Download - บทที่ 6 Moment Distribution Methodcivil.in.th/cen321/CEN321-06T.pdfMoment Distribution Method 3 ค าต างๆ ท ใช ในว ธ Moment Distribution • ท

Moment Distribution Method 1

FABBAAB M

L32

LEI2

M ±Δ

−θ+θ= )(

FBABABA M

L32

LEI2

M ±Δ

−θ+θ= )(

บทท 6 Moment Distribution Method • ใชวเคราะห Indeterminate Beam และ Rigid Frame ไดทกชนด• ประยกตมาจากสมการ Slope-Deflection

ซงแยกโมเมนตทปลายชนสวนใหเปนผลของ 4 เหตการณ1) Fixed End Moments2) ผลของ Rotation ท A อยางเดยว3) ผลของ Rotation ท B อยางเดยว4) ผลของ Relative Translation ของปลาย A และ B


ขนตอนของการทา Moment DistributionLocking จากดใหทก Joint ไมมการเคลอนท

แรงทมากระทาในชนสวนของโครงสรางทาใหเกด Fixed End Moments ขน (MF

AE ,MFEA

,MFED ,.... )

Unlocking Unbalanced Moment ทจด E ทาใหโครงสรางเคลอนทไปจนเกดแรงตานรวมพอดทสมดล ขณะเดยวกนการบดของโครงสรางทาใหเกดโมเมนตทปลายดานไกล (A ,B ,C หรอ D ) ของชนสวนเรยกวา “ Carry-Over Moment ”

• ทาทง 2 ขนตอนจนกวาจะไดสภาพทสอดคลองกบฐานรองรบและจดตอของโครงสราง• โมเมนตทปลายใด ๆ หาไดจากผลรวมของโมเมนตจากทกขนตอน

B

A C

D

EMF

AE

MFDE

MFCE

MFEA

MFED

MFEA+MF

EB+MFBC+MF

ED

B

A C

D

E


คาตางๆ ทใชในวธ Moment Distribution

• ทศทางบวกของ Moment กาหนดทศทางเชนเดยวกบวธ Slope-Deflection คอ Moment ตามเขมนาฬกาเปนบวก ดงรป

• ทศทางบวกของ Rotation ตามเขมนาฬกาเปนบวก ดงรป

• Fixed End Moments ( หาไดจากตารางเชนเดยวกบวธ Slope-Deflection )

+θ -θ

+-


Fixed-End MomentsP

L

L/28

PL8

PL WL12

WL2

12WL2

W

L

a

)( 222

2

a3aL8L6L12

Wa+− )( a3L4

L12Wa

2

3

−

P

L

a2

2

LPab b

2

2

LbPa

ML

a)( a2b

LMb

2 −b

)( ab2LMa

2 −

WL20

WL2

30WL2

W

L96WL5 2

96WL5 2

L/2

1

3

5

2

4

6

7


Distribution Factor และ Distribution ของโมเมนตภายนอกทมากระทาท Joint

MFED

M

B

A C

D

E MFEC

MFEB

MFEA

Frame มโมเมนตภายนอกมากระทา

เกดการหมนของ Joint E ขน

(ทกชนสวนหมนไปเปนมมเทากน)

มแรงตานทานการหมนของ E จากทกปลายชนสวน

M

B

A C

D

E

B

A C

D

E


สมการ Slope-Deflection

EEAEEAEA 4K4LEI

M θ×=θ×= )(

EECEECEC 4K4LEI

M θ×=θ×= )(

EEBEEBEB 4K4LEI

M θ×=θ×= )(

EEDEEDED 4K4LEI

M θ×=θ×= )(


สมดลของ Joint E

ได

K4KKKK4MMMMM EEDECEBEAEEDECEBEA ∑θ=+++θ=+++= )(

MK

KM

KK

MK

KM

KK

K4M EDECEBEA

E )()()()(∑

+∑

+∑

+∑

=∑

=θ

EDECEBEA MMMMM +++=

Distributed Moments

Distribution Factor

DEA DEB DBC DEDโมเมนตท Joint E จะกระจายตามสดสวนของ Distribution Factor


Carry-Over Factor และ Carry-Over Momentเมอมการหมนและโมเมนตทปลายดานหนง (A) จะเกดโมเมนตทปลายอกดาน (B)

ใชสมการ Slope-Deflection จะทราบวา

และ

ดงนน

MBAMAB A B

θA

AAB LEI

4M θ= ABA LEI

2M θ=

ABAB M21

M =

Carry-Over Moment

Carry-Over Factor (CBA) ในกรณทปลายดานไกล (B) เปน Fixed End


EX.1 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนของโครงสรางดานลาง(เคลอนทไดเพยง 1Joint) โดยใชวธ Moment Distribution

B

A C

D

E3I

2I

4II

1.2 k/ft.

10 ft10 ft

10 ft

10 ft


1) หาคา Fixed End Moments (FEM)

2) หาคา Distributed Moments (DM)

Fixed End Moment

Distributed Moments

D

B

A CE10 k-ft. .

.ftk10

121021

12WL

FEMFEM22

AEEA −=×

===

100.1×10

0.2×10

0.3×10

0.4×10

)( ชนสวนยนอกกระทาทไมมแรงภา0FEMนอกนน =

EI2010EI2

LEI

KEI1010EI

LEI

K EBEA .;. ======

EI4010EI4

LEI

KEI3010EI3

LEI

K EDEC .;. ======

EIEI40EI30EI20EI10K =+++=∑ ....

10EIEI10KKDF EAEA ././ ==∑=

40DF30DF20DF EDECEB .;.;. ===


2) หาคา Distributed Moments (DM) ตอ- หาคา Unbalance Moment ได

ทจด E = (0.1×10) + (0.2×10) + (0.3×10) + (0.4×10) = -10 (ทวนเขม)

0010DFUMDM AEAE =×−=×= 11010DFUMDM EAEA −=×−=×= .

0010DFUMDM BEBE =×−=×= 22010DFUMDM EBEB −=×−=×= .

0010DFUMDM CECE =×−=×= 33010DFUMDM ECEC −=×−=×= .

0010DFUMDM DEDE =×−=×= 44010DFUMDM EDED −=×−=×= .

DFMomentUnbalanceDM ×=


3) หาคา Carry-Over Moments (COM)COM = DM (ชนเดยวกน) / 2ดงแสดงในตารางดานลาง

4) คาผลรวม (Σ) ในแตละชองกคอคาโมเมนตทปลายของแตละชนสวน

Carry-Over Moments

DF 0 0.1 0 0.2 0 0.3 0 0.4 ปลายชน AE EA BE EB CE EC DE ED1) FEM -10 10 0 0 0 0 0 02) DM 0 -1 0 -2 0 -3 0 -43) COM -0.5 0 -1 0 -1.5 0 -2 04) Σ -10.5 9 -1 -2 -1.5 -3 -2 -4

B

A C

D

1 2

342

0.5

1.51

ΣDF= 0.1+0.2+0.3+0.4 = 1


EX.2 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนของโครงสรางดานลางโดยใชวธ Moment Distribution(คา EI คงทเทากนทกชนสวน)

B C

60 ft. 20 ft. 20 ft.

A1 k/ft. 20 k



Fixed End Moments2) หาคา Distributed Moments (DM)

- หา Distribution Factor (DF)

Distributed Moments

B CA300 k-ft. 300 k-ft. 100 k-ft. 100 k-ft.

.ftk30012601

12WL

FEMFEM22

ABBA −=×

===

.ftk1008

40208

PLFEMFEM CBBC −=

×===

EI025040EI

KEI01667060EI

K BCBA .;. ====

EI041670EI0250EI016670K ... =+=∑

)(Fixed0DFAB =

200

BCA

80 12060 ft. 20 ft. 20 ft.

40EI041670EI016670KKDF BABA .././ ==∑=

)(Fixed0DFCB =

60EI041670EI02570KKDF BCBc .././ ==∑=



ทจด A ; (-300) = 300 (ตามเขม)

ทจด B ; (300-100) = -200 (ทวนเขม)

ทจด C ; 100 = -100 (ทวนเขม)

00300DFUMDM ABAAB =×=×=

และ8040200DFUMDM BABBA −=×−=×= .

12060200DFUMDM BCBBC −=×−=×= .

00100DFUMDM CBCCB =×−=×=




DF 0 0.4 0.6 0ปลายชน AB BA BC CB1)FEM -300 300 -100 1002)DM 0 -80 -120 03)COM -40 0 0 -604)Σ -340 220 -220 40

B CA340 220 220 40

B CA40 80 120 60

Carry-Over Moments


EX.3 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนถาทฐาน A หมนตามเขมนาฬกาไป 0.0016 Rad. โดยใชวธ Moment Distribution (กาหนด EI = 10,000 k-ft2.)

B C

A

10 ft.

20 ft.

2II θ=0.0016 Rad.


1) การหมน θ = 0.0016 Rad. ทาใหเกด FEM

2) หาคา Distributed Moment (DM)

- หาคา Distribution Factor (DF)

...,

ftk4610

00160000104LEI4

FEMAB −=××

=θ

=

...,

ftk2310

00160000102LEI2

FEMBA −=××

=θ

=

B

A

10 ft.θ=0.0016 Rad.

3.2

6.4

EI1020EI2

KEI1010EI

K BCBA .;. ==== EI20EI10EI10K ... =+=∑

)(Fixed0DFAB = 50EI20EI10KKDF BABA .././ ==∑=

)(Fixed0DFCB = 50EI20EI10KKDF BCBC .././ ==∑=



ทจด A ; 6.4 = -6.4 (ทวนเขม)

ทจด B ; (3.2 - 0) = -3.2 (ทวนเขม)

ทจด C ; 0

0046DFUMDM ABAAB =×−=×= .

และ615023DFUMDM BABBA ... −=×−=×=

615023DFUMDM BCBBC ... −=×−=×=

0DFUMDM CBCCB =×=




DF 0 0.5 0.5 0ปลายชน AB BA BC CB1)FEM 6.4 3.2 0 02)DM 0 -1.6 -1.6 03)COM -0.8 0 0 -0.84)Σ 5.6 1.6 -1.6 -0.8

BC

A5.6

1.6 0.8


ตวอยางทผานมาทงหมดม Joint ทเคลอนทได เพยง Joint เดยว• ทา Moment Distribution เพยงรอบเดยวกไดคาตอบ

FEM (Locking) DM (Unlocking) COM รวมผลทงหมด (Σ) จงไดคาตอบ

ตวอยางตอไปนจะม Joint ทเคลอนทไดมากกวา 1 Joint• ตองทา Moment Distribution หลายรอบจนกวา Carry-Over Moment

นอยมากจนตดทงไดFEM DM COM COM นอยมาก รวมผลทงหมด (Σ) ไดคาตอบ

ใช

ไมใชทาซา


EX.4 จงวเคราะหหาคาโมเมนตดดทปลายของทกของคานดานลางโดยใชวธ Moment Distribution (กาหนด E และ I คงท)

BC

4 m. 2 m. 2 m.

A 300 kg/m.800 kg

EI EI



2) หาคา Distributed Moments (DM)

BC

4 m. 2 m. 2 m.

A300 kg/m.

800 kg

EI EI

-400 400 -800 800 .mkg400

124300

12WL

FEM22

AB −−=×

−=−=

.mkg8008

480012

43008PL

12WL

FEM22

BC −−=×

−×

−=−−=

.mkg40012

430012WL

FEM22

BA −=×

==

.mkg8008

480012

43008

PL12WL

FEM22

CB −=×

+×

=+=

EI2504EI

KEI2504EI

K BCBA .;. ==== EI50EI250EI250K ... =+=∑


)(Hinge1DFCB = 50EI500EI250KKDF BCBc .././ ==∑=



ทจด A ; 400 = -400 (ทวนเขม)

ทจด B ; (400-800) = -400 (ทวนเขม)

ทจด C ; 800 = -800 (ทวนเขม)

00400DFUMDM ABAAB =×−=×=

และ20050400DFUMDM BABBA −=×−=×= .

20050400DFUMDM BCBBC −=×−=×= .

8001800DFUMDM CBCCB −=×−=×=


DF 0 0.5 0.5 1FEM -400 400 -800 800DM 0 200 200 -800COM 100 0 -400 100DM 0 200 200 -100COM 100 0 -50 100DM 0 25 25 -100COM 12.5 0 -50 12.5DM 0 25 25 -12.5COM 12.5 0 -6.25 12.5DM 0 3.125 3.125 -12.5COM 1.563 0 -6.25 1.563DM 0 3.125 3.125 -1.563COM 1.563 0 -0.781 1.563DM 0 0.391 0.391 -1.563Σ -172 857 -857 0

3) หาคา Carry-Over Moments (COM)COM = DM (ชนเดยวกน) / 2ดงแสดงในตาราง


BA

300 kg/m.172 857

B C

300 kg/m.800 kg

857


EX.5 จงวเคราะหโครงสรางดานลางโดยใชวธ Moment Distribution เพอเขยนแผนภาพแรงเฉอน (SFD) และโมเมนตดด (BMD)(กาหนด E และ I คงท)

B

C

A3 m.

6 m.

2EIEI3 T/m.

2.5 T

3EI

6 m.

DE

6 T3 m.

3 m.

2EI


1) หา Fixed End Moments (FEM)

2) หา Distributed Moments (DM)

B

C

A3 m.

6 m.

2EIEI

3 T/m. 2.5 T

3EI

6 m.

DE

6 T3 m.

3 m.

2EI.// mT9126312WLFEM 22

BD −−=×−=−=

..// mT548668PLFEMCB −−=×−=−=

.// mT9126312WLFEM 22DB −=×==

..// mT548668PLFEMBC −=×==... mT57352PLFEMDE −−=×−=−=

0FEMFEM BAAB ==

EI50006EI3

KEI333306EI2

KEI166706EI

K BCBDBA .;.;. ======

EIEI5000EI3330EI1670K =++=∑ ...

)(Fixed0DFAB =

1670KKDF BABA ./ =∑= 5000KKDF BCBC ./ =∑=3330KKDF BDBD ./ =∑=

)(Fixed0DFCB = )(Cantiliver0DFED = )(Hinge1DFDB =


จด A B C Dชนสวน AB BA BD BC CB DB DEDF 0 0.167 0.333 0.5 0 1 0FEM 0 0 -9 4.5 -4.5 9 -7.5DM 0 0.75 1.5 2.25 0 -1.5 0

COM 0.35 0 -0.75 0 1.125 0.75 0DM 0 0.125 0.25 0.375 0 -0.75 0COM 0.063 0 -0.35 0 0.188 0.125 0DM 0 0.058 0.117 0.275 0 -0.125 0COM 0.029 0 -0.063 0 0.088 0.059 0DM 0 0.011 0.021 0.032 0 -0.059 0COM 0.006 0 -0.03 0 0.016 0.011 0DM 0 0.005 0.01 0.015 0 -0.011 0Σ 0.45 0.95 -8.30 7.35 -3.08 7.5 -7.5


เขยนแผนภาพโมเมนต (BMD) และแรงเฉอน (SFD) ได

B

C

AD E

0.45

-0.95-8.30

-3.08

-7.35

-7.50

แผนภาพโมเมนต (T.-m.)

B

C

A DE-0.23

-0.23

-3.71

9.13

-8.87

2.5

แผนภาพแรงเฉอน (T.)


Modified Stiffness Factor (K’)• ใชในกรณททราบสภาพของปลายดานไกล (Far End) อยางแนนอน• ชวยลดขนตอนคานวณลงอยางมาก• แบงเปน 4 กรณ คอ1) Stiffness Factor ของคานทปลายดานไกล Fixed (กรณทวไปทผานมา)

KAB = EI/L (เปน Stiffness Factor ปกตทใช)

)( AAB 2LEI2

M θ= ALEI

4 θ= )(BA

ปลายดานไกล


2) Stiffness Factor ของคานทปลายดานไกล Hinge (Modified Stiffness Factor K’)

K’AB = 3EI/4L (Modified Stiffness Factor เมอปลายดานไกลเปน Hinge)

3) Stiffness Factor ของคานทมลกษณะสมมาตร (θB = - θA)

K’AB = EI/2L (Modified Stiffness Factor เมอปลายดานไกลมมม θB = - θA)

)( BAAB 2LEI2

M θ+θ=BA

ปลายดานไกล2เมอ AB /θ−=θ

)( BAAB 2LEI2

M θ−θ= AL2EI1

4 θ= )(

AL4EI3

4 θ= )(

BABA θ−θ


4) Stiffness Factor ของคานทมลกษณะปฏสมมาตร (θB = θA)

K’AB = 3EI/2L (Modified Stiffness Factor เมอปลายดานไกลมมม θB = θA)

)( BAAB 2LEI2

M θ+θ= AL2EI3

4 θ= )(

BA BA θ=θ


EX.6 จากตวอยางท 4 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนใหมโดยใชวธ Moment Distribution(กาหนด E และ I คงท)

BC

4 m. 2 m. 2 m.

A 300 kg/m.800 kg

EI EI


ใชกรณท 2) ในชนสวน BC (ปลายไกลเปน Hinge)

DF 0 0.571 0.429 1ชน AB BA BC CBFEM -400 400 -800 800DM 0 228.4 171.6 -800COM 114.2 0 -400 0DM 0 228.2 171.6 0COM 114.2 0 0 0DM 0 0 0 0Σ -171.6 856.8 -856.8 0

4EI

LEI

KBA ==16EI3

L4EI3

KBC ==′

BC

4 m. 2 m. 2 m.A

300 kg/m.800 kg

EI EI-400 400 -800 800

จะเหนวาทาเพยง 3 รอบกไดคาตอบทถกตอง

16EI7

16EI3

4EI

K =+=∑


EX.7 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนโดยใชวธ Moment Distribution (กาหนดใหคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

B C

A1.2 k/ft.

12 k

D

12 k

10 ft.10 ft. 10 ft. 10 ft.20 ft.

โครงสรางสมมาตร


- หาคา Fixed End Moments (FEM)

DF 0 0.667 0.333 ชน AB BA BCFEM -30 30 -40DM 0 6.67 3.33COM 3.33 0 0DM 0 0 0Σ -26.27 36.67 -36.67 36.67 -36.67 26.67

.// ftk30820128PLFEMAB −−=×−=−=

././ ftk4012202112WLFEM 22BC −−=×−=−=

./ ftk3082012FEMBA −=×=

./. ftk40122021FEM 2CB −=×=

.// ftk30820128PLFEMCD −−=×−=−= ./ ftk3082012FEMDC −=×=

40EI

340EI

20EI

K20EI

KBA =+=∑= , ทาแคครงซายพอเนองจากสมมาตร

ไมตองพจารณาเนองจากสมมาตรเหมอนดานซายมอ


EX.8 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนโดยใชวธ Moment Distribution (กาหนดใหคา EI คงทเทากนทกชนสวน)

DC

1.2 k/ft. 1.2 k/ft. 1.2 k/ft.

A B E F

24 ft. 24 ft. 24 ft. 24 ft. 24 ft.



- Stiffness Factor (K) และ Distribution Factor (DF)ท จด B

ท จด C

.././ ftk65712242112WLFEMFEM 22BAAB −−=×−=−=−=

96EI7

24EI

32EI

K24EI

LEI

K32EI

L4EI3

K BCBA =+=∑====′ ,,

.././ ftk65712242112WLFEMFEM 22DCCD −−=×−=−=−=

.././ ftk65712242112WLFEMFEM 22FEEF −−=×−=−=−=

16EI

48EI

24EI

K48EI

242EI1

K24EI

LEI

K CDCB =+=∑=×

=′==′ ,,

5710KKDF4290KKDF BCBCBABA ./;./ =∑==∑=

3330KKDF6670KKDF CDCDCBCB ./;./ =∑==∑=


DF 1 0.429 0.571 0.667 0.333FEM -57.6 57.6 0 0 -57.6DM 57.6 -24.7 -32.9 38.4 19.2COM 0 28.8 19.2 -16.5 0DM 0 -20.6 -27.4 -11 5.5COM 0 0 5.5 -13.7 0DM 0 -2.36 -3.14 9.14 4.56COM 0 0 4.57 -1.57 0DM 0 -1.96 -2.61 1.05 0.52COM 0 0 0.53 -1.31 0DM 0 -0.23 -0.30 0.87 0.44COM 0 0 0.44 -0.15 0DM 0 -0.19 -0.25 0.10 0.05COM 0 0 0.05 -0.13 0DM 0 -0.02 -0.03 0.09 0.04Σ 0 36.3 -36.3 27.3 -27.3


Moment Distribution ของโครงสรางทมการเคลอนทของ Joint ดวย

• ในตวอยางทผานมาจะเปนการศกษาแตโครงสรางทไมมการเคลอนทของ Joint(Δ=0)

• แตโครงสรางสวนใหญ เชน Frame เมอรบแรงกระทาจะมการเคลอนทของ Joint

Frame มการเคลอนททางดานขาง (Sway)

Δ ΔΔ


ใชหลกการ Superposition ชวยในการแกปญหาโดย แบงโครงสรางทตองการวเคราะห (ม Joint Translation) เปน1) โครงสรางทปองกน Joint Translationโดยมแรง R มาตานการเคลอนทของ Joint- วเคราะหไดโดยใช Moment Distributionธรรมดาทเรยนมาแลว แรง R หาไดจากสมดลของผลลพธ2) โครงสรางทมแรงกระทาทขนาด R แตทศทางตรงขาม R- วเคราะหโครงสรางทมแรงภายนอกมากระทาท Joint เพยงอยางเดยว จะศกษาดงตอไปน

R

R=

+


การวเคราะหโครงสรางทมแรง R กระทา Joint แลวเกด Joint Translation

โครงสรางทมแรง R มากระทาแลว Joint Translation แบงออกไดเปน

1) โครงสรางทมแต Joint Translation เพยงอยางเดยวไมยอมใหมการหมนของทก Joint- ทาใหเกด F.E.M. ขนทปลายของชนสวน Lock Joint

2) โครงสรางทมแตการหมน Joint Rotation เพยงอยางเดยวไมมการเคลอนทเพมขนจากสภาพ 1)- Unlock Joint จนถงสภาพจรงๆ Moment Distribution

Note - ขนตอนดานบนนคอการทา Moment Distribution ทม F.E.M. เนองจาก Joint Translation

=

+

Δ Δ

R1Δ Δ

R2

Δ Δ


EX.9 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายคานตอไปนโดยใชวธ Moment Distribution (กาหนด E และ I คงท)

3EIa

Wb

L

EIc

L


1) ปองกน Joint Translation

ชน ac ca cb bcDF 0 0.75 0.25 0FEM -0.0833 0.0833 -0.0833 0.0833 × WL2

DM 0 0 0 0Σ -0.0833 0.0833 -0.0833 0.0833 × WL2

R

wL/2wL/2

w

wL/2

-0.0833wL2 wwL/2 wL/2

0.0833wL20.0833wL2

bccbcaac FEMFEMFEMFEM −==−=

222 WL121

12242112WL −=×== /./

LEI4

KLEI

KLEI3

K cbca =∑== ;;

R3EIa

Wb

L

EIc

L

)(Fixed0DFac =

750LEI4LEI3DFca .)//()/( ==

)(Fixed0DFbc =

250LEI4LEIDFcb .)//()/( ==

- Fixed End Moment (FEM)

- Stiffness Factor (K)

- Distribution Factor (DF)


WL3EI

a W b

L

EIc

L

22ac LEI18

LEI36

FEMΔ−

=Δ−

=)(

2) แรง R มากระทาตอโครงสรางทาใหเกด Joint-Translation Fixed-End Momentและ ทา Moment Distribution

- Fixed End Moment (FEM)ชน ac ca cb bcDF 0 0.75 0.25 0FEM -18 -18 6 6 × EIΔ/L2

COM 4.5 0 0 1.5DM 0 0 0 0Σ -13.5 -9 9 7.5 × EIΔ/L2

22ca LEI18

LEI36

FEMΔ−

=Δ−

=)(

2cb LEI6

FEMΔ

= 2bc LEI6

FEMΔ

=

Δ3EI

a b

L

EIcL


ใชสมดลแนวดง ΣFy = 0 ได

ปลาย ac ca cb bcΣ -13.5 -9 9 7.5 × EIΔ/L2 = 1 / 39(1) -0.0833 0.0833 -0.0833 0.0833(2) -0.3462 -0.2308 0.2308 0.1923

M -0.4295 -0.1475 0.1475 0.2756 × WL2

WL3EI

a22.5EIΔ/L2

b

L

EIc

L

16.5EIΔ/L22LEI516522WL /)..( Δ+=

39WL

LEI 2

2 =Δ

∴


EX.10 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายชนสวนทมแรงกระทาท Joint ดงรปดานลาง โดยใชวธ Moment Distribution(กาหนด E และ I คงท)

9 kN.

EI

8/3EI

6 m.

6 m.

A

B C


- แรงททาใหเกดการเคลอนททางดานขาง 9 kN. ทจด B

- เนองจากปลาย C ของชนสวน BC เปน Roller

- Fixed End Moment (FEM)

Δ=1.

6 m.

6 m.

RC

A

B

6 m.

6 m.

9 kNC

A

B

;)(6EI

LEI

K ABBA ==

6EI636EI2FEMFEM BAAB /)/(/ Δ−=Δ−==

9EI4

63EI8

LEI

K BCBC =×

== )(

3EI

9EI4

43

KBC =×=′

0FEMFEM CBBC ==

2EI

3EI

6EI

K =+=∑



ชน AB BA BC CBDF 0 0.333 0.667 1FEM -0.1667 -0.1667 0 0 × EIΔDM 0 0.0556 0.1111 0COM 0.0278 0 0 0DM 0 0 0 0Σ -0.1389 -0.1111 0.1111 0 × EIΔ


)(Hinge1DFCB = 6670EI500EI3330KKDF BCBC .././ ==∑=


- พจารณาแรงเฉอนทจด B (ΣFx=0)0.0417EIΔ = 9 kN. EIΔ = 216 (นาคา EI ทไดเขาไปคณในตารางได)

ปลาย AB BA BC CB

Σ -0.1389 -0.1111 0.1111 0 × EIΔ = 216M -30 -24 24 0

9 kN.0.1111EIΔ

0.1111EIΔ

0.1389EIΔA

BC

0.0417EIΔ

0.1417EIΔ

0.1111EIΔ

0.1389EIΔA

B0.1111EIΔ

0.0185EIΔ 0.0185EIΔ

B C


ผลลพธทได

• เราอาจสมมตให EIΔ = เทาไรกได• แลวทา Moment-Distribution จนไดคาตอบ• หาแรงกรยาในแนวราบเทยบกบแรง 9 kN.• หา Factor มาคณเปนผลลพธ

9 kN.24

24

30A

B C


EX.11 จงวเคราะหหาคาโมเมนตทปลายของทกชนสวนในโครงขอแขง ดานลางนโดยใชวธ Moment Distribution(กาหนด E และ I คงท)

600 kg/m

EI

2EI

2.5 m.

1.5 m.300 kg

1.5 m.

1.0 m.A

B C

D

1.5EI



- หาคา Stiffness Factor (K) และ Distribution Factor (DF)ทจด B ; ;)(

3EI

LEI

K BABA ==

.. mkg51128

33008PL

FEMAB −−=×−

=−

=

.. mkg51128

33008

PLFEMBA −=

×==

...

mkg531212

5260012WL

FEM22

BC −−=×−

=−

=

...

mkg531212

5260012WL

FEM22

CB −=×

==

5EI4

52EI2

LEI

K BCBC ===.

)(15EI17

5EI4

3EI

K =+=∑

600 kg/m

EI

2EI

2.5 m.

1.5 m.300 kg

1.5 m.

1.0 m.A

B C

D

1.5EI

)(Fixed0DFAB = 294015EI17

3EI

KK

DF BABA ./ ==

∑= 7060

15EI17

5EI4

KK

DF BCBC ./ ==

∑=


ทจด C ;

1) ทา Moment Distribution ของโครงสรางทปองกนไมใหม Joint Translation

600 kg/m

300 kg

A

B C

D

5EI4

52EI2

LEI

K CBCB ===.

)(32EI9

44EI513

L4EI3

K CDCD =×

×==′ .

)(160

EI17332EI9

5EI4

K =+=∑

)(Hinge1DFDC =7400160

EI1735EI4

KK

DF CBCB ./ ==

∑= 2600

160EI173

32EI9

KK

DF CDCD ./ ==

∑=


จด A B C Dชนสวน AB BA BC CB CD DCDF 0 0.294 0.706 0.740 0.260 1FEM -112.5 112.5 -312.5 312.5 0 0DM 0 58.8 141.2 -231.2 -81.3 0

COM 29.4 0 -115.6 70.6 0 0DM 0 34.0 81.6 -52.2 -18.4 0 COM 17 0 -26.1 40.8 0 0DM 0 7.67 18.43 -30.2 -10.6 0COM 3.84 0 -15.1 9.22 0 0DM 0 4.44 10.66 -6.82 -2.40 0COM 2.22 0 -3.41 5.33 0 0DM 0 1.00 2.41 -3.94 -1.39 0COM 0.50 0 -1.97 1.21 0 0DM 0 0.58 1.39 -0.80 -0.31 0COM 0.29 0 -0.45 0.70 0 0DM 0 0.13 0.32 -0.52 -0.18 0Σ(1) -59.3 219.1 -219.1 114.6 -114.6 0


แรงแนวราบ (H) = 300-96.7-28.7= 174.6 kg.

(เปนแรงทตานการเคลอนททางดานขางของโครงสราง)

D 28.7

28.7600 kg/m

C701.8

B708.2

114.6

300

A

B

97.6

203.3

59.3

219.1


2) แรง H มากระทาตอโครงสรางทาใหเกดJoint-Translation Fixed-End Moment และ

ทา Moment Distribution

-หาคา Fixed End Moments (FEM)

A

B C

D

3EI2

33

3EI2

FEMFEM BAABΔ−

=Δ−

== )(

0FEMFEM CBBC ==

16EI9

43

4EI51

2FEMFEM DCCDΔ−

=Δ−−

== ))(.

(

Δ Δ

174.6 kg

A

B C

D


ชนสวน AB BA BC CB CD DCDF 0 0.294 0.706 0.740 0.260 1FEM -0.6667 -0.6667 0 0 -0.5625 -0.5625 ×EIΔDM 0 0.196 0.471 0.4163 0.1463 0.5625

COM 0.098 0 0.2082 0.2355 0.2813 0DM 0 -0.0612 -0.1470 -0.3824 -0.1344 0COM -0.0306 0 -0.1912 -0.0735 0 0 DM 0 0.0562 0.1350 0.0544 0.0191 0COM 0.0281 0 0.0272 0.0675 0 0DM 0 -0.0080 -0.0192 -0.0500 -0.0175 0COM -0.0040 0 -0.0250 -0.0096 0 0DM 0 0.0074 0.0176 0.0071 0.0025 0COM 0.0037 0 0.0036 0.0088 0 0DM 0 -0.0011 -0.0025 -0.0065 -0.0023 0COM -0.0006 0 -0.0033 -0.0013 0 0DM 0 0.0010 0.0023 0.0010 0.0003 0Σ(2) -0.5721 -0.4764 0.4764 0.2673 -0.2672 0 ×EIΔ


- หา EIΔ จาก สมดลแนวราบ (ΣFx =0)

0.3495EIΔ + 0.0668EIΔ = 174.6EIΔ = 174.6/0.4163 = 419.4นาคา EIΔ = 419.4 คณเขาไปในตาราง Σ(2)

Σ(1) -59.3 219.1 -219.1 114.6 -114.6 0Σ(2) -0.5721 -0.4764 0.4764 0.2673 -0.2672 0 × EIΔ = 419.4Σ(2) -239.9 -199.8 199.8 112.1 -112.1 0

จะไดคาโมเมนตทปลายชนสวน ดงนปลาย AB BA BC CB CD DCΣ(1)+(2) -299.2 19.3 -19.3 226.7 -226.7 0 kg.-m.

174.6 kg

A

BC

D 0.0668EIΔ

0.3495EIΔ


EX.12 จงวเคราะหหาโมเมนตดดทปลายชนสวนในโครงสรางดานลาง โดยใชวธ Moment Distribution (กาหนด EI คงทเทากนทกชนสวน)

100 kg

A

B C

D

3 m. 5 m. 3 m.

4 m.

4 m.


1) ปองกน Joint Translation- ไมเกด Fixed End Moments- หาแรง H ไดทนท = 100 kg.

2) วเคราะหโครงสรางทม Joint Translation- การเคลอนททตงฉากกบโครงสรางเดม

100 kg

A

B C

D

3 m. 5 m. 3 m.

4 m.

4 m.H=100 kg

100 kg

A

B C

DΔ’

Δ’

ปองกน Joint Translation

Δ−=Δ−

== EI256

53

5EI2

FEMFEM BAAB )(

0FEMFEM CBBC ==

Δ=Δ

×== EI256

53

5EI2

FEMFEM DCCD

45

SINΔ′

=θ

Δ′=Δ


- Stiffness Factor (K)

ทจด B ;

ทจด C ;


;)(5EI

LEI

K BABA == ;)(5EI

LEI

K BCBC ==5EI2

5EI

5EI

K =+=∑

;)(5EI

LEI

K CBCB == ;)(5EI

LEI

K CDCD ==5EI2

5EI

5EI

K =+=∑

)(Fixed0DFAB = 50EI400EI20DFDF BCBA ../. ===

)(Fixed0DFDC = 50EI400EI20DFDF CDCB ../. ===


ชน AB BA BC CB CD DCDF 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0FEM -0.24 -0.24 0 0 0.24 0.24DM 0 0.12 0.12 -0.12 -0.12 0COM 0.06 0 -0.06 0.06 0 -0.06DM 0 0.03 0.03 -0.03 -0.03 0COM 0.015 0 -0.015 0.015 0 -0.015DM 0 0.0075 0.0075 -0.0075 -0.0075 0 COM 0.0038 0 -0.0038 -0.0038 0 -0.0038DM 0 0.0019 0.0019 -0.0019 -0.0019 0 COM 0.0009 0 -0.0009 0.0009 0 -0.0009DM 0 0.0004 0.0005 -0.0005 -0.0004 0COM 0.0002 0 -0.0003 0.0003 0 -0.0002DM 0 0.00015 0.00015 -0.00015 -0.00015 0

Σ -0.1601 -0.0801 0.0801 -0.0801 0.0801 0.1601 × EIΔ


- หาคา EIΔ จากสมดลแนวราบ (ΣFx=0)100 = 0.0601EIΔ × 2

ดงนน EIΔ = 831.9

นาคา EIΔ = 831.9 เขาไปคณในตาราง

Σ -0.1601 -0.0801 0.0801 -0.0801 0.0801 0.1601 × EIΔ = 831.9

- จะไดคาโมเมนตทปลายชนสวน ดงน

ปลาย AB BA BC CB CD DCM -133.2 -66.6 66.6 -66.6 66.6 133.2 kg.-m.

100 kg B CD

A0.0601EIΔ

0.0601EIΔ


การวเคราะหโครงสรางทม Joint Translation มากกวา 1 Degree of Freedom โดยวธ Moment Distribution

• สาหรบโครงสรางทม n DOF. ของ Joint Translation ตองแบงการวเคราะหออกเปน n+1 case โดย

• Case 1 ปองกน Joint Translation ไวทงหมดใหมแต Rotation• Case 2 (n+1) ยอมใหม Joint Translation ได Case ละ 1 DOF. โดย

Lock Joint Translation ตวทเหลอ• ผลของการวเคราะหไดจากการรวมผลลพธจากทกๆ Case


ตวอยาง พจารณาตก 3 ชน ทม 3 DOF’S ของ Joint Translation

โครงสรางทตองการวเคราะห

F1

F2

F3

Case ท 1 Lock ทก DOF


เพอใหสอดคลองกบความเปนจรงทไมมแรงทางดานขางมากระทาไดF1 = x1 + r12 x2 + r13 x3

F2 = r21 x1 + x2 + r23 x3

F3 = r31 x1 + r32 x2 + x3

r31 x1

r21 x1

x1

Case ท 2 Lock DOF 1

r32 x2

r12 x2

x2


r23 x3

r13 x3

x3


แกสมการได x1 , x2 และ x3


EX.13 จงวเคราะหหาโมเมนตทปลายชนสวนของโครงสรางดานลาง โดยใชวธ Moment Distribution (EI คงทและเทากนทกชนสวน )

50 k

100 k 20 ft.

20 ft.

10 ft.

6 ft.4 ft.

6 ft.4 ft.

A

B

C D

E

F


- ม 2 DOF ของ Joint Translation ดงนนตองแยกวเคราะหเปน 3 Case (n+1)

Case 1) ทก DOF ของ Joint Translation ถก Lock ดงรป- หาคา Fixed End Moments (FEM)

.ftk14410

64100L

PabFEM 2

2

2

2

BE −−=××−

=−=

0FEMนอกนน =

.ftk9610

64100L

bPaFEM 2

2

2

2

EB −=××

==

.ftk7210

6450L

PabFEM 2

2

2

2

CD −−=××−

=−=

.ftk4810

6450L

bPaFEM 2

2

2

2

EB −=××

==

50 k

100 k 20 ft.

20 ft.

10 ft.

6 ft.4 ft.

6 ft.4 ft.

A

B

CD

E

F


- หา Distribution Factor (DF)ทจด B ;

ได ทจด E ;ทจด C ;

ไดทจด D ;

และทา Moment Distribution จนไดคาตอบ

;)(20EI

LEI

K BABA == ;20EI

KBC = 5EI1

10EI

20EI

20EI

K =++=∑;10EI

KBE =

500DF250DF250DF BEBCBA .;.;. ===

500DF250DF250DF EBEDEF .;.;. ===

;)(20EI

LEI

K BACB == ;10EI

KCD = 20EI3

10EI

20EI

K =+=∑

6670DF3330DF CDCB .;. ==

6670DF3330DF DCDE .;. ==

50 k

100 k

43.6

20.4

52.6

40.893.4

34.1

41.2

31.115.6

3.06 2.345

1.045

0.3372.5


Case 2) ยอมให Joint B และ E มการเคลอนทในแนวราบไดสวนทอนๆ Lock ดงรป- หาคา Fixed End Moments (FEM)

- Distribution Factor (DF) เทากบ Case 1ทา Moment Distribution จนไดคาตอบ

200EI3

203

20EI2

FEMFEMFEMFEM EFFEBAABΔ−

=Δ−

==== )(


20 ft.

20 ft.

10 ft.

A

B

C D

E

F

x1200EI3

203

20EI2

FEMFEMFEMFEM DEEDCBBCΔ

=Δ

==== )(

2.07x10.455x1

2.07x1

0.272x1 0.273x1

0.273x10.273x1

2.70x1 2.70x1

0.21x1

2.49x1

2.07x1

2.49x1

x1


Case 3) ยอมให Joint C และ D มการเคลอนทในแนวราบไดสวนทอนๆ Lock ดงรป- หาคา Fixed End Moments (FEM)

- Distribution Factor (DF) เทากบ Case 1ทา Moment Distribution จนไดคาตอบ


200EI3

203

20EI2

FEMFEMFEMFEM DEEDCBBCΔ−

=Δ−

==== )(20 ft.

20 ft.

10 ft.

A

B

CD

E

F

x2

Δ

4.90x2

1.19x2

4.90x2

0.095x2 0.095x2

0.635x20.635x2

1.27x2 1.27x2

3.82x2

5.08x2

2.07x25.08x2

x2


- พจารณาจากทง 3 กรณ

ทจด D 1.045 = -0.455X1 + X2

ทจด E 0.330 = -X1 + 1.19X2

แทนคา X1 ลงในผลของ Case 2 และ แทนคา X2 ลงในผลของ Case 3แลวรวมผลลพธจาก Case 1 , Case 2 และ Case 3 ไดเปนคาตอบ

กรณ 2กรณ 1 กรณ 3

21AB X6350X732420M ... +−=

.. ftk2116Mแทนคาได AB −=

แกสมการได X1 = 1.99 kX2 = 1.95 k


EX.14 จงวเคราะหโครงสรางดานลางโดยใชวธ Moment Distributionเพอคานวณหา1) คาการเคลอนทในแนวดงทจด B2) คาโมเมนตดดทจด A , B และ C (กาหนด E และ I คงท)

6 m. 4 m.

3EIA

20 kN

B EI C3 m.


1) ปองกน Joint Translation ท จด B- หาคา Fixed End Moments (FEM)

- หาคา Stiffness Factor (K)

การหาคา FEM กรณแรงไมลงกงกลาง

- หาคา Distribution Factor (DF)

3EIA

20 kNB

6 m.EI C

4 m.

3 m.

0FEMFEM BAAB ==

.. mkN7534

3120L

bPaFEM 2

2

2

2

CB −=××

==

.. mkN25114

3120L

PabFEM 2

2

2

2

BC −−=××

−=−=

EI50KBA .= EI250KBC .=EI750K .=∑

6670DFBA .= 3330DFBC .=

PB C

Lba


ชน AB BA BC CBDF 0 0.667 0.333 0FEM 0 0 -11.3 3.8DM 0 7.5 3.8 0

COM 3.8 0 0 1.9DM 0 0 0 0Σ 3.8 7.5 -7.5 5.6

รอบท 1 พจารณาสมดลของแรงแนวดงทฐาน B

รอบท 2 ผลจาก Joint Translation

BABCB VVR −=

BCCBBCBC L320MMV /)( ×++−=

.).( mkN317RB −=

ABBAABCB LMMVและ /)( +−=

RB

VBA B VBC

A

RBB

CΔ

Δ−= EI50FEMAB .

Δ−= EI50FEMBA .

Δ= EI3750FEMBC .

Δ= EI3750FEMCB .


ชน AB BA BC CBDF 0 0.667 0.333 0

FEM -0.5 -0.5 0.375 0.375DM 0 0.083 0.042 0

COM 0.042 0 0 0.021DM 0 0 0 0Σ -0.458 -0.417 0.417 0.396 × EIΔΣ(2) -22.8 -20.7 20.7 19.7

Σ(1)+(2) -19 -13.2 13.2 25.3 ตอบ ก

ใชสมดลแนวดงเพอหา Δ จาก RB = 0.349EIΔดงนน EIΔ = 17.3 / 0.349Δ = 49.7 / EIนาคา Δ = 49.7 / EI ไปคณในตารางได

ดงนนจงได โมเมนตทจด A = -19.0 kN-m.โมเมนตทจด B = 13.2 kN-m.โมเมนตทจด C = -25.3 kN-m. ตอบ ข


EX.15 จงวเคราะหโครงสรางดานลางโดยใชวธ Moment Distributionเพอคานวณหาโมเมนตทปลายของทกชนสวน(ให EIเปนคาคงท)

โครงสรางสมมาตร

1.2 k/ft.

24 ft. 24 ft. 24 ft. 24 ft.

DCA B E


-เนองจากมสมมาตรทฐานรองรบ C ดงนน ท Joint C ไมมการหมน หรอ θC= 0 ทาใหมคณสมบตคลาย Fixed Support

- หา Fixed End Moments (FEM)

- หาคา Stiffness Factor (K) และ Distribution Factor (DF)

1.2 k/ft.

24 ft. 24 ft.

CAB

../ ftk65712WLFEMFEM 2BAAB −−=−=−=

96EI7

24EI

32EI

K24EI

LEI

K32EI

L4EI3

K BCBA =+=∑====′ ,,

../ ftk65712WLFEMFEM 2DCCD −−=−=−=

5710KKDF4290KKDF BCBCBABA ./;./ =∑==∑=

ทจด B ;


ปลาย AB BA BC CB CD DC DE EDDF 1 0.429 0.571 0FEM -57.6 57.6 -57.6 57.6DM 57.6 0 0 0COM 0 28.8 0 1.9DM 0 -12.36 -16.44 0COM 0 28.8 0 -8.22DM 57.6 0 0 0Σ 0 74.04 -74.04 49.38 -49.38 74.04 -74.04 0



- ในทานองเดยวกนถาโครงสรางสมมาตรแตแรงสมมาตรแบบผกผน เชน

1.2 k/ft.

24 ft. 24 ft. 24 ft. 24 ft.

DCA B E1.2 k/ft.

โมเมนตทปลาย CB และ CD เทากบ 0 คลาย Simply Support



- หา Stiffness Factor (K) และ Distribution Factor (DF)

1.2 k/ft.

DCA B E24 ft. 24 ft. 24 ft. 24 ft.

1.2 k/ft.

โมเมนตทปลาย CB และ CD เทากบ 0

../ ftk65712WLFEMFEM 2CBBC −−=−=−=

../ ftk65712WLFEMFEM 2DCCD −−=−=−=

1.2 k/ft.

24 ft. 24 ft.

CAB

16EI

32EI

32EI

K32EI

L4EI3

K32EI

L4EI3

K BCAB =+=∑==′==′ ;;

50161321DFDF CBBC .)//()/( ===

ทจด B ;

)(Hinge1DFAB =


ปลาย AB BA BC CB CD DC DE EDDF 0.6 0.46 0.23 1FEM 0 0 -57.6 57.6DM 0 28.8 28.8 0COM 0 0 0 0DM 0 0 0 0Σ 0 28.8 -28.8 57.6 -57.6 -28.8 28.8 0



EX.16 จงวเคราะหโครงสรางดานลางโดยใชวธ Moment Distribution(โดยตดแตละชนมาวเคราะหตามมาตรฐาน ACI) เพอคานวณหาโมเมนตทปลายของทกชนสวน

2 k/ft. CA B 4 k/ft. 2 k/ft.

4 k/ft.4 k/ft. 2 k/ft.

D

EF G

H

I J K L

EI

EI

EIEI

EI EI

EI

EI

2EI

2EI2EI

2EI2EI

2EI

16 ft. 16 ft. 16 ft.

12 ft.

12 ft.


- คานชนบน


- หา Stiffness Factor (K) และ Distribution Factor (DF)

2 k/ft. CA B 4 k/ft. 2 k/ft.D

EEI

2EI 2EI2EI

16 ft. 16 ft. 16 ft.

12 ft.FEI

GEI

HEI

../ ftk674212162FEMFEMFEMFEM 2DCCDBAAB −−=×−=−==−=

60DF24EI5

8EI

12EI

K8EI

16EI2

K12EI

K ABABAE .;; =⇒=+=∑===

460481381DFBA .)//()/( ==

ทจด A ;

../ ftk338512164FEMFEM 2CBBC −−=×−=−=

48EI13

K12EI

K16EI

32EI2

K8EI

K BFBCBA =∑==== ;;; ทจด B ;

2304813161DFBC .)//()/( ==


ปลาย AB BA BCDF 0.6 0.46 0.23FEM -42.67 42.67 -85.33 DM 25.60 19.62 9.81COM 9.81 12.80 0DM -5.89 -5.89 -2.49COM -2.49 -2.49 0DM 1.76 1.35 0.68COM 0.68 0.88 0DM -0.41 -0.4 -0.40Σ -14.06 69.09 -77.98



โมเมนตหวเสาเทากบ 14.06 k-ft.(MAF)

ทแตละ Joint โมเมนตรวมตองเทากบศนย ดงนน โมเมนตหวเสาเทากบ –[68.09+(-77.98)] = 9.89 k-ft.(MBF)

ปลาย AB BA BCM -14.06 69.09 -77.98

7.03

14.06

14.06 68.09

9.89

77.98

4.95

77.98

- ทปลายเสาดานไกลโมเมนตจะเทากบ 1/2 ของโมเมนตหวเสาเพราะเกดจากการCarry-Over ในแตละครงททาการ Unlock



- หา Stiffness Factor (K)

../ ftk674212162FEMFEMFEMFEM 2DCCDBAAB −−=×−=−==−=

StiffnessColumn12EI

KKKK FJBFEIAE ⇒====

../ ftk338512164FEMFEM 2CBBC −−=×−=−=

4 k/ft. GE F 2 k/ft. 4 k/ft.H

IEI

2EI 2EI2EI

16 ft. 16 ft. 16 ft.

12 ft.JEI

KEI

LEI

A

EI

B

EI EI EI 12 ft.

C D

StiffnessBeam16EI

K8EI

K FGEF ⇒== ;;



ปลาย EF FE FGDF 0.43 0.35 0.18FEM -85.33 85.33 -42.67 DM 36.69 -14.93 -7.68COM -7.47 18.35 0DM 3.21 -6.42 -3.30COM -3.21 1.16 0DM 1.38 -0.56 -0.29Σ -54.73 83.38 -53.94


- โมเมนตในเสาท Joint E แบงใหเสาแตละตนตามสดสวนความแขงแรง ซงในกรณนทง 2 เสามคา Stiffness Factor (K) เทากน ดงนน

..).( ftk3727735421

MM EIEA −===

..).( ftk713372721

MM IEAE −===

..).( ftk7214442921

MM FJFB −−=−==

..).( ftk47721421

MM JFBF −−=−==

Download - บทที่ 6 Moment Distribution Methodcivil.in.th/cen321/CEN321-06T.pdfMoment Distribution Method 3 ค าต างๆ ท ใช ในว ธ Moment Distribution • ท

Top Related