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Todo Matemáticas
Volumen 10
Á l g e b r a L i n e a l
A l e j o G o n z á l e z C r i a d o Profesor Numerario de Matemáticas
2
Destinado a
El Fígaro autodidacta:
Todo aquel que albergue algún interés por las
Matemáticas y disfrute con su estudio.
Obra completa:
Formación básica,
Formación nivel medio
Formación nivel alto
© 𝐸𝑙 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑟: 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑜 𝐺𝑜𝑛𝑧á𝑙𝑒𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜
Figuras y gráficos del autor
Edita: El Autor
Primera edición
Editado en España
ISBN:
Depósito Legal:
Derechos reservados:
Prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin
autorización del autor
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
3
VOLUMEN 10
ÁLGEBRA LINEAL
Matrices y Determinantes, Sistemas lineales, Espacios vectoriales,
Aplicaciones lineales, Endomorfismos. Espacio afín, Espacio Euclídeo.
Transformaciones geométricas, Cambio de Sistema de referencia.
Movimientos, Rotación en el espacio.
4
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
5
ÍNDICE
Pág.
Tema 1 Matrices y Determinantes
21 1.1.- Matrices
21 1.2.- Operaciones básicas con matrices
24 1.3.- Producto de dos matrices. Ejemplos
27 1.4.- Traspuesta de una matriz A. Ejemplos
28 1.5.- Determinante de una matriz cuadrada.
Ejemplos
33 1.6.- Matriz adjunta y adjunto algebraico
de un elemento aij. Matriz adjunta de la matriz A
33 1.7.- Matriz inversa de la matriz A
Ejemplos
36 1.8.- Rango de una matriz
Ejemplos
39 1.9.- Aplicación del cálculo de determinantes al cálculo
del Rango. Ejemplos
45 Ejemplos/Actividades
Tema 2 SISTEMAS Lineales
53 2.1.- Conceptos básicos. Ejemplos
6
54 2.2.- Sistemas de ecuaciones lineales
56 2.3.- Clasificación de Sistemas según su compatibilidad.
Ejemplos
57 2.4.- Sistemas equivalentes.
Transformaciones que dejan invariante el conjunto
de soluciones. Ejemplos
60 2.5.- Tipos de Sistemas según el número de incógnitas, y
su resolución. Métodos
60 2.5.1.- Sistema lineal en x, y. Su resolución. Ejemplos
63 2.5.2.- Sistema con tres incógnitas: x,y,z . Resolución.
Métodos
69 Ejemplos/Actividades
Tema 3 Vectores, Espacios vectoriales
77 3.1- Vector libre: Generalización
78 3.2.- Operaciones básicas con vectores
Ejemplos: Los casos V2, V3
83 3.3.- Combinación lineal de vectores.
Dependencia e independencia lineal de vectores.
Sistema libre de vectores. Ejemplos resueltos
87 3.4.- Bases de un espacio vectorial.
Dimensión de un espacio vectorial
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
7
89 3.5.- Coordenadas de un vector en una base.
Cambio de base
94 3.5.- Subespacios vectoriales
97 Ejemplos/Actividades resueltos
Tema 4 Aplicación de Matrices al Análisis y
Resolución de Sistemas Lineales
105 4.1.- Generalidades sobre Sistemas Lineales
107 4.2.- Los Sistemas lineales y el Cálculo matricial
4.2.1.- Interpretación matricial de un Sistema lineal
Clasificación. Teorema de Rouché Fröbenius
111 4.2.2.- Análisis y Resolución de un Sistema lineal no
Homogéneo. Método de Crámer.
116 4.3.- Caso de Sistema Compatible indeterminado.
Aplicación del Método de Crámer
117 4.4.- Sistemas Homogéneos. Clasificación.
Base del Subespacio de soluciones.
121 Ejemplos / Actividades resueltas
Tema 5 Aplicaciones Lineales. Endomorfismos.
149 5.1.- Aplicación lineal. Núcleo e Imagen.
151 5.2.- Matriz asociada a una Aplicación lineal
8
153 5.3.- Caso de un Endomorfismo . Ejemplos
160 5.4.- Cambio de base y efecto en las coordenadas
Tema 6 Espacios Afines
169 6.1.- Espacio Afín
170 6.2.- Sistemas de referencia
170 6.2.1.- En el Plano. Cambio de Sistema de referencia
175 6.2.2.- En el Espacio. Cambio de Sistema de referencia
Ejemplos
Tema 7 Espacio Métrico asociado a un Espacio
vectorial. Espacio Euclídeo.
185 7.1.- Espacio Vectorial normado
189 7.2.- Norma Hermética en un Espacio vectorial sobre el
cuerpo de los complejos.
190 7.3.- Introducción al Concepto de Espacio Euclídeo
195 7.4.- Espacio Euclídeo ordinario
196 7.5.- Espacio Euclídeo cualquiera
199 7.6.- Concepto de ángulo en un Espacio euclídeo
200 7.7.- Ortogonalidad y normalización en un Espacio
Euclídeo cualquiera.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
9
Tema 8 Transformaciones geométricas en el
Plano
205 8.0.- Conceptos básicos
206 8.1.- Traslación en el Plano: Traslación de un punto.
Traslación de una región del plano
208 8.2.- Giro con centro en un punto.
211 8.3.- Simetría central
212 8.4.- Simetría axial
213 8.5.- Movimiento en el plano
216 8.6.- Homotecia en el Plano
Tema 9 Transformaciones geométricas en el Espacio
221 9.0.- Conceptos básicos
222 9.1.- Traslación de un punto. Traslación de un sólido
223 9.2.- Simetría especular
226 9.3.- Giro cuyo eje es alguno de los ejes de coordenadas.
231 9.4.- Simetría axial en el Espacio
233 9.5.- Simetría Central en el Espacio
10
234 9.6.- Movimiento en el Espacio
235 9.7.- Homotecia en el Espacio
Tema 10 Cambio de Sistema de referencia
241 10.1.- Cambio de Sistema de referencia en el Plano
242 10.2.- Cambio de Sistema de referencia en el Espacio
10.2.1.- Traslación de un Sistema de referencia
243 10.2.2.- Giro del Sistema de referencia sobre uno de sus
ejes.
247 APÉNDICE 1 Suplemento: Sobre Transformaciones
en el Plano. Ejemplos
259 APÉNDICE 2 Suplemento: Sobre Transformaciones
en el Espacio. Ejemplos
275 PROBLEMAS: Resueltos ó Semi- Resueltos
A) De Espacios Vectoriales, Matrices y
Determinantes
280 B) Sistemas dependientes de algún parámetros
283 C) De Endomorfismos
289 D) De Espacios Afines y Espacios Euclídeos
298 E) De Espacios Afines y Espacios métricos
325 BIBLIOGRAFÍA
327 Notación y nomenclatura. Valores
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
11
Tema 1
Matrices y Determinantes
12
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
13
1.1.- Matrices
Llamamos “Matriz” a un conjunto de valores ordenados en filas y
columnas. Así, la matriz A
A =
a33 a32 a31
a23 a22 a21
a13 a12 a11
es una matriz con 3 filas y 3 columnas. Diremos que es de orden
3x3.
En la práctica los valores aij suelen ser enteros.
La matriz B
B =
b3 a33 a32 a31
b2 a23 a22 a21
b1 a13 a12 a11
es de orden 3x4 (3 filas y 4 columnas)
1.2.- Operaciones básicas con matrices
Suma A + B:
Se suman elemento a elemento: aij + bij, y por tanto han de ser
matrices del mismo orden. Las matrices A y B anteriores No
pueden ser sumadas.
14
Ejemplo: Sean las matrices A y B siguientes
A =
363
250
412
, B =
110
352
043
Su suma da como resultado la matriz C tal que cij = aij + bij:
C =
473
102
431
MATRIZ Cero:
Es la matriz cuyos elementos aij son todos cero: aij = 0, para todo
i, todo j.
La representamos por O.
MATRIZ Opuesta de A:
Es la que resulta de cambiar el signo a todos sus elementos. La
indicamos mediante –A.
La opuesta de A del ejemplo anterior es
363
250
412
La condición para serlo es que cumpla: A + (-A) = 0 (matriz cero)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
15
RESTA de dos matrices:
Para hacer la resta A-B hacemos es A+(-B).
Equivale a sumar A con la opuesta de B.
Tomando A y B como en el ejemplo anterior
A =
363
250
412
, B =
110
352
043
A – B =
253
5102
455
PRODUCTO de una matriz por escalar (un valor real):
El producto c.A está definido así: Multiplica cada elemento aij de
la matriz por el valor c.
Ejemplo:
Dada la matriz A y un escalar a, el producto a.A da como
resultado la matriz C tal que cij= a.aij:
A =
363
250
412
, 3.A =
9189
6150
1236
16
GRUPO aditivo de las matrices Mnxm :
Sea Mnxm el conjunto de las matrices de orden nxm.
Las Operaciones antes definidas cumplen las siguientes
propiedades.
Para la SUMA:
Propiedades de las operaciones + y . (por escalar), dentro de
Mnxm:
Asociativa: A+ (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa: A + B = B + A
Elemento neutro: Lo es la matriz cero
Simétrico(Opuesto): La opuesta de A es –A
Hasta aquí tenemos la estructura de grupo (Mnxm,+)
Distributiva del producto . por escalar (un valor real)
respecto de +:
c.(A + B) = c.A + c.B
1.3.- Producto de dos matrices:
Su definición es difícil de explicar. Lo mostramos mediante un
ejemplo.
Sean las matrices A de orden 3x2, B de orden 2x4:
A =
a32 a31
a22 a21
a12 a11
, B =
b24 b23 b22 b21
b14 b13 b12 b11
Si A es de orden n x k y B es de orden k x m, el producto A.B nos
da como resultado una matriz C, de orden n x m, cuyos elementos
cij se obtienen como sigue:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
17
Primer fila de A con primer columna de B
c11 = a11.b11+a12.b21,
Primera fila de A con segunda columna de B
c12= a11.b12+a12.b22,
Primer fila de A con tercer columna de B
c13= a11.b13+a12.b23,
Primer fila de A con cuarta columna de B
c14= a11.b14+a12.b24
Hasta aquí hemos obtenido la primer fila de la matriz C.
Análogamente obtenemos la segunda, y siguientes, fila de C
c21= a21.b11+a22.b21,
c22= a21.b12+a22.b22,
c23= a21.b13+a22.b23,
c24= a21.b14+a22.b24
Tercer fila de C
c31= a31.b11+a32.b21,
c32= a31.b32+a12.b22,
c33= a31.b13+a32.b23,
c34= a31.b14+a32.b24
La matriz C resultante es la siguiente de orden 3x4
18
C =
34333231
24232221
14131211
cccc
cccc
cccc
En general, para que sea posible el producto A.B sus órdenes han
de ser de la forma n x k y k x m (número k de columnas de A
igual al número k de filas de B), y la matriz resultante es de orden
n x m.
Observa que el número de filas de B ha de coincidir con el
número de columnas de A.
No conmutatividad del producto A.B
Aunque sea posible realizar A.B y B.A, en general este producto
No es conmutativo.
Ejemplos:
a) A = (2 1 3−1 0 4−3 2 1
) , B = (3 1−1 04 2
) -- >
A.B = (17 813 7−7 − 1
) , B.A = No es posible
b) A = (2 1 3−1 0 4−3 2 1
) , B = (3 1 0−1 0 3 4 2 − 1
) -- >
A.B = (17 8 013 7 − 4−7 − 1 5
), B.A = (5 3 13−11 5 09 2 19
)
Este ejemplo muestra que no es conmutativo
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
19
1.4.- Traspuesta de una matriz A
Es la matriz que resulta de cambiar filas por columnas: La primer
fila pasa a ser primer columna; la segunda fila pasa a segunda
columna, y así con cada una de las filas de A. La designaremos
por At ó por A’.
El Producto y la Trasposición
Afirmación:
La traspuesta de un producto A.B coincide con el producto de las
traspuestas realizado en sentido contrario:
(A.B)t = B
t.A
t
Ejemplos:
a) A =
123
401
312
, At =
143
201
312
b) A = (3 − 21 5
), B = (−1 24 5
)
A.B = (−11 − 419 27
), (A.B)t = (
−11 19−4 27
)
At = (
3 1−2 5
), Bt = (
−1 42 5
)
Bt.A
t = (
−11 19−4 27
)
Se cumple en general (es decir, siempre) : (A.B)t = B
t.A
t
20
1.5.- Determinante de una matriz cuadrada
Su definición para el caso general es realmente difícil, e
inoportuno incluir aquí la Teoría de tensores que nos conducen
hasta la misma.
Teniendo en cuenta el principal objetivo del presente trabajo, que
no es otro que la consecución de destrezas en el uso de
herramientas matemáticas útiles para resolver problemas, lo
tratamos de forma asequible al alumno, como suele hacerse en la
Enseñanza reglada.
Matriz 2x2:
A =
2221
1211
aa
aa
Su determinante es el valor: Det(A) = a11.a22 – a12.a21
Matriz 3x3:
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
21
En una matriz cuadrada (cualquiera), llamamos “diagonal
principal” a la línea formada por los elementos: a11, a22, a33, ...
(de izquierda a derecha).
Llamamos “diagonal secundaria” a la línea formada por los
elementos: a13, a22, a31, ... (de derecha a izquierda)
Regla de Sarrus:
Para la matriz A de orden 3x3, su Determinante queda definido
así:
Det(A) =
[a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13] –
- [a13.a22.a31 + a12.a21.a33 + a23.a32.a11]
Observa en la figura cómo en el primer corchete incluye:
- Producto de los de la diagonal principal
- Más producto de los de la paralela por encima de esta diagonal
y el vértice opuesto,
- Más producto de los de la paralela por debajo de la diagonal y
el vértice opuesto.
Para el segundo corchete incluye:
22
- Producto de los de la diagonal secundaria
- Más producto de los de la paralela por encima de esta
diagonal y el vértice opuesto
- Más producto de los de la paralela por debajo de esta diagonal
y el vértice opuesto.
Este procedimiento lo llamamos “Regla de Sarrus”
Matrices de orden n > 3:
Para matrices de orden mayor que 3 necesitamos los conceptos
dados en el Apartado 1.6 (siguiente).
Como ejemplo lo aplicamos al caso de 4x4
Matriz 4x4:
A =
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Antes algunos nuevos conceptos, que repetiremos en el punto 1.6.
Matriz Adjunta asociada a un elemento aij:
Llamamos “Adjunta asociada al elemento aij” (o adjunta de aij,
simplemente) a la matriz Aij que reulta de suprimir la fila i-ésima
y la columna j-ésima.
Adjunto asociado al elemento aij:
Llamamos “Adjunto de aij” al valor Det(Aij).
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
23
Adjunto algebraico asociado al elemento aij:
Llamamos “Adjunto algebraico de aij” al valor:
Aij = Adj(aij) = (-1)i+j
.Det(Aij)
Desarrollo por una fila ó por una columna:
Se puede demostrar, aunque no lo haremos aquí, que el valor de
su determinante puede ser obtenido mediante el siguiente proceso,
llamado “desarrollo por los elementos de una fila”, o bien
mediante “desarrollo por los elementos de una columna”. Este
desarrollo consiste en lo siguiente.
Suponiendo que desarrollamos por la primera fila, este proceso
consiste en lo siguiente:
Det(A) = a11.Adj(A11) + a12.Adj(A12) + a13.Adj(A13) +
+ a14.Adj(A14)
El resultado es el mismo cualquiera que sea la fila elegida, o
cualquiera que sea la columna elegida.
En la práctica, teniendo en cuenta que Adj(Aij) = (-1)i+j
. Det(Aij),
se aplica como sigue:
Det(A) = a11.Det(A11) - a12.Det(A12) + a13.Det(A13) –
- a14.Detj(A14)
Como las matrices Aij son de orden 3x3, calculando Det(Aij)
mediante la Regla de Sarrus podremos obtener el valor de Det(A),
siendo A de orden 4x4.
Si A fuese, por ejemplo, de orden 5x5, repetiríamos el proceso
anterior dos veces. En cada repetición conseguimos rebajar en
uno el orden del determinante que hemos de calcular.
24
Ejemplo:
Determinante de la matriz
A =
4015
1603
2140
0523
Si desarrollamos por los elementos de la primer fila tenemos
Det(A) = 3.det
401
160
214
-(-2).det
405
163
210
+5.det
415
103
240
-0.det(...) = 3.([95]-[12]) +2.([-5]-[72]) +
+ 5.([14]-[-48]) = 3.83 –2.77 +5.62 = 405
Matrices de orden n x n:
Aplicamos la técnica anterior de “desarrollo por los elementos de
una línea” hasta llegar a matrices Aij de orden 3x3. En este
momento aplicamos ‘Sarrus’
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
25
1.6.- Matriz Adjunta, Adjunto, Adjunto algebraico, asociados
a un elemento aij . Matriz adjunta asociada a la matriz A
Matriz Adjunta asociada al elemento aij:
‘Matriz adjunta asociada a aij’ es la matriz Aij que resulta de
suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima. La representamos
así:
Aij = Adj(aij)
Adjunto asociado al elemento aij:
‘Adjunto asociado a aij’ es el valor Det(Aij)
Adjunto algebraico asociado al elemento aij:
‘Adjunto algebraico asociado a aij’ es el valor (-1)i+j
.Det(Aij)
Matriz Adjunta asociada a la matriz A:
Es la que resulta de sustituir cada elemento aij por su Adjunto
algebraico. La designamos por
Adj(A)
Adj(A) = (𝐴11 𝐴12 𝐴13𝐴21 𝐴22 𝐴23𝐴31 𝐴32 𝐴33
), (Adj(A))t = (
𝐴11 𝐴21 𝐴31𝐴12 𝐴22 𝐴32𝐴13 𝐴23 𝐴33
)
1.7.- Matriz inversa de una matriz A cuadrada
Ha de ser una matriz cuadrada y con Det(A) ≠ 0.
Definición:
La inversa de A es otra matriz B tal que A.B = I.
I es la matriz unidad: “Los elementos de la diagonal principal son
1: aii = 1, y el resto son 0: aij = 0, si i ≠ j
26
Se puede demostrar que la matriz B obtenida como sigue cumple
la condición de ‘Inversa de A’:
B = 1
𝐷𝑒𝑡(𝐴) . (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑡
B = 1
𝐷𝑒𝑡(𝐴) . (
𝐴11 𝐴21 𝐴31𝐴12 𝐴22 𝐴32𝐴13 𝐴23 𝐴33
)
At es la traspuesta de A, que también designamos por A’.
Es habitual designar la inversa de A mediante A-1
Conclusión:
Inversa de A = “ Adjunta de la traspuesta At, multiplicada
por el inverso del valor Det(A) ”
Al mismo resultado llegamos si hago lo siguiente:
Inversa de A = “ Traspuesta de Adjunta de A, multiplicada
por el inverso del valor Det(A) ”, esto es
A-1
= 1/Det(A).(Adj(A))t
Este puede resultar más práctico. En primer lugar obtengo la
Adjunta y después hago su traspuesta.
La Matriz inversa de A, cuadrada y con Det(A) ≠ 0, es única, del
mismo modo que en el conjunto R de los números reales el
‘inverso’ de un número real r, no nulo, es único.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
27
Ejemplo:
a) Calcula la inversa de la matriz de orden 2x2
A =
45
13
Sol.: det(A) = 12-5 = 7
Adj(A) =
31
54, (Adj(A))’=
35
14, A
-1 =
7/37/5
7/17/4
Comprobación: Ha de cumplirse A.A-1
=
10
01
45
13.
7/37/5
7/17/4=
7/)125(7/)2020(
7/)33(7/)512(
=
10
01
b) Calcula la Adjunta de A. Después obtendrás su inversa.
A=
310
045
213
Sol.:
Adj(A) =
7108
391
51512
Hemos calculado los siguientes menores de orden 2:
28
(Ordenados de izq. a der. y de arriba a abajo)
31
04
,
30
05
,
10
45
31
21
,
30
23
,
10
13
04
21,
05
23
,
45
13
Aprovechando lo anterior el alumno obtendrá la inversa y hará la
comprobación.
1.8.- Rango de una Matriz A cualquiera
Para comprender mejor este apartado el alumno debe hacer una
lectura del Tema 3 dedicado a los vectores. Suponemos que así lo
hace.
Defi.:
Llamamos “Rango de A” al mayor número de filas (o columnas)
que, consideradas como vectores, formen un sistema linealmente
independiente (Sistema libre). Lo designamos por ran(A).
Se puede demostrar que el rango toma el mismo valor
considerando filas o considerando columnas, consideradas en los
dos casos como vectores.
En el siguiente Ejemplo utilizaremos las técnicas derivadas de los
conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores que
acabamos de mencionar.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
29
Ejemplo:
Halla el rango de A=
1035
2711
2403
0312
Sol.:
Compruebo que las dos primeras filas son l.i.:
a.(2,-1,3,0) + b.(3,0,-4,2) = (0,0,0,0), nos lleva al sistema
siguiente
2.a +3.b = 0
a + 0 = 0
3.a -4.b = 0
0 + 2.b= 0
de donde a = 0, b = 0 . Son l.i., por tanto ran(A) ≥ 2
Agrego la tercer fila
a.(2,-1,3,0) + b.(3,0,-4,2) + c.(1,1,-7,2) = (0,0,0,0)
nos lleva al sistema
2.a +3.b + c = 0
a + 0 +c = 0
3.a -4.b -7.c = 0
0 + 2b +2c = 0
de donde c = a, que llevándolo a las otras tengo
3.a +3.b = 0
4.a -4.b = 0
30
2.a + 2.b= 0
de donde b = -a , que llevándolo a las otras
4.a -4.a = 0
2.a + 2.a= 0
esto es 0.a = 0, y por tanto ‘a’ puede tomar cualquier valor real, y
por tanto pueden tomar valor No nulo.
Conclusión: El tercer vector es c.l. de los dos primeros, y por
tanto no lo tengo en cuenta.
A los dos primeros agrego el cuarto
a.(2,-1,3,0) + b.(3,0,-4,2) + c.(5,-3,0,1) = (0,0,0,0)
nos lleva a
2.a +3.b + 5.c = 0
a + 0 -3.c = 0
3.a -4.b + 0 = 0
0 + 2.b +c = 0
de donde c = -2.b, que llevo a las otras
2.a -7.b = 0
a + 6.b = 0
3.a -4.b + 0 = 0
de donde a = 6.b, que llevo a las otras
12.b -7.b = 0
6.b + 6.b = 0
18.b -4.b + 0 = 0
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
31
o bien
5.b = 0
0.b = 0
14.b = 0
de donde b = 0, a = 0, c = 0.
Conclusión: Son l.i. , y por tanto ran(A) ≥ 3
Puesto que he agotado el número de filas de la matriz puedo
concluir que ran(A) = 3.
1.9.- Aplicación del cálculo de determinantes al cálculo del
rango de A
Lo que sigue es una técnica muy útil que se aplica para
determinar el rango de una matriz cualquiera. Su justificación
entra dentro, una vez más, en el campo de los vectores,
concretamente los conceptos de dependencia e independencia
lineal, hasta el punto que también se utiliza en el análisis de la
dependencia e independencia lineal de vectores.
Mediante un caso concreto introducimos los nuevos conceptos
que se utilizan.
Dada la matriz A deseamos determinar su rango:
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Menor de orden k:
32
Suprimiendo en A alguna/s filas y alguna/s columnas, de modo
que lo que quede sea una matriz cuadrada de orden k, obtenemos
lo que llamamos ‘una Menor de orden k’.
Por ejemplo, suprimiendo la tercer fila y la tercer columna,
obtenemos el menor
2221
1211
aa
aa
Eliminando la segunda fila y la tercer columna obtengo la menor
(𝑎11 12𝑎31 𝑎32
)
Estas menores las podemos representar mediante:
-Cuando hemos suprimido fila y columna que pasan por a33,
tengo A33.
-En el segundo caso será A23, porque he suprimido fila y
columna que pasan por a23.
Esto sólo podemos hacerlo cuando suprimimos sólo una fila y una
columna.
Por ser estas matrices cuadradas podemos calcular su
determinante: Det(A33), Det(A23)
Si Det(A33) <> 0, significa que las dos filas de A implicadas en
esta menos son (como vectores) linealmente independientes. Lo
mismo podemos decir si consideramos ‘vector-columna’.
Del mismo modo, si Det(‘Menor de orden k’) <> 0, las k filas de
A implicadas en ella son vectores l.i., y lo mismo si consideramos
los vectores columna.
En nuestro caso concreto, si Det(A33) <> 0, el rango de A es al
menos dos: ran(A) ≥ 2.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
33
Llamamos “Menor de orden k” al determinante de la matriz
“Menor de orden k” obtenida antes.
Por lo tanto, el primer paso consiste en obtener un menor de
orden 2 no nulo. Si todos los posibles menores de orden 2 son
nulos, entonces
ran(A) = 1
Supongamos que ran(A) ≥ 2 porque hemos encontrado un menor
de orden 2 no nulo.
Comprobaremos si es rango ≥ 3.
Agregamos a las anteriores filas de la menos anterior una fila y
una columna para tener una menor de orden 3 (que incluya
aquella de orden 2 que resultó con Det <> 0).
Calculamos su determinante. Si Det <> 0 tenemos ran(A) ≥ 3. Si
Det = 0, rechazamos la columna agregada, manteniendo la fila, y
adjuntamos otra columna, calculando su determinante. Si este
resulta <> 0 tenemos ran(A) ≥ 3, si Det = 0, retiramos la columna
adjuntada y probamos agregando otra. Si agregando columnas de
esta forma, manteniendo la fila, y todos los menores de orden 3
son 0, significa que la fila agregada antes es combinación lineal
de las dos filas de A implicadas en la menor de orden 2 que dio
<> 0
Retiramos esa fila, agregamos otra (conviene seguir un orden) y
agregamos de nuevo una columna (también siguiendo un orden
para que el proceso de cálculo sea ordenado) y probamos
calculando su determinante. Continuamos como hemos descrito
antes. De esta forma obtengo la “mayor menor” cuyo
determinante sea no nulo.
Concluyendo:
34
ran(A) = ‘El orden de la mayor Menor con Det<>0’
Por ejemplo, en lo que veníamos explicando, si todas las menores
de orden 3 dan Det = 0, entonces ran(A) = 2. Si encuentro alguna
de orden 3 con Det. no nulo el rango es 3.
Abundamos en los detalles: Válido y muy útil para el análisis
con vectores.
Supongamos las dos primeras filas (en Anx4)
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
Si todas las menores posibles de orden 2 formadas con éstas dan
det = 0, significa que, entre sí, son l.d.. Significa que existe un
valor k tal que
(a11, a12, a13, a14) = k.(a21, a22, a23, a24)
Si alguna menor tiene det. no nulo, los dos vectores son l. i.
Rechazamos una de las dos, por ejemplo la segunda, y la
sustituimos por otra, la tercera de A, y volveremos a probar.
Si ya tenemos una de orden 2 con det <> 0, lo cual significa que
estas dos filas son l.i., agregando otra tenemos tres filas.
Supongamos son las tres primeras
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
Probamos con las menores de orden 3 hasta encontrar una, si
existiera, con det <> 0. En caso afirmativo, las tres filas son l.i.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
35
entre sí, y ran(A) ≥ 3. Los tres vectores son l. i. entre sí. Si todas
dan det = 0, significa que las tres filas (como vectores) son
linealmente dependientes. Una de las tres, (en este caso la tercera,
pues las dos primeras eran linealmente independientes) es
combinación lineal de las otras dos:
(a31,a32,a33,a34) = k.(a11,a12,a13,a14) + h.(a21,a22,a23,a24)
Así continuaríamos.
Ejemplo: a) Halla el rango de A=
1035
2711
2403
0312
Sol.-
03
12 0, ran(A) >= 2, y las dos primeras filas son lin.
indep.
Orlamos agregando la tercer fila y tengo
2711
2403
0312
,
711
403
312
= [13]-[21-8]= 0
211
203
012
= [-2]-[-6+4] = -2+2 = 0
Rechazo la tercer fila y tomo la cuarta, y tengo
36
1035
2403
0312
,
035
403
312
= [20-27]-[24] 0
por tanto estas tres filas son lin. indep., y ran(A) >= 3. Como no
contiene más filas concluimos que ran(A) = 3.
b) Comprueba que el rango de la siguiente matriz es 2
A =
71580
1504
3542
1023
------------------
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
37
Ejemplos/Actividades
1.- Dadas las matrices A y B, realiza y comprueba las
operaciones:
A=
123
401
312
, B=
524
301
213
a) La resta A – B
b) El producto A.B, y B.A
Sol.: a) A - B =
407
100
501
b) A.B =
1717
22713
14817
c) B.A =
25149
0511
11111
2.- Realiza el producto A.B, siendo
A=
123
401
312, B=
24
01
13
38
Sol.: A.B =
17
713
817
3.- Calcula el determinante de la matriz A
A =
405
163
210
Sol.: Det(A) = -77
4.- Calcula el determinante de la matriz
A=
4015
1603
2140
0523
Sol.:
Consejo: Desarrollar por los elementos de la primer fila.
Det(A) = 405
5.- Calcula la adjunta de la matriz A.
A=
310
045
213
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
39
Sol.:
Adj(A) =
7108
391
51512
6.- Calcula la inversa de la matriz A
A=
45
13
Sol.: A-1
=
7/37/5
7/17/4
7.- Determina el rango de la matriz A
A=
1035
2711
2403
0312
Sol.: Ran(A) = 3
8.- Comprueba que el rango de la siguiente matriz es 2
A =
71580
1504
3542
1023
40
9.- Determinante de
A =
320
013
132
, B =
310
142
432
Sol.: 39, 36
10.- Rango de las matrices:
A =
641
641
302
043
, B =
11641
11641
11302
11043
Sol.: 2, 2
11.- Rango de las matrices:
A =
312
231
302
043
, B =
10312
13231
11302
11043
Sol.: 3, 4
12.- Transforma en matriz triangular
A =
320
013
132
-->
7800
3110
132
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
41
13.- Transforma en matriz triangular conservando el valor de su
determinante
A =
320
013
132
-->
11/3900
2/32/110
132
det(A) = 858/22
14.- Inversa de las siguientes matrices:
A =
310
142
432
-->
18/718/118/1
6/16/16/1
36/1936/536/13
15.- Inversa de la matriz
A=
230
342
753
-->
25/2225/925/6
25/2325/625/4
25/1325/1125/1
16.- Resuelve la siguiente ecuación matricial donde X es una
matriz
A.X + B = C
siendo A = (1 12 1
), B = (2 3 1−1 0 4
), C = (1 3 2−1 − 1 6
)
Sol.: X = A-1
.(C-B)
Determino A-1
por el método ‘Transformación de filas’
42
(1 12 1
| 1 00 1
) - 2ª=2ª-2.1ª = (1 10 − 1
|1 0−2 1
) -- >
1ª = 1ª+2ª = (1 00 − 1
|−1 1−2 1
) - 2ª = -2ª = (1 00 1
|−1 12 − 1
),
Por tanto A-1
= (−1 12 − 1
)
C – B = (−1 0 10 − 1 2
), X = (−1 12 − 1
). (−1 0 10 − 1 2
) =
= (1 − 1 1−2 1 0
)
1.16.- Resuelve la ecuación
det(A) = 7x – 1, donde
a) A = (𝑥 − 4 1 3 − 𝑥
), b) A = (𝑥 3 21 − 𝑥 02 0 1
)
Sol.: En los dos casos obtengo
det(A) = -x^2+4x-3
-x^2+4x-3 = 7x -1, x2 +3x +2 = 0 -- > x = -2, x = -1
$$$oOo$$$
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
43
Tema 2
Sistemas Lineales
44
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
45
2.1.- Conceptos básicos
Ecuación lineal en x:
Ecuación lineal en la variable x es aquella ecuación polinómica
de grado uno: a.x + b = 0. Coeficientes a, b racionales.
Su resolución es: x = -b/a
En general sería: p(x) = q(x), donde p y q sean de grado uno. Y
más general: R1(x) = R2(x), donde R1, R2 representan
expresiones de grado uno en x, pero que pueden llevar paréntesis
y fracciones numéricas.
Ejemplo:
2.(x + 2/3) + 5x = ¾ .x -5/2.(2x + 8)
Ecuaciones en varias variables (incógnitas):
Ecuación en varias variables es aquella en la que intervienen
varias variables: x, y, z, ... : R1(x,y,z,...) = R2(x,y,z,...), donde R1,
R2 representan expresiones racionales (fracciones) con
denominadores numéricos.
La Ecuación es polinómica si R1(x,y,z,...) y R2(x,y,z,...) son
polinomios en x, y, z, ...:
P(x,y,z,...) = q(x,y,z,...)
Esta ecuación es lineal si estos polinomios son de grado uno en
cada uno de sus términos.
Por ejemplo: axyz es de grado 3, axy es de grado 2, ax es de
grado uno, y lo mismo ay, az.
46
En el Vol. 2 se estudian los polinomios y las fracciones
algebraicas en general.
Ejemplo:
Ecuación lineal en varias variables
ax + by + cz + ... = a’x + b’y + c’z + ...
Cuando buscamos una solución de la ecuación, a las variables
x,y,z,… las llamamos ‘incógnitas’.
Solución de una ecuación R1(x,y,z,...) = R2(x,y,z,...):
Una solución es un lista de valores a, b, c, …, tal que al sustituir x
= a, y = b, z = c, … se cumple la igualdad entre los valores reales
obtenidos.
2.2.- Sistema de ecuaciones lineales:
NOTA:
Para comprender mejor estos apartados dedicados a los Sistemas
lineales el alumno debe hacer una lectura del Tema 3 dedicado a
los vectores.
Suponemos que lo hace.
Defi.:
Es un conjunto de ecuaciones lineales, en una ó varias variables:
x, y, z, ..., que han de satisfacerse simultáneamente.
Una solución del sistema es una lista de valores v1, v2, v3, ...,
uno por cada variable, tales que al sustituir en el sistema: x por
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
47
v1, y por v2, z por v3, ..., todas las igualdades se verifican
simultáneamente.
Un sistema puede admitir una sola solución, más de una solución,
ó ninguna solución.
Ejemplos:
1.-
{
3x − 2y + 4z = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = −6
Comprueba que su solución es x = 2, y = -3, z=0
2.-
{
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = 2
Los valores x = 2, y = -3, z = 0, que sí verifican las dos primeras
ecuaciones, resulta que no satisfacen a la tercera.
El sistema es incompatible, no admite solución.
Forma general de un sistema:
El siguiente es un Sistema de n ecuaciones con m incógnitas:
bn anm.xm ... an3.x3 an2.x2 an1.x1
.........................................
b2 a2m.xm ... a23.x3 a22.x2 a21.x1
b1 a1m.xm ... a13.x3 a12.x2 a11.x1
48
2.3.- Clasificación de un Sistema según su compatibilidad
Al analizar un sistema llegaremos a alguno de los siguientes
resultados:
A) Que tenga alguna solución -- > Compatible, y después:
A1) Una sola solución -- > Compatible determinado
A2) Más de una solución -- > Compatible indeterminado.
En este caso se demostrará que admite infinitas
soluciones.
B) No admite solución -- > Incompatible.
Ejemplos:
a) El siguiente sistema tiene solución única, compruébalo.
Es compatible determinado
{
3x − 2y + 4z = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = −6
Comprueba que su solución es x = 2, y = -3, z=0
b) El siguiente sistema no admite solución
{
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑦 − 5𝑧 = 2
Los valores x = 2, y = -3, z = 0, que sí verifican las dos primeras
ecuaciones, resulta que no satisfacen a la tercera.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
49
El sistema es incompatible.
c) El siguiente sistema es compatible e indeterminado. La
tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos.
{
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 12−𝑥 + 3𝑦 = −11 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 1
Comprueba que x = 2, y = -3, z =0, es solución, y que también lo
es cualquier solución del sistema
{ 3x − 2y = 12 − 4z−𝑥 + 3𝑦 = −11
donde daremos un valor a z, y resolveremos después el sistema
resultante.
2.4.- Sistemas equivalentes.
Transformaciones de un sistema que dejan invariantes
el conjunto de sus soluciones
Defi.:
Dos Sistemas lineales son equivalentes si admiten el mismo
conjunto de soluciones.
Las siguientes transformaciones de un Sistema dejan
invariante el conjunto de soluciones:
a) Multiplico los dos miembros de una igualdad por un
escalar (valor real no nulo).
50
b) Sumo ó resto a los dos miembros de una igualdad una
misma expresión lineal, constante ó con algunas de las
incógnitas que contiene el sistema.
Se utiliza continuamente, y es lo que llamamos
‘trasposición’ de términos de un miembro al otro.
c) A una de las ecuaciones le sumo ó resto, miembro a
miembro, una combinación lineal de las restantes
ecuaciones del sistema.
Se utiliza con frecuencia en Método de resolución.
Estas transformaciones dan como resultado un sistema
equivalente al inicial.
Ejemplo: Realizo un ejemplo demostrativo para el caso b)
Sea el sistema
{
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
Supongamos que (a, b, c) es una solución
Sumo la expresión g(x, y, z) a los dos miembros de la segunda,
por ejemplo. Tengo
{
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑏2
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3 + g(x,y,z)
Si sustituyo x = a, y = b, z = c en el sistema, la primera y tercera
se cumplen porque se cumplían en el sistema inicial, y la segunda
ecuación queda así:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
51
𝑎21𝑎 + 𝑎22𝑏 + 𝑎23𝑐 + 𝑔(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑏2 + 𝑔(𝑎, 𝑏, 𝑐)
que también se cumple, porque en los dos miembro tenemos el
mismo valor ‘añadido’ g(a,b,c)
En la práctica es habitual aplicarla para trasponer términos desde
un miembro al otro, así, tomando el mismo sistema
{
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
si deseo pasar a32.y al miembro derecha, lo que hacemos en la
práctica es equivalente a ‘restar’ a32.y de los dos miembros
{
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 − 𝑎32𝑦 = 𝑏3 − 𝑎32𝑦
y en el miembro izquierda se eliminan entre sí, mientras que en el
de la derecha queda ‘pero cambiado de signo’.
Esta operación es muy frecuente y la llamamos:
Trasposición de un término al otro miembro: Podemos pasar
un término de un miembro al otro ‘cambiando su signo’, esto es,
lo eliminamos del primer miembro y lo hacemos presente en el
otro miembro con signo cambiado.
52
2.5.- Tipos de sistemas según el número de incógnitas, y su
resolución
2.5.1.- Sistema lineal en x, y
Está formado por dos ecuaciones de primer grado en x,y, tales
como:
f2 d.y c.x
f1 b.y a.x
MÉTODOS de resolución
Son tres los métodos que podemos aplicar a este tipo de sistemas,
sin utilizar matrices ni determinantes.
Método de Igualación:
Suponiendo que b y d no son nulos. Despejo ‘y’ de las dos
ecuaciones:
cx)/d-(f2y
ax)/b-(f1y
Igualando los dos miembros de la derecha podemos obtener el
valor de x, y después el valor de y.
Si b ó d es cero, necesariamente serán a y c no nulos, y
despejando x, después obtengo el valor de y, y después el de x.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
53
Método de Sustitución:
Si b no es nulo despejo y: y = (f1-ax)/b, y sustituyéndolo en la
segunda: c.x + d.(f1-ax)/b = f2, de donde obtenemos el valor de
x, y después el valor de y.
Si b es cero será d no nulo y procedemos como antes pero con la
segunda ecuación.
También puedo despejar primero x y proceder de la misma forma.
Método de Reducción (o eliminación):
Suponiendo que a y c son no nulos. Multiplico la primera por c y
la segunda por a, resultando:
{(𝑐𝑎). 𝑥 + (𝑐𝑏). 𝑦 = 𝑐. 𝑓1(𝑎𝑐). 𝑥 + (𝑎𝑑). 𝑦 = 𝑎. 𝑓2
Si de la primera resto la segunda, y el resultado sustituye a la
segunda, tengo un sistema equivalente al dado y que tiene la
forma
{𝑎. 𝑥 + 𝑏. 𝑦 = 𝑓1 𝑑. 𝑦 = 𝑓2
De este despejo el valor de y, y llevándolo a la primera obtengo
después el valor de x.
Si a ó c es cero, los coeficientes b y d serán no nulos,
necesariamente. En este caso hacemos lo análogo para eliminar y
de una de las ecuaciones.
En lugar de lo anterior, y con el fin de que sirva de precedente
para cuando estemos en tres variables, puede resultar más
cómodo (sobre todo si sus coeficientes son valores elevados)
54
aplicarlo como sigue:
Partiendo del sistema
f2 d.y c.x
f1 b.y a.x
Calculo el mcm de a y c, sea m, y hago que el coeficiente de x en
las dos ecuaciones sea este valor m, para lo cual multiplico la
primera por k = m : a, y la segunda por h = m:c, que son enteros.
Tenemos así el sistema equivalente:
f2' d'.y m.x
f1' b'.y m.x
Ahora dejamos fija la primera ecuación y sustituimos la segunda
por la que resulta de hacer: ‘la segunda menos la primera’. Queda
el siguiente sistema equivalente al anterior, y por tanto
equivalente al inicial:
'f2' '.y d'
f1' b'.y m.x
Ejemplos:
a) Resuelve y comprueba que su solución es x = -2, y = 3
{5𝑥 − 3𝑦 + 19 = 0−3𝑥 + 4𝑦 − 18 = 0
Resuélvalo el alumno por los tres métodos.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
55
b) Resuelve el siguiente
{
3
2. 𝑥 + 5𝑦 = 21
3𝑥 −2
3. 𝑦 − 10 = 0
Resuélvalo el alumno por los tres métodos, y compruebe que la
solución es x = 4, y = 3.
2.5.2.- Sistemas con tres incógnitas: x, y, z
Métodos de Resolución
Es un sistema de la forma:
b3 a33z a32y a31x
b2 a23z a22y a21x
b1 a13z a12y a11x
El hecho característico es que tiene tres incógnitas, no
necesariamente ha de tener tres ecuaciones, puede contener más o
menos.
Una solución es una terna de valores: (v1, v2, v3) tales que al
sustituir: x = v1, y = v2, z = v3, se verifican simultáneamente las
tres igualdades.
METODOS de resolución:
Sin hacer uso todavía de matrices y determinantes, son dos los
métodos prácticos para obtener sus posibles soluciones. No es
56
aplicable el método de igualación que sí aplicamos en el caso de
dos incógnitas.
METODO de Sustitución: (Despeje y sustitución)
Como en caso de dos variables, consiste en despejar una incógnita
de una de las ecuaciones y llevar esa expresión a las otras dos.
Llegamos así a un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas.
Después de hacer ‘arreglos’ llegamos a un sistema con dos
ecuaciones y dos incógnitas al que aplicamos de nuevo el
‘despeje y sustitución’, ó aplicando cualquiera de los allí
estudiados.
METODO de Reducción (o de Eliminación, o de Gauss):
Sea
b3 a33z a32y a31x
b2 a23z a22y a21x
b1 a13z a12y a11x
Suponiendo que los coeficientes de la tercera ecuación:
a31, a32, a33
son no nulos (necesariamente hay una ecuación con sus tres
coeficientes no nulos, de otro modo no sería sistema con tres
incógnitas), y que a21 de la segunda también es no nulo (si este
fuese nulo tomaríamos a22, ó a23).
Multiplico la segunda por el valor a31 y la tercera por el valor
a21, resultando:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
57
b3.a21 (a33.a21)z (a32.a21)y (a31.a21)x
b2.a31 (a23.a31)z (a22.a31)y (a21.a31)x
b1 a13z a12y a11x
Ahora, dejando fija la segunda, sustituimos la tercera por lo que
resulte de hacer: ‘Tercera – segunda’, resultando el sistema:
b3' a33z' y a32'
b2 a23z a22y a21x
b1 a13z a12y a11x
Aplicamos ahora el proceso anterior a la primera y segunda para
eliminar la x de la segunda ecuación (suponiendo que lleva
término en x, si no lo lleva no tenemos nada que hacer):
Multiplico la primera por a21 y la segunda por a11, y, dejando
fija la primera, sustituyo la segunda por lo que resulta de hacer:
Segunda – primera’
Tenemos ya el siguiente sistema donde dos de las ecuaciones no
lleva x:
b3 a33z a32y
b2 a23z a22y
b1 a13z a12y a11x
Aplicamos ahora el proceso anterior a las ecuaciones segunda y
tercera para eliminar la incógnita ‘y’ de la tercera (suponiendo
que a32 <> 0, si lo es no tenemos nada que hacer):
58
Multiplico la segunda por a32 y la tercera por a22, y, dejando fija
la segunda, sustituyo la tercera por lo que resulta de hacer:
Tercera – segunda.
Obtengo finalmente el sistema
b3 a33z
b2 a23z a22y
b1 a13z a12y a11x
(Sistema escalonado de Gauss)
Hasta aquí el proceso también llamado ‘de Triangulación’
De aquí despejo el valor de z. Este valor lo llevo a la segunda y
de ésta despejo el valor de y. Llevo estos dos valores a la primera
y de ella despejo el valor de x. El sistema está resuelto.
NOTA:
Podemos aplicar el mcm de los coeficientes como indicamos en el
caso de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
MÉTODO de Reducción aplicado al caso general:
Este proceso de Reducción-Triangulación es aplicable a cualquier
sistema, llegando a un ‘Sistema Escalonado’.
Abundamos en su presentación con las siguientes notas:
Eliminar x1 de todas las ecuaciones menos de la primera.
Situamos en primera fila una ecuación que contenga x1.
Eliminar x2 de todas las ecuaciones que siguen a la
segunda, asegurándonos de que la segunda contenga x2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
59
(en caso contrario colocamos una ecuación que sí la
contenga).
Eliminar x3 de todas las ecuaciones que siguen a la
tercera, asegurándonos de que la tercera contenga x3 (o
colocando otra …).
.........
Así sucesivamente hasta llegar a la penúltima, y eliminamos
x(n-1) de la n-ésima fila.
Tendremos así un sistema escalonado del que puedo despejar el
valor de xn, después de la penúltima puedo despejar x(n-1), y
subiendo consigo obtener el valor de todas las incógnitas, y así
obtenemos una solución del sistema.
Debemos estar atentos porque al final del proceso de
triangulación podemos tener tres cualquiera de las tres situaciones
siguientes:
a) El número de filas resultantes es igual al número de
incógnitas. En este caso la solución es única (Sistema
compatible determinado).
b) El número de filas resultantes es menor que el número de
incógnitas. En este caso, el exceso de incógnitas son
incógnitas libres (Sistema compatible indeterminado).
Tiene infinitas soluciones. Damos valor arbitrario a cada
una de las incógnitas libres, y sustituidos en el sistema
llegamos a un Sistema como en el caso a). Pero con
infinitas soluciones, ya que podemos asignar a las
incógnitas libres cualquier valor real.
60
c) El número de filas resultantes es mayor que el número de
incógnitas. En este caso tendremos alguna de estas dos
situaciones:
- Tengo alguna igualdad del tipo 0 = 0, lo cual significa
que esta ecuación era combinación lineal de las que le
preceden. Despreciamos estas igualdedes y
seguiremos analizando y resolviendo con las
igualdades restantes. Estaremos en alguno de los
casos a) ó b).
- Tengo alguna igualdad del tipo a = 0, donde a <> 0.
Esto significa ‘Incompatibilidad’. El Sistema no
admite solución.
-----------------
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
61
Ejemplos/Actividades:
El alumno observará que al aplicar el proceso de triangulación no
necesariamente seguimos el hilo como allí fue explicado, y es
que, como irá comprobando, podemos variarlo siempre que la
transformación realizada lleve a un Sistema equivalente.
1.- Resuelve el sistema por el método de Gauss
8323
72
5432
zyx
zyx
zyx
Sol.:
Elimino x de la segunda y tercera: Multiplico 2ª por 2, y
reemplazo la 2ª por la suma: 2ª + 1ª , las otras como están:
{
5432 zyx
198 zy
8323 zyx
Multiplico la 1ª por 3 y la 3ª por –2, y reemplazo la 3ª por la
suma: 3ª+1ª, las otras como están:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −𝑦 + 8𝑧 = 19 −5𝑦 + 18𝑧 = −1
Cambio el signo a la segunda
62
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 𝑦 − 8𝑧 = −19 −5𝑦 + 18𝑧 = −1
Elimino la y de la tercera:
Multiplico la 2ª por 5, y reemplazo la 3ª por la suma: 3ª+2ª, las
otras como están:
{2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5
𝑦 − 8𝑧 = −19 −22𝑧 = −96
Resuelvo en cascada de abajo arriba:
z = 96/22 = 48/11
y = -19 +8.48/11 = 175/11
2x = 5 +3.175/11 –4.48/11 = 1/11.(55 +525 –192) =388/11,
x = 194/11
2.- Aplica el método de reducción al siguiente:
{2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 = 33𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8
Sol.:
Seguimos los mismos pasos que en el caso 1).
Multiplico la 2ª por –2, y reemplazo la 2ª por la suma 2ª+1ª, las
otras como están:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −13𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
63
Multiplico la 1ª por 3 y la 3ª por –3, y reemplazo la 3ª por la
suma: 3ª+1ª, las otras como están:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 −5𝑦 + 18𝑧 = −1
Cambio el signo a la tercera:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 5𝑦 − 18𝑧 = 1
Reemplazo la 3ª por la suma 3ª+2ª, las otras como están:
{2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 0 = 0
Quedan sólo dos ecuaciones (lin. indep.), y una de las incógnitas
es libre ( numero de inc. – nº de ecuac. = 3 – 2 = 1).
Tomo z como libre y escribo el sistema
{2𝑥 − 3𝑦 = 5 − 4𝑧
−5𝑦 = −1 − 18𝑧
Podré obtener infinitas soluciones dando valores a z.
z = 0 --> {2𝑥 − 3𝑦 = 5
−5𝑦 = −1
, que resuelvo como sabemos
z =1 --> {2𝑥 − 3𝑦 = 1
−5𝑦 = −19
, que resolvemos.
64
y así, si seguimos dando valores a z obtenemos tantas soluciones
como deseemos.
3.- Aplica el método de Reducción:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 = 33𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 8 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4
Sol.:
Eliminamos x de la 2ª, 3ª y 4ª, en el mismo paso, dejando fija la
primera.
Reemplazo la 2ª por: 2.2ª - 1ª
Reemplazo la 3ª por: 2.3ª -3.1ª
Reemplazo la 4ª por: 4ª -2.1ª
Resulta el sistema
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 8𝑦 − 9𝑧 = −6
Elimino la ‘y’ de tercera y cuarta, dejando fijas 1ª y 2ª.
Reemplazo la 3ª por: 3ª -2ª
Reemplazo la 4ª por: 5.4ª + 8.2ª
Resulta el sistema
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1 0 = 0
99𝑧 = −38
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
65
Escribo
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 5 −5𝑦 + 18𝑧 = −1
99𝑧 = −38
Despejo de abajo arriba y obtengo sus valores.
Del Tema 2
1.- Resuelve el sistema por el método de Gauss
8323
72
5432
zyx
zyx
zyx
Sol.:
x = 194/11
y = 175/11
z = 48/11
2.- Aplica el método de reducción al siguiente:
8323
37
5432
zyx
zyx
zyx
Sol.:
x = 8 + 25z
y = 1/5.(1 + 18z)
z libre
3.- Determina un sistema escalonado equivalente al siguiente:
66
424
8323
37
5432
zyx
zyx
zyx
zyx
Sol.:
3899
1185
5432
z
zy
zyx
Despejo de abajo arriba y obtengo sus valores.
4.- Analiza y resuelve el Sistema
{3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 6−𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 2−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2
Sol.: Ran(A) = 2, Ran(B) = 2 -- > Sistema compatible
indeterminado, una libre.
{
−𝑥 + 4𝑦 = 2 + 3𝑧
𝑦 =6
7+ 𝑧
z libre, z = 0 -- > y = 6/7, x = 10/7
z = 1 -- > y = 13/7, x = 17/7
$$$oOo$$$
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
67
Tema 3
Vectores, Espacios vectoriales
68
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
69
3.1- Vector libre: Generalización
Todo lo que sigue se considera sobre el cuerpo R de los números
reales, si bien, a efector prácticos, cuando indicamos valores
reales, serán en realidad valores racionales.
n-tuplas y Vectores:
Llamamos n-tupla a una lista de valores reales, colocada entre
paréntesis, (a1, a2, ..., an), donde ai son valores racionales. Esta
n-tupla representa un elemento del ‘producto Cartesiano’: Rn = R
x R x (n veces) x R. En los casos de R2 y R
3 representa un punto
del plano y del espacio, respectivamente.
Definiciones:
Vector libre
Llamamos ‘vector libre’ a cada una de las n-tuplas.
Escribiremos v = (a1, a2, ..., an) para representarlos.
Componentes de un vector
Llamamos ‘componentes del vector v’ a cada uno de los valores
ai, i= 1,2,3,..., n
OPUESTO de v:
Es el vector w = (-a1, -a2, ..., -an). Lo indicaremos por –v.
VECTOR cero: Es el vector O = (0, 0, ..., 0)
Enseguida veremos la importancia de estos dos tipos de vectores.
70
Defi.: Espacio vectorial
Designaremos por Vn al conjunto de todos los vectores v =
(a1,a2,...,an), ai∈R, i= 1,2,…,n.
Más adelante llegaremos a ‘Estructura de Espacio vectorial’, de
momento Vn es un conjunto sin estructura.
3.2.- OPERACIONES básicas con vectores
SUMA de vectores:
Sumamos componente a componente, así, si
v = (a1 ,a2, ..., an), w = (b1, b2, ..., bn)
su suma
v + w = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)
PRODUCTO por un escalar (valor ‘a’ real)
El valor real ‘a’, que llamaremos ‘escalar’, multiplica a cada
componente, así:
a.v = a.(a1, a2, ..., an) = (a.a1, a.a2, ..., a.an)
El product lo designamos por . (punto)
Propiedades de la suma:
Asociativa: v1 + (v2+v3) = (v1+v2) + v3
Conmutativa: v1 + v2 = v2 + v1
Elemento neutro: Es un vector u tal que v + u = v para
todo v. Es único, y lo cumple el vector cero O = (0,0,...,0)
Elemento simétrico (Opuesto): Dado v existe otro vector u
tal que v + u = O. El vector u es único, y lo cumple
w = (-a1,-a2,...,-an)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
71
Hasta aquí, Vn dotado de la suma, y que indicamos mediante
Vn(+), tiene una Estructura que llamamos Grupo. Por cumplir la
conmutativa decimos que es ‘grupo conmutativo’.
Además se cumple:
Distributiva del producto, ., respecto de +:
a.(v + w) = a.v + a.w
Decimos que Vn(+, .) tiene Estructura de Espacio Vectorial
(de dimensión n, como veremos).
Ejemplos: Los casos V2(+, .) y V3(+, .)
a) El Espacio vectorial V2 y su interpretación en el Plano
cartesiano
Dos puntos P1, Q1 fijan el segmento P1Q1, que si le dotamos de
una orientación recorriéndolo desde P1 hasta Q1 nos determina
un vector (fijo): 𝑃1𝑄1→ ; Si lo recorremos desde Q1 hasta P1
tenemos su ‘opuesto’: Q1P1->
72
Todos los vectores fijos cuyo segmento subyacente sea paralelo a
aquel y tengan la misma longitud y la misma orientación
constituyen una ‘clase’. Toda clase contiene un representante con
origen en O(0, 0), que designamos por v. Llamamos ‘vector
libre’ a esta clase de equivalencia.
En V2 tenemos las operaciones definidas más arriba en el caso
general, con lo cual tenemos la estructura V2(+, . R) de ‘Espacio
vectorial’.
En V2 todo sistema libre contiene a lo más dos vectores. Sus
bases contienen dos vectores. Su dimensión es 2.
La base más ‘simple’ es {(1, 0), (0, 1)}, y la llamamos ‘base
canónica’.
Volveremos sobre esto más adelante.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
73
b) El Espacio V3 y su interpretación en el Espacio
tridimensional
Del mismo modo en el Espacio, dos puntos determinan un
segmento. Si le asignamos una orientación tenemos un vector PQ-
> . El vector QP
-> es su opuesto. Definimos el concepto de clase
como la familia de todos los equivalentes a PQ->
: Todos los que
tengan la misma orientación, además de que el segmento
subyacente tenga la misma longitud y sea paralelo al primero. A
esta clase la llamamos ‘vector libre’, y toda clase contiene un
representante con origen en O(0,0,0), al cual llamamos
‘representante canónico’.
Finalmente este representante canónico lo
representamos por v, siendo su expresión
v = (x1’-x1, y1’-y1, z1’-z1) = (a, b, c), donde:
a = x1’ – x1
b = y1’ – y1
c = z1’ – z1
74
El Espacio vectorial V3 es el constituido por los vectores libres,
como por ejemplo: v1, v2, v3, ...
Evidentemente, en V3 tenemos definidas las operaciones
descritas para el caso general, y tenemos la estructura V3(+, . R)
de ‘Espacio vectorial’.
En V3 un sistema libre contiene a lo más tres vectores. Todas sus
bases contienen tres vectores. Es de dimensión 3.
La base más sencilla es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} y la
llamaremos ‘base canónica’.
Volveremos sobre esto más adelante.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
75
3.3.- Combinación lineal de vectores.
Dependencia e independencia lineal de vectores. Sistema libre
El alumno debe prestar especial atención a las siguientes
definiciones.
Defi.: (Muy importantes)
Dados los vectores v1, v2, ..., vk, y los escalares (valores reales)
x1, x2, ..., xk, llamamos combinación lineal de los k vectores a la
expresión
x1.v1 + x2.v2 + ... + xk.vk (1)
Dados los vectores v1, v2, ..., vk, diremos que otro vector w es
“combinación lineal” de estos si existen escalares x1, x2, ..., xk
tales que se cumple
w = x1.v1 + x2.v2 + ... + xk.vk (2)
y diremos que w es “linealmente dependiente” de aquellos, y que
el conjunto de vectores
S = {v1, v2, . . . , vk,w}
es un ‘Sistema linealmente dependiente’ (l.d.)
Un conjunto S de vectores es ‘sistema l.d.’, siempre que
alguno de sus vectores se pueda expresar como combinación
lineal de los restantes.
De (2) se obtiene que
w – (x1.v1 + x2.v2 + ... + xk.vk) = 0 (3)
Si cambiamos los valores xi por yi = -xi, tenemos
w + y1.v1 + y2.v2 + ... + yk.vk = 0 (4)
76
Conclusión y aplicación práctica:
Un conjunto de vectores
S = {v1, v2, . . . , vm} (5)
es un ‘Sistema linealmente dependiente’ (o simplemente, ‘son
linealmente dependientes) si existen escalares x1, x2, ..., xm, no
todos cero, tales que
x1.v1 + x2.v2 + ... + xm.vm = 0 (vector cero)
(6)
En otro caso,
Si no existen dichos escalares cumpliendo (6), o que
necesariamente han de ser todos cero, decimos que forman
un ‘Sistema linealmente independiente’ (l. i.)
ó ‘Sistema libre’.
En la práctica se aplica esta última conclusión para analizar si un
conjunto de vectores es o no linealmente independiente.
Ejemplos:
a) Dados los vectores
v1 = (2,-3,0,1), v2 = (0,3,1,-4),
v3 = (1,0,-2,-1), v4 = (3,-2,1,0)
analiza si son o no l.i.
Sol.:
Planteamos la posibilidad de que existan escalares ki, i= 1,2,3,4
tales que
k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 + k4.v4 = 0 (vector)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
77
Esto nos lleva al siguiente sistema
{
2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘 − 4𝑘4 = 0𝑘1 − 2𝑘3 − 𝑘4 = 03𝑘1 − 2𝑘2 + 𝑘3 = 0
que resolveremos.
Elimino k1 de tercera y cuarta (la segunda no la contiene):
Sustituyo la tercera por ‘2.tercera – primera’; sustituyo cuarta por
‘2.cuarta – 3.primera’.
Obtengo
{
2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘 − 4𝑘4 = 0
3𝑘2 − 4𝑘3 − 3𝑘4 = 0 5𝑘2 + 2𝑘3 − 3𝑘4 = 0
Elimino k2 de la tercera y cuarta: Sustituyo la tercera por ‘tercera
– segunda’; sustituyo la cuarta por ‘3.cuarta – 5.segunda’.
Obtengo
{
2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘 − 4𝑘4 = 0 −5𝑘3 + 3𝑘4 = 0 𝑘3 + 11𝑘4 = 0
Elimino k3 de la cuarta: Sustituyo la cuarta por ‘5.cuarta +
tercera’.
Obtengo
{
2𝑘1 − 3𝑘2 + 𝑘4 = 0 3𝑘2 + 𝑘3 − 4𝑘4 = 0 −5𝑘3 + 3𝑘4 = 0 58𝑘4 = 0
78
De la cuarta obtengo que, necesariamente ha de ser k4 = 0.
Subiendo a la tercera obtengo que, necesariamente k3 = 0.
Lo llevo a la segunda y obtengo k2 = 0, y de la primera k1 = 0.
Aquella igualdad nos ha llevado a que todos los escalares ki han
de ser cero.
Los vectores constituyen un sistema libre. En realidad, como
veremos después, constituyen una base de V4.
b) Analiza si los siguientes vectores de V3 son o no l.i. Si
fuesen l.d. obtener la relación de dependencia.
v1 = (3,2,-1), v2 = (1,4,-7), v3 = (1,-1,3)
Sol.: Como en el anterior, planteo
k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = 0
{3𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = 02𝑘1 + 4𝑘2 − 𝑘3 = 0−𝑘1 − 7𝑘2 + 3𝑘3 = 0
Despejo k1 de la tercera: k1 = -7k2 + 3k3
y lo llevo a las dos primeras
{3. (−7𝑘2 + 3𝑘3) + 𝑘2 + 𝑘3 = 02. (−7𝑘2 + 3𝑘3) + 4𝑘2 − 𝑘3 = 0
{20𝑘2 + 10𝑘3 = 0
−10𝑘2 + 5𝑘3 = 0
De la primera despejo k3: k3 = 2k2, y lo llevo a la tercera
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
79
10k2 + 10k2 = 0, 0.k2 = 0,
lo cual significa que k2 puede tomar cualquier valor, es incógnita
libre. Mantenemos k2 con el significado de un ‘valor real
concreto’ y lo llevamos para obtener k1, k3.
Tengo: k3 = 2.k2
k1 = -7.k2 + 6.k2 -> k1 = -k2
Son linealmente dependientes, y una de las relaciones de
dependencia es la siguiente:
k2.v1 + k2.v2 + 2k2.v3 = 0, de donde,
v1 + v2 + 2.v3 = 0 (relación de dependencia)
De esta puedo despejar cualquiera de los tres vectores y
expresarlo como combinación lineal de los otros dos.
3.4.- BASE de un espacio vectorial. Dimensión de
un Espacio vectorial
Supongamos un espacio vectorial cualquiera que designamos por
V, sin especificar cómo son sus n-tuplas.
Defi.: Sistema generador de V:
Llamamos ‘Sistema generador’ de V a cualquier subconjunto S = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} de vectores de V que cumpla lo siguiente:
“Cualquier otro vector w de V se puede expresar como
combinación lineal de los vectores de S:
w = k1.v1 + k2.v2 + ... + km.vm, ki valores reales
80
Bases de V
Llamamos base de V a cualquier subconjunto S = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} que sea ‘Sistema generador’ y además sea un ‘Sistema libre’.
Para cualquier vector w de V existen escalares ki tales que
w = k1.v1 + ... + km.vm.
Se puede probar fácilmente que esta expresión es única.
Supongamos ahora que V = Vn, caso de las n-tuplas propiamente
nombradas, ya que contienen n componentes.
Se demuestra que para que S = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} sea sistema
generador ha de ser m ≥ n.
Por otro lado también se puede demostrar que si m > n, entonces
S no será sistema libre.
Conclusión:
Una base cualquiera de Vn contiene exactamente n vectores.
Decimos que este Espacio vectorial es de ‘Dimensión n’.
NOTA:
No procede desarrollar aquí la demostración de las anteriores
afirmaciones.
Resumen:
a) La condición necesaria y suficiente para que B = {𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑚} sea una base de Vn es que m = n, que sea
sistema generador, y que estos n vectores sean
linealmente independientes (sistema libre).
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
81
b) Este tipo de Espacios vectoriales, Vn = {𝑛 − 𝑡𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠}, admite infinitas bases distintas, y todas contienen el
mismo número n de vectores.
Sobre Dimendsión de un espacio vectorial
Lo que afirmamos más arriba es válido para cualquier espacio
vectorial V que admita algún Sistema generador finito. En este
caso todas sus bases contienen el mismo número de vectores, y
este es un número finito. Para estos espacios vectoriales:
‘Llamamos dimensión de V al número n de vectores que contiene
cualquiera de sus bases.
Ejemplos:
a) Todo espacio vectorial del tipo Vn = {𝑛 − 𝑡𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠 (𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑛), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑘𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛 𝑅}, tiene dimensión n
b) V2 ≡ R2 tiene dimensión 2
c) V3 ≡ R3 es de dimensión 3
Observa que, como conjunto de n-tuplas es Vn = Rn
Existen Espacios vectoriales que no admiten un sistema finito que
sea generador del espacio. Por ejemplo el conjunto de todos los
polinomios en x, V = {p(x) ; R}.
3.5.- Coordenadas en una base. Cambio de base
Respecto de una base B = {e1, e2, …, en } las
coordenadas de un vector v son los coeficientes de la expresión de
v en esta base:
v = x1.e1 + x2.e2 + … + xn.en
82
y las representamos en la forma v = (x1, x2, … , xn)
Cambio de base en En y efecto sobre las coordenadas de un
vector
Razonamos tomando E3 porque el seguimiento que hacemos es el
mismo para cualquier otro caso.
Sean dos bases B = {e1, e2, e3}, donde v = (x1, x2, x3), y B’ =
{v1, v2, v3}, donde v = (y1, y2, y3).
Supongo expresados los vectores ei de la primera base en
función de la nueva
ei = ai1.v1 + ai2.v2 + ai3.v3
que determina una matriz A cuyas filas sean las coordenadas de
cada ei = (ai1, ai2, ai3)
A = (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
Para un vector v tengo
v = y1.v1 + y2.v2 + y3.v3 en B’
v = x1.(a11.v1 + a12.v2 + a13.v3) + x2.(a21.v1 + … ) +
+ x3.(a31.v1 + a32.v2 + a33.v3) =
= (a11.x1 + a21.x2 + a31.x3).v1 + (a12.x1 + a22.x2 + a32.x3).v2
+ (a13.x1 + a23.x2 + a33.x3).v3 , en la base B’
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
83
Teniendo en cuenta que la expresión de v en una misma base es
única, ha de cumplirse
y1 = a11.x1 + a21.x2 + a31.x3
y2 = a12.x1 + a22.x2 + a32.x3
y3 = a13.x1 + a23.x2 + a33.x3
que puedo expresar matricialmente así
(y1, y2, y3) = (x1, x2, x3). (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
Llamamos matriz del cambio a la matriz A.
Las filas de A son las coordenadas de los vectores de la primera
base B expresados en la nueva, base B’.
Abreviadamente escribimos: y = x.A
Puedo despejar x = y.A-1
Otra forma:
Suponemos los vectores vi de la nueva base expresados en la
primera base B:
vi = ai1.e1 + ai2.e2 + ai3.e3
Determinando una matriz A’ = (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
84
Tengo
v = y1.v1 + y2.v2 + y3.v3 = y1.(a11.e1 + a12.e2 +
+ a13.e3) + y2.(a21.e1 + a22.e2 + a23.e3) + y3.(a31.e1 +
+ a32.e2 + a33.e3) =
= (y1.a11 + y2.a21 + y3.a31).e1 + (y1.a12 + y2.a22 + y3.a32).e2
+ (y1.a13 + y2.a23 + y3.a33).e3,
y teniendo en cuenta que
v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3,
llego a que
(x1, x2, x3) = (y1.a11 + y2.a21 + y3.a31, y1.a12 + y2.a22 +
y3.a32, y1.a13 + y2.a23 + y3.a33),
y matricialmente
(x1,x2,x3) = (y1,y2,y3).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
Abreviadamente x = y.A’
Observa que A’ = A-1
, donde A es la obtenida en el proceso
anterior.
Las filas son las componentes de los vectores de la nueva base B’
expresados en la primera, base B.
Ejemplo:
Sea la base de vectores en V3 : B = {e1,e2,e3}, y la base B’
relacionada con la primera así:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
85
{𝑣1 = (1,0,2)
𝑣2 = (0,1,2)𝑣3 = (1,2,0)
-> A = (1 0 20 1 21 2 0
)
Sea w = (3,1,2) respecto de la segunda base {v1,v2,v3}.
Sus componentes respecto de la primera son
w = (5,5,8)
Una comprobación:
w = (3,1,2) = (respecto de S’) =
= 3.v1 + v2 + 2.v3 =
= 3.(e1+2e3) +(e2+2e3) +2.(e1+2e2) =
= 5.e1 +5.e2 +8.e3 -> (5, 5, 8) respecto de S.
Obtengo la inversa de A:
Det(A) = -6; Adj(A) = (−4 2 − 14 − 2 − 2−2 − 2 1
) ->
A-1
= −1
6 (−4 4 − 22 − 2 − 2−1 − 2 1
)
El alumno comprobará que A.A-1
= (1 0 00 1 00 0 1
)
86
Componentes de w respecto de la base B’, siendo w = (5,5,8)
respecto de B:
(y1,y2,y3) = (x1,x2,x3).A-1
w = −1
6 . ( −18,−6,−12) = (3,1,2)
como esperábamos.
3.6.- Subespacios vectoriales
Con el fin de que el alumno capte cuanto antes su significado
comienzo refiriéndome a un caso práctico, de sumo interés en
geometría.
A) En Geometría (Volumen 4) se estudian los vectores fijos,
y vectores libres, en el espacio tridimensional.
Si tenemos dos vectores v1, v2, l.i., sobre un plano, videntemente
el vector
w = a.v1 + b.v2
también está sobre el plano.
Siendo más precisos en el lenguaje matemático, decimos que v1,
v2 generan el ‘subespacio director’ del referido plano dentro del
espacio R3.
Cualquier otro vector
w = a.v1 + b.v2
donde a, b recorren R, pertenece a este subespacio director, y
{v1, v2} es uno de los posibles sistemas generadores.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
87
B) Sea Vn un espacio vectorial de dimensión n, y k vectores
v1, v2, ..., vk, con k < n.
Consideramos ahora el subconjuto
S = {m1. v1 + m2. v2 +⋯+mk. vk, donde mi recorren R}
Este subconjunto tiene la siguiente característica-propiedad:
Si w1, w2 están en S, también está w1 + w2, y también está
k.w1, cualquiera sea k de R.
Podemos resumirlas en una sola:
Si w1, w2, están en S, también está cualquier vector de la
forma
w = k1.w1 + k2.w2, k1, k2 recorriendo R
La comprobación puede realizarla el alumno: w1 y w2 es
combinación lineal de aquellos, has de comprobar que también lo
es w1 + w2.
Defi.:
Llamamos ‘Subespacio vectorial’ de Vn a cualquier subconjunto S
de vectores de Vn que cumpla esta condición:
Para todo par de vectores w1, w2 de S, y todo par de
escalares k1, k2, el vector
k1.w1 + k2.w2
también está en S.
Evidentemente S contiene el vector 0, basta hacer k1 = 0, k2 = 0.
88
En realidad, un subespacio vectorial es ‘una estructura de espacio
vectorial’ dentro de un Espacio vectorial más amplio.
Base de un Subespacio vectorial:
Si los vectores w1, w2, ..., wk
constituyen un Sistema generador de S, y además son linealmente
independientes entre sí, entonces constituyen una base de S.
Ejemplos:
a) Si en V3 tomamos los vectores v1, v2 lin. ind., el
conjunto
S= {a.v1 + b.v2; a,b R}
es un subespacio vectorial de dimensión 2 dentro de V3.
Decimos que S es el subespacio generado por v1, v2.
b) En V3 sea S el subespacio vectorial generado por los
vectores
v1 = (2,-1,3), v2 = (0,-2,1), v3 = (4,-8,9)
Deseamos obtener una base para S
Sol.- De estos tres vectores he de extraer un conjunto que sea
sistema libre.
Tomo v1 y v2 y compruebo si son l.i.
k1.v1 + k2.v2 = (0,0,0) -> {2𝑘1 = 0
−𝑘1 − 2𝑘2 = 03𝑘1 + 𝑘2 = 0
Necesariamente k1 = 0; esto me lleva a que k2 = 0. Son l.i.
Agregamos el vector v3
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
89
k1.v1 + k2.v2 + k3.v3 = (0,0,0) ->
{2𝑘1 + 4𝑘3 = 0
−𝑘1 − 2𝑘2 − 8𝑘3 = 03𝑘1 + 𝑘2 + 9𝑘3 = 0
De la primera k1 = -2k3, que llevo a las otras
{2𝑘3 − 2𝑘2 − 8𝑘3 = 0−6𝑘3 + 𝑘2 + 9𝑘3 = 0
{2𝑘2 − 6𝑘3 = 0𝑘2 + 3𝑘3 = 0
Tengo k2 = -3k3, que llevo a la primera:
6k3 -6k3 = 0 -> 0.k3 = 0, lo cual indica que k3 es ‘incógnita
libre’.
Los tres son l.d. entre sí. Una base es {v1, v2}.
Ejemplos/Actividades resueltas
1.- Comprueba si los tres vectores siguientes constituyen una base
de V3.
v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4), v3 = (0,-2,5)
Sol.- Haga el análisis el alumno.
Sí forman base.
2.- Del conjunto de vectores dado extrae una base de V3, si fuese
posible.
v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),
v3 = (1,6, 2), v4 = (-2,-3,1), v5 = (0,-2, 3)
Sol.- Hágalo el alumno
90
Los vectores v1, v2, v5 forman base.
3.- Comprueba que la tercera y cuarta filas del cuadro siguiente
(matriz A) son combinación lineal de la primera y segunda, y
obtener la expresión correspondiente:
A =
71580
1504
3542
1023
Sol.- Haga el análisis el alumno.
La respuesta es
v3 = 2.v1 + v2, v4 = 2.v2 + v3
4.- En V3, extrae una base del sub. vect. generado por los
vectores
v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),
v3 = (1,-3, -3), v4 = (4,-3,-7),
Sol.: Hágalo el alumno
Resultado: Sólo dos de los cuatro vectores son l.i. Tomando
v1, v2 que son l.i., éstos generan un subespacio de dim = 2.
5.- En V4, extrae una base del subespacio vectorial generado por
las columnas del siguiente cuadro (matriz A):
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
91
A =
71580
1504
3542
1023
Sol.- Lo analizo aplicando los determinantes.
La menor (3 − 2−2 4
) tiene det = 12-4 = 8; esto significa que las
dos primeras columnas son l.i.
Me quedo con ellas y amplío agregando la tercera.
La menor (3 − 2 0−2 4 54 0 5
) tiene det = [60-40-0]-[0+20+0] =
[20] – [20] = 0.
Tengo que probar con el siguiente, que consiste en retirar la tercer
fila y agregar la cuarta, manteniendo la tercer columna.
La menor (3 − 2 0−2 4 50 8 15
) tiene det = [180-0-0]-[0+60+120] =
= [180] – [180] = 0;
Puesto que no quedan más filas para seguir probando, podemos
concluir que la tercer columna es combinación lineal de las dos
primeras.
Retiro la tercer columna y agrego la cuarta.
La menor (3 − 2 1
−2 4 − 34 0 − 1
) tiene det = [-12+24+0]-[16-4+0] =
[12] – [12] = 0;
Retiro la tercer fila y agrego la cuarta
92
La menor (3 − 2 1
−2 4 − 3 0 8 − 7
) tiene det = [-84+0-16]-[0-28-72] =
[-100] – [-100] = 0;
Por lo tanto también la cuarta columna es c.l. de primera y
segunda.
Conclusión:
El subespacio generado es de dimensión dos, y las columnas
primera y segunda constituyen una base de este subespacio.
-------------
Del Tema 3
1.- Comprueba si los tres vectores siguientes constituyen una base
de V3.
v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4), v3 = (0,-2,5)
Sol.-
Sí forman base.
2.- Del conjunto de vectores dado extrae una base de V3, si fuese
posible.
v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),
v3 = (1,6, 2), v4 = (-2,-3,1), v5 = (0,-2, 3)
Sol.-
Los vectores v1, v2, v5 forman base.
3.- Comprueba que la tercera y cuarta filas de A son combinación
lineal de primera y segunda, y obtener la expresión
correspondiente, siendo
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
93
A =
71580
1504
3542
1023
y concluye que ran(A) = 2.
Sol.- Se cumplen las relaciones
v3 = 2.v1 + v2, v4 = 2.v2 + v3
4.- En V3, extrae una base del subespacio vectorial generado por
los vectores
v1 = (2,3,-1), v2 = (-3,0,4),
v3 = (1,-3, -3), v4 = (4,-3,-7),
Sol.: Los vectores v1, v2 son lin. ind.. Generan un sub. de
dim = 2.
5.- En V4, extrae una base del subespacio generado por las
columnas de la matriz A
A =
71580
1504
3542
1023
Sol.: Generan un subespacio de dim. 2, ya que la matriz tiene
rango 2.
Las dos primeras columnas deben ser l. indep., compruébalo.
$$$oOo$$$
94
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
95
Tema 4
Aplicación de Matrices y Vectores al Análisis
y Resolución de Sistemas Lineales
96
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
97
4.1.- Sistemas lineales y Cálculo matricial
Todo lo que sigue es generalizable al caso de m ecuaciones con n
incógnitas.
Con el fin de que resulte asequible al alumno no iniciado,
desarrollaremos la explicación tomando prototipos de sistemas
de 3x3, y de 4x4.
Dado un sistema
b3 a33z a32y a31x
b2 a23z a22y a21x
b1 a13z a12y a11x
podemos extraer dos matrices llamadas:
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa, (Matriz de coeficientes)
B =
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
, (Matriz ampliada)
La primera es la ‘matriz formada por los coeficientes de las
incógnitas’; la segunda incluye además la columna formada por
los términos independientes.
En ocasiones designaremos los términos independientes así: a14
≡ -b1, a24 ≡ -b2, a34 ≡ -b3,
quedando igual a 0 el miembro derecha de cada igualdad.
98
Las columnas de una matriz pueden ser interpretadas como
vectores, y en el caso de A tenemos los vectores:
v1= (a11, a21, a31)
v2= (a12, a22, a32)
v3= (a13, a23, a33)
y de la matriz B obtenemos los vectores
w1= (a11, a21, a31)
w2= (a12, a22, a32)
w3= (a13, a23, a33)
w4 = (a14, a24, a34), ó w4 = (b1, b2, b3)
Debemos fijarnos en el significado del vector w4, que está
formado por los términos independientes.
NOTA:
También podemos tomar vector-fila, y así lo haremos cuando sea
preciso y más conveniente.
El sistema ahora puede ser expresado de la siguiente forma:
(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) . (𝑥𝑦𝑧) = (
𝑏1𝑏2𝑏3)
El análisis del sistema se hará después utilizando estas dos
matrices, como veremos.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
99
4.2.- Los Sistemas lineales y el Cálculo matricial
4.2.1.- Interpretación matricial de un Sistema lineal
Clasificación. Teorema de Rouché Fröbenius
Evidentemente es r(A) <= r(B), ya que A está incluida en B.
Además, ó r(B) = r(A) ó será r(B) = r(A) + 1, ya que al pasar de
A a B lo que hago es agregar una columna.
b3 a33.x3 a32.x2 a31.x1
b2 a23.x3 a22.x2 a21.x1
b1 a13.x3 a12.x2 a11.x1
Supongamos que k1, k2, k3 es una solución del sistema, entonces
tengo (con la notación del punto anterior):
w4 = k1.w1 + k2.w2 + k3.w3,
y por tanto r(B) <= r(A), y por lo dicho antes podemos concluir
que
r(B) = r(A), en Sistema compatible
Recíproco:
Repetimos que r(B) >= r(A), y que no puede ocurrir r(B) < r(A).
Si r(B) = r(A) será porque la columna w4 es combinación lineal
de las columnas de A, y por tanto existen valores k1, k2, k3 tales
que
w4 = k1.w1 + k2.w2 + k3.w3,
Conclusión:
a) Condición necesaria y suficiente para que el Sistema sea
compatible es que r(B) = r(A).
100
b) Además, si los vectores w1, w2, w3 son l. i., equivalente
a que r(A) = ‘número de incógnitas’, entonces la
expresión de w4 como combinación lineal de estos
vectores es única, y el Sistema es determinado:
Si r(B) = r(A) = número de columnas de A = número de
incógnitas, el Sistema es Compatible determinado (solución
única).
c) Supongamos que r(B) = r(A) < número de columnas.
En este caso, el sistema de vectores w1, w2, w3 no es libre, existe
relación de dependencia entre ellos, podemos suponer que w1, w2
son l. i., y que
w3 = z1.w1 + z2.w2 , columna de A
w4 = y1.w1 + y2.w2 , columna de B
Estas expresiones son únicas, por ser w1, w2 linealmente
independientes.
En esta situación, si x1, x2, x3 es una solución del sistema, tengo
w4 = x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 =
x1.w1 + x2.w2 + x3.(z1.w1 +z2.w2) =
(agrupando …. )
= (x1 +x3.z1).w1 + (x2 +x3.z2).w2
Como aquella expresión de w4 es única, ha de cumplirse que
y1= x1 +x3.z1,
y2= x2 +x3.z2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
101
de donde
x1= y1 –x3.z1
x2= y2 –x3.z2
Aquí vemos que los valores x1, x2 dependen del valor x3.
Recíprocamente, veamos si la terna de valores
x1 = y1 –c.z1, x2 = y2 –c.z2, x3 = c
es una solución del sistema, donde c es un valor cualquiera, y los
valores y1, y2 son los mismos de antes (expresión de w4)
Tenemos
x1.w1 + x2.w2 + c.w3 =
(y1-c.z1).w1 + (y2-c.z2)w2 + c.w3 =
y1.w1 + y2.w2 + c.w3 –c.(z1.w1 +z2.w2) =
(teniendo en cuenta la expresión de w3)
= y1.w1 + y2.w2 + c.w3 –c.w3 = y1.w1 + y2.w2 = w4
Por tanto aquella terna sí es una solución.
Ha quedado demostrado que los valores x1, x2 de una solución
del Sistema dependen del valor c dado arbitrariamente a la
incógnita x3. Diremos que x3 es un incógnita libre.
Incógnitas libres:
Decimos que x3 es ‘incógnita libre’, a la que podemos asignar
cualquier valor c real, y por este motivo el Sistema admite
infinitas soluciones:
Los valores x1, x2 de cada solución dependerán del valor c dado a
x3, siendo su relación la siguiente:
102
x1 = y1 –z1.x3, x2 = y2 –z2.x3,
donde y1, y1 son los coeficientes de la expresión de w4 como
combinación lineal de w1, w2:
w4 = y1.w1 + y2.w2 , columna de B
y z1, z2 son los coeficientes de la expresión de w3:
w3 = z1.w1 + z2.w2 , columna de A correspondiente a x3.
El mismo proceso seguiríamos si el sistema tuviese n incógnitas
(n columnas de A): w1, w2, ..., wn, y sólo k de ellas fuesen l. i.
(ran(A)= k). Entonces tendría n-k incógnitas libres.
NOTA:
En la práctica no se suelen tener en cuenta las
expresiones anteriores de w3 y w4, sino que ‘damos valores a las
incógnitas libres’, los sustituimos en el sistema y resolvemos.
Clasificación de los Sistemas lineales:
El razonamiento anterior es la justificación (o Demostración, si se
prefiere) del llamado Teorema de Rouché-Fröbenius que sigue.
Teorema de Rouché-Fröbenius
Supongamos un sistema con n incógnitas
A) Si ran(B) = ran(A) -- > Sistema compatible (que admite
solución)
A1) Si ran(A) = n -- > Solución única (Sistema
compatible determinado)
A2) Si ran(A) < n -- > Infinitas soluciones (Sistema
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
103
compatible Indeterminado) y
Núm. incóg. libres = n – ran(A)
B) Si ran(B) > ran(A) -- > Sistema incompatible (No admite
solución)
NOTA:
Los sistemas tratados en este apartado contienen la columna de
términos independientes que suponemos no todos nulos, y los
llamamos Sistemas No Homogéneos, en contraste con los
Sistemas Homogéneos que veremos a continuación.
4.2.2.- Análisis y Resolución de un Sistema lineal cualquiera
no homogéneo. Método de Crámer
En primer lugar debemos analizar el sistema para determinar si es
o no compatible, y si es o no determinado. Para ello calculamos el
rango de las matrices A y B.
Por lo que vimos en el punto 4.3 (Teorema de Rouché-
Fröbenius), procedemos como sigue.
Sea n el número de incógnitas = número de columnas de A, y m
el número de ecuaciones = filas de A.
Casos:
A) Si r(A) = r(B), el sistema es compatible.
Además, cuando sea compatible puede ocurrir:
-Si r(A) = n, entonces tiene solución única (determinado)
104
En este caso: Si n < m, entonces el Sistema contiene
‘ecuaciones superfluas’ (redundantes). Sólo n de las
ecuaciones son l.i. Depuramos el Sistema para quedarnos
con n ecuaciones l.i. Esto lo conseguimos operando con
las filas de A como si se tratase de vectores, extrayendo el
mayor número de estas que sean l.i. Este número
coincidirá con n.
-Si r(A) < n, entonces contiene k = n - r(A) incógnitas
libres. El Sistema admite infinitas soluciones,
constituyendo un Suespacio vectorial.
B) Si r(A) < r(B), el Sistema es incompatible, no admite
solución,
y lo abandonamos por irresoluble.
Veremos ejemplos más adelante al practicar los métodos de
resolución, haciendo el análisis previo del sistema.
NOTA:
Muy importante es el Método de resolución llamado ‘de Crámer’
aplicable a los sistemas compatibles determinados. Veremos
cómo puede ser aplicado también al caso de Sistema compatible
indeterminado. Este método reemplaza en importancia al Método
de reducción ya conocido.
Resolución: Método de Crámer
Supongamos que el sistema es compatible determinado. La Regla
de Crámer (que demostramos más adelante) nos dice que el valor
de las incógnitas podemos obtenerlas como sigue.
Dado un sistema compatible determinado (r(B) = r(A) = n)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
105
3.33.32.31
2.23.22.21
1.13.12.11
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
tomo su matriz A y calculo su determinante D = Det(A).
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Método de Crámer:
Para obtener el valor de las incógnitas procedemos como sigue:
Tomo la matriz Ax obtenida al sustituir en A la columna de los
coeficientes de x por la columna de términos independientes
Ax =
33323
23222
13121
aab
aab
aab, y calculo Det(Ax)
Entonces x1 = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑥)
𝐷
Tomo Ay sustituyendo la segunda columna (coeficientes de y)
por la de términos independientes
Ay =
33331
23221
13111
aba
aba
aba, entonces x2 =
𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑦)
𝐷
Análogamente para obtener x3
106
Az =
33231
22221
11211
baa
baa
baa, x3 =
𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑧)
𝐷
Demostración:
NOTA:
El alumno puede prescindir de la presente demostración. Sin
embargo interesa que quede recogida en el presente trabajo.
Suponiendo que la terna (x1, x2, x3) es una solución, escribo X=
(x1, x2, x3) y B = (b1, b2, b3), y operando (por el convenio de
‘vector columna’), tengo el producto de matrices:
A.X = B , de donde X = A-1
.B
Recordamos que A-1
= 1
𝐷 . (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑡
Designamos Aij = adj(aij), (no confundir con Adj(A)),
y teniendo en cuenta que
Adj(A) = (𝐴11 𝐴12 𝐴13𝐴21 𝐴22 𝐴23𝐴31 𝐴32 𝐴33
)
Entonces
3
2
1
x
x
x= 1/D.
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA.
3
2
1
b
b
b
de donde
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
107
x1 = 1/D.[A11.b1 + A21.b2 + A31.b3] =
= 1/D.[b1.A11 + b2.A21 + b3.A31] =
(El segundo corchete contiene precisamente el cálculo del
determinante de la matriz Ax, desarrollando por la primer
columna)
= 1/D. Det
33323
23222
13121
aab
aab
aab =
𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑥)
𝐷
x2 = 1/D.[A12.b1 + A22.b2 + A32.b3] =
= 1/D.[b1.A12 + b2.A22 + b3.A32] =
(Como en la anterior, ahora es el det. de la matriz Ay,
desarrollado por la segunda columna)
= 1/D. Det
33331
23221
13111
aba
aba
aba =
𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑦)
𝐷
De la misma forma
x3 = 1/D.[A13.b1 + A23.b2 + A33.b3] = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑧)
𝐷
Lo anterior, con el mismo razonamiento, es válido y aplicable a
cualquier Sistema compatible determinado.
Más adelante veremos cómo proceder en el caso de un Sistema
compatible indeterminado.
NOTA: Por supuesto, si n < m, se supone que hemos desechado
108
aquellas ecuaciones que sean superfluas, seleccionando n
ecuaciones l.i., y reescribiendo la matriz A. Para ello basta tomar
n filas de A que sean l.i. entre sí.
4.3.- Caso de Sistema compatible indeterminado.
Resolución por Crámer
PASOS A SEGUIR
Primero:
En primer lugar, si k = r(A), seleccionamos k ecuaciones l.i.
Esto lo conseguimos al calcular el rango de A, aplicando la
técnica del vector-fila.
Segundo:
Ya sabemos el número de incógnitas libres:
h = n - k
Dos opciones:
a) Damos un valor a cada una de las incógnitas libres y, (se
suelen tomar las de más a la derecha en el sistema), y haciendo
los cálculos pasamos el valor resultante al miembro derecha
(como término independiente). Llegamos a un nuevo sistema
compatible y determinado, con matrices que llamaremos A’ y B’,
y con un número de incógnitas k = r(A’).
Resolvemos y listo.
b) Pasamos los términos de las incógnitas libres al miembro
derecha como parámetros y lo tratamos como si fuesen valores
conocidos, formando una única columna de términos
independientes. A la izquierda tendremos k incógnitas, y la matriz
A’ de los coeficientes tendrá r(A’) = k. La matriz B’ contiene la
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
109
columna derecha formada por valores y parámetros. Podemos
aplicar Crámer al nuevo sistema con matrices A’ y B’, quedando
las soluciones expresadas en función de los parámetros (que
coinciden con las incógnitas libres).
4.4.- Sistemas Homogéneos. Clasificación.
Base del Subespacio de soluciones.
Llamamos Sistema homogéneo a los de la forma
0.33.32.31
0.23.22.21
0.13.12.11
zayaxa
zayaxa
zayaxa
cuyos términos independientes son todos cero.
Evidentemente admiten la solución x = 0, y = 0, z = 0, que
llamamos “solución trivial”. Puede o no admitir otras soluciones
no triviales, y ese es el objeto de su análisis y estudio.
No lleva matriz ampliada, evidentemente.
Consideremos la matriz A de sus coeficientes
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Si ran(A) = número de columnas, entonces los vectores
v1= (a11,a21,a31), v2 = (a12,a22,a32), v3 = (a13,a23,a33)
son linealmente independientes, y los únicos valores que hacen
x.w1 + y.w2 + z.w3 = 0,
110
son x = 0,y = 0,z = 0. Solución (0,0,0), llamada “Solución
trivial”.
Supongamos que admite una solución no trivial (x1, x2, x3):
x = x1, y = x2, z = x3, entonces
x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 = 0,
de donde, si x3 <> 0, puedo despejar w3 como combinación
lineal de w1 y w2:
w3 = y1.w1 + y2.w2,
y por tanto ran(A) < número de columnas.
Si x3 = 0, será x1 ó x2 no nulo, y repetimos el razonamiento.
Recíprocamente, si r(A) < número de columnas, entonces alguna
columna de A es combinación lineal de las otras. Supongamos
que lo es la tercera:
w3 = y1.w1 + y2.w2, donde algún yi es no nulo. Entonces
y1.w1 + y2.w2 + (-1).w3 = 0,
y por tanto tengo una solución distinta de la trivial:
x = y1, y = y2, z = -1.
Resumen, Clasificación (Sistema homogéneo):
El razonamiento anterior justifica ( o demuestra) el siguiente:
Teorema de Rouché-Fröbenius (para sistemas homogéneos)
Para un Sistema homogéneo cualquiera con n incógnitas.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
111
A) Si ran(A) = número de incógnitas, entonces sólo admite la
solución trivial (x1 = 0, x2 = 0, ...., xn = 0)
B) Si r(A) < número de incógnitas, entonces admite además
solución distinta de la trivial.
Este caso admite infinitas soluciones distintas de la trivial y éstas
constituyen un subespacio vectorial de dimensión = número de
incógnitas menos ran(A) = núm. de incóg. libres.
Afirmamos que:
Si admite una solución no trivial entonces admite infinitas. El
conjunto S de todas sus soluciones es un Subespacio vectorial.
En efecto, si x1, x2, x3 es una solución no trivial veamos que
también lo es
a) z1 = c.x1, z2 = c.x2, z3 = c.x3,
donde c es arbitrario.
Tenemos
x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 = 0,
c.(x1.w1 + x2.w2 + x3.w3) = 0
cx1.w1 + cx2.w2 + cx3.w3 = 0
z1.w1 + z2.w2 + z3.w3 = 0
b) Si x1, x2, x3 es solución, y z1, z2, z3 es otra solución,
entonces
y1 = x1+z1, y2 = x2+z2, y3 = x3+z3 también lo es:
(x1+z1).w1 + (x2+z2).w2 + (x3+z3).w3 = ….
112
........ = 0 + 0 = 0
La dimensión de este Subespacio de soluciones coincide con el
número de incógnitas libres:
dim(S) = (número de incógnitas del sistema) – r(A)
Base del Subespacio S de las soluciones:
Para obtener una base de S procedemos del siguiente modo.
Sea m = n – r(A) el número de incógnitas libres.
Damos a la primera incógnita libre el valor 1 y el valor cero a las
restantes; obtengo así el vector w1. Damos el valor 1 a la segunda
incógnita libre y 0 a las restantes; obtengo el vector w2.
Repetimos de forma análoga con las siguientes incógnitas libres.
Al final, por la forma de obtenerlos, los vectores w1, w2, …, wm
son l.i. y constituyen una base del Subespacio vectorial de las
soluciones.
---------------
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
113
Ejemplos/Actividades: Resueltos
1.- Analiza y resuelve, si es posible, el siguiente sistema
{
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5 2𝑦 + 𝑧 = −3−3𝑥 + 5𝑦 = 2
Sol.-
Matriz de coeficientes: A = (2 − 1 3 0 2 1 −3 5 0
)
Rango de A: Det(A) = Por Sarrus = 11, por tanto r(A) = 3
Matriz ampliada: B = (2 − 1 3 5 0 2 1 − 3−3 5 0 2
)
Rango de B: Necesariamente es r(B) = 3
Sistema compatible determinado.
Resuelvo por Crámer: (Aplicamos Regla de Sarrus)
Ax = (5 − 1 3 −3 2 1 2 5 0
), det(Ax) = -84, por tanto x = -84/11
Ay = (2 5 3 0 − 3 1 −3 2 0
), det(Ay) = -46, por tanto y = -46/11
Az = (2 − 1 5 0 2 − 3 −3 5 2
), det(Az) = 59, por tanto z = 59/11
114
2.- Analiza y resuelve, si es posible, el siguiente sistema
{
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = −5 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = −3−3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑡 = 3𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = 2
Sol.-
A = (
2 − 1 3 − 1 0 2 1 − 2−3 2 0 3 1 − 1 − 3 − 2
) Obtengo el rango de A
calculando el det. de las menores de A.
Aclaración:
La notación |
| indica determinante de la matriz incluida.
|2 − 10 2
| = 4 -> r(A) >= 2
|2 − 1 30 2 1−3 2 0
| = 17 -> r(A) >= 3
Para comprobar si r(A) = 4 he de calcular det(A)
Desarrollo por primer columna:
Det(A) = 2. |2 1 − 22 0 3
−1 − 3 − 2| + (-3). |
−1 3 − 1 2 1 − 2−1 − 3 − 2
| –
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
115
1. |−1 3 − 1 2 1 − 2 2 0 3
| = 2.31 -3.31 – (-31) = 0, por tanto
r(A) = 3
Puesto que contiene cuatro incógnitas una de esta es libre.
Debemos tomar como libre aquella que queda fuera de la ‘Menor’
cuyo det. <> 0. En este caso tomo t como libre.
Además, sólo tres ecuaciones son l.i. Que el determinante
|2 − 1 30 2 1−3 2 0
| resulte <> 0 nos dice que las tres
primeras son l.i. entre sí. Nos quedamos con estas y desechamos
la cuarta (por ser c.l. de las anteriores).
El Sistema es Compatible indeterminado (un grado de libertad)
Queda el Sistema
{2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −5 + 𝑡
2𝑦 + 𝑧 = −3 + 2𝑡−3𝑥 + 2𝑦 = 3 − 3𝑡
Matriz de coeficientes A’ = (2 − 1 30 2 1−3 2 0
) , Det(A’) = 17
Resuelvo por Crámer
116
Ax = (−5 + 𝑡 − 1 3−3 + 2𝑡 2 13 − 3𝑡 2 0
), det(Ax) = [0 –(3-3t)+6.(-
3+2t)] – [6.(3-3t) +0 +2.(-5+t)] = [ 15t -21] –[-16t +8] = 31t -29,
por tanto x = (31t – 29)/17
Ay = (2 − 5 + 𝑡 30 − 3 + 2𝑡 1−3 3 − 3𝑡 0
), det(Ay) = [0 +0 -3.(-5+t)]
–[-9.(-3+2t) +2.(3-3t)] = [ -3t +15] – [-24t +33] = 21t -18,
por tanto y = (21t -18)/17
Az = (2 − 1 − 5 + 𝑡0 2 − 3 + 2𝑡−3 2 3 − 3𝑡
), det(Az) = [4.(3-3t) +0
+3.(-3+2t)] – [-6.(-5+t) +4.(-3+2t)] = [-6t +3] – [2t +18] = -8t -15,
por tanto z = (-8t -15)/17
Para cada valor asignado a t, recorriendo los reales, obtenemos
una solución del sistema. Infinitas soluciones.
3.- Analiza el siguiente sistema, y resuelve si es posible
{
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 5 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = −3 −3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑡 = 3 𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = 2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
117
Sol.- Matriz de coeficientes
A = (
2 − 1 3 − 10 2 1 − 2−3 2 0 3 1 − 1 − 3 − 2
)
Rango de A:
|2 − 10 2
| <> 0; |2 − 1 30 2 1−3 2 0
| = [0+3+0] –[-18 +4
+0] = 3 + 16 = 19,
por tanto r(A) >= 3
|
2 − 1 3 − 10 2 1 − 2−3 2 0 31 − 1 − 3 − 2
| = 2.det(A11) -0.det(A21)
+(-3).det(A31) -1.det(A41)
det(A11) = |2 1 − 22 0 3
−1 − 3 − 2| = [0-3+12]-[0-4-18] = 9 +22 = 31
det(A31) = |−1 3 − 1 2 1 − 2−1 − 3 − 2
| = [2+6+6] –[1-12-6] = 14 +17 = 31
det(A41) = |−1 3 − 1 2 1 − 22 0 3
| = [-3-12+0]-[-2+0+18] =
= -15 -16 = -31
118
Volviendo atrás
Det(A) = 2.32 -3.31 -1.(-31) = 0 -> r(A) = 3
Rango de la ampliada B:
B = (
2 − 1 3 − 1 50 2 1 − 2 − 3−3 2 0 3 31 − 1 − 3 − 2 2
)
Acabamos de ver que la ‘menor’
(
2 − 1 3 − 10 2 1 − 2−3 2 0 31 − 1 − 3 − 2
) tienen determinante cero, y
que (
2 − 1 3 0 2 1
−3 2 0
) tiene det <> 0. Esto significa que la
cuarta columna de B es combinación lineal de las tres primeras.
Tomamos la quinta columna y calculamos su determinante:
Det(
2 − 1 3 50 2 1 − 3−3 2 0 3 1 − 1 − 3 2
) = 2.det(A11) -0.det(A21) +
+(-3).det(A31) -1.det(A41)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
119
|2 1 − 32 0 3−1 − 3 2
| = [0-3+18]-[0-18+4] = +15 + 16 = 31
|−1 3 5 2 1 − 3−1 − 3 2
| = [-2+9-30]–[-5+12-9]= -23 +2 = -21
|−1 3 5 2 1 − 32 0 3
| = [-3-18+0]-[10+18+0]= -21-28 = -49
Volviendo atrás tengo
2.31 -3.(-21) -1.(-49) = 62 +63 +49 <> 0
-> r(B) = 4, y por tanto el Sistema es incompatible. Lo
abandonamos.
4.- Analiza el siguiente Sistema
{
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −22𝑥 + 2𝑦 = 2 3𝑦 − 4𝑧 = 82𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 2
Sol.-
120
A =
(
3 − 2 1−2 3 − 12 2 00 3 − 42 − 3 1 )
, hallo su rango
r(A) ≥ 2 evidente
|3 − 2 1−2 3 − 12 2 0
| = [0+4-4]-[6+0-6] = 0 -> la tercer fila
es c.l. de las dos primeras. Rechazo esta tercera y pruebo tomando
la cuarta
|3 − 2 1−2 3 − 10 3 − 4
| = [-36+0-6]-[0-16-9]= -42 +25 = -17, y
por tanto r(A) ≥ 3, y concluyo que r(A) = 3, pues sólo tiene tres
columnas.
Las dos primeras ecuaciones más la cuarta son l.i. entre sí. La
tercera y quinta son c.l. de las anteriores, y podemos (y debemos)
despreciarlas.
Tengo el nuevo sistema equivalente
{
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −2 3𝑦 − 4𝑧 = 8
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
121
A’ = (3 − 2 1−2 3 − 10 3 − 4
), y sabemos que Det(A’) = -17
El rango de la ampliada B también es 3, pues no puede ser mayor
que 3, y además siempre es
r(B) ≥ r(A).
Sistema compatible determinado.
Resuelvo por Crámer
Ax = (3 − 2 1−2 3 − 18 3 − 4
), det(Ax) = [-36+16-6]-[24-9-16] = -26
+1 = -25 -> x = 25/17
Ay = (3 3 1
−2 − 2 − 10 8 − 4
), det(Ay) =[24+0-16]-[0+24-24] = 8 + 0
= 8 -> y = -8/17
Az = (3 − 2 3−2 3 − 20 3 8
), det(Az) =[72+0-18]-[0+32-18] = 54 – 14
= 40 -> z = -40/17
5.- Analiza el siguiente Sistema homogéneo
{
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0
Sol.-
122
A = (3 − 5 1−1 2 − 32 3 − 2
), r(A) ≥ 2 evidente
Det(A) = hágalo el alumno = 48 -< r(A) = 3, y por tanto sólo
admite la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0
6.- Analiza el siguiente Sistema homogéneo
{
3𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 − 11𝑦 + 5𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0
Sol.-
A = (3 − 5 1−1 − 11 52 3 − 2
), Det(A) = hágalo el alumno = 0
con lo cual concluimos que r(A) = 2 < número de incógnitas.
Contiene una libre. Puesto que
|3 − 5−1 − 11
| = -33 – 5 = -38, decido tomar z como
libre, y quedarme con las dos primeras ecuaciones
{3𝑥 − 5𝑦 = −𝑧−𝑥 − 11𝑦 = −5𝑧
Despejo x = 5z -11y , y lo llevo a la primera
3.(5z -11y) -5y = -z
-38y = -16z -> y = 8𝑧
19
x = 5z -11.(8/19.z) = 5z -88/19.z = 7𝑧
19
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
123
Dando a z valores reales, para cada uno obtenemos una solución
del Sistema. Infinitas soluciones.
El Subespacio formado por todas las soluciones es de dimensión
uno (= número incógnitas libres)
7.- Aplicación práctica: Estudia si se cortan o no las siguientes
dos rectas, y en caso afirmativo determina el punto común:
r : {𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −2 s : {
2𝑦 − 3𝑧 = 43𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = −1
Sol.-
Si P(x1, y1, z1) fuese un punto común sus coordenadas x1, y1, z1
han de ser solución del Sistema formado por las cuatro
ecuaciones
{
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −2 2𝑦 − 3𝑧 = 43𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1
El rango de la matriz A de los coeficientes ha de ser >= 2, ya que
en otro caso los dos planos no definirían una recta.
A = (
1 − 3 12 1 − 30 2 − 33 − 2 − 2
), |1 − 3 12 1 − 30 2 − 3
| = [-3+0+4]-[0+18-6] =
1 -12 = -11
Por tanto r(A) = 3. Estudiamos el rango de B
124
B = (
1 − 3 1 1 2 1 − 3 − 20 2 − 3 43 − 2 − 2 − 1
), Det(B) = 1.det(A11) –
2.det(A21) +0.det(A31) -3.det(A41)
det(A11) = |1 − 3 − 22 − 3 4−2 − 2 − 1
| = [3+8+24]-[-12+6-8] =
= 35+14 = 49
det(A21) = |−3 1 1 2 − 3 4−2 − 2 − 1
| = [-9-8-4]-[6+24-2] =
= -21 -28 = -49
det(A41) = |−3 1 1 1 − 3 − 2 2 − 3 4
| = [36-4-3]-[-6+4-18] = 29+20 = 49
Volviendo atrás: Det(B) = 49 -2.(-49) -3.49 = 0
por tanto r(B) = 3 -- > Sistema compatible determinado. Las
rectas tienen uno y sólo un punto en común.
Además, la cuarta ecuación es redundante, puedo desecharla y la
desecho, quedando el siguiente
{
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −22𝑦 − 3𝑧 = 4
A’ = (1 − 3 12 1 − 30 2 − 3
), y vimos más arriba que
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
125
Det(A’) = -11
Resuelvo por Crámer.
El alumno comprobará que se cortan en el punto
P(-49/11, -32/11, -36/11)
8.- Estudia si se cortan o no la recta r y el plano m dados:
r: <P(2,1,0); v = (3,-2,1)>,
m: 2x -3y + 4z = 6
Sol.- Paso la recta a cartesianas:
OQ = OP + k.v -> (x,y,z) = (2,1,0)+k.(3,-2,1) ->
{𝑥 = 2 + 3𝑘𝑦 = 1 − 2𝑘𝑧 = 𝑘
; llevando z = k a las dos primeras
{𝑥 = 2 + 3𝑧𝑦 = 1 − 2𝑧
; que son dos planos cuya intersección nos da la
recta.
El sistema a analizar es
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 6𝑥 − 3𝑧 = 2 𝑦 + 2𝑧 = 1
Intento resolverlo directamente, si es compatible obtendré alguna
solución, si es incompatible llegaré a alguna contradición.
126
y = 1-2z -> {2𝑥 − 3. (1 − 2𝑧) + 4𝑧 = 6
𝑥 − 3𝑧 = 2 ->
{2𝑥 + 10𝑧 = 9𝑥 − 3𝑧 = 2
; x = 2+3z -> 2.(2+3z) +10z = 9 ->
16z = 5; z = 5/16, que llevándolo a las otras me dan
x = 2 +15/16 = 47/16, x = 47/16
y = 1-10/16 = 6/16, y = 6/16
El sistema es compatible determinado y se cortan en el punto
único
P(47
16 ,
6
16 ,
5
16 )
Del Tema 4
1.- Resuelve el sistema por Crámer y por Gauss
3
1
5
zyx
zyx
zyx
Sol.: (2, -1, -2)
2.- Resuelve el sistema por Crámer
2226
842
6423
zyx
zyx
zyx
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
127
Sol.: La tercer es comb. lin. de 1ª y 2ª. ran(A) = 2, ran(B) = 2.
Tomo z como libre, y escribo
zyx
zyx
842
4623
A’ =
42
23, B’ =
z
z
842
4623
Aplico Crámer y queda: x = f(z), y = g(z). Dando valores a z
obtengo las soluciones.
3.- Resuelve el sistema aplicando el método de Crámer y
comprueba el resultado resolviendo también por el método de
Gauss.
8323
72
5432
zyx
zyx
zyx
Sol.: Por Gauss hemos obtenido
x = 194/11, y = 175/11, z = 48/11
4.- Resuelve el sistema por Crámer
28642
2226
842
6423
zyx
zyx
zyx
zyx
128
Sol.: Comprueba que la 3ª y 4ª son superfluas. Desechando estas
queda como el anterior.
5.- Analiza y resuelve por el método de Crámer, si es posible
162
442
92
zyx
zyx
zyx
Sol.: Resuélvalo el alumno. Debe obtener: x = 4, y = 5, z = 2.
6.- Estudiar la relación entre los tres planos siguientes, diciendo si
su intersección es: vacía, un punto, una recta, ó coinciden en un
mismo plano.
Planos formando un sistema
1064
43
52
zyx
zx
yx
Analizamos este sistema
A=
614
301
012
, B=
10614
4301
5012
Obtengo los rangos de A y B
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
129
ran(A) >= 2, ya que 01
12 0. Pero
614
301
012
= 0
Por tanto: ran(A)= 2
Para B,
614
301
012
= 0; tengo que calcular otros dos;
1014
401
512
= 21 – 18 0, por tanto ran(B) = 3
El sistema es incompatible, No existe un punto común a los tres
planos.
Veamos qué ocurre tomándolos dos a dos.
Los dos primeros:
01
12 0, lo que nos dice que los dos primeros no son paralelos
y por tanto se cortan según la recta
r1: {2𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 3𝑧 = 4
Primero y tercero:
130
14
12 0, lo que nos dice que el primero y el tercero se cortan
según la recta
r2: {2𝑥 + 𝑦 = 5
4𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 10
Segundo y tercero:
14
01 0, y por tanto el segundo y tercero se cortan según la
recta
r3: {𝑥 − 3𝑧 = 44𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 10
7.- Analiza el sistema dependiendo de los valores que tome el
parámetro m
1
1
1
mzyx
zmyx
zymx
Sol.:
A=
m
m
m
11
11
11
, det(A)= [m3+2] –[3m]= m
3-3m+2,
m3 –3m +2 = 0
Aplicando Ruffini resultan soluciones: m= 1 doble, m= -2
Resumen:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
131
a) Si m 1 y m -2, ran(A) = 3, ran(B) = 3, y por tanto es
Sistema compatible determinado.
b) Si m = 1, veamos.
A =
111
111
111, ran(A) = 1, B =
1111
1111
1111
,
ran(B) = 1, lo que significa que el sistema es compatible pero
indeterminado. El número de incógnitas libres es:
Número de incógnitas – rango común = 3 – 1 = 2 (= a la
multiplicidad de la solución m = 1).
Número de ecuaciones linealmente independientes = rango
común = 1. Tomamos la primera.
x +y +z = 1,
y, z libres: x = -y –z + 1;
hago: y = 1, z = 0 --> x = 0 --> sol.: (0,1,0)
hago: y = 0, z = 1 --> x = 0 --> sol.: (0,0,1)
Observa que las dos soluciones, tomadas como vectores, generan
un subespacio de dimensión
2 = nº incógnitas libres.
c) Si m = -2, veamos.
A =
211
121
112
, B =
1211
1121
1112
132
det(A) = 0, luego ran(A) = 2.
Para B, partimos del hecho de que 21
12
0, y estudiamos
otros de orden 3 orlando este de orden 2.
211
121
112
= 0,
111
121
112
=
= [4+2]-[-2-2+1] = 6 +3 0, y ran(B) = 3
El sistema es incompatible
8.- Estudia el siguiente Sistema homogéneo dependiendo del
parámetro m.
04103
03
0
zyx
zyx
zymx
Sol.:
A=
4103
131
11m
, det(A) = [12m +3 +10]-[-9+4-10m] = 22m
+18, 22m + 18 = 0, m = -9/11
a) Para m -9/11 ran(A) = 3, y entonces la única solución
es (0,0,0).
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
133
b) Si m = -9/11:
A=
4103
131
1111/9, det(A) = 0,
31
111/9 = -27/11 –1 0, ran(A) = 2, y el sistema tiene
soluciones distintas de la trivial, es decir, distinta de (0,0,0).
Recuerda que:
Nº ecuac. lin. indep. = ran(A)= 2,
nº inc. libres = 3 –ran(A) = 1
Tomo el sistema
03
0.11/9
zyx
zyx,
zyx
zyx
3
.11/9
Dando valor a z y obteniendo valores de x, y, obtenemos tantas
soluciones como deseemos.
9.- Problema
Al fallecer el padre y consultar su testamento sus tres hijos
encuentran lo siguiente:
“Mi hijo mayor recibirá la media de lo que reciban los otros dos
más 2000 euros. Mi segundo hijo recibirá la media de lo que
reciban el mayor y el menor, ni más ni menos. Mi hijo menor
recibirá la media de lo que reciban los otros dos menos 1000
euros”.
a) Realiza un análisis de esta situación.
134
b) Suponiendo que dejó 30000 euros, determina cuánto
corresponde a cada uno.
c) Hagamos el siguiente planteamiento:
“El mayor recibirá la media de los otros dos más 100, el
segundo la media del primero y tercero, el menor recibirá la
media de los otros dos menos 100 euros”. La cantidad a repartir
es de 2000 euros.
Sol.: Expresión en forma de sistema:
a)
10002
2
20002
yxz
zxy
zyx
,
20002
2
40002
yxz
zxy
zyx
o bien
20002
02
40002
zyx
zyx
zyx
A =
211
121
112, B =
2000211
0121
4000112
det(A) = 0, por lo que ran(A) = 2.
Para B: Partimos de la menor A33 =
21
12, cuyo
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
135
det(A33) 0
det
200011
021
400012 = [-8000+0+4000] – [-8000+0+2000] =
= [-4000]-[-6000] = 2000,
ran(B) = 3
El sistema es incompatible. Imposible realizar el reparto.
b) Si añadimos este dato tenemos además:
x + y + z = 30000
Sistema
30000
20002
02
40002
zyx
zyx
zyx
zyx
A =
111
211
121
112
; Su tercer fila es combinación lineal
de primera y segunda.
det
111
121
112 = 7, por tanto ran(A) = 3.
136
B =
30000111
2000211
0121
4000112
det(B) = Desarrollo por la cuarta columna =
-4000.det
111
211
121
+ 0.(...) –(-2000).
.det
111
121
112
+ 30000.det
211
121
112
=
= 4000.([6]-[-3]) +2000.([6]-[-3]) +30000.([6]-[6]) = -36000
+18000 + 0 = -18000,
por tanto ran(B) = 4.
El sistema es incompatible.
c) En este caso queda el siguiente sistema
2000
2002
02
2002
zyx
zyx
zyx
zyx
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
137
A =
111
211
121
112
,
211
121
112
= 0 (la tercera fila es
suma de primera + segunda y cambiar de signo). Desecho la
tercer fila.
111
121
112
= [6]-[-3] = 9, ran(A) = 3
B =
2000111
200211
0121
200112
,
det(B) = -200.
111
211
121
+ 0.(...) –(-200).
111
121
112
+
+2000.
211
121
112
= 200.(9) + 200.(9) + 2000.(0) =
= -1800 +1800 = 0
ran(B) = 3.
Tomo el sistema
138
2000
02
2002
zyx
zyx
zyx
A =
111
121
112
, det(A) = 9
Ax =
112000
120
11200 = [400+2000] -[-4000-200] = 6600
Ay =
120001
101
12002 = [2000-200] -[-4000-200] =
= 1800+4200 = 6000
Az =
200011
021
20012= [8000-200] -[400+2000] = 5400
Por tanto: x = 6600/9, y = 6000/9, z = 5400/9
Comprobando tengo x + y + z = 2000
$$$$oOo$$$$
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
139
Tema 5
Aplicaciones lineales
Endomorfismos
140
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
141
5.1.- Aplicaciones lineales. Núcleo e Imagen
Siempre operamos en el cuerpo de los reales R, salvo que se diga
otra cosa, esto es, que los espacios vectoriales lo son sobre el
cuerpo R.
Def.:
Dados dos Espacios vectoriales En y E’m, llamamos Aplicación
lineal a toda aplicación
f: E --- > E’
x ---- > y = f(x)
que cumpla estas condiciones:
a) Para todo par v1, v2, f(v1 +v2) = f(v1) + f(v2)
b) Para todo v de E y todo escalar k, f(k.v) = k.f(v)
Resumiendo: f(k1.v1 + k2.v2) = k1.f(v1) + k2.f(v2)
Cuando E’ = E la llamamos ‘Endomorfismo’.
Núcleo e Imagen de f: E --- > E’
Defi.:
Llamamos ‘Núcleo’ de f al subconjunto N constituido por todos
los vectores cuya imagen es el vector 0:
N = {𝑣 ∈ 𝐸 ; 𝑓(𝑣) = 0}
Afirmo que N es un subespacio vectorial de E.
142
En efecto, 0 está en N ya que f(0) = 0.
Sean v1, v2 de N, y escalares k1, k2. Tengo
f(k1.v1 + k2.v2) = k1.f(v1)+k2.f(v2) = 0, y por tanto también
k1.v1 + k2.v2 está en N (esto nos garantiza que N es Subespacio
vectorial).
Def.: Llamamos ‘Imagen’ de f al subconjunto de E’ formado por todos
los vectores w que son imagen de ‘algún’ vector v:
Im(f) = {𝑤 ∈ 𝐸′ ; 𝑤 = 𝑓(𝑣) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑣 ∈ 𝐸}
Afirmo que Im(f) es un subespacio de E’.
En efecto, 0 está en Im(f) ya que f(0) = 0; sean w1, w2 de Im(f);
existen v1, v2 tales que w1 = f(v1), w2 = f(v2); entonces, para
todo par de escalares tengo
f(k1.v1 +k2.v2) = k1.f(v1) + k2.f(v2) = k1.w1 + k2.w2, y por
tanto k1.w1 + k2.w2 está en Im(f)
Consecuencias: -Las imágenes {f(ei)} de una base B={ei, i=1,…,n} de E forman
un Sistema generador de Im(f).
-Si N(f) = {0}, entonces {f(ei)} es además Sistema libre, porque
la aplicación f es inyectiva.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
143
-Sean n = dim(E), m = dim(E’). Si m = n y N(f) = {0}, f es
biyectiva, Im(f) = E’, y {f(ei)} es una base de E’. Decimos que la
aplicación f es un ‘Isomorfismo’.
5.2.- Matriz asociada a f respecto de bases en E y
en E’
Tenemos bases B = {e1,e2,…,en} en E, B’ = {u1,u2,…,um} en E’.
Estamos suponiendo n = dim(E), m = dim(E’).
Para un vector v = x1.e1 + x2.e2 + ... + xn.en
tengo su imagen
w = f(v) = f(x1.e1+x2.e2+….+xn.en) =
= x1.f(e1) + x2.f(e2) + … + xn.f(en)
Por otro lado la expresión de w respecto de B’
w = y1.u1 + y2.u2 + …. + ym.um ,
y por tanto
y1.u1 + y2.u2 + …. + ym.um =
= x1.f(e1) + x2.f(e2) + …+ 𝑥𝑛.f(𝑒𝑛)
Matricialmente
(y1, y2,…, 𝑦𝑚).
(
𝑢1𝑢2...𝑢𝑚)
= (x1, x2,..., 𝑥𝑛).
(
𝑓(𝑒1)
𝑓(𝑒2)...
𝑓(𝑒𝑛))
144
Tomamos ahora la expresión de las imágenes f(ei) en la base B’,
sean
{
𝑓(𝑒1) = a11. u1 + a12. u2 + … . + 𝑎1𝑚. 𝑢𝑚𝑓(𝑒2) = a21. u1 + a22. u2 + … .+ 𝑎2𝑚. 𝑢𝑚
………𝑓(𝑒𝑛) = an1. u1 + an2. u2 + … .+ 𝑎𝑛𝑚. 𝑢𝑚
y ahora matricialmente tengo
(y1,y2,….,𝑦𝑚).
(
𝑢1𝑢2...𝑢𝑚)
=
= (x1,x2,….,𝑥𝑛).
(
𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚
.
.
.𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑚 )
.
(
𝑢1𝑢2...𝑢𝑚)
Resumiendo: La relación entre las coordenadas xi de v en B, y las
coordenadas yj de w = f(v) en B’ es
(y1, y2, ..., ym) = (x1, x2,..., xn).
(
𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚
.
.
.𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑚)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
145
Llamando A a la matriz tengo
y = x.A
Hemos operado por ‘vector fila’. Por vector columna habría
resultado la traspuesta de la anterior:
yt = A
t.x
t , donde x
t y y
t son vector columna.
Las filas de A, f(ei), son las coordenadas aij de estas imágenes
expresadas en la base B’ de E’. Estas coordenadas son únicas, y
por tanto la matriz A es única.
Resumen:
Dadas las bases B = {e1, e2,…, en} en E, B’ = {u1, u2,…, um} en
E’, la matriz A respecto de estas bases está formada tomando
como filas las imágenes f(ei) expresadas en la base B’.
Cuando m = n y /A/ <> 0, entonces Im(f) = E’, ker(f) = {0}, y
estamos exactamente en el caso que llamamos ‘Automorfismo’.
5.3.- Caso de un Endomorfismo en E
Cuando E’ = E, a la aplicación lineal
f: E ---> E
x ---> y
la llamamos ‘endomorfismo’: y = x.A
Matriz asociada:
Respecto de una base B = {e1,e2,…,en}, las filas de A son las
imágenes f(ei) expresadas en la misma base B:
146
A = (…𝑓(𝑒1)………
…𝑓(𝑒𝑛)…)
Análisis de f:
a) En general se cumple
dim(Im(f)) + dim(ker(f)) = n
b) Im(f) es un subespacio vectorial y las filas de A constituyen
un Sistema generador.
c) Si /A/ <> 0 entonces existe A-1
lo que significa que f admite
inversa
y = x.A <---> x = y.A-1
Significa que ker(f) = {0}, subespacio constituido por el vector
cero. La aplicación es biyectiva.
En este caso decimos que f es un ‘automorfismo’.
Ejemplos:
1.- Sea f: R3 --- R
2, f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3)
Tomo en R3 y en R
2 las bases canónicas: B = {(1,0,0), (0,1,0),
(0,0,1)}, B’ = {(1,0), (0,1)}
f(e1) = (3, 1) = 3.u1 + u2
f(e2) = (2, -5) = 2.u1 -5.u2
f(e3) = (-4, 3) = -4.u1 +3.u2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
147
A = (3 12 − 5−4 3
),(y1,y2) = (x1,x2,x3).(3 12 − 5−4 3
)
Obtenemos la imagen de v = (1,-1,2)
(1,-1,2). (3 12 − 5−4 3
) = (-7,11)
2.- La misma definición de f
f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3)
pero tomamos las siguientes bases: B = {v1=(1,1,1), v2=(1,1,0),
v3=(1,0,0)} en de R3, B’ = {w1=(1,3),w2=(2,5)} en R
2 .
Obtener la matriz A asociada a f respecto de estas bases.
Sol.: f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3)
--> {𝑦1 = 3𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3𝑦2 = 𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3
En la base B en E y el la base canónica {u1,u2} de E’ tengo:
v1 = 1.e1+1.e2+1.e3 - f(v1) = (1,1,1). (3 12 − 5−4 3
) = (1,-1)
f(v2) = (1,1,0). (3 12 − 5−4 3
) = (5,-4), f(v3) = (1,0,0).(3 12 − 5−4 3
) =
= (3,1)
148
Estas imágenes he de expresarlas en la base B’ de E’:
(1,-1) = a.(1,3) + b.(2,5) {1 = 𝑎 + 2𝑏−1 = 3𝑎 + 5𝑏
,
a = 1-2b, -1 = 3-6b + 5b, -4 = -b,
b = 4, a = -7
Por tanto: f(v1) = -7.w1 +4.w2 = (-7,4) en la nueva base B’
(5,-4) = a.(1,3)+b.(2,5) {5 = 𝑎 + 2𝑏−4 = 3𝑎 + 5𝑏
,
a = 5-2b, -4 = 15-6b + 5b, -19 = -b,
b = 19, a = -33
f(v2) = (-33, 19) en la nueva base
(3,1) = a.(1,3)+b.(2,5) -- {3 = 𝑎 + 2𝑏1 = 3𝑎 + 5𝑏
, a = 3-2b, 1 = 9-6b +
5b, -8 = -b, b = 8, a = -13
f(v3) = (-13,8) en la nueva base
Por tanto la matriz respecto de las nuevas bases es
A = (−7 4−33 19−13 8
)
3.- Tomo el vector v = (1,-1,2) expresado en la base B =
{v1=(1,1,1), v2=(1,1,0), v3=(1,0,0)} del punto 2. Obtenemos la
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
149
imagen f(v) expresado en la base B’ = {w1=(1,3),w2=(2,5)} de
E’ y en la base canónica de E’. Comprobar el resultado
obteniendo para f(v) mediante la definición de f.
Sol.: Tenemos la matriz A respecto de las nuevas bases B y B’
(obtenida en el ejemplo 2), obtengo f(v) aplicándola
(1,-1,2). (−7 4−33 19−13 8
) = (0,1), expresado en B’
En la base canónica de E’ será: 0.(1,3) +1.(2,5) = (2,5)
Las coordenadas de v = (1,-1,2) respecto de la base canónica
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} de E son
v = 1.(1,1,1) -1.(1,1,0) +2.(1,0,0) = (2,0,1)
Su imagen f(v) aplicando la definición es
f(v) = (3.2+2.0-4.1, 2-5.0+3.1) = (2, 5)
(Comprobado)
4.- Sea el espacio vectorial M2 de las matrices de orden 2x2.
Definimos un endomorfismo
M2 --- M2 , f(M) = T.M, donde T = (1 − 1−2 2
)
a)Determina la matriz asociada a f en la base canónica del espacio
de matricas (M2,+,.).
b)Determinar su núcleo: Dimensión y una base
150
c)Determinar una base de Im(f)
Sol.:
Recordamos que una matriz de la forma M = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) la
expresamos como vector así
M = (a,b,c,d)
a) La base canónica de M2 es la misma que la de R4.
Por definición de f tengo
f(e1) = (1 − 1−2 2
).(1 00 0
) = (1 0−2 0
),
f(e2) = (1 − 1−2 2
).(0 10 0
) = (0 10 − 2
)
f(e3) = (1 − 1−2 2
).(0 01 0
) = (−1 02 0
),
f(e4) = (1 − 1−2 2
).(0 00 1
) = (0 − 10 2
)
La matriz asociada a f es
A = (
1 0 − 1 00 1 0 − 1−2 0 2 00 − 2 0 2
)
b) Núcleo: (1 − 1−2 2
).(𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) = (0 00 0
) ->
{
0 = 𝑎 − 𝑐0 = 𝑏 − 𝑑
0 = −2𝑎 + 2𝑐0 = −2𝑏 + 2𝑑
, c = a, d = b
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
151
N = {(𝑎 𝑏𝑎 𝑏
); a, b ∈ 𝑅 }
Una base de N está formada por (1 01 0
) = (1,0,1,0), (0 10 1
) =
(0,1,0,1), por lo que dim(N) = 2
c) dim(Im(f)) = 4 -2 = 2, y una base está
formada por el máximo de las columnas f(ei) que sean l.i.
r(A) ≥ 2, y las dos primeras columnas son l.i.
|1 0 − 10 1 0−2 0 2
| = [2] –[2] = 0 ; |1 0 − 10 1 00 − 2 0
| =[0]–[0]= 0
y por tanto la tercera es c.l. de las dos primeras.
|1 0 00 1 − 1−2 0 0
| = [0] –[0] = 0; |1 0 00 1 − 10 − 2 2
| =[2]–[2]= 0
y por tanto la cuarta es c.l. de las dos primeras.
Una base de Im(f) es {(1 0−2 0
) , (0 10 − 2
)}
152
5.4.- Cambio de base: Efecto sobre la Matriz asociada
a una Aplicación lineal
Sea una aplicación lineal f: E --- > E’ , y su matriz asociada
A =
(
𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚
.
.
.𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑚)
respecto de las bases
B = {e1,e2,…,en} de E, B’ = {u1,u2,…,um} de E’.
Recuerda:
Dadas las bases B = {e1,e2,…,en}, B’ = {u1,u2,…,um} en E’, la
matriz A respecto de estas bases está formada tomando como filas
las imágenes f(ei) expresadas en la base B’.
(y1, y2,…., ym) = (x1, x2,…., xn).
(
𝑎11 𝑎12 … . . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑎22 … . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 … . 𝑎3𝑚
.
.
.𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑚)
y = x.A
Sean dos bases en E:
B1 = B = {ei} , donde v = (x1,x2,…,xn)
B2 = {ei’}, donde v = (x1’, x2’,…, xn’)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
153
Hacemos un cambio de base de B1 a B2
Sea la Matriz del cambio de coordenadas P1, tal que
ei = ei’.P1, (la antigua base en función de la nueva)
y entonces
(xi) = (xi’).P1
(antiguas coordenadas en función de las nuevas)
Recuerda:
Las filas de P1 son las coordenadas de los vectores ei’ expresados
en la base B1.
Recordamos:
En un cambio de base en un espacio vectorial, su efecto sobre las
coordenadas funciona así
(x1, x2, x3) = (x1’, x2’, x3’).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
donde las filas representan lo dicho anteriormente.
Por otro lado, sean dos bases en E’:
B1’ = B’ = {uj}, donde w = (y1,y2,…,ym);
B2’ = {uj’}, donde w’ = (y1’, y2’,…, ym’)
Matriz del cambio de base en E’, P2:
uj = uj’.P2,
(yj) = (yj’).P2
154
Entonces, siendo w = f(v) en el par de bases B1, B1’, y w’ =
f(v’) en el par de bases B2, B2’, tenemos
(yj ) = (xi ). A --- > (yj’ ).P2 = (xi’). P1 . A , de donde
(yj’ ) = (xi’ ).P1.A.P2-1
, y la nueva matriz es
A’ = P1.A.P2-1
Diremos que las matrices A y A’ son ‘equivalentes’, la imagen
w del vector v es la misma, sólo cambia su expresión en
coordenadas.
Caso de un Endomorfismo f: E --- > E
Si E’ = E, con lo cual f es un endomorfismo, entonces P2 = P1, y
tenemos
A’ = P.A.P-1
En este caso, diremos que A y A’ son ‘semejantes’.
El caso concreto de f: E3 --- > E3
Sea el cambio de base de B1= {ei} a B2 = {uj}, dado por la
matriz
P = (
𝑝11 𝑝12 𝑝13𝑝21 𝑝22 𝑝23𝑝31 𝑝32 𝑝33
) ,
ei = pi1.u1 + pi2.u2 + pi3.u3
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
155
(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3). (
𝑝11 𝑝12 𝑝13𝑝21 𝑝22 𝑝23𝑝31 𝑝32 𝑝33
)
Si A es la matriz de f respecto de B1, y A’ la nueva matriz
respecto de B2, están relacionadas por la igualdad
A’ = P.A.P-1
y equivalentemente: A = P-1
.A’.P
Lo confirmaremos mediante alguno de los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
1.- Sea f: R3 --- > R
2, f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2-4x3, x1-5x2+3x3),
estudiada en el ejemplo 1.
En las base canónicas obtuvimos
A1 = (3 12 − 5−4 3
)
y en las nuevas bases
B = {v1= (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0)},
B’ = {w1 = (1,3), w2 = (2,5)}, obtuvimos
A2 = (−7 4−33 19−13 8
)
156
Deseamos comprobar la aplicación de la fórmula
A2 = P1.A1.P2-1
Obtengo las matrices del cambio de base P1 y P2
Un cambio de base en E es en realidad un endomorfismo
h: E --- > E en el cual la imagen de la base {ei} es la base {ei’}:
ei’ = h(ei), (xi’) = (xi).P1,
Las filas de P1 son las coordenadas de ei’ expresados en {ei}, por
tanto, en nuestro caso
P1 =(1 1 11 1 01 0 0
), y análogamente en E’, P2 =(1 32 5
)
Inversa de P2: det(P2) = -1, P2’ = (1 23 5
), Adj(P2’) =
(5 − 3−2 1
) , inversa P2-1
= (−5 32 − 1
)
Hago P1.A1 = (1 1 11 1 01 0 0
) . (3 12 − 5−4 3
) = (1 − 15 − 43 1
)
(P1.A1).P2-1
= (1 − 15 − 43 1
) . (−5 32 − 1
) = (−7 4−33 19−13 8
)
Vemos que coinciden.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
157
2.- Tomo el endomorfismo f: R3 --- > R
3 definido por
f(x,y,z) = (2x-y, 3y-z, z-2x)
Si no se indica otra cosa los vectores dados están referidos a la
base canónica.
a) Obtener su matriz (respecto la base canónica)
b) Obtener su matriz respecto de la base B1= {v1(1,1,0),
v2(1,0,1), v3(0,1,1)}
c) Realizo el cambio de base de B1 a B2 = {w1(1,0,1),
w2(2,-1,0), w3(0,-1,3)}
Obtener la matriz de f respecto de la base B2 por dos
procedimientos distintos:
-Directamente,
-Por la fórmula de cambio de base
Sol.: Resuélvalo el alumno.
------------------
NOTA:
En el volumen 12 estudiamos Temas muy importantes
relacionados con los Endomorfismos, como son:
Valores propios y vectores propios
Diagonalización de una matriz
etc. , etc. , …
$$$oOo$$$
158
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
159
Tema 6
Espacios Afines
Espacio Euclídeo ordinario
160
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
161
6.1.- Espacio Afín
Pretendo presentar una introducción a este tipo de Espacios
estudiando dos casos concretos, uno sobre R2 y el otro sobre R
3.
Def.:
Sea una aplicación f: R2xR
2 --- > V2 ,
(A, B) -- > v = AB, vector
donde V2 es el espacio vectorial de los vectores libres sobre el
plano R2.
Observa que A y B son puntos del plano:
A(a1, a2), B(b1, b2)
Supongamos que f cumple estas Propiedades:
a) Para cada punto A, y cada vector v, existe el punto B tal
que v = AB = f(A, B)
b) f(A, B) = 0, si y sólo si B = A
c) Para toda terna A, B, C, si AC = AB + BC, entonces f(A,
C) = f(A, B) + f(B, C)
Entonces decimos que (R2, f) es una estructura de Espacio Afín
asociado al espacio vectorial V2, de dimensión igual a la de V2.
Lo designaremos por E2.
Consecuencia de a): B = A + v
Análogamente en el caso de R3 tenemos
f: R3xR
3 --- > V3
162
(A, B) -- > v = f(A, B), vector
donde V3 es el espacio vectorial de los vectores libres en R3.
Evidentemente cumplen las propiedades anteriores, y tenemos
una estructura (R3, f) de Espacio afín asociado a V3, de dim = 3, y
que designaremos por E3.
En lo que sigue tomaremos el espacio afín E3 para introducir
nuevos conceptos, su generalización es evidente.
6.2.- Sistema de referencia
6.2.1.- En el Plano
Defi.: Un sistema de referencia en E2 es un conjunto S = (O; B =
{e1,e2}) donde O es un punto que hemos fijado en R2 y B =
{e1,e2} es una base de V2.
Respecto de este sistema de referencia
-Los vectores de V2: v = x1.e1+x2.e2, v = (x1, x2)
-Para los puntos: X = O + OX = (0, 0) + (x1, x2)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
163
B = A + v -- > (b1,b2) = (a1, a2) + (x1,x2)
Vectorialmente: OB = OA + v
Cambio de Sistema de referencia en el Plano:
Cambio de sistema de referencia viene a ser un cambio de base y
además un posible nuevo origen.
Si deseamos cambiar del sistema S = (O; B = {e1, e2}) al sistema
S’ = (O’; B’ = {v1, v2}) necesitamos expresar los vectores vi de
la nueva base B’ en función de los vectores de B (ó al revés), y
además disponer como dato las coordenadas del punto O’
respecto del sistema S, ó, lo que es equivalente, la expresión del
vector OO’ en la base B:
Sean
OO’ = b1.e1 + b2.e2
{𝑣1 = 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2𝑣2 = 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2
(1)
Tengo la matriz A = (𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
)
164
Para un punto P(x1, x2) cualquiera referido al sistema de
referencia S, tenemos
OP = x1.e1 + x2.e2, y también
OP = OO’ + O’P , esto es
x1.e1 + x2.e2 = (b1.e1 + b2.e2) + y1.v1 + y2.v2 ,
x1.e1+x2.e2 = (b1.e1 + b2.e2) + y1.( 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2) +
+ y2.( 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2) , y por tanto
{𝑥1 = y1. a11 + y2. a21𝑥2 = y1. a12 + y2. a22
Matricialmente
(x1, x2) = (b1, b2) + (y1, y2).(𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
)
o bien
(x1, x2, 1) = (y1, y2, 1). (𝑎11 𝑎12 0𝑎21 𝑎22 0𝑏1 𝑏2 1
)
(Antiguas en función de las nuevas coordenadas)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
165
Las filas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de la
nueva base, vj, respecto de la primera.
Decimos que A = (𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
) es la matriz de cambio de base
de la base B = {e1,e2} a la nueva B’ = {v1,v2}.
Si deseamos obtener las nuevas coordenadas (yj) en función de
las antiguas (xi), basta obtener la matriz inversa A-1
y, teniendo
en cuenta que
(x1-b1, x2-b2) = (y1, y2).A ,
tengo
(y1, y2) = (x1- b1, x2- b2).A-1
También, si llamo M = (𝑎11 𝑎12 0𝑎21 𝑎22 0𝑏1 𝑏2 1
)
tengo (y1, y2, 1) = (x1, x2, 1).M-1
NOTA: En la práctica se suele utilizar la siguiente
notación: P(x, y) en el sistema de referencia S, P(x’, y’) en el
sistema de referencia S’:
(x, y) = (b1, b2) + (x’, y’).(𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
)
(Antiguas en función de las nuevas coordenadas)
166
Ejemplo: En el plano
Sea el sistema de referencia S: <O; {e1, e2}>, y el nuevo sistema
de referencia S’ = <O’; {v1, v2}>, siendo
{𝑣1 = 3. 𝑒1 + 2. 𝑒2𝑣2 = 𝑒1 − 3. 𝑒2
, OO’ = e1 + e2
Sol.: M = (3 2 01 − 3 01 1 1
)
(x1,x2,1) = (y1,y2,1).M
Si Q(-1, 2) en el s.r. S’, para el s.r. S tenemos:
(-1,2,1). (3 2 01 − 3 01 1 1
) , de donde
{𝑥1 = 0𝑥2 = −71 = 1
-> Q(0, -7) en el s.r. S.
Una comprobación:
(y1,y2,1) = (x1,x2,1).𝑀−1
Det(M) = -11, M-1
= −1
11. (−3 − 2 0−1 3 04 − 1 − 11
)
El alumno comprobará que M.M-1
= I
Entonces
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
167
(y1,y2,1) = −1
11 . (0,-7,1). (
−3 − 2 0−1 3 0 4 − 1 − 11
)
de donde
−1
11. (11, −22,−11) = (−1, 2, 1)
que es lo que esperábamos.
Exactamente igual procederíamos en el caso de un cambio de s.
de referencia en el Espacio.
6.2.2.- En el Espacio: Cambio de sistema de referencia
Defi.: Sistema de referencia en E3 es un conjunto S = (O; {e1,e2,e3})
donde O es un punto que hemos fijado en R3 y B = {e1,e2,e3} es
una base de V3.
Respecto de este sistema de referencia
-Los vectores de V3: v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3
v = (x1,x2,x3)
-Los puntos: X = O + OX = (0,0,0) + (x1, x2, x3)
168
B = A + v --- > (b1,b2,b3) = (a1,a2,a3) + (x1, x2, x3)
Vectorialmente: OB = OA + v
Cambio de Sistema de referencia en el Espacio:
Cambio de sistema de referencia viene a ser un cambio de base y
además un nuevo origen.
Si del sistema S = (O; B = {e1,e2,e3}) deseamos cambiar al
sistema S’ = (O’; B’= {v1,v2,v3}) necesitamos expresar los
vectores vi de la nueva base respecto de la primera (ó al revés), y,
además las coordenadas del punto O’ respecto del sistema S, ó lo
que es equivalente la expresión del vector OO’ en la primer base:
OO’ = b1.e1 + b2.e2 + b3.e3
Sea
{𝑣1 = 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2 + 𝑎13. 𝑒3𝑣2 = 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2 + 𝑎23. 𝑒3𝑣3 = 𝑎31. 𝑒1 + 𝑎32. 𝑒2 + 𝑎33. 𝑒3
(1)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
169
Para un punto P(x1, x2, x3) cualquiera referido al sistema de
referencia S, tenemos
OP = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3, y también
OP = OO’ + O’P , y en coordenadas tengo
x1.e1 + x2.e2 + x3.e3 = (b1.e1 + b2.e2 + b3.e3) +
+ y1.v1 + y2.v2 + y3.v3 ,
x1.e1+x2.e2+x3.e3 = (b1.e1+b2.e2+b3.e3) +
+ y1.( 𝑎11. 𝑒1 + 𝑎12. 𝑒2 + 𝑎13. 𝑒3) +
+ y2.( 𝑎21. 𝑒1 + 𝑎22. 𝑒2 + 𝑎23. 𝑒3) +
+ y3.( 𝑎31. 𝑒1 + 𝑎32. 𝑒2 + 𝑎33. 𝑒3) ,
x1.e1 + x2.e2 + x3.e3 = (b1.e1+b2.e2+b3.e3) +
+ (y1.a11 + y2.a21 + y3.a31).e1 +
+ (y1.a12 + y2.a22 + y3.a32).e2 +
+ (y1.a13 + y2.a23 + y3.a33).e3
y por tanto
170
{
𝑥1 = y1. a11 + y2. a21 + y3. a31 + b1𝑥2 = y1. a12 + y2. a22 + y3. a32 + b2𝑥3 = y1. a13 + y2. a23 + y3. a33 + b3
Matricialmente
(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) + (b1, b2, b3)
(Antiguas en función de las nuevas coordenadas)
Las filas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de la
nueva base, vj, respecto de la primera.
Decimos que A = (𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) es la matriz del cambio
de la base B = {e1,e2,e3} a la nueva B’ = {v1,v2,v3}.
Si deseamos obtener las nuevas coordenadas (yj) en función de
las antiguas (xi), basta obtener la matriz inversa A-1
y, teniendo en
cuenta que
(x1-b1, x2-b2, x3-b3) = (y1, y2, y3).A , tengo
(y1,y2,y3) = (x1-b1, x2-b2, x3-b3).A-1
También podemos expresarlo así
(x1,x2,x3, 1) = (y1,y2,y3, 1).(
𝑎11 𝑎12 𝑎13 0𝑎21 𝑎22 𝑎23 0𝑎31 𝑎32 𝑎33 0𝑏1 𝑏2 𝑏3 1
)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
171
y, si M = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13 0𝑎21 𝑎22 𝑎23 0𝑎31 𝑎32 𝑎33 0𝑏1 𝑏2 𝑏3 1
)
(y1,y2,y3,1) = (x1,x2,x3,1).M-1
NOTA: En la práctica se suele utilizar la siguiente notación:
P(x, y, z) en el sistema de referencia S, P(x’, y’, z’) en el sistema
de referencia S’, y entonces
(x, y, z) =(x’, y’, z’).(𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) + (b1, b2, b3)
(las antiguas en función de las nuevas coordenadas)
Ejemplo: Sean los sistemas de referencia S = (O; B = {e1,e2,e3}) donde B
es la base canónica y por tanto es ortonormal, y S’ = (O; B’ =
{v1,v2,v3}) donde B’ viene determinada por
{𝑣1 = 𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 𝑣2 = 𝑒1 + 𝑒3 𝑣3 = 𝑒1 − 2𝑒2 − 𝑒3
Observa que el origen de cada s.r. no se modifica.
La base B’ es ortogonal pero no ortonormal:
v1*v2 = (1,1,-1).(1,0,1) = …. = 0
v1*v3 = (1,1,-1).(1,-2,-1) = …. = 0
v2*v3 = (1,0,1).(1,-2,-1) = …. = 0
172
Matriz del cambio de base
A = (1 1 − 11 0 11 − 2 − 1
)
Entonces (x,y,z) = (x’,y’,z’). (1 1 − 11 0 11 − 2 − 1
)
Supongamos que P(2, 3, 3) respecto de S.
Deseo obtener los valores (x’,y’,z’) respecto de S’.
Tengo dos caminos para obtener (x’,y’,z’):
Primero:
Resolviendo: {2 = 𝑥′ + 𝑦′ + 𝑧′
3 = 𝑥′ − 2𝑧′ 3 = −𝑥′ + 𝑦′ − 𝑧′
Sumando 1ª y 3ª : {
5 = 2𝑦′
3 = 𝑥′ − 2𝑧3 = −𝑥′ + 𝑦′ − 𝑧′
->
y’= 5/2 -> {𝑥′ = 3 + 2𝑧′
3 = −(3 + 2𝑧′) +5
2− 𝑧′
-> 6-5/2 = -3z’,
z’ = -7/6, x’ = 3 -14/6, x’ = 4/6
(x’, y’, z’) = (0,6667; 2,5; -1,1667)
Segundo: Obteniendo la inversa de A:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
173
Obtengo la inversa A-1
: /A/=[0+1+2]-[0-1-2]=6
At = (
1 1 11 0 − 2−1 1 − 1
), Adj(At) = (
2 3 12 0 − 2−2 3 − 1
)
A-1
=
(
2
6
3
6
1
6
2
6 0 −
2
6
−2
6
3
6 −
1
6)
,
(x’,y’,z’) = (2,3,3).
(
2
6
3
6
1
6
2
6 0 −
2
6
−2
6
3
6 −
1
6)
=
= (4/6, 15/6, -7/6) = (0,6667; 2,5 ; -1,1667)
que coincide con el resultado anterior.
$$$oOo$$$
174
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
175
Tema 7
Espacio Métrico asociado a un Espacio vectorial
Espacio Euclídeo asociado a R2 y a R
3
176
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
177
7.1.- Espacio vectorial normado
Sea (Vn , +, .R) un espacio vectorial real.
Podemos definir una aplicación de Vn en R del siguiente modo:
fN: Vn -------- > R+
v -------- > || v || , valor real
Def.: Diremos que una aplicación como la anterior es una
Norma sobre Vn, , y que (Vn , fN) es un espacio
normado si cumple las siguiente condiciones (axiomas):
a) || v || ≥ 0, y solo es 0 si v = 0
b) || v + w || ≤ || v || + || w ||
c) || k.v || = /k/ . || v ||
Ejemplos:
Tomando una base B = {e1, e2, …, en} de Vn , y un vector
cualquiera v = x1.e1 + x2.e2 + … + xn, tres casos de normas
sobre Vn son las siguiente:
a) fN(v) = √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 , llamada ‘norma
Euclídea)
b) fN(v) = |x1| + |x2| + … +|xn| , donde |xi| es el valor
absoluto.
c) fN(v) = máx{|x1| + |x2| + … + |xn|}
Comprobación: Caso a)
fN(v) > 0, si v≠ 0, fN(v) = 0 si v = 0, evidentemente.
v + w = (x1+y1).e1 + (x2+y2).e2 + … + (xn+yn).en
178
Sea el valor k = fN(v + w) =
√(𝑥1 + 𝑦1)2 + (𝑥2 + 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)2 , y los valores
k1 = √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 ,
k2 = √𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2
Suponiendo que sí se cumple: k ≤ k1 + k2 -- >
elevando al cuadrado
k2 = 𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 + 𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2 +
+ 2.(x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) ≤
≤ (𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2) + (𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2) +
+ 2. √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 . √𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2 -- >
(x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) ≤
≤ √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 . √𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2
Si (x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) es negativo se cumple,
evidentemente.
Si (x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn) es positivo,
elevando al cuadrado los dos miembros de la última
desigualdad, sigue cumpliéndose esta desigualdad y entonces:
(𝑥1. 𝑦1)2 + (𝑥2. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛. 𝑦𝑛)2 +
+ 2. [(𝑥1. 𝑦1). (𝑥2. 𝑦3) + (𝑥1. 𝑦1). (𝑥3. 𝑦3) + ⋯ ] ≤
≤ (𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2) . (𝑦12 + 𝑦22 +⋯+ 𝑦𝑛2) -- >
(𝑥1. 𝑦1)2 + (𝑥2. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛. 𝑦𝑛)2 +
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
179
+ 2. [(𝑥1. 𝑦1). (𝑥2. 𝑦2) + (𝑥1. 𝑦1). (𝑥3. 𝑦3) +⋯ ] ≤
≤ (𝑥1. 𝑦1)2 + (𝑥1. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥1. 𝑦𝑛)2 + (𝑥2. 𝑦1)2 +⋯
… +(𝑥𝑛. 𝑦1)2 + (𝑥𝑛. 𝑦2)2 +⋯+ (𝑥𝑛. 𝑦𝑛)2
Al miembro derecha le resto el miembro izquierda y tengo
0 ≤ [(𝑥1. 𝑦2)2 + (𝑥1. 𝑦3)2 +⋯+ (𝑥2. 𝑦1)2 +⋯] –
-2.[(x1.y1).(x2.y2) + (x1.y1).(x3.y3) + … ] =
= (x1.y2 – x2.y1 + (x1.y3) – (x3.y1) + … )2 , que es siempre
mayor o igual que cero.
||k.v|| = √(𝑘. 𝑥1)2 + (𝑘. 𝑥2)2 +⋯+ (𝑘. 𝑥𝑛)2 =
= |k|. √𝑥12 +⋯+ 𝑥𝑛2 , evidentemente.
Caso b): || v || = |x1| + |x2| + … + |xn| ≥ 0 , evidente, y es = 0
cuando v = 0 y sólo entonces.
|| v + w || = |x1+y1| + |x2+y2| + … + |xn+yn| ≤
≤ |x1| + |x2| + … + |xn| + |y1| + |y2| + … + |yn| =
= ||v|| + ||w||
180
|| k.v || = |k.x1| + |k.x2| + … + |k.xn| = |k| .( |x1| + |x2| + … +
|xn|) = |k| . || v ||
Caso c): || v || = máx{|x1| + |x2| + … +|xn|} ≥ 0, evidentemente,
y será > 0 siempre v ≠ 0. Si fuese
máx{|x1| + |x2| + … +|xn|} = 0 serían cero cada |xi| , y
entonces v = 0.
|| v + w || = máx{|x1+y1| + |x2+y2| + … +|xn+yn|} ≤ (evidente)
≤ máx{|x1| + |x2| + … +|xn|} + máx{|y1| + |y2| + … …+|yn|}
Tener en cuenta que |x1+y1| ≤ |x1| + |y1| , ya que |xi| es el
valor absoluto en R.
Es evidente que || k.v || = máx{|kx1| + |kx2| + … + |k.xn|} =
= máx{|k|.|x1| + |k|.|x2| + … + |k|.|xn|} =
= |k| . máx{|x1|+ …+|xn|} = |k| . || v ||
--------------
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
181
7.2.- Norma hermítica en un Espacio vectorial sobre el
cuerpo de los complejos.
Si tomásemos la definición del caso a), para la segunda
condición tendríamos, para v = z1.e1 + z2.e2 (en el Espacio
vectorial de dimensión 2)
fN(v) = √𝑧12 + 𝑧22 , tomando, por ejemplo, z1 = 4 + i, z2 =
1- 4i, tendríamos
fN(v) = √(4 + 𝑖)2 + (1 − 4𝑖)2 =
= √(16 − 1 + 8𝑖) + (1 + (−16) − 8𝑖) = √0 = 0,
y sin embargo v = (4+i).e1 + (1-4i).e2 ≠ 0
Por lo tanto no cumple la segunda condición.
Para solucionarlo convenimos tomar la siguiente definición.
Def.:
Llamamos ‘norma hermítica’ definida en V2 = C2 , C cuerpo de
los complejos, con coeficientes complejos, al valor real
fN(v) = √𝑧1. 𝑧1′ + 𝑧2 . 𝑧2′ , donde zi’ es el
conjugado de zi .
Sabemos que (a+bi).(a-bi) = a2 + b
2 = distancia d(P,Q) = |z1| y
lo mismo para la segunda coordenada (en C complejos) z2.
(figura)
182
7.3.- Introducción al concepto general de Espacio Euclídeo
En lo que sigue, salvo se diga otra cosa, tomamos la norma
llamada euclídea: || v || = √𝑥12 + 𝑥22 +⋯+ 𝑥𝑛2 , y
consideramos que n = 3 con el fin de poder concretar más.
Producto escalar de dos vectores:
Def.:
Dados dos vectores v, w de V3, definimos un producto v.w que
llamamos ‘producto escalar’ de dos vectores, asociándole el
valor real
v.w = ||v||.||w||.cos(g), donde g es el ángulo formado por
v y w (figura)
fig. 1
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
183
No debemos confundirlo con el concepto de Norma. Veremos
propiedades que se cumplen.
Propiedades:
a) v.v = ||v||.||v||.cos(0) = ||v||2 ≥ 0, siendo cero sólo si
v = 0.
b) v.w = ||v||.||w||.cos(g) = ||w||.||v||.cos(g) = w.v , por lo
tanto es conmutativo.
c) Si k > 0, (k.v).w = ||k.v||.||w||.cos(g) =
= |k|.(||v||.||w||).cos(g) = k.(v.w)
Si k < 0, (k.v).w = ||k.v||.||w||.cos(180-g) =
= |k|.(||v||.||w||).(-cos(g)) = -k.(||v||.||w||).(-cos(g)) =
= k.(||v||.||w||).cos(g) = k.(v.w)
Por lo tanto, cualquiera que sea k, (k.v).w = k.(v.w),
que es la propiedad homotética.
fig. 2
Para la siguiente observa la suma w1 + w2 en la figura
184
d) v.(w1 + w2) = ||v||.||w1 + w2||.cos(g) =
= proy((w1+w2)/v) = proy(w1/v) + proy(w2/v) =
= v.w1 + v.w2, que es la propiedad distributive.
e) Consecuencia de c) y d) es la siguiente:
Para todo par de vectores v, w1, w2 , y todo par de
escalares k, h, se cumple
v.(k.w1 + h.w2) = k.(v.w1) + h.(v.w2)
Expresión matricial respecto de una base de vectores:
Sea una base de V3, B = {e1, e2, e3}, y sean los vectores y su
expresión en esta base
v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3,
w = y1.e1 + y2.e2 + y3.e3
Entonces
v.w = (x1.y1).(e1.e1) + (x1.y2).(e1.e2) + (x1.y3).(e1.e3) +
+ (x2.y1).(e2.e1) + …+ (x3.y1).(e3.e1) + …
+ (x3.y3).(e3.e3)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
185
No es difícil comprobar que este resultado podemos expresarlo
matricialmente así
v.w = (x1 x2 x3).(𝑒1. 𝑒1 𝑒1. 𝑒2 𝑒1. 𝑒3𝑒2. 𝑒1 𝑒2. 𝑒2 𝑒2. 𝑒3𝑒3. 𝑒1 𝑒3. 𝑒2 𝑒3. 𝑒3
).(
𝑦1𝑦2𝑦3)
(1)
Abreviadamente v.w = X.M.Yt
Base ortogonal:
Se puede demostrar que en V3 existen bases que llamamos
‘ortogonales’ porque cumplen que
ei . ej = 0 , cuando i ≠ j
Entonces la matriz M = ( 𝑒1. 𝑒1 0 00 𝑒2. 𝑒2 0 0 0 𝑒3. 𝑒3
)
186
Base normada:
También puede ocurrir que la base B ser normada y no sea
ortognal:
|| ei || = 1, {
𝑔1 = 𝑎𝑛𝑔(𝑒1, 𝑒2)
𝑔2 = 𝑎𝑛𝑔(𝑒2, 𝑒3)
𝑔3 = 𝑎𝑛𝑔(𝑒1, 𝑒3)
Entonces: e1.e2 = cos(g1) , e1.e3 = cos(g3), e2.e3 = cos(g2)
y la matriz queda así
M = (
1 cos (𝑔1) cos (𝑔3) cos (𝑔1) 1 cos (𝑔2)
cos(𝑔3) cos(𝑔2) 1 )
Base ortonormal:
Si la base B es además ortonormal, es decir
ei . ej = { 1 , 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 0 , 𝑠𝑖 𝑖 ≠ j
la matriz M toma la forma M = ( 1 0 00 1 0 0 0 1
)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
187
Entonces v.w = x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 , en base ortonormal.
(2)
En la práctica la base anterior de representa por B = {i, j, k}
En este recorrido no olvidemos que el punto de partida es la
elección de una norma definida en V3. Hemos tomado la llamada
‘norma euclídea’ : || v || = √𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 , pero podríamos
haber tomado otra, y lo dicho hasta aquí sigue siendo válido.
7.4.- Espacio Euclídeo ordinario
Def.:
Llamaremos Espacio Euclídeo al espacio vectorial Vn dotado de
una norma fN y de un producto escalar v.w asociado a esta
norma fN.
NOTA: Es necesario aclara lo siguiente.
En el producto escalar v.w = || v ||.|| w ||.cos(g) intervienen
la norma || ||, es decir la fN elegida, y el ángulo g. El ángulo g
comprendido entre los dos vectores v, w, hasta este momento,
sólo es posible obtener su valor si los representamos sobre un
188
plano y utilizamos el ‘medidor’ o ‘trasportador’ de ángulos
(Escala obtenida sobre el círculo al dividirlo en 360 partes
iguales). Podemos interiorizar una imagen de esta situación
gracias a que, habitualmente, pensamos ‘sobre’ un plano
coordenado (en realidad euclidiano).
-----------
Más adelante definiremos el concepto de ‘ángulo’ para una norma
cualquiera.
En este espacio euclídeo E3 concreto que acabamos de construir,
el valor v.w del producto escalar no depende de la base B
tomada, ya que en la definición v.w = |v|.|w|. cos(g) el módulo
y el ángulo no dependen de la base.
7.5.- En general: Espacio Euclídeo
Sea Vn un Espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números
reales.
Def.:
Llamamos producto escalar definido en Vn a toda aplicación
fe : Vn x Vn ------------- > R
(v, w) ----------- > fe(v, w), designado v*w
que cumpla los siguientes axiomas:
a) v*v ≥ 0, siendo v*v = 0 sólo si v = 0
b) v*w = w*v , conmutatividad
c) (k.v)*w = k.(v*w) , homotética
d) v*(w1 + w2) = v*w1 + v*w2, distributiva
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
189
Consecuencias: v*(k.w1 + h.w2) = k.(v*w1) + h.(v*w2)
v*0 = 0, ya que v*w = v*(w + 0) = v*w + v*0
Def.:
Llamamos Espacio Euclídeo al espacio vectorial Vn dotado de
un producto escalar. Lo designaremos por En .
Expresión del producto escalar en una base:
Con el fin de que el razonamiento resulte más inteligible al
alcance del Alumno lo hacemos sobre V3 de dimensión 3.
Como vimos en el punto anterior, en V3, si B = {e1, e2, e3} es
una base y tengo v, w expresados en esta base
v = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3, w = y1.e1 + y2.e2 + y3.e3
Entonces
v*w = (x1 x2 x3).(𝑒1 ∗ 𝑒1 𝑒1 ∗ 𝑒2 𝑒1 ∗ 𝑒3𝑒 ∗ 𝑒1 𝑒2 ∗ 𝑒2 𝑒2 ∗ 𝑒3𝑒3 ∗ 𝑒1 𝑒3 ∗ 𝑒2 𝑒3 ∗ 𝑒3
).(
𝑦1𝑦2𝑦3)
(1)
Abreviadamente v*w = X.M.Yt
Ortogonalidad:
Decimos que los vectores v, w son ‘ortogonales’ si v*w = 0
Norma de v en un Espacio euclídeo:
Definimos ‘norma’ de v mediante la igualdad
190
|| v || = √𝑣 ∗ 𝑣
Seminorma de v:
Llamamos ‘seminorma’ de v al valor || v ||2 = v*v
Algunas propiedades que relacionan el producto * y la
norma:
1) | v*w | ≤ || v ||.|| w || (Desigualdad de Schwartz)
Dem.: (k.v + w)*(k.v + w) ≥ 0 -- >
k2.(v*v) + w*w + 2.k.(v*w) ≥ 0
Llamando a = v*v, b = v*w, c = w*w, tengo:
a.k2 + 2b.k + c ≥ 0
cualquiera que sea el valor de k. Esto significa que la gráfica de
f(x) = a.x2 + 2b.x + c no corta al eje ox , y por tanto que la
ecuación
a.x2 + 2b.x + c = 0 no admite solución real.
Entonces su discriminante 4.b2 – 4.a.c < 0, de donde
b2 – a.c < 0, de donde b
2 < a.c , es decir
(v*w)2 < (v*v).(w*w), de donde |v*w| < √𝑣 ∗ 𝑣 . √𝑤 ∗ 𝑤 ,
esto es
| v*w | ≤ || v ||.|| w ||
2) || v + w || ≤ || v || + || w || (Desigualdad triangular)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
191
Dem.: || v + w ||2 = (v + w)*(v + w) = v*v + 2.(v*w) + w*w =
= || v ||2 + || w ||
2 + 2.(v*w) ≤ || v ||
2 + || w ||
2 + 2.|| v ||.|| w || =
= (|| v || + || w ||)2 , y por tanto, || v + w ||
2 ≤ (|| v || + || w ||)
2 ,
de donde || v + w || ≤ || v || + || w ||
3) || v – w || ≥ || v || - || w || Desigualdad de la resta
Dem.: Tomo v = v – w + w ; tengo || v || = || (v – w) + w || ≤
≤ || v - w|| + || w || , de donde || v || - || w || ≤ || v – w ||
7.6.- Concepto de ángulo en un Espacio Euclídeo cualquiera:
La Desigualdad de Schwartz | v*w | ≤ || v ||.|| w || nos permite
expresar
-|| v ||.|| w || ≤ v*w ≤ || v ||.|| w || , y dividiendo por
|| v ||.|| w || resulta -1 ≤ 𝑣∗𝑤
||𝑣||.||𝑤|| ≤ 1
Vemos que cuando el par de vectores v, w recorre el espacio
vectorial Vn, el recorrido de los valores los valores 𝑣∗𝑤
||𝑣||.||𝑤|| es el
mismo que el del seno y coseno definidos geométricamente ya
conocidos. Además, cuando w = v, entonces v*w = v*v = ||v||2
192
, y el valor del cociente es 1, como corresponde al cos(0),
siendo 0 el ángulo formado por v, v.
Esto nos induce a dar la siguiente definición de ángulo en el caso
de un Espacio euclídeo cualquiera.
Def.:
Hacemos cos(g) = 𝑣∗𝑤
||𝑣||.||𝑤|| , de donde g = arcCos(
𝑣∗𝑤
||𝑣||.||𝑤|| ) ,
para dos vectores v, w cualesquiera.
7.7.- Ortogonalidad y normalización.
Volvemos a los conceptos de vectores ortogonales, vector normal.
Se trata de repetir:
v, w son ortogonales si v*w = 0.
v es normal si v*v = 1
La base B = {e1, e2, … , en} es ortogonal si
ei*ej = 0 siempre que i ≠ j
La base B = {e1, e2, … , en} es ortonormal si
ei*ej = 0 siempre que i ≠ j
ei * ei = 1 , para todo i
Expresión matricial del producto escalar:
Se trata de repetir lo dicho en otro lugar ya tratado
v*w = (x1 x2 x3).(𝑒1 ∗ 𝑒1 𝑒1 ∗ 𝑒2 𝑒1 ∗ 𝑒3𝑒 ∗ 𝑒1 𝑒2 ∗ 𝑒2 𝑒2 ∗ 𝑒3𝑒3 ∗ 𝑒1 𝑒3 ∗ 𝑒2 𝑒3 ∗ 𝑒3
).(
𝑦1𝑦2𝑦3)
y si la base es ortogonal
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
193
M = ( 𝑒1. 𝑒1 0 00 𝑒2. 𝑒2 0 0 0 𝑒3. 𝑒3
), y si es ortonormal
M = ( 1 0 00 1 0 0 0 1
)
NOTA:
Observa que si las matrices P y Q son ortogonales también
lo es P.Q. En efecto, tengo (P.Q).(P.Q)t = (P.Q).(Q
t.P
t) =
(por la asociativa) = P.(Q.Qt).P
t = P.I.P
t = P.P
t = I
$$$oOo$$$
194
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
195
TEMA 8
Transformaciones geométricas en el plano
196
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
197
8.0.- Transformaciones geométricas. Conceptos básicos
Conceptos básicos.
Defi.:
Transformación geométrica en el plano es una ‘Aplicación
biyectiva’ del plano en sí mismo:
T: R2 -- > R
2
P --- > P’ = T(P)
Ecuaciones de la transformación:
Tratamos sólo aquellas transformaciones ‘lineales’, lo cual
significa que sus ecuaciones toman la forma
{𝑥′ = 𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 + 𝑏1
𝑦′ = 𝑎21. 𝑥 + 𝑎22. 𝑦 + 𝑏2
En forma matricial (convenio vector–columna)
(𝑥′
𝑦′) = (
𝑏1𝑏2) + (
𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
) . (𝑥𝑦)
Problema con la Orientación:
Una transformación puede o no conservar la orientación de los
ángulos. Esto obliga a distinguir entre
-Transformación ‘positiva’ si conserva la orientación de
los ángulos
-Transformación ‘negativa’ si cambia la orientación de
los ángulos.
198
Isometría:
De aquellas transformaciones que conservan las distancias
decimos que son ‘una Isometría’, y, en este caso, además de
conservar las distancias, se cumple que:
-Transforma ‘una recta’ en ‘otra recta’
-Si es positiva conserva el valor y la orientación de los
ángulos.
-Si es negativa, conserva el valor de los ángulos pero
cambia su orientación.
Puntos fijos:
Son aquellos que permanecen ‘fijos’ en la transformación.
Elementos fijos:
Son aquellas rectas, circunferencias, ..., etc. que resultan
transformados en sí mismos.
Elemento doble:
Es aquel que se transforma es sí mismo aunque sus puntos no
sean puntos fijos.
8.1.- Traslación en el Plano
Defi.:
Traslación de vector v es una transformación geométrica del
plano que a cada punto P le asocia el punto P’ tal que
OP’ = OP + v
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
199
Traslación de un punto:
Tengo un punto P(x,y) y un vector fijo v = (a,b) (vector de
traslación):
R2 -> R
2
P --> P’ = OP + v
(x’, y’) = (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b)
Traslación de una región:
Para trasladar una región R trasladamos cada uno de sus puntos
de su perímetro. La traslación conserva las distancias y por tanto
el ‘tamaño’ de la región y su forma no varían. Si R está limitada
por segmentos (aristas), en cuyo caso tendrá sus vértices, es
suficiente trasladar estos vértices y unirlos mediante segmentos.
Tenemos así la trasladada. Si es curvilínea, el valor del radio no
varía por lo que trasladamos los puntos esenciales y trazamos los
segmentos y arcos correspondientes.
Matricialmente la traslación queda definida así:
(𝑥′
𝑦′) = (
𝑎𝑏) + (
1 00 1
) . (𝑥𝑦)
La expresaremos también en la forma
200
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝑎 1 0𝑏 0 1
) . (1𝑥𝑦) (1)
Evidentemente es una isometría y conserva la orientación.
No tiene puntos fijos, transforma recta en recta, circunferencia en
circunferencia con el mismo radio, etc..
8.2.- Giro con Centro C(x0, y0)
Defi.:
Llamamos ‘Giro con centro en C y amplitud g a una
transformación geométrica del plano que a cada punto P le asocia
el punto P’ determinado por la siguientes condiciones:
- d(C, P’) = d(C, P)
- ang(PCP’) = g, (orientación positiva)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
201
Vectorialmente tenemos
OP’ = OC + CP’
Tomando coordenadas polares tenemos
r = mod(CP) = d(C, P)
x - x0 = r.cos(t)
y - y0 = r.sen(t)
Para P’ tengo: x’- x0 = r.cos(t+g)
y’- y0 = r.sen(t+g)
Por trigonometría tenemos:
r.cos(t+g) = r.[cos(t).cos(g) – sen(t).sen(g)] = x.cos(g) – y.sen(g)
r.sen(t+g) = r.[sen(t).cos(g) + cos(t).sen(g)] = x.sen(g) + y.cos(g)
por tanto queda:
x’- x0 = (x-x0).cos(g) – (y-y0).sen(g)
y’- y0 = (x-x0).sen(g) + (y-y0).cos(g)
o bien
202
x’ = x0 + (x-x0).cos(g) – (y-y0).sen(g)
y’ = y0 + (x-x0).sen(g) + (y-y0).cos(g)
Matricialmente
(𝑥′
𝑦′) = (
𝑥0𝑦0) + (
𝑐𝑜𝑠(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔)).(𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0
)
o bien
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝑥0 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)).(
1𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0
)
Es una isometría y conserva la orientación de los ángulos.
-El único punto fijo es C
-Las rectas que pasan por C son elementos dobles
Represento los valores fijos
A = x0.(1- cos(g)) + y0.sen(g)
B = -x0.sen(g) + y0.(1- cos(g)
con lo cual
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝐴 cos(𝑔) − sen(g)
𝐵 sen(g) cos (𝑔)).(
1𝑥𝑦) (2)
Determinación de un giro:
Queda determinado en cualquiera de estas dos situaciones:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
203
-Conocemos el centro C y la imagen P’ de un punto P. Porque
podemos obtener el ángulo que forman CP con CP’.
-Conocemos las imágenes P’, Q’ de dos puntos P, Q. Porque
el punto común de la recta determinada por P y Q, y la
determinada por P’ y Q’, es el centro C del giro.
8.3.- Simetría central (en el plano)
Defi.:
Fijado un punto C, llamamos ‘Simetría
central’ con centro C a la transformación que a cada punto P
asocia el punto P’ determinado por estas dos condiciones:
- Los puntos P, C y P’ están alineados (son colineales)
- ang(PCP’) = 180º (orientación positiva)
204
Es un caso particular de giro en el que g = 180º
Sabemos que para el giro g queda
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝐴 cos(𝑔) − sen(g)
𝐵 sen(g) cos (𝑔)).(
1𝑥𝑦)
donde A = x0.(1-cos(g)) + y0.sen(g)
B = -x0.sen(g) + y0.(1-cos(g)
Si g = 180º , queda A = 2.x0, B = 2.y0, y por tanto para la
simetría central
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 02𝑥0 − 1 02𝑦0 0 − 1
).(1𝑥𝑦)
8.4.- Simetría axial
Defi.:
Fijada un recta s llamamos ‘Simetría axial’ de eje s a una
transformación geométrica del plano que a cada punto P le asocia
el punto P’ determinado por las siguientes condiciones:
- El punto P’ está en la recta r perpendicular a s que pasa por P, y
al otro lado de s.
- Las distancias de P y P’ a la recta s son iguales (en valor
absoluto)
- d(P’, s) = d(P, s)
Se resumen en una sola: Dado P, su imagen P’ es tal que s es la
mediatriz del segmento PP’.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
205
Llegamos a la ecuación matricial
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝐴 cos ((2𝑔) 𝑠𝑒𝑛(2𝑔)
𝐵 𝑠𝑒𝑛(2𝑔) − cos (2𝑔)) . (
1𝑥𝑦)
NOTA: En el APÉNDICE 1 quedan incluidas Demostraciones y
Ejemplos concretos e interesantes de este Tema 5 dedicado a las
Transformaciones en el Plano.
8.5.- Movimiento en el Plano
Defi.:
Un Movimiento es la aplicación sucesiva de Traslación + Un
giro, o Giro + Traslación.
Será ‘movimiento directo’ si conserva la orientación de los
ángulos. También llamado ‘movimiento positivo’.
Será ‘movimiento inverso’ si conservando el valor de los ángulos
cambian su orientación. También llamado ‘movimiento negativo’.
Es una isometría, evidentemente.
206
Si la traslación viene definida por el vector v = (a, b), su imagen
es OP’ = (x+a, y+b).
Si el giro tiene centro en C(x0, y0), entonces la expresión general
de un movimiento, aplicado al punto P(x, y), es
OP’’ = OC + G(OP’-OC)
Matricialmente, Traslación + Giro
(𝑥′
𝑦′) = (
𝑥0𝑦0) + (
𝑐𝑜𝑠(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔)).(𝑥 + 𝑎 − 𝑥0𝑦 + 𝑏 − 𝑦0
)
o bien (1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝑥0 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
1𝑥 + 𝑎 − 𝑥0𝑦 + 𝑏 − 𝑦0
)
Llamando
A = x0 + (a-x0).cos(g) - (b-y0).sen(g)
B = y0 + (a-x0).sen(g) + (b-y0).cos(g)
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝐴 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
1𝑥𝑦)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
207
Si lo aplico a una figura en el plano, por ejemplo un triángulo,
tengo la siguiente figura:
Esta composición No es conmutativa:
La siguiente figura muestra Giro + Traslación
y la ecuación quedaría así
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝑥0 + 𝑎 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦0 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
1𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0
)
A = x0+a –x0.cos(g) + y0.sen(g)
B = y0+b –x0.sen(g) –y0.cos(g)
208
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝐴 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
1𝑥𝑦)
8.6.- Homotecia en el plano
No se trata de ‘desplazarlo’ ni de ‘girarlo’ sino de modificar su
‘tamaño’ (sus medidas) y por tanto modifica su ‘superficie’ y/o su
‘volumen’. No es isometría.
La homotecia también exige un ‘punto central’ fijo, desde donde
actúa. Este será el ‘Centro de la homotecia’
Definición:
Fijados un punto C y un valor real k, llamamos homotecia a una
transformación geométrica que a cada punto P le asocia el punto
P’ tal que
CP’ = k.CP (vectores)
H: V2 -- > V2
OP -- > OP’
Vectorialmente:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
209
OC + CP’ = OC + k.CP
(x0, y0)+(x’-x0, y’-y0) = (x0, y0) + k.(x-x0, y-y0), o bien
(x’, y’) = (x0, y0) + k.(x-x0, y-y0)
{𝑥′ = 𝑥0 + 𝑘. (𝑥 − 𝑥0)
𝑦′ = 𝑦0 + 𝑘. (𝑦 − 𝑦0)
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝑥0 𝑘 0𝑦0 0 𝑘
) . (1
𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0
)
Hago A = x0.(1-k)
B = y0.(1-k)
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0𝐴 𝑘 0𝐵 0 𝑘
) . (1𝑥𝑦)
Efecto sobre una figura plana:
La Homotecia transforma siempre una figura en otra semejante.
$$$$oOo$$$$
210
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
211
TEMA 9
Transformaciones geométricas en el Espacio
212
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
213
9.0.-
Defi.: Conceptos básicos.
Transformación geométrica en el plano es una ‘Aplicación
biyectiva’ del plano en sí mismo:
T: R3 -- > R
3
P --- > P’ = T(P)
Ecuaciones de la transformación:
Tratamos sólo aquellas transformaciones ‘lineales’, lo cual
significa que sus ecuaciones toman la forma
{
𝑥′ = 𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 + 𝑎13. 𝑧 + 𝑏1
𝑦′ = 𝑎21. 𝑥 + 𝑎22. 𝑦 + 𝑎23. 𝑧 + 𝑏2
𝑧′ = 𝑎31. 𝑥 + 𝑎32. 𝑦 + 𝑎33. 𝑧 + 𝑏3
En forma matricial (convenio vector–columna)
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (𝑏1𝑏2𝑏3) + (
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) . (𝑥𝑦𝑧)
Problema con la Orientación:
Una transformación puede o no conservar la orientación de los
ángulos. Esto obliga a distinguir entre
-Transformación ‘positiva’ si conserva la orientación de
los ángulos
-Transformación ‘negativa’ si cambia la orientación de
los ángulos.
Isometría:
De aquellas transformaciones que conservan las distancias
214
decimos que son ‘una Isometría’, y, en este caso, además de
conservar las distancias, se cumple que:
-Transforma ‘una recta’ en ‘otra recta’
-Si es positiva conserva el valor y la orientación de los
ángulos.
-Si es negativa, conserva el valor de los ángulos pero
cambia su orientación.
Puntos fijos:
Son aquellos que permanecen ‘fijos’ en la transformación.
Elementos fijos:
Son aquellas rectas, circunferencias, ..., etc. que resultan
transformados en sí mismos.
Elemento doble:
Es aquel que se transforma es sí mismo aunque sus puntos no
sean puntos fijos.
9.1.- Traslación de un punto. Traslación de un sólido
Defi.:
Fijado un vector v, llamamos ‘traslación de vector v’ a la
transformación geométrica que a cada punto P asocia el punto P’
determinado por la siguiente condición
OP’ = OP + v (vectorialmente)
R3 -- > R
3
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
215
P -- > P’ tal que OP’ = OP + v
(x’, y’, z’) = (x, y, z) + (a, b, c)
Matricialmente
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (1 0 00 1 00 0 1
) . (𝑥𝑦𝑧) + (
𝑎𝑏𝑐)
o bien
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) = (
1 1 0 0𝑎 1 0 0𝑏 0 1 0𝑐 0 0 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
- Es una isometría directa (ó positiva)
- Transforma recta en recta, plano en plano, circunferencia en
circunferencia
9.2.- Simetría especular
Tenemos un plano m fijo, que va a ser el ‘plano de simetría’.
Defi.:
Fijado un plano m, llamamos ‘simetría especular’ a la
216
transformación que a cada punto P (del espacio), asocia el punto
P’ determinado por las siguientes condiciones:
-El punto P’ pertenece a la recta r que pasa por P y es
perpendicular al plano m.
-Las distancias de P y de P’ al plano m son iguales en valor
absoluto: -d(P’,m) = d(P,m)
Se pueden resumir en la única condición: “El plano especular m
es perpendicular al segmento PP’ y lo corta por su punto medio”.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
217
Su efecto es el de un espejo plano (figura)
La simetría especular es una isometría pero cambia la orientación
de los ángulos.
Puntos fijos son los del plano m, rectas fijas las que yacen sobre
m. El único plano fijo es m.
Transforma rectas en rectas, planos en planos
(La circunferencia no es elemento fijo, salvo si está sobre m)
Ecuación de la Simetría especular:
Será demostrada en el Apéndice 2.
Sea n->
= (n1, n2, n3) el vector unitario ortogonal al plano m
(
1x′y′
z′
) = (
1 0 0 0A B I − 2NC
) . (
1xyz
)
donde A, B, C pueden ser calculados imponiendo la condición de
‘punto fijo’ a un punto cualquiera del plano m de simetría. I es la
matriz unidad 3x3, y N es la matriz resultado del producto
siguiente:
N = (𝑛1𝑛2𝑛3).(n1,n2,n3) = (
𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32
)
218
9.3.- Giro alrededor de un eje. Giro alrededor
de alguno de los ejes del Sistema de coordenadas
Fijamos una recta s que será el eje de giro, y un ángulo g.
Defi.:
Llamamos ‘giro de eje s, y amplitud g, a la transformación
geométrica que a cada punto P asocia el punto P’ determinado por
las siguientes condiciones:
- El punto P’ está en el plano m que pasa por P y es perpendicular
a la recta s.
- En el plano m, ang(PCP’) = g, donde C es el punto de corte de s
con m
- P y P’ son equidistantes a la recta s: d(P’; s) = d(P; s)
NOTA: GIRO PLANO
Un giro como el descrito antes en el cual P y su imagen P’ están
en el mismo plano m perpendicular al eje s. Si no es así se llama
‘giro cónico’. En este trabajo un ‘giro’ será siempre un giro plano.
Propiedades (del giro alrededor de un eje):
-Es una isometría directa (conserva la orientación de los ángulos)
-Transforma recta en recta y plano en plano
-Sólo los planos perpendiculares a s, y las esferas con centro en s,
son ‘elementos dobles’
-Las rectas perpendiculares a s y que la cortan, también son
elementos dobles
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
219
-La composición de dos giros con el mismo eje s es otro giro con
eje s y amplitud g = g1 + g2
Ecuaciones del giro con eje una recta s:
Dada la dificultad para el caso general, las obtendremos
solamente cuando el eje s coincida con alguno de los ejes de
coordenadas.
Eje ox, giro g:
Tenemos: r = R.sen(t2)
Punto P, en polares:
x = R.cos(t2)
y = r.cos(t1)
z = r.sen(t1)
Después del giro, Punto P’:
x’ = x
y’ = r.cos(t1+g) = r.[cos(t1).cos(g) – sen(t1).sen(g)]
z’ = r.sen(t1+g) = r.[sen(t1).cos(g) + cos(t1).sen(g)]
Por tanto
220
x’ = x
y’ = y.cos(g) –z.sen(g)
z’ = y.sen(g) + z.cos(g)
Matricialmente: (vector fila)
(x’, y’, z’)= (x, y, z). (
1 0 00 cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔))
o bien
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 00 cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
0 𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
𝑥𝑦𝑧)
Eje oy, giro g:
Tenemos: r = R.sen(t2)
Punto P:
x = r.sen(t1)
y = R.cos(t2)
z = r.cos(t1)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
221
Después del giro, Punto P’:
y’ = y
x’ = r.sen(t1+g) = r.[sen(t1).cos(g) + cos(t1).sen(g)]
z’ = r.cos(t1+g) = r.[cos(t1).cos(g) - sen(t1).sen(g)]
Por tanto
x’ = x.cos(g) + z.sen(g)
y’ = y
z’ = - x.sen(g) + z.cos(g)
Matricialmente: (vector fila)
(x’, y’, z’) = (x, y, z). (cos(𝑔) 0 − sen(g)0 1 0
𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0 cos (𝑔))
o bien
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = ( cos (𝑔) 0 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
0 1 0−𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0 cos (𝑔)
) . (𝑥𝑦𝑧)
Eje oz, giro g:
r = R.sen(t2)
222
Punto P(x, y, z):
x = r.cos(t1)
y = r.sen(t1)
z = R.cos(t2)
Imagen: Punto P’
x’ = r.cos(t1+g)
y’ = r.sen(t1+g)
z’ = R.cos(t2)
Aplicando los conocimientos de trigonometría tengo:
x’ = r.[cos(t1).cos(g)–sen(t1).sen(g)] = x.cos(g) – y.sen(g)
y’ = r.[sen(t1).cos(g)+cos(t1).sen(g)] = y.cos(g) + x.sen(g)
z’ = z
Matricialmente (Criterio: Vector fila)
(x’, y’, z’) = (x, y, z).(cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0
−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos(𝑔) 0 0 0 1
)
o bien, en vector-columna:
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = ( cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0
𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔) 00 0 1
).(𝑥𝑦𝑧)
NOTA:
Se puede demostrar que si una matriz G corresponde a un giro, su
inversa G-1
y su traspuesta Gt coinciden.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
223
9.4.- Simetría axial en el espacio
Fijamos una recta s, que será el eje de simetría.
Defi.:
Llamamos ‘Simetría axial’ de eje s, a una transformación
geométrica que a cada punto P del espacio le asocia el punto P’
determinado por las siguientes condiciones:
- Por P trazamos el plano m perpendicular a s. El punto P’ ha de
estar en m
- La recta PP’, que yace sobre m, ha de ser perpendicular a s y
cortarla.
- Las distancias de P y de P’ a la recta s son iguales en valor
absoluto: -d(P’,C) = d(P,C), siendo C el punto de corte de la
recta PP’ con s.
NOTA:
Observa que coincide con un giro de eje s y g = 180º
Propiedades:
-Es una isometría directa
-Transforma rectas en rectas y planos en planos
-Sus puntos fijos son los puntos de s
-Las rectas perpendiculares a s son elementos dobles
-Los planos perpendiculares a s son elementos dobles
224
Ecuaciones de la simetría axial en el plano:
La demostraremos en el Apéndice 2.
Si n->
= (n1, n2, n3) es el vector unitario director del eje de
simetría (recta s), se llega a la ecuación matricial
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0𝐴 𝐵 − 𝐼 + 2𝑁 𝐶
) . (
1𝑥𝑦𝑧
)
donde A, B, C pueden ser calculados imponiendo la condición de
que un punto cualquiera de s es
punto fijo. I es la matriz unidad 3x3, y N es la matriz que resulta
del siguiente producto
N = (𝑛1𝑛2𝑛3).(n1,n2,n3) = (
𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32
)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
225
9.5.- Simetría central en el espacio
Fijamos un punto C, que será el centro de la Simetría.
Defi.:
Llamamos ‘simetría central’ con centro C, a una transformación
geométrica que a cada punto P asocia el punto P’ determinado por
las siguientes condiciones:
-Por P trazo la recta PC, y P’ ha de estar en esta recta.
- Las distancias de P y de P’ al punto C son iguales en valor
absoluto: -d(C, P’) = d(C, P)
Es una isometría inversa (cambia la orientación de los ángulos)
Propiedades:
-Las rectas que pasan por C son elementos dobles
-Los planos que pasan por C son elementos dobles
-Transforma una recta (que no pase por C) en otra recta paralela a
ella, y plano (que no pase por C) en plano paralelo.
226
La recta r se transforma en la recta r’ paralela a r. Entonces,
evidentemente transformará un plano, que no pase por C, en otro
plano paralelo a él.
Ecuaciones de la Simetría central en el espacio:
(Demostración en Apéndice 2)
Se llega a la expresión matricial
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 02. 𝑐1 − 1 0 02. 𝑐2 0 − 1 02. 𝑐3 0 0 − 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
donde C(c1, c2, c3) es el centro de la simetría.
9.6.- Movimiento en el Espacio
Defi.:
Un movimiento en el Espacio es la composición de
-Una Traslación + Un Giro
-Un Giro + Una Traslación
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
227
M: R3 --- > R
3
P --- > T(P) + G(T(P))
Es lo que también expresamos así:
M(P) = (G*T)(P)
En coordenadas tenemos
Para (G*T)(P): (𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = G.(𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝑐
)
donde G representa la matriz del giro.
En el caso de Giro + Traslación
(T*G)(P): (𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = G.(𝑥𝑦𝑧) + (
𝑎𝑏𝑐)
Si operamos aplicando el criterio vector-fila debemos expresarlo
como sigue
Para (P)(G*T): (x’, y’, z’) = (x, y, z).G + (a, b, c)
Para (P)(T*G): (x’, y’, z’) = (x+a, y+b, z+c).G
9.7.- Homotecia en el Espacio (Dilatación-Contracción)
No se trata de ‘desplazarlo’ ni de ‘girarlo’ sino de modificar su
‘tamaño’ (sus medidas) y por tanto modifica su ‘superficie’ y/o su
‘volumen’.
La homotecia exige un ‘punto central’, fijo, desde donde actúa;
será el ‘Centro de la homotecia’
228
H: V3 --- > V3
OC + CP --- > OC + k.CP
(xo, yo, zo) + (x-xo, y-yo, z-zo) -- > (xo, yo, zo) +
+ k.(x-xo, y-yo, z-zo)
o bien
(x, y, z) -- > (xo, yo, zo) + k.(x-xo, y-yo, z-zo)
Efecto sobre una superficie plana y sobre un cuerpo en el espacio:
Matricialmente:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
229
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1𝑥0𝑦0𝑧0
) + (
1 0 0 00 𝑘 0 00 0 𝑘 00 0 0 𝑘
) .(
1𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0𝑧 − 𝑧0
)
Hago A = x0.(1-k)
B = y0.(1-k)
C = z0.(1-k)
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0𝐴 𝑘 0 0𝐵 0 𝑘 0𝐶 0 0 𝑘
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
$$$oOo$$$
230
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
231
Tema 10
Cambio de Sistema de referencia en el plano
Cambio de Sistema de referencia en el espacio
232
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
233
10.1.- Cambio de Sistema de referencia en el Plano
10.1.1.- Traslación del Sistema de referencia
El punto P permanece fijo, y lo que cambian son sus coordenadas:
P(x, y) en el inicial, P(x’, y’) en el de llegada.
Dato: Las coordenadas del nuevo centro o’(a, b) respecto del s.r.
inicial.
La figura muestra que la relación es
{𝑥 = 𝑥′ + 𝑎𝑦 = 𝑦′ + 𝑏
10.1.2.- Giro con centro el origen o(0, 0)
Es fácil comprobar que: {𝑥 = 𝑥′. cos(𝑔) − 𝑦′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦 = 𝑥′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦′. cos (𝑔)
(x, y) = (x’, y’). (cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔))
234
También podemos expresarlo así:
(𝑥′
𝑦′) = (
cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
𝑥𝑦)
10.2.- Cambio de Sistema de referencia en el Espacio
De entrada conviene diferenciar entre ‘Transformación
geométrica’, en la que el Sistema de referencia no se modifica,
sino que son los puntos los que cambian de posición, y el
‘Cambio de Sistema de referencia’, en el que los puntos
permanecen fijos y lo que cambia es el Sistema de referencia.
10.2.1.- Traslación de Sistema de referencia
Realizo una traslación del Sistema de referencia R(O; X,Y,Z) de
modo que su origen O pase al punto O’, manteniendo los ejes
paralelos a sí mismos. Tenemos ahora el nuevo s. d. r.
R’(O’; x’, y’, z’) .
Esta traslación queda determinada por el vector v = OO’.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
235
Si el punto O’ tiene coordenadas (a, b, c) respecto del sistema
inicia, entonces v = (a, b, c).
Tomamos un punto cualquiera P y observamos sus coordenadas
en cada uno de estos dos s.d.r. Sea P(x, y, z) respecto de R y
P(x’ , y’, z’) respecto de R’ .
Entonces, evidentemente tengo (Observa la figura anterior)
{𝑥 = 𝑎 + 𝑥′
𝑦 = 𝑏 + 𝑦′
𝑧 = 𝑐 + 𝑧′
, {𝑥′ = 𝑥 − 𝑎𝑦′ = 𝑦 − 𝑏
𝑧′ = 𝑧 − 𝑐
,(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
)=(
1 0 0 0−𝑎 1 0 0−𝑏 0 1 0−𝑐 0 0 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
(1)
Observa la diferencia con el resultado obtenido en el caso de una
Transformación geométrica, caso de la traslación, donde
obtuvimos
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0𝑎 1 0 0𝑏 0 1 0𝑐 0 0 1
)
10.2.2.- Giro del Sistema de referencia sobre uno de sus ejes
Según el conocido como Teorema de Euler, un giro plano
cualquiera de un Sistema de referencia, se puede descomponer
como el producto de tres giros (planos) cuyos ejes sean alguno de
los ejes del Sistema de referencia actual en cada momento.
Llamo ‘giro simple’ al giro cuyo eje sea uno de los ejes de
coordenadas.
236
Con el fin de mostrar el efecto de un giro de este tipo realizamos
en primer lugar el giro del Sistema de referencia R(O; X,Y,Z)
alrededor del eje OZ, con amplitud g.
Teniendo en cuenta las coordenadas polares en cada uno de los
s.d.r.
r = R.sen(t2)
{
x = r. cos(t1)
y = r. sen(t1)
z = R. cos(t2) , {
x’ = r. cos(t1’)
y’ = r. sen(t1’)
z’ = R. cos(t2)
Teniendo en cuenta que t1 = g + t1’
x = r.[cos(t1’).cos(g) – sen(t1’).sen(g)]
y = r.[sen(t1’).cos(g) + cos(t1’).sen(g)]
z = z’
{𝑥 = 𝑥′. cos(𝑔) − 𝑦′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦 = 𝑥′. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦′. cos(𝑔)
𝑧 = 𝑧′
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
237
Matricialmente
(𝑥𝑦𝑧) = (
cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0
𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos(𝑔) 00 0 1
) . (𝑥′
𝑦′
𝑧′
)
y también
(𝑥′𝑦′
𝑧′
) = (−cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0
𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos(𝑔) 0 0 0 1
) . (𝑥𝑦𝑧)
Conviene no confundir con una Transformación geométrica
consistente en un giro, para el cual obtuvimos
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = ( cos(𝑔) − 𝑠𝑒𝑛(𝑔) 0
𝑠𝑒𝑛(𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑔) 00 0 1
).(𝑥𝑦𝑧)
Observa que las matrices son las traspuestas entre sí.
En los giros la traspuesta coincide con la inversa. Puede
comprobarlo el alumno.
NOTA IMPORTANTE:
Observa que hemos escrito las matrices según el convenio
‘vector-columna’. Para el convenio ‘vector-fila’, en cualquier
caso de los tratados, la matriz correspondiente es la traspuesta de
la obtenida, y recíprocamente.
$$$$oOo$$$$
238
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
239
APÉNDICE 1: Suplemento:
Sobre Transformaciones en el Plano
Simetría axial (en el Plano)
Sea s la recta eje de la simetría:
s: ax + by + c = 0
OP’ = OC + CP’
OP’ = OC – CP
CP = (x-x0,y-y0)
(x’, y’) = (x0, y0) –(x-x0, y-y0)
de donde
{𝑥′ = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 2. 𝑦0 − 𝑦
C es el punto medio del segmento PP’, sus coordenadas son
x0 = 𝑥+𝑥′
2 , y0 =
𝑦+𝑦′
2
de donde de nuevo
240
{𝑥′ = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 2. 𝑦0 − 𝑦
De la ecuación de la recta s sabemos que
w = (a, b) es ortogonal a la recta y que
v = (-b, a) es director de la recta
Tomo el vector director unitario
v = (n1, n2), donde n1 = −𝑏
√𝑎2+𝑏2 , n2 =
𝑎
√𝑎2+𝑏2
Debemos expresar las coordenadas (x0, y0) en función de las del
punto P, es decir, en función de (x, y)
Vectorialmente tengo
OC = OQ + k.v
{𝑥0 = 𝑞1 + 𝑘. 𝑛1𝑦0 = 𝑞2 + 𝑘. 𝑛2
y tengo ahora
CP = (x- (q1+k.n1), y- (q2+kn2))
Por ortogonalidad se ha de cumplir
0 = v*CP = n1.(x- (q1+ k.n1)) + n2.(y- (q2+ k.n2))
0 = (n1.x + n2.y) –(n1.q1 + n2.q2) –k.(n12 + n2
2),
y teniendo en cuenta que n12 + n2
2 = 1, despejo k
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
241
k = (n1.x + n2.y) –(n1.q1 + n2.q2)
y ahora tengo
{𝑥0 = 𝑞1 + 𝑛1. [(n1. x + n2. y)– (n1. q1 + n2. q2)]
𝑦0 = 𝑞2 + 𝑛2. [(n1. x + n2. y)– (n1. q1 + n2. q2)]
{𝑥0 = (𝑛12. 𝑥 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑦) − ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2)
𝑦0 = (𝑛2. 𝑛1. 𝑥 + 𝑛22. 𝑦) − (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2)
Observa que el punto Q(q1, q2) y el vector (n1,n2) vienen dados
al fijar el eje s de la simetría.
Volviendo a las expresiones de x’, y’ tengo
{𝑥′ = −𝑥 + 2. [(𝑛12. 𝑥 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑦) − ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2)]
𝑦′ = −𝑦 + 2. [(𝑛2. 𝑛1. 𝑥 + 𝑛22. 𝑦) − (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2)]
Represento
A = -2. ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2) B = -2. (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2) y así queda
{𝑥′ = −𝑥 + 2. (𝑛12. 𝑥 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑦) + 𝐴
𝑦′ = −𝑦 + 2. (𝑛2. 𝑛1. 𝑥 + 𝑛22. 𝑦) + 𝐵
Matricialmente X’ = S.X
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0 𝐴 2. 𝑛12 − 1 2. 𝑛1. 𝑛2𝐵 2. 𝑛2. 𝑛1 2. 𝑛22 − 1
).(1𝑥𝑦)
242
NOTA:
Si conocemos el ángulo g que s forma con el semieje positivo ox,
y la distancia de s al origen (0, 0) podemos utilizar lo siguiente.
n1 = cos(g), n2 = cos(g’) = sen(g)
2.n12 – 1 = 2.cos
2(g) –[sen
2(g)+cos
2(g)] =
= cos2(g)-sen
2(g) = cos(2g)
2.n22 - 1 = 2.sen
2(g) –[sen
2(g)+cos
2(g)] = sen
2(g)-cos
2(g) =
= -cos(2g)
2.n1.n2 = 2.cos(g).sen(g) = sen(2g)
A = -2.sen2(g).q1 –sen(2g).q2
B = -2.sen(2g).q1 -2.cos2(g).q2
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0 𝐴 cos (2𝑔) 𝑠𝑒𝑛(2𝑔)
𝐵 𝑠𝑒𝑛(2𝑔) − cos (2𝑔)).(
1𝑥𝑦)
X’ = S.X, donde S = (
1 0 0 𝐴 cos (2𝑔) 𝑠𝑒𝑛(2𝑔)
𝐵 𝑠𝑒𝑛(2𝑔) − cos (2𝑔))
-----------
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
243
Ejemplos: En el Plano
1.- Traslación de vector v = (2, 3)
(1𝑥′
𝑥′) = (
1 0 02 1 03 0 1
) . (1𝑥𝑦) , x’ = x +2, y’ = y +3
Un punto P(-3, 2): P’(-1, 5)
Una recta r: 3x -5y + 2 = 0
x = x’-2, y = y’-3
3.(x’-2) -5.(y’-3) + 2 = 0,
3x’ -5y’ + (-6+15+2) = 0,
Cambiando x’ por x, y’ por y, tengo finalmente
3x – 5y + 11 = 0
2.- Giro central C(2, 3), g = 60º
A = 2.(1-1/2) + 3.√3/2 = 1 + 3.√3/2 = 2+3.√3
2
B = 2.√3
2+ 3. (1 −
1
2) =
3+2.√3
2
(1𝑥′
𝑦′) =
(
1 0 0
𝐴 1
2
−√3
2
𝐵 √3
2
1
2)
. (1𝑥𝑦)
Para un punto P(3, 2), basta aplicarlo para x = 3, y = 2:
244
{𝑥′ = 𝐴 +
1
2. 3 +
−√3
2. 2
𝑦′ = 𝐵 +√3
2. 3 +
1
2. 2
Para una recta necesitamos despejar x e y en función de x’ e y’,
lo que equivale a obtener la matriz inversa de
G =
(
1 0 0
𝐴 1
2
−√3
2
𝐵 √3
2
1
2)
después operamos como antes.
Como un buen ejercicio vamos a obtener G-1
, si bien algunos
cálculos correrán a cargo del alumno.
Det(G) = (desarrollo por primera fila) =
= | 1
2
−√3
2
√3
2 1
2
| = 1
Adjunta de G: Obtengo Adj(G) =
(
1 −
4+3.√3
2
3
2
0 1
2
−√3
2
0 √3
2
1
2 )
Algunos cálculos:
+ | 1
2
−√3
2
√3
2 1
2
| = 1, -|
2+3√3
2 −√3
2
3+2√3
2 1
2
| = -4+3√3
2 , +|
2+3√3
2 1
2
3+2√3
2 √3
2
| = 3
2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
245
El alumno continuará y le sirve para practicar.
Hago la traspuesta de la adjunta, y, teniendo en cuenta que det(G)
= 1, nos da la inversa:
G-1
=
(
1 0 0
−4+3.√3
2
1
2
√3
2
3
2
−√3
2
1
2 )
(Hemos comprobado que G.G-1
= I , por tanto los cálculos son
correctos)
Ahora tengo
(1𝑥𝑦) =
(
1 0 0
−4+3.√3
2
1
2
√3
2
3
2
−√3
2
1
2 )
. (1𝑥′
𝑦′)
NOTA:
Para obtener la transformada de una recta será más cómodo
obtener las imágenes de dos de sus puntos y obtener después la
recta que pasa por éstos.
Recta r: 2x-3y+6 = 0, dos puntos son P1(0, 2), P2(-3, 0)
Transformados de estos puntos:
(1𝑥′
𝑦′) =
(
1 0 02+3.√3
2
1
2
−√3
2
3+2.√3
2
√3
2 1
2 )
.(1𝑥𝑦)
246
x’ = 2+3.√3
2+
1
2. 0 +
−√3
2. 2 =
2+√3
2
y’ = 3+2.√3
2+
√3
2. 0 +
1
2. 2 =
5+2.√3
2, P1’(
2+√3
2, 5+2.√3
2)
x’ = 2+3.√3
2+
1
2. −3 +
−√3
2. 0 =
−1+3.√3
2
y’ = 3+2.√3
2+
√3
2. −3 +
1
2. 0 =
3−√3
2, P2’(
−1+3.√3
2,3−√3
2)
Recta imagen: Vector director v’ = (v1, v2)
v1 = −1+3.√3
2−
2+√3
2=
−3+2.√3
2
v2 = 3−√3
2− 5+2.√3
2=
−2−3.√3
2
Por tanto v’ = (−3+2.√3
2,−2−3.√3
2)
r’: 2+3.√3
2.x +
−3+2.√3
2.y + c = 0
Sabiendo que pasa por P1’(2+√3
2, 5+2.√3
2) tengo
c = -[-2+3.√3
2.2+√3
2 +
−3+2.√3
2.5+2.√3
2 ] = -
5+6.√3
2
Finalmente: r’: 2+3.√3
2.x +
−3+2.√3
2.y -
5+6.√3
2 = 0
Veamos su gráfica:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
247
Pendiente de r’:
m’ = −(2+3.√3)
−3+2.√3 = -
(2+3.√3).(−3−2.√3)
9−12 =
−24−13.√3
3 ≅ −15,5
Pendiente de r: m = 2/3
Puntos conocidos: P1(0,2), P2(-3,0), y sus imágenes
P1’ ≅ (1,87; 4,23), P2’ ≅ (2,1; 0,63)
3.- Simetría central, Centro C(-2, 1)
Es un giro con g = 180º
M = -2.(1-(-1))+1.0 = -4
N = -2.0 + 1. (1 − (−1)) = 2
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0−4 − 1 02 0 − 1
) . (1𝑥𝑦)
A partir de aquí procedemos como en ejemplo 2
4.- Simetría axial, eje s: 2x -3y +5 = 0
248
Punto Q de s: Q(-1, 1), vector director v = (3, 2)
mod(v) = √13, Vector normalizado: n = (n1, n2), donde
n1 = 3
√13 , n2 =
2
√13
Sabemos que:
q1 = -1, q2 = 1
A = -2. ((𝑛12 − 1). 𝑞1 + 𝑛1. 𝑛2. 𝑞2) B = -2. (𝑛2. 𝑛1. 𝑞1 + (𝑛22 − 1). 𝑞2)
Cálculos:
2.n12-1 = 2.9/13 -1 = 5/13
2.n22-1 = 2.4/13 -1 = -5/13
2.n1.n2 = 2.6/13 = 12/13
n12-1 = 9/13 -1 = -4/13, -4/13.q1 = 4/13
n22-1 = 4/13 -1 = -9/13, -9/13.q2 = -9/13
n1.n2.q2 = 6/13.1 = 6/13
n1.n2.q1 = -1/13
A = -2.(4/13 + 6/13) = -20/13
B = -2.(-1/13 -9/13) = 20/13
Sustituimos estos valores en la matriz de
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0 𝐴 2. 𝑛12 − 1 2. 𝑛1. 𝑛2𝐵 2. 𝑛2. 𝑛1 2. 𝑛22 − 1
).(1𝑥𝑦)
y queda
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
249
(1𝑥′
𝑦′) = (
1 0 0
−20
13
5
13
12
13
20
13
12
13
−5
13
).(1𝑥𝑦)
Para un punto P(5, -1):
{𝑥′ =
−20
13+5
13. 5 −
12
13. 1 =
−7
13
𝑦′ = 20
13 +12
13. 5 +
5
13 =
85
13
P’(−7
13,85
13)
---------------
250
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
251
APÉNDICE 2 Suplemento: Sobre Transformaciones en el
Espacio
Simetría especular (Simetría respecto de un plano):
Ecuación del plano m: Ax + By + Cz + D = 0
Vectorialmente:
OP’ = OC + CP’
OP’ = OC – CP
{
𝑥′ = 𝑥0 − (𝑥 − 𝑥0) = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 𝑦0 − (𝑦 − 𝑦0) = 2. 𝑦0 − 𝑦
𝑧′ = 𝑧0 − (𝑧 − 𝑧0) = 2. 𝑧0 − 𝑧
Sea n->
= (n1, n2, n2) el vector unitario ortogonal al plano m
CP = k.(n1, n2, n3), donde k = d(P, m)
252
{𝑥 − 𝑥0 = 𝑘. 𝑛1𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑘. 𝑛2𝑧 − 𝑧0 = 𝑘. 𝑛3
Teniendo en cuenta que w = (A, B, C) es vector ortogonal a m,
/w/ = √𝐴2 +𝐵2 + 𝐶2 y por tanto
n1 = 𝐴
|𝑤|, 𝑛2 =
𝐵
|𝑤|, 𝑛3 =
𝐶
|𝑤|
La ecuación de m puedo escribirla así:
n1.x + n2.y + n3.z + 𝐷
|𝑤| = 0
Recordamos que la distancia de un punto Q(x1, y1, z1) al plano
m viene dada por el valor
d(Q, m) = n1.x1 + n2.y1 + n3.z1 + 𝐷
|𝑤|
y si Q es el origen de coordenadas (0, 0, 0) queda
d(Q, m) = 𝐷
|𝑤|
En lo que sigue represento d = 𝐷
|𝑤|, por comodidad.
Dicho lo anterior, para un punto P(x, y, z) cualquiera su distancia
d(P, m) al plano m viene representada por
k = n1.x + n2.y + n3.z + d
con lo cual el vector CP puede ser expresado así:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
253
CP = (n1.x + n2.y + n3.z + d) . (n1, n2, n3)
y por tanto tengo las igualdades
{
𝑥 − 𝑥0 = (n1. x + n2. y + n3. z + d). n1
𝑦 − 𝑦0 = (n1. x + n2. y + n3. z + d). n2
𝑧 − 𝑧0 = (n1. x + n2. y + n3. z + d). n3
Volviendo a la expresión OP’ = OC – CP, y para acercarme a ella,
escribo la anterior de la siguiente forma
{
𝑥0 = 𝑥 − (𝑛12x + n1n2y + n1n3z + n1d)
𝑦0 = 𝑦 − (n2n1x + 𝑛22y + n2n3z + n2d)
𝑧0 = 𝑧 − (n3n1x + n3n2y + 𝑛32z + n3d)
Sustituyendo en
{𝑥′ = 2. 𝑥0 − 𝑥𝑦′ = 2. 𝑦0 − 𝑦
𝑧′ = 2. 𝑧0 − 𝑧
y queda
{
𝑥′ = 𝑥 − 2. (𝑛12x + n1n2y + n1n3z + n1d)
𝑦′ = 𝑦 − 2. (n2n1x + 𝑛22y + n2n3z + n2d)
𝑧′ = 𝑧 − 2. (n3n1x + n3n2y + 𝑛32z + n3d)
agrupando las variables convenientemente nos queda
definitivamente
{
𝑥′ = −[(2. 𝑛12 − 1)x + 2. n1n2y + 2. n1n3z + 2. n1d]
𝑦′ = −[2. n2n1x + (2𝑛22 − 1)y + 2. n2n3z + 2. n2d]
𝑧′ = −[2. n3n1x + 2. n3n2y + (2. 𝑛32 − 1)z + 2. n3d]
Matricialmente :
254
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (𝑥𝑦𝑧) − 2. (
𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32
) − 2. (𝑛1. 𝑑𝑛2. 𝑑𝑛3. 𝑑
)
Llamando
A = -2.n1.d,
B = -2.n2.d,
C = -2.n3.d
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) =
= (
1 0 0 0𝐴 1 − 2. 𝑛12 − 2. 𝑛1. 𝑛2 − 2. 𝑛1. 𝑛3𝐵 − 2. 𝑛1. 𝑛2 1 − 2. 𝑛22 − 2. 𝑛2. 𝑛3𝐶 − 2. 𝑛3. 𝑛1 − 2. 𝑛3. 𝑛2 1 − 2. 𝑛32
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
que también podemos expresar así
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0𝐴 𝐵 𝐼 − 2𝑁 𝐶
) . (
1𝑥𝑦𝑧
)
donde N es la matriz obtenida como sigue
N = (𝑛1𝑛2𝑛3). (n1, n2, n3) = (
𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32
)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
255
Simetría axial en el espacio (Simetría respecto de un eje):
La recta s es el eje de la simetría
Ecuaciones de la simetría axial:
Si n->
= (n1, n2, n3) es el vector unitario director del eje de
simetría (recta s), llegamos a la ecuación matricial
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0𝐴 𝐵 − 𝐼 + 2𝑁 𝐶
) . (
1𝑥𝑦𝑧
)
donde el valor de A, B, C los calculamos más adelante. (Los
valores A, B, C podemos también calcularlos imponiendo la
condición de que un punto cualquiera de s es punto fijo). I es la
matriz unidad 3x3, y N es la matriz que resulta del siguiente
producto
N = (𝑛1𝑛2𝑛3). (n1, n2, n3) = (
𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32
)
256
Demostración:
Vectorialmente tengo OP’ = OC + CP’
OP’ = OC - CP
{𝑥′ = 𝑥0 − (𝑥 − 𝑥0) = 2𝑥0 − 𝑥𝑦′ = ⋯… .. = 2𝑦0 − 𝑦
𝑧′ = ⋯……. = 2𝑧0 − 𝑧
v = (a, b, c)
Tomo n->
, vector unitario director de la recta
n->
= (n1, n2, n3), n1 = 𝑎
|𝑣|, n2 =
𝑏
|𝑣|, n3 =
𝑐
|𝑣|
El vector n->
y el vector CP son ortogonales entre sí
0 = n1.(x-x0) + n2.(y-y0) + n3.(z-z0)
Para el punto C tengo OC = OQ + k.n->
{
𝑥0 = 𝑞1 + 𝑘. 𝑛1𝑦0 = 𝑞2 + 𝑘. 𝑛2𝑧0 = 𝑞3 + 𝑘𝑛3
entonces tengo
0 = n1.(x-q1-k.n1) + n2.(y-q2-k.n2) + n3.(z-q3-k.n3)
de donde
0 = (n1.x+n2.y+n3.z) - (n1.q1+n2.q2+n3.q3) - k.(n12 + n2
2 + n3
2)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
257
NOTA:
Observa que
n1.q1+n2.q2+n3.q3 = n->
*OQ , y que
n1.x+n2.y+n3.z = n->
*OP
donde * es el producto escalar de dos vectores.
Teniendo en cuenta que n12 + n2
2 + n3
2 = 1, tengo
k = (n1.x+n2.y+n3.z) -(n1.q1+n2.q2+n3.q3)
En lo que sigue represento por d el valor
d = n1.q1+n2.q2+n3.q3 = n->
* OQ
Llevándolo a
{
𝑥0 = 𝑞1 + 𝑘. 𝑛1𝑦0 = 𝑞2 + 𝑘. 𝑛2𝑧0 = 𝑞3 + 𝑘𝑛3
me queda
{
𝑥0 = 𝑞1 + 𝑛1. [(n1. x + n2. y + n3. z) − d]𝑦0 = 𝑞2 + 𝑛2. [(n1. x + n2. y + n3. z) − d]𝑧0 = 𝑞3 + 𝑛3. [(n1. x + n2. y + n3. z) − d]
{
𝑥0 = (𝑛12. x + n1. n2. y + n1. n3. z) + (q1 − n1. d)
𝑦0 = (n2. n1. x + 𝑛22. y + n2. n3. z) + (q2 − n2. d)
𝑧0 = (n3. n1. x + n3. n2. y + 𝑛32. z) + (q3 − n3. d)
Volviendo a las expresiones
258
{𝑥′ = 𝑥0 − (𝑥 − 𝑥0) = 2𝑥0 − 𝑥𝑦′ = ⋯… .. = 2𝑦0 − 𝑦
𝑧′ = ⋯……. = 2𝑧0 − 𝑧
tengo
{
𝑥′ = −𝑥 + 2. (𝑛12. x + n1. n2. y + n1. n3. z) + 2. (q1 − n1. d)
𝑦′ = −𝑦 + 2. (n2. n1. x + 𝑛22. y + n2. n3. z) + 2. (q2 − n2. d)
𝑧′ = −𝑧 + 2. (n3. n1. x + n3. n2. y + 𝑛32. z) + 2. (q3 − n3. d)
Matricialmente
(𝑥′
𝑦′
𝑧′
) =
= (−𝑥−𝑦−𝑧) + 2. (
𝑛12 𝑛1. 𝑛2 𝑛1. 𝑛3𝑛2. 𝑛1 𝑛22 𝑛2. 𝑛3𝑛3. 𝑛1 𝑛3. 𝑛2 𝑛32
) . (𝑥𝑦𝑧) + 2. (
𝑞1 − 𝑛1. 𝑑𝑞2 − 𝑛2. 𝑑𝑞3 − 𝑛3. 𝑑
)
Hago A = 2.(q1-n1.d)
B = 2.(q2-n2.d)
C = 2.(q3-n3.d)
y queda finalmente
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) =
(
1 0 0 0𝐴 (2. 𝑛12 − 1) 2. 𝑛1. 𝑛2 2. 𝑛1. 𝑛3
𝐵 2. 𝑛1. 𝑛2 (2. 𝑛22 − 1) 2. 𝑛2. 𝑛3
𝐶 2. 𝑛3. 𝑛1 2. 𝑛3. 𝑛2 (2. 𝑛32 − 1))
.(
1𝑥𝑦𝑧
)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
259
Simetría central con centro C(c1, c2, c3):
Ecuaciones de la Simetría central:
Se llega a la expresión matricial
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 02. 𝑐1 − 1 0 02. 𝑐2 0 − 1 02. 𝑐3 0 0 − 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
donde C(c1, c2, c3) es el centro de la simetría.
Demostración:
OP’ = OC + CP’, P’ está en la recta r que pasa por C y P, y
d(P’, C) = d(P, C)
CP = (x-c1, y-c2, z-c3)
260
Por la simetría se cumple OP’ = OC – CP, que nos lleva a
{
𝑥′ = 𝑐1 − (𝑥 − 𝑐1) = 2. 𝑐1 − 𝑥𝑦′ = 𝑐2 − (𝑦 − 𝑐2) = 2. 𝑐2 − 𝑦
𝑧′ = 𝑐3 − (𝑧 − 𝑐3) = 2. 𝑐3 − 𝑧
Matricialmente
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 02𝑐1 − 1 0 02𝑐2 0 − 1 02𝑐3 0 0 − 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
Ejemplos:
1.- Traslación de vector v = (-1,2,3)
{𝑥′ = 𝑥 − 1𝑦′ = 𝑦 + 2
𝑧′ = 𝑧 + 3
Un punto P(3, -1, 2) --- > P’(2, 1, 5)
Un plano m: 3x -5y + 4z -5 = 0
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
261
{𝑥 = 𝑥′ + 1𝑦 = 𝑦′ − 2
𝑧 = 𝑧′ − 3
Sustituyo y obtengo la ecuación de m’:
3.(x’+1) -5.(y’-2) + 4.(z’-3) -5 = 0
3.x’ -5.y’ + 4.z’ + (3+10-12-5) = 0
Cambio x’ por x, y’ por y, z’ por z, y queda finalmente
3x -5y + 4z -4 = 0
Observa que este es paralelo al origen m
Para una recta obtenemos dos de sus puntos P1, P2, y las
imágenes de éstos. La recta trasladada es la que pasa por P1’ y
P2’.
2.- Simetría especular, plano de simetría
m: 3x -2y + z – 2 = 0
Vector ortogonal w = (3, -2, 1), mod(w) = √14
Lo normalizo: n = (n1, n2 , n3), donde
n1 = 3/√14, n2 = -2/√14, n3 = 1/√14
Distancia al origen d = 2/√14
Sabemos que
262
A = -2.n1.d,
B = -2.n2.d,
C = -2.n3.d
Cálculos:
A = -2.n1.d = −12
14
B = -2.n2.d = 8
14
C = -2.n3.d = −4
14
1-2.n12 = 1-18/14 = -4/14; -2.n1.n2 = 12/14 ; -2.n1.n3 = -6/14
1-2.n22 = 1-8/14 = 6/14; -2.n2.n3 = 4/14
1-2.n32 = 1-2/14 = 12/14;
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) =
(
1 0 0 0−12
14
−4
14
12
14
−6
148
14
12
14
6
14
4
14−4
14
−6
14
4
14
12
14)
.(
1𝑥𝑦𝑧
)
Para un punto P(-2, 3, 1):
{
𝑥′ =
−12
14 +
−4
14.−2 +
12
14. 3 +
−6
14. 1
𝑦′ =8
14 +
12
14.−2 +
6
14. 3 +
4
14. 1
𝑧′ =−4
14 +
−6
14.−2 +
4
14. 3 +
12
14. 1
x’ = (-12+8+36-6)/14 = 26/14 = 13/7
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
263
y’ = (8-24+18+4)/14 = 6/14 = 3/7
z’ = (-4+12+12+12)/14 = 32/14 = 16/7
P’(13
7 ,
3
7 ,
16
7 )
Para el caso de recta o plano obtenemos la imagen de dos o tres
de sus puntos y después obtenemos la ecuación del transformado.
3.- Simetría axial, recta-eje de simetría
s = (Q; <v>), donde Q(-1, -1, 1), v = (2, 3, 1)
Normalizo vector v: mod(v) = √14, n=(n1, n2, n3)
n1 = 2
√14 , n2 =
3
√14 , n3 =
1
√14
Sabemos que
A = 2.(q1-n1.d),
B = 2.(q2-n2.d)
C = 2.(q3-n3.d)
donde d = n1.q1+ n2.q2 + n3.q3, y
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0𝐴 2. 𝑛12 − 1 2. 𝑛1. 𝑛2 2. 𝑛1. 𝑛3𝐵 2. 𝑛1. 𝑛2 2. 𝑛22 − 1 2. 𝑛2. 𝑛3𝐶 2. 𝑛3. 𝑛1 2. 𝑛3. 𝑛2 2. 𝑛32 − 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
Cálculos:
d = 2
√14.-1 +
3
√14.-1 +
1
√14.1 = -1/√14
264
A = 2.(-1 - 2
√14.-
1
√14) = 2.(
2−14
14) =
−24
14 = -12/7
B = 2.(-1 - 3
√14.-
1
√14) = 2.(
3−14
14) =
−22
14 = -11/7
C = 2.(1 - 1
√14.-
1
√14) = 2.(
1+14
14) =
30
14 = 15/7
2.n12-1 = 8/14 -1 = -6/14; 2.n1.n2 = 12/14 = 6/7
2.n22-1 = 18/14 -1 = 4/14; 2.n1.n3 = 4/14 = 2/7
2.n32-1 = 2/14 -1 = -12/14; 2.n2.n3 = 6/14 = 3/7
(
1𝑥′𝑦′
𝑧′
) =
(
1 0 0 0−12
7
−3
7
6
7
2
7−11
7
2
7
2
7
3
715
7
2
7
3
7
−6
7 )
.(
1𝑥𝑦𝑧
)
Un Punto P(2, -3, 1):
x’ = −12
7+
−3
7. 2 +
6
7. −3 +
2
7. 1 = -34/7
y’ = −11
7+
2
7. 2 +
2
7. 3 +
3
7. 1 = 2/7
z’ = 15
7 +
2
7. 2 +
3
7. 3 +
−6
7. 1 = 22/7
P’(−34
7,2
7 ,
22
7 )
Las rectas y planos los tratamos como ya se dijo en otro lugar:
Imagen de puntos suficientes para obtener la ecuación del
transformado.
4.- Simetría central, centro C(-1, 2, 3)
Los cálculos son muy simples. Matriz:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
265
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 02𝑐1 − 1 0 02𝑐2 0 − 1 02𝑐3 0 0 − 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
donde (c1, c2, c3) es el centro
En este caso concreto C(-1, 2, 3)
(
1𝑥′
𝑦′
𝑧′
) = (
1 0 0 0−2 − 1 0 04 0 − 1 06 0 0 − 1
) .(
1𝑥𝑦𝑧
)
Un punto P(3, -2, 5):
x’ = -2 - 3 = -5
y’ = 4 - (-2)= 6
z’ = 6 – 5 = 1
P’(-5, 6, 1)
Para rectas y planos aplicamos lo mismo que hemos recomendado
en otros casos.
---------------
266
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
267
PROBLEMAS Resueltos ó Semi-resueltos
A) De Espacios Vectoriales y Matrices
1.- Los polinomios de grado menor o igual a un valor fijo, por
ejemplo m, dotados de las suma de polinomios (conocida y
habitual) y del producto por escalar (un valor real, también
habitual y conocido), tiene estructura de Espacio vectorial sobre
el cuerpo R de los reales.
Sea el Espacio vectorial de los polinomios de grado <= 3. La base
más sencilla (la canónica) es B = {1, x, x2, x
3}. Se pide:
Expresar p(x) = -4x3+3x
2+3 en la base B = {p1= 1-x, p2 = x
2+x
3,
p3 = 1+x2, p4 = x+x
3}
Sol.: He de encontrar los coeficientes de
-4x3+3x
2+3 = a.(1-x) +b.(x
2+x
3) +c.(1+x
2) + d.(x+x
3) ->
{
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 0: 3 = 𝑎 + 𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1: 0 = −𝑎 + 𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2: 3 = 𝑏 + 𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3: − 4 = 𝑏 + 𝑑
->{𝑑 = 𝑎
𝑐 = 3 − 𝑎 ->
{3 = 𝑏 + 3 − 𝑎−4 = 𝑏 + 𝑎
-> 2b = -4 , b = -2, a = -2, c = 5, d = -2
2.- En el espacio vectorial V4 tomamos los dos subespacios
siguientes:
S1 = <(1,1,1,1), (1,-1,1,-1)>, S2 = <(1,2,0,2), (1,2,1,2),
(3,1,3,1)>
268
Obtener la dimensión y un sistema generador de S1^S2 y de
S1+S2.
Sol.: Recordamos que:
Def.:
S1+S2 = {k1.v +k2.w; v de S1, w de S2, k1, k2 recorriendo R}
S1^S2 = {v que están en S1 y en S2, simultáneamente}
Se cumple:
dim(S1+S2) = dim(S1)+dim(S2) –dim(S1^S2)
Continúo:
Hecha la comprobación: dim(S1) = 2, dim(S2) = 3
Una base para S1+S2 la extraemos reuniendo los s.g. de S1 y de
S2. Comprobamos que lo es
B = {v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,2,0,2), v3 = (1,2,1,2)}
y dim(S1+S2) = 3.
Por tanto dim(S1^S2) = 2+3-3 = 2.
Para obtener una base de S1^S2 planteo
a.(1,1,1,1)+b.(1,-1,1,-1) =
= c.(1,2,0,2)+d.(1,2,1,2)+e.(3,1,3,1)}, de donde
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
269
{
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 + 3𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑐 + 2𝑑 + 𝑒
-> {
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 + 3𝑒 2𝑎 = 3𝑐 + 3𝑑 + 4𝑒2𝑎 = 2𝑐 + 3𝑑 + 4𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑐 + 2𝑑 + 𝑒
->
de la segunda y tercera deduzco c =0; queda
{
𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒 2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒 𝑎 − 𝑏 = 2𝑑 + 𝑒
-> {
𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒 2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒 2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒
->{𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 3𝑒2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒
{2𝑎 = 3𝑑 + 4𝑒
2𝑏 = (𝑑 + 𝑒3) − (3𝑑 + 4𝑒) = −2𝑑 − 3𝑒, libres d y e;
d = 1, e = 0 -> 2.a = 3, a = 3/2,
2.b = -2, b = -1 , y tengo el
vector w1 = 3/2.(1,1,1,1) -1.(1,-1,1,-1), o bien multiplicando por 2
w1 = (1,5,1,5)
Doy otro par de valores: d = 0, e = 1 ->
2.a = 4, 2.b = -3, -> a = 2 , b = -3/2, y tengo el vector
w2 = 2.(1,1,1,1) -3/2.(1,-1,1,-1), o bien multiplicando por 2
w2 = (1,7,1,7)
Una base de S1^S2 es B ={w1, w2}
270
3.- Determina el sistema de ecuaciones (lineales) que definen el
subespacio S engendrado por los vectores
v1 = (1,2+i,3-i,-i), v2 = (-1,1-i,-2+i,4+i),
v3 = (1,5+i,4-i,4-i),
en el espacio vectorial V4 sobre C.
Sol.: En primer lugar hemos de extraer un sistema libre (una base)
del sistema de generadores dado.
Resulta que una base de S está es B = {v1,v2}, ya que
v3 = 2v1 + v2.
Cualquier vector w = (x, y, z, t) de S viene expresado así:
(x,y,z,t) = k1.v1 + k2.v2 , de donde
{
𝑥 = 𝑘1.1 − 𝑘2.1𝑦 = 𝑘1. (2 + 𝑖) + 𝑘2. (1 − 𝑖)
𝑧 = 𝑘1. (3 − 𝑖) + 𝑘2. (−2 + 𝑖)
𝑡 = 𝑘1. (−𝑖) + 𝑘2. (4 + 𝑖)
Hemos de poder determinar los valores de k1, k2 en función de
(x,y,z,t), y además ha de tener solución única, por lo que el rango
ha de ser 2.
Los menores de orden tres de la matriz ampliada tienen que ser
cero:
|𝑥 1 − 1𝑦 2 + 𝑖 1 − 𝑖𝑧 3 − 𝑖 − 2 + 𝑖
| = 0 , |𝑥 1 − 1
𝑦 2 + 𝑖 1 − 𝑖𝑡 − 𝑖 4 − 𝑖
| = 0
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
271
Obtengo
{(−9 + 4𝑖). 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0(8 + 5𝑖). 𝑥 − 4. 𝑦 + 3𝑡 = 0
-----------------
4.- Calcula las potencias de las siguientes matrices:
A = (1 1 11 1 11 1 1
) , B = (𝑎 10 𝑎
)
Sol.: A2 = … = (
3 3 33 3 33 3 3
) = 3. (1 1 11 1 11 1 1
) = 3.A
por tanto: A3 = …. = 3
2. (1 1 11 1 11 1 1
) = 32.A
Por inducción completa: Supongo que An = 3
n-1.A , y calculo
An+1
An+1
= A.An = A.(3
n-1.A) = 3
n-1.(A.A) =
= 3n-1
.3.A = 3n.A
Queda así probado que para n cualquiera
An = 3
n-1.A
Para B: B2 = (
𝑎 10 𝑎
) . (𝑎 10 𝑎
) = (𝑎2 2𝑎0 𝑎2
) ,
272
B3 = B.B
2 = (
𝑎 10 𝑎
) . (𝑎2 2𝑎0 𝑎2
) = (𝑎3 3𝑎2
0 𝑎3)
Supongamos que Bn = (𝑎
𝑛 𝑛𝑎𝑛−1
0 𝑎𝑛), y calculamos
Bn+1
= (𝑎 10 𝑎
) . (𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑛−1
0 𝑎𝑛) = (
𝑎𝑛+1 (𝑛 + 1)𝑎𝑛
0 𝑎𝑛+1)
Por consiguiente, para n cualquiera se cumple
Bn = (𝑎
𝑛 𝑛𝑎𝑛−1
0 𝑎𝑛)
B) De Sistemas y Sistemas dependiendo de un parámetro
8.- Analiza el siguiente sistema dependiente de los parámetros k
y m:
{
𝑥 − 2𝑦 = 3𝑘 + 3𝑚
𝑥 − 𝑦 = 2𝑘 + 2𝑚 + 1
𝑚𝑥 + 𝑘𝑦 + 5 = 𝑚2 − 𝑘2 − 1
𝑘𝑥 + 𝑚𝑦 + 7 = 𝑘2 −𝑚2 + 13
Sol.:
A = (
1 − 21 − 1𝑚 𝑘 𝑘 𝑚
), cuyo rango es 2, evidente.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
273
Matriz ampliada C = (
1 − 2 3𝑘 + 3𝑚 1 − 1 2𝑘 + 2𝑚 + 1𝑚 𝑘 −𝑘2 +𝑚2 − 6𝑘 𝑚 𝑘2 − 𝑚2 + 6
)
Estudiamos su rango comenzando ‘orlando’ el menor |1 − 21 − 1
|,
imponiendo que ran(C) = 2 si deseamos la compatibilidad.
Orlando con la fila 3 obtengo
/C’/ = -k -2m -6
Orlando con la fila 4 obtengo
/C’’/ = -2k –m +6
Para la compatibilidad han de anularse las dos
{𝑘 + 2𝑚 + 6 = 02𝑘 +𝑚 − 6 = 0
-> k = 6, m = -6
Conclusión: El sistema es compatible solamente cuando k=6 y
m=-6, simultáneamente. En este caso, resolviendo:
{𝑥 − 2𝑦 = 0𝑥 − 𝑦 = 1
-> x=2, y=1
9.- Determina los valores de k y m para los cuales el siguiente
sistema homogéneo sea compatible indeterminado (Esto es:
Tenga solución no trivial):
274
{
3𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 +𝑚𝑦 − 𝑧 = 0
Sol:
El sistema (homogéneo) admite solución distinta de la trivial si
ran(A)< número de incógnitas.
A = (
3 1 𝑘1 − 1 − 1𝑚 1 11 𝑚 − 1
); su rango es >=2.
Orlando obtenemos
|3 1 𝑘1 − 1 − 1𝑚 1 1
| = ….. = (m+1).(k-1);
|3 1 𝑘1 − 1 − 1 1 𝑚 − 1
| = ….. = (m+1).(k+3);
Hemos de imponer que los dos sean cero:
{(𝑚 + 1). (𝑘 − 1) = 0(𝑚 + 1). (𝑘 + 3) = 0
-> {𝑘 = 1 ó 𝑚 = −1𝑘 = −3 ó 𝑚 = −1
Conclusión para que ran(A) < 3 :
Si m = -1 se cumple.
Si m <> -1, se cumple para k = 1 ó k = -3.
10.- Estudia el sistema según los valores de k
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
275
{
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑘𝑥2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘𝑦2𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 𝑘𝑧
Sol.:
A = (
(4 − 𝑘) 2 12 (4 − 𝑘) 22 4 (8 − 𝑘)
); |(
(4 − 𝑘) 2 12 (4 − 𝑘) 22 4 (8 − 𝑘)
)| =
= ……….. = -k3 +16k
2 -66k +72;
Igualo a cero y resuelvo (Ruffini):
k3 -16k
2 +66k -72 = 0; k1= 4 es una solución
1 -16 66 -72
4 ¡ 4 -48 72
-----------------------------------
1 -12 18 0 -> k2-12k+18 = 0;
De ésta resultan: k2 = 6+3√2, k3 = 6-3√2
Para estos tres valores de k el sistema es compatible
indeterminado, para otros valores sólo admite la solución trivial.
C) De Endomorfismos
5.- En el Espacio vectorial E2 (en el plano R2) tomamos la base
B = {e1, e2}, siendo g = (e1^e2).
A un vector v = OV cualquiera, cuyas componentes son OP y
OQ, le hacemos corresponder el vector w = OW donde W es la
276
intersección de las perpendiculares desde P y Q a las rectas
soportes de e1 y e2, respectivamente.
Obtener la matriz asociada a este endomorfismo.
Sol.:
v = OV = OP +OQ
OP = OR1+ R1P = OR1 + R1W.cos(g)= OR1+ OR2.cos(g)
OQ = OR2 + R2Q = OR2 + R2W.cos(g)
Podemos expresarlas matricialmente así
(𝑂𝑃𝑂𝑄
) = (1 cos(𝑔)
cos(𝑔) 1) . (
𝑂𝑅1𝑂𝑅2
)
de donde
(𝑂𝑅1𝑂𝑅2
) = (1 cos(𝑔)
cos(𝑔) 1)−1
. (𝑂𝑃𝑂𝑄
)
6.- Sea el endomorfismo en E3 en cuya matriz interviene una
indeterminada (o parámetro)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
277
A = (−2 4 21 𝑎 𝑎−1 2 1
)
Comprueba que para cualquier valor de ‘a’ tenemos
dim(Im(f))= 2. Obtener los subespacios Ker(f) (núcleo) e Im(f)
cuando a = -2.
Sol.: Recuerda que dim(Im(f)) = ran(A), y dim(Ker(f)) =
= n –dim(Im(f))
Rango de A: | (−2 4 21 𝑎 𝑎−1 2 1
) | = [-2a-4a+4] - [-2a +4- 4a]= 0,
cualquiera que sea el valor de ‘a’
Observa los menores de orden dos donde no interviene el
parámetro, todos dan cero:
|−2 4−1 2
| = 0, |−2 2−1 1
| = 0, |4 22 1
| = 0,
|−2 41 𝑎
| = −2𝑎 − 4,
Paso a los que sí contienen parámetro:
|−2 4−1 𝑎
| = −2𝑎 + 4, que se anula cuando a = 2.
Para a <> 2 es ran(A) = 2.
278
Cuando a = 2 tomo el menor |4 22 2
| = 8 − 4 <> 0, con los cual
llegamos a que para cualquier valor de ‘a’ es ran(A) = 2, y por
tanto dim(Im(f)) = 0
Consecuencia: dim(Ker(f)) = 1
Tomo a = -2, con lo cual
A = (−2 4 21 − 2 − 2−1 2 1
)
Núcleo: (−2 4 21 − 2 − 2−1 2 1
) . (𝑥𝑦𝑧) = (
000) ->
{
−2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
-> {−2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
−𝑧 = 0
->{−2𝑥 + 4𝑦 = 0𝑥 − 2𝑦 = 0
,
->{−2𝑥 + 4𝑦 = 02𝑥 − 4𝑦 = 0
, 2x = 4y, x = 2y, y libre.
Doy valor: y = 1 -> x = 2, z = 0,-> w = (2,1,0), vector director de
una recta.
Nota:En el Espacio afín E3 esta recta, pasando por el origen de
coordenadas, es el núcleo de f interpretada como una aplicación
afín.
Subespacio Im(f): En una aplicación lineal sabemos que las
columnas de A son las imágenes de los vectores de la base
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
279
B = {e1,e2,e3}. Es decir
(−2 4 21 − 2 − 2−1 2 1
) . (100) = (
−21−1), y lo mismo para
los otros dos.
Entonces, una base de Im(f) está formada por dos de las columnas
l.i. Lo son
v1 = (4,-2,2), v2 = (2,-2,1)
que son vectores directores de un plano en E3.
Obtengo este plano:
(x,y,z) = a.(4,-2,2) + b.(2,-2,1) -> {𝑥 = 4𝑎 + 2𝑏𝑦 = −2𝑎 − 2𝑏𝑧 = 2𝑎 + 𝑏
,
{𝑥 + 𝑦 = 2𝑎𝑦 = −2𝑎 − 2𝑏𝑧 = 2𝑎 + 𝑏
-> {𝑦 = −𝑥 − 𝑦 − 2𝑏𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑏
, b = z-x-y ,
2y = -x -2z+2x+2y, queda: m: 0 = -2z+x ,
plano que pasa por el origen.
7.- Sea el endomorfismo de V3 definido por
f(x,y,z) = ((m-2)x+2y-z, 2x+my+2z, 2mx+2(m+1)y+(m+1)z)
Escribe su matriz respecto de la base canónica y analiza su núcleo
e imagen.
280
Sol.: B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
f(e1) = (m-2, 2, 2m)
f(e2) = (2, m, 2(m+1))
f(e3) = (-1, 2, m+1)
A = (𝑚 − 2 2 − 12 𝑚 2
2𝑚 2(𝑚 + 1) 𝑚 + 1)
Analizo el ran(A) según los valores de m:
|(𝑚 − 2 2 − 12 𝑚 2
2𝑚 2(𝑚 + 1) 𝑚 + 1)| = ⋯… = m3
-3m2 +2m ;
m.(m2 -3m +2) = 0 -> m = 0, m = 1, m = 2;
Para valores de m distintos de 0, 1, 2, ran(A) = 3, y por tanto el
núcleo es cero (Vector cero).
El estudio para estos valores particulares nos lleva a los siguientes
resultados:
m = 0 -> ran(A) = 2, y dim(ker(f)) = 1, subespacio generado por
w = (2,1,-2)
m=1 -> ran(A) = 2, dim(ker(f)) = 1,
m=2 -> ran(A) = 2, dim(ker(f)) = 1,
En cada caso, el núcleo interpretados en el Espacio afín E3 es:
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
281
m = 0 -> r: {𝑥 = −𝑧𝑧 = −2𝑦, m = 1 -> r:{
𝑥 = −𝑧 𝑦 = 0
m = 2 -> {2𝑥 = −3𝑧2𝑦 = 𝑧
,
D) De Espacios Euclídeos
1.- En E4 tengo el vector v = (1,3,-1,4), y por otro lado los
vectores: v1= (2,1,0,1), v2 = (0,3,1,1). Descomponer v como
suma de dos vectores w1, w2, donde: w1 pertenece al subespacio
<v1,v2>, y w2 ortogonal a este subespacio.
Sol.: v = w1 + w2 = (k1.v1 + k2.v2) + w2 =
= [k1.(2,1,0,1) + k2.(0,3,1,1)] + w2 =
= (2k1, k1+3k2, k2, k1+k2) + (a,b,c,d) ;
El vector w2 ha de ser orthogonal con v1 y v2:
{0 = 2𝑎 + 𝑏 + 𝑑0 = 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑
, -> d = (-2.a-b), 0 = 3b + c + (-2.a-b)->
0 = -2.a +2b + c -> c = 2.a-2b; Por tanto:
w2 = (a,b, 2.a-2b, -2.a-b)
Volviendo a la expresión de v queda
282
{
1 = 2𝑘1 + 𝑎3 = 𝑘1 + 3𝑘2 + 𝑏
−1 = 𝑘2 + 2. 𝑎 − 2𝑏4 = 𝑘1 + 𝑘2 − 2. 𝑎 − 𝑏
-> Cuatro ecuaciones con
cuatro incógnitas.
Confío que el alumno será capaz de resolverlo.
2.- En E4 , fijado un subespacio (afín) H1, existe un suespacio
(afín) H2 suplementario de H1 con H2 y que además sean
ortogonales entre sí.
Sea S1 = <v1, v2> el subespacio director de H1, siendo:
v1 = (0,2,1,0), v2 = (1,1,0,1)
a) Obtener una base (o sistema generador) de S2
(subespacio director de H2)
b) Determina el endomorfismo de E4 que sea la proyección
ortogonal de E4 sobre el subespacio afín H2.
Sol.: a) En primer lugar obtengo una base ortogonal de S1:
v = v1 +k.v2 = (k,2+k,1,k), imponiendo que v sea
ortogonal con v1.
0 =v1*v = 2.(2+k)+1 -> k = -5/2 ; tengo
v = (-5/2,-1/2,1,-5/2); tomo v2 = (5,1,-2,5);
Cualquier vector w de V4 admite una expresión de la forma
w = u1 + u2, donde u1= a.v1+b.v2 está en S1,
u2 está en S2.
w = (a.v1+b.v2) + u2 ;
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
283
Teniendo en cuenta que u2 es ortogonal con v1 y v2, multiplico
escalarmente por v1 y por v2:
v1.w = v1*(a.v1+b.v2) = a.(v1*v1) -> a = 𝑣1∗𝑤
|𝑣1|2
v2.w = v2*(a.v1+b.v2) = b.(v2*v2) -> b = 𝑣2∗𝑤
|𝑣2|2
Veamos cómo obtener la imagen de la proyección ortogonal:
Supongamos w = (x,y,z,t), entonces para ‘a’ y ‘b’ tenemos
(Siendo v1 = (0,2,1,0), v2 = (1,1,0,1))
v1*w = 2y + z, /v1/ = √5 -> /v1/2 = 5 -- > a =
2𝑦+𝑧
5 ,
v2*w = x + y + t, /v2/2 = 3 -- > b =
𝑥+𝑦+𝑡
3 ,
u1 = 2𝑦+𝑧
5.(0, 2, 1, 0) +
𝑥+𝑦+𝑡
3. (1, 1, 0, 1) =
= (𝑥+𝑦+𝑡
3,5𝑥+17𝑦+6𝑧+5𝑡
15 ,2𝑦+𝑧
5 ,
𝑥+𝑦+𝑡
3 )
Designando por (x’,y’,z’,t’) las componentes de u1 tenemos
{
𝑥
′ = 𝑥+𝑦+𝑡
3=
1
15. (5𝑥 + 5𝑦 + 5𝑡)
𝑦′ = 5𝑥+17𝑦+6𝑧+5𝑡
15
𝑧′ = 2𝑦+𝑧
5=
1
15. (6𝑦 + 3𝑧)
𝑡′ = 𝑥+𝑦+𝑡
3=
1
15. (5𝑥 + 5𝑦 + 5𝑡)
;
Por definición la ‘proyección ortogonal’ es la aplicación
284
f: E4 --- > E4
u = u1 + u2 -- > u1 , f(u) = u1 ,
donde (recordamos) u = u1 + u2 es la descomposición de u como
suma de un vector u1 de H1 y otro u2 de H2.
Concluimos que la matriz de la proyección es
A = 1
15. (
5 5 0 55 17 6 50 6 3 05 5 0 5
),
(x’,y’,z’,t’) = 1
15. (
5 5 0 55 17 6 50 6 3 05 5 0 5
) . (
𝑥𝑦𝑧𝑡
)
3.- Obtener un sistema ortogonal con los tres vectores
(ortogonalizar):
v1= (1,1,0,-1), v2 = (1,0,0,4), v3= (2,0,1,-1)
Sol.: Seguimos el Método de ortogonalización de Schmidt.
Hago w1 = v1;
Ahora: w2 = v2 + a.v1 = (1+a, a, 0, 4-a)
0 = w1*w2 = (1,1,0,-1)*(1+a, a, 0, 4-a) =
= (1+a) + a -(4-a) = -3+3.a -- > a = 1
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
285
w2 = (2, 1, 0, 3) ;
Ahora: w3 = v3 + a.w1 + b.w2 =
= (2+a+2b, a+b, 1, -1-a+3b), que ha de ser
ortogonal con w1 y w2.
{0 = (2 + 𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 0 − (−1 − 𝑎 + 3𝑏) = 3 + 3𝑎0 = (4 + 2. 𝑎 + 4𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 0 + (−3 − 3. 𝑎 + 9𝑏) = 1 + 14𝑏
a = -1, b = −1
14
w3 = (2,0,1,-1) -(1,1,0,-1) - 1
14. (2,1,0,3) = (
12
14 ,
−15
14 , 1,
−3
14 )
Tomo: w3 = (12, -15, 14, -3)
4.- En el espacio vectorial V4 tengo los vectores
v1= (2,0,-1,-1), v2 = (2,2,2,2).
a) Demuestra que son ortogonales
b) Determina otros dos vectores w1, w2 , l.i. y ortogonales
con v1 y v2.
c) Determina un vector w ortogonal con v1, v2 y w1, y
comprueba que pertenece al subespacio S2 = <w1,w2>
Sol.: a) V1*v2 = …… = 0
b)w1 = (a,b,c,d), con la condición: v1*w1 = 0, v2*w1 = 0.
Obtengo sistema donde dos son libres:
286
Hago c = 0, d = 2 -> a = 1, b = -3, y obtengo w1 = (1, -3, 0, 2)
Del mismo modo llego a que w2 = (1, -3, 2, 0)
Se puede probar que w1, w2 son l.i.
c)w = (a,b,c,d) que ha de ser ortogonal con v1, v2, w1. Esta
condición nos lleva al sistema
{0 = 2𝑎 − 𝑐 − 𝑑0 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑0 = 𝑎 − 3𝑏 + 2𝑑
, -> 0 = 4𝑎 − 2𝑐 − 2𝑑0 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑0 = 𝑎 − 3𝑏 + 2𝑑
Sumo la primera y segunda
0 = 6.a + 2b, y tomando ‘b’ como libre hago
b = -3, con los que a = 1. Llego a que c = 7, d = -5, y
w = (1, -3, 7, -5)
Si doy otros valore a ‘b’ obtengo otras soluciones, evidente.
Se puede comprobar que w = −5
2.w1 +
7
2.w2.
Lo obtengo matricialmente como sigue (como para calcular el
rango por triangulación):
|
𝑤1 → (1 − 3 0 2)𝑤2 → (1 − 3 2 0)𝑤 → (1 − 3 7 − 5)
| -> |
𝑤1 → (1 − 3 0 2)𝑤2 − 𝑤1 → (0 0 2 − 2)𝑤 − 𝑤2 → (0 0 5 − 5)
|->
5.(w2-w1) = 2.(w –w2), 2.w = -5.w1 +7w2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
287
5.- En una base B = {u1, u2} ortonormal calcula el ángulo
formado por los siguientes vectores:
u = 2u1-3u2, v = 4u1-5u2.
Res.: cos(u^v) = 𝑢∗𝑣
|𝑢|.|𝑣| = … =
23
√13.√41 = 0,9962 -- >
g = arcCos(0,9962) = 4,9965º -> g = 5º
6.- Fijado un punto P del plano, determina el lugar geométrico de
los puntos Q tales que OP*OQ = /OP/
Res.: Observa la figura: OP*OQ =
= /OP/./OQ/.cos(g) = /OP/.proy(OQ/OP) = /OP/ ,
Observa que: OP*OQ = /OP/./OQ/.cos(g) =
(y tomando /OP/ como unidad )
= /OQ/.cos(g) = “proyección de OQ sobre la recta soporte de OP”
7.- En una base ortonormal B = {u1, u2} tomo los vectores
u = -3u1+ 5u2, v = -7u1-u2. Calcula la preoyección de u sobre
la recta soporte de v.
Res.:
288
/OP/ = /u/.cos(g) = 𝑢∗𝑣
|𝑣|
u*v = (-3u1+5u2)*(-7u1-u2) = … = 21-5 = 16
/v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = … = √50
Por tanto: /OP/ = 16
√50
8.- Si u1 y u2 son tales que /u1/ = /u2/, y u1*u2 = 0, comprueba
que los vectores u = a.u1-b.u2, v = a.u1+b.u2 son ortogonales.
Res.: u*v = (a.u1+b.u2)*(b.u1-a.u2) = (a.b)./u1/ -a2.u1*u2 +
+ b2.u2*u1 –(b.a)./u2/ = …. = 0
9.- En una base B = {u1, u2} tal que /u1/ = /u2/, (u1^u2) = 60º ,
calcula el módulo (o norma) del vector v = u1+ u2
Res.: /v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 , v*v = (u1+ u2)*(u1+ u2) =
= /u1/2 + 2.(u1*u2) + /u2/
2 =
= 2./u1/2 + 2./u1/./u2/.cos(60º) = 2./u1/
2 + 2./u1/
2 . 1
2 =
= 3./u1/2 , Por tanto: /v/ = √3 . /u1/
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
289
10.- En una base B = {u1,u2} tal que /u1/ = 2, /u2/ = 3,
u1*u2 = 4, ¿Qué valor ha de tomar ‘a’ para que los vectores
u = 11u1+ a.u2, v = u1+ 2u2 sean ortogonales?.
Res.: a = -6
11.- En una base B = {u1, u2} normada (/u1/=/u2/= 1) y
u1*u2 = 1/5, halla un vector u unitario que sea ortogonal al
vector v = 29.u1-25.u2
Res.: Sea u = x.u1+ y.u2 el vector pedido.
/u/ = √𝑢 ∗ 𝑢 = ⋯ √𝑥2 +2
5. 𝑥𝑦 + 𝑦2 ,
0 = u*v = … = (xu1+yu2)*(29u1-25u2) =
= 29x-5x +29/5.y -25y = 24x -96/5.y -- >
0 = 120x-96y, 0 = 5x -4y
Tengo el sistema: {5𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑥2 +2
5𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1
-> x = 4/7, y = 5/7,
ó x = -4/7, y = -5/7
12.- En una base B = {u1,u2} ortonormal, sean los vectores: u =
OA = 3u1+ u2, v = OB = 2u1+ 5u2, w = OC = 7u1. Comprueba
que el triágulo ABC es equilátero. Calcula su perímetro.
Res.: Perímetro P = /u/+/v/+/w/ = … = 2.√17 + 5. √2,
ya que /u/ = … = √17 , /v/ = … = 5.√2 , /w/ = … = √17
290
E) De Espacios Afines y Espacios Métricos
1.- Determina la ecuación de los siguientes planos:
a) Plano m que pasa por P(3, 2, 5) y es paralelo al plano
m’: 2x –y + 3z = 4
b)Plano m que pasa por los puntos
P(0,1,2), Q(1,3,-1) y es paralelo a la recta r:
{𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 2
Sol.:
a) Por ser paralelo a m’:
m: 2x -y + 3z + d = 0
Si pasa por P: 6-2+15 +d = 0 -> d = -19, y queda
m: 2x -y + 3z - 19 = 0
b) Uno de los vectores directores de m es
v1 = PQ = (1, 2, -3)
Otro será el director de r.
Hago z = 0: {𝑥 + 2𝑦 = 0𝑥 − 4𝑦 = 2
-> 6y = -2, y = -1/3,
x = 2/3, y tengo el punto P1(0, 2/3, -1/3)
Hago z = 1: {𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 − 4𝑦 = 1
-- > 6y = 2, y = 2/3,
x = 3-4/3 = 5/3 -- > punto Q(5/3, 2/3, 1)
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
291
Vector v2 = PQ = (5/3, 0, 4/3).
El subespacio director de m está generado por los vectores:
v1 = (1,2,-3), v2 = (5,0,4)
Si X es un punto de m: OX = OP + k1.v1 + k2.v2
(x, y, z) = (0, 2/3, -1/3) + k1.(1, 2, -3) + k2.(5, 0, 4)
{
𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘2
𝑦 = 2
3+ 2𝑘1
𝑧 = −1
3− 3𝑘1 + 4𝑘2
; Elimino los parámetros k1, k2
{𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘23𝑦 = 2 + 6𝑘1
3𝑧 = −1 − 9𝑘1 + 12𝑘2
-> k1 = 3𝑦−2
6 ->
{𝑥 =
3𝑦−2
6+ 5𝑘2
3𝑧 = −1 −27𝑦−18
6+ 12𝑘2
->
{6𝑥 = 3𝑦 − 2 + 30𝑘2
18𝑧 = −6 − 27𝑦 + 18 + 72𝑘2
k2 = 6𝑥−3𝑦+2
30 -> 18z+27y-12 = 72.
6𝑥−3𝑦+2
30 ; simplifico
dividiendo por 3 y después multiplico por 30.
6z+9y-4 = 24. 6𝑥−3𝑦+2
30 -> 180z + 270y-120 = 24.(6x-3y+2),
divide entre 6
30z + 45y -20 = 24x -12y + 8,
292
m: 24x -57y -30z + 28 = 0
OTRA FORMA:
{𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘23𝑦 = 2 + 6𝑘1
3𝑧 = −1 − 9𝑘1 + 12𝑘2
-- >
{𝑥 = 𝑘1 + 5𝑘2
3𝑦 − 2 = 6𝑘1 3𝑧 + 1 = −9𝑘1 + 12𝑘2
,
sistema cuyas incógnitas son k1, k2
A = (1 56 0−9 12
), ran(A) = 2;
Para que sea compatible el de la ampliada ha de ser también 2
|1 5 𝑥6 0 3𝑦 − 2−9 12 3𝑧 + 1
| = 0 -> [-45.(3y-2)+72x] –
-[30.(3z+1)+12.(3y-2)] = [-135y+90+72x] –
-[90.z +30 +36y -24] = 72x -171y -90z +84 = 0,
m: 24x -57y -30z +28 = 0
2.- Determina la recta r con las condiciones exigidas en cada
caso:
a) Pasa por P(1,3,4) y es paralela a la recta
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
293
r’: 𝑥−2
−3 =
𝑦+1
1=
𝑧+5
2
b)Pasa por el punto P(2, -1, 5) y es paralela a los planos
m1: 2x+3y-4z = 6, m2: 3x-y+z = 4
Sol.: a) Por ser paralelas r será de la forma
𝑥−𝑎
−3 =
𝑦−𝑏
1=
𝑧−𝑐
2 , y si ha de pasar por P
cumplirá 𝑥−1
−3 =
𝑦−3
1=
𝑧−4
2
b)Por ser paralela a los dos planos
r: {2x + 3y − 4z = d
3x − y + z = d′ , y si ha de pasar por el punto P
{4 − 3 + 40 = d6 + 1 + 5 = d′
-> d = 41, d’ = 12,
la solución es
r: {2x + 3y − 4z = 413x − y + z = 12
3.- Dados el plano m: x –y + z = 5, y la recta
r: 𝑥−1
4=
𝑦+3
2=
𝑧+2
3 , resuelve las siguientes cuestiones:
a) Expresar r como intersección de dos planos
b) Determina el punto común de r y m
294
Sol.: a) Basta tomar 𝑥−1
4=
𝑦+3
2 y operar para obtener uno de los
planos
2x-2 = 4y+12 -- > m1: x -2y -7 = 0
Tomando 𝑦+3
2=
𝑧+2
3 obtenemos el otro: 3y + 9 = 2z + 4,
m2: 3y -2z + 5 = 0 , r: {𝑥 − 2𝑦 − 7 = 03𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0
b)El punto común es la solución (o soluciones), si la tiene, del
sistema
{x – y + z = 5 𝑥 − 2𝑦 − 7 = 03𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0
; Resulta: P(17
5,−9
5 ,−1
5 )
4.- Determina la ecuación del plano m que pasa por los puntos
P(3, 2, -1), Q(4, 0, 2), y es perpendicular al plano
m’: x -5y + 2z = 6.
Sol.: Uno de sus vectores directores es v1 = PQ = (1,-2,3)
Sabemos que el vector v2 = (1,-5,2) es ortogonal al plano m’. y
por tanto también es director de m. Entonces, para cualquier
punto X de m
OX = OP + k1.(1,-2,3) + k2.(1,-5,2), de donde
{𝑥 = 3 + 𝑘1 + 𝑘2𝑦 = 2 − 2𝑘1 − 5𝑘2𝑧 = −1 + 3𝑘1 + 2𝑘2
, donde las incógnitas son k1, k2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
295
A = (1 1−2 − 53 2
), ran(A) = 2; La ampliada
C = (1 1 𝑥 − 3−2 − 5 𝑦 − 2 3 2 𝑧 + 1
), cuyo rango debe se 2, y por tanto /C/
tiene que ser cero:
/C/ = [-5.(z+1)+3.(y-2)-4.(x-3)] –[-15.(x-3)-2.(z+1)+2(y-2)] =
= [-4x+3y-5z+1] – [-15x+2y-2z+39] = 11x +y -3z -38,
que igualo a cero, y obtengo
m: 11x + y -3z = 38
5.- Determina la ecuación de la recta r que pasa por P(4,4,1) y
corta ortogonalmente a la recta
r’: 𝑥−7
1=
𝑦+2
3=
𝑧−3
−4
Sol.:
296
PRIMER procedimiento: Supongamos el plano m1 que pase por
P y sea ortogonal con r’:
m1: x + 3y -4z + D = 0, y si pasa por P
4 + 12 -4 + D = 0 -> D = -12, por tanto
m1: x +3y -4z = 12;
Por otro lado tomo el plano m2 que pase por P y contenga r’:
r’ como intersección de planos: {3𝑥 − 𝑦 − 21 = 0−4𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0
La ecuación del haz de todos los planos que pasan por r’ es
haz: (3𝑥 − 𝑦 − 21) + 𝑘. ( −4𝑦 − 3𝑧 + 1) = 0
Selecciono el que pasa por P(4,4,1):
(12-4-21) + k.(-16-3+1) = 0 -- > -18.k = 13,
k = -13/18, y el plano m2 es
(3x-y-21) -13/18.(-4y-3z+1) = 0
54x-18y-21.18 +52y+39z -13 = 0 ->
m2: 54x + 34y + 39z -391 = 0
Finalmente tengo r: {x + 3y − 4z = 12
54x + 34y + 39z − 391 = 0
SEGUNDO procedimiento: Según esto obtendremos además el
punto Q de corte.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
297
Sea Q(x’,y’,z’) un punto cualquiera de r’:
Este punto satisface OQ = OP + k1.v1, de donde
(x’, y’, z’) = (7,-2,3) + k1.(1,3,-4) = (7+k1, -2+3k1, 3-4k1)
OP = (4,4,1), PQ = (3+k1, -6+3k1, 2-4k1);
El vector PQ ha de ser ortogonal con v1, y por tanto
0 = (3+k1) + 3.(-6+3k1) -4.(2-4k1) -- > 0 = -6k1 -23 -- >
k1 = -23/6 ;
Queda
{
𝑥′ = 7 −
23
6=
19
6
𝑦′ = −2 −23
2=
−27
2
𝑧′ = 3 +92
6= 3 +
46
3=
55
3
, y el punto de corte
es Q(19
6,−27
2 , 55
3 ); El vector director de la recta r es
v = PQ = (5
6 , −
35
2,52
3 ) , y por tanto
r: 𝑥−45
6
= 𝑦−4
−35
2
= 𝑧−152
3
298
6.- Determina la ecuación del plano m que pase por P(2,-3,-4) y
sea perpendicular a los dos planos:
m1: x + 2y –z = 8, m2: 7x -2y + z = 3
Sol.: Sea la ecuación general
Ax + By + Cz + D = 0
Si pasa por P: 2.A -3.B -4.C + D = 0
El vector w = (A, B, C) es ortogonal a m1 y m2, y por
tanto es ortogonal a los vectores
v1 = (1, 2, -1), v2 = (7,-2,1), y obtenemos así el sistema
{2. 𝐴 − 3. 𝐵 − 4𝐶 + 𝐷 = 0
𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 07𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
; Haciendo D = -1
podríamos resolver el sistema {2. 𝐴 − 3. 𝐵 − 4𝐶 = 1 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 07𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
OTRA FORMA: Si Q(x, y, z) es un punto cualquiera del plano m,
agregamos al anterior sistema la igualdad
A.x + B.y + C.z = 1 (hemos hecho D = -1)
con lo cual tengo
{
2. 𝐴 − 3. 𝐵 − 4𝐶 = 1 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 07𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
𝑥. 𝐴 + 𝑦. 𝐵 + 𝑧. 𝐶 = 1
, cuyas
incógnitas son A, B, C.
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
299
Para que sea compatible el determinante de la ampliada ha de ser
cero, ya que la de coeficientes
(
2 − 3 − 41 2 − 17 − 2 1𝑥 𝑦 𝑧
) tiene rango 3 ;
0 = |(
2 − 3 − 4 11 2 − 1 07 − 2 1 0𝑥 𝑦 𝑧 1
)| = -|1 2 − 17 − 2 1𝑥 𝑦 𝑧
| +|2 − 3 − 41 2 − 17 − 2 1
| =
= -([-2z+2x-7y] -[2x+y+14z]) + ([4+21+8] -[-56+4-3]) =
= -(-8y-16z) +(33+55 = 8y + 16z + 88 = 0,
solución m: y + 2z +11 = 0
7.- Dado el punto P(-2, 3, 0) calcula:
a) Distancia a la recta r: 𝑥−2
4=
𝑦+3
5=
𝑧+1
2
b) Distancia al plano m: x -2y + 8z = 3
Sol.: a) Hallo el plano m’ que pasa por P y sea perpendicular a r,
y calculo el punto Q de corte. Entonces
d(P, r) = d(P, Q)
El vector w = (4,5,2) es ortogonal a m’ :
300
m’: 4x + 5y + 2z + D = 0; Si pasa por P cumple
-8 +15 + 0 + D = 0 -> D = -7,
m’ : 4x + 5y + 2z -7 = 0
Punto Q de corte: Resuelvo
{
5𝑥 − 4𝑦 − 22 = 02𝑦 − 5𝑧 + 1 = 0
4𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0 -> Q(
−55
45,154
45 ,−13
45 )
d(P, r) = d(P, Q)
b)d(P, m) = |−2−6+𝑜−3|
√1+4+64=
11
√69
8.- Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Distancia entre los dos planos
m1: 2x + 4y –z + 7 = 0, m2: 4x + 8y -2z = 1
b)Distancia entre las dos rectas
r1: 𝑥−2
5=
𝑦+4
3=
𝑧+1
−2 , r2:
𝑥
3=
𝑦+2
−4=
𝑧−1
4
Sol.: a) Evidentemente los planos han de ser paralelos, y este es
el caso. Observa la figura
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
301
m1: 2x + 4y –z +7 = 0, m2: 2x + 4y –z -1/2 = 0
d(m1, m2) = d(O, m2) – d(O, m1) = |𝐷2−𝐷1|
√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , en nuestro caso
d(m1, m2) = |−
1
2 −7|
√21=
15
2√21
NOTA: Con relación a distancia de un plano m al origen O
hemos de tener en cuenta que
d(O,m) = 𝐷
√𝐴2+𝐵2+𝐶2 -- >
{> 0 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 ′𝑧𝑜𝑛𝑎′ 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
< 0 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 ′𝑧𝑜𝑛𝑎′𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
b)Tomo el plano m que pase por r2 y sea paralelo a r1. Entonces
d(r1, r2) = d(r1, m) = d(P, m) donde P es un punto cualquiera de
r1
302
Datos: r1: 𝑥−2
5=
𝑦+4
3=
𝑧+1
−2 , r2:
𝑥
3=
𝑦+2
−4=
𝑧−1
4
Un vector director de m es v1 = (5, 3, -2); Tengo el punto
P2(0, -2, 1) de r2, y obteniendo otro consigo otro punto y así
obtengo otro vector director:
r2: {−4𝑥 − 3𝑦 − 6 = 04𝑦 + 4𝑧 + 4 = 0
->{−4𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0𝑦 + 𝑧 + 1 = 0
;
hago z = 0 -> y = -1, -4x + 3-6 = 0, -4x = 3, x = -3/4
y tengo el punto Q(-3/4, -1, 0), y el vector v2 = (-3/4, 1, -1),
tomo: v2 = (-3, 4, -4)
Si X(x, y, z) es genérico de m, tengo:
OX = OP + k1.v1+ k2.v2 -> {𝑥 = 0 + 5𝑘1 − 3𝑘2𝑦 = −2 + 3𝑘1 + 4𝑘2𝑧 = 1 − 2𝑘1 − 4𝑘2
donde la incógnitas son k1, k2. Para que sea compatible
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
303
0 = |5 − 3 𝑥3 4 𝑦 + 2−2 − 4 𝑧 − 1
| = [20.(z-1)+6.(y+2) -12.x] –
-[-8x -9.(z-1)-20.(y+2)] = [-12x+6y+20z-8] – [-8x-20y-9z-31] =
-4x + 26y + 29z + 23
Plano m: -4x + 26y + 29z + 23 = 0
Tomo el punto P(2, -4, -1) de r1, y entonces
d(r1, r2) = d(P, m) = |−8−104−29+23|
√16+262+292=
|−118|
√1533=
118
√1533
9.- Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Determina el ángulo formado por las
rectas r1: 𝑥−2
2=
𝑦−3
6=
𝑧−1
7 , r2:
𝑥−1
2=
𝑦−3
4=
𝑧−2
9 ,
b) Determina el ángulo formado por los
planos m1: x + 2y -5z = 4, m2: 2x + 3y –z = 3
Sol.: a)
áng(r2, r1) = áng(v2, v1)
304
v1 = (2,6,7), v2 = (2,4,9)
áng(v2, v1) = 𝑣2∗𝑣1
|𝑣2|.|𝑣1|=
91
√101.√89=
91
√8989= 0,9598 𝑟𝑎𝑑.
b)Para los planos: m1: x + 2y -5z = 4,
m2: 2x + 3y –z = 3
áng(m1, m2) = áng(w1, w2)
w1 = (1,2,-5), w2 = (2,3,-1); w1*w2 = 13,
|𝑤1| = √30 , |𝑤2| = √14 ,
áng(w1,w2) = 13
√30.14= 0,6343 𝑟𝑎𝑑.
10.- Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Determina el ángulo formado por la recta r:
{𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6
, y el plano
m: 3x -y + 4z +3 = 0
b)Determina los cosenos directores de la perpendicular
por el origen al plano m anterior
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
305
c)Determina los cosenos directores de la recta r
Sol.: a) Expresión de r en forma continua y así obtengo un vector
director:
{−2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −8𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6
-> -x -7z = -2, z = 𝑥−2
−7
{𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6
-> 2y +6z = -2, z = 𝑦+1
−3 ,
por tanto
r: 𝑥−2
−7=
𝑦+1
−3 =
𝑧
1 , -> v = (-7, -3, 1) ;
Recordamos que, si g + g’ = 90º, entonces sen(g) = cos(g’)
w = (3, -1, 4); sen(g) = cos(g’) = −14
√31 .√26=
= −14
√806= −0,4931 , g = arcSen(-0,4931) = -0,5157 rad
Este resultado exige analizar con más detalle la situación real,
como sigue (Observa la figura)
306
En este caso g’-g = 90º, g’+ (-g) = 90º, sen(-g) = cos(g’) =
= −0,4931, por lo que –sen(g) = −0,4931, y por tanto sen(g) =
0,4931, y g = 0,5156 rad , que es el resultado esperado y correcto.
b) m: 3x –y + 4z + 3 = 0, w = (3, -1, 4), /w/ = √26
cos(g1) = 3
√26 , cos(g2) =
−1
√26, cos(g3) =
4
√26 ;
c) r: {𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 − 4𝑦 − 5𝑧 = 6
y en forma continua
r: 𝑥−2
−7=
𝑦+1
−3 =
𝑧
1 , -- > v = (-7,-3,1), /v/ = √59,
cos(g1) = −7
√59 , cos(g2) =
−3
√59 , cos(g1) =
1
√59 ;
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
307
11.- Dados el plano m: 2x –y + z = 1 y la recta
r: 𝑥−1
2=
𝑦+1
−1=
𝑧
1 ,
proyectar esta recta, en la dirección del vector w = (4,-1,3), sobre
el plano m.
Sol.: La citada proyección coincide con la intersección con m del
plano m’ que contiene a la recta r y uno de cuyos vectores
directores es w.
Evidentemente, los vectores v1 = (2,-1,1), director de r, y
v2 = w = (4, -1, 3) son generadores del subespacio director de m’.
Sea OX = OP + k1.v1 + k2.v2, donde P(1,-1,0) es un punto de r,
y X es punto de m’. Entonces
{𝑥 = 1 + 2. 𝑘1 + 4. 𝑘2𝑦 = −1 − 𝑘1 − 𝑘2𝑧 = 𝑘1 + 3𝑘2
, donde las incógnitas son
k1 y k2.
308
Para que el sistema sea compatible
0 = |( 2 4 𝑥 − 1−1 − 1 𝑦 + 11 3 𝑧
)| = [-2z-3(x-1) + 4(y+1)]-
-[-(x-1)-4z +6(y+1)] = [-2z-3x+4y+7] – [-x+6y-4z+7] =
= -2x -2y + 2z ,
Plano m’: x + y -z = 0
La proyección pedida es la recta r’:
{𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
12.- Responde a las siguientes cuestiones:
Posición relativa de los tres planos
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 3
Sol.: El rango de A y de la ampliada es igual a 3, por lo tanto
tienen un punto, y sólo uno, en común.
13.- Dada la recta
r: 𝑥−1
3=
𝑦+2
4=
𝑧
−1 ,
determina la ecuación de la recta r’ que sea paralela a r y que se
apoye en las siguientes dos rectas
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
309
r1: 𝑥
−4=
𝑦−2
3=
𝑧
−2 , r2:
𝑥+1
−1=
𝑦−3
−2=
𝑧+1
5
Sol.: Estrategia: Obtengo plano m1 que pase por r1 y sea paralelo
a r. Obtengo el plano m2 que pase por r2 y sea paralelo a r. La
intersección de m1 con m2 es la recta r’ pedida.
r1 -> {3𝑥 = −4𝑦 + 8−2𝑦 + 4 = 3𝑧
; haz de planos:
(3x+4y-8) + k.(-2y-3z+4) = 0
3x + (4-2k).y -3k.z + (-8+4k) = 0
Impongo que es paralelo con r: v = (3, 4, -1),
0 = 9 + 4.(4-2k) + 3k -> 0 = -5k + 25, k = 5
m1: 3x -6y -15z +12 = 0, m1:x -2y-5z + 4 = 0
r2: 𝑥+1
−1=
𝑦−3
−2=
𝑧+1
5
r2 -> {−2𝑥 − 2 = −𝑦 + 35𝑦 − 15 = −2𝑧 − 2
; haz de planos:
(2x –y +5) + k.(5y +2z-13) = 0,
2x+ (-1+5k)y + 2kz +(5-13k) = 0
Impongo paralelismo con r: v = (3,4,-1)
0 = 6 + 4.(-1+5k) -2k, 0 = 18k +2 -> k = -1/9
310
m2: 2x -14/9.y -2/9.z + 44/9 = 0;
m2: 18x-14y-2z + 58 = 0, m2: 9x -7y –z + 29 = 0
Finalmente: r’: {𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 + 4 = 09𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 + 29 = 0
OTRO MÉTODO: Observa la figura
v = (3,4,-1), v1 = (-4,3,-2), v2 = (-1,-2,5),
A(1, -2, 0), A1(0, -2, 0), A2(-1, 3, -1)
PQ = k.v = (3k, 4k, -k); PQ = OQ -OP = [OA2+ k2.v2] -
- [OA1 +k1.v1];
PQ = [(-1, 3, -1) + (-k2, -2k2, 5k2)] –
-[(0, -2, 0) + (-4k1, 3k1, -2k1)];
PQ = (-1-k2, 3-2k2, -1+5k2) – (-4k1, -2+3k1, -2k1)
PQ = (-1+4k1-k2, 5-3k1-2k2, -1+2k1+5k2)
Igualando tengo el Sistema
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
311
{3𝑘 = −1 + 4𝑘1 − 𝑘2 4𝑘 = 5 − 3𝑘1 − 2𝑘2 −𝑘 = −1 + 2𝑘1 + 5𝑘2
-> {3𝑘 − 4𝑘1 + 𝑘2 = −1 4𝑘 + 3𝑘1 + 2𝑘2 = 5 𝑘 + 2𝑘1 + 5𝑘2 = 1
Sistema cuyas incógnitas son k, k1, k2
A = (3 − 4 14 3 21 2 5
), /A/ = [45-8+8]-[3+12-80] =
= 45 + 65 = 110; ran(A) = 3
Aplico Método de Sarrus:
Ak = (−1 − 4 15 3 21 2 5
), /Ak/ = [-15-8+10] – [3-4-100]
= -13 +101 = 88 -> k = 88/110 = 44/55
Ak1 = (3 − 1 14 5 21 1 5
), /Ak1/ = [75-2+4] – [5-20+6] =
= 77 +9 = 86 -> k1 = 86/110 = 43/55
Ak2 = (3 − 4 − 14 3 51 2 1
), /Ak2/ = [9-20-8] –[-3-16+30]
= -19 -11 = -30 -> k2 = -30/110 = -15/55
Punto P: OP = OA1 + k1.v1 = (-4k1, -2+3k1, -2k1) =
312
= (-4.43/55, -2+3.43/55, -2.43/55) =
= (-172/55, 19/55, -86/55)
Ecuación de r’: 𝑥 +
172
55
3=
𝑦−19
55
4=
𝑧+86
55
−1
Nota: Obvio la comprobación porque interesa fundamentalmente
el método.
14.- Determina la ecuación del plano m que pasa por la recta r:
{𝑥 = 𝑦𝑧 = 0
, y dista uno del punto P(3, 2, 1).
Sol.: Ecuación del haz de planos
m’: (x –y) + k.z = 0, m’: x –y + kz = 0
Distancia al punto P:
1 = 3−2+𝑘
√2+𝑘2=
1+𝑘
√2+𝑘2 -> √2 + 𝑘2 = 1 + 𝑘 ,
2+k2 = 1+2k+k
2 , 2 = 1+2k, 1 = 2k, k = 1/2
m: x –y + 1/2.z = 0, m: 2x -2y + z = 0
15.- Determina el punto simétrico P’ del punto P(1, 2, 3) respecto
de la recta
r: 𝑥−1
−1=
𝑦−2
2=
𝑧
1
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
313
Sol.: Obtengo el plano m que pasa por P y es perpendicular a r. El
vector v = (-1, 2, 1), director de r, es ortogonal a m.
Tom v =(1,-2,-1), m: x -2y –z + D = 0
Pasa por P: 1-4-3 + D = 0 -> D = 6, m: x-2y-z + 6 = 0
Hallo punto de corte entre m y r:
r: {2𝑥 + 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑧 = 2
-> {
2𝑥 + 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −6 ,
A = (2 1 00 1 − 21 − 2 − 1
), /A/ = [-2-2]-[8] = -12,
Ax = ( 4 1 02 1 − 2−6 − 2 − 1
), /Ax/ = [-4+12] –[-2+16] = -6
x = 6/12 = 1/2
Ay = (2 4 00 2 − 21 − 6 − 1
), /Ay/ = [-4-8] –[24] = -36
y = 3
Az = (2 1 40 1 21 − 2 − 6
), /Az/ = [-12+2] –[4-8] = -6
z = 1/2
Punto obtenido Q(1
2, 3,
1
2 ) , Dato P(1, 2, 3),
314
Vector w = PQ = (-1/2, 1, -5/2);
OP’ = OP + 2.PQ = (1, 2, 3) + (-1, 2, -5) = (0,4,-2)
El punto pedido es P’(0, 4, -2)
OTRO FORMA: Q(1
2, 3,
1
2 ) es el punto medio del segmento
con extremos P(1,2,3) y P’(x,y,z), por lo que
{
1+𝑥
2=
1
2
𝑦+2
2= 3
3+𝑧
2=
1
2
, -> P’(0, 4, -2)
16.- Tengo dos Sistemas de referencia:
S = {O; u1, u2}, S’ = {O’; v1, v2}, relacionados como
sigue:
{𝑣1 = 𝑢1 + 𝑢2𝑣2 = 𝑢1 − 𝑢2
𝑂′𝑂 = 2𝑢1 − 3𝑢2
Determina las ecuaciones del cambio de S a S’.
Si P(-1, 2) respecto de S, halla sus coordenadas respecto de S’.
Res.: OQ = x.u1+ y.u2, O’Q = x’.v1 + y’.v2
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
315
OQ = OO’ + O’Q
x.u1+ y.u2 = -2u1 + 3u2 + x’.(u1+u2) + y’.(u1-u2)
->
(x+2).u1 + (y-3).u2 = (x’+y’).u1 + (x’-y’).u2
->
{𝑥 + 2 = 𝑥′ + 𝑦′
𝑦 − 3 = 𝑥′ − 𝑦′ , {
𝑥 = −2 + 𝑥′ + 𝑦′
𝑦 = 3 + 𝑥′ − 𝑦′ ,
Podemos despejar x’, y’ , obteniendo
{𝑥′ = −
1
2+1
2. 𝑥 +
1
2. 𝑦
𝑦′ =5
2+1
2. 𝑥 −
1
2. 𝑦
P(-1, 2) -> x’ = …. , y’ = …
17.- a) Determina las ecuaciones de la traslación
OO’ = 3u1-4u2 . Obtener las coordenadas de la imagen
de P(2, 3)
a) Determina las ecuaciones del giro
g = π/4
Obtener las nuevas coordenadas de P(2, 3)
Res.: a) OQ = OO’ + O’Q = 3u1-4u2 + (x’.u1+y’.u2)
316
OQ = x.u1 + y.u2
x.u1 + y.u2 = 3u1-4u2 + (x’.u1+y’.u2)
(x-3).u1 + (y+4).u2 = x’.u1 + y’.u2 ->
{𝑥′ = 𝑥 − 3𝑦′ = 𝑦 + 4
; P(2, 3) -> x’ = -1, y’ = 7
b)
Por estudio realizado sabemos que las ecuaciones del giro son
(𝑥′
𝑦′) = (
cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (
𝑥𝑦) , de donde
{𝑥′ = 𝑥. cos(𝑔) − 𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)
𝑦′ = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦. cos(𝑔) -> {
𝑥′ = 𝑥.√2
2+ 𝑦.
√2
2
𝑦′ = −𝑥.√2
2+ 𝑦.
√2
2
P(2, 3) -> x’ = … , y’ = …
---------------
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
317
BIBLIOGRAFÍA
Álgebra Moderna
Autor: A. Lentin y J. Rivaud
Traducción: Emilio Motilva Ylarri
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965
Ejercicios de Álgebra Moderna
Autor: A. Lentin y J. Rivaud
Traducción: Emilio Motilva Ylarri
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965
Lecciones de Álgebra Moderna
Autor: P. Dubreil, M.L. Dubreil-Jacotin
Traducción: R. Rodríguez Vidal
Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1971
Álgebra
Autor: Serge Lang (Universidad de Colombia)
Traducción: Milagros Ancochea
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1971
Geometría Vectorial
Autor: Norberto Cuesta Dutari
Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1968
Álgebra Lineal
Autor: Daniel Hernández Ruipérez
Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990
Álgebra y Geometría Analítica
Autor: Francisco Granero Rodríguez
Edita: McGraw-Hill (Ediciones La Colina, S.A. (España))
318
Edición de 1985
Álgebra Lineal (incluyendo Teoría de Conjuntos),
y Problemas resueltos
Autor: Alberto Luzárraga
Editado por el autor, Barcelona 1968
Álgebra Superior (Higher Algebra)
Autor: H.S. Hall, M. A., y S.R. Knight, B.A.
Traducción: Rafael García Díaz
Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México,
Reimpresión de 1969
Lecciones de Álgebra
5ª Edición, Madrid 1960
Julio Rey Pastor
Geometría Básica
Autor: Pedro Abellanas
(Copyright by the Author)
Editorial Romo, S.L., Madrid, año: 1969
Teoría de Conjuntos y Temas Afines (Teoría y Proble.)
Autor: Seymour Lipschutz
Editorial: Libros McGraw-Hill, 1969,México
Serie compendios SCHAUM
Todo Matemáticas Vol.10, Álgebra lineal
319
NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores:
Símbolo Significado
* Producto
. Producto
^ Potencia
sqr(a) Raíz cuadrada
rad(a) Raíz cuadrada
rad(a;n) Radical con índice n
rad(a;n/m) Radical con índice n/m
∈ significa ‘pertenece a’
∞ infinito
exp(x) Exponencial: exp(x) = ex
exp(x;a) Exponencial de base a>0:
exp(x;a) = ax
ln(x) Logaritmo neperiano:
y = ln(x) <--> x = ey
log(x;a) Logaritmo base a>0:
y = log(x;a) <--> x = ay
≅ aproximado
∆ incremento
320
< menor que, > mayor que, Ej.: x < y, x > y
Valores:
𝜋 = 3,1415927... (número pi, en radianes)
pi = 3,1415927... (número pi, en radianes)
e = 2,7182818... (número e, base de ln(x))
sen(0) = 0 cos(0) = 1
sen(pi/6) = 1
2 cos(pi/6) =
√3
2
sen(pi/3) = √3
2 cos(pi/3) =
1
2
sen(pi/2) = 1, cos(pi/2) = 0