
112
5cos231
12
5cos433
12
5cos12
.
222
Ответ
Решение
![Page 22: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/22.jpg)
Задачи группы В. Задания В7
Найдите .5,2,3cos5sin2
15sin4cos10
tgесли
.5:
.53
15
3cos5cos5
15cos10cos10
3cos5cos5,22
15cos5,24cos10:
.cos5,2sin,,5,2cos
sin,5,2
.
Ответ
Получим
значиттоtgЕсли
Решение
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 23: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/23.jpg)
Тригонометрия на ЕГЭ Задания В12Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t — время в секундах. Кинетическая энергия
груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле ,
где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая
энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
ttv sin5,0)(
2
2mvE
3105
.105
2
sin5,008,0:
.1052
sin5,0;105
2;105
.
32
32
32
3
tонеравенствПоличим
tmmvЕ
Решение
![Page 24: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/24.jpg)
.02cos;02cos
;01sin2;1sin2;1sin25,08
100;10sin25,008,02;1052
sin5,008,0
222
2232
tt
ttt
tt
2
2
3
0
.5,0:
.5,01
5,0:
.5,02
1
4
2
4
1
4
3,
.4
3
4
1;2:;
2
32
2
:,
Ответ
Получим
секtЗначит
tt
имеемтодвиженияначала
послесекундыпервойизвремени
долюнайтинеобходимокакТак
![Page 25: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/25.jpg)
Найдите точку минимума функции ,
принадлежащую промежутку .
xxху sincos)5,0(
)2
;0(
.)2
;0()2
;0(5,0
0sin05,0
.0sin)5,0(,0.sin)5,0(
cossin)5,0(coscos))(cos5,0(cos)5,0(
.)(,sincos)5,0(
/
///
нетx
промежуткенарешенийxилих
xxеслиyxx
xxxxxxхxхy
RyDxxху
Решение
у'
у
2
0,50 - +
.5,0:
.5,0min
Ответ
х
Задачи группы В. Задания В14
min
![Page 26: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/26.jpg)
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
342 xtgxу
3;
3
2
1cos
2
1cos
;2
1cos;04
cos
2,0
.4cos
2.0cos:)(,342
.
22
/
2/
xилиx
xx
еслиу
xyxyDxtgxу
Решение
3
3
0
4
4
.5:
.33
432
3;3
3
432
3
;214
;54
Ответ
tgtg
tgtg
Задачи группы В. Задания В14
![Page 27: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/27.jpg)
1. Алгебраический метод. ( метод замены переменной и подстановки ).
.,,26
-3
;26
:
.,263
;,22
1arccos
6;
2
1)
6cos(
.,26
;,26
;1)6
cos(
.2
1;1
;0132;)6
cos().6
cos()3
sin(:
01)3
sin(3)6
(
21
2
ZkZnknОтвет
ZkkxZkkxx
ZnnxZnnxx
yy
yyyxxxРешение
xx
22сos:Пример
![Page 28: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/28.jpg)
2. Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1
.,,4
;:
,4
x
1 tgx ,
0cos|0sincos 0sin
;0)sin(cossin;0sincossin
;0sincoscossincos;01cossincos2
2222
ZkZnknОтвет
Zkk
Znnx
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
Решение
![Page 29: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/29.jpg)
3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg
![Page 30: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/30.jpg)
4. Введение вспомогательного угла
/,31818
)1(:
.,31818
)1(
,33
1
663
1)1( .,
6)1(3
6
2
1)
63sin(
2
13cos
6sin3sin
6cos
2
13cos
2
13sin
2
3
213 на части обе делимпоэтому ,1;3 уравнении данном В
.cossin вида Уравнение.
.13cos3sin3
Zkk
Ответ
Zkk
x
Zkk
xZkkx
x
xx
xx
ba
cxbxaРешение
xxуравнениеРешить
k
k
kk
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 31: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/31.jpg)
5. Преобразование произведения в сумму.
.,24
:
.,24
;2
2
;02cos
;02cos
;4cos2cos4cos
.
.4cos3sinsin2
Zkk
Ответ
Zkk
x
kx
x
x
xxx
суммувчастьлевуюмПреобразуеРешение
xxxуравнениеРешить
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 32: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/32.jpg)
6. Универсальная подстановка
.,23
7562:
уравнение. исходное в значения данного ойподстановк - япроверкойпроверяетс что
яет,удовлетвор не 22
.,23
756-2arctg xчто ,
.3
756
2
3
756
.013123
,2
5
1
)1(4
1
6
.2
2 cos sin .
.2
5cos4sin3
.
21
21
cos,
21
22
sin
2,1
2
2
2
2
2
2
2
ZnnarctgОтвет
x
уравнениюnиисходномarctgвидаxЗначение
ZnnНаходим
xtg
уравненийпростейшихдвухрешениюксводитсяУравнение
числаbявляютсяуравненияэтогоКорнями
bbквадратноев
тсяпреобразуекотороеb
b
b
bуравнениеоерациональнПолучаем
bx
gобозначимtи
xчерезtgвыражениеихнаxиxЗаменимРешение
xxнениеРешитьурав
xtg
xtg
xx
tg
xtg
xформулыИспользуем
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x = 3sin x-
6
![Page 33: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/33.jpg)
.,2;,5
4:
.,2
,,5
4,
.2
,5
4,08145
:Получим
xcos на уравнения части обе Разделим
.0cos8cossin14sin5
,0cos4sin4cos4cossin14sin
вид примет
уравнение то),cos4(sin4Поскольку
.
2
2
22
2222
22
ZkkarctgxZnnarctgxОтвет
Zkkarctgx
ZnnarctgxЗначит
tgx
tgxxtgxtg
xxxx
xxxxxx
xx
Решение
Решить уравнение: .04cos4cossin14sin 22 xxxx
![Page 34: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/34.jpg)
.5,0cos
,05,0cos
,05,1sin2cossin21
:.0sin,,0sin2
:
22
x
x
xxx
Получимxзначитx
Решение
Решить уравнение:
3
.,23
:
.,23
,0sin
ZnnОтвет
Znnx
тоxкакТак
.0sin2
5,1sin2cos2cos 2
x
xxx
3
![Page 35: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/35.jpg)
.3sinsin3 xtgxtgxxРешите уравнение:
.3
5,
3
2,
3;,
3:
.3
5,2;
3
2,1;
3,0,
.12
25
12
2;211246;
12
4
7
32
:4
7;
2,)3
.,3
,0cos,1sin3
;0)1)(sin3(;0)3()3(sin)2
.0cos)1
:
.4
7;
2,
ZnnОтвет
хпхпхптоZпкакТак
пnn
отрезкущиепринадлежауравнениякорниОтберем
Znnх
нетрешенийтоxкактакxилиtgx
xtgxtgxtgxx
x
Решение
промежуткущиепринадлежакорниУкажите
![Page 36: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/36.jpg)
.08)sin4sin9)( 3 ctgxxxаРешите уравнение:.
4
5;,)
отрезкущиепринадлежауравнениякорниНайдитеб
Zmm, x ,)3
2arcsin(
03
2sin ,
0804sin90sin
;08)sin4sin9()2
.0sin
,0
;0sin
,08)1
) .
2
3
Zkk(-1)хОДЗ тпринадлежине
ctgxxZnnх
ctgxилиxилиx
ctgxxx
x
ctgx
x
ctgx
аРешение
n
3
2arcsin
3
2arcsin
3
2arcsin
3
2arcsin
![Page 37: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/37.jpg)
.
,4
5;,)
кругарическоготригонометпомощьюс
отрезкущиепринадлежауравнениякорниНайдёмб
Znnx ,2
3
2arcsin2
3
2arcsin
Znnx ,3
2arcsin
3
4
5
2
5
2
3
.3
2arcsin,
2
3
,3
2arcsin2,
2
5
;,2
;,3
2arcsin:
Znn
ZnnОтвет
![Page 38: Тригонометрия на ЕГЭ](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062500/56814ef7550346895dbc8708/html5/thumbnails/38.jpg)
Интернет ресурсы
1. http://www.fipi.ru
2. http://reshuege.ru
3. http://alexlarin.net/