1DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis
2DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Probabilitas Teoritis Diskret
Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution)
Distribusi hipergeometris (hypergeometricdistribution)
Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution)
Distribusi binomial (Binomial distribution)
Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative binomial or Pascal distribution)
Distribusi geometris (geometric distribution)
Distribusi Poisson (Poisson distribution)
3DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Seragam Diskret
X ∼ seragam diskret (a, b) Parameter:
a, b bulat; b ≥ a
Rataan:
Variansi:
Fungsi distribusi probabilitas:
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ −+=+−
=lainnya ;0
,1,,1, ;1
1
x
bbaaxab
xf
L
2
baX
+=μ
( )12
11 22 −+−=
abXσ
a : batas bawah
b : batas atas
4DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi SeragamDiskret
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0.1800
1 2 3 4 5 6
x
f(x)
a = 1, b = 6
5DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Probabilitas Variabel Random BerdistribusiSeragam Diskret
( )1
1
+−==
abxXP
( ) ∑= +−
=≤r
ax abrXP
1
1
6DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusiseragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum 0 dan maksimum 10.
Probabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 ataukurang?
Rata‐rata jumlah pesanan per hari yang datang?
( ) 4545,011
1
11
1
11
1
11
1
11
1
1010
14
4
0
=++++=+−
=≤ ∑=x
XP
5,52
110=
+=Xμ
7DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Hipergeometris
X ∼ hipergeometris (n, N, S) Parameter:
Rataan:
Variansi:
( )
{ }
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧=
=
−−
lainnya ;0
,min,,1,0 ;C
CC
x
Snx
xf
Nn
SNxn
Sx L
n, S, N bulat > 0
n ≤ N; S ≤ N
N
SnX =μ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
=N
S
N
Sn
N
nNX 1
12σ
Fungsi distribusi probabilitas:
8DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Rumus Kombinasi
( )!!
!C
rnr
n
r
nnr −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
9DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Percobaan Hipergeometris
Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S obyek yang dikategorikan sukses S, dansisanya N – S dikategorikan gagal
Suatu sampel random berukuran n diambildari populasi
Variabel random yang menyatakan banyaknyaobyek berkategori sukses yang terpilihmerupakan variabel random hipergeometris
10DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram DistribusiHipergeometris
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0 1 2 3 4
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4
x
f(x)
N = 10, S = 2, n = 4
N = 10, S = 4, n = 4
N = 10, S = 6, n = 4
11DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Probabilitas Variabel Random BerdistribusiHipergeometris
( )Nn
SNxn
SxxXPC
CC −−==
( ) ∑=
−−=≤
r
xNn
SNxn
SxrXP
0 C
CC
12DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 bola komponen merek B.
Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, probabilitasbahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil:
( )
5143,0
3!4!
7!1!2!
3!
2!1!
4!
C
CC
C
CC2
73
31
42
73
4723
42 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
====−−XP
13DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Bernoulli
X ∼ Bernoulli (p) Parameter:
p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
Fungsi distribusi probabilitas:
pX =μ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
==
lainnya ;0
gagal ;1
sukses ;
x
xp
xp
xf
( )ppX −= 12σ
14DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Percobaan Bernoulli
Percobaan hanya menghasilkan dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal
Probabilitas sukses adalah p (probabilitasgagal, 1 – p)
Variabel random yang menyatakan munculnyasukses atau gagal merupakan variabel random Bernoulli
15DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Bernoulli
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0 1
x
f(x)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
0 1
x
f(x)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
0 1
x
f(x)
p = 0,2
p = 0,5
p = 0,8
X = sukses = 1= gagal = 0
16DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Hubungan Distribusi Bernoulli danSeragam Diskret
X ∼ seragam diskret (a, b); a = 0; b = 1
X ∼ Bernoulli (p); p = 0,5
17DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Binomial
X ∼ binomial (n, p) Parameter:
n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
Fungsi distribusi probabilitas:
npX =μ
( )pnpX −= 12σ
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =−=
−
lainnya ;0
,,1,0 ;1C
x
nxpp
xf
xnxnx L
18DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Percobaan Binomial
Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependenTiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalahtetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)Variabel random yang menyatakan banyaknyasukses dalam n usaha independen merupakanvariabel random binomialPercobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli yang independen yang dilakukan sebanyak n kali
19DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Binomial
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0 1 2 3 4 5
x
f(x)
n= 5; p = 0,2
n= 5; p = 0,5
n= 5; p = 0,8
20DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Probabilitas Variabel Random BerdistribusiBinomial
( ) ( ) xnxnx pprXP −−== 1C
( ) ( )∑=
−−=≤r
x
xnxnx pprXP
0
1C
21DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalamsuatu pengujian adalah 0,75.
Probabilitas tepat terdapat 2 komponen yang tidak mengalamikerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:
Probabilitas terdapat 2 komponen atau lebih yang tidak rusakjika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2109,025,075,02!2!
!475,0175,0C2 222424
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−== −XP
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
9492,0
0508,01
25,075,01!1!
!425,075,0
0!2!
!41
75,0175,0C1 112
3140
1
0x
44
=−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−−=≤−=≥ ∑=
−xx
xXPXP
22DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Hubungan Distribusi Binomial danBernoulli
Y ∼ binomial (n, p)
Xi ∼ Bernoulli (p)
∑=
=n
iiXY
1
Xi independen dan identik
23DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Hampiran Distribusi Binomial terhadapHipergeometris
X ∼ hipergeometris (n, S, N); n/N → 0
X ∼ binomial (n, p); p = S/N
24DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit dengan 1000 unit diantaranya adalah material jenis A. Jika 10 unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit material jenis A yang terpilih:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2013,0
8,02,03!7!
0!1
1C3
73
310
500010003
5000100010
3
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−== −XP
25DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Binomial Negatif (Pascal)
X ∼ binomial negatif (k, p)Parameter:
k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +=−=
−−−
lainnya ;0
,1, ;1C 11
x
kkxpp
xf
kxkxk L
p
kX =μ
( )2
2 1
p
pkX
−=σ
Fungsi distribusi probabilitas:
26DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Percobaan Binomial Negatif
Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependen
Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal.
Probabilitas tiap sukses untuk tiap usahaadalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)
Variabel random yang menyatakan banyaknyausaha agar terjadi sukses ke‐k merupakanvariabel random binomial negatif
27DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0.0400
0.0500
0.0600
0.0700
0.0800
0.0900
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
k = 2; p = 0,2
k = 2; p = 0,5
Variabel random X banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses
28DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Probabilitas Variabel Random BerdistribusiBinomial Negatif
( ) ( ) kxkxk ppxXP −−− −== 1C 11
( ) ( )∑=
−−− −=≤
r
kx
kxkxk pprXP 1C 1
1
29DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas produk cacat adalah 0,1.
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannyaproduk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,02!2!
4!1,011,0C5 2335315
13 ==−== −−−XP
30DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Definisi Lain dari Variabel Random Binomial Negatif & Fungsi Dist. Prob.
Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagaibanyaknya gagal sebelummemperoleh k sukses
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =−=
−+
lainnya ;0
,2,1,0 ;1C 1
x
xpp
xf
xkkxx L
Parameter:
k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:p
pkX
)1( −=μ
( )2
2 1
p
pkX
−=σ
Fungsi distribusi probabilitas:
( ) ( )xkkxx ppxXP −== −+ 1C 1
( ) ( )∑=
−+ −=≤r
x
xkkxx pprXP
0
1 1C
31DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif
k = 2; p = 0,2
Variabel random X banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses
32DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas produk cacat adalah 0,1.
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnyaproduk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkanproduk cacat ketiga?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,02!2!
4!1,011,0C2 2323132
2 ==−== −+XP
33DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Geometris
X ∼ geometris (p)Parameter:
p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =−=
−
lainnya ;0
,2,1 ;1 1
x
xpp
xf
x L
pX
1=μ
2
2 1
p
pX
−=σ
Fungsi distribusi probabilitas:
34DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Percobaan Geometris
Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependen
Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal.
Probabilitas tiap sukses untuk tiap usahaadalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)
Variabel random yang menyatakan banyaknyausaha agar terjadi sukses pertamamerupakan variabel random geometris
35DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Geometris
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
x
f(x)
p = 0,5
p = 0,2
Variabel random X banyaknya usaha untuk memperoleh suksespertama
36DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Probabilitas Variabel Random BerdistribusiGeometris
( ) ( ) 11 −−== xppxXP
( ) ( )∑=
−−=≤r
x
xpprXP1
11
37DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas produk cacat adalah 0,1.
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannyaproduk yang cacat pada pengambilan ketiga?
Rata‐rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produkcacat?
( ) ( )( ) ( )( )
081,09,01,01,011,03 213 ==−== −XP
101,0
1==Xμ
38DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Definisi Lain dari Variabel Random Geometrisdan Fungsi Distribusi Probabilitas
Variabel random geometris X dapatjuga didefinisikan sebagaibanyaknya gagal untukmemperoleh sukses pertama
Fungsi distribusi probabilitas:
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =−=
lainnya ;0
,2,1,0 ;1
x
xpp
xf
x L
Parameter:
p (0 ≤ p ≤ 1)
Rataan:
Variansi:p
pX
−=1μ
2
2 1
p
pX
−=σ
( ) ( )xppxXP −== 1
( ) ( )∑=
−=≤r
x
xpprXP0
1
39DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Geometris
p = 0,2
Variabel random X banyaknya gagal sebelum memperoleh suksespertama
40DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas produk cacat adalah 0,1.
Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh duaproduk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat?
Rata‐rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperolehsebelum menemukan produk cacat?
( ) ( )( ) ( )( )
081,09,01,01,011,02 22 ==−==XP
91,0
9,0
1,0
1,01==
−=Xμ
41DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Hubungan Distribusi Binomial Negatif danGeometris
X ∼ binomial negatif (k, p); k = 1
X ∼ geometris (p)
42DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Distribusi Poisson
X ∼ Poisson (λ) Parameter:
λ > 0
Rataan:
Variansi:
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧=
=
−
lainnya ;0
,2,1,0 ;!
x
xx
e
xf
x
Lλλ
λμ =X
λσ =2X
Fungsi distribusi probabilitas:λ rata‐rata kejadian
per interval waktu atau
daerah tertentu
43DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Ciri‐Ciri Proses Poisson
Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu ataudaerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadiandalam interval waktu atau daerah yang lain.
Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktuatau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadappanjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantungpada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu ataudaerah ini.
Probabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktuatau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan
44DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Histogram Distribusi Poisson
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0.1800
0.2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
f(x)
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
f(x)
λ = 2
λ = 5
45DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Probabilitas Variabel Random BerdistribusiPoisson
( )! x
exXP
xλλ−==
( ) ∑=
−
=≤r
x
x
x
erXP
0 !
λλ
46DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahuiberdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari. Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguanper hari?
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
02925,0
01892,000045,000005,0 ! 4
10
! 1
10
! 0
10
!
10
415
410110010
4
0
10
=+++=
+++=
=
≤−=≥
−−−
=
−
∑
L
Leee
x
e
XPXP
x
x
47DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Hampiran Distribusi Poisson terhadapBinomial
X ∼ binomial (n, p); n →∞; p → 0
X ∼ Poisson (λ); λ = np
48DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusakadalah 0,01.
Jika terdapat sebanyak 1000 produk, probabilitas terdapat 10 produk yang dibuang karena rusak?
( )( )
( )( )( )
0,0378
! 5
105
1001,01000
510
=
==
==
−eXP
λ
49DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Ciri Reproduktif Variabel Random Poisson
Xi ∼ Poisson (λi)
∑=
=n
iiXY
1
Y ∼ Poisson (λ), λ = λ1 + λ2 + ... + λn
Xi saling independen
50DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi
Contoh Perhitungan
Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahuiberdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari. Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahuiberdistribusi Poisson dengan rata‐rata 5 gangguan per hari.
Probabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah:
( ) ( )
00194,0
! 5
155
15510
515
21
=
==
=+=+=
−eXP
λλλ