CAE懇話会　中部地区「流体伝熱基礎講座 (第 6回)」講義資料（その 2）

平行平板間流れの層流熱伝達（理論解析と数値計算）

名古屋工業大学　田川正人

はじめに

対流は自然対流と強制対流に通常は分類される．自然対流では速度場と温度場が連成するのに対して，強制対流では速度場は温度場とは独立に形成される（温度は受動スカラとみなされる）．本講習の解析対象である強制対流は，熱交換器をはじめいろいろな工業製品で広く利用されており，その性能向上を図るために活発な研究開発が展開されている．強制対流は層流／乱流といった流れの状態や，円管や矩形ダクトなど装置の幾何学形状で大別して議論されるのが普通である．強制対流熱伝達の数値解析では，解析技法が層流と乱流で相当に異なる．なかでも，乱流熱伝達の数値計算では，k − εモデルに代表される乱流モデルや LES (Large Eddy Simulation)，DNS (Direct Numerical Simulation)など独特の手法が適用される．これに対して，層流熱伝達の数値解析は比較的単純であり，特殊な条件下でなら理論解析で熱伝達率を予測できる場合もある．本稿では，最も基本的な流れの一つである平行平板間の層流を対象として，そこでの強制対流熱伝達を理論および数値計算で解析する．理論解析は熱伝達という現象の理解を深める一助となるだけでなく，数値計算の信頼性を検証する際の基準を与える．理論解析を適用できるのは特殊な場合に限られ，解析対象や境界条件が強く制約される．一方，数値シミュレーションにはそのような制約が少なく，様々な境界条件の下で解を得ることができる点で優れている．ただし，数値計算の精度および信頼性を適切に評価することが重要である．

1.平行平板間の流れと熱伝達

本節では，2枚の平行平板の間に形成される層流を対象として，固体壁から流体への熱伝達に関する基礎的事項をまとめておく．

1.1プラントル数の影響図 1に示すように，一様な流れが平板面と平行に流れているとする．この状況で平板を加熱すると，温度境界層が形成されて，平板先端付近では図 1のように発達する．温度境界層の挙動はプラントル数 Prによって支配され，Prが 1より大きい場合（たとえば水や油）には速度境界層より薄く，逆に 1より小さい場合（たとえば液体金属）には厚くなる．一方，空気 (Pr = 0.7)のように Prが 1に近い流体中では，温度境界層は速度境界層と同じように発達する．このように，Prは速度場と温度場の相似性（アナロジー）の指標となる非常に重要な無次元量である．

1

Pr < 1

Pr > 1

Pr ~ 1

Tw

uT温度境界層

速度境界層主流

図 1:速度境界層と温度境界層の関係（プラントル数 Prの影響）

加熱または冷却（等熱流束壁，等温壁）

温度境界層 (Pr > 1)速度境界層

xy

Tmi Tmo

熱伝達率壁面摩擦係数

x

TFDHFD

0

図 2:平行平板間（円管内）入口部での壁面摩擦係数と熱伝達率

1.2平行平板間入口部での流れと熱伝達平行平板間や円管内部に速度境界層や温度境界層が形成されると，それらは最終的に合体する．その様子を図 2に示す．速度境界層や温度境界層が十分発達するまでの領域を「助走区間」とよぶ．平行平板間の層流では，速度場が十分に発達 (Hydrodynamically FullyDeveloped= HFD)すると，速度は流れ方向に変化しなくなり，放物線分布をなす．一方，温度場の場合には，それが十分発達（Thermally Fully Developed= TFD）した場合でも，分布形状は下流向かって変化する．その変化の様子は 3節の理論解析が示すように，壁面の熱的境界条件に強く依存する．平行平板間層流における速度境界層と温度境界層の発達過程を図 3に示す．壁面の熱的境界条件としては，等熱流束壁 (qw = −λ(∂T/∂y)|y=0 = const.) と等温壁 (Tw = const.)

が代表的である．平行平板間の入口部では，壁面摩擦係数と熱伝達率が非常に大きな値をとり，下流に発達するにしたがって一定値に漸近する．温度場の境界条件に着目すれば，図 3のように入口直後から加熱（あるいは冷却）する場合ばかりでなく，加熱開始点を速度場が十分発達した領域に設定する場合（途中加熱）や，片側の板のみ加熱する場合（片側加熱）などが考えられる．このように，単純な流れであっても，熱的境界条件の設定は多様である．

2

0

Tw Tw

T (x, y)

温度助走区間 温度場が十分に発達 (TFD)

速度助走区間速度場が十分に

発達 (HFD)

u (y)

Tmi

図 3:平行平板間流や円管流における速度場と温度場の発達過程

2.理論解析

ここでは，最も基本的な平行平板間の層流熱伝達を理論的に解析し，熱伝達率を求めてみる．以下では，簡単のために，平行平板間に形成される層流を「チャネル流」とよぶ．

2.1基礎式理論解析では非圧縮性流体の定常 2次元流れを仮定する．これを記述するために，次に示す連続の式 (1)と運動方程式 (2)を用いる．解析座標系として，流れ方向に x，壁面垂直方向に yをとり，各方向の速度成分を u, vとする．

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (1)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

(2)

ここで，ρ, νは流体の密度 [kg/m3] と動粘性係数 [m2/s]である．温度場の解析には次のエネルギー式 (3)を用いる（エネルギー式の詳細については文献

[4]を参照されたい）．

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= α

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

)(3)

ここで，αは温度伝導率 [m2/s]である．以上の式を一定の境界条件の下で連立して解くことにより，速度成分 u(x, y), v(x, y)と温度 T (x, y)を得る．強制対流熱伝達では速度場と温度場が連成しない（温度 T が式 (1),(2)に影響を及ぼさない）ので，速度場の計算は温度場のそれとは独立である．

3

y

x2Hu

図 4:チャネル流と解析座標

2.2十分発達した速度場速度場が十分発達した場合の速度分布は次のように導出される（先の講習の復習になるので読み飛ばして下さって結構です）．解析座標系を図 4のように設定する．流路中心を y = 0とし，流路高さを 2H にとる．すなわち，y = ±Hに壁面がある．速度場が十分発達したときには，次式の関係が成立する．

∂u

∂x= 0, v = 0 (4)

すなわち，発達流では，流れ方向速度 uは下流（x方向）に変化せず，また壁面垂直方向速度 vは零となる．言い換えれば，式 (4)が速度場発達流を定義する．式 (4)から，運動方程式 (2)は次のように非常に簡単になる．

0 = −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y2

0 = −1

ρ

∂p

∂y

(5)

上式から，u(x, y) → u(y), p(x, y) → p(x)となるので，

νd2u

dy2=

1

ρ

dp

dx(6)

を得る．式 (6)を yについて 2回積分することにより，次式を得る．

u =1

2µ

(dp

dx

)y2 + C1y + C2 (7)

y = ±Hで u = 0より，式 (7)は

0 =1

2µ

(dp

dx

)H2 ± C1H + C2 (8)

となる．上式を連立して解けば，未定係数C1, C2が次のように求まる．

C1 = 0

C2 = − 1

2µ

(dp

dx

)H2

(9)

4

これを式 (7)に代入することで速度分布 u(y)を得る．結果は次式で与えられる．

u =1

2µ

(dp

dx

)(y2 −H2) =

1

2µ

(−dp

dx

)(H2 − y2) (10)

すなわち，速度分布はチャネル中心 y = 0について対称な放物線となる．流れは圧力勾配−(dp/dx) > 0で駆動されるので，これと粘性係数 µが速度分布を決定するパラメータとなる．速度はチャネル中心 y = 0で最大となり，その速度 umaxは

umax = u|y=0 =1

2µ

(−dp

dx

)H2 (11)

で与えられる．そこで，この umaxを用いて速度分布を表すと，式 (10)から

u = umax

(1− y2

H2

)(12)

となる．また，断面平均速度 umは次式で計算される．

um ≡ 1

2H

∫ H

−Hudy

=umax

2H

[y − y3

3H2

]H

−H

=2

3umax (13)

上式から，チャネル中心の速度 umaxは断面平均速度 umの 1.5倍であることがわかる．なお，円管内の層流の場合にも発達した速度分布は放物線となるが，円管中心の速度が断面平均速度の 2倍になる点でチャネル流とは異なる．

2.3混合平均温度温度場の解析に先立って，混合平均温度 Tmを定義しておく．混合平均温度とは，流れに温度分布 T (y)があるときに，対流で輸送されるエンタルピーの y方向平均値に相当する量（温度）である．これは次式で定義される．

Tm =

∫ H

−Hu(y)T (y)dy

∫ H

−Hu(y)dy

=

∫ H

−Hu(y)T (y)dy

2umH(14)

ここで，umは断面平均速度である．また，式 (14)の右辺の分子と分母では，流体の物性値が一定であることを仮定して ρcpが省略されている．式 (14)に示すように，混合平均温度には流速分布 u(y)が直接関与する．すなわち，通常の平均温度 Tav =

∫ H−H T (y)dyとは

物理的意味が異なる．

2.4十分発達した温度場チャネル流において，温度場が十分発達したときに成立するいくつかの関係を導出する．まず，無次元温度Θを次式で定義する．

Θ(x, y) =Tw(x)− T (x, y)

Tw(x)− Tm(x)(15)

5

ここで，Tw, Tmはそれぞれ壁温と混合平均温度である．十分発達した温度場ではΘ(x, y) →Θ(y)が実現し，式 (15)の無次元温度分布が流れ方向に変化しなくなると考えられる．すなわち，y方向について相似な温度分布が実現される．言い換えれば，温度場の完全発達は次式で定義される．

∂Θ(x, y)

∂x= 0 (16)

そこで，式 (15)を xで偏微分し，その結果を次のように零とする．

∂Θ

∂x=

1

(Tw − Tm)2

[(dTw

dx− ∂T

∂x

)(Tw − Tm)− (Tw − T )

(dTw

dx− dTm

dx

)]

= 0 (17)

上式から，

(Tw − Tm)∂T

∂x= (Tw − Tm)

dTw

dx− (Tw − T )

dTw

dx+ (Tw − T )

dTm

dx

= (T − Tm)dTw

dx+ (Tw − T )

dTm

dx(18)

を得る．これから，発達した温度場では，温度分布の x方向の変化率 ∂T/∂xが次式で与えられる．

∂T

∂x=

T − Tm

Tw − Tm

(dTw

dx

)+

Tw − T

Tw − Tm

(dTm

dx

)(19)

式 (19)に基づいて，壁面の熱的境界条件と温度分布の発達過程の関係を説明できる（2.6節参照）．

2.5チャネル流における熱伝達率の定義平板境界層では，熱伝達率 hは qw ≡ h(Tw − T∞)で定義される．これに対して，チャネル流や管内流の発達流では無限遠方の温度 T∞が存在しないために，熱伝達率は壁温 Tw

と混合平均温度 Tmとの温度差を用いて定義される．すなわち，チャネル流（あるいは管内流）の熱伝達率 hは次式で定義される．

qw ≡ h(Tw − Tm) (20)

qwは壁面での熱流束（以下，壁面熱流束とよぶ）であり，次式で与えられる．

qw = −λ∂T

∂y

∣∣∣∣∣y=−H

= λ

∂T

∂y

∣∣∣∣∣y=H

λ：流体の熱伝導率 (21)

2.6壁の熱的境界条件と温度分布の関連壁面の熱的境界条件として 2つの代表例（等熱流束壁と等温壁）を取り上げて，熱的境界条件と温度分布 T (x, y)の流れ方向変化の関連を以下に考察する．

6

・等熱流束壁等熱流束壁は次式で表される．

dqw

dx= 0 (22)

発達流では hが一定となることに注意して，式 (22)の条件を式 (20)に与えると，dTw

dx− dTm

dx= 0 (23)

を得る．すなわち，等熱流束壁の条件で十分発達した温度場ではdTw

dx=

dTm

dx(24)

が成立する．この結果を式 (19)に代入すれば，温度分布の流れ方向変化率 ∂T/∂xは次のように xのみの関数となることがわかる．

∂T

∂x=

dTw

dx=

dTm

dx= Function(x) (25)

よって，∂T/∂xは Twと Tmの x方向勾配と一致する．式 (25)の関係を図 5(a)に示す．なお，等熱流束壁の場合には，混合平均温度Tmは流路入口から勾配一定で変化する．その理由は次のとおりである．流路奥行き方向（紙面に垂直方向）の長さをW とするとき，流れ方向座標 xと x + dx

の間の熱エネルギーの出入について，次の関係が成り立つ（通常，x軸方向熱伝導による熱移動は考慮しなくてよい）．

mcpTm(x + dx) = mcpTm(x) + 2qwWdx (26)

ここで，m, cp はそれぞれ質量流量 [kg/s]，定圧比熱 [J/(kg·K)] を表す．式 (26)と m =

ρum ×W × 2Hの関係から，dTm

dx=

qw

ρcpumH(27)

を得る．したがって，図 5(a)に示すように，壁面熱流束一定（qw = const.）の条件では，全域で dTm/dx = const.となる．

・等温壁等温壁は次式で表される．

dTw

dx= 0 (28)

この関係を式 (19)に代入すると，∂T

∂x=

Tw − T

Tw − Tm

dTm

dx= Function(x, y) (29)

となる．これから，等温壁の条件で十分発達した温度場の ∂T/∂xには，等熱流束壁の場合のような簡単な関係は成立せず，∂T/∂xは xと yの関数となる．このため，等温壁条件での理論解析は容易ではない．式 (29)の関係を図 5(b)に示す．

7

0

x

x

0

Tm

Tw

Tm

Tw =const.

Tw−Tm = const.

Tw

Tmi

Tmi

発達流

発達流

TFD：十分発達した温度場(Thermally Fully Developed)

TFD

(a)　壁面熱流束一定で加熱した場合

(b)　壁面温度一定で加熱した場合

（勾配一定）

図 5:壁面の加熱条件と温度場の発達過程（等熱流束壁と等温壁の差異）

十分発達したチャネル流における温度分布の x方向変化を，等熱流束壁と等温壁を対比して図 6に示す．図 6からわかるように，等熱流束加熱では壁温 Twと温度分布 T の差が合同になるのに対して，等温加熱では相似になる．等温壁で加熱し続けると，壁面熱流束は漸減していき，最終的にはチャネル内の温度分布が Twで一様になる．その結果，壁からの伝熱量は零になる．

2.7等熱流束壁の場合の熱伝達2.6節で述べたように，等熱流束壁の場合には式 (25)が成立するので，十分発達した場合の温度分布を理論的に求めることができる．その導出過程を以下に示す．温度場が十分発達していれば，エネルギー式 (3)に対して次の境界層近似が適用できる．

∂2T

∂x2¿ ∂2T

∂y2(30)

十分発達した速度場では v = 0となるので，式 (3)は次のように非常に簡単になる．

u∂T

∂x= α

∂2T

∂y2(31)

式 (25)から，∂T/∂x = dTm/dxが成立するので，式 (31)を以下のように書き換えることができる．（実は，2.6節で示したように，等熱流束条件で温度場が十分発達すれば，∂T/∂x

8

qw

qw

qw

qw

Tw Tw

Tw Tw

x

y

x

y

(a) 等熱流束で加熱 (qw = const.)

(b) 等温で加熱 (Tw = const.)

合同

相似

図 6:等熱流束加熱と等温加熱における温度分布の特徴

は一定となる．すなわち，∂2T/∂x2 = 0となるので，境界層近似を導入せずとも式 (31)が厳密に成り立つ．）式 (31)と式 (12), (13)から

∂2T

∂y2=

3um

2α

(dTm

dx

) (1− y2

H2

)(32)

を得る．式 (32)の右辺を次式で定義される係数A（xのみの関数）

A ≡ 3um

2α

(dTm

dx

)(33)

を用いて簡単にし，yについて順次積分すると，

∂T

∂y= A

(y − y3

3H2

)+ C1 (34)

T = A

(y2

2− y4

12H2

)+ C1y + C2 (35)

となる．ここで，C1, C2は未定係数であり，次の境界条件により決定される．

y = 0 で ∂T

∂y= 0

y = H で T = Tw

(36)

第 1の条件式は温度分布がチャネル中心 y = 0で対称となることを，第 2の条件式は壁面y = H で温度 T が壁温 Twと一致することを表している．条件式 (36)を式 (35)に適用す

9

ると，

C1 = 0

Tw = A

(H2

2− H4

12H2

)+ C2 = A

5H2

12+ C2

(37)

となる．これから，温度分布 T (x, y)が次のとおり決定される．

T (x, y) = A

(y2

2− y4

12H2− 5H2

12

)+ Tw(x)

= Tw(x)− AH2

12

[(y

H

)4

− 6(

y

H

)2

+ 5

](38)

この結果から，壁面熱流束 qwが次のように求まる．

qw = λ∂T

∂y

∣∣∣∣∣y=H

=2λAH

3(39)

一方，混合平均温度 Tm(x)は，その定義式 (14)から，

Tm(x) =1

2umH

∫ H

−Hu · Tdy

=1

2umH

∫ H

−H

3um

2

(1− y2

H2

)·{

Tw(x)− AH2

12

[(y

H

)4

− 6(

y

H

)2

+ 5

]}dy (40)

と表される．式 (40)の計算を容易にするために，η ≡ y/Hで定義される変数 ηを導入して変数変換し，dy = Hdηを用いると，式 (40)は次のように書き換えられる．

Tm(x) =3

4

∫ 1

−1

(1− η2

) [Tw(x)− AH2

12

(η4 − 6η2 + 5

)]dη

=3Tw(x)

4

∫ 1

−1

(1− η2

)dη +

AH2

16

∫ 1

−1(η2 − 1)

(η4 − 6η2 + 5

)dη

= Tw(x)− 34AH2

105(41)

したがって，式 (20), (39), (41)より，熱伝達率 hは

h =qw

Tw − Tm

=2λAH/3

34AH2/105=

35

17

λ

H(42)

と求められる．この結果から，ヌセルト数Nuを代表長さ 2H（平板間距離）を用いて定義すると，

Nu ≡ h · (2H)

λ

=35λ

17H· 2H

λ=

70

17= 4.118 (43)

10

102

110 10 10 1

10

速度場・温度場ともに助走区間

温度場のみ助走区間（速度場発達）

発達流(HFD, TFD)

4.36

3.66壁温一定

熱流束一定

x / (D Re Pr)

Nu

−3 −2 −1

図 7:円管内層流における熱伝達（速度助走区間の有無と熱伝達率の変化）

を得る．一方，代表長さとして，無限に広い平行平板 (W →∞)の水力直径Dh，

Dh =断面積× 4

周囲の長さ = limW→∞

2WH × 4

2(W + 2H)= 4H (44)

を採用すれば，Nu = 8.24となる．以上の理論解析から，平行平板間の層流が等熱流束壁で加熱（冷却）されて，速度場と温度場がともに十分発達した場合には，ヌセルト数Nu（熱伝達率）がNu = 4.12になることが示された．

2.8円管内層流の熱伝達実用面では上述のチャネル流より円管流の方が重要である．円管内層流の熱伝達は，これまでに様々な条件下で詳しく調べられている．結果の一例を図 7に示す．図 7では，速度場と温度場が同時に発達する場合（速度と温度の助走区間），および十分発達した速度場の中を温度場が発達していく場合（温度助走区間）について，ヌセルト数の x方向変化の解析結果が示されている．横軸は，円管内径をDとしてGz ≡ (Re ·Pr ·D)/xで定義される無次元数（グレツ数Gzとよばれる）の逆数がとられている．壁面の熱的境界条件は等熱流束壁と等温壁である．図 7から，熱伝達率は円管入口から下流に向って急減するものの，速度場と温度場がともに十分発達する領域（Gz−1 > 0.05）においては，等熱流束壁で 4.36，等温壁で 3.66の一定値に漸近することがわかる．

11

yx

2H

0

FlowInlet

図 8:数値解析用の座標（座標原点が理論解析の場合と異なる）

3.数値解析

ここでは，平行平板間の層流（チャネル流）の熱伝達を数値シミュレーションで解析する．解析対象は速度場と温度場が同時に発達する場合であり，壁面での熱的境界条件は等熱流束壁である．上述の理論解析によると，この条件で速度場と温度場が十分に発達したときには，Nu = 4.12となるはずである．

3.1基礎方程式の無次元化数値解析にあたり，2.1節の運動方程式とエネルギー式を無次元化する．まず，u, v, p,

T を次のとおり無次元化する．

u∗ =u

Uin

, v∗ =v

Uin

, p∗ =p

ρU2in

, θ =(T − Tin)

Tin

(45)

ここで，Uin, Tinはそれぞれチャネル入口での速度と温度であり，ともに入口断面において一様とする．数値解析で使用する座標系を図 8に示す．ここでは，チャネル中心軸についての場の対称性を利用せずに，チャネル全域を解析対象とする．このため，座標原点を理論解析の位置（図 4）から図 8に示す下壁上に移動させる．また，空間座標 x, yおよび時間 tを次のとおり無次元化する．

x∗ =x

2H, y∗ =

y

2H, t∗ =

t

(2H/Uin)(46)

以上により無次元化された運動方程式とエネルギー式は次式で表される．

∂u∗

∂t∗+ u∗

∂u∗

∂x∗+ v∗

∂u∗

∂y∗= −∂p∗

∂x∗+

1

Re

(∂2u∗

∂x∗2+

∂2u∗

∂y∗2

)

∂v∗

∂t∗+ u∗

∂v∗

∂x∗+ v∗

∂v∗

∂y∗= −∂p∗

∂y∗+

1

Re

(∂2v∗

∂x∗2+

∂2v∗

∂y∗2

)

(47)

∂θ

∂t∗+ u∗

∂θ

∂x∗+ v∗

∂θ

∂y∗=

1

RePr

(∂2θ

∂x∗2+

∂2θ

∂y∗2

)(48)

ここで，Re ≡ Uin · 2H/ν, Pr = ν/αである．エネルギー式 (48)に現れるReと Prの積をペクレ数 Peとよぶ．

12

3.2壁面熱流束 qwの無次元化下壁側の壁面熱流束は次式で与えられる．

qw = −λ∂T

∂y

∣∣∣∣∣y=0

= −λ(

Tin

2H

)∂θ

∂y∗

∣∣∣∣∣y∗=0

(49)

ここで，λは流体の熱伝導率 [W/(m·K)] である．式 (49)から qwは次のように無次元化される．

q∗w = qw

(2H

λTin

)(50)

この結果，無次元化された壁面熱流束 q∗wは次式で計算される．

q∗w = − ∂θ

∂y∗

∣∣∣∣∣y∗=0

= −θi, j=1 − θi, j=0

∆y∗(51)

式 (51)から下側壁面での温度の境界条件 θ(i, 0)は

θ(i, 0) = θ(i, 1) + q∗w∆y∗ (52)

で与えられる．

[問]　同様にして上側壁面の温度の境界条件 θ(i, Ny + 1)を求めてみよう．

一方，壁面熱流束 qwは熱伝達率 hを用いて次のように表される．

qw = h(Tw − Tm) (53)

これを無次元化すれば，

q∗w = Nu(θw − θm) (54)

となる．ここで，Nu = h · 2H/λは座標 xにおけるヌセルト数であり，局所ヌセルト数とよばれる（これに対して，x方向のある区間でNuを平均したものを平均ヌセルト数Num

とよぶ）．

[問]　式 (54)を導出してみよう．

式 (54)から局所ヌセルト数は次式で表される．

Nu =q∗w

θw − θm

(55)

すなわち，ヌセルト数の値を得るには，ある位置 xでの壁温 θwと混合平均温度 θmを算出する必要がある．下側壁面の温度は

θw =θi, j=0 + θi, j=1

2(56)

13

で与えられる．一方，混合平均温度を得るには，式 (14)にしたがって u∗θを数値積分する必要がある．ここでは，格子点 (i, j)での速度 u∗と温度 θの積に格子幅∆y∗を乗算し，それらを流路断面にわたって合計することで θmを求める．

[問]　無次元された混合平均温度 θmが次式で表されることを示そう．

θm =

∫ 1

0u∗θdy∗

∫ 1

0u∗dy∗

=∫ 1

0u∗θdy∗ (57)

3.3計算プログラム本講座の講師である名古屋工業大学牛島達夫先生が作成されたプログラムを以下に掲載する．このプログラムで得られた等熱流束壁のヌセルト数は，チャネル後端でNu = 4.1248

となった．これは 2.7節の理論値 4.118と 0.16%の差で一致する．理論値との若干のずれを解消するには，y方向の格子点を増やして計算精度を高めるとともに，x方向の計算領域を大きくすることで速度場と温度場を十分に発達させればよい．本プログラムの計算により得られた速度場と温度場の発達過程を図 9～図 12に示す．このプログラムを少し改造すれば等温壁の場合も解析できる．そのようにして得られた結果を円管流の場合（図 7）と比較してみるのもおもしろい．

c SMAC (original version by Dr. T. Ushijima)c Simplified Marker and Cell methodc Solving Heat Transfer in flow between parallel walls.c

implicit double precision(a-h,o-z)c 格子数 n

parameter(n=20, nx=n*10, ny=n)c p: 圧力c u, v: 速度c phi: 補正圧力c divup: 予測速度の発散c up, vp: 予測速度c psi: 流れ関数c the: スカラー (e.g. 温度，濃度)

dimension p(0:nx+1,0:ny+1)+ ,u(0:nx,0:ny+1),v(0:nx+1,0:ny)+ ,phi(0:nx+1,0:ny+1),divup(1:nx,1:ny)+ ,up(0:nx,0:ny+1),vp(0:nx+1,0:ny)+ ,psi(0:nx,0:ny+1)

+ ,the(0:nx+1,0:ny+1),the0(0:nx+1,0:ny+1)

c 時間ステップ数 looploop=20000

c レイノルズ数 rere=50.d0

c プラントル数 pr 　 (シュミット数)pr=0.7d0

c 壁面熱流束の値q_w=1.d0

14

c 格子幅 dx(=dy)dy=1.d0/dble(n)dx=dy

c 流れ方向の格子幅は壁垂直方向の二倍c dx=dy*2.d0c 時間ステップ幅 dt

dt=0.002d0c １時間ステップで流体が移流によって飛び出さないようにする

dt=min(dt,0.25*dx)c 拡散の影響の考慮 (ここではプラントル数の影響は考慮していない)

dt=min(dt,0.2*re*dx*dx)write(6,*) ’dt = ’,dtddx=1.d0/dxddy=1.d0/dyddx2=ddx*ddxddy2=ddy*ddyddt=1.d0/dt

c initial conditionc icont=1 のときは，既存のデータを用いる．c それ以外は，初期化する．全部零！

icont=0if (icont.eq.1) then

open(unit=9,file=’fort.21’+ ,form=’unformatted’, status=’unknown’)

read(9) u,v,pclose(9)

elsedo 131 j=0,ny

do 132 i=0,nxu(i,j)=1.d0v(i,j)=0.d0p(i,j)=0.d0

the(i,j)=0.d0

132 continue131 continue

end ifdo 133 i=0,nx

p(i,ny+1)=0.d0u(i,ny+1)=0.d0

the(i,ny+1)=0.d0

133 continuedo 134 j=0,ny

p(nx+1,j)=0.d0v(nx+1,j)=0.d0

the(nx+1,j)=0.d0

134 continuec 境界条件の設定１

un=0.d0uw=1.d0us=0.d0ue=0.d0vn=0.d0vw=0.d0vs=0.d0

15

ve=0.d0

c 時間積分開始do 1000 it=1,loop

c 境界条件の設定２c boundary condition

do 135 j=0,nyc right wall (east) or outlet

v(nx+1,j)=v(nx,j)u(nx,j)=u(nx-1,j)p(nx+1,j)=0.0

the(nx+1,j)=2.*the(nx,j)-the(nx-1,j)

c left wall (west) or inletv(0,j)=vwu(0,j)=uwp(0,j)=p(1,j)

the(0,j)=0.d0

135 continuec u(0,ny/2+1)=uw

do 136 i=0,nxc lower wall (south)

u(i,0)=2.*us-u(i,1)v(i,0)=vsp(i,0)=p(i,1)

the(i,0)=the(i,1)+q_w*dy !heat flux constant

c upper wall (north)u(i,ny+1)=2.*un-u(i,ny)v(i,ny)=vnp(i,ny+1)=p(i,ny)

the(i,ny+1)=the(i,ny)+q_w*dy !heat flux constant

136 continue

c 温度の計算do 801 j=1,ny

do 802 i=1,nxcnvt=(ddx*((the(i,j)+the(i-1,j))*u(i-1,j)

+ -(the(i,j)+the(i+1,j))*u(i,j))+ +ddy*((the(i,j)+the(i,j-1))*v(i,j-1)+ -(the(i,j)+the(i,j+1))*v(i,j)))/2.d0

dift=(ddx2*(the(i+1,j)-2.*the(i,j)+the(i-1,j))+ +ddy2*(the(i,j+1)-2.*the(i,j)+the(i,j-1)))/(pr*re)

the0(i,j)=the(i,j)+dt*(cnvt+dift)802 continue801 continue

do 803 j=1,nydo 804 i=1,nx

the(i,j)=the0(i,j)804 continue803 continue

16

c 予測段，既知の速度・圧力から速度を予測するc predictor stepc for u_ijc (up-u)/dt=-dp/dx-duu/dx-duv/dy+(nabla)ˆ2 u

write(6,*)’up’do 125 j=1,ny

do 126 i=1,nx-1c vij=(v(i,j)+v(i,j-1)+v(i+1,j)+v(i+1,j+1))*0.25c cnvu=0.5*ddx*(u(i,j)*(u(i+1,j)-u(i-1,j))c + -abs(u(i,j))*(u(i-1,j)-2.*u(i,j)+u(i+1,j)))c + +0.5*ddy*(vij*(u(i,j+1)-u(i,j-1))c + -abs(vij)*(u(i,j-1)-2.*u(i,j)+u(i,j+1)))c cnvu: 移流項の離散化，上記コメントアウトされたものは一次精度

cnvu=ddx*((u(i+1,j)+u(i,j))**2+ -(u(i-1,j)+u(i,j))**2)/4.d0+ +ddy*((u(i,j+1)+u(i,j))*(v(i+1,j)+v(i,j))+ -(u(i,j)+u(i,j-1))*(v(i,j-1)+v(i+1,j-1)))/4.d0

fij=-ddx*(p(i+1,j)-p(i,j))-cnvu+ +ddx2*(u(i+1,j)-2.d0*u(i,j)+u(i-1,j))/re+ +ddy2*(u(i,j+1)-2.d0*u(i,j)+u(i,j-1))/re

up(i,j)=u(i,j)+dt*fij126 continue

c write(6,603) (up(i,j),i=1,nx-1)125 continue

cdo 124 j=1,ny

up(0,j)=uwup(nx,j)=up(nx-1,j)

124 continuec up(0,ny/2+1)=uw*1.01

do 224 i=1,nx-1up(i,0)=2.*us-up(i,1)up(i,ny+1)=2.*un-up(i,ny)

224 continuec for v_ijc (vp-v)/dt=-dp/dy-duv/dx-dvv/dy+(nabla)ˆ2 v

write(6,*)’vp’do 122 j=1,ny-1

do 123 i=1,nxc uij=0.25*(u(i,j)+u(i+1,j)+u(i,j+1)+u(i+1,j+1))c cnvv=0.5*ddx*(uij*(v(i+1,j)-v(i-1,j))c + -abs(uij)*(v(i-1,j)-2.*v(i,j)+v(i+1,j)))c + +0.5*ddy*(v(i,j)*(v(i,j+1)-v(i,j-1))c + -abs(v(i,j))*(v(i,j-1)-2.*v(i,j)+v(i,j+1)))c cnvv: 移流項の離散化，上記コメントアウトされたものは一次精度

cnvv=ddx*((u(i,j+1)+u(i,j))*(v(i+1,j)+v(i,j))+ -(u(i-1,j+1)+u(i-1,j))*(v(i-1,j)+v(i,j)))/4.d0+ +ddy*((v(i,j+1)+v(i,j))**2+ -(v(i,j)+v(i,j-1))**2)/4.d0

gij=-ddy*(p(i,j+1)-p(i,j))-cnvv+ +ddx2*(v(i+1,j)-2.d0*v(i,j)+v(i-1,j))/re+ +ddy2*(v(i,j+1)-2.d0*v(i,j)+v(i,j-1))/re

vp(i,j)=v(i,j)+dt*gij123 continue

c write(6,603) (vp(i,j),i=1,nx)122 continue

17

c 境界条件を合わせるdo 121 i=1,nx

vp(i,0)=vsvp(i,ny)=vn

121 continuedo 221 j=1,ny-1

vp(0,j)=vwvp(nx+1,j)=vp(nx,j)

221 continuec evaluate continuity

write(6,*) ’evaluate continuity’ic=0div=0.0do 112 j=1,ny

do 111 i=1,nxdivup(i,j)=ddx*(up(i,j)-up(i-1,j))

+ +ddy*(vp(i,j)-vp(i,j-1))div=div+divup(i,j)**2ic=ic+1

111 continuec write(6,603) (divup(i,j),i=1,nx)

112 continuewrite(6,*) sqrt(div/dble(ic))

c ポアソン方程式を解くc solve the poisson equation (nabla)2 p=(nabla)up/dt by SOR

write(6,*) ’solve the poisson equation for pressure’c initialisation

do 107 i=0,nx+1do 108 j=0,ny+1

phi(i,j)=0.d0108 continue107 continue

eps=1.D-6c 最大反復数 maxitrc 収束させるためにはmaxitr=nx*ny 程度必要C 最大反復数は小さめにとっているので，計算の初めはC 収束しないが，定常計算では影響なし．

maxitr=nx*ny/10c 緩和係数 alpha=1.5 ～1.7 程度に設定

alpha=1.7do 100 iter=1,maxitr

error=0.d0do 101 j=1,ny

do 102 i=1,nxrhs=ddt*divup(i,j)resid=ddx2*(phi(i-1,j)-2.d0*phi(i,j)+phi(i+1,j))

+ +ddy2*(phi(i,j-1)-2.d0*phi(i,j)+phi(i,j+1))+ -rhs

den=2.d0*(ddx2+ddy2)dphi=alpha*resid/denerror=max(abs(dphi),error)phi(i,j)=phi(i,j)+dphi

102 continue101 continue

do 103 j=1,ny

18

phi(0,j)=phi(1,j)phi(nx+1,j)=0.0

103 continuedo 104 i=1,nx

phi(i,0)=phi(i,1)phi(i,ny+1)=phi(i,ny)

104 continuec 収束の判定

if (error.lt.eps) goto 998100 continue998 continue

write(6,*) ’iter =’, iter, it, errorc pause

if (iter.ge.maxitr) write(6,*)’maximum iteration exceeded!’c 修正段c corrector step

do 150 j=1,nydo 151 i=1,nx-1

u(i,j)=up(i,j)-dt*ddx*(phi(i+1,j)-phi(i,j))151 continue150 continue

do 152 j=1,ny-1do 153 i=1,nx

v(i,j)=vp(i,j)-dt*ddy*(phi(i,j+1)-phi(i,j))153 continue152 continue

do 160 j=1,nydo 161 i=1,nx

p(i,j)=p(i,j)+phi(i,j)161 continue160 continue

c 連続の式の満足度チェック（特に必要なし）c check the continuity for n+1 th step

write(6,*) ’check the continuty for n+1 th step’ic=0div=0.0do 155 j=1,ny

do 156 i=1,nxdivup(i,j)=ddx*(u(i,j)-u(i-1,j))+ddy*(v(i,j)-v(i,j-1))ic=ic+1div=div+divup(i,j)**2

156 continuec write(6,603)(divup(i,j),i=1,nx)

603 format(20(1X,E10.2))155 continue

write(6,*) sqrt(div/dble(ic))

c *********************************************c 混合平均温度の計算（i=nx における値）c *********************************************

iN=nxtm=0.d0

c um=0.d0do 170 j=1,nytm=tm+0.5d0*(u(iN,j)+u(iN-1,j))*the(iN,j)*dy

19

c um=um+0.5d0*(u(iN,j)+u(iN-1,j))*dy170 continue

c tm=tm/umtw=0.5d0*(the(iN,0)+the(iN,1))s_Nu=q_w/(tw-tm)write(6,*) s_Nu

1000 continuec output 結果の出力c 流れ関数の計算

do 491 i=0,nxpsi(i,0)=0.d0do 492 j=1,ny+1

psi(i,j)=psi(i,j-1)+0.5*dy*(u(i,j-1)+u(i,j))492 continue491 continue

cdo 501 j=1,ny

do 502 i=1,nxx0=dx*(dble(i)-0.5)y0=dy*(dble(j)-0.5)u0=0.5*(u(i,j)+u(i-1,j))v0=0.5*(v(i,j)+v(i,j-1))p0=p(i,j)divu0=divup(i,j)psi0=0.5*(psi(i,j)+psi(i-1,j))

c ｘ座標，ｙ座標，速度 u,v 圧力 P，連続の式，流れ関数，温度write(10,699) x0,y0,u0,v0,p0,divu0,psi0,the(i,j)

699 format (8(1X,E12.5))

502 continuewrite(10,*)

501 continuedo 503 j=1,ny-1

do 504 i=1,nx-1x0=dx*dble(i)y0=dy*dble(j)u0=0.5*(u(i,j)+u(i,j+1))v0=0.5*(v(i,j)+v(i+1,j))omega=dx*(v(i+1,j)-v(i,j))-dy*(u(i,j+1)-u(i,j))psi0=0.5*(psi(i,j)+psi(i,j+1))

C x座標，y 座標，速度 u,v ，渦度，流れ関数write(11,699) x0,y0,u0,v0,omega,psi0

504 continuewrite(11,699)

503 continuec 次回の計算のために速度圧力データを保存

write(21) u,v,pend

20

2.0

1.5

1.0

0.5

0

u / U

in

1086420

x / (2H)

y/(2H)=0.05

y/(2H)=0.5

y/(2H)=0.10

図 9:速度分布の発達過程（中心速度は入口速度の 1.5倍になる）

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(T -

Tin)

/Tin

1086420

x / (2H)

y/(2H)=0.05

y/(2H)=0.5

図 10:温度分布の発達過程（等熱流束壁では勾配一定で増大する．図 5(a)参照）

21

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

y / (

2H)

1086420x / (2H)

1.4 1.4

1.4

1.4 1.4 1.4

1.3 1.3

1.3 1.3 1.2

1.2

1.1

1.1 1.1

1.1 1.1

1 1

1

0.9 0.9

0.9

0.8 0.8

0.8

0.7 0.7

0.7

0.6 0.6 0.6

0.6

0.5 0.5

0.5

0.4 0.4 0.4

0.4

0.3 0.3 0.3

0.3

図 11:速度 u∗の等高線分布

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

y / (

2H)

1086420x / (2H)

0.75

0.75

0.7

0.7

0.65

0.65

0.6

0.6

0.55

0.55

0.55

0.5

0.5

0.45

0.45

0.4

0.4

0.35

0.35

0.3 0.25

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15 0.1

0.1

0.0

5

図 12:温度 θの等高線分布

おわりに

平行平板間層流（チャネル流）の熱伝達について理論解析と数値解析の手法を概説した．本解析の対象とした「無限に広い平行平板間に形成される層流」はもちろん実在しない．しかし，チャネル流は解析上の取り扱いが容易であることに加えて，工業的に重要な円管流やダクト内流れと同様に下流で完全な発達流が形成される性質をもつ（これが平板上境界層と本質的に異なる点である）ことから，基礎研究の対象としてしばしば取り上げられてきた．壁乱流の研究では特にその傾向が顕著である．理論解析は現象の本質の理解を助けるだけでなく，データ整理の指針や数値シミュレーションの信頼性検証の基準データを与えてくれる．ここではその一例を紹介させていただいた．

参考文献

1.庄司正弘，「伝熱工学」, (1995),東京大学出版会．2.日本機械学会，JSMEテキストシリーズ「伝熱工学」, (2005),丸善．3. White, F. M. “Heat and Mass Transfer,” (1988), Addison-Wesley.4.田川正人，「エネルギー式を巡る」,伝熱，43巻 178号, (2004.1), pp. 26–31.

(http://www.htsj.or.jp/dennetsu/denpdf/2004_01.pdf)

22