Download - พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability
![Page 1: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/1.jpg)
พื้��นฐานความนาจะเป็�นBasic Probability
![Page 2: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/2.jpg)
Goals
วั�ตถุ�ประสงค์�การเร�ยนร��: น�ยามความนาจะเป็�นและอธิ�บายหล�กการเบ��องต้�นได้� ใช้� contingency tables ในการว�เคราะห#ได้� เข้�าใจและสามารถป็ระย'กต้#ใช้�กฏเบ��องต้�นข้องความนาจะ
เป็�นได้� ค)านวณความนาจะเป็�นแบบม+เง�,อนไข้ได้� เข้�าใจเหต้'การณ#ที่+,เป็�นอ�สระและไมเป็�นอ�สระต้อก�น เข้�าใจและป็ระย'กต้#ใช้�กฏข้องเบย# (Bayes’ Theorem)
ส)าหร�บความนาจะเป็�นแบบม+เง�,อนไข้
![Page 3: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/3.jpg)
Sample Spaces and Events
การทดลองแบบส��ม (Random Experiments)
![Page 4: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/4.jpg)
Sample Spaces and Events
การทดลองแบบส��ม (Random Experiments)
Definition
ระบบหร�อการที่ด้ลองใด้ ๆ ที่+,ผลล�พื้ธิ#จากการด้)าเน�นการแต้ละคร��งม+ความแต้กต้างก�น ที่��ง ๆ ที่+,ด้)าเน�นการหร�อที่)าการที่ด้ลองซ้ำ)�าล�กษณะเด้�ม
![Page 5: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/5.jpg)
Sample Spaces and Events
Sample Spaces
Definition
![Page 6: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/6.jpg)
Sample Space
ต้�วอยาง
การโยนล3กเต้4า 1 ล3ก 1 คร��ง จะม+ผลล�พื้ธิ#ที่+,เป็�นไป็ได้�ที่��งหมด้ 6 แบบ
การเล�อกไพื้ 1 ใบ จากไพื้ 1 ส)าร�บ ม+ผลล�พื้ธิ#ท��เป�นไปได� 52 แบบไ
![Page 7: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/7.jpg)
Sample Spaces and Events
ต�วัอย�างการน!ยาม Sample Space
กระบวันการฉี�ดขึ้$%นร�ปพลาสต!ก ต�องม�การค์วับค์�มค์วัามหนาขึ้องชิ้!%นงานท��ฉี�ดขึ้$%นร�ป พบวั�าค์วัามขึ้องงานแต�ละชิ้!%นไม�เท�าก�นขึ้$%นอย��ก�บป)จจ�ยต�าง ๆ เชิ้�นวั!ธี�การท-างาน เค์ร.�องจ�กร
โมล และค์วัามละเอ�ยดขึ้องเค์ร.�องม.อวั�ด ขึ้นาดค์วัามหนาขึ้องชิ้!%นงานท��เป�นไปได�ท�%งหมดสามารถุน!ยามได�ด�งน�%
![Page 8: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/8.jpg)
Example (continued)
![Page 9: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/9.jpg)
Example (continued)
![Page 10: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/10.jpg)
Example (continued)
![Page 11: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/11.jpg)
Sample Spaces
Tree Diagrams Sample spaces สามารถแสด้งได้�ด้�วย tree diagrams.
เม�,อsample space สามารถว�เคราะห#แยกเป็�นข้��น ๆ ได้� ถ�าแที่นจ)านวนที่างเล�อกข้องผลล�พื้ธิ#ที่+,เป็�นไป็ได้�ในข้��นที่+, 1 ด้�วย n1 จะแที่นแต้ละที่างเล�อกได้�ด้�วย ก�,งข้องต้�นไม� n1 ก�,ง
ถ�าแที่นจ)านวนที่างเล�อกข้องผลล�พื้ธิ#ที่+,เป็�นไป็ได้�ในข้��นที่+, 2 ด้�วย n2 จะแที่นแต้ละที่างเล�อกได้�ด้�วย ก�,งข้องต้�นไม� n2 ก�,ง
…………………….
![Page 12: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/12.jpg)
Sample Spaces
Example 2 การส�งขึ้�อค์วัามผ่�านระบบ 3 ขึ้�อค์วัามต�อเน.�อง ค์�ณล�กษณะท��สนใจค์.อแต�ละขึ้�อค์วัามมาถุ$ง Late และ On time จะได�
![Page 13: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/13.jpg)
Events
Simple event เหต้'การณ#จาก Sample Space ที่+,ม+เพื้+ยงค'ณล�กษณะเด้+ยว เช้น ไพื้ red card จากไพื้ 1 ส)าร�บ
Complement ข้องเหต้'การณ# A (แที่นด้�วย A’) ผลล�พื้ธิ#ที่��งหมด้ที่+,ไมอย3ในเหต้'การณ# A เช้น ไพื้ที่��งหมด้ที่+,ไมใช้หน�า diamonds
เหต้'การณ#รวม (Joint event) เหต้'การณ#ใด้ ๆ ที่+,ต้�องอธิ�บายด้�วยค'ณล�กษณะ 2 อยางพื้ร�อม
ๆ ก�น เช้น ไพื้ ace ที่+,เป็�นส+ แดง จากไพื้ส)าร�บหน5,ง
![Page 14: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/14.jpg)
Visualizing Events
Contingency Tables
Tree Diagrams
Red 2 24 26
Black 2 24 26
Total 4 48 52
Ace Not Ace Total
Full Deck of 52 Cards
Red Card
Black Card
Not an Ace
Ace
Ace
Not an Ace
Sample Space
Sample Space2
24
2
24
![Page 15: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/15.jpg)
Mutually Exclusive Events
Mutually exclusive events เหต้'การณ#ที่+,จะไมเก�ด้รวมก�น
example:
A = ไพื้ Queen ส+แด้ง; B = ไพื้ Queen ส+ด้)า
Events A และ B เป็�นเหต้'การณ# mutually exclusive
![Page 16: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/16.jpg)
Collectively Exhaustive Events
เหต้'การณ#รวม เหต้'การณ#ใด้ ๆ จะต้�องเก�ด้ข้5�น เช้ต้ข้องเหต้'การณ#ที่��งหมด้จะครอบคล'ม Sample Space
example: จากเหต้'การณ#ต้อไป็น+� A = Ace B = ส+ด้)า
C = ข้�าวหลามต้�ด้ D = โพื้ธิ�6แด้ง
Events A, B, C และ D เป็�นเหต้'การณ#ที่+, collectively exhaustive (แต้ไม mutually exclusive)
Events B, C และ D เป็�นเหต้'การณ#ที่+, collectively exhaustive
![Page 17: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/17.jpg)
Sample Spaces and Events
Basic Set Operations
![Page 18: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/18.jpg)
Sample Spaces and Events
Venn Diagrams
![Page 19: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/19.jpg)
Sample Spaces and Events
Definition
![Page 20: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/20.jpg)
Probability
การป็ระเม�นเป็�นต้�วเลข้เก+,ยวก�บโอกาสการเก�ด้ข้5�นข้องเหต้'การณ#ที่+,สนใจใด้ ๆ
ม+คาระหวาง 0 ถ5ง 1
ผลรวมข้องเหต้'การณ# mutually exclusive และ collectively exhaustive ที่��งหมด้เที่าก�บ 1
Certain
Impossible
.5
1
0
0 ≤ P(A) ≤ 1 For any event A
1P(C)P(B)P(A) เม�,อ A, B, and C และ mutually exclusive และcollectively exhaustive
![Page 21: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/21.jpg)
Assessing Probability
Approaches to assessing the probability of un uncertain event:1. a priori classical probability
2. empirical classical probability
outcomeselementaryofnumbertotal
occurcaneventthewaysofnumber
T
Xoccurrenceofyprobabilit
observedoutcomesofnumbertotal
observedoutcomesfavorableofnumberoccurrenceofyprobabilit
![Page 22: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/22.jpg)
2-2 Interpretations of Probability
Definition
The notations may varies depend on the types of books
![Page 23: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/23.jpg)
Interpretations of Probability
Example 3
![Page 24: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/24.jpg)
Interpretations of Probability
ค์�ณสมบ�ต!ขึ้องค์วัามน�าจะเป�น
![Page 25: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/25.jpg)
Addition Rules
Addition Rule:กฏการบวัก
Mutually Exclusive Events
![Page 26: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/26.jpg)
Addition Rules
Three or More Events
![Page 27: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/27.jpg)
Addition Rules
Venn diagram of four mutually exclusive events
![Page 28: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/28.jpg)
Addition Rules
![Page 29: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/29.jpg)
Computing Probabilities
The probability of a joint event, A and B:
Computing a marginal (or simple) probability:
Where B1, B2, …, Bk are k mutually exclusive and collectively exhaustive events
outcomeselementaryofnumbertotal
BandAsatisfyingoutcomesofnumber)BandA(P
)BdanP(A)BandP(A)BandP(AP(A) k21
![Page 30: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/30.jpg)
Joint Probability Example
P(Red and Ace)
BlackColor
Type Red Total
Ace 2 2 4
Non-Ace 24 24 48
Total 26 26 52
52
2
cards of number total
ace and red are that cards of number
![Page 31: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/31.jpg)
Marginal Probability Example
P(Ace)
BlackColor
Type Red Total
Ace 2 2 4
Non-Ace 24 24 48
Total 26 26 52
52
4
52
2
52
2)BlackandAce(P)dReandAce(P
![Page 32: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/32.jpg)
P(A1 and B2) P(A1)
TotalEvent
Joint Probabilities Using Contingency Table
P(A2 and B1)
P(A1 and B1)
Event
Total 1
Joint Probabilities Marginal (Simple) Probabilities
A1
A2
B1 B2
P(B1) P(B2)
P(A2 and B2) P(A2)
![Page 33: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/33.jpg)
General Addition Rule Example
P(Red or Ace) = P(Red) +P(Ace) - P(Red and Ace)
= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52Don’t count the two red aces twice!
BlackColor
Type Red Total
Ace 2 2 4
Non-Ace 24 24 48
Total 26 26 52
![Page 34: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/34.jpg)
Conditional Probability
สมมต้�ในการผล�ต้ช้��นสวน ม+เหต้'การณ#ที่+,สนใจค�อ D เหต้'การณ#ที่+,ช้��นสวนบกพื้รอง และ F เหต้'การณ#ที่+,ช้��นสวนม+รอยข้3ด้ข้+ด้ที่+,ผ�ว
ถ�าว�ศวกรสนใจเหต้'การณ#ที่+,ช้��นสวนบกพื้รองเน�,องจากม+รอยข้3ด้ข้+ด้ที่+,ผ�ว (E)
จะแที่นความนาจะเป็�นข้อง E ด้�วย P(D|F) อานวาความนาจะเป็�นแบบม+เง�,อนไข้ข้อง D given F
และแปรค์วัามหมายวั�าค์วัามน�าจะเป�นท��ชิ้!%นส�วันจะบกพร�องเม�,อม+รอยข้3ด้ข้+ด้ที่+,ผ�ว
![Page 35: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/35.jpg)
Conditional Probability
Conditional probabilities for parts with surface flaws
![Page 36: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/36.jpg)
Conditional Probability
Definition
![Page 37: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/37.jpg)
Computing Conditional Probabilities
A conditional probability is the probability of one event, given that another event has occurred:
P(B)
B)andP(AB)|P(A
P(A)
B)andP(AA)|P(B
Where P(A and B) = joint probability of A and B
P(A) = marginal probability of A
P(B) = marginal probability of B
The conditional probability of A given that B has occurred
The conditional probability of B given that A has occurred
![Page 38: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/38.jpg)
What is the probability that a car has a CD player, given that it has AC ?
i.e., we want to find P(CD | AC)
Conditional Probability Example
Of the cars on a used car lot, 70% have air conditioning (AC) and 40% have a CD player (CD). 20% of the cars have both.
![Page 39: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/39.jpg)
Conditional Probability Example
No CDCD Total
AC .2 .5 .7
No AC .2 .1 .3
Total .4 .6 1.0
Of the cars on a used car lot, 70% have air conditioning (AC) and 40% have a CD player (CD). 20% of the cars have both.
.2857.7
.2
P(AC)
AC)andP(CDAC)|P(CD
(continued)
![Page 40: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/40.jpg)
Conditional Probability Example
No CDCD Total
AC .2 .5 .7
No AC .2 .1 .3
Total .4 .6 1.0
Given AC, we only consider the top row (70% of the cars). Of these, 20% have a CD player. 20% of 70% is about 28.57%.
.2857.7
.2
P(AC)
AC)andP(CDAC)|P(CD
(continued)
![Page 41: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/41.jpg)
Using Decision Trees
Has AC
Does not have AC
Has CD
Does not have CD
Has CD
Does not have CD
P(AC)= .7
P(AC’)= .3
P(AC and CD) = .2
P(AC and CD’) = .5
P(AC’ and CD’) = .1
P(AC’ and CD) = .2
7.
5.
3.
2.
3.
1.
AllCars
7.
2.
Given AC or no AC:
![Page 42: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/42.jpg)
Using Decision Trees
Has CD
Does not have CD
Has AC
Does not have AC
Has AC
Does not have AC
P(CD)= .4
P(CD’)= .6
P(CD and AC) = .2
P(CD and AC’) = .2
P(CD’ and AC’) = .1
P(CD’ and AC) = .5
4.
2.
6.
5.
6.
1.
AllCars
4.
2.
Given CD or no CD:
(continued)
![Page 43: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/43.jpg)
Statistical Independence
Two events are independent if and only if:
Events A and B are independent when the probability of one event is not affected by the other event
P(A)B)|P(A
![Page 44: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/44.jpg)
Multiplication Rules
Multiplication rule for two events A and B:
P(B)B)|P(AB)andP(A
P(A)B)|P(A Note: If A and B are independent, thenand the multiplication rule simplifies to
P(B)P(A)B)andP(A
![Page 45: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/45.jpg)
Total Probability Rules
Partitioning an event into two mutually exclusive subsets.
Partitioning an event into several mutually exclusive subsets.
![Page 46: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/46.jpg)
Total (marginal) Probability Rules
![Page 47: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/47.jpg)
Total Probability Rules
Example 4
![Page 48: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/48.jpg)
Total Probability Rules
multiple events
![Page 49: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/49.jpg)
Independence
Definition
![Page 50: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/50.jpg)
Independence
Definition
![Page 51: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/51.jpg)
Example 5
![Page 52: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/52.jpg)
Bayes’ Theorem
where:
Bi = ith event of k mutually exclusive and collectively
exhaustive events
A = new event that might impact P(Bi)
))P(BB|P(A))P(BB|P(A))P(BB|P(A
))P(BB|P(AA)|P(B
kk2211
iii
![Page 53: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/53.jpg)
การจ�ดล-าด�บ (Permutations)
การจ�ดล-าด�บหมายถ5ง การจ�ด้เร+ยงรายการสมาช้�กโด้ยสนใจล)าด้�บกอนหล�งในแซ้ำมเป็8ลสเป็ซ้ำข้องการที่ด้ลองส'มใด้ ๆ ม+จ)านวนว�ธิ+การจ�ด้เร+ยงได้� nPr (อานวา n-P-r)
การจ�ด้เร+ยง ข้อง n ส�,ง ซ้ำ5,งม+ข้องไมแต้กต้างก�น n1, n2,…, nk ส�,ง ม+จ)านวนว�ธิ+การจ�ด้เร+ยงได้� ซ้ำ5,งค)านวณได้�ด้�งน+�
nPr = !r-n
n! เม�,อ r ≤ n
!!...nn!n
n!P
k21n,...,n,n
n
k21 เม�,อ ni < n และ n1 + n2 + … + nk = n
![Page 54: พื้นฐานความน่าจะเป็น Basic Probability](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081417/56812ac5550346895d8e983e/html5/thumbnails/54.jpg)
การจ�ดหมวัดหม�� (Combinations)
การจ�ดหมวัดหม�� หมายถ5ง การจ�ด้กล'มข้องสมาช้�กในแซ้ำมเป็8ลสเป็ซ้ำข้องการที่ด้ลองส'มใด้ ๆ โด้ยไมสนใจถ5งล)าด้�บข้องสมาช้�ก ด้�งน��นการจ�ด้หมวด้หม3จะม+ความแต้กต้างเฉพื้าะสมาช้�กในแต้ละหมวด้หม3เที่าน��น ม+จ)านวนว�ธิ+การจ�ด้หมวด้หม3 nCr (อานวา n-C-r) ซ้ำ5,งค)านวณได้�ด้�งน+�
nCr =
!r-nr!
n! เม�,อ r ≤ n nCr =