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選擇權 Options

區國強

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選擇權仍一金融工具,讓其持有者在指定的日期以指定的價格「有權」去買或去賣特定資產

「有權」去買稱買權 call options 「有權」去賣稱賣權 put options 若執行選擇權,必定利潤為正 賣選擇權者稱 writer

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理論上,美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤

實務上,上述差異極小,因為投資者可以在公開市場上「再賣」出

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K : 執行價格 exercise priceC : 買權之價值P : 賣權之價值S : 現貨價F : 期貨價

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Long 買權之期終收入 :

Long 賣權之期終收入 :

)0,( KSMaxC TT

)0,( TT SKMaxP

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如現貨價 St 接近執行價格 K ,稱為 「 at-the-money 」

如執行選擇權,可獲利潤,則其現貨價 St 稱為「 in-the-money 」

如執行選擇權,無利潤可言,則其現貨價 St 稱為「 out-of-the-money 」

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因選擇權在到期日必定有利潤 ( 最少為零 ) ,故選擇權契約為有價資產 ( 最少為零 ) ,必需先支付「非負」的價格,始可獲得,些稱為「貼水」 (premium) 。故評價選擇權,必需把此貼水轉換為到期日時的未來值 (Cert 或 Pert )

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賣權 - 買權平價 Put-call parity 買特定資產的交易收益,可分解為對該

資產「 a long call + a short put 」,因若資產價格上升,其收益可用 long call表示;若資產價格下跌,其損失可用 short put 表示,此簡單關係連結了 call 與 put 的價值,故稱為「賣權 - 買權平價 , Put-call parity 」

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表列 Put-call parity資產組合 期初收入 期未收入

ST < K期未收入ST >= K

(1) 買「買權」 -C 0 ST - K

賣「賣權」 +P -(K - ST) 0

投資 -Ke-rt K K

加總 -C+P-Ke-rt ST ST

(2) 直接買資產 -S ST ST

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若無套利行為,則無收益資產 Put-call parity:

有收益成長率為 r* 之 Put-call parity:

SKePC rt

rtrttr eKFKeSePC )(*

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例題 (1999 FRM Exam Q.35) 根據 Put-call parity ,賣一個「賣權」等同 :

A. 買一個「買權」,買股票,借出錢;B. 賣一個「買權」,買股票,借入錢;C. 賣一個「買權」,買股票,借出錢;D. 賣一個「買權」,賣股票,借入錢;

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例題 (2002 FRM Exam Q.47) 兩年期的歐式買權價值 $50 ,其執行價

格為 $140 ,現貨價 $100 ,每年支付股利 2% ,年利率為 5% ;則執行價格為 $140 的兩年期的歐式賣權價值為 :A. $77B. $10C. $90D. $81

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例題 (2002 FRM Exam Q.25) 年利率為 6% ,一無股利之股票,現價 $20 ,

執行價格為 $18 的六個月歐式買權的賣價為$4 ,同執行價格、同履約期的歐式賣權的賣價為 $1.47 ,此三種資產 ( 股票、買權及賣權 ) 的訂價是否一致 ?A. 否,有價值 $2.00 的套利機會B. 否,有價值 $2.53 的套利機會C. 否,有價值 $14.00 的套利機會D. 是

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選擇權的組合 Short Covered call: 買入資產 + short a call Long protective put: 買入資產 + long a put Long straddle( 同時買賣相同履約期及執行價

格的買權及賣權 ):long a call + long a put

Short straddle: short a call + short a put Strangle: 不同的執行價格的組合

( 因 strangle 為 out-of-money, 故較 straddle 便 宜 )

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價差 spread 牛價差 bull spread: 預期價格上升 :

1. 以較低的執行價格 K1 買一個買權2. 以較高的執行價格 K2 賣一個買權

淨成本 : C(S,K1) - C(S,K2) >0如果 ST > K2 ,淨收益 :

12

21

21

)()(

)0,()0,(

KK

KSKS

KSMaxKSMax

TT

TT

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例題 (2001 FRM Exam Q.90) 用選擇權契約投機,下列何者風險最大 ?

A. 使用買權去設立一個「價差」B. 買「賣權」C. 賣「買權」D. 賣「賣權」

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例題 (1999 FRM Exam Q.33) 下列何者構成一個「牛價差 bull spread 」 ?

A. 買一個執行價格 =50 的賣權;賣一個執行價 格 =55 的賣權B. 買一個執行價格 =55 的賣權;賣一個執行價 格 =50 的賣權C. 買一個貼水 =5 的買權;賣一個貼水 =7 的買 權D. 買一個執行價格 =50 的買權;賣一個執行價 格 =55 的賣權

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例題 (2000 FRM Exam Q.5) 考慮一個 bullish spread: 以 $3 買入一

個執行價格為 $30 的買權;並以 $1.50賣出一個執行價格為 $40 的買權。若在履約日,股票價格升至 $42 ,則此 bullish spread 的淨利潤為 :A. $8.50B. $9.00C. $9.50D. $12.50

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例題 (2002 FRM Exam 42) 考慮一熊市發策略 : 以 $7 買入一個執行價格

為 $50 的賣權、以每個 $4 賣出兩個執行價格為 $42 的賣權、及以 $2 買入一個執行價格為$37 的賣權,全部選擇權的到期日皆相同。若在到期日,資產以 $33 交易,則上述熊市發策略的淨利潤為 :A. $1 B. $2C. $3 D. $4

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選擇權評價的下限 不管是「買權」抑或「賣權」,其價值必不

為負,故根據 Put-call parity ,可分別得出其下限 :

tr

t

rtt

SKeP

KeSC

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美式選擇權是否應提早執行(假定資產無股利 ) 買權:可選擇提早執行或賣出契約提早執行之利潤 : St – K賣出契約之利潤下限 :

故絕不提早執行買權契約

rt KeS

KSKeS tr

t

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賣權 : 可選擇提早執行或賣出契約提早執行之利潤 : K – St

賣出契約之利潤下限 :

因提早執行之利潤大過賣出契約之利潤下限 , 故可能提早執行。若利率低或資產有支付高股利,則降低提早執行的可能性。

tr SKe

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例題 (1999 FRM Exam 34) 一歐式買權剩一年到期,執行價格為 80 ,

年利率為 5% ,若現貨價為 90 ,則該買權的買價下限為 :

A. 14.61B. 13.90C. 10.00D. 5.90

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風險中立 (risk-neutral) 定價 Binomial process: 假定利率 r = 25%

S1 = 150, C1 = 50S0 =100

S2 = 50, C2 = 0

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假定發生第一種情形的機率為 p ,則一風險中立的投資者要求 :

同理,選擇權的定價為

75.0

)25.01/(]50)1(150[100

)1/(])1([ 210

p

pp

rSpSpS

30

)25.01/(]0)75.01(5075.0[

)1/(])1([ 210

rCpCpC

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Black-Scholes 定價 假定 :

1. 價格連續變動2. 利率固定並已知3. 資產的變異數固定

4.完美市場 ( 無稅、無運輸成本、放空無 限制、市場連續運作 )

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資產價格的统計程序為 geometric Brownian motion (GBM): 在一極短的時間區間 (dt) ,對數報酬率為平均數 =μdt 、變異數 =σ2dt 的常態分配,總報酬率依循

第一項的平均變動,第二項為隨機變動 , dz為平均數 =0 、變異數 =dt 的常態分配

dzdts

ds

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期終價格 :

ε為 N(0,1) 的標準常態分配

)2

()ln()ln(2

0SST

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買權定價 :

N(d) 為常態分配的累加分配

12

1

21

2

ln

)()(

dd

KeS

d

dNKedSNC

rt

rt

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根據 put-call parity ,歐式賣權之定價 :

例 : 現貨價 S=100 ,年利率為 5% ,執行價格 K=100 , σ=20% ,則半年期的買權及賣權分別為何 ?

1)(1)( 21 dNKedNSP r

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Call 的價值可視為等同於購買N(d1) = 59.77% 現貨,並借入c = $59.77 - $52.88 =$6.89 現金,故為現貨的槓干部位

買權亦可用風險中立的折現方式表示

K

rt

K

rt dssfKedsssfec )()(

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右邊第一項積分為不執行的折現值,第二項積分為執行的折現值,故其為 K 的折現值乘上執行該選擇權 (S > K) 的機率,因此風險中立之執行選擇權的機率為

)()( 2dNdSSfK

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B-S模型的延伸 Merton(1973) 把証劵支付連續紅利 (q) 加入

B-S 模型中 ,則買權之價值為 :

有趣的是,如果選擇權趨向更 in-the-money (即 S 大過 K許多 ) ,導致 K-S 買權方程式中的 d1 與 d2很大,使 N(d1) 及 N(d2)趨向一, 令 K-S 買權價值為 :

)()( 21

*

dNKedNSeC rr

rr KeSeKSC *

)(

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此變成遠期契約的訂價公式,因為極度 in-the-money 的選擇權買權,幾可決定必會被執行,故等於直接買遠期契約

Back(1976) 把上述支付紅利的情形從現貨選擇權延伸至期貨選擇權,惟現貨的紅利為現金,期貨的 「隱含紅利」則為無風險利率

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簡單以期貨價格 F 替代現貨價格 S ,買權之價值為 :

B-S 訂價模型的全部係數,除了波動 (volatility)外,皆可直接觀察,如果我們以市場價格替代模型價格,則 volatility 可以用標準差代替,稱為隱含標準差 (implied standard deviation, ISD)

r

rr

edKNdFN

dNKedNFeC

)()(

)()(

21

21

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如果 B-S模型是對的,則不論執行價格 K 之高低, ISD皆固定,但實際上,在較高及較低的執行價格, ISD皆增加,此稱為「波動微笑 」 (volatility smile) ,此現象在許多市場皆出現,並隨時間的改變而變動。在 1987/10 股市大崩盤前,此微笑現象的影响並大;大崩盤後,其影响就愈來愈嚴重且複雜

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例題 (2001 FRM Exam Q.91) 現價 = 100 ;執行價格 = 110 ;無風險

利率 = 10% ,期限 = 0.5 年, N(d1) = 0.457185 ; N(d2) = 0.374163 ,請計算 B-S模型的買權價值 :

A. $10.90B. $9.51C. $6.57D. $7.92

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例題 (1998 FRM Exam Q.2) 在 B-S 買權訂價模型中,何者表示選擇

權會否執行的機率 :

A. d1

B. d2

C. N(d1)D. N(d2)

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其他選擇權 二項選擇權 (binary options ,或稱數位選擇

權, digital options):如果資產價格超過執行價格,則支付一固定金額 Q ,故其價值

I(x) 稱為指標變數 (indicator variable)

0 if;0

0 if;1)(

)(

x

xxI

KSIQV TT

Page 40: 選擇權  Options

因 in-the-money 時執行的機率為 N(d2) ,故此選擇權的期初買權價值為:

因為價值在執行價格附近不連續 (ST 低過 K ,價值為零; ST 高過 K ,價值為 Q) ,故很難避險

)( 2dNQeC r

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關卡選擇權 (barrier options) :H為一事先指定的價格水準, S 在整個契約期內 :

擊倒 (knock-out): 若 S<H, 則契約失效釘入 (Knock-in): 若 S>H,則契約生效

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1. Down-and-out call: 如 S < H,則買權失效

2. Down-and-in call: 如 S < H,則買權生效3. Up-and-out call: 如 S > H,則買權失效4. Up-and-in call: 如 S > H,則買權生效

賣權之情況雷同

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Down-and-out call 加上 down-and-in call 等於一般的歐式買權 :

C = CDO + CDI

因為買權的價值必定非負,故 CDO 與 CD

I的貼水絕不會大過一般的歐式買權 C 因為較「便宜」,也意味執行的機率較

低 在 H附近不連續,故很難避險

Page 44: 選擇權  Options

亞式選擇權 (Asian options): 在期終結算時,不以期終現貨價 ST ,而以整個契約期內的平均現貨價為計算標準,其期終價值為 :

因以平均現貨價計算, volatility 較小 ( 約為 σ/3) ,故較便宜,也較容易避險

]0,),([ KTtSMaxC AVET

Page 45: 選擇權  Options

例題 (1997 FRM Exam Q.10) Knock-out 選擇權時常被用以取代一般

的選擇權,因為 :

A. Knock-out options 的波動較小B. Knock-out options 的貼水較低C. Knock-out options 的契約期平均較短D. Knock-out options 的 gamma 較小

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例題 (2002 FRM Exam Q.19) 現貨價 =100 ,關卡還未達到,則若現貨價將上

升,下列何者不會受益 ?

A. down-and-out 買權 : 關卡 =90, 執行價格 =110B. down-and-in 買權 : 關卡 =90, 執行價格 =110C. up-and-in 賣權 : 關卡 =110, 執行價格 =100D. up-and-in 買權 : 關卡 =110, 執行價格 =100

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選擇權之非線性風險 我們可以把選擇權的價值寫為一般函數式 :

衍生性金融商品定價就是尋找 f 的值,惟除非多許多簡單化的假定,否則表達不出函數形式,一般需靠數字方法模擬。

選擇權定價公式中,一般簡化認定 : 現貨價(S) 為非線性關係,其餘變數為線性關係;

),,,,,( * KrrSff ttttt

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風險管理必需先了解函數 f 的變動。若小幅變動,可以用 Taylor 展開式趨近 :

...

)(2

1

**

22

2

df

df

drr

f

drr

fdS

S

fdSS

fdf

Page 49: 選擇權  Options

一階偏微稱 delta ;二階偏微稱 gamma 。故以直線估計,為 delta估計,以二項式估計,則是 delta 加 gamma

Taylor 展開式無效的原因 :1. 風險因子巨大變動 :2. 高度非線性 ( 如選擇權接近到期日,或其 他新興選擇權 exotic options)3. 交义偏微

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例題 (1999 FRM Exam Q.65) 估計普通 (vanilla) 歐式選擇權的風險時,為什麽常

以 delta-gamma方式,而非用精確的方程式 ?A. 以 Taylor 展開式展開選擇權的價格函數

時, delta 及 gamma 為首兩項,其他項通常不顯著

B. 只有 delta 風險及 gamma 風險可以避險C. 價格函數不能直接計算, delta 及 gamma 則可D. (A) 及 (C) 對, (B) 錯

Page 51: 選擇權  Options

例題 (1999 FRM Exam Q.88) 為什麽 delta方法不適用於衡量選擇權資產

組合 (portfolio) 的風險

A. 缺乏資料去計算變異數 -共變異數矩陣B. 選擇權一般為「短期」的衍生性金融商品C. 選擇權收益為非線性D. B-S 訂價模型不適用於真實世界

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例題 (2001 FRM Exam Q.79) 一銀行賣出 100,000 股証劵的買權,收入 3

00,000 ,該証劵的交易價 =50 ,執行價格 = 49 ,契約期三個月,標準差 =20% ,利率 =5% ,則該銀行應如何 delta避險 ?( 以千股為整數 )A. 買入 65,000 股B. 買入 100,000 股C. 買入 21,000 股D. 賣出 100,000 股

Page 53: 選擇權  Options

選擇權的希臘字母 研究風險因子變動導致選擇權價值變動多少,

稱為敏感度 (sensitivity) 分析 最重要的敏感度分析,即為價格對選擇權價值

的一階偏微,稱為 delta 。如買權的 delta 為

永遠為正並小過一

)( 1

*

dNeS

CC r

Page 54: 選擇權  Options

賣權的 delta 則為負數 :

Gamma (Γ) 為二階偏微,即價格對△的一階偏微,可衡量△的「不穩定性」。買權和賣權的 gamma 相同 (Φ為標準常態分配的 pdf)

1)( 1

*

dNeS

PP r

S

de

S

P

S

C r )( 12

2

2

2 *

Page 55: 選擇權  Options

重要概念 Call delta: at-the-money △→ 0.5

in-the-money △→ 1 out-of-the-money △→ 0

Put delta: at-the-money △→ -0.5 in-the-money △→ 1 out-of-the-money △→ 0

在一般選擇權中,愈短期 at-the-money的選擇權,非線性愈明顯

Page 56: 選擇權  Options

選擇權中的 gamma類似債券的 convexity.惟固定票面利率債券的 convexity恆為正,選擇權的 gamma 則可正可負。正的 gamma 及 convexity都有好處 : 資產價值下跌時下跌較慢,上升時則上升較快

Page 57: 選擇權  Options

正、負 gamma:long call: △> 0 ; Γ > 0long put: △< 0 ; Γ > 0short call: △< 0 ; Γ < 0short put: △> 0 ; Γ < 0

Page 58: 選擇權  Options

選擇權價值因波動 (volatility) 的改變而變動,稱為 lambda( 或稱 vega 、 kappa) ,即選擇權價值對波動的敏感度。歐式買權和賣權相同 :

買 (long) 選擇權, lambda 必為正 At-the-mony 時, lambda 最大 剩餘的契約期愈短, Lambda愈小

)( 1

*

dSePC r

Page 59: 選擇權  Options

選擇權價值對國內利率的敏感度,稱為 rho 。

買權 :

賣權 :

0)( 2

dNKer

C rC

0)( 2

dNKer

P rP

Page 60: 選擇權  Options

在固定執行價格下,利率增加導致資產有較高的成長率,使執行買權的機會增加,故增加買權的價值。在利率無限大的極端情形下, N(d2)=1 ,買權一定會被執行,從而使買權就等於資產本身

賣權的情形與上述的剛好相反

Page 61: 選擇權  Options

收益對選擇權價值的影响 :

買權 :

賣權 :

收益增加導致資產的成長率下降,不利買權的價值;賣權則剛好相反

)( 1** *

dNSer

C rC

)( 1** *

dNSer

P rP

Page 62: 選擇權  Options

已過的時間 (passage of time) 對選擇權價值的影响稱為 theta (Θ) , 這亦稱為時間衰退 (time decay) 。與其他因素不同,選擇權剩下多少時間到期,是完全可預期的,故不算風險因子。一般而言, Θ對購入買權及賣權的影响皆為負,即選擇權的契約時間過得愈多,選擇權愈失去價值。

Page 63: 選擇權  Options

買權 :

賣權

)()(2

)(21

*1*

*

dNrKedNSerdSe

C

t

C

rrr

C

)()(2

)(21

*1*

*

dNrKedNSerdSe

P

t

P

rrr

P

Page 64: 選擇權  Options

與 Gamma (Γ) 一樣, 如果以絕對值衡量,短契約期 at-the-money 的 theta (Θ) 最大,因 當 at-the-money 選擇權的到期日愈來愈近,選擇權的價值就喪失得愈來愈多

美式選擇權的 theta 一定為負,因為其給予擁有者提早執行的選擇

Page 65: 選擇權  Options

回顧 GBM

假定只有現貨價格為單一風險因子,故選擇權函數可簡化成 f(S ,t) ,應用隨機微積分的 Ito’s lemma (忘了它吧 !) 及 Taylor展開式 ,可得

dzdts

ds

dzSS

fdt

fS

S

fS

S

fdf

222

2

2

1

Page 66: 選擇權  Options

代入” Greeks” ,得 :

右邊第一項為變動的趨勢,第二項為隨機因素 若希望構建一個由選擇權 f 與現貨 S 組成的

投資組合,而完全消除來自 dz 的隨機風險,定義此投資組合 :

dzSdtSSdf

22

2

1

Sf

Page 67: 選擇權  Options

使用前兩條 (GBM 及 df) 公式 , 並簡化

此簡式很重要,不單消去 dz 項,使投資組合對隨機風險免疫 (immunized) ,更消去變動趨勢項μ,此解釋為何 B-S 定價方程式,沒有趨勢值

dtSd

22

2

1

Page 68: 選擇權  Options

因為投資組合沒有風險,為避免套利行為,其報酬率必定為無風險利率

如果資產有收益 (y ,如紅利、股息 ) ,則上式調整為:

dtSfrdtrd

SdtydtSfrSdtydtrd

Page 69: 選擇權  Options

代入含有 greeks 的 dΠ公式,符消去左邊的dΠ,得 :

此即 Black-Scholes 的偏微分方程式 (partial differential equation, PDE) ,此方程式適用於任何其價值衍生自現貨價格的單一契約 ( 期貨、選擇權 、遠期契約 ) 及投資組合。例如,此方程式的解加上適當的期初條件,可直接導出歐式買權公式

rfSSyr 22

2

1)(

Page 70: 選擇權  Options

根據此 PDE ,我們可得出各種「敏感度」之間的關係。例如,考慮一由各種衍生性金融商品組成的投資組合,各金融商品皆以同一資產為標的,若此投資組合已經 delta避險,則此 PDE中的△ =0 ,

若 rf 不大,則大而正值的 Γ,必導致 Θ為負

rfS 22

2

1

Page 71: 選擇權  Options

換言之,一有 delta避險的衍生性金融商品組合,正的 gamma (Γ)導致其會受益於價格風險,則必定有負的 theta(Θ,時間衰退 (time decay))

例如買入 straddle(跨坐? ) ,此為 delta中立並有大的 gamma ,其會受益於現貨價格 S 的大幅波動,但其買入的選擇權的價值,很快衰退

Page 72: 選擇權  Options

重要概念 Delta避險的資產組合,其 g

amma 的正負必定與 theta的正負相反

Page 73: 選擇權  Options

例題 (2001 FRM Exam Q.123) 當一 in-the-money 的選擇權接近到期

日時,下列 “ Greeks” ,何者最具風險 ?

A. Lambda (vega)B. RhoC. GammaD. Delta

Page 74: 選擇權  Options

例題 (1998 FRM Exam Q.43) 若把風險定義為「潛在未預期的損失」,

則下列 “ Greeks” ,何者對買入 (long)賣權,構成風險 :

A. delta , vega , rhoB. vega , rhoC. delta , vega , gamma , rhoD. delta , vega , gamma , theta , rho

Page 75: 選擇權  Options

例題 (1998 FRM Exam Q.44) 若把風險定義為「潛在未預期的損失」,

則下列 “ Greeks” ,何者對賣出 (short) 買權,構成風險 :

A. delta , vega , rhoB. vega , rhoC. delta , vega , gamma , rhoD. delta , vega , gamma , theta ,rho

Page 76: 選擇權  Options

例題 (1998 FRM Exam Q.45) 若把風險定義為「潛在未預期的損失」,

則下列 “ Greeks” ,何者對買入 (long) straddle(跨坐 ) ,構成風險 :

A. delta , vega , rhoB. vega , rhoC. delta , vega , gamma , rhoD. delta , vega , gamma , theta , rho

Page 77: 選擇權  Options

例題 (1999 FRM Exam Q.39) 如果市場條件不變,當接近到期日時,

下列何種選擇權會有加速的時間衰退 (time decay)?

A. in-the-moneyB. out-of-the-moneyC. at-the-moneyD. 以上皆非

Page 78: 選擇權  Options

例題 (1999 FRM Exam Q.38) 當距離到期日的時間相同時,下列有關選擇權的

時間價值 (time value) 的陳述,何者為對 ?

A. out-of-the-money 較 at-the-money 有較高時 間價值B. in-the-money 較 at-the-money 有較高價值C. at-the-money 比 out-of-the-money和 in- the-money ,都較有時間價值D. at-the-money 選擇權沒有時間價值

Page 79: 選擇權  Options

例題 (1999 FRM Exam Q.56) 若市場其他條件皆相同,無收益的歐式買權

及賣權有相同的 :(1) Gamma ; (2) Vega ; (3) theta ; (4) rho

A. 只有 (2)B. (1)和 (2)C. 全部D. (3)和 (4)

Page 80: 選擇權  Options

例題 (1998 FRM Exam Q.36) 一投資者在兩天前,向一衍生性金融商品經記商

買入一短期 at-the-money 的 straddle 交換契約,下列何種風險因素將使該投資者產生損失 ?1. 利率 delta 風險; 2. gamma 風險; 3. vega風險; 4. theta 風險; 5. 契約對方的信用風險

A. (1)和 (2)B. (1) 、 (2) 、和 (3)C. (1) 、 (3) 、 (4) 、和 (5)D. (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、和 (5)

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例題 (1998 FRM Exam Q.37) 一投資者在兩天前,向一衍生性金融商品經記商賣出

一短期 at-the-money 的 straddle 交換契約,貼水先付,下列何種風險因素將使該投資者產生損失 ?1. 利率 delta 風險; 2. gamma 風險; 3. vega 風險;

4. theta 風險; 5. 契約對方的信用風險

A. (1)和 (2)B. (1) 、 (2) 、和 (3)C. (1) 、 (3) 、 (4) 、和 (5)D. (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、和 (5)

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例題 (2000 FRM Exam Q.76) 投資者如何佈處一負 vega 、正 gama 的

投資 ?

A. 買入短期選擇權;賣出長期選擇權B. 買入長期選擇權;賣出短期選擇權C. 買入及賣出長期選擇權D. 買入及賣出短期選擇權

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動態避險 Dynamic hedging B-S 訂價模型主要貢献之一是:指出擁

有買權等同於持有「一部份」標的資產,而此持有「部份」應隨時間及市場條件改變而動態調整

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Delta 與 動態避險1. 假定選擇權的價值為現貨價格的函數2. 選擇權的價值為非線性3. 現貨價格增加,導致函數斜率 (Delta)增加

4. 要複製一購入買權,需對標的資產有較大的部位

5. 反之,若現貨價格下降,則 delta減少,所需標的資產部位較小

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6. 故動態避險的原則為:價格上升後,多持有 ( 買 ) 現貨資產;價格下跌後,少持有 ( 賣 ) 現貨資產

購買「賣權」的動態避險原則,與買權相同

Short 「買權」及「賣權」的動態避險原則相同,但操作方向相反:價格上升後,賣得較多

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重要含意 :1.動態複製一買入選擇權 ( 不管是買權抑 或賣權 ) ,必定虧損 – 後知後覺 !2. 若避險基本大規模利用此等自動交易 系统,則本身即會破壞市場的穩定 ( 如 有人歸疚 1987 年大崩盤,是避險基本 大規模複製 long in put)3. 傳统風險管理的損失限制 (loss-limit)政 策,類似於選擇權的購買

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4. 前述複製策略成功與否,繫於連續GBM 價格程序的假定。理論上,資產組合可以需要而不斷再平衡;惟實務上,價格常急烈上跳下跌,故無法連續平衡

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選擇權收益的分配 選擇權收益是本質性的不對稱 (asymme

tric) ,此性質與相關的風險因子無關(它們多是對稱的 , symmetric) ,而是選擇權本身的特性,在計算選擇權的風險時,此特性很重要

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Long option:long gamma

long right tail Short option:

short gammalong left tail

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選擇權的 VaR 假定標的資產的報酬率為常態分配,則該資

產的風險值 VaR:

α為對應的信賴水準臨介值 ( 例如 95% 的信賴水準, α =1.64)

S

dSSdsVaR )(

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選擇權的線性 VaR

選擇權的二項式 VaR

)()(1 dSVaRdCVaR

22 )(2

1)()( dSVaRdSVaRdCVaR

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例題 (2001 FRM Exam Q.80) 下列何種投資部位,最具風險 ?

A. 負 gamma , delta 中立B. 正 gamma ,正 delta C. 負 gamma ,正 delta D. 正 gamma , delta 中立

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例題 (1997 FRM Exam Q.28) 考慮買入資產名目金額一百萬的買權風險 :

若該標的資產的 VaR=7.8% ,則一短期 at-the-money 選擇權的 VaR 大約為 :A. 如果考慮二階條件,少過 $39,000B. 如果考慮二階條件,多過 $39,000C. 如果考慮二階條件,少過 $78,000D. 如果考慮二階條件,多過 $78,000

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例題 (1998 FRM Exam Q.27) 一交易商持有原油選擇權,油價每波動

一元,則 delta 及 gamma 分別為 100,000 及 -50,000桶原油,假定原油價格每桶最多波動 $2 ,請用 delta-gamma方法,計算其 VaR:A. $100,000B. $200,000C. $300,000D. $400,000


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