РОЗВ’ЯЗУВАННЯПРЯМОКУТНИХТРИКУТНИКІВ
Підготувала:Голуб Наталія АндріївнаТальнівська загальноосвітня
школа I-III ст.№2Тальнівського району
А
ВС
Означення :Прямокутним називається трикутник у якого один кут прямий.
катетигіпотенуза
А
ВС
Властивості прямокутного
трикутника
1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90º. А+ В = 90º
2. Катет , який лежить проти кута 30º дорівнює половині гіпотенузи .Якщо А = 30º , то ВС = 0,5АВ
А
ВС
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутникуквадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів .
АВ² =АС²+ВС²
А
ВС
Означення Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи .
sinА = ВСАВ sinВ = АС
АВ
А
ВС
Означення Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи .
cosА = АСАВ cosВ = ВС
АВ
А
ВС
Означення Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого .
tgА = ВСАС tgB = АС
ВС
А
ВС
Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника
Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку:
- гіпотенузи на синус протилежного кута АС=АВsinB BC=ABsinA - гіпотенузи на косинус прилеглого кута AC=ABcosA ВC=ABcosВ
- другого катета на тангенс протилежногокута
AC=BCtgB BC=ACtgA
А
ВС
Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення :
- катета на синус протилежного кута АВ= АB= - катета на косинус прилеглого кута
AВ= АВ=
ВСsinA
АСsinВ
АСcosA
ВСcosВ
А
ВС
Значення синуса, косинуса і тангенса деяких кутів
α 0º 30º 45º 60º 90ºsin α 0 ½ √2 √3 1
cos α 1 √3 √2 ½ 0
tg α 0 √3 3
1 √3 -
2
22
Перевір себе
1 Який трикутник називається прямокутним?2 Сформулюйте теорему Піфагора.
3 Сформулюйте властивості прямокутного трикутника.4 Що називається синусом гострого кута прямокутного трикутника?5 Як знайти катети за гіпотенузою і гострим кутом?
6 Як знайти гіпотенузу за катетами ?
Піфагор Самоський(580-500рр до н.е )
Давньогрецький філософ,вчений , математик. Зробив значний вклад в розвиток тогочасної науки. Відкрите ним правило знаходження
величин сторін прямокутного трикут-ника, назване нині “теоремою Піфагора”,є головною і найкращою теоремоюгеометрії.
Розв’язування прямокутних трикутників
Умова задачі Розв’язання Дано: А=α, С=90º, АВ=с.Знайти: В, АС, ВС.
В=90º-α, ВС=сsinα,АС=сcosα.
Дано: А=α, С=90º , ВС=а.Знайти: В, АВ, АС.
В=90º-α, АВ= , АС=АВcosα .
аsinα
А
ВС
α сb
а
Умова задачі Розв’язання Дано: АВ=с, С=90º, ВС=а.Знайти: А, В, АС.
sinА= , В=90º- А ,АС=сcosА.
Дано: АС=b, С=90º, ВС=а.Знайти: А, В, АВ.
АВ=√а²+b² , sinА= , В=90º- А.
Розв’язування прямокутних трикутників
ас
аАВ
а
А
ВС
α сb
Розв’яжи самостійно
Діагональ прямокутника дорівнює 85 смі утворює зі стороною кут 65º. Знайдіть сторони прямокутника.
Задача 1
Задача 2Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника пропорційні числам 7 і 25. Знайдіть синус,косинус і тангенс гострих кутів трикутника.
Розв’язання задачі 1 ВВ
А
В С
D
З ACD ( D=90º). AD=ACsinC, CD=ACcosC.
Дано: АС=85см, АСD=65º
Знайти: AD, CD.
Розв’язання.
AD=85sin65º=85·0,906=77,01
CD=85cos65º=85·0,423=35,96 Відповідь: 77,01см, 35,96см.
Розв’язання задачі 2А
ВС
Дано: АВС ( С=90º); АС:АВ=7:25Знайти:sinA,cosA, tgA sinB,cosB, tgB
Розв’язання.
24 7
ВСАС
ACAB
Нехай АС=7х, тоді АВ=25хВС=√АВ²-АС². ВС=√625х²-49х²=√576х²=24х
sinA= = ;ВСАB
2425 cosA= = ;7
25
tgA= = ; sinB= ;725
cosB= ;2425 tgB= .7
24
Прикладні задачі
Задача 1
Ширина будинку 7 м, довжина
крокви 4,5 м.
Під яким кутом крокви нахилені
до стелі ?
Розв’язання.А
В
С
Дано:АС=7м ; АВ=ВС=4,5м.Знайти : А.
К
ВК АС , АК=0,5АС, АК=3.5см. З АВК( К=90º)Τ
Розв’язання прикладної задачі
cosA= .AKAB cosA=0.777.
А=39ºВідповідь: 39º
Задача 2
Вершину дерева, віддаленого від даного
пункту на 16 м, видно під кутом 16º до
горизонту , а вершину другого дерева
віддаленого від цього самого пункту на
24 м, видно під кутом 19º. Яке дерево
вище і на скільки?
Розв’язання прикладної задачі
α
βA К C
B
М Дано:АС=24м ;КС=16мα=16º , β=19º
Знайти : АВ-КМРозв’язання
АВ=АСtgβ ; КМ=КСtgα .АВ=24·0,344=8,256м. КМ=16·0,287=4,592м.
АВ-КМ=3,664м.
Відповідь:3,664 м.