Download - 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat
![Page 1: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/1.jpg)
1
mateking.hu A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI
TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele
Ha f differenciálható az 0x helyen és f -nek lokális
szélsőértéke van az 0x helyen, akkor 0)( 0 xf .
röviden:
lok. min/max 0f
TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele
Ha f kétszer differenciálható az 0x helyen és
0)( 0 xf és 0)( 0 xf akkor 0x lokális minimum
Ha f kétszer differenciálható az 0x helyen és
0)( 0 xf és 0)( 0 xf akkor 0x lokális maximum.
0
0
f
flok. min
0
0
f
flok max
A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS
f – 0 +
konvexitás
konkáv
inflexió
konvex
AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS
f + 0 – 0 +
monotonitás lok.
max lok.
min
![Page 2: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/2.jpg)
2
ALAPDERIVÁLTAK
0)( c
xx cos)(sin 21
1)(arcsin
xx
1)( nn xnx
xx sin)(cos 21
1)(arccos
xx
111
1)()(
nnn xn
xx x
tgx2cos
1)(
21
1)(
xarctgx
xx ee )(
x
ctgx2sin
1)(
21
1)(
xarcctgx
aaa xx ln)(
chxshx )( 1
1)(
2
xarshx
xx
1)(ln
shxchx )( 1
1)(
2
xarchx
axxa
ln
11)(log
xchthx
2
1)(
21
1)(
xarthx
DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Példák
1. fcfc )(
23 35)5( xx
2. c
f
c
f
7
5
7
45 xx
3. gfgf )(
xxxx
12)ln( 2
4. gfgfgf )(
xxxxxx
1ln3)ln( 323
5. 2g
gfgf
g
f
x
xxxx
x
x2
22
ln
1ln2
ln
6. 2f
fc
f
c
23
2
32
35
2
5
x
x
x
7. )())(())(( xgxgfxgf )53(
5
1)5ln( 2
3
3
xxx
xx
![Page 3: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/3.jpg)
3
A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT MENETE
mateking.hu
43
4)(
x
xxf
1.LÉPÉS: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY Df
Ez tulajdonképpen a kikötés:
párosittez 0
páratlanbármiittez
0log ittez 0nevezőtört
Most nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát 3x
Ha éppen időnk engedi érdemes még kiszámolni a függvény zérushelyét is, ez az 0xf
egyenlet megoldása, most éppen
0
3
4)(
4
x
xxf 0 x
2.LÉPÉS: DERIVÁLÁS
8
34
3
34434
x
xxxxf
A deriváltat kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk
58
3
8
3
8
34
3
1212
3
161243
3
44343
3
34434
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xxx
3.LÉPÉS: A DERIVÁLT ELŐJELÉNEK VIZSGÁLATA
101212 xx
53
1212)(
x
xxf 303 xx
Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét.
Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha
pozitív, azt folytonos vonallal.
–1 3
– + –
![Page 4: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/4.jpg)
4
mateking.hu
4.LÉPÉS: MÁSODIK DERIVÁLT
10
45
53
351212312
3
1212)(
x
xxx
x
xxf
A második deriváltat is kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk
610
4
10
4
10
45
3
9648
3
606036123
3
512123123
3
351212312
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xxx
5. LÉPÉS: A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELE
209648 xx
63
9648)(
x
xxf 303 xx
Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha
pozitív, azt folytonos vonallal.
Az első derivált előjeléből a függvény növekedésére és csökkenésére következtethetünk,
a második derivált előjeléből pedig a konvexitásra. Mindezt összefoglaljuk egy remek táblázatban.
Már jön is a táblázat, de előtte kizárólag erős idegzetűek számára érdemes megvizsgálni a függvény
aszimptotáit. Az aszimptoták olyan egyenesek, amikhez a függvény hozzásimul, háromféle van
belőlük, vízszintes aszimptota, függőleges aszimptota és ferde aszimptota.
VÍZSZINTES ASZIMPTOTA FÜGGŐLEGES ASZIMPTOTA FERDE ASZIMPTOTA
b
a
olyankor létezik, ha olyankor létezik, ha olyankor létezik, ha
bxf
)(lim :a )(lim xfa
axf
)(lim baxxf
)(lim
egyenlete: by egyenlete: ax egyenlete: baxy
–2 3
– + +
![Page 5: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Kritikus határértékek kiszámolása
?
Ilyenkor az erősebb* győz:
?0
Ilyenkor az erősebb* győz:
00
0
?
Ilyenkor az erősebb* győz:
0
szám (DÖNTETLEN)
szám0
(DÖNTETLEN)
szám
(DÖNTETLEN)
*LÁSSUK, HOGY KI MENNYIRE ERŐS:
xxx xexxxk xx ...3 42log
mateking.hu
AZ ELSŐ ÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELÉT BELERAKJUK EGY TÁBLÁZATBA
2, 2x 1,2 1x 3,1 3x ;3
f - - - 0 + sz. - monotonitás lok.min sz.
f - 0 + + + sz. + konvexitás inflexio sz.
64
1y
6. LÉPÉS: HATÁRÉRTÉK Df SZÉLEIN
0
3
4lim
4
x
x
0
3
4lim
4
x
x
0
20
3
4lim
43 x
x
x
7.LÉPÉS: RAJZ
-2 -1 3
inflexió
lokális minimum
64
1:
yRf
![Page 6: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték
helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait!
6.1. xexxf 64)(
6.2. 23
2)(
x
xxf
6.3. xxexf
1
)(
6.4. 23)3ln(2)( xxxf
6.5. 4
3)(
2
x
xxf
6.6. 2)4(
3
x
xxf
6.7. 3
92
xxxf
6.8. Határozzuk meg ennek a remek függvénynek a monotonitási szakaszait, lokális
szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait és írjuk is föl az érintő
egyenletét az 20 x abszcisszájú pontban!
2
82
xxxf
6.9. Határozzuk meg ennek a remek függvénynek a monotonitási szakaszait, lokális
szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait és írjuk föl az érintő
egyenletét az 10 x abszcisszájú pontban!
4
3)(
x
xxf
Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték
helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait!
6.10.22 )1ln()1ln()( xxxf
6.11.2
3 4)(
x
xxf
6.12.2
2 1)(
xxxf
6.13.xxexf )(
6.14. xxexf 2)(
6.15.224)( xxexf
6.16. 2
)( xxexf
6.17. 2
2
xxexf
6.18. xexxf 2
6.19.x
exf
x
1)(
6.20. 3)2(
x
xxf
6.21. 2)7(
7
x
xxf
![Page 7: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/7.jpg)
7
6.22. 4
1
1
x
xxf
6.23. xxxf ln2
6.24. 2ln xxxf
6.25.x
xxf1
ln)(
6.26.22 ln)( xxxf
6.27. 124)( 34 xxxf
6.28. 22 4
3)(
x
xxf
6.29. 22 12
4)(
x
xxf
6.30. 2)( xarctgxf
6.31. 1)( xearctgxf
6.32.
4)(
x
xarctgxf
6.33.
x
earctg
e
xarctgxf
x
x)(
6.35. xxxf 44 cossin)(
6.36. xxxf 2sincos2)(
AZ ÉRINTŐ EGYENLETE
6.37. Írjuk föl az
252)( 3 xxxf
függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját negatív abszcisszájú
pontban érinti, és párhuzamos az y=14x-7 egyenessel!
mateking.hu AZ ÉRINTŐ EGYENLETE
az érintő egyenlete:
000 xfxxxfy
.,mmngcb
00; yxP =érintési pont
0x =abszcissza
00 xfy =ordináta
![Page 8: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/8.jpg)
8
6.38. Írjuk föl az
67)( 2 xxxf
függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját pozitív abszcisszájú
és 14 ordinátájú pontban érinti!
6.39. Írjuk föl az
xexf x 6)( 2
függvény azon érintőjének egyenletét, amely párhuzamos az y=8x-16 egyenessel!
6.40. Írjuk föl az
5)( xexf
függvény azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az y=2x+1 egyenesre!
6.41. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához a P(0;1)
pontban húzott érintő a Q(4;13) ponton?
1ln)( 2 xexf x
6.42. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=1
abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;-3) ponton?
3)( 21 xexf x
6.43. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=5
abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;e) ponton? 4)( xexxf
GAZDASÁGI FELADATOK
HATÁR (x egy egységnyi növekedése esetén hány egység a változás)
Árbevétel: )(xR )(xR
Költség: )(xC )(xC
Profit: )()()( xCxRx )(x
pqárdbxR )(
költségfajlagosdbxC )(
költségfajlagosárdbnyereségfajlagosdbx )(
ELASZTICITÁS (X egy %-os növekedése esetén hány %-os a változás)
)()(
)( xfxf
xxE
![Page 9: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/9.jpg)
9
7.1. Egy termék keresleti függvénye
2
6
100
110)(
xxf
ahol x a termék egységárát jelöli.
a) Adja meg az x=30 egységárhoz tartozó határkeresletet!
b) Adja meg x=30 egységárhoz tartozó elaszticitást!
c) Adja meg az optimális árbevétel eléréséhez szükséges egységárat!
7.2. Egy termék keresleti függvénye, ahol x a termék egységárát jelöli
1007
)(
x
exf
a) Adja meg az x=120 egységárhoz tartozó határkeresletet!
b) Adja meg az x=120 egységárhoz tartozó elaszticitást!
c) Adja meg az optimális árbevételt jelentő egységárat!
7.3. Egy termék árbevétel függvénye 2
2)(
x
xxB költség függvénye pedig
)10ln()( xxK , ahol x az eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban megadva.
Adja meg a maximális profitot jelentő keresletet! Adja meg a határköltséget 3000 darab
esetén!
7.4. Egy termék keresletét x forintos egységár mellett az
)8
50(300
)(
x
ex
xf
függvény adja meg 1000 darabban.
a) Milyen egységár mellett lesz az árbevétel maximális?
b) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó kereslet?
c) Ha az árat 40 forintban maximalizálják, hogyan kell megválasztani az egységárat,
hogy az árbevétel maximális legyen?
7.5. Egy árucikk eladási árát x eladott darab esetén az alábbi függvény adja meg forintban
10
1500x
xf
Hány darab eladása esetén lesz az árbevétel maximális? Mekkora ez a bevétel?
7.6. Egy 1800 négyzetméter területű téglalap alakú folyó parti telket szeretnénk három
oldalról kerítéssel elkeríteni úgy, hogy a folyó felőli rész szabadon maradjon. Hogyan
válasszuk meg a telek méreteit, hogy a kerülete minimális legyen? Mekkora lesz ez a
kerület?
7.7. Egy termék keresleti függvénye
8
2210)(
x
exxf 30012 x
ahol x a termék egységárát jelöli euróban.
a) Adja meg az x=20 egységárhoz tartozó határkeresletet!
b) Ha a termék fajlagos költsége 10 euró, milyen egységárat kell alkalmazni, hogy a
profit maximális legyen?
![Page 10: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/10.jpg)
10
7.8. Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel
nyolc és este nyolc óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer forintban
megadva
2010)( 42
x
exxf 208 x
a) Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam?
b) A nap melyik órájában volt az árfolyam a minimális, illetve maximális?
7.9. Valamely termék fajlagos nyeresége
22
2
)(
x
exn
ahol x az eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban. Milyen eladási szám esetén optimális a
teljes nyereség?
7.10. Egy áruház forgalmának május havi alakulását az alábbi függvény adja meg, ahol a
hónap x-edik napjának forgalma millió forintban megadva
1021080)(
x
exxf
a) Mekkora volt a forgalom a hónap első és utolsó napján?
b) A hónap melyik napjában volt a forgalom minimális, illetve maximális?
7.11. Egy termék árbevételi függvénye:
103000)(
xxxR
ahol x az eladott termék darabszámát jelöli. Milyen darabszám esetén lesz maximális az
árbevétel?
7.12. Egy termék keresletét x forintos egységár mellett az
4012
7
310)(
x
ex
xf
függvény adja meg 1000 darabban.
a) Milyen egységár mellett lesz az árbevétel maximális?
b) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó kereslet?
c) Mekkora a maximális árbevételhez tartozó határkereslet?
![Page 11: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/11.jpg)
11
6.1. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=2 Rf: (-∞;4e5]
6.2. lok. min. : nincs lok. max.: x=3 inflexiós pont: x=6 Rf: (-∞;0,166]
6.3. lok. min. : nincs lok. max.: x=-1 inflexiós pont: nincs, de
konk: (-∞;0)
konv: (0; ∞)
Rf: (-∞;-e]U(0; ∞)
6.4. lok. min. : nincs lok. max.: x=4 inflexiós pont: nincs, de
konkáv : (3; ∞)
Rf: (-∞;-1]
érintő:
y=-1
6.5. lok. min. : nincs
lok. max: nincs inflexiós pont: x=0 Rf: [-∞;∞]
6.6. lok. min. : x=-4 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=-8 Rf: [-1,875; ∞)
6.7 lok. min. : x=6 lok. max.: x=0 inflexiós pont: nincs, de
konk: (-∞;3)
konv: (3; ∞)
Rf: (-∞; 1] U(11; ∞]
6.8. lok. min. : x=2,52 lok. max.:nincs inflexiós pont: nincs, de
konvex : (-∞;0)V(0;- ∞)
Rf: (-∞;∞]
érintő:
y=-x+8
6.9. lok. min. : x=4 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=5
konk: (5;∞)
konv: (-∞; 0)U(0; 5)
Rf: (-∞;-13]U[3; ∞)
érintő:
y=-15x+27
6.10. lok. min. : nincs lok. max.: x=0 inflexiós pont: nincs, de
konkáv : (-∞;-1)V(-1;-1)
V(1; ∞)
Rf: (-∞;∞]
6.11. lok. min. : x=2 lok. max.: nincs inflexiós pont: nincs, de
konvex : (-∞;0)V(0; ∞)
Rf: (-∞;∞]
6.12. lok. min. : x-1 lok. max.: x=1 inflexiós pont: nincs, de
konk: (-∞;0)V(0; ∞)
Rf: [2; ∞]
6.13. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=2 Rf: (-∞;e-1]
6.14. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=2 Rf: (-∞;e)
6.15. lok. min. : nincs lok. max.: x=1 inflexiós pont:
x=0,5 x=1,5
Rf: (-∞;e2]
6.16. lok. min. :
x=-0,707
lok. max.:
x=0,707
inflexiós pont:
x=-1,732 x=1,732
Rf: (-0,429;0,429]
6.17. lok. min. : x=2 lok. max.: x=-2 inflexiós pont: x=-0,25 Rf: (-∞;-3,29]U[3,29;
∞)
6.18. lok. min. : x=0 lok. max.: x=-2 Rf: [0; ∞)
6.19. lok. min. : x=0 lok. max.: nincs inflexiós pont: nincs
konkáv: (-∞;-1)
konvex: (-1; ∞)
Rf: (-∞;0]U[1; ∞)
6.20. lok. min : nincs lok. max.: x=-1 inflexiós pont: x=-2 Rf: (-∞;1]
6.21. lok. min : x=-7 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=-14 Rf: [-0,25; ∞)
6.22. lok. min. : x=-1 lok. max.: x=1 inflexiós pont: x=-4 Rf: [0; ∞)
6.23. lok. min. : x=e-1/2 lok. max.: nincs inflexiós pont: x=e-3/2 Rf: (-0,125;∞]
6.24. lok. min. : x=-e-1 lok. max.:
x=e-1
inflexiós pont: nincs, de
konkáv : (-∞;0)
konvex: (0; ∞)
Rf: [-0,735;0,735]
6.25. lok. min.: nincs lok. max.:
x=e-1
inflexiós pont: nincs
konkáv: (0; ∞)
Rf: (-∞;e-1]
6.26. lok. min.: x=-0,6 lok. max.:
x=0,6
inflexiós pont: x=-0,1; x=0,1
Rf: f-0,35; ∞)
6.27. lok min : x=3 lok max: nincs Inflexiós pont: x=0; x=2 Rf: [-23,54; ∞)
6.28. lok min : nincs lok max: nincs Inflexiós pont: nincs, de
konvex (0;2)V(2; ∞)
Rf: [-∞; ∞)
![Page 12: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/12.jpg)
12
konkáv(-∞;-2)V(-2;0)
6.29. lok min : x=-2 lok max: x=2 Inflexiós pont:
x=0; x=3,46; x=-3,46
Rf: [-1/32; 1/32)
6.30 lok min : x=0 lok max: nincs Inflexiós pont:
x=-0,759; x=0,759
Rf: 0; π/2)
6.31. lok min : nincs lok max: nincs Inflexiós pont: x=0 Rf: [-π/4; π/2)
6.32 lok min : nincs lok max: nincs Inflexiós pont: x=-2
konvex: (-∞;-4)V(-4;0)
konkáv: (0; ∞)
Rf: [-π/2; π/2)
6.33 lok min : x=-π/4 lok max: x=π/4 Inflexiós pont: nincs Rf: -π/4; -π/4
6.34 lok min :
x=-1; x=1
lok max: nincs Inflexiós pont: nincs Rf: [1,587; ∞)
6.35 lok min :
x= (2k+1)π/4
lok max:
x= 2kπ/4
Inflexiós pont: x= π/8+kπ/4 Rf: [0,5; 1]
6.36 lok min :
x= π+(2k+1)π
lok max:
x= 2kπ
Inflexiós pont: x= 4π/3+2kπ Rf: [-2; 2]
6.37. y=14(x+2)+13
6.38. y=9(x-8)+12
6.39. y=8x+1
6.40. y=-1/2(x+4)+e-1
6.41. α=3
6.42. α=-2
6.43. α=-1/7
7.1. a) 30 egységnyi ár mellett az ár egységnyi növelése -60 egység keresletváltozást
okoz.
b) 30 egységár mellett az ár 1%-os növelése -1,8%kereslet visszaesést okoz.
c) 10 egységár
7.2. a) 120 egységnyi ár mellett az ár egységnyi növelése 3,3 egység keresletváltozást
okoz.
b) 120 egységár mellett az ár 1%-os növelése -1,2%kereslet visszaesést okoz.
c) 100 egységár
7.3. a) 6000 darab esetén maximális a profit
b) 3000 darab mellett ezer darabos termelés növelés 0,0769 költségnövekedést okoz.
7.4. a) 50 forint b) 6000 darab c) 40 forint
7.5. 1000 darab, 37416,57
7.6. 30mx60m-es telekre van szükség
7.7. a) 20EUR egységár mellett egy egységnyi árnövekedés -0,541 egség kereslet
változást okoz.
b) 14EUR
![Page 13: 02 FELADATOK | Teljes függvényvizsgálat](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052217/587f284a1a28abb23e8b5b86/html5/thumbnails/13.jpg)
13
7.8. a) 20 540 forint és 20 670 forint
b) minimum 10 órakor, maximum 18 órakor
7.9. 1000 db
7.10. a) 6,7 millió és 60,133 millió
b) május 10 volt a maximum: 80 millió és május 1 volt a minimum 6,7 millió
7.11. 2000 darab
7.12. a) 40 egységnyi ár esetén maximális
b) 59 875 248
c) -2 500 000 000