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量子力学教程 ( 第二版 )
第 6 章
电磁场中粒子的运动
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6.1 电磁场中荷电粒子的运动,两类动量
质量,荷电 q 的粒子在电磁场中运动,其经典Hamilton 量为
一、荷电 q 粒子在电磁场中的 Newton 方程(经典描述)
21
(1)2
c
P A
A:电磁矢势 ;:电磁标势 ;P:正则动量。
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6.1 电磁场中荷电粒子的运动,两类动量
将( 1 )式代入正则方程,有
,Η
rP
Η
P
r(2)
即可得出1
( )r E υ Bqc
( 3 )
式中 B A 磁场强度
1
c t
E A 电场强度 ( 4 )
上式( 3 )即为荷电 q 的粒子在电磁场中的 Newton 方程 .式( 3 )中右边第二项即 Lorentz 力,实验证明是正确的 .
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证明( 3 )式
1( )x x
x
H qx P A
P c
x x x
q qP x A υ Ax
c c
以 x分量为例,按式 (1)和 (2)有
P υ Aq
c
( 5 )
( 6 )
所以
因而
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可见,在有磁场的情况下,正则动量和机械动量并不相等 .
将式 (5)对 t 微分,利用 (4) 和 (6) 得
υ.,机械动量P υ Aq
c 正则动量
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x x x
q H qx P A A
c x c
所以1 1
( ) ( )r A υ A E υ Bq
q qc t c c
3
1
1 ii i x
i
Aq q qP A q A
c c x x c
3 3
1 1
i x xi i
i i i
A A Aq qr q r
c x x c t r
1 yx zx x x x
AA Aqq A x y z x A y A z A
x c t c x x x x y z
1( )A υ A
xx
c t c
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二、电磁场中荷电粒子的 Schrödinger 方程
换成算符 ,即P
P̂
按照量子力学中的正则量子化程序,把正则动量
ˆ i (7)P P
则电磁场中荷电 q 的粒子的 Hamilton 算符可表为2
1 ˆ (8)2
qH q
c
P A
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6.1 电磁场中荷电粒子的运动,两类动量
因而 Schrödinger 方程可表为2
1 ˆi (9)2
t c
P A
一般说来, ,P A不对易 .
按照证明对易关系的一般方法 , 可以证明ˆ ˆ i (10) P A A P A
22 2
2
1 ˆ ˆi (11)2 2
q qA q
t c c
P A P
利用电磁波的横波条件 0 A ,方程( 9 )表示为
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6.1 电磁场中荷电粒子的运动,两类动量
讨 论 1. 定域的概率守恒与流密度
式 (11) 取复共轭 , A与 为实,在坐标表象中
*ˆ ˆP P
2* 2 2 *
2
1 ˆ ˆi (12)2 2
q qA q
t c c
P A P
得*×((12) , 利用 0 A
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* * 2 2 * * *1 ˆ ˆ ˆ ˆi ( ) [ ] ( )2
q
t c
P P A P A P
即0 (13)
t
j
式中 *
* * *1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )2
q
c
P P P P A
* * *i 2ˆ ˆ( )2
q
c
P P A
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* * *1 ˆ ˆ( )2
q
c
j P P A
1 1ˆˆ i (15)υ P A Aq q
c c
流密度算
符
理解为粒子的 速度算符
* * *1 ˆ ˆ( ) ( )2
q q
c c
P A P A
* * * *1ˆ ˆ ˆ( ) Re( ) (14)
2υ υ υ
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2. 规范不变性电磁场具有规范不变性,当矢势和标势作下列规范变换时
' ( , )(16)1
( , )
t
tc t
A A A r
r
电、磁场强度都不改变 . 其规范不变性是显然的 .
但 Schrödinger 方程( 9 )中出现 A和,是否违反规范不变性? 否!!
可证明
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6.1 电磁场中荷电粒子的运动,两类动量
波函数如做相应的变换ie (17)q c
则 ' 满足的 Schrödinger 方程,形式上与同,即
21 ˆi (18)
2
t c
P A'