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高階スピンカレントと Hawking 輻射
森田 健
KEK
Ref) hep-th/0701272
磯 暁 氏 (KEK), 梅津 裕志 氏 (OIQP) との共同研究
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高階スピンカレントと Hawking 輻射
森田 健
YITP(4 月 -)
Ref) hep-th/0701272
磯 暁 氏 (KEK), 梅津 裕志 氏 (OIQP) との共同研究
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高階スピンカレントと Hawking 輻射
森田 健
Tata 研究所 (10 月 -)
Ref) hep-th/0701272
磯 暁 氏 (KEK), 梅津 裕志 氏 (OIQP) との共同研究
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Introduction and Motivation
My motivation to study BH physics
String Theory
En
er
gy
general relativity
Low energy effective theory
Black hole
重力を記述する理論
今回の研究
一般相対論 + 場の理論で Black hole を解析する。
超弦理論へ何らかの示唆を与えられないか ?
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○ 高次元 Black hole → 2 次元理論
Introduction and Motivation
一般に BH は 2 次元平面 ((r,t) 平面 ) に reduction すると扱いやすい。
• Back reaction (Callan-Giddings-Harvey-Strominger, 1992 ) 高次元重力→ 2 次元重力 +dilaton
• エントロピー ★ Near horizon での Virasoro algebra (Carlip)
★ 重力場の fluctuation→linear dilaton CFT (Iso-T.M.-Umetsu 基研 2006)
• Hawking 輻射
○ CFT の trace anomaly による導出 (Christensen-Fulling, 1977)
○ Gravitational anomaly による導出 (Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek Iso-T.M.-Umetsu 2005-)
特に、 near horizon では理論は conformal になる。: 部分波展開
運動方程式
2-dim massless scalar
→ CFT
物理的に言うと無限の赤方偏位が起こるので無限遠の観測者には UV mode しか効かない。mass や potential は無視できる。
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○ Hawking radiations from anomalies
Introduction and Motivation
• trace anomaly Christensen-Fulling
• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.
consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution
これらの手法で Planck 分布 (Fermi-Dirac 分布 ) を再現できるか ?
?
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○ Hawking radiations from anomalies
Introduction and Motivation
• trace anomaly Christensen-Fulling
• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.
これらの手法で Planck 分布 (Fermi-Dirac 分布 ) を再現できるか ?
このことを確かめるには次のような量を anomaly を用いて計算できればよい
consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution
あとで説明するが、これらの量は
higher-spin current の flux に対応する。
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○ Hawking radiations from anomalies
Introduction and Motivation
• trace anomaly Christensen-Fulling
• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.
これらの手法で Planck 分布 (Fermi-Dirac 分布 ) を再現できるか ?
このことを確かめるには次のような量を anomaly を用いて計算できればよい
consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution
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○ 今回の目的
Introduction and Motivation
• trace anomaly Christensen-Fulling
• gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M.
trace anomaly を用いた方法で、この分布を再現する。
BH の解析における CFT や anomaly の有用性を示す。
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Plan of this talk
1. Introduction and Motivation
2. Energy Flux from Trace Anomaly
3. General Fluxes from Trace Anomalies
4. Conclusion
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2. Energy Flux from Trace Anomaly Christensen-Fulling (1977)
Set up
4-dimensional Schwarzschild BH back ground における物質場を考える。
• metric
今回の研究では主に (u,v) 座標と (U,V) 座標を用いる。
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2. Energy Flux from Trace Anomaly
BH
Set up
(u,v) 座標が記述する領域
BH (U,V) 座標が記述する領域BH
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2. Energy Flux from Trace Anomaly
Point
BH
(U,V) 座標で評価した物理量は horizon 近傍で正則
(u,v) 座標で評価した物理量は horizon 近傍以外で正則
near horizon CFT にこれらの条件を考慮することで Hawking 輻射を導出する。
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2. Energy Flux from Trace Anomaly
Horizon 近傍における 2-dim CFT
Energy flux を求めたいので energy-momentum tensor に注目する。
CFT で重要な役割を果たすのは conformal 変換を生成する
conformal energy-momentum tensor
Schwarzian derivative
Trace anomaly
Trace anomaly の寄与
Tensor として変換していない
の conformal 変換 における変換則
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2. Energy Flux from Trace Anomaly
この変換則を horizon 近傍の CFT に適応する。
Regularity condition and Hawking flux
singular at the horizon (U=0) BH
は horizon 近傍で regular であるべきなので
という条件を得る。
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2. Energy Flux from Trace Anomaly
Regularity condition and Hawking flux
は の正則関数
Trace anomaly が Hawking flux. を再現した
Black hole background は時間によらないので も時間によらないはず
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1. Introduction and Motivation
2. Energy Flux from Trace Anomaly
3. General Fluxes from Trace Anomalies
4. Conclusion and Discussion
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Planck 分布 または Fermi-Dirac 分布を再現するために
という量を trace anomaly を用いて再現したい。
Noether current of diffeo.
方針
Noether current of higher-spin transf..
目標
この current に対する trace anomaly のようなものを計算することで、
Hawking 輻射を再現できないか試みる。
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同様に 偶数階の higher-spin conserved current を作ることができる。
3. General Fluxes from Trace Anomalies
Higher-spin transformation and higher-spin current
この作用は次の変換に対して不変である。
Traceless symmetric Noether current (4 階 )
In flat metric
( 注 奇数階の higher-spin conserved current は存在しない .( 対称性が無い ) )
and constant.
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Higher-spin transformation and higher-spin current
In curved metric
curved background における高階スピンカレントを構成するのは非常に難しい。
このままでは 目的の trace anomaly の計算ができない、、、
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Higher-spin transformation and higher-spin current
今回も Holomorphic higher-spin currents に注目すれば十分 (flat で十分 )
Energy flux の評価では conformal EM tensor の anomalous な変換性がわかれば十分だった。
Rank 4
Rank 2n
2n
今回も高階スピンカレントの
anomalous な変換性を求めれば
十分である。
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
体積積分
Remark normalization of the currents
2n
の係数が 1 になるように
current の normalization を決める。
が Planck 分布に従えば、
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Rank 4
我々はこの current の anomalous な変換性を point-splitting を用いて求めた。
: singular
Regularization by a point-splitting method
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
この regularization を考慮することで、 anomalous な変換性を出すことができる。
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Rank 4
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Rank 4
In case
Schwarz 微分のような項
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
まともに tensor
として変換した項anomalous な項
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Rank 4
左辺は (U,V) 座標の量→ horizon 近傍で正則
Flux at the infinity
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
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同様に を評価する。
3. General Fluxes from Trace Anomalies
Rank 4
regularity at the horizon
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
Flux at the infinity
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Rank 4
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
Consistent with the Planck distribution!
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
これらの量の違いは符号のみ .
一般に次を示せる。
2n
Conformal transformation of holomorphic higher-spin current
Remark
についての変換性を求めれば十分である。
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Conformal transformation of general higher-spin currents
generating function を用いて評価することができる。
ここで
Transformation
(lhs)
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Conformal transformation of general higher-spin currents
Derivation of the general Hawking fluxes
regularity at the horizon
両辺 a で展開する。
a の次数毎に比較
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Conformal transformation of general higher-spin currents
Derivation of the general Hawking fluxes
Consistent with the Planck distribution!!
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
Relation to thermal propagator
今、導出した結果をもう一度 generating function で見直す。
右辺は積分を用いて書き直すことができる。
この形は 2 次元有限温度場の理論における 2 点関数の温度依存部分として
知られている形である。
実際、 generating function は 2 点関数そのものなので、この結果は trace anomaly
を用いた解析が 2 点関数の段階で有限温度理論を再現していることを意味している。
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3. General Fluxes from Trace Anomalies
general higher-spin currents for fermion
regularity at the horizon
Consistent with the Fermi-Dirac distribution!
Generating function
Transformation
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4. Conclusion
Conclusions
• CFT を用いた解析で高階スピンカレントに対する Hawking 輻射を求めた。• 得られた輻射は Planck 分布 または Fermi-Dirac 分布と完全に一致する。• 実は 2 点関数の段階で有限温度理論を再現している。• 副産物として、高階スピン tensor に対する Schwarz 微分の一般化を見つけた。
Future issues
• Charged/rotating BH への応用
• gravitational anomaly method における Planck 分布の導出
• higher-spin gauge fields を結合させる
• Back reaction of gravitons in 2D String with G. Mandal (Tata)
• The AdS/CFT correspondence への応用
• horizon 近傍の CFT を用いた BH entropy の導出
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4. Conclusion
horizon 近傍の CFT を用いた BH entropy の導出 2006 基研研究会でのポスター発表
今回の研究 : BH 背景中の物質場の horizon 近傍での振る舞いに注目した。
BH 背景中の重力場の horizon 近傍での振る舞いに注目する。
horizon 近傍の CFT は linear dilaton 理論になる。
このとき
dilaton (4 次元重力子の一部の mode) の central charge ∝ BH の面積
このことを用いて、 Cardy formula で entropy を評価すると
となり、一応 面積則は再現するが知られている値 より大きくなってしまう。
また物理的に良くわからない点がいくつかある。
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2. Energy Flux from Trace Anomaly
Regularity condition and Hawking flux
Remark 一般に energy-momentum tensor と conformal energy-momentum tensor は
異なる。
conformal EM tensor は flat metric における EM tensor
ただし、 Hawking 輻射は無限遠 (flat な領域 ) で観測するので、 における
conformal EM tensor と EM tensor の違いは効かない
○ Hawking 輻射として評価したいのは EM tensor のほう