1
a a' dc e
g
f
h
ZATEZANJE
b
PRITISAK
37
d4
7 d
C
εb2 εa2
εa1 εb1
2 3.5
3.523 εv 0b
h - a
2a 1
d
Aa2
Aa1
γu,i
a 2
10‰
2Proračunski model - pravougaoni presek
Dbu
Zau
Mu
z
y b2
hd
εa1 ≤ 10‰
a 1
y b1
b
Aa1
εb ≤ 3.5‰
x
Gb
σb ≤ fB
ηx
"1"
"2"
BbBbbu fhbsfxbD ⋅⋅⋅⋅α=⋅⋅⋅α=
b
1a1ab
b
1
1hxs
εε
+=
ε+εε
==
3
Koeficijent punoće naponskog dijagrama betona αb
fB
PARABOLA PRAVA
εb
3.5
σb
2.0
fB
PARABOLA PRAVA
εb3.52.0εb
εb
σb
( ) ‰)20(612 bb
bb ≤ε≤ε−×
ε=α ‰)5.3‰2(
323
bb
bb ≤ε≤
ε−ε
=α
4
Položaj sile pritiska u betonu
( ) ‰)20(64
8b
b
b ≤ε≤ε−×
ε−=η
( )( ) ‰)5.3‰2(
232243
bbb
bb ≤ε≤−ε×ε
+−ε×ε=η
( ) hs1hxhz ×ζ=×η−×=×η−=
Krak unutrašnjih sila
5
Računska čvrstoća betona
10.5
15
333025.520.514fB
6050403020MB
Definisano članom 82. PBAB 87.Vrednosti iz tabele se UMANJUJU ZA 10% za elemente konstrukcija kojima je VISINA PRESEKA MANJA OD 12 CM.Međuvrednosti - linearna interpolacija
6
Sila zatezanja u armaturi
εa [‰]
σa [MPa]
10εv=σv/Ea
εq=σq/Ea
σv=400
240
500MA 500/560
RA 400/500
GA 240/360
ZATEZANJEPRITISAK
σq=|σv| v1a1a1aau AAZ σ×=σ×=
va1a1a E σ≤×ε=σ
7
Koeficijenti armiranja
B
v1
B
v1aM11 ffhb
As σ×µ=
σ×
×=×α=µ=µ
.MIN1a
1 hbA
µ≥×
=µ
GEOMETRIJSKI KOEFICIJENT ARMIRANJA:
MEHANIČKI KOEFICIJENT ARMIRANJA:
=µ)RA(%20.0)GA(%25.0
.MIN
8
ζ××α=
s1k
bu
B
hkM
b f
=
×
Uslov ravnoteže MOMENATA
Uslov ravnoteže NORMALNIH SILA
11B
av
fA b hµσ
= × × ×
1u u
av v
M MAz hσ ζ σ
= =× × ×
9
1. Sračunavaju se granični računski statičkiuticaji
2. Usvajaju se εb i εa, pri čemu bar jedna moradostići graničnu vrednost.Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela seočitavaju koeficijenti k i µ1M, odnosno ζ.
),p,gi(MMi
ii,uu ∆=×γ= ∑
Čisto savijanje – SLOBODNO dimenzionisanje
10
Čisto savijanje – SLOBODNO dimenzionisanje
3. Sračunava se statička visina h:
i potrebna površina armature iz izraza:
ili
B
u.TABLab fb
Mkhk/×
=⇒ →εε
)(/ .TABLab ζµ →εε
v
Ba
f100
hbAσ
××
×µ=v
u
v
ua h
Mz
MAσ××ζ
=σ×
=
11
4. Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojenaarmatura se raspoređuje u preseku (a0, čistorastojanje između šipki)
5. Sračunava se položaj težišta a1 usvojene armature i usvaja visina preseka d:
d = h + a16. Konačno se konstruiše poprečni presek i prikazuje u
odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svim potrebnimkotama i oznakama.
Čisto savijanje – SLOBODNO dimenzionisanje
12
Primer 3b - SLOBODNO dimenzionisanje
Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, opterećenmomentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Podaci za proračun:
Mg = 60 kNm b = 25 cm MB 30Mp = 80 kNm GA 240/360
MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2
GA 240/360 ⇒ σV = 240 MPa = 24 kN/cm2
13
Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240 kNm
Nu = 0 ⇒ Mau = Mu = 240 kNm
usv. εb/εa1 = 3.5/10‰
k = 2.311 ; µ1M = 20.988% ; ζ = 0.892
cm0.5005.225
10240311.2fb
Mkh2
B
u =×
××=
×=
Primer 3b - SLOBODNO dimenzionisanje
2.31120.9880.8920.4160.8100.2593.510kµ1M %ζηαsεbεa
14
ili:
2
v
Ba cm41.22
2405.2
1000.5025988.20f
100hbA =×
××=
σ×
××µ=
Primer 3b - SLOBODNO dimenzionisanje
22
v
u
v
ua cm42.22
240.50892.010240
hM
zMA =
×××
=σ××ζ
=σ×
=
usvojeno: 6Ø22 (22.80 cm2)
15
Primer 3b - SLOBODNO dimenzionisanje
aI = 2.5 + 0.8 + 2.2/2 = 4.4 cm
aII = 4.5 + 3.0 + 2×2.2/2=9.7 cm
a1 = (3×4.4 + 3×9.7)/6=7.05 cm
d = 50 + 7.05 = 57.05 cm
usv. d = 60 cm2025
.54.
54.
5
4.5
25
60
2x8 4.5
5.5
3Ø22
3Ø22
2Ø12
UØ8/30
2Ø22
16
Primer 3b - SLOBODNO dimenzionisanje
2025
.54.
54.
5
4.5
25
60
2x8 4.5
5.5
4.5
4.5
20.5
5.5
15
50
25
4.52x84.5
3Ø25
3Ø25
UØ8/302Ø12
2Ø25
4.5
4.5
225
17
75
25
4.52x84.5
3Ø22
3Ø22
2Ø12
UØ8/30
2Ø22
2Ø20
3Ø20
3Ø20
2Ø12
UØ8/30
2Ø1222
LOM PO BETONU SIMULTANI LOM LOM PO ARMATURI
17
ØPoznato:Østatički uticaji za (Mi) – sračunatoØkvalitet materijala (fB , σv) – usvojenoØdimenzije poprečnog preseka (b, d)
ØNepoznato:Øpovršina armature (Aa)Østanje dilatacija preseka (s)
Čisto savijanje - VEZANO dimenzionisanje
18
Čisto savijanje - VEZANO dimenzionisanje
1. Sračunavaju se granični računski statički uticaji
Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti γui
2. Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature a1 i na osnovu toga sračunava statička visina
Veličina a1 se pretpostavlja u granicama (0.05-0.15)×d
),p,gi(MMi
ii,uu ∆=×γ= ∑
1adh −=
19
3. Sračunava se koeficijent k:
i pročitaju dilatacije εb, εa1.
Ako je εa1 ≥ 3‰, sračunava se potrebnapovršina armature iz izraza:
( )TABLICEu
u
B
hM kM
b f
µ ζ⇒ = →
×
Čisto savijanje - VEZANO dimenzionisanje
20
ili:
Ako je εa1 < 3‰, presek se DVOSTRUKO armira
v
Ba
f100
hbAσ
××
×µ=
v
u
v
ua h
Mz
MAσ××ζ
=σ×
=
Čisto savijanje - VEZANO dimenzionisanje
21
Čisto savijanje - VEZANO dimenzionisanje
4. Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojena armatura se raspoređuje u preseku (a0, čisto rastojanje između šipki)
5. Sračunava se položaj težišta a1 usvojenearmature i statička visina h i upoređuje sapretpostavljenom.ØU slučaju znatnijih odstupanja, proračun se
ponavlja sa korigovanom vrednošću a1.6. Konačno se konstruiše poprečni presek i
prikazuje u odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svimpotrebnim kotama i oznakama.
22
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanjeØ Odrediti potrebnu površinu armature za presek
poznatih dimenzija, pravougaonog oblika, opterećen graničnim momentom savijanja Mu. Podaci za proračun:
Mu = 300 kNm b = 40 cm MB 30d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σV = 400 MPa = 40 kN/cm2
23
pretp. a1 = 7 cm
h = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
771.2
05.24010300
53
fbMhk
2
B
u
=
××
=
×
=
2.78113.9780.9250.3880.7220.1942.40010
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510
2.75014.3240.9230.3890.7280.1972.45010
kµ1M %ζηαsεbεa
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
24
v
Ba
f100
hbAσ
××
×µ=
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510kµ1M %ζηαsεbεa
ili:
2a cm38.15
4005.2
1005340152.14A =×
××=
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
25
v
u
v
ua h
Mz
MAσ××ζ
=σ×
=
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510kµ1M %ζηαsεbεa
usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2)
22
a cm31.154053924.0
10300A =××
×=
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
26
40
25.5
60
4.5
4.5
54.
5
4.5
4RØ19
2RØ19
UØ8/25
10
2RØ12
20.5
11 10
2RØ19 aI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.5 + 0.8 + 1.9/2 = 4.25 cmusv. aI = 4.5 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 4.5 + 3.0 + 2×1.9/2usv. aII = 9.5 cm
a1 = (4×4.5 + 2×9.5)/6a1 = 6.17 cm
h = 60 - 6.17 = 53.83 cm > 53 cm
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
27
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510kµ1M %ζηαsεbεa
Dbu = αb × s × b × h × fB
Dbu = 0.725×0.195×40×53×2.05 = 612.3 kN
Zau = Aa1 × σa1 = Aa1 × σv
Zau = 15.31×40 = 612.3 kN = Dbu
x = s × h = 0.195×53 = 10.31 cmz = ζ × h = 0.924×53 = 49.0 cm
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
28
εa1 = 10‰b=40
Aa1
εb = 2.425‰
x=10
.31
h=53
a 1=7
d=60
Mu=300
z=49
4
Dbu=612.3
Zau=612.3
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
29
Ø Odrediti potrebnu površinu armature za presekpoznatih dimenzija, pravougaonog oblika, opterećen graničnim momentom savijanja Mu. Podaci za proračun:
Mu = 600 kNm b = 40 cm MB 30d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σV = 400 MPa = 40 kN/cm2
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
30
959.1
05.24010600
53
fbMhk
2
B
u
=
××
=
×
=
1.95531.1360.8400.3855.6
1.96030.9650.8410.3835.651.96430.7970.8420.3805.7
kµ1M %ζsεa
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanjepretp. a1 = 7 cmh = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
31
0.416η
0.810αb
3.5εb
1.96030.9650.8410.3835.65kµ1M %ζsεa
ili:2a cm64.33
4005.2
1005340965.30A =×
××=
22
a cm66.334053841.0
10600A =××
×=
usvojeno: 7RØ25 (34.36 cm2)
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
32
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanjeaI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.5 + 0.8 + 2.5/2 = 4.55 cmusv. aI = 4.5 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 4.5 + 3.0 + 2×2.5/2usv. aII = 10 cm
a1 = (5×4.5 + 2×10)/7a1 = 6.07 cm
h = 60 - 6.07 = 53.93 cm > 53 cm40
25.5
60
4.5
4.5
5.5
4.5
4.5
5RØ25
2RØ25
UØ8/25
8
2RØ12
20
2x7.5 8
2RØ25
33
Dbu = αb × s × b × h × fB
Dbu = 0.810×0.383×40×53×2.05 = 1346.4 kN
Zau = Aa1 × σa1 = Aa1 × σv
Zau = 33.66×40 = 1346.4 kN = Dbu
x = s × h = 0.383×53 = 20.28 cmz = ζ × h = 0.841×53 = 44.56 cm
0.416η
0.810αb
3.5εb
1.96030.9650.8410.3835.65kµ1M %ζsεa
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
34
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
Mu=600
εa1 = 5.65‰b=40
Aa1
εb = 3.5‰
x=20
.28
Zau=1346.4
Dbu=1346.4
z=44
.56
8.44
h=53
a 1=7
d=60
35
Zavisnost Aa od promene M
0
10
20
30
40
50
100 200 300 400 500 600 700
Mu [kNm]
Aa [
cm2 ]
36
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanjeØ Odrediti potrebnu površinu armature za presek
poznatih dimenzija, pravougaonog oblika, opterećen graničnim momentom savijanja Mu. Podaci za proračun:
Mu = 300 kNm b = 20 cm MB 30d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σV = 400 MPa = 40 kN/cm2
37
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanjepretp. a1 = 7 cmh = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
959.1
05.22010300
53
fbMhk
2
B
u
=
××
=
×
=
1.95531.1360.8400.3855.6
1.96030.9650.8410.3835.65
1.96430.7970.8420.3805.7
kµ1M %ζsεa
38
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
0.416η
0.810αb
3.5εb
1.96030.9650.8410.3835.65kµ1M %ζsεa
ili:2a cm82.16
4005.2
1005320965.30A =×
××=
22
a cm83.164053841.0
10300A =××
×=
usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2)
39
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanjeaI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.5 + 0.8 + 1.9/2 = 4.25 cmusv. aI = 4.5 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 4.5 + 3.0 + 2×1.9/2usv. aII = 9.5 cm
a1 = (3×4.5 + 3×9.5)/6a1 = 7.0 cm
h = 60 - 7.0 = 53.0 cm = hpretp.
20
25.5
60
4.5
4.5
54.
5
3RØ19
3RØ19
UØ8/25
2RØ12
20.5
2x5.5
2RØ19
4.5
40
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
Dbu = αb × s × b × h × fB
Dbu = 0.810×0.383×20×53×2.05 = 673.2 kN
Zau = Aa1 × σa1 = Aa1 × σv
Zau = 16.83×40 = 673.2 kN = Dbu
x = s × h = 0.383×53 = 20.28 cmz = ζ × h = 0.841×53 = 44.56 cm
0.416η
0.810αb
3.5εb
1.96030.9650.8410.3835.65kµ1M %ζsεa
41
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
εa1 = 5.65‰b=20
Aa1
h=53
a 1=7
d=60
Mu=300 Dbu=673.2
Zau=673.2
εb = 3.5‰
x=20
.28
z=44
.56
8.44
42
Zavisnost Aa od promene b
10
12
14
16
18
20
15 20 25 30 35 40
b [cm]
Aa [
cm2 ]
43
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanjeØ Odrediti potrebnu površinu armature za presek
poznatih dimenzija, pravougaonog oblika, opterećen graničnim momentom savijanja Mu. Podaci za proračun:
Mu = 300 kNm b = 40 cm MB 50d = 60 cm RA 400/500
MB 50 ⇒ fB = 30 MPa = 3.0 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σV = 400 MPa = 40 kN/cm2
44
pretp. a1 = 7 cm
h = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
352.3
0.34010300
53
fbMhk
2
B
u
=
××
=
×
=
3.3859.2310.9450.3680.6200.1491.75103.3529.4210.9440.3680.6250.1511.775103.3219.6100.9440.3690.6300.1531.810
kµ1M %ζηαsεbεa
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
45
3.3529.4210.9440.3680.6250.1511.77510
kµ1M %ζηαsεbεa
ili:2a cm98.14
400.3
1005340421.9A =×
××=
22
a cm98.144053944.0
10300A =××
×=
usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2)
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
46
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
40
25.5
60
4.5
4.5
54.
5
4.5
4RØ19
2RØ19
UØ8/25
10
2RØ12
20.5
11 10
2RØ19 aI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.5 + 0.8 + 1.9/2 = 4.25 cmusv. aI = 4.5 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 4.5 + 3.0 + 2×1.9/2usv. aII = 9.5 cm
a1 = (4×4.5 + 2×9.5)/6a1 = 6.17 cm
h = 60 - 6.17 = 53.83 cm > 53 cm
47
Dbu = αb × s × b × h × fB
Dbu = 0.625×0.151×40×53×3.0 = 599.2 kN
Zau = Aa1 × σa1 = Aa1 × σv
Zau = 14.98×40 = 599.2 kN = Dbu
x = s × h = 0.151×53 = 7.99 cmz = ζ × h = 0.944×53 = 50.06 cm
3.3529.4210.9440.3680.6250.1511.77510kµ1M %ζηαsεbεa
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
48
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
εa1 = 10‰b=40
Aa1
εb = 1.775‰
x=7.
99
h=53
a 1=7
d=60
Mu=300
z=50
.06
2.94
Dbu=599.2
Zau=599.2
49
Zavisnost Aa od promene MB
10
12
14
16
18
20
20 25 30 35 40 45 50
MARKA BETONA
Aa [
cm2 ]
50
Složeno savijanje - SLOBODNO dimenzionisanje
1. Sračunavaju se granični računski statički uticaji
2. Usvajaju se εb i εa, pri čemu bar jedna mora dostićigraničnu vrednost.Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela seočitavaju koeficijenti k i µ1M, odnosno ζ.
∑∑
×γ=
∆=×γ=
iii,uu
iii,uu
NN
),p,gi(MM
51
3. Sračunava se statička visina h. Međutim, ovde je postupak iterativan, jer u izrazu za statičku visinufiguriše zasad nepoznata visina d:
B
au1uuau fb
Mkha2dNMM
×=⇒
−×+=
U prvom koraku se pretpostavi Mau = Mu pa sledi:
B
u
B
IauI
uIau fb
Mkfb
MkhMM×
=×
=⇒=
Složeno savijanje - SLOBODNO dimenzionisanje
52
Sa tako određenom visinom se ponavlja proračun sve do postizanja željene tačnosti (razlika di-1 i di). Zatim se sračunava potrebna površina armature:
v
u
v
Bi
aNf
100hbA
σ−
σ×
××µ=
4. Usvaja se broj i prečnik šipki armature5. Sračunava se položaj težišta a1 i usvaja visina preseka
d = h + a1
6. Konačno se konstruiše poprečni presek i prikazuje u razmeri
Primer br. 8 - složeno savijanje sa silom PRITISKA
Složeno savijanje - SLOBODNO dimenzionisanje
53
Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, opterećen momentimasavijanja i silama pritiska. Podaci za proračun:
Mg = 60 kNm Ng = 125 kNMp = 80 kNm Np = 100 kN
b = 25 cm
Ø MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2
Ø GA 240/360 ⇒ σv = 24 kN/cm2
541) Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240.0 kNmNu = 1.6×125+ 1.8×100 = 380.0 kN
2) usvojeno: εb / εa = 3.5/7‰ ⇒k = 2.074 μ= 26.984%
3) Pretpostavka:
4)5) dI = 52 cm
2I 240 10h 2 074 44 9cm
25 2 05. .
.×
= × =×b
u
fbMkh⋅
=
Iau uM M 240kNm= =
I1a 7cm d 44 9 7 51 9cm. .= → = + =
IIau
052M 240 380 007 312 2kNm2. . . = + ⋅ − =
2II 312 2 10h 2 074 51 2cm
25 2 05.. .
.×
= × =×
55
6) dII = 60 cm
7) Usvojeno: 6Ø18 (15.27 cm2)
8)
9) d = 50 + 7.25 = 57.25 cm ⇒ usvojeno: d=60 cm
II1a 7cm d 51 2 7 58 2cm. .= → = + =
IIIau
0 6M 240 380 0 07 327 4kNm2. . . = + ⋅ − =
2I I 327 4 10h 2 074 52 3cm
25 2 05.. .
.×
= × =×
III II1a 7cm d 52 3 7 59 3cm d. .= → = + = ≈
2a
25 52 3 2 05 380A 26 984 14 38cm100 24 24
. .. .×= ⋅ ⋅ − =
13 4.5 + 9 5 = = 7cma 6
( . )⋅
56
Dvostruko armirani preseci
1. Sračunavaju se statički uticaji:Mu = Σγui×Mi
2. Pretpostavlja se a1 i sračunava statička visinah = d - a1
3. Sračunava se koeficijent k:
i pročitaju dilatacije εb, εa1.Ako je εa1 < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA.
)(
fbMhkMM TABLICE
B
uuau ζµ →
×
=⇒=
57
Dvostruko armirani preseci3a.Određuje se MOMENT NOSIVOSTI JEDNOSTRUKO
ARMIRANOG PRESEKA, sa procentom armiranja µ1M*
i koeficijentom k* koji odgovaraju dilataciji armature koja se želi zadržati (po pravilu εa1
* = 3‰)
B
2
bu fb*k
hM ××
=
Preostali deo spoljašnjeg momenta savijanja:
se prihvata dodatnom zategnutom i pritisnutom armaturom.Pretpostavlja se položaj težišta pritisnute armature a2 i određuju se površine zategnute i pritisnute armature u preseku, iz izraza:
buuu MMM −=∆
58
ili:
( ) v2
u2a ah
MAσ×−
∆=
2av
B1a Af
100hb*A +
σ×
××µ=
2av
bu1a A
h*MA +
σ××ζ=
Dvostruko armirani preseci
Mbu
ε*a1 = 3‰b
A*a1
εb = 3.5‰
x=s*
×hZ*
au
Dbu
z=ζ
*×h
ηx
ha 1
d
∆Mu=Mu-Mbu
b
∆Aa1 ∆Zau
Dau
h-a 2
a 1
d
Aa2
ε*a1 = 3‰
εb = 3.5‰
a 2
+εa2
59
4. Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojenaarmatura se raspoređuje u preseku (a0, čisto rastojanje između šipki)
5. Sračunava se položaj težišta a1 usvojene armature i statičkavisina h i upoređuje sa pretpostavljenom.
Ø U slučaju znatnijih odstupanja, proračun se ponavlja sakorigovanom vrednošću a1.
6. Konačno se konstruiše poprečni presek i prikazuje u odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.
Dvostruko armirani preseci
60
Primer 5 – dvojno armiranjeØ Odrediti potrebnu površinu armature za presek
poznatih dimenzija, pravougaonog oblika, opterećen graničnim momentom savijanja Mu. Podaci za proračun:
Mu = 1000 kNm b = 40 cm MB 30d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σV = 400 MPa = 40 kN/cm2
61
pretp. a1 = 8 cmh = d – a1 = 60 – 8 = 52 cm
‰5.0/5.3/489.1
05.240101000
52k 1ab2=εε⇒=
××
=
Kako je εa1 < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA
Primer 5 – dvojno armiranje
62
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.71943.5900.7760.5383
kµ1M %ζsεa
kNm750kNcm7500005.240719.152M
2
bu ==××
=
kNm2507501000Mu =−=∆
usvojeno εa1* = 3‰ ⇒ k* = 1.719, µ1M* = 43.590%
Primer 5 – dvojno armiranje
63
( )2
2
2a2 cm30.1340552
10250Acm5a =×−
×=⇒=
21a cm76.5930.13
4005.2
1005240590.43A =+×
××=
usvojeno: 10RØ28 (61.58 cm2)
usvojeno: 3RØ28 (18.47 cm2)
Primer 5 – dvojno armiranje
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.71943.5900.7760.5383
kµ1M %ζsεa
64
Primer 5 – dvojno armiranje
aI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.8 + 0.8 + 2.8/2 = 5.0 cmusv. aI = 5.0 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 5.0 + 3.0 + 2×2.8/2 = 10.8 cmusv. aII = 11.0 cm
a1 = (5×5.0 + 5×11.0)/10a1 = 8.0 cm
h = 60 - 8.0 = 52.0 cm = hpretp.40
25
60
5
56
5
5
5RØ28
5RØ28
UØ8/25
2RØ12
19
4x7.5=30
3RØ28
65
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.99029.8250.8470.3686
kµ1M %ζsεa
kNm560kNcm5600005.24099.1
52M2
bu ==××
=
kNm4405601000Mu =−=∆
usvojeno εa1* = 6‰ ⇒ k* = 1.990, µ1M* = 29.825%
Primer 5 – dvojno armiranje, var. 2
66
( )2
2
2a2 cm41.2340552
10440Acm5a =×−
×=⇒=
usvojeno: 9RØ28 (55.42 cm2)
usvojeno: 4RØ28 (24.63 cm2)
21a cm20.5541.23
4005.2
1005240825.29A =+×
××=
Primer 5 – dvojno armiranje, var. 2
67
Primer 5 – dvojno armiranje, var. 2
aI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.8 + 0.8 + 2.8/2 = 5.0 cmusv. aI = 5.0 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 5.0 + 3.0 + 2×2.8/2 = 10.8 cmusv. aII = 11.0 cm
a1 = (5×5.0 + 4×11.0)/9a1 = 7.67 cm
h = 60 - 7.67 = 52.33 cm > hpretp.40
25
60
5
56
5
5
5RØ28
4RØ28
UØ8/25
2RØ12
19
4x7.5=30
4RØ28
68
Aa1
Aa2
Aa1+Aa2
0102030405060708090
3 4 5 6 7 8 9 10
εa1* [‰]
Aa [
cm2 ]
Primer 5 – dvojno armiranje