Γιώργος Πρέσβης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο :
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Φροντιστήρια
2 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής
1.1 Να εξετάσετε αν τα σηµεία ( )Α 1,3 και ( )B 4,1 ανήκουν στη γραµµή c µε
εξίσωση 2x y 2 y 3 0+ − − =
Λύση:
Το σηµείο ( )Α 1,3 θα ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν:
21 3 2 3 3 0+ − ⋅ − = ¤ 1 0= άτοπο. Άρα το σηµείο ( )Α 1,3 δεν ανήκει στη γραµµή c, δηλαδή ( )Α 1,3 cœ .
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Γνωρίζουµε ότι: ένα σηµείο ( )0 0M x , y ανήκει στη γραµ-
µή c µε εξίσωση ( )=φ x , y 0 ,
αν, και µόνο αν, ισχύει ( ) =0 0φ x , y 0 . (δηλαδή αν, και µόνο αν, οι συντεταγµένες του σηµείου Μ ικανοποιούν την εξίσωση της γραµµής c).
Όµοια το σηµείο ( )B 4,1 ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν:
24 1 2 1 3 0+ − ⋅ − = ¤ 0 0= που ισχύει. Άρα το σηµείο ( )B 4,1 ανήκει στη γραµµή c, δηλαδή ( )B 4,1 cŒ .
Φροντιστήρια 3
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
2η Κατηγορία : Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας και Γωνία που
σχηματίζει με τον άξονα x΄x
1.2 Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία:
i) πω 3= ii) 2πω 3= iii) πω 2= iv) ω 0=
Λύση:
i) πλ εφ 33= = ii) 2πλ εφ 33= = −
iii) ∆εν ορίζεται iv) λ εφ0 0= =
Σ ΧΟ Λ Ι Ο Γνωρίζουµε ότι αν π πω 2 , τότε =λ εφω
1.3 Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x µια ευθεία ε που έχει συντελεστή διεύθυνσης:
i) λ 3= ii) λ 3= − iii) 3λ 3= iv) λ 1=
Λύση:
i) λ 3= ¤ εφω 3= ¤ πω 3=
ii) λ 3= − ¤ εφω 3= − ¤ π 2πω π 3 3= − =
iii) 3λ 3= ¤ 3εφω 3= ¤ πω 6=
iv) λ 1= ¤ εφω 1= ¤ πω 4=
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Για τη γωνία ω που σχη-µατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα ¢χ χ , γνωρί-ζουµε ότι είναι πάντοτε: £ <0 ω π .
4 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
1.4 Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης και τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x µια ευθεία:
i) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα ( )a 6 , 12= − .
ii) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα ( )β 3,0= .
Λύση:
i) ε α2 3 312λ λ 6 6 3= = = − = −
−,
άρα π 5πω π 6 6= − =
ii) ε β0λ λ 03= = = , άρα ω 0=
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Γνωρίζουµε ότι: όταν µια ευθεία ε και ένα διάνυσµα δ ( x , y )= , x 0π , είναι
παράλληλα, τότε έχουν τον ίδιο συντελε-
στή διεύθυνσης: ε δy
λ λ x= = .
Φροντιστήρια 5
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
3η Κατηγορία : Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας από δυο γνωστά
σημεία της
1.5 *Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης: i) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α( 1,4 )− και Β(1,6 ) ii) Της ευθείας, η οποία τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ( 1,0 )− και ∆(0,2 ) .
Λύση:
i) Eίναι: ΑΒ6 4 2λ 1
1 ( 1 ) 2−
= = =− −
ii) Eίναι: Γ∆2 0 2λ 2
0 ( 1) 1−
= = =− −
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Γνωρίζουµε ότι: Αν ( )1 1A x , y , ( )2 2B x , y ,
µε π1 2x x , τότε -
=-
2 1
2 1
y yλ
x x.
4η Κατηγορία : Συνθήκες Παραλληλίας και Καθετότητας Ευθειών
1.6 ∆ίνονται τα σηµεία Γ( 1,0 )− και ∆(0,2 ) . Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι i) παράλληλη στη Γ∆ ii) κάθετη στη Γ∆.
Λύση:
i) Είναι ( )Γ∆2 0λ 20 1−= =−−
.
Η ευθεία ε είναι παράλληλη στη Γ∆, µόνο όταν ε Γ∆λ λ 2= = .
ii) Η ευθεία ε είναι κάθετη στη Γ∆, µόνο
όταν ε Γ∆λ λ 1⋅ =− ¤ Γ∆
ε1 1
2λλ −= =− .
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Αν ε1 , ε2 είναι δύο ευθείες µε συντε-λεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 , τότε: 1 2ε // ε <==> =1 2λ λ και ^1 2ε ε <==> ◊ = -1 2λ λ 1
6 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
5η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας
1.7 Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− −
και i) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 3= − . ii) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0= . iii) δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης.
Λύση:
i) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− − και έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ 3= − , είναι: ( ) ( )( )y 1 3 x 4− − =− ⋅ − −
¤ ( )y 1 3 x 4+ =− ⋅ + ¤ y 3x 13=− −
ii) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− − και έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ 0= , είναι: ( ) ( )( )y 1 0 x 4− − = ⋅ − −
¤ y 1=−
iii) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− − και δεν έχει
συντελεστή διεύθυνσης, είναι: x 4=−
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Αν έχουµε το σηµείο ( )1 1A x , y τότε:
‣ Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυν-σης λ, είναι: ( )- = ◊ -1 1y y λ χ x .
‣ Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, είναι: = 1x x
Φροντιστήρια 7
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
6η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας που διέρχεται από δυο
γνωστά σημεία
1.8 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α( 2,3 )− και Β(4, 2 )− ii) Α( 1, 5 )− − και Β(4, 5 )− iii) Α( 3,7 )− και Β( 3, 4 )− −
Λύση:
i) Είναι ( )ΑΒ2 3 5λ 64 2− −= = −− −
, άρα
η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι:
( )( )5y 3 x 26− = − ⋅ − −
¤ 5 4y x6 3=− +
ii) Είναι ( )( )ΑΒ
5 5λ 0
4 1− − −
= =− −
, άρα
η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: ( )( )y 3 0 x 2− = ⋅ − − ¤ y 3=
Σ ΧΟ Λ Ι Ο
Αν έχουµε τα σηµεία ( )1 1A x , y και
( )2 2B x , y , τότε:
‣ Αν π1 2x x , τότε -
=-
2 1ΑΒ
2 1
y yλ
x x και η
εξίσωση της ΑΒ είναι ( )- = ◊ -1 1y y λ χ x .
‣ Αν =1 2x x , τότε η ΑΒ δεν έχει συντελε-
στή διευθύνσεως γιατί ^ ¢ΑΒ x x . Η εξίσω-ση της ΑΒ είναι = 1x x
iii) Η ΑΒ δεν έχει συντελεστή διεύθυσνης, γιατί τα σηµεία Α και Β έχουν την ίδια τετµηµένη: 1 2x x 3= = − . Άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: x 3=− .
8 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
7η Κατηγορία : Κοινά σημεία δύο ή περισσοτέρων ευθειών
1.9 Να βρείτε το κοινό σηµείο των ευθειών µε εξισώσεις y 3x 2= − και y 2x 8= − +
Λύση:
Λύνουµε το σύστηµα:
y 3x 2
y 2 x 8= −⎧ ⎫
⎨ ⎬= − +⎩ ⎭
¤ 3x 2 2x 8
y 2x 8− = − +⎧ ⎫
⎨ ⎬= − +⎩ ⎭
¤ 5x 10
y 2 x 8=⎧ ⎫
⎨ ⎬= − +⎩ ⎭
¤ x 2
y 2 2 8=⎧ ⎫
⎨ ⎬= − ⋅ +⎩ ⎭
¤ x 2y 4=⎧ ⎫
⎨ ⎬=⎩ ⎭
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να βρούµε το κοινό σηµείο δυο ευ-θειών, λύνουµε το σύστηµα των εξισώ-σεών τους. Αν βέβαια το σύστηµα αυτό είναι αδύνα-το, τότε οι δυο αυτές ευθείες δεν έχουν κοινά σηµεία (δηλ. είναι παράλληλες) ενώ αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, τότε οι ευθείες αυτές ταυτίζονται.
. Άρα το κοινό σηµείο των ευθειών αυτών, είναι το σηµείο ( )Μ 2,4
Φροντιστήρια 9
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
8η Κατηγορία : Τρείς ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο
1.10 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες µε εξισώσεις y 5x 8= + , y 3x 6= + και y 2x 1= − + διέρχονται από το ίδιο σηµείο του οποίου να βρείτε τις συ-
ντεταγµένες
Λύση:
Λύνοντας το σύστηµα y 5x 8y 3x 6= +⎧ ⎫
⎨ ⎬= +⎩ ⎭
βρίσκουµε το
σηµείο ( )Α 1,3- που είναι το σηµείο τοµής των δυο
πρώτων ευθειών. Το σηµείο αυτό όµως ανήκει και στην τρίτη ευθεία µε εξίσωση y 2x 1= − + γιατί ισχύ-
ει ( )3 2 1 1= − − + . Εποµένως και οι τρείς ευθείες
διέρχονται από το σηµείο ( )Α 1,3- .
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να αποδείξουµε ότι τρείς ευθείες διέρχονται (και οι τρείς) από το ίδιο σηµείο, αρ-κεί να αποδείξουµε ότι το ση-µείο τοµής των δύο πρώτων ανήκει και στην τρίτη.
1.11 *Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Μ 2,1 και τέµνει τις ευθείες y x 1= + και y x 1=- + στα σηµεία Α και
Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ .
Λύση:
Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ( 2,1 ) είναι:
‣ η κατακόρυφη µε εξίσω-
ση x 2= και
‣ οι µη κατακόρυφες ευθεί-
ες µε εξισώσεις της µορ-φής
( )y 1 λ x 2- = - , λŒ .
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Όταν σε µια άσκηση, θέλουµε να εξετάσουµε ΟΛΕΣ τις ευθείες που διέρχονται από κάποιο σηµείο
( )0 0Μ χ , y , πρέπει να εξετάσουµε χωριστά:
‣ την κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση = 0x χ (που δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης) και
‣ τις µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις της µορ-φής ( )- = ◊ -0 0y y λ x χ , Œλ
10 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
• Εξετάζουµε πρώτα αν η ευθεία x 2= , είναι λύση του προβλήµατος: Εύκολα βρίσκουµε ότι η ευθεία x 2= τέµνει την y x 1= + στο σηµείο Β(2,3) και την y x 1=- + στο σηµείο Γ( 2, 1)- . Άρα το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ έχει
µέσο το σηµείο µε συντεταγµένες ( )3 ( 1)2 2 ,2 2+ -+ δηλαδή ( )2,1 , που είναι οι
συντεταγµένες του σηµείου Μ. Άρα, η κατακόρυφη x 2= είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες.
• Εξετάζουµε τώρα αν υπάρχει τιµή του λŒ , ώστε η ευθεία ( )y 1 λ x 2- = ◊ -
να είναι επίσης λύση του προβλήµατος. ‣ Για το σηµείο τοµής Β της ( )y 1 λ x 2- = ◊ - µε την y x 1= + , λύνουµε το
σύστηµα: ( )y 1 λ x 2
y x 1- = ◊ -Ï ¸
Ì ˝= +Ó ˛ ¤
x 1 1 λx 2λy x 1
+ - = -Ï ¸Ì ˝= +Ó ˛
¤ 2λ λx x
y x 1= -Ï ¸
Ì ˝= +Ó ˛
¤ ( )λ 1 x 2λ
y x 1- =Ï ¸
Ì ˝= +Ó ˛ λ 1π¤
2 λx λ 1y x 1
Ï ¸=Ô Ô-Ì ˝= +Ô ÔÓ ˛
¤ 2λx λ 1
2λ 2λ λ 1 3λ 1y 1λ 1 λ 1 λ 1
Ï ¸=Ô Ô-Ì ˝+ - -= + = =Ô ÔÓ ˛- - -
.
Άρα ( )2λ 3λ 1Β ,λ 1 λ 1-
- - , µε τον περιορισµό βέβαια λ 1π .
(Αν λ 1= το σύστηµα είναι αδύνατο, οπότε οι ευθείες δεν τέµνονται). ‣ Για το σηµείο τοµής Γ της ( )y 1 λ x 2- = ◊ - µε την y x 1=- + , λύνουµε το
σύστηµα: ( )y 1 λ x 2
y x 1- = ◊ -Ï ¸
Ì ˝= - +Ó ˛ και όµοια βρίσκουµε ( )2λ 1 λΓ ,λ 1 λ 1
-+ + , λ 1π- .
‣ Το σηµείο Μ(2,1) θα είναι µέσο του ΒΓ, αν και µόνο αν
( )
( )
2λ 2λ1 22 λ 1 λ 1και
3λ 1 1 λ1 12 λ 1 λ 1
Ï ¸+ =- +Ô ÔÔ ÔÌ ˝Ô Ô- -+ =Ô ÔÓ ˛- +
¤
2 λ 2λ 4λ 1 λ 1και
3λ 1 1 λ 2λ 1 λ 1
Ï ¸+ =- +Ô ÔÔ ÔÌ ˝Ô Ô- -+ =Ô ÔÓ ˛- +
¤ ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2λ λ 1 2 λ λ 1 4 λ 1 λ 1και
3λ 1 λ 1 1 λ λ 1 2 λ 1 λ 1
+ + - = + -Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + + - - = + -Ó ˛
.
Οι εξισώσεις όµως αυτές δεν συναληθεύουν για καµία τιµή του λ, αφού η
πρώτη γράφεται 22λ 2λ+ 22 λ+ 2λ- 24 λ= 4- ¤ 0 4=- (αδύνατη).
Έτσι η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία x 2= .
Φροντιστήρια 11
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
9η Κατηγορία : Κοινά σημεία μιας ευθείας με τους άξονες
1.12 Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής της ευθείας ε µε εξίσω-ση y 3x 5= − µε τους άξονες x΄x και y΄y .
Λύση:
Για τον άξονα x x′ : Λύνουµε το σύ-
στηµα y 3x 5
y 0= −⎧ ⎫
⎨ ⎬=⎩ ⎭
¤ 5x 3
y 0
⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭
.
Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα
x x′ στο σηµείο ( )5A ,03 .
Για τον άξονα y y′ : Λύνουµε το σύ-
στηµα x 0
y 3x 5=⎧ ⎫
⎨ ⎬= −⎩ ⎭
¤ x 0
y 5=⎧ ⎫
⎨ ⎬= −⎩ ⎭
.
Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y y′ στο σηµείο ( )B 0, 5- .
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για τους άξονες ¢x x και ¢y y γνωρίζουµε ότι:
‣ Ο ¢x x έχει εξίσωση =y 0
‣ Ο ¢y y έχει εξίσωση =x 0 . Εποµένως για να βρούµε τα σηµεία τοµής µιας ευθείας ε µε τους άξονες,
‣ για τον άξονα ¢x x : θέτουµε =y 0 στην εξίσωση της ευθείας.
‣ για τον άξονα ¢y y : θέτουµε =x 0 στην εξίσωση της ευθείας.
12 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
10η Κατηγορία : Συνευθειακά Σημεία
1.13 *Να δείξετε ότι τα σηµεία Α(1, 1 )− , Β( 2,0 ) και Γ( 1, 3 )− − είναι συ-νευθειακά.
Λύση:
1ος τρόπος:Έχουµε AB0 ( 1 )λ 1
2 1- -= =-
και
AΓ3 ( 1)λ 1
1 1- - -= =- -
. Εποµένως, AB AΓλ λ= ,
οπότε οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλλη-λες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α , Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α-ποδείξουµε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες, δηλαδή =ΑΒ AΓλ λ (υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι ορίζο-νται οι συντελεστές διευθύνσεως)
2ος τρόπος:
Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης
AB0 ( 1 )λ 1
2 1- -= =-
και αφού διέρχεται από
το σηµείο Β( 2,0 ) έχει εξίσωση
( )y 0 1 x 2- = - ¤ y x 2= - . Το σηµείο Γ( 1, 3 )− − ανήκει στην ευθεία αυτή , γιατί 3 1 2- =- - . Εποµένως, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α , Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α-ποδείξουµε ότι το ένα από τα τρία αυτά σηµεία (π.χ. το Γ) ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα άλλα δυο σηµεία Α και Β.
Φροντιστήρια 13
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
1.14 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(α 1,2α 1)− + , Β( 2β 3,4β 9 )+ + και
Γ(3 γ ,9 2γ )− − είναι συνευθειακά για κάθε τιµή των α,β,γ∈ .
Λύση:
Έχουµε ΑΒ ( ) ( )( )2β 3 α 1 ,4β 9 2α 1= + − − + − +
( )2β α 4,4β 2α 8= − + − +
( )( )2β α 4,2 2β α 4= − + − +
( ) ( )2β α 4 1,2= − + ⋅ , άρα ( )ΑΒ // 1,2 .
και ΑΓ ( ) ( )( )3 γ α 1 ,9 2γ 2α 1= − − − − − +
( )γ α 4, 2γ 2α 8= − − + − − +
( )( )γ α 4,2 γ α 4= − − + − − +
( ) ( )γ α 4 1,2= − − + ⋅ , άρα ( )ΑΓ // 1,2 .
Εποµένως, τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ είναι και τα δυο παράλληλα προς το διάνυσµα ( )1,2 , οπότε είναι
και µεταξύ τους παράλληλα.
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α , Β και Γ είναι συ-νευθειακά, αρκεί να αποδείξου-µε ότι τα διανύσµατα AB και
AΓ είναι παράλληλα, δηλα-δή ότι ( )=det AB ,AΓ 0
(ο τρόπος αυτός εφαρµόζεται και στην περίπτωση που δεν ορίζονται οι συντελεστές διευ-θύνσεως των διανυσµάτων)
Άρα οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
14 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
11η Κατηγορία : Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
1.15 Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των παρακάτω ευθειών: i) 1ε : 2x 3y 5 0− − = ii) 2ε : 3x 2 y 5− + =
iii) 31ε : 2x 4 y 02+ − = iv) 4ε : 2 x 3 0− =
Λύση:
i) Είναι A 2= και B 3 0= - π ,
οπότε Αλ Β=- 2 23 3=- =- .
ii) Είναι A 3= - και B 2 0= π ,
οπότε Αλ Β=- 3 32 2-=- = .
iii) Είναι A 2= και B 4 0= π , οπότε Αλ Β=- 2 1
4 2=- = - .
iv) Είναι A 2= και B 0= οπότε δεν έχει συντελε-στή διεύθυνσης (είναι κάθετη στον άξονα x x¢ ).
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Γνωρίζουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση + + =Ax By Γ 0 :
‣ Αν πB 0 έχει συντελε-στή διεύθυνσης = - Αλ Β .
‣ Αν =B 0 είναι κάθετη στον άξονα ¢x x και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης.
1.16 Για ποιες τιµές του λ∈ παριστάνει ευθεία η εξίσωση
( ) ( )2 2 2λ 4 x 3λ 4 λ 4 y λ λ 0− − − − + − = (1);
Λύση: Η εξίσωση (1) ∆ΕΝ παριστάνει ευθεία µόνο όταν ισχύουν και οι δυο παρακάτω σχέσεις:
2
2
λ 4 0και
3λ 4λ 4 0
⎧ ⎫− =⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪
− − =⎩ ⎭
¤ λ 2 ή λ 2
και2λ 2 ή λ 3
= = −⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪= = −⎪ ⎪⎩ ⎭
.
Σ ΧΟ Λ Ι Ο Γνωρίζουµε ότι η εξίσωση
+ + =Ax By Γ 0 ∆ΕΝ πα-ριστάνει ευθεία µόνο όταν =A 0 και =B 0 .
Παρατηρούµε ότι για λ 2= ισχύουν και οι δυο παραπάνω σχέσεις, οπότε για την τιµή αυτή του λ, η δοσµένη εξίσωση, δεν παριστάνει ευθεία. Εποµένως για κάθε { }λ 2Œ - η (1) παριστάνει ευθεία.
Φροντιστήρια 15
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
12η Κατηγορία : Ζεύγη Ευθειών
1.17 *Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2x 4xy 4 y 1 0+ + - = παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε;
Λύση:
Έχουµε: 2 2x 4xy 4 y 1 0+ + - = ¤ ( )2x 2y 1 0+ - = ¤ ( )( )x 2y 1 x 2 y 1 0+ - + + = ¤ x 2 y 1 0+ - = ή x 2 y 1 0+ + = Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο παράλληλες µεταξύ τους ευθείες.
1.18 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 22x 3xy 2 y x 2y 0+ - + + = παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε;
Λύση:
Η εξίσωση 2 22x 3xy 2 y x 2y 0+ - + + = γράφεται ισοδύναµα
( ) ( )2 22x 3y 1 x 2 y 2 y 0+ + + - + = και θεωρούµενη ως εξίσωση β΄βαθµού ως προς τον άγνωστο x, έχει διακρίνουσα
2∆ β 4αγ= - ( ) ( )2 23 y 1 4 2 2 y 2 y= + - ◊ ◊ - + 2 29 y 6 y 1 16 y 16 y= + + + -
225y 10 y 1= - + ( )25 y 1 0= - ≥
οπότε ( ) ( )23 y 1 5y 1x 2 2- + ± -= ◊
¤ ( ) ( )3 y 1 5 y 1x 4- + ± -=
¤ 3y 1 5 y 1x 4- - + -= ή 3y 1 5 y 1x 4
- - - +=
¤ 2 y 2 y 1x 4 2- -= = ή 8 yx 2 y4
-= =-
¤ 2x y 1 0- + = ή x 2 y 0+ =
Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο κάθετες µεταξύ τους ευθείες.
16 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
13η Κατηγορία : Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία
1.19 ∆ίνεται η ευθεία ε µε εξίσωση 3x 2 y 5 0- + = . Να βρεθούν τρία διανύ-σµατα παράλληλα και τρία διανύσµατα κάθετα στην ευθεία ε.
Λύση:
Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 3λ 2 2=- =- .
Εποµένως κάθε διάνυσµα παράλληλο προς την ε θα έχει επίσης συντελεστή διεύ-
θυνσης 32 . Τέτοια διανύσµατα είναι: ( )α 2,3= , ( )β 4,6= και ( )γ 8, 12= - - .
Επίσης κάθε διάνυσµα κάθετο στην ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης 23- .
Τέτοια διανύσµατα είναι: ( )δ 3, 2= - , ( )ε 9,6= - και ( )ζ 300, 200= - .
Φροντιστήρια 17
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
14η Κατηγορία : Γωνία δυο Ευθειών
1.20 Na βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών
1ε : 3 x 3y 5 0− − = και 2ε : 2 3 x 2y 1 0− + =
Λύση:
Η ευθεία 1ε : 3 x 3y 5 0− − = έχει συντελεστή διεύ-
θυνσης 13 3λ 3 3=- =- , οπότε είναι παράλληλη στο
διάνυσµα ( )1δ 3, 3= .
Όµοια η ευθεία 2ε : 2 3 x 2y 1 0− + = έχει συντελε-
στή διεύθυνσης 22 3λ 32=- =- , οπότε είναι παράλ-
ληλη στο διάνυσµα ( )2δ 1, 3= .
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να προσδιορίσουµε το συνηµί-τονο της γωνίας δυο ευθειών, θε-ωρούµε δυο διανύσµατα παράλληλα µε τις ευθείες αυτές και προσδιο-ρίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας των δυο αυτών διανυσµάτων.
Υπολογίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας φ των διανυσµάτων 1δ και 2δ :
( ) ( )1 2
2 22 21 2
δ δ 3 1 3 3συνφ|δ | |δ | 3 3 1 3
◊ ◊ + ◊= =◊ + ◊ +
6 6 3 3 3 32 3 212 4 4 3 2 2 3
= = = = =◊◊ ◊ ◊
.
Εποµένως οφ 30= . Η γωνία αυτή των δι-
ανυσµάτων 1δ και 2δ είναι ίση µε την ο-
ξεία γωνία των ευθειών 1ε και 2ε .
ε1
ε2
δ1
δ2
φ
φ
18 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
15η Κατηγορία : Γεωμετρικοί Τόποι
1.21 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων ( )Μ λ 1,3λ 2+ + , λ∈ .
Λύση:
Έστω ( )Μ x, y , τυχαίο σηµείο του γεω-
µετρικού τόπου.
Τότε είναι: x λ 1
y 3λ 2= +⎧ ⎫
⎨ ⎬= +⎩ ⎭
και απαλείφοντας τον αριθµό λ∈ από τις δυο αυτές εξισώσεις, έχουµε:
( )λ x 1
y 3 x 1 2= −⎧ ⎫
⎨ ⎬= − +⎩ ⎭
¤ λ x 1
y 3x 1= −⎧ ⎫
⎨ ⎬= −⎩ ⎭
.
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να προσδιορίσουµε το γεωµετρικό τό-πο ενός µεταβλητού σηµείου Μ, θεωρούµε τυχαίο σηµείο ( )Μ x , y του ζητούµενου
γεωµετρικού τόπου και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε την εξίσωση που ικανο-ποιούν οι συντεταγµένες x και y του ση-µείου Μ.
∆ηλαδή οι συντεταγµένες του τυχαίου σηµείου ( )Μ x, y του γεωµετρικού τόπου
ικανοποιούν την εξίσωση y 3x 1= - . Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία µε εξίσωση y 3x 1= - .
Φροντιστήρια 19
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
16η Κατηγορία : Απόσταση σημείου από Ευθεία
1.22 Να βρεθούν οι αποστάσεις του σηµείου ( )Ρ 2,3− από τις ευθείες µε
εξισώσεις 1ε : 5x 12 y 3 0+ − = και 22ε : y x 53= − .
Λύση:
‣ Η απόσταση του σηµείου ( )Ρ 2,3− από την
ευθεία 1ε : 5x 12 y 3 0+ − = είναι:
( )1d P,ε ( )2 2
|5 2 12 3 3|
5 12
◊ - + ◊ -=+
| 10 36 3|25 144
- + -=+
|23|169
= 2313
=
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Γνωρίζουµε ότι η απόσταση του
σηµείου ( )0 0M x , y από την ευ-θεία + + =ε : Ax By Γ 0 είναι
( )+ +
=+2 2
0 0Ax By Γd M,ε
A B
‣ Η εξίσωση της ευθείας 22ε : y x 53= − γράφεται ισοδύναµα
3y 2x 15= − ¤ 2x 3 y 15 0− − = και η απόσταση του σηµείου
( )Ρ 2,3− από την ευθεία αυτή είναι:
( )2d P,ε ( )( )22
|2 2 3 3 15|
2 3
◊ - - ◊ -=+ -
| 4 9 15|13
- - -= | 28|13-= 28
13= 28 13
13=
20 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
17η Κατηγορία : Απόσταση δυο Παραλλήλων Ευθειών
1.23 Να βρεθεί η απόσταση των παραλλήλων ευθειών 1ε : 4 x 3y 7 0− + = και 2ε : 4 x 3y 5 0− + = .
Λύση:
Βρίσκουµε πρώτα ένα τυχαίο σηµείο της 1ε : Για x 0= , από την εξίσωση
1ε : 4 x 3y 7 0− + = βρίσκουµε ότι
3 y 7 0− + = ¤ 7y 3= .
Άρα, το σηµείο ( )7Α 0,3 ανήκει στην 1ε .
Η απόσταση των 1ε και 2ε είναι ίση µε την
απόσταση του σηµείου ( )7Α 0,3 της 1ε
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για να υπολογίσουµε την απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών 1ε και 2ε , βρί-σκουµε πρώτα ένα σηµείο Α της ευθεί-ας 1ε και υπολογίζουµε την απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία 2ε .
∆ηλαδή: ( ) ( )=1 2 2d ε ,ε d A,ε .
από την ευθεία 2ε : 4 x 3y 5 0− + = . ∆ηλαδή:
( ) ( )1 2 2d ε ,ε d A,ε=( )22
74 0 3 534 3
◊ - ◊ +=
+ -
7 516 9- +=
+2
25-= 2
5= .
Φροντιστήρια 21
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
18η Κατηγορία : Εμβαδόν Τριγώνου
1.24 Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές ( )Α 2,7− , ( )Β 3, 8− και
( )Γ 1,5− .
Λύση:
Έχουµε ( )( ) ( )ΑΒ 3 2 , 8 7 5, 15= - - - - = -
και ( )( ) ( )ΑΓ 1 2 ,5 7 1, 2= - - - - = - .
Άρα ( )ABΓ ( )1 det ΑΒ, ΑΓ2=
5 151| |2 1 2-
=-
( ) ( )1 5 2 1 152= ◊ - - ◊ -
1 10 152= - +
51 52 2= =
τετραγωνικές µονάδες.
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Για το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ µε
( )1 1Α x , y , ( )2 2B x , y και ( )3 3Γ x , y ,
‣προσδιορίζουµε πρώτα τις συντεταγµένες δυο οποιωνδήποτε διανυσµάτων που ορίζονται από αυτά τα τρία σηµεία: π.χ. ( )= - -2 1 2 1ΑB x x , y y και
( )= - -3 1 3 1ΑΓ x x , y y .
‣Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τον τύπο:
( )AΒΓ ( )= 1 det AB ,AΓ2
- -
= - -2 1 2 1
3 1 3 1
x x y y1x x y y2
22 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
19η Κατηγορία : Διχοτόμοι των γωνιών δυο τεμνομένων ευθειών
1.25 *Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατί-ζουν οι ευθείες 1ε : 3x 4 y 1 0− + = και 2ε : 5x 12 y 4 0+ + = .
Λύση: Ένα σηµείο ( , )M x y ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες 1ε : 3x 4 y 1 0− + = και 2ε : 5x 12 y 4 0+ + = , αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευ-θείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: ( ) ( ), ,1 2d M ε d M ε=
¤ | | | |
( )2 2 2 2
3x 4 y 1 5 x 12 y 4
3 4 5 12
- + + +=+ - +
¤ | | | |3x 4 y 1 5x 12y 45 13
- + + +=
¤ ( ) ( )
( ) ( )
13 3x 4 y 1 5 5x 12y 4ή
13 3x 4 y 1 5 5x 12 y 4
- + = + +Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + =- + +Ó ˛
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Οι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν δυο τεµνόµενες ευθείες 1ε και 2ε , είναι ο γεωµε-τρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες 1ε και 2ε .
∆ηλαδή ( ) ( )=1 2d M,ε d M ,ε
ε1
ε2
1 234M
M
¤ )39x 52 y 13 25x 60 y 20ή
39x 52 y 13 25x 60 y 20
- + = + +Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + = - - -Ó ˛
¤ 2x 16 y 1 0
ή64 x 8 y 33 0
- - =Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô+ + =Ó ˛
.
Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι: 2x 16 y 1 0- - = και 64x 8 y 33 0+ + = .
Φροντιστήρια 23
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
20η Κατηγορία : Μεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών
1.26 Να βρεθεί η εξίσωση της µεσοπαραλλήλου των ευθειών
1ε : 3x 5 y 12 0− + = και 2ε : 3x 5 y 6 0− + = .
Λύση:
Ένα σηµείο ( , )M x y ανήκει στη µεσο-παράλληλη των ευθειών 1ε : 3x 5 y 12 0− + = και
2ε : 3x 5 y 6 0− + = , αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: ( ) ( ), ,1 2d M ε d M ε=
¤ | | | |
( ) ( )2 2 2 2
3x 5 y 12 3x 5 y 6
3 5 3 5
- + - +=+ - + -
¤ ( )
3x 5y 12 3x 5 y 6ή
3x 5 y 12 3x 5 y 6
- + = - +Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + =- - +Ó ˛
¤ ( )12 6 αδύνατηή
6 x 10 y 18 0
=Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + =Ó ˛
¤ 3x 5 y 9 0- + =
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Η µεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών
1ε και 2ε , είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες 1ε και 2ε .
∆ηλαδή ( ) ( )=1 2d M,ε d M ,ε
ε
ε1
ε2
M
Άρα η µεσοπαράλληλη των ευθειών 1ε και 2ε έχει εξίσωση 3x 5 y 9 0- + = .
24 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
21η Κατηγορία : Συμμετρικό σημείου ως προς ευθεία
1.27 ∆ίνονται η ευθεία ε µε εξίσωση 1y x 12= + και το σηµείο A( 2,1 ) .
Να βρεθούν οι συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Α ως προς την ευθεία ε.
Λύση:
Αν A ( µ,ν )¢ είναι το συµµετρικό του Α ως προς την ε, τότε το µέσον Μ του AA¢ ανήκει στην ε
µε εξίσωση 1y x 12= + (άρα οι συντεταγµένες του
Μ ικανοποιούν την εξίσωση της ε) και το γινόµε-νο των συντελεστών διεύθυνσης των ε και AA¢ είναι -1, αφού ε AA^ ¢ .
Ο x
y ε Μ
Α(2,1)
Α (́ µ,ν)
Οι συντεταγµένες του µέσου Μ είναι µ 2 ν 1,2 2+ +Ê ˆ
Ë ¯ και ο συντελεστής διεύθυνσης
του AA¢ είναι ν 1µ 2--
. Έτσι έχουµε το σύστηµα
ν 1 1 µ 2 12 2 21 ν 1 12 µ 2
+ +Ï ¸= ◊ +Ô ÔÔ ÔÌ ˝-Ô Ô◊ = -Ô Ô-Ó ˛
, το οποίο µετά
την εκτέλεση των πράξεων γράφεται µ 2ν 42µ ν 5- = -Ï ¸
Ì ˝+ =Ó ˛.
Από τη λύση του συστήµατος αυτού βρίσκουµε 6µ5
= και 13ν5
= .
Εποµένως, το συµµετρικό σηµείο του Α ως προς την ε είναι το 6 13A ,5 5Ê ˆ¢Ë ¯ .
Φροντιστήρια 25
Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
22η Κατηγορία : Οικογένειες Ευθειών
1.28 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της µορφής
( ) ( ) ( )2 22λ λ 3 x λ λ 1 y 3λ 1 0+ + + - + + + = , λŒ
διέρχονται από το ίδιο σηµείο.
Απόδειξη:
‣ Για να παριστάνει η εξίσωση ( ) ( ) ( )2 22λ λ 3 x λ λ 1 y 3λ 1 0+ + + - + + + = (1)
ευθεία γραµµή, για τις διάφορες τιµές του α, πρέπει να αρκεί οι συντελεστές
των x και y δηλαδή οι παραστάσεις 22λ λ 3+ + και 2λ λ 1- + , να µην είναι ταυτόχρονα µηδέν. Αυτό συµβαίνει, αφού ο συντελεστής του x δεν µηδενίζε-ται για καµία πραγµατική τιµή του α (έχει διακρίνουσα ∆ 23 0=- < ) .
‣ Θεωρούµε τώρα δυο οποιεσδήποτε
από τις ευθείες που έχουν εξίσωση της µορφής (1). Γιαυτό θεωρούµε δύο τιµές της παραµέτρου λ (έστω λ 0= και λ 1= ) και λύνουµε το σύστη-µα των εξισώσεων των ευθειών που προκύπτουν για να βρούµε το σηµείο
τοµής τους: 3x y 1 06 x y 4 0
+ + =Ï ¸Ì ˝+ + =Ó ˛
( )-¤
3x y 1 03x 3 0+ + =Ï ¸
Ì ˝+ =Ó ˛ ¤
y 2x 1=-Ï ¸
Ì ˝=-Ó ˛.
Το σύστηµα των εξισώσεων αυτών έ-χει µοναδική λύση την ( ) ( )x,y 1,2= - . Άρα οι δυο αυτές ευθείες τέµνονται στο σηµείο ( )A 1, 2- .
‣ ∆είχνουµε τώρα, ότι όλες οι ευθείες
που έχουν εξίσωση της µορφής (1) (δηλαδή για κάθε λŒ ) διέρχονται από το σηµείο Α.
Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ
Έστω ότι έχουµε µια οικογένεια ευθειών, η εξίσωση των οποίων εκφράζεται συ-ναρτήσει ενός µεταβλητού αριθµού λ (πα-ράµετρος). Για να αποδείξουµε ότι όλες οι ευθείες µιάς οικογένειας, διέρχονται από το ίδιο σηµείο:
‣ Θεωρούµε δυο οποιεσδήποτε ευθεί-ες 1ε και 2ε από τις ευθείες της οικο-γένειας. Αυτό γίνεται δίνοντας δυο τυ-χαίες τιµές στην παράµετρο λ.
‣ Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσε-ων των δυο αυτών ευθειών και προσδιο-ρίζουµε τις συντεταγµένες 0 0x , y( ) του
σηµείου τοµής τους M.
26 Φροντιστήρια
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου
Πράγµατι, η εξίσωση (1) επαληθεύε-ται από τις συντεταγµένες του σηµείου Α, αφού ισχύει:
( )( ) ( ) ( )2 22λ λ 3 1 λ λ 1 2 3λ 1+ + - + - + ◊ + +2 22λ λ 3 2λ 2λ 2 3λ 1 0=- - - + - + + + = .
Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ( )A 1,2- .
‣ Αποδεικνύουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το σηµείο Μ, δηλαδή ότι η εξίσωση των ευθειών της οικογένειας επαληθεύεται για κάθε αριθµό λ, από τις συντεταγµένες
0 0x , y( ) του σηµείου Μ.