Download - 03 Aplicaciones 1 GL
Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles
Dinámica de Estructuras (CIV–235)
H. Jensen & M. Valdebenito
Aplicaciones Asociadas a
Sistemas de 1 Grado de Libertad
Introducción
• En la unidad anterior, se estudio la solución de la ecuación de
movimiento para sistemas de 1 grado de libertad para situaciones
particulares
– Caso de vibraciones libres
Solución depende de factor de amortiguamiento 𝑐
Se pueden identificar 4 casos
Sin amortiguamiento
Subamortiguado
Amortiguamiento crítico
Sobreamortiguado
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2
Recordatorio
Solución de la ecuación de
movimiento es oscilatoria
Introducción
• En la unidad anterior, se estudio la solución de la ecuación de
movimiento para sistemas de 1 grado de libertad para dos situaciones
particulares
– Caso de vibraciones forzadas (fuerza externa de tipo armónica)
La solución de la ecuación de movimiento es la suma de la
solución homogénea 𝑥𝐻(𝑡) y la solución particular 𝑥𝑃(𝑡)
Para razones de amortiguamiento 𝑑 ≠ 0, solución homogénea
se desvanece en el tiempo
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 3
Recordatorio
Introducción
• En la unidad anterior, se estudio la
solución de la ecuación de
movimiento para sistemas de 1
grado de libertad para dos
situaciones particulares
– Caso de vibraciones forzadas
(fuerza externa de tipo
armónica)
Amplitud de la solución
particular es estudiada en
detalle a través del
concepto de Factor de
Amplificación Dinámica
(FAD)
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 4
Recordatorio
0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8 Factor de Amplificación Dinámica
F
AD
Amplif. Dinámica
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=100%
Introducción
• Utilizando las soluciones de la ecuación de movimiento determinadas
en la unidad anterior (en particular, la solución estacionaria), se busca
analizar una serie de aplicaciones prácticas
1. Determinación de la razón de amortiguamiento 𝑑 (método de
potencia media)
2. Movimiento armónico basal
3. Fuerzas transmitidas a la fundación
4. Fuerzas armónicas debido a excentricidades
5. Instrumentos de Medición
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 5
Objetivo
Determinación de 𝑑 (método potencia media)
• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado de
libertad que es solicitado por una fuerza del tipo armónica
• Se asume que razón de amortiguamiento de la estructura es pequeña,
es decir, 𝑑 < 10%
• Se supone que mediante experimentación, se ha determinado la curva
que describe la amplitud de la respuesta estacionaria en función de la
frecuencia de la fuerza armónica que solicita la estructura
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 6
Formulación
k
c
m
Determinación de 𝑑 (método potencia media)
• Amplitud de la respuesta estacionaria como función de la frecuencia de
la fuerza armónica
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 7
Formulación
Respuesta Estacionaria v/s Frecuencia de Excitación
Frecuencia de la
excitación 𝜔
Amplitud
estacionaria de
la respuestaResonancia
Definición: puntos
de potencia media
Note que para
𝑑 ≪ 1, 𝜔𝑚𝑎𝑥 ≈ 𝜔𝑛
El objetivo es
determinar 𝑑 en
base a la curva
experimental que
describe la relación
entre frecuencia y
amplitud
Determinación de 𝑑 (método potencia media)
• Anteriormente se demostró que la amplitud máxima como función de la
frecuencia de excitación externa es la siguiente
• Luego, la amplitud asociada al punto de potencia media 𝑥𝑃/2 es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 8
Análisis
para
Determinación de 𝑑 (método potencia media)
• Note que la amplitud asociada al punto de potencia media 𝑥𝑃/2 puede
ser calculada alternativamente utilizando la fórmula asociada al factor
de amplificación dinámico
• Al igualar las expresiones anteriores, es posible determinar los valores
que asume la razón de frecuencias 𝑅 asociados al punto de potencia
media 𝑥𝑃/2
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 9
Análisis
Esta ecuación se
verifica para los puntos
de potencia media 𝑥𝑃/2
Determinación de 𝑑 (método potencia media)
• Bajo el supuesto que 𝑑 ≪ 1
• Al despreciar términos de 2º orden, las soluciones buscadas de la
razón de frecuencias 𝑅 es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 10
Análisis
Término de 2º orden
Término de 2º orden Aproximación por medio
de serie de Taylor
Determinación de 𝑑 (método potencia media)
• En resumen, las dos soluciones de 𝑅 permiten identificar las 2
frecuencias 𝜔1 y 𝜔2 de la carga armónica asociadas al punto de
potencia media 𝑥𝑃/2
• En vista que la curva de amplitud de la respuesta estacionaria en
función de la frecuencia de la fuerza armónica es prácticamente
simétrica (cerca del máximo), es posible introducir la siguiente
aproximación
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 11
Análisis
Movimiento Armónico Basal
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 12
Formulación
• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado de
libertad
• La base de este sistema experimenta un desplazamiento descrito
mediante una función armónica
• Para este sistema, la ecuación de movimiento es:
• El objetivo es caracterizar la transmisión de movimiento desde la base
a la estructura en términos de desplazamiento y fuerza
k
c
m• 𝑥(𝑡): desplazamiento total del
sistema estructural
• 𝑦(𝑡): desplazamiento de la base
Movimiento Armónico Basal
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Análisis Respecto de Desplazamientos
• En vista de que el movimiento basal es caracterizado por medio de la
función 𝑦 𝑡 = 𝑦0 sin(𝜔𝑡), es posible expresar la ecuación de
movimiento como:
• Donde
• Finalmente, la ecuación de movimiento es expresada de manera
normalizada
Movimiento Armónico Basal
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Análisis Respecto de Desplazamientos
• Interesa analizar respuesta estacionaria del sistema
– Asociada a solución particular de la ecuación diferencial de
movimiento
– Dicha solución ya fue deducida en el capítulo anterior
– La solución estacionaria de 𝑥(𝑡) es:
• Es posible demostrar que la razón entre la solución estacionaria 𝑥 𝑡 y
la amplitud del movimiento basal 𝑦0 es:
Movimiento Armónico Basal
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 15
Análisis Respecto de Desplazamientos
• La razón entre la amplitud de la solución estacionaria de la estructura y
la amplitud de excitación basal se define como el coeficiente de
transmisibilidad 𝑇𝑅
• El coeficiente de transmisibilidad caracteriza la transmisión de
movimiento desde la base a la estructura en términos de
desplazamiento
Movimiento Armónico Basal
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 16
Análisis Respecto de Desplazamientos
• En el gráfico, se
ilustra una serie
de curvas
asociadas al
coeficiente de
transmisibilidad
𝑇𝑅
0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8 Coeficiente de Transmisibilidad
Amplificación
No deseable en diseñoAislación
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=100%
Amplificación Aislación
Movimiento Armónico Basal
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Ejemplo 1
• Descripción
– Tres
estructuras de
propiedades
idénticas
excepto por
longitud de
columnas
– Sometidas a
movimiento
basal de
amplitud
constante y
frecuencia
variable
Movimiento Armónico Basal
• Descripción
– Considere un modelo (muy) simplificado de un automóvil y su
sistema de suspensión por medio de una estructura de 1 grado de
libertad
– Automóvil enfrenta una zona de baches caracterizada a través de
una función del tipo sinusoidal
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Ejemplo 2
kc
m
6 [m]
0,02 [m]
• Objetivo:
determinar
amplitud de
vibración de la
respuesta
estacionaria
Movimiento Armónico Basal
• Datos
• Formulación: se supone que automóvil no se desplaza y que baches
generan un movimiento basal
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 19
Ejemplo 2
kc
m
6 [m]
0,02 [m]
• 𝑘=4x105 [N/m]
• 𝑚=1007 [kg] (modelo
pequeño); 1585 [kg]
(modelo mediano)
• 𝑐: 20x103 [Ns/m]
• 𝑣: {20,80,100,150} [km/hr]
“Movimiento”
de la base
Unidades [km/hr] Unidad [s]
Movimiento Armónico Basal
• Resultados
– Caso 1: modelo de automóvil pequeño
– Caso 2: modelo de automóvil mediano
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 20
Ejemplo 2
Movimiento Armónico Basal
• Además de caracterizar la transmisión de desplazamiento, es de interés
cuantificar la fuerza transmitida 𝐹𝑇(𝑡) al sistema estructural en sí (es
decir, la fuerza transmitida a la masa)
• Considerando la solución estacionaria de 𝑥(𝑡), la fuerza transmitida
queda expresada como:
• La amplitud de esta fuerza es la siguiente (considerando 𝜔 = 𝑘/𝑚 y
𝑅 = 𝜔/𝜔𝑛)
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Análisis Respecto de Fuerza
Movimiento Armónico Basal
• Note que la magnitud 𝑘𝑦0 representa la fuerza “estática” que actúa
sobre la masa (es decir, la fuerza que se originaría dado un
desplazamiento estático 𝑦0 de la base y un desplazamiento nulo de la
estructura)
• Resulta conveniente normalizar la fuerza transmitida a la masa 𝐹𝑇 por
la fuerza estática 𝑘𝑦0
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 22
Análisis Respecto de Fuerza
Movimiento Armónico Basal
• Resulta conveniente
normalizar la fuerza
transmitida a la masa
𝐹𝑇 por la fuerza
estática 𝑘𝑦0
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 23
Análisis Respecto de Fuerza
0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8 Fuerza Transmitida
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=100%
Fuerza transmitida respecto de fuerza estática
Note que en origen la
fuerza es cero
debido a que 𝜔 = 0 y
por tanto 𝑅 = 0
Movimiento Armónico Basal
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Análisis Respecto de Fuerza
• Para el caso en
que 𝑑 > 0, curva
que modela fuerza
transmitida
respecto de fuerza
estática tiene una
sección creciente
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8 Fuerza Transmitida
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=100%
Fuerza transmitida respecto de fuerza estática
Movimiento Armónico Basal
• Un molino rotatorio induce una oscilación armónica en el piso de una
cierta instalación industrial. En dicho piso se encuentra ubicado un
instrumento de precisión. En la base en donde se encuentra instalado
el instrumento se mide una oscilación 𝑦 𝑡 = 0.1 sin(𝜔𝑡) [𝑐𝑚]. Calcular
la fuerza 𝐹𝑇(𝑡) transmitida al instrumento en condición de resonancia si
este se encuentra instalado en un sistema de gomas con parámetros
equivalentes 𝑘 = 40000𝑁
𝑚, 𝑐 = 900
𝑁𝑠
𝑚y 𝑚 = 3000 𝑘𝑔 .
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 25
Ejemplo
R:
Fuerzas Transmitidas a la Fundación
• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado de
libertad que es solicitado por una fuerza del tipo armónica
• El objetivo es determinar la fuerza 𝐹𝑇(𝑡) que el sistema estructural
transmite al suelo debido a la fuerza armónica
• Solo se considera la respuesta estacionaria
• Este caso es de relevancia en instalaciones industriales
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 26
Formulación
k
c
m
Fuerzas Transmitidas a la Fundación
• La ecuación de movimiento para este sistema ha sido estudiada con
anterioridad
• De la misma manera, la solución estacionaria (particular) ha sido
caracterizada previamente
• En consecuencia, la fuerza transmitida 𝐹𝑇(𝑡) puede ser calculada
tomando en cuenta el efecto de las fuerzas de restitución y disipación
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 27
Análisis y Determinación de la Fuerza Transmitida
Fuerzas Transmitidas a la Fundación
• Se puede demostrar que la fuerza buscada 𝐹𝑇(𝑡) es igual a:
• Se define como coeficiente de transmisibilidad la razón entre la
amplitud de la fuerza transmitida a la fundación 𝐹𝑇(𝑡) y la amplitud de la
fuerza armónica aplicada a la estructura 𝐹0
• Este coeficiente de transmisibilidad es análogo al coeficiente de
transmisibilidad asociado al desplazamiento( 𝑥 𝑡 /𝑦0) deducido para el
caso de movimiento armónico basal
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Análisis y Determinación de la Fuerza Transmitida
Fuerzas Armónicas Debido a Excentricidades
• Considere un sistema estructural de
masa total 𝑀en el cual hay dos masas
𝑚/2 de excentricidad 𝑙 que giran a una
velocidad angular constante 𝜔
• Se asume que solo ocurren vibraciones
verticales
• La coordenada 𝑥(𝑡) mide los
desplazamientos a partir de la posición
de equilibrio estático
• Objetivo: plantear la ecuación de
movimiento y determinar su solución
estacionaria
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Formulación
Fuerzas Armónicas Debido a Excentricidades
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Solución
• La ecuación de movimiento de este sistema es:
• Note que la forma de esta ecuación es similar a la de un sistema
excitado por una fuerza armónica (en este caso, la amplitud de la
fuerza es igual a 𝑚𝑙𝜔2)
• Por lo tanto, la solución estacionaria buscada puede ser determinada
utilizando las fórmulas deducidas en el capítulo anterior
• Se puede demostrar que la amplitud de la solución estacionaria es:
Fuerzas Armónicas Debido a Excentricidades
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Solución
• Note que esta curva
puede ser generada de
manera experimental
– Sobre una estructura
existente, se instala
un motor con masas
excéntricas
– Se hace un barrido de
frecuencias y se mide
amplitud de la
oscilación
• Note además que para
𝑅 ≫ 1 (𝑅 > 3) la curva
es independiente de 𝑑 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8 Masas Desbalanceadas
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=100%
• Representación gráfica de la amplitud de la solución estacionaria
Instrumentos de Medición
• Una aplicación relevante de sistemas de 1 grado de libertad consiste en
la medición de fenómenos (ejemplo: eventos sísmicos)
• Objetivo: discutir idea básica de funcionamiento de un sismógrafo y un
acelerógrafo (no se busca presentar descripción detallada de estos
instrumentos)
• Para presentar las ideas asociadas, se considera solo la solución
estacionaria (particular) de la ecuación de movimiento
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Formulación
Instrumentos de Medición
• Considere el siguiente modelo de 1 grado de libertad
• El desplazamiento relativo 𝑧 𝑡 es la diferencia entre el desplazamiento
de la masa y el suelo
• El objetivo es determinar el desplazamiento 𝑦(𝑡) y la aceleración 𝑦(𝑡)(problema inverso)
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 33
Formulación
• 𝑥(𝑡): desplazamiento total de la
masa 𝑚• 𝑦(𝑡): desplazamiento de la base
(desconocido)
• 𝑧(𝑡): desplazamiento relativo
entre la base y el suelo
Instrumentos de Medición
• Para el análisis, se supone que excitación basal es del tipo
• Es posible demostrar que la ecuación de movimiento de este sistema
es:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 34
Solución de la Ecuación de Movimiento
Instrumentos de Medición
• La solución estacionaria para este problema ha sido determinada
previamente
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 35
Solución de la Ecuación de Movimiento
Instrumentos de Medición
• Suponga que la frecuencia natural del oscilador es mucho menor que
la frecuencia de la excitación
• Bajo este supuesto, la amplitud de la solución estacionaria puede
aproximarse como igual a 𝑦0
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 36
Medición del Desplazamiento
Instrumentos de Medición
• Suponga que la frecuencia natural del oscilador es mucho menor que
la frecuencia de la excitación
• Bajo este supuesto, el ángulo de fase 𝜓 de la solución estacionaria
tiende a ser igual a 𝜋
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 37
Medición del Desplazamiento
Instrumentos de Medición
• El supuesto que 𝜔𝑛 ≪ 𝜔 implica que:
• En resumen, el desplazamiento a medir puede ser aproximado como
𝑦 𝑡 ≈ −𝑧(𝑡)
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Medición del Desplazamiento
Instrumentos de Medición
• El instrumento que mide desplazamientos se denomina sismógrafo
– Propiedades: 𝜔𝑛 pequeño implica que la rigidez 𝑘 debe ser pequeña
y la masa 𝑚 muy grande
– En aplicaciones prácticas, una razón 𝜔
𝜔𝑛> 3 ó 4 permite una
aproximación apropiada
– Habitualmente, la frecuencia natural de un sismógrafo 𝑓𝑛 ≈2.5 [hz]
permite medir señales en el rango 10~500 [hz]
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 39
Medición del Desplazamiento
Instrumentos de Medición
• A diferencia del caso de la medición de desplazamiento, suponga que
la frecuencia natural del oscilador es mucho mayor que la frecuencia
de la excitación
• Las consecuencias de dicho supuesto sobre la amplitud y ángulo de
fase de la respuesta son las siguientes
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 40
Medición de la Aceleración
Instrumentos de Medición
• Luego, es posible determinar la siguiente relación entre el
desplazamiento relativo y la aceración basal
• En otras palabras, el desplazamiento 𝑧(𝑡) es proporcional a la
aceleración basal 𝑦 𝑡
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 41
Medición de la Aceleración
Instrumentos de Medición
• El instrumento que mide
aceleración se
denomina acelerógrafo
– Propiedades: 𝜔𝑛grande implica que
la rigidez 𝑘 debe ser
grande y la masa 𝑚muy pequeña
– En aplicaciones
prácticas, una razón
0<𝜔
𝜔𝑛<0.4 (ó 0<
𝜔 < 0.4𝜔𝑛) permite
una aproximación
apropiada
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 42
Medición de la Aceleración
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2 ACELERÓGRAFO
F
AD
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=70%
d=100%
FA
D
Instrumentos de Medición
• Un acelerógrafo posee una razón de amortiguamiento alto (𝑑 = 1 √2 ≈0.7)
• Valores típicos de frecuencia natural son:
– Intrumento Mecánico 𝑓𝑛 = 100[𝐻𝑧]
– Instrumento Electrónico 𝑓𝑛 = 105[𝐻𝑧] . En este caso, el rango útil del
instrumento es 0< 𝑓 <40000 [hz]
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 43
Medición de la Aceleración
Instrumentos de Medición
• Note que en el caso general, una excitación basal del tipo sísmico
involucra más de una frecuencia relevante. Por ejemplo:
• En este caso, la solución estacionaria es:
• Los ángulos de fase 𝜓1 y 𝜓2 son pequeños pero distintos. Se
introduce la suposición adicional que 𝜓1 = 𝛼𝜔1 y 𝜓2 = 𝛼𝜔2. De
acuerdo a este supuesto:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 44
Medición de la Aceleración
Instrumentos de Medición
• La condición de que el
ángulo de fase se
relacione linealmente
con la frecuencia de la
excitación basal (𝜓 =𝛼𝜔) es razonable para
una razón de
amortiguamiento
crítico 𝑑 igual al 70%
• Recordar que el
ángulo de fase es
igual a:
USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 45
Medición de la Aceleración
0 0.5 1 1.5 2
d=0%
d=5%
d=10%
d=40%
d=70%